（基础数学专业论文）用阶分量刻划单群.pdf

y 7 5 1 5 2 2 西南师范大学研究生学位论文原创性声明 秉承我校勤奋、严谨学风，本人申明所呈交的论文是在导师指导下进 行研究工作所取得的成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含在我校或其他教 育机构获得学位论文上的材料，与我共同工作的同事对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 该申请学位论文与资料如有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名： 西南师范大学研究生学位论文版权协议书 本人完全了解西南师范大学有关保护知识产权之规定，即：研究生在 攻读学位期间所完成的论文的知识产权人单位为西南师范大学。本人保证 毕业离校后，发表攻读学位期间所完成的论文或使用这些论文中的原创性 技术成果时，署名单位为西南师范大学，或在明显位置标明，该成果是作 者在西南师范大学攻读学位期间完成的。学校有权保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借闽学校可以公布 学位论文的全部或部分内容( 保密内容除外) ，可以采用影印、缩印或其 ? 他手段保存论文。 论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 用阶分量刻划单群 学科专业：基础数学 指导教师- 陈贵云教授 摘要 研究方向；有限群论 研究生，石他国( 2 0 0 2 3 5 0 ) 设g 是一个有限群，如下定义g 的素图r ( a ) ：顶点集为所有整除i g i 的素 数，两个顶点p 与q 相邻当且仅当g 中存在p q 阶元用t ( g ) 表示r ( a ) 的连通分支 数，t ( g ) = 仉( g ) ，i = 1 ，2 ，( g ) ) 表示r ( c ) 的连通分支的集合，如果g 是一 个偶阶群，则始终假设2 仃，( g ) 如果祀是一个自然效，则用”( 讳) 表示n 的所有素 因子的集合显然j g j 可以表示成m t ，m 2 ，m 。的乘积，其中r n i 是正整数并且 ”( m t ) = 仉( g ) ，这样的m t 称作g 的阶分量，并且用o c ( c ) = m 1 ，m 2 ，砜( 回 表示g 的阶分量的集合陈贯云教授在文献【4 l 中给出了所有素图不连通的有限单 群的阶分量 有些单群能够被其阶分量所刻划，本文将证明如下几个定理， 定理3 1 设m = 2 ) h 1 ( 2 ) ，5sp 2 ”一i 如果g 是有限群并且o c ( a ) = o c ( m ) 则g 釜m 定理3 2 设m = g ( 2 ) 如果g 是有限群并且o c ( c ) = o c ( m ) ，且畸g 皇m 定理3 3 设m = 2 d 。( 3 ) ，9 n = 2 竹1 十l p 如果g 是有限拜并且 o c ( a ) = o c ( m ) ，则g 皇m 定理3 4 设m = l ( 3 ) ，如果g 是有限群并且o c ( g ) = o c ( m ) ，则g 型m 定理3 5 设m = d n ( 3 ) ，p 5 ，如果g 是有限群并且o c ( a ) = o c ( m ) ，则 g 掣m ， 定理3 6 设m = ( 5 ) ，p25 如果g 是有限群并且o c ( a ) = o c ( m ) ，则 g 兰m 定理3 7 设m = 岛( 3 ) 如果g 是有限群并且o c ( g ) = o c ( m ) ，则g 鲁昂( 3 ) 或o ( 3 ) 定理3 8 设m = g ( 3 ) 如果g 是有限群并且o c ( c ) = o c ( m ) ，贝l j g 型b p ( 3 ) 或o ( 3 ) 推论3 1 设g 为有限拜，z ( g ) = 1 ，m 是非a b e l 单群，n ( g ) = ( m ) ，并 且m 同构于下列单群之一，则g 些m r u2 d ，+ 1 ( 2 ) ，5 p 2 “一1 ； 俐g ( 2 ) j r 夥2 d 。( 3 ) ，9 s n = 2 仇+ 1 p ； “，m = 占 舛l ( 3 ) i 例m = b ( 3 ) ，p 5 i ( 6 1 d ，( 5 ) ，p 5 关键词：有限群。素图，阶分量。 2 c h a r a c t e r i z a t i o no fs o m ef i n i t es i m p l eg r o u p s w i t ht h e i ro r d e r c o m p o n e n t s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s 皿a t o r ：p r o f g u i y u nc h e n s p e c i a l t y ：t h et h e o r yo ff i n i t eg r o u p s a u t h o r ：h u a g u os h i ( z 0 0 2 3 5 0 ) a b s t r a c t i fgi saf i n i t eg r o u p ，w ed e f i n et h ep r i m e g r a p hr ( c ) a sf o l l o w i n g ：i t sv e r t i c e s a r et h ep r i m e sd i v i d i n gt h eo r d e ro fg ，a n dt w ov e r t i c e sp a n d 口a r ej o i n e db ya n e d g e ，i fa n do n l yi ft h e r ei sa ne l e m e n ti ngo fo r d e rp q w ed e n o t et h es e to f “l t h ec o n n e c t e dc o m p o n e n t so f g r a p hr ( g ) b yr ( g ) = 饥( g ) ，f o ri = l ，2 ，( g ) ， w h e r et ( c ) i st h en u m b e ro fc o n n e c t e d c o m p o n e n t so fr ( g ) ，a n di fg i so fe v e no r d e r w ea l w a y sa s s u m e2i n7 f ! w ea l s od e n o t et h es e to fa l l t h ep r i m e sd i v i d i n gn b y ”( n ) w h e r eni san a t u r a lm u n b e r o b v i o u s l yi g j c 蛐b e e x p r e s s e da sap r o d u c to f d 2 1 ，m 2 ，r a t ( c ) ，w h e r em ii sap o s i t i v ei n t e g e rw i t h7 r ( r a i ) = 丌1 a l l 挑a r ec a l l e d t h eo r d e rc o m p o n e r t so fg l e to c ( a j = 5f 17 】；p s u 5 ( g ) 【1 8 i ；p s u ( 3 ，g ) ，q 5 【1 9 】，2 d d q ) 2 0 】；2 e d q ) 【2 1 l ；e d q ) 【2 2 】都能被其阶分量所刻 划。本文继续这一工作并证明： 定理3 1 设m = 2 d p + l ( 2 ) ，5 p 2 ”一1 ，如果g 是有限群并且o c ( c ) = o c ( m ) ，则g 垡m 定理3 2 设m = q ( 2 ) 如果g 是有限群并且o c ( c ) = o c ( m ) ，则g 垡m 定理3 3 设m = 2 b 。( 3 ) ，9s 礼= 2 “+ i p 如果g 是有限群并且 o c ( c ) = d g ( m ) ，则g 型m 定理3 4 设m = d 叶1 ( 3 ) 如果g 是有限群并且o c ( c ) = o c ( m ) ，则g 竺m 定理3 5 设m = d p ( 3 ) ，p 芝5 如果g 是有限群并且o c ( c ) = o c ( m ) ，则 5 g 垡m 定理3 6 设m = b 5 ) ，p 5 知果g 是有限群并豆o c ( g ) = o c ( m ) ，则 g 鬟m 定理3 7 设m = b p ( 3 ) 如果g 是有限群并且o c ( c ) = o c ( m ) ，则g 垒岛( 3 ) 或g ( 3 ) 定理3 8 设m = g ( 3 ) ，如果g 是有限群并且o c ( g ) = 0 g ( m ) ，则g - m b p ( 3 ) 或g ( 3 ) 并有推论， 推论3 1 设g 为有限群，z ( c ) = 1 ，m 是非a b e l 单群，n ( g ) 一( m ) ，并 且m 同构于下列单群之一，则g 翟m 一j2 c 钉1 ( 2 ) ，5 s p 2 “一1 i f 矽q ( 2 ) j 例2 d n ( 3 ) ，9 s 站= 2 m + l p j 例m = 1 ( 3 ) i 倒m = q ( 3 ) ，p 5 i ，砂珥( 5 ) ，p 5 6 2主要引理殛其证明 引理2 1 删定理刃设g 是偶阶2 - f r o b c n i u s 群，则t ( a ) = 2 ，且g 有正规 列1 里t t 曼k 里g ，使得( k h ) = 丌2 ， r ( 日) u 口( a k ) = i f l ，l g k i | i a u t c k t t ) ， e l k 和n 日均为循环群特别地，l c k i l k h i ，g 可解且日和k h 分别是 和a h 的m 抛m 滥一孩， 引理2 , 2 脚l e m m a 印设t ( g ) 2 ，日是g 的正规以子群，则n ! 乳竹k i ( f 日一1 ) 引理2 3 艘唧t h e o r e ma 设t ( g ) 2 ，则g 的结构是如下之一- ( n f r o b e n i u s 辞筑2 - f r o b e n i 瑚黯；) 单辩lf c ) 单辩被轧辫纳妒张l 锄 仉群被单群的扩张；阳吼群被单群的扩张再祓仉群的扩张 引理2 4 。艘髟l e m m a 彩素圈不连通蝣偶所有限群苟任意正规妁研可分子群 都是幂零的， - 由以上两个日f 理有： 推论2 。1 m 是一个素图分支敷为粤的有限群，g 是一个有限群并且o c ( c = o c ( m ) 、则下列之一成立： f n jg 是一个f r o b e m u s 群或2 - f r o b e n i u s 群； r 存在g 的一个正规列1 璺h 9 k 蔓g 满足月是一个幂零的7 r 1 子群，k s 是一个非阿贝尔单群，m 的奇阶分量是k h 的一个阶分量，a k 是一个7 r l 辫 并且i a k f11 0 u t ( k h ) t 引理2 5 2 3 r e m a r k 方程p m 一矿= 1 的唾一解是3 2 2 3 = 1 ，这里p ，口是 素数，讯和n 都是大干的整数 引理2 6 廖酎设p 是一个素敷，髓是一个大干君的自然敷，则下列之一成立： f 砂n = 6 ，p = 2 或者n = 2 ，p + 1 是2 的方幂； 例存在p “一1 的一个素因子r 使得斗任意的小于n 自然薮m 都有r t ( 矿一1 ) 这样的r 叫作p “一1 的本原素因子 显然对矿一1 的本原索因子r 有r 十矿+ 1 以及r f p “一1 ( 其中11 仇2 ”) 引理2 7 孽“正e m m bu 设自然教九6 ，则至少存在8 ( n ) 个自然敷腓满足 7 ( n + 1 ) 2 2 或者r 2 就有 矿如1 i ( q “一1 ) 证明：严一1 一( 1 + 矿磅一l = 矿走+ ：2 谚妙血) 若8 = 0 ，即p 十t ，则显然有p l i ( 1 ) 若s 0 ，验证知矿“+ 1 f 钟铲寿j2 对3 1 s t 有岔( 矽哟t 业业掣矿七1 丽掣的标准分解式中p 的指数为跺l 哆s i - 1 如果pi lj 倒i - - 1 0 一j ) 则q p “中 p 的指数大于等于l + s + r i 一矗一1 j ；s + i ( r 一1 ) + 22r 十s + i ；如果p 十订；二沁一歹) 则isp ，磷矿中p 的指数大于等于s + 州一1 s + r + 1 故有：p ”。i i ( q “一1 ) 。 口 引理2 9 设q 1 是一个自然数，s = 丌：1 ( 矿一1 ) ，p 是一个素数。g 模p 的 指数为e ，旷= i + p r k ，p f k ，pj3 、则只要p 2 或者r 2 就宥3 的标准分解式中 p 的幂s p 2 或者r 2 ，故由引 理2 8 得昂：矿”器，1 p r 计奇 口器口 引理2 1 0 设q 3 是一个奇数，2i l 一1 ) ，s = 1 7 ：。( q 一1 ) ，则s 的标准分 解式中2 的幕s 2 2 【2 笋】一割 口n 证明t 因为s = n ：1 ( q 一1 ) = n 釜。，针j ( q j 1 ) n ：l ，z h ( 矿1 ) ，对2fj 有 2 ”( 矿一1 ) ，故2 l 孚n i ，搿( 矿一1 ) ；两对2 t ，令t ，= 9 2 ，则”模2 的指数为1 ， = 1 + 2 r k ，2 k ，显然有r 2 ，故由引理2 9 有n 翟1 , 2 1 i ( 酽一1 ) 一n 悖i = 1 i ( 矿一1 ) 中 2 的幂 g f 孔故s 2 q t n ； ( 3 ) 若1 8 st i , 墨2 1 熟f q 6 n ； 似，若n 等于j 疗或1 7 则， q s n ； 5 ) 若1 1 , 等于1 4 或1 5 融 q 证明t ( 1 ) 如果n 4 9 则由弓l 理2 7 知至少存在6 个素数m ( 1si 6 ) 满足 n 2 a 竹一1 ，又因为吲2 4 ，所以至少存在3 个素数砖满足以掣 硝 i n 2 1 在这3 个素数中至少存在两个不能整除竹，不妨设为砖和珐取 s = 1 7 , 6 _ - 。( 研酝与研麓b ) ，瞧。( 丽东b 丽髓) 砂 由于世乒 母o ( 2 ( 叫2 + 2 t ) 一4 ) + 2 j = o z ( n 4 + 2 j ) 一4 ) 口8 n 又因为n 2 a 扎一1 ，且鼽是奇素数，故对1s 2 t ts n 有慨，m ) = 1 进 一步出引理2 1 1 及其推论得( 庐一1 ，q ”一1 ) = g l ，( 矿一1 ，扩+ 1 ) f 国一1 ) ， ( 扩+ l ，q ” 4 - 1 ) i ( 叮- 4 - 1 ) ，( 庐+ 1 ，g m 1 ) l ( 口+ 1 ) ，所以，是c 的h a l l 因子在 ，的因式中f 导b ，雨轰等，( 虿捣嚏1 以及( 雨捣) 青爵爵互 索又因为觑十n ，所以p ；f 量l n 于是 ( 两盎知) 矛 ( 丽赢 学，并且 9 丽翻 丽铀 q 鼽 3 8 - 4 2 3 7 ，3 l ，2 9 ，2 3 。1 7 、l l， 目3 3 8 q “ 3 乒3 7 3 l ，2 9 ，2 3 ，1 9 ，1 7 ，1 3 ，1 1， q 3 4 6 产 3 2 - 3 4 3 l ，2 9 ，2 3 ，1 9 ，1 3 ，7 ，5 ， q 3 0 2 q 8 ” 3 0 _ 3 1 2 9 ，2 3 ，1 9 ，1 7 ，1 3 ，1 1 7 q 2 8 0 9 8 忭 2 嚣 2 3 ，1 9 ，l t l 3 ，l l ，5 ，3， g 捌 严 2 7 ，2 3 ，1 9 ，1 7 ，1 3 ，1 1 , 7 5，) q 瑚 q 8 “ 2 6 2 3 ，1 9 ，1 7 ，1 1 , 7 ，5， 口2 1 4 口“ 2 5 2 3 ，1 9 ，】7 ，1 3 ，1 1 , 7 ，3， q 2 1 。 产 2 4 2 3 ，1 9 ，1 7 ，1 3 ，1 l ，7， q 1 9 4 q 8 “ 2 3 1 9 ，1 7 ，1 3 ，儿，7 ，5 ，3， q 1 9 0 q 8 “ 2 2 1 9 ，1 7 ，1 3 。7 ，5 ，3， q 1 5 4 三q 7 ” 2 l 1 9 ，1 7 ，1 3 ，1 1 ，5， q 1 2 8 q 6 n 2 0 1 9 ，1 7 ，1 3 ，11 ，7 , 3， q 瑚 口6 “ 1 9 】7 , 1 3 ，1 1 ，7 ，5 ，3， 9 1 q 6 “ 1 6 1 7 1 3 ，l l ，7 ，5 ，3， 严 9 5 “i 1 5 l 1 3 ，儿，7， 严g 札i 1 4i 1 3 ，1 1 ，5 ，3 i ， q 6 0 q 4 “i 引理2 1 3 3 t e m m a l 4 设g 和肘都是有限群，t ( m ) 2 ，n ( g ) = ( 肘) ， 并且z ( e ) = l ，则l g i = j m i 引理2 。1 4 , 。 s l e m m , 1 1 彰设g 和m 都是有限群，( g ) = ( 肘) ，并且i gj = ) m i ，则o c ( g ) = o c i m ) 1 0 3 主要定理及其证明 在这一节里我们将依次对主要定理进行证明 定理3 1 设m = 2 卅1 ( 2 ) ，5 p 2 “一1 ，g 是一个有限群并且与m 具 有相同的阶分量，则g 皇m 证明t 因为m = 2 珥+ l ( 2 ) ，5sp 2 r a - - i ，所以m 的偶阶分量 t , i = 2 p 1 ( 垆+ 1 ) ( 2 叶1 + 1 ) n 簧( 2 蕊一1 ) ，奇阶分萤m 2 = 2 p 一1 下面我们将分步对该定理进行证 明 一、g 不可能是f r o b e n i u s 群或2 - f r o b e n i u s 群 1 - 如果g 是个f r o b e n i u s 群并且日是其f r o b e n i u s 核。k 是其p r o b e n i u s 补，则因这j x l 嚣1 ，故有i 丑 = m ， k ；= m , 2 由于p 5 ，故由引理2 ，6 知 2 2 1 ) 一1 存在本原素因子r ，取s s y f r ( g ) ，则i 母f | 2 叶1 + l ，并且研璺g ，则 由引理2 2 有l s r i 兰l ( m o dm 2 ) ，也就是说i s i = k ( 2 p 一1 ) + l 为自然数) ，并且 j 母j j2 p + 1 + 1 ，这显然是不可能的 2 如果g 是2 - f r o b e n i u s 群则由引理2 1 知存在正规列l 旦日璺g g 满足日 是幂零的n 子群，i k h i = m 2 ， g k f ( i k h i 一1 ) = 2 p 一2 ，于是2 卅1 + 1 | | 驯， 故类似于1 可以证明g 不可能是2 - f r o b e a i u s 群 由1 ，2 以及推论2 1 有t ( 1 ) 存在正规列l 璺日璺k 塑g ，使得k h 是单群，日和g i k 是7 r l 群，并 且舅是幂零嚣 ( 2 ) m 的奇阶分量是k h 的一个奇阶分量。这样t ( k h ) 2 ，进一步有k h 是文献 4 】4 中表f 1j 【4 l 中的某一个单群 下面我们根据文献f 4 l 中表【1 1 - 【4 1 继续定理的证明 二、k h 拳e 7 ( 2 ) ，肪( 3 ) ，a 2 ( 2 ) ，a 。( 4 ) ，2 a ( 2 ) ，2 岛( 2 ) ，2 f 4 ( 2 ) 。或者某一个零 散单群 由于5 sp 妒一i ，又根据文献f 4 】4 中表1 2 】一嘲知只有当p = 5 ，并且k h 垒j 4 ， o n ，切，b 或者r 时才有纠日的一个奇阶分羞等于g 的奇阶分量2 5 1 而 此蛄论攫到日本k u m a m o t oj o u r n b lo fm a t h e m a t i c s ，已同意发表见文献f 1 1 此时 ，o n ，l y ，b 或者t 的阶都不能整除1 2 d 8 ( 2 扎故k h 袋易c 2 ) ，西( 3 ) ， 2 ( 2 ) ，a 2 i 4 ) ，2 a 5 ( 2 ) ，2 垛( 2 ) ，2 玛( 2 y 或者某一个零散单群 三、k h 薯a 。 如果k h 笔厶，则2 ，一l = n ，砧一l 或n 一2 ，进一步有p 一1 ) ! 2i 1 4 。l l1 2 d 什1 ( 2 ) “由于p 5 ，故由引理2 7 知至少存在3 个不同的索数p l 满足 弘- 1 p i 2 p i ，但在f 2 0 “i ( 2 ) = 矿鼢1 ( 2 p + 1 ) ( 矿“+ 1 ) i _ l 等( 庐一1 ) ( 2 p 一1 ) 的索因子中至多存在两个r i 满足2 p - 1 2 p 一1 ，矛盾于( 2 p 一1 ) ! 2 | | 2 上) “l ( 2 ) i 四、k h 喾4 。如) 1 如果k h 皇a l ( 口) ，4c ( g + 1 ) ，则有扩一1 = 口或( g 1 ) 2 ，也就是垆一g ；1 或2 时1 一q = 1 ，矛盾于引理2 5 2 如果k h 型a l ( q ) ，4l 国一1 ) ，则有2 p 一1 = q 或( q + 1 ) 2 类似于1 有 2 一1 q 若2 p 一1 ；( g + 1 ) 2 ，则g = 扩。1 3 并且i k h l = i a l ( g ) 1 2 卧1 3 ，并且l g k f o _ ! , t ( k h ) j ：2 ，故有f g y k i 2 r + 1 ，j g t k tf k h 2 4 ( p + ”， 并且对任意的矿ig 都有卵2 p 一1 ，又由于i c k lj 冽 2 却+ ”，所以由引理2 9 有g 是2 的方幂，不妨设 q = 2 ，故( 2 一1 ) ( 2 7 1 ) = 2 p 一1 ，进一步有2 州= 2 ”p 一2 7 一驴4 - 2 ，当然有 ，：1 并且p = ，于是i g i k i 1 日：i g i i i k i h i = 型竺竺2 p 弼+ l - - 筮i 坠盟由于p 7 故 存在2 p + 1 1 的本原素因子r 又由引理2 6 知rf2 p ( 卅1 ) ，2 n 磐( 2 + 1 ) ，显然这是 1 2 不司船的 i i 当= 5 时，由于q 一1 f p 7 1 ，故g = 3 或2 显然q 3 ，而若q = 2 ，则有p 也为5 ，所以i g i k i 1 日i = i g i i i s 2 3 ”“由引理2 9 有g 是2 的方 幂y 1 7 i i 为p 7 i i ，故有q 3 掌 石豸专三 历= ( 2 9 1 ) 加 2 于是有 q 3 2 p 又= c g 1 ) ) ，口一1 ) 2 p q ( f f ，q 一1 ) + ，q 1 ) + 1 ，故有 一g ( ，q 1 ) + ( 矿，g 一1 ) + 1 兰o ( m o d9 3 ) 但一口( ，口一1 ) + ( p ，q 1 ) + 1 2 3 ( y + ”，这样类似于矿1 1 时可得出矛盾 i i i 当= 5 且( 5 ，q 1 ) = 1 ，则q 4 + 口3 + 口2 + g = 2 p 一2 ，显然q 不舷为偶数。不 妨设g s 2 k + 1 ，故0 兰( 2 k + 1 ) 4 + ( 2 k + 1 ) 3 + ( 2 詹+ 1 ) 2 + ( 2 k + 1 ) = 2 p - 2 兰2 ( r a o d 4 ) ， 矛盾当p = 5 且( 5 ，口一1 ) = 5 时，类似地可以导出矛盾， i v 当p j = 3 时，有雨书蔷知= 2 p l ，这样口2 s3 - 2 p q 一4 3 - 2 p 2 m 针”， 有i a 2 ( g ) i = 矿( q a 1 ) ( 矿一1 ) 叮b 2 1 a o “- ”，所 以t p + 1 因为i g k fl 0 钍t ( k 日) f = 2 ( 3 ，q + 1 ) - t 2 时1 i 当5 时，有一+ 1 兰g 耐 2 a ”，由引理2 9 有q 为2 的方幂且 一= g 妒+ 2 芦一q 一2 ，故一q 一2 三o ( m o d 妒) ，这显然是不可髓的。 i i 验算知不可能为2 或3 2 着k h 笺2 知一l ( g ) ，则雨着面+ 镯i = 2 1 显然有口p ， 2 p “ i 当p 7 27 时，若，口+ 1 ) = 1 则类似于1 i 可导出矛盾若，g + 1 ) = p f ， 一样可以得出g 为2 的方幂且口，= q 2 p + p 2 p 一g 一一1 进一步有 一- 口- p 一1 三0 ( r o o d2 p ) 但由雨= 2 p 一1 有g 2 p a 且 2 p 2 ，所以 i 一，一q 一，一1 l 2 p ，矛盾 i i 当= 5 时，若f 5 ，g + 1 ) = 1 则矿口3 + 矿一g = 2 p 一2 显然口不能为2 的方 幂，故q 为奇数，不妨设为2 k + l ，但此时0 兰( 2 k + 1 ) 4 - ( 2 k + 1 ) 3 + ( 2 七+ 1 ) 2 一( 2 k + 1 ) = 妒一2 三2 ( r o o d4 ) ，这不可能 若( 5 ，口+ 1 ) = 5 则( 口5 + 1 ) ( q + 1 ) = 5 t 2 9 5 ，当p 2 3 时有与笋 5 + 1 ) ( q 十1 ) = 5 妒5 ，所以矿 1 0 - 2 p 又f k h = 口1 0 玎羔2 ( 矿一f 一】) i ) q 2 4 ( 1 0 2 p ) 6 i g k lll o u t ( i c 日) f 5 - 0 + 3 ) 2 ，所以f c k | _ i 叫h i 2 0 6 5 2 + 3 ) ，2 印 2 a ”， 1 4 矛盾于引理2 9 七，k h 篝z k ( 譬) 。 1 如果k h 垒印( 5 ) ，一5 ，则( 5 p ，一1 ) 1 4 2 一1 ，5 v = 2 卅2 3 2 升1 ，所 以加。1 2 4 i ) l 矛盾于引理2 9 2 类似于第六步2 可以证明k h 喾印( 3 ) 或珥，+ 1 ( 3 ) 八、k h 喾e 8 ( g ) ，e 6 ( 口) ，f 4 ( q ) ，2 岛( 口) 或2 f 4 ( q ) 1 如果h 望昂( g ) ，则( q 6 + q 3 + 1 ) ( 3 ，o 一1 ) = 2 p 一1 ，于是q 9 2 叶1 ， q 3 6 2 4 “由引理2 9 知g 是2 的方幂，不妨设为2 ，于是有尹+ 2 3 r 一3 2 p4 或者妒一2 ，显然这是不可能的 2 类似于1 可证k i h 警e 8 ( 口) ，日( g ) ，2 晶( g ) ，2 f 4 ( g ) 或2 c 2 ( q ) 九、g h 喾2 岛( g ) ，g = 2 2 h 1 ， 如果k i h 掣2 8 2 ( 口) ，q = 2 钛“，则2 9 1 = 口土、丽十i 或口一1 如果 2 p l = 9 士 写+ 1 ，则o i g 土以虿= 2 p 一2 ；2 ( r o o d4 ) ，矛盾如果2 p 一1 = g 一1 ， 则q ：2 p ，l g k i 1 日l = 型! 巴塑地葛筹坦二望型，类似于第四步4 i l 可推出矛 盾 十、k u 掌2 g 2 ( g ) ，q = 3 2 + 1 ；k h 喾g 2 ( 口) ；k h 喾3 d 4 ( q ) 1 ，如果k h g 6 r 2 ( g ，3i 吼则妒一1 = q 2 4 - + 1 ，q ( q 士1 ) = 2 ( 驴一1 ) 设 q = 3 r ，则由引理2 8 有2 3 r 一1ip 一1 ，2 ( 妒一1 ) 2 p 1 2 23 “1 3 3 1 ，当r2 3 时有2 ( 2 v 。一1 ) 3 3 r 9 3 q 2 士q ，矛盾容易验证r 不能为1 或2 类似地可以 证明k h 掌2 g 2 ( q ) ，q = 3 ”+ 1 2 如果k h 竺g 2 ( n3 q + l ，则2 p l = q 2 + q + t ，q 2 2 p ，因此 j g ( q ) f = 9 6 ( 9 2 1 ) 2 ( 9 2 一q 十1 ) ( 矿+ g + 1 ) 9 1 4 2 7 p 又f c k ffi o u t ( k h ) i 2 ， 所以l c k l i 日i 2 3 p 2 2 7 ( p + ”， 于是由引理2 9 有g 是2 的方幂或者3 的方幂，显然这是不可能的类似地可以证 明k h 喾3 z 矗( 口) 十一、由第一步到第十步以及推论2 1 知k h 同构于2 d t 。( g ) 中的某一个 1 如果i ( i h 竺2 d n ( 3 ) ，他= 2 十1 不是素数，则( 3 ”1 + 1 ) 2 = 2 p 一2 ， 3 n 一1 + 3 = 2 p ，显然这是不可能的 2 如果k h 型2 d f ( 3 ) ，5 2 舛2 ， 妒f + 1 ) 2 4 ”，矛盾于引理2 9 3 如果k i h 望2 d 。( q ) ，4 墨n = 2 2 ，则( 矿+ 1 ) ( 2 ，q 一1 ) = 2 一1 显 然q 不能为2 的方幂，故有q n = 2 p + 1 3 ，当 4 时得q n ( ”1 ) 2 3 ( 纠- ”，矛盾 于引理2 9 如果n = 4 ，由于q 不是2 的方幂，故为奇数，不妨设为2 2 + l ，有 1i ( 2 l + 1 ) 4 = 2 p 一3 三5 ( r o o d 8 ) ，矛盾 4 如果k i h 鲁2 c ( 3 ) ，5t e q p = 2 + l ，则2 p 一1 = ( 3 p ，以+ 1 ) 2 或 ( + 1 ) 1 4 ，也就是2 p + 1 3 = 1 或2 p + 2 5 = ，无论哪一种情况都有 2 p + 1 ， 3 p 一1 ) 2 4 0 + ，矛盾于引理2 9 5 如果k t z , - j2 0 v + l ( 2 ) ，35 = 2 一l ，则2 p 一1 = + 1 或+ 1 + 1 ，显 然这是不可能的 现在我们有z , ：h 鲁2 岛，+ l ( 2 ) ，5 2 一1 ，这榉2 p l = 一1 ，进步有 p = p ，g k = l ，h = 1 所以g 型m ，定理证毕口 1 6 定理3 2 如果m = g ( 2 ) ，g 是有限群且与m 具有相同的阶分量。则g 同松 千m 证明，因为g 与肘有相同的阶分量，所以g 的偶阶分量m l = 2 矿( 矿+ i ) n 譬( 炉一1 ) ，奇阶分量m 2 = 2 p 一1 一、g 不可能为f r o b e n i u s 群或2 - 1 砖- o b e n i u s 群 1 如果g 是一个f r o b e n i u s 群并且日是其f r o b e n i u s 核，耳是其f r o b e n i u s 补，则因为i k i f h i ，故有i = m - ，i i = m 2 当p 7 时，由引理2 6 知2 却一1 存在本原素因子r ，取母5 分f r ( q ，则i 品fi 矿+ l ，并且s 宴岔则由引理2 2 青 j s j 三l ( m o d ”砭) ，也就是说j 鼻j = k ( 2 v 1 ) + 1 ( 奄为自然数) ，并且i 母ii2 p 十1 ，这 显然是不可能的 容易验证p = 2 ，3 或5 时g 不可能为f r o b e n i u s 群 2 如果g 是2 - f r o b e n i u s 群则由引理2 1 知存在正规列1 9 h 塑k 里g 满足日 是幂零的7 1 子群，i k h = m 2 ， c k ( i k hj 一1 ) = 2 v 一2 ，于是妒+ l 日1 故类似于1 可以证睨g 不可能是2 - f r o b e n i u s 群 由1 ，2 以及推论2 1 有： ( 1 ) 存在正规列1 宴日璺k 翼g ，使得k h 是单群，日和c i k 是7 r l 群，并 且日是幂零群 ( 2 ) 肘的奇阶分量是k h 的个奇阶分量，这样t ( k h ) 2 ，迸一步有k h 是文献1 4 】中表f 1 】- f 4 ) 中的某一个单群 下面我们根据【4 】中表f lj _ f 4 j 继续定理的证明 二、k h 喾e 7 ( 2 ) ，岛( 3 ) ，a 2 ( 2 ) ，如( 4 ) ，2 如( 2 ) ，2 e b ( 2 ) ，2 嗣( 2 ) 或者某个零 散单群 1 当p = 2 时，在上述单群中只有a 2 ( 2 ) 有个奇阶分量等于3 ，前i a 2 ( 2 ) if i q ( 2 ) j 2 当p = 3 时，在上述单群中有如( 2 ) ，a 2 ( 4 ) ，2 a 5 ( 2 ) ，肘玉， ，如，h s 食有 个等于7 的阶分量面2 如( 2 ) ，拟玉，以，五，h s 的阶都不髓整除岛( 2 ) 的阶当 k h 譬a u ( 2 ) 时有f a k lf o u t ( k h ) l = 2 ，于是有口的个s y l o w - 5 子群& 的 阶等于5 ，且岛璺g 故由引理2 2 有5 i l ( m o d7 ) ，矛盾同理可证驯日警a 2 ( 4 ) 1 7 3 类似于2 可以证明p 不熊为5 或者7 ，而当p 1 1 有g 的奇阶分量大于上 述单群中的任一奇黔分量、 三、k h 芒a 。 如果k h 掣a 。，刚2 p 一1 一n ，n - 1 或n - 2 ，避一步有( 矿一1 ) ! ，2 f i a 。f g ( 2 ) f 当p 5 时，由引理2 7 知至少存在3 个不同的素数a 满足2 v - 1 p 2 p 一1 ，但 在l c p ( 2 ) = 矿n 墨1 ( 2 瓠1 ) 的紊因子中至多存在两个n 满足2 p q r i 2 4 ”，并且对任意的p ，ig 都有鲐妒一1 又因为j g k f f k h 2 3 p ，所以由引理2 9 有q 是2 的方幂，不妨设口= 2 ， 】8 故( 2 一1 ) 1 2 一1 ) = 2 p 1 ，进一步有2 叫= 2 r + p 一2 一2 p + 2 ，当然有r = 1 并且 p = ，子是i g k i f 嚣f = i g i i k h f = 型! 竺9 p 4 毯- 1 - - 趔1 当p 7 对存在1 一l 的本原素因子r 又由引理2 6 知r 2 p i j , + 1 ) 2n 昌，显然这是不可能的 i i 当一= 5 时，由于g