（基础数学专业论文）分次hopf代数的微分算子代数.pdf

。呼、3 瓶要 在本文中，我们引进了n o 分次h o p f 代数的定义，指出了一 类常见的n o ，一分次h o p f 代数，并证明了一个关于n o j 一分次h o p f 代数结构的基本定理在此基础上，我们导出了n 。，一分次h o p f 代数上的微分算子代数的概念，并研究此代数的性质特别，我们 证明了微分算子代数w ( a ，i ) 是一个自由左a 一模，并确定其一组 基最后我们研究量子群( s f ( 2 ) ) 的非负部分u 0 ，我们刻画了 其中心并确定了它所有的不可约表示 关键词t n o ，一分次，结构定理，h o p f 代数，微分算子 w ( a ，i ) ，( s f ( 2 ) ) ，u q ，不可约表示 b 0 1 l a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，f i r s t l y w ei n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o no fn o 一 g r a d e dh o p fa l g e b r a ，p o i n t e do u ts o m ei m p o r t a n ta n du s u a ln o ，一 g r a d e dh o p fa l g e b r a sa n ds h o w e d af u n d a m e n t a lt h e o r e ma b o u t t h ea l g e b r a i cs t r u c t u r eo fn o i g r a d e dh o p fa l g e b r a s o nt h eb a s i s o ft h e s ed i s c u s s i o n s ，w el e dt h ed e f i n i t i o no fa l g e b r a so fd i f f e r e t i a l o p e r a t o r s o v e rn o 一g r a d e dh o p f a l g e b r a s ，t h e nw e s t u d i e dt h e p r o p e r t i e so ft h ed e f i n e da l g e b r a e s p e c i a l l y ，w eh a v e p r o v e dt h a tw ( a ，i ) i saf r e el e f ta m o d u l ea n dg o tas p e c i a lb a s i s f i n a l l l y ，w es t u d i e d t h en o n n e g a t i v ep a r tu oo fq u a n t u m g r o u p 乩( s f ( 2 ) ) ，w ec h a r a c t e r i z e di t sc e n t e ra n dd e t e r m i n e di t sa 1 1 i r r e d u c i b l er e p r e s e n t i o n s k e yw o r d s n o 一g r a d e d ，s t r u c t u r et h e o r e m ，h o p fa l g e b r a ，d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，w ( a ，i ) ，( s l ( 2 ) ) ，u 0 ，i r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n 致谢 作者自1 9 9 8 年以“四三”分流的身份进入研究生阶段学习以 来，在恩师章璞教授的指导下，进行分次h o p f 代数的微分算子代数 方面的学习和研究在平时的学习、工作中，章教授渊博的知识， 治学的严谨，为人的谦逊都深深地影响着我；他不仅传授给我大量 最新的专业知识，也教给我进行学术研究的方法本文正是在章教 授悉心指导下完成的，从论文的选题，到得出初步结果，以至最后 成文都凝聚了他大量的心血作者谨向章教授致以崇高的敬意和衷 心的感谢! 我还要感谢已毕业的李立斌博士，他为我提供了多方面的材料 和帮助；感谢我的师兄黄华林，叶郁，师弟武清宇，与他们的讨论 使我受益匪浅；另外，室友张升宇、王志峰、沈飞和科学计算与计算 机图形学实验室的杨霄峰、杨武同学也给了我很多的支持和帮助， 在此一并致谢 同时，我在数学系的学习和生活中得到了系领导和各位老师的 诸多关照，在此向他( 她) 们表示深深的谢意 最后，我要特别感谢我的父母和家人，感谢他们这么多年来的 全力支持，使我能够安心学习并顺利完成硕士学业 引论 微分算子代数，作为一个非常重要的代数，与物理，统计，实分析，泛涵 分析及代数的其它分支有着非常密切的联系在近五十年的历史里，其理论和 引用已被许多数学家，物理学家进行研究和发展我们经常研究的微分算子 代数，主要从三个基本的例子来考虑问题它们分别是a 。( c ) ，d 。和e ， a 。( c ) 是多项式代数c x i ，z 。】上的微分算子代数砜是收敛级数代 数f z ，。 上的微分算子代数e p 是微分局域算子代数关于( c ) 这 方面的本质性结果可参考i n b e r n s t e i n 的著作 2 】， 3 】1 或 2 8 】关于d 。和e ， 的本质性结果可参考书本 1 4 】， 8 】 经过i n b e r n s t e i n ，m k a s h i w a r a ，t ，k a w a l ，m ，s a t o ，i ，m ，g e l f a n d 等人对微 分算子代数的深入研究。已经发展出来三种主要方法研究微分算子代数并沿 着这几个方面的研究，得到大量关于这方面的确结果也就是说，这几种方法 在微分算子代数上的应用的历史，也就是微分算子代数的发展史： ( 1 ) 函数方程法( t h ef u n c t i o ne q u a t i o n 1 9 ，2 0 ，5 ，4 ，7 ，l ，4 ，6 】) 假设p ( x ) = p ( x 一，z 。) 是定义在”的多项式我们假设p 是一个非负 的实值，我们选择一个函数f ( x ) c 茅( r ) ，令1 ，( a ) = fp 1 ( x ) f ( x ) d x 于是 1 ，( a ) 是关于复变量a 的一个方程，定义复半空间r e ( a ) 0 可知，7 ，是 全纯函数 1 9 5 4 年，在a m s t e r d a m 国际数学家大会上，i m g e l f a n d 提出一个问 题：1 ，能否扩充到定义在整个复上空间的一个亚纯函数 数学家m r i e s z 通过构造许多基本方程的解建立了7 ，的亚纯扩张，并解 决了关于微波算子的c a u c h y 问题 特别地，i n b e r n s t e i n 发现一个关于7 ，的亚纯扩张的新证明他的结果 是：给定一个多项式p ( z ) ，则存在一个多项式6 ( a ) = a 5 + e l a ”1 + + c 。和 一个有限微分算子集合 q j ( x ，o o f ( x ) ) 使得； b ( a ) 1 ，( a ) = fp 1 ( 。) 【a i q j ( x ，o o f ( x ) ) d x 这样使得我们研究微分算子代数主题是考虑一个给定微分算子的解 ( 2 ) 分布理论的应用( a p p l i c a t i o n o fd i s t r i b u t i o nt h e o r y1 6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 1 ) 我们假设p 是一个分布函数，p ( x ，d ) 是一个微分算子族且满足p ( x ，d ) _ “= 0 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 页 ! ! 堡 ! ! 垒 在此基础上，我们得到许多关于微分算子的性质在上面的文献中，有大量的 关于这方面的结果 ( 3 ) 代数方法( a l g e b r a i cm e t h o d 【2 1 ，2 2 ，2 6 1 ) 我们设a 。( c ) = c ( z ”，z 。) 我们可以把a ( c ) 看作一个非交换代数进行考 虑 1 9 7 7 ，j t s t a f f o r d 证明了a 。( c ) 中的每个左理想是两个元素生成的； j er o o s 用同调方法计算微分算子代数上的有限生成模的( k r u l l ) 维数 在微分算子代数得到发展的同时，h o p f 代数，作为一个有着重要物理背 景的代数( 约4 0 年代由著名数学家h o p f 引入) ，自它的引入之今，已得到非 常大的发展特别是近十年来，更是取得了极其重要的发展除了h o p f 经典 理论的继续发展外，即著名的k a p l a s k y ( 关于h o p f 代数反极元的指数的定理) 的证明【3 6 ，4 2 ，4 3 】，另外就是量子群的引入量子群的引入，使h o p f 代数与 数学物理和其它数学分支有了更紧密的联系 对于那些即非交换亦非余交换的h o p f 代数，它们是数学家觉得最有意义 和最不可思义的事尽管纯代数学家【2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 9 】和v o nn e u m a n n 代数专 家【5 2 ，5 3 ，5 4 都对n o p f 代数进行了深入研究，他们相信那些与可积系统理论 无关的构造的h o p f 例子不是自然的正是沿着这个思想。受量子反散射方法 【5 8 ，5 9 的的启发，j i m b o 与d r i n f e l d 独立地引入了量子群d r i n f i e l d 在 3 3 】 定义量子群就是某个非交换亦非余交换的h o p f 代数并证明量子群( s f ( n ) ) 是著名的y a n g b a x t e r 方程的一组解 自q u a n t u m 群的引入，由于其深刻的物理背景，许多数学家都对其进行 了深入研究，出现了大量关于量子群与其它数学分支的联系，主要有量子群与 k n o t 不变性，量子群与b r a i dg r o u p ，h a l l 代数与量子群，量子群与可积系统 等方面，这些方面的工作可参考 4 0 ，4 l ，5 1 ，5 2 ，5 3 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，5 7 】 本文就是在w e y l 代数和h o p f 代数( 或量子群) 的基础上，对微分算子代 数和量子群进行研究的第一章，主要回顾w e y l 代数和h o p f 代数的重要性 质和证明一些必要结论；第二章，在h o p f 代数基础上，引入n o j 一分次h o p f 代数的概念，证明多项式代数是特殊的n d f 分次h o p f 代数，并证明了关于 n o 分次h o p f 代数性质的基本定理；第三章，我们在多项式代数是特殊的 n 0 分次h o p f 代数结论的基础上，对w e y l 代数进行推广，即考虑l 分 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第3 页 引论 引论 次h o p f 代数上的微分算子代数通过对n o 一分次h o p f 代数上的微分算子 代数的研究，我们得到许多重要的关系式，并证明了微分算子代数是拥有一组 特殊基的自由左a 一模；第四章，我们对重要例子量子群v q ( s f ( 2 ) 的非负部分 u o 进行研究，我们刻画了u 2 0 的中心并确定了其所有的不可约模 第一章h o p f 代数与w e y l 代数 本文的前三章主要考虑分次h o p f 代数的微分算子代数，为此，我们需要 h o p f 代数与w e y l 代数的一些预备知识在本章里，我们主要回顾一下h o p f 代数与w e y l 代数的重要性质，并证明一些后面章节所需用到的必要的结论 1 1h o p f 代数的预备知识 定义1 1 1 设a = ( a ，j ，5 ) 是域k 上的三元组，其中a 是k 向量空间， 6 j a _ a 0a 是k 线性映射，? a - - + k 也为一k 线性映射，若它们满足以 下条件t 俐务结合性) ( 橱o j ) j = ( j o i d ) 5 ； 倒除单位性) 如0 i d ) 5 = ( i d 0 ) 6 = i d ， 则我们称a 是k 上的余代数。d 称为a 的余乘。称为a 的余单位元 定义1 1 2 设a 是k 上的向量空间，若a = ( a ，m ，e ) 是一个代数， a = ( a ，5 ，) 是域k 上的余代数，且满足以下等价条件的任意一个( 等价性的证明 谱凡襁砚) ： r ! j m 与e 是余代数映射； 俾弦与是代数映射； f 3 ) j ( 1 ) = l0l ， 5 ( g h ) = eg t h l 9 2 h 2 ，其中d ( 9 ) = 9 1 0 9 2 ，j ( ) = e h l o h 2 ( 口) ( )( g )( h ) e ( 1 ) = l ，( 夕 ) = ( 9 ) s ( ) j 在这里g ，h ，9 1 ，9 2 ，h 1 ，h 2 是a 的任意元素 则我们称a = a ( a ，m ，e ，6 ，e ) 是双代数 定义1 1 3 设a = a ( a ，m ，e ，瓦) 是双代数，如果h o m k ( h ，日) 中存在一个 元素s ，使得s 对于通常的乘积 下i d h ( i d l ，是h o m d h ，h ) 的单位元) 可 逆的，这等价于m ( s 圆i d ) 5 = e = m ( i d o5 ) 6 则称a 是一个h o p 代数， 我们称5 为该代数的反极元 4 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第5 页 第一章h o p f 代数与w e y l 代数 51 1h o p f 代数的预备知识 有了上面的h o p f 代数和余代数的定义，我们可以自然得到交换h o p f 代 数和余代数，子代数，态射，理想的概念和同构基本定理，我们也可以定义其 上的模由于很多性质有其一般普遍性，在此不作赘述，常用定义，记号和性 质可参考 2 7 ，或 2 9 】 例1 1 4 设是一个给定的域，g 是任意群，设b = k g 是它的群代数，对 于g 的任意元素g ，定义j ( g ) = g o g ，( 9 ) = 1 , s ( g ) = 9 ( 一1 ) ，则b 是一双 代数验证参考廖钉 例1 1 5 设h = u ( g ) 是李代数g 的包络代数，我们定义s ( z ) = 一。对于每 个z g ，则h 是一个舶p ，代数 例1 1 6 设0 q k ，让b = u ( 女2 ) = ( z ，yix y = q y x ，我们局域化 u ( 2 ) 得到一个舶p ，代数u ( 2 ) 陋_ 1 l 在这里反极元的定义为：s ( z ) = z t 和s ( u ) = 一。- 。y ，验证参考廖铆 这个例子预示h o p f 代数与量子群之间存在某种必然的联系实际上著 名数学家j i m b o ，d r i n f i e l d 和w o r o n ow i c z 在引入量子群的概念是就是把它看 作具有某种统计机制的h o p f 代数，特别是d r i n f i e l d ，最初定义量子群看做一 个非交换，非余交换的h o p f 代数实际上主要来自两个基本的例子的研究： ( 9 ) 和b = u 。( g ) ，这里g 是半单李代数，g 是一仿射代数群从而，拥有 这些代数背景，本文的最后一章和前面几章的研究有机结合起来 下面回顾h o p f 代数的重要性质和结论 愈强1 1 7 ( 1 4 4 1 ) 设是舶代数，s 是其反极元，则。 ( 1 i s 是一代数反同态，即：对于所有的g ，h h ，s ( g h ) = s ( ) s ( 9 ) ，且s ( 1 ) = 1 ， 俐5 是一余代l t h e 态，即t 如= r ( s os ) 6 且s = 在这里r ：日0 日斗 日0 日，对任意p ，h ，r ( p o p ) = ( p o p ) 设南是域，日是h o p f 代数，m 是h o p f 代数的模，我们记驴= h o m k ( h ，k ) 是对偶代数，h 。= ，h + i 存在某个理想i , d i m h i ( d i m h ) 2 的域上的h o p ， 代数，则s 2 = i d 1 2w e y l 代数a 。( 七) 定义1 2 1 设是特征为0 的域。k x = 南k l ，x 2 ，z 。】是域自上的n 元多 项式代数，n 是正整数，e n d k k x 】是七h 到南h 的线性映射的全体，我们 称下面定义的自线性映射馥( i = 1 ，n ) 是n 元多项式代数k x 】上的微分算 子： 晓：k x 】- k x 1 p ( z ) 斗a ( p ( z ) ) a z i 在这里p ( z ) 是域k 上的一个n 元多项式 定义1 2 2 设k 是特征为0 的域，m = k x l ，x 2 ，z 。】是域k 土的n 元多 项式代数，m 上的任意多项式p ( z ) ，我们可以把它看作k m 到k 的一个 映射这样，我们得到了另一些k 线性映射，我们称之为乘法算子，仍记作 p ( z ) ，具体定义如下： p ( z ) ：k x 】- k x 】 q ( x ) + p ( z ) q ( 。) 在这里q ( z ) 是k x 】上的任意多项式 由上述两个定义的算子。我们把它们作为一组特殊的生成元，引出w e y l 代数a 。( 纠的概念 定义1 2 3 设詹= k x l ，。2 ，z 。】是城k 上的n 元多项式代数，o i ( i = l ，n ) 和p ( z ) 是通过上面定义的微分算子和乘法算子，我们定义多项式代 数吲上的微分鼻子代数a 。( 南) 是由所有的徽分鼻子夙( i = l ，n ) 和p ( x ) 代数生成的代数a 。( 七) 又称w e y l 代数 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第8 页 第一章h o p f 代数与w e y l 代数 5 1 2w e y l 代数a n ( * ) w e y l 代数作为一个特殊的微分算子代数，在代数学中起着特别重要的作 用，在数学的其它分支特别是泛函分析，偏微分方程中有着重要的作用特别 地，在1 9 5 4 年，i m g e l e f a n d 在阿姆斯特丹国际会议上提出了有物理背景的 方程： ( 2 a + 1 ) ( 2 a + 2 ) f ( x 2 1 f ( x ) d x = fx 2 ( a + i 矿( x ) d z 从这个问题开始，人们一直试图寻找它的解，直到本世纪六、七十年代，几位其它 数学家证明了其解的存在性并建立一套较为完整的体系更多地，我们主要是考 虑一个微分算子的解，使得微分算子代数的研究越来越起着重要的作用有关 这部分开创性和具体性工作可参考i n b e n s t e l n 的文章【2 ，3 ，1 4 ，m k a s h i w a r a 的文章 8 ，9 】，m r i e s e z 的文章 1 9 ，2 0 】，m f a t i y a h 的文章 1 ，i s g e l f a n d 的文章【4 】及最近的文章 6 2 ，6 3 】 引理1 2 。4a 。( 足) 是多项式代数k x 】上的w e y l 代数，z i ( i = l ，n ) 是多项 式代数的变元，o i ( i = 1 ，n ) 是其上的微分算子，定义我们可知，a 。( 尼) = k ( z - ，。，z 。，巩，a 2 ，巩) 引理1 2 5 设a ( i = 1 ，n ) 是a 。( 岛) 上的微分算子，z i ( i = 1 ，n ) 作为多 项式代数的变元视为其上的乘法算子，则 ( 1 ) o i c g j ( 2 ) x i x j = 8 3 8 i 。x j x i 证明：我们先对( 1 ) 证明，对于南m 上的任意多项式p ( 。) ，我们有 馥( 岛( 0 ( z ) ) ) = a 2 ( p ( z ) ) a 谚 = a 2 ( p ( x ) ) o a = 岛( a ( p ( z ) ) ) 故命题( 1 ) 得证；对于( 2 ) ，由于多项式代数的交换性。立即得命题( 2 ) 成立 命题1 2 6 设a 是a 。( 七) 上的徽分算予q 是其上乘法算子，则 m8 汪 _ z i 8 + 6 i j ： ( 2 ) 印= m 印“+ 6 , j z i 印，1 i ，j n 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第9 页 第一章h o p f 代数与w e y l 代数 1 2w e y l 代数a n ( ) i f i j n z = j 证明：( 1 ) 显然；我们只需对( 2 ) 证明我们任取m 上的n 元多项式p ( 。) ，我 们有 印( 尸( z ) ) = 印( p ( 。) ) = m a ( z j ) 0 7 1 ( p ( z ) ) + x j o r ( p ( z ) ) 因此我们有( a z ，) p ( z ) = ( m o r _ 1 + 印) ( p ( 。) ) ，从而上述命题得证 下面是有关w e y l 代数a 。( ) 的两个重要性质 定理1 2 7 廖8 7 a 。( ) 是多项式代数上的w e y l 代数，则 z 。a 口) 是它的一组基 证明；我们任取自b 1 上的n 元多项式p ( z ) ，我们有a p ( z ) = p ( z ) 扶+ 反( p ( z ) ) ， 其中a ( p ( z ) ) 看作4 。( 南) 中的元素，由于这个性质。使得a 。( ) 中的每个元 素都有。口z 。扩的形式，其中南。口是k 上的元素 现在只需证明任意型如z 。矿是线性无关的设存在某个非0 值在女。口 中，我们令d = 。p z “矿要证任意型如。矿是线性无关，即证明d 是一 个菲零映射，只需找出某个多项式p ( z ) ，使得d ( p ( z ) ) 的值非0 因为存在某个 非0 元在呐故可设0 使得。e 0 不妨令= 芦。+ + 风 i o l ，我们有： = 七。p 。矿( z 4 ) = k 。p z 。( j 81 ) 0 原命题得证 定理1 2 8 廖彤 w e y l 代数a 。( 奄) 是单代数，即a 。( 自) 有理想j ，则j = 0 或j = a 。( ) o 1 ，、l = 幻 垦这在 矿矿 pk 愀 = p a矿 pk 邓 | j 勺p d 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 0 页 第一章h o p f 代数与w e y l 代数 5 1 2w e y l 代数a n ( ) 证明：设j 是a 。( k ) 中的非0 理想，下面证明j = a 。( ) 对n 进行归 纳若岛( 。，z 。- l ，a 。，o n 一1 ) = a n - 1 ( ) 是半单代数，原命题只需证明 ，n 如。( 忌) o ( n 为若t ，n a 。一- ( 忌) 0 ，我们得到j n a 。一，( k ) = a 。一- ( ) ， 又j 包含单位元，得j = a 。( 南) ) 下面证明j n a 。一1 ( k ) 0 令d = 6 0 + + 6 。砩，其中 毋) 是子代 数a 。( 南) 的生成元若s 1 ，我们用前面的结论。四z 。一。硬= j 砑1 ， 可知d x 。一x 。d = 6 l + + s 蠡醒令d - = d z 。一x 。d ，如此类推， 知j 中有非0 元素d 。= s ! j ，我们令这个元素记为e 由上可知，e 可 写成e = e o + + e t z 。t 的形式，其中 e 0 是a 。一- ( ) 中的元最后我们 令e 1 = 岛e e 巩，进行类推定义，可得e 。= t ! e 在j na 。一。( ) 即证 j n a 。一- ( ) 中有非。元，原命题得证 第二章n o j 分次h o p f 代数 2 1 引言 在本章中，我们首先引入，分次h o p f 代数的概念，然后讨论一类常见 且重要的代数是n o ，分次h o p f 代数，进丽证明了一个关于n 0 ，分次h o p f 代 数结构的基本定理本章是本毕业论文的主要部分之一。也是使整个论文成为 一个有机整体的必要环节之一 在本章中，我们设k 是一个域，是一个任意集合，记o k 为o 设 n 。和z 分别是非负整数集和整数集z j 是以，为基的自由阿贝尔群，其中 z f 的元素可写成形如肛= e p i i ，_ “i z ，其中对几乎所有的i f 有p ；= 0 同理，我们可以定义n o i = p = 卢；i z ii 任给i ，p ；n o 对于 p = 以i n o ，我们定义。t r ) = p i 2 2n o ，分次h o p f 代数的定义和重要例子 定义2 2 1 设a 是域k 上的向量空间，若满足以下两个条件 r u a 是域上的结合代数，a 有向量空间的直和分解 a = o a 。 # e n o ， 且a 作为代数由“iea i ，i ，生成，并使得a 。a 。a 。+ 。，且a o = 岛， f 矽存在一个代数同态6 ：a _ a oa ，使得任给i j ，有 j ( “。) = “i o 1 + 1 0 “。， 则称a 是域k 上的n 0 1 分次h o p f 代数，其中l t i 是其生成元 熟知，h o p f 代数应有余单位和反极元( a n t i p o d e ) ，然而在此定义中余单 位和反极元的存在性并未指出，我们将在下一节中作为一条重要的性质从定 义中推出在此之前，我们考察一些常见且重要的n 。f 分次h o p f 代数 抛掣0现扛 = 比p鲍肌固法扛 乘的 上a 0 a 中其 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 第二章n o ，分次h o p f 代t l f t 5 221 1 0 1 分次h o p f 代数的定义和重要例子 例2 2 2 自由结合代数是n 0 ，分次舶代数 设a = 南( 。f ，i i ) 是后上的以 q ，i ) 为生成元的自由结合代数 设 l = _ l 上；i n 0 ，我们令a 。是由单项式z 。t i 。z ；。张成的代数，其 中z ，x l ：z i 中x i 出现的次数是“；由上述定义，我们知道自由结合代数 a = k x 。，i i ) 满足n 0 ，分次舶代数的条件r 川j 对于俐，由于a 的自 由性，我们可以定义代数同态： 6 ：a - - + a 圆a ，使得j ( = 。i ql + 1q x i 例如。 5 ( z i z j ) = 6 ( q ) 6 ( q ) = 1o x i x j + x i x j0 1 + x i0 x j + o x i 综上所述，自由结合代数a = k z i ，i f ) 是n o f 分次舶p ，代数 例2 2 3 域k 上多项式代数是n o j 分次h o d 代数 设a = k ，i i 】是域南上的多项式代数，由于其上的任意两个元素是 可以交换的，我们可类似上例定义一个舶p ，代数的齐次项a 。= 自1 7z ? ，其 中p = 肛0 n 0 1 由定义可知，a = k z i ，i 川满足n 0 1 分次d 代数 i ， 讷条传( 1 ) ： 下面我们给出代数同态6 ：a - a o a 的定义j = ( 。i 。j x j t i ，i j ) 是自由代数七( z i ，i i ) 的理想于是有代数同构a = 自k ，i i 竺k x ，i ，) | ，由上例可以知道存在代数同态6 ? 6 ：( i ，i f ) + ( z 。，i ) 砭多( z 。i j ) j 协；) 卜叠o l + lo x i 为了验证6 ( j ) j o k ( x i ，i ，) + ( q ，i ，) 圆，只需对生成元进行 进行验证一 扩( z ；。j x j x i ) = 5 ( x i x j ) 一6 ( z ；) = 1 q x i x j + 。i q 1 + 。i o q + z i o q 一( 1 圆x j x i + q 0 1 + o q 十x i 0 ) = ( x i x j 一。戤) 0 1 + 10 ( 。一。j z i ) j o k ( z l ，i ，) + k z i ，i f ) q j 因此，6 7 诱导出代数同态占：南k ，i 朋_ + 南k ，i 卅圆k z i ，i 卅 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第二章n o ，分次h o p f 代数 第1 3 页 23 结构定理 综上所述，域k 上多项式代数a = k z i ，i i 是n 0 ，分次i - i o v f 代数 注2 2 4w e y l 代数是多项式代数上的微分算子代数，在此，我们证明了域k 上的多项式代数是特殊的n 0 1 分次 0 p ，代数从而为我们在下一章对w e y l 代数的推广，即研究n 0 ，分次h o 代数上的微分算子代数提供了背景 2 3 结构定理 我们首先回顾一下证明以下定理所需要的一些的记号设芦o ，f = t r ( p ) ， 定义所有满足mil tsf ，a t = 吲= p ，ie 的向量o = ( n l ，2 ，a 1 ) 的 全体记作集合，( p ) ，特别地，当集合为空集时，记为，( o ) 我们定义 i 地) i = 差b 设a = ( 0a 。，6 ，“i ) 是“。生成的，分次h o p f 代数，对n = p n o l ( a l ，a 2 ，a 1 ) ，( p ) ，我f 记 j “u 。，i f f 0 ， 2 1l ， i ff ：0 我们定义a 。是由“。，o ，( p ) 扩张的a 的子代数 定理2 3 1 设a = ( oa 。，j ，“i ) 是以“i 生成的n 0 1 分次r o 代数，则我 “n o ， 们得出以下一些结论： r 纠设：a _ a o = 是一个投射，即对于p 0 ，( a 。) = 0 j i k = i d 则 a = ( 0a 。，d ，“，) 是n 0 ，分次余代数，即 # e n o ， j 具有分次性：6 ( a 。) = 0a 。0 a z ； 口+ 卢= p i 啪具有余结合性：( i d o6 ) 6 = ( 60i d ) 6 ； i 圳6 具有余单位元：( 埘0 ) = i d = ( e 0 i d ) 6 f 纠对于。a 。，我们有6 ( 。) = 。圆1 + l0 z +z 。0 。p ，在这里 。ea 。，y a z ； f 剐存在代数同态s ：a _ a 使得( i d 圆s ) = e s = m ( s o i d ) ，在这里m 和e 是a 的乘法映射和单位映射 我们称s 是代数a 的反极元 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕4 - 学位论文 第1 4 页 兰三兰望! ! 坌查! ! 兰垒整 ! ! 兰竺丝兰兰 证明；我们先对r ，进行证明对于，我们只需对a 。的生成元“a 进行验 证令“。= “。l “则 6 ( u 。) = 6 ( “。u 。；) = 占( p 。) 巧( “。) = ( “。，0 1 + 1 “。，) ( u 。0 1 + 1 0 。) 0a 。o a p o + 口= “ 于是f t j 得证；对于( i o ，我们同俐，对齐次分支 中的生成元“。进行验 证令“。= 。l u 。，由俐知 ( i d oj ) d ( “。) = ( i d 0j )a t0 a 。 l 。l + 0 2 = p = oa 3 0 a 4o a 2 l d 3 + 。 + 8 2 i = “ = ( 6 0 i d )a - 0 a 2 恤1 + 。2 l = “ = ( 6 0 i d ) 6 ( u 。) 即( i o 得证，在这里a l ，0 2 ，a 3 ，a t 是a 的齐次项的元素；一例同理得证 对于俐，因为j 具有分次性，我们有j ( 1 ) = 10n ，a a o = 于是 1 = ( i d ) j ( 1 ) = ( i d 0 ) ( 1 qn 7 ) = a 7 因为6 的分次性。我们有 6 ( a ) = l + q a + a ”q l +z 。0 。口， d + 口= p ，d ，口0 其中，口，a ”a 。，z 。a 。，。p a 口因为对任意o ，e ( a 。) = o ，我们得到 a = ( i d 圆) d ( n ) = 口“和a = ( 0 i d ) j ( n ) = o 命题例得证； 最后我们采用构造法来证明结论俐a = oa 。，我们定义a 上的一个 “e n 0 ， 线性映射s ，：a _ a ，先定义s ( 1 ) = 1 j 对a a d ，d 0 ，我们有 6 ( d ) = a o1 + l 圆n +z 。0 即，其中。a 。，印a 口 a + 卢= p ，口，卢0 由于o ，偏序， l z l ，1 y l p ，对s ，( z ；) 的定义是合理的，从而我们可以对s ， 进行归纳定义： s ，( o ) = 一a 一。耳( z ：) a + p = p 口p o 在这里，我们得到m ( i dps ，) = e ，这样我们证得s r 在代数h o r n ( a ，a ) 中 对乘法是右逆的，同理可以证明它是左逆的从而我们得到s r = s j = s ，即 证8 是a 的反极元 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第二章n o ，分次h o p f 代数 第1 5 页 5 2 3 结构定理 注2 3 2 从上面的定理看来，我们得到了一系列有益的讨论首先对于命题 r ，我们最初定义的n 0 1 分次胁代数仅只有一个代数结构，在此我们通 过证明。得到它的余代数的结构，从而证明它是一个双代数；对于结论俐，我 们构造性地证明了反极元的存在，从而得出它是一个h d 代数，从而说明最 初定义它为n o 分次”舶p ，代数”的合理性 第三章n o j 分次h o p f 代数上的微分算子代数 3 1 定义和基本性质 定义3 1 1 设a = ( oa 。，m ，e ，d ，s ) 是域k 上的n 0 ，分次舶p ，代 “n o j 数，生成元“i a i ，i ，其中m 和e 分别是a 的乘法映射和单位映 射，s 是其的反极元我们记p = # i i n o l ，由上章基本定理，我们有 3 ( a 。) = 0a 。o a p ，由此可知，对于a 。中的任意元素z ，有唯一的元 o + p = “ 素6 ，( z ) ，i 6 ( z ) ，使得 6 ( z ) = “i0 i6 ( z ) + 其它双齐次项； d ( z ) = 文( z ) qu i + 其它双齐次项 这样我们了定义两个南线性映射文，i 6 ；a 叶a ，且6 i ( a 。) sa 。一i ，。6 ( a 。) 互 a 。一在这里若弘i = 0 ，我们令a 。一i ：= o ) 我们把文，i d 分别成为a 的左 微分算子和右微分算子特别地，我们有 例3 1 2 若a 是域岛上的n 元多项式代数，a = p 1 ，x 2 ，x n ，在2 - 述z 义下我们定义微分算子6 i ，。d ( i = 1 ，n ) ，我们可得最= i6 = a ( i = l ，n ) ， 即多项式的微分算子是通常定义的偏导数 由这个例子的启发，我们下面证明关于n o ，分次h o p f 代数上的微分算 子的偏导性莱布尼兹法则 命题3 1 3f 莱布尼兹法则j 设a 是域k 上的n 0 1 分次日o p ，代数，文，i 6 分 别是a 的左微分算予和右微分算予，对于a 上的任意齐次元。，y a 。，则 有： r 圳盈( z y ) = 6 ；( z ) + z 瓦( ) j r 纠。j ( z y ) = ，6 ( z ) y + zi d ( y ) 证明：先证明( 1 ) ，由6 的定义可知，对于a 上的任意齐次元z ，a 。，我们 1 6 文 | | 、j， r 0 臣了符 r眈nm是 j 6里这 每 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 7 页 第三章，分次h o p f 代数上的微分算子代数 5 3 1 定义和基本性质 有 占( z y )= 占( z ) j ( v ) = ( x0 1 + 五( z ) 0u i + 其它双齐次项) ( y01 + 最( y ) ou i + 其它双齐次项) = 盈( z ) y + 。6 ，( y ) ou i + 其它双齐次项) 即证结论( 1 ) 成立； 对于( 2 ) ，可类似( 1 ) 进行证明对于a 上的任意齐次元z ，yea 。，我们 有： 占( z 可)= 占( 。) 占( y ) = ( 1 0 x + u ；o i6 ( z ) + 其它双齐次项) p 0 y + “i o 。j ( z ) + 其它双齐次项) = u ；0 ( i 6 ( z ) y + 。i 6 ( ) ) + 其它双齐次项) 上述性质得证 定义3 1 4 设a = ( 0a 。，6 ) 是域k 上的n o ，分次舶代数，“。i ， n o ， 是它的生成元对于a 中的每个元素a ，我们可以定义a - a 的两个k 线 性映射a i 与a ， a ，：a _ a 和a z ：a _ + a 我们称线性映射a f 与a ，是a 上的左乘算子和右乘算子 定义3 1 5 设a = ( 0a p ，6 ) 是域k 上的n 0 1 分次舶p ，代数，p 。ie ， p n o f 是它的生成元其中最，i 6 分别成为a 的左微分算子和右微分算子，a j 与口， 是a 上的左乘算子和右乘算子我们通过这些算子作为生成元分别定义两个 重要的代数w ( a ，i ) 和( a ，i ) w 如下： w ( a ，i ) = a ( 文，a ，i i ) e n d k a ( a ，i ) w = a ( i 6 ，a t ，i i ) e n d a 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 8 页 兰三里坠! 坌壅些堕垡丝圭墼丝坌叁重垡墼坠! 垒! ! 坌堡! ! 竺垡墼圭竺丝坌塞重竺蝥 我们称w ( a ，i ) 和( a ，o w 是n 0 1 分次舶p ，代数上的右微分算子代数和左 微分算子代数 命题3 1 6 设a = ( 0a p ，j ) 是域k 上的n o 分次日d 代数，u i ，i ， 是它的生成元，6 6 分别成为a 的左微分算子和右微分算子，则我们有： ( 1 ) 6 i u j = 6 。+ d ，j j 2 ) t 6u j = u ji 5 + 6 t 3 在这里，u j 作为乘法算子看作右乘，即： u j x = x u j 证明：我们不妨设i t 。是a 的齐次元，由n o ，分次h o p f 代数上的莱布尼兹法 则我们只需证明( 1 ) ，结论( 2 ) 可类似地证明 即原命题得证 6 1 u j ( u 。) = 6 i ( u 。u j ) = 5 i ( u 。) “j + u 。6 i ( u 。) = u j s l l ( u 。) + 6 i i 3 2n o j 分次h o p f 代数上的微分算子代数 上面引出n 。，分次h o p f 代数上的微分算子代数的定义后，下面我们研 究它的代数结构和一些重要的性质 引理3 2 1 设a = ( 0a 。，6 ) 是域女上的n o 分次0 p ，代数，u i ，i ， e n o i 是它的生成元，5 i ，i j 分别成为a 的左微分算子和右微分算子，又设f = t r ( p ) ，a = ( a 1 ，a 2 ，a 1 ) ，m ) 中的任意元素。只= til t f ，a t = i ) ， 则我们有： ( 1 ) s i ( u 。) = u a 俐i j ( u 。) = u 。嘲 在这里a i r 】从向量a = ( a l ，a 2 ，a 1 ) 除去分量a t 后得到长度为f 一1 的向 量。即“。【f 】是u 。上删除u 。的剩余部分 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 9 页 第三主坠! 坌查坚!