（电路与系统专业论文）嵌入式小波图像编码算法研究.pdf

摘要 图像压缩是通过去除图像中的各种冗余来实现的。经典的图像编码技术主要依 据图像本身固有的统计特性进行压缩，现代图像编码方法不局限于信息论的框架， 充分利用人的视觉生理、心理和图像信源的各种特征，可获得更高压缩比和更优良 的重构图像质量。 小波分析理论是分析非平稳信号的有力工具，基于小波变换的图像编码在低码 率编码情况下具有更好的率失真特性，能够产生质量可分级的嵌入码流，在图像压 缩领域得到了广泛的应用，并且已经成为某些图像压缩国际标准( j p e g 2 0 0 0 ) 的重 要环节。提升小波是构造第二代小波的关键技术，与传统的小波变换相比，它不依 赖于傅立叶变换、计算简单、时间和空间复杂度低且易于实现，为小波图像编码注 入了新的活力。 基于小波变换的e z w 、s p r i t 压缩算法具有优良的压缩性能，系统实现难度 低，对目前的小波图像编码产生了重要影响。但它们未能充分利用小波系数分布特 点，随着压缩比的增加，会引起编码效率的下降；另一方面，没有考虑人眼视觉特 性( h v s ) ，在一定程度上影响了图像的复原质量。如何在高压缩比条件下得到较 好质量的复原图像，是研究的一个重要出发点。 嵌入式编码中排序算法的优劣极大地影响整个编码算法的效率。本文主要研究 嵌入式小波图像编码，重点对s p i h t 算法进行深入分析和研究，针对算法中存在的 不足，提出一种改进的图像编码算法，并从理论上分析了改进算法的性能。改进的 图像编码算法采用提升小波变换，结合人眼视觉特性( h v s ) ，并对s p h - 1 t 算法的 分集排序过程进行优化。 改进算法的优点在于：采用提升小波提高编码速率，且利于硬件实现；给不同 子带小波系数赋予不同的视觉权值，保证优先传输视觉上最重要的系数，进一步提 高图像复原质量；更充分地利用了小波系数分布特点，迸一步去除了码流中的冗余， 提高了编码效率。仿真结果表明，本文提出的改进算法是一种高效的图像压缩算法， 在提高算法压缩性能的同时仍有满意的图像复原质量。 关键词：图像压缩；嵌入式编码；提升小波；人眼视觉特性；s p i h t a b s t r a c t i m a g ec o m p r e s s i o nc a l lb er e a l i z e db yr e m o v i n ga l lk i n d so fr e d u n d a n c yi ni m a g e c l a s s i c a li m a g ec o d i n gt e c h n o l o g ym a i n l yb a s e d0 1 1t h ei n h e r e n ts t a t i s t i c a lp r o p e r t yo f i m a g ei t s e l f m o d e mi m a g ec o d i n gm e t h o dd o e sn o tl i m i tt ot h ei n f o r m a t i o nt h e o r yf i m n e , b ym a k i n gu s eo fh u m a nv i s u a lp r o p e r t ya n dt h ec h a r a c t e r i s t i ci ni m a g e , i tc a no b t a i n h i g h e rc o m p r e s s i o nr a t i oa n dg e t sb e t t e rs u b j e c tv i s u a lq u a l i t yo f r e c o v e r yi m a g e n 帕w a v e l e ta n a l y s i st h e o r yw a st h ep o w e r f u lt o o lo fn o n - s t e a d ys i g n a la n a l y s i s w a v e l e t - b a s e di m a g ec o d i n gh a v eb e e nw i d e s p r e a da p p l i e di ni m a g ec o m p r e s s i o nf o r h a v i n gb e t t e rr a t ed i s t o r t i o nc h a r a c t e r i s t i ci nl o wb i tr a t ea n dc a np r o d u c ee m b e d d e db i t s t r e a mo f q u a l i t y - g r a d e d , i th a sa l r e a d y b e c a m ei m p o r t a n tp a r to f i n t e r n a t i o n a ls t a n d a r d s ( j p e g 2 0 0 0 ) f o ri m a g ec o m p r e s s i o n l i f t i n gw a v e l e ti st h ek e yt e c h n o l o g yt oc o n s t r u c t s e c o n d - g e n e r a t i o nw a v e l e t c o m p a r i n gw i t ht r a d i t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m , i td o e sn o t r e l yo nf o u r i e rt r a n s f o r m ，b e i n ge a s yf o rc o m p u t a t i o n , h a v el o wc o m p l e xi nt i m ed o m a i n a n ds p a t i a ld o m a i n ，a n di se a s yt or e a l i z ef o rw a v e l e t - b a s e di m a g ec o d i n g w a v e l e t - b a s e de z w 、s p 强r ra l g o r i t h mh a v ei m p o r t a n ti n f l u e n c et ot h ep r e s e n t w a v e l e t - b a s e di m a g ec o d i n gf o rh a v i n gg o o dc o m p r e s s i o np e r f o r m a n c ea n db e i n ge a s yt o r e a l i z e b u tt h e yh a v en o tb e e na b l et om a k ef u l lu s eo fd i s t r i b u t i o nc h a r a c t e r i s t i co f w a v e l e tc o e f f i e i n n t , c o d i n ge f f i c i e n c yw i l ld e c r e a s ea l o n gw i t ht h ei n c r e a s i n go f c o m p r e s s i o nr a t i o o nt h eo t h e rh a n d , n o tc o n s i d e r i n gt h eh u m a nv i s u a ls y s t e m ( h v s ) w i l la f f e c tt h eq u a l i 哆o fr e c o v e r yi m a g e h o wt og e tg o o dv i s u a lq u a l i t yu n d e rh i g h c o m p r e s s i o nr a t i oi sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hp o i n t 硼地s o r t i n gp a s se x t r e m e l ya f f e c tt h e e f f i c i e n c yo fe n t i r ec o d i n ga l g o r i t h m 强et h e s i sr e s e a r c ho ne m b e d d e dw a v e l e t - b a s e d i m a g ec o d i n g , m a i n l ya n a l y s i st h es p ta l g o r i t h m , i nv i e wo ft h es h o r t c o m i n go ft h e a l g o r i t h m ，p r o p o s e da nm o d i f i e da l g o r i t h m , a n da n a l y z e dt h ea l g o r i t h mp e d b 衄a n c e t h e o r e t i c a l l y t h em o d i f i e da l g o r i t h mu s e sl i f l s n gw a v e l e lb a s e do nh u m a nv i s u a ls y s t e m , a n do p t i m i z e ss o r t i n gp a s so f s p i t 硼1 cm o d i f i e da l g o r i t h mh a sm e r i t ：l i f t e dw a v e l e tt r a n s f o r mi su s e dt oe l t h a n c e c o d i n gs p e e da n di se a s yt or e a l i z e ；w a v e l e tc o e f f i c i e n t si ne a c hs u b b a n da r ew e i g h t e db y d i f f e r e n tv a l u et om a k es u r et r a n s m i tm o s ti m p o r t a n te o e f f l c i e n tf o rv i s u a lf i r s t ；m a k i n g f l l nu o fd i s t r i b u t i o ne h a r a e t e r i s t i co f w a v e l e tc o e f f i c i e n tc a nl _ e ：j m o v em o r er e d u n d a n c y i nb i ts t r e a ma n de n h a n c e sc o d i n ge 伍c i e n c y 1 1 s i m u l a t i o nr e s u l ts h o w st h a tt h e m o d i f i e da l g o r i t h me n h a n c e sc o m p r e s s i o np e r f o r m a n c ea n da l s oh a sg o o dr e c o v e r y i m a g eq u a l i 够 k e yw o r d ：i m a g ec o m p r e s s i o n ；e m b e d d e dc o d i n g ；l i f t i n gw a v e l e t ；h u m a nv i s u a l c h a r a e t e r i s t i c ；s p i h t 硕士擘位论良 m a $ t e r st h s i $ 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 每等而 日期：w 年月7 1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：鸯翠雨 日期：神年月i 日 谁餐乱芝? 畦 h 喊叩年删日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童i 佥塞握奎厦澄卮i 旦坐生；旦= 生；旦三生蕉查l 作者签名：每孕莉 日期：御年月j 7 日 导师戳菇艿邑 日期- 叩年i 月日 硕士学位论文 m a s 1 e r st h e s i s 1 1 引言 第一章绪论 图像信息是人们生活中信息交流的重要载体，数字化后的图像数据量非常巨 大，这给图像的存储和传输带来很大医难。而对海量数据进行压缩，以压缩形式存 储和传输是解决这一问题的行之有效的办法。 从信息论的角度讲，图像作为一个信源，其数据是信息量和信息冗余量之和。 图像中主要存在视觉冗余、空间冗余、时间冗余、结构冗余、知识冗余、信息熵冗 余等几类冗余。图像编码，即图像压缩，就是在保证一定重构质量的前提下，通过 去除图像中的各种冗余，以尽量少的比特数来表征图像信息。 1 2 图像压缩编码概述 从1 9 4 8 年提出的电视信号数字化到现在，图像编码己经有近6 0 年的历史了。 经典的图像编码技术以信息论和数字信号处理技术为理论基础，出发点是消除图像 数据的线性相关等统计冗余特性，如预测编码、方块编码、矢量量化编码】【2 】、熵 编码、变换编码等，相应产生的j p e g 3 j 、m p e g 1 1 4 、m p e g - 2 5 1 、h 2 6 1 6 1 及h 2 6 3 1 7 1 等编码国际标准已经获得了很大的成功。但经典图像编码方法也存在不可克服的缺 陷：其一、它忽略了信息接受者的主观特性和主观意义；其二、它撇开了图像本身 的具体含义、重要程度。正是这些缺陷导致了这些图像，视频压缩标准在低码率下出 现严重的性能损失。 8 0 年代后期以来，随着小波变换理论、分形理论、人工神经网络理论、视觉仿 真理论的建立和发展，人们突破传统的信源编码理论，提出了“第二代图像压缩编 码方法”。第二代图像编码方法，充分考虑了信息接收者的主观特性、图像信息的 具体含义和重要程度，以消除图像内容冗余为目的，极大地提高了图像的压缩比， 是目前一个较为活跃的研究领域弘1 1 9 1 。比较有代表性的有分形编码【1 0 1 】、模型基编 码f 1 2 l 、基于神经元网络的编码【1 3 】【1 4 1 【1 5 1 、子带编码【1 6 1 和小波变换编码 2 3 。1 1 等方法。 现代编码方法的特点是：充分考虑人的视觉特性，恰当地考虑对图像信号的分解和 表述。在相同的比特率条件下，现代编码方法比经典方法处理后的重建图像在主观 质量方面有显著的改进；或者是，在重建图像的主观质量大致相当的条件下，现代 方法的压缩比是经典方法的几倍至几十倍。 硕士学位论文 m a s t e r 。s t h e s i s 小波分析理论是分析非平稳信号的有力工具，它给图像提供了一种有效的表示 方法【1 ”，特别适合按照人类视觉系统特性设计图像的压缩编码方案。与传统的基于 分块d c t 变换1 1 8 ，1 9 l 的图像编码相比，基于小波交换的图像编码在低码率编码情况 下具有更好的率失真特性，能够避免分块d c t 变换编码中出现的方块效应和振铃 噪声i 刎。除此之外，它具有渐进传输的码流特征，能够在单一的码流结构里同时实 现质量可分级和分辨率可分级的功能。 1 9 8 9 年s m a l l a t “l 将多分辨率分析思想应用于小波变换理论，提出了“m a l l a t 算法”，为小波在图像压缩领域的应用起了很大促进作用。s w e l d a a s 和d a u b c e h i e s 等学者于九十年代中期提出了种新的小波构造方法，即提升格式【2 习。与传统的小 波变换相比，它不依赖于傅立叶变换、计算简单、时间和空间复杂度低且易于实现， 被称为第二代小波变换。提升小波的提出为小波图像编码注入了新的活力。 1 3 小波图像编码的发展现状 近年来，基于小波变换的图像编码吸引了国际上众多研究者的目光，他们提出 了很多重要的编码方法1 2 3 3 l 】。 早期的小波图像编码技术只是利用了变换编码的思想，即利用小波变换将图像 分解为统计特性不同的成分，针对不同的成分进行优化的标量量化或者矢量量化， 然后进行优化的比特分配，最后进行熵编码吲m 】嘲，达到了优于传统压缩算法的性 能。其中，l e 砸s 和k n o w l e s 最早提出利用树结构来对小波系数进行编码1 2 习，但是 却并没有利用零树的特征进行开发，仍然围绕系数的分布符合拉普拉斯分布，设计 最佳标量量化器，对每个零树进行量化，使得算法压缩的图像主观质量较好，但压 缩性能却与压p g 基本相当。 s h a p i r o t 硐发展了零树的思想，提出了零树数据结构的新方法来表征小波系数分 布的空间自相似性，并于1 9 9 3 年提出了嵌入式零树量化编码e z w ( e m b e x t d v d z e r o t r e ew a v e l e t ) 算法，并获得极大成功。e z w 充分利用了小波变换的空频局部化 特性，具有编码效率高、嵌入式码流结构和运算复杂度低等显著特点，对图像编码 的研究起到了显著的推动作用瞄3 3 1 。e z w 算法中采用了零树和逐次逼近量化利 用零树结构能够有效地表示非显著小波系数的位置，而逐次逼近量化能够有效地实 现码流的嵌入特性，通过零树和逐次逼近量化相结合，形成了一个高效的嵌入位平 面编码方法。 受e z w 思想的启发，许多学者开始开发小波变换系数特有的组织结构特点， 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e $ 1 5 提出了一系列为小波变换所特有的编码方案。在s h a p 油工作的基础上，s a i d 和 p e a r l m a n 于1 9 9 6 年提出了基于分层树集合分割捧序的s p i h t ( s e tp a r t i t i o n i n g h i e r a r c h i c a lt r e e s ) 【2 刀算法，s p i h t 算法是e z w t 2 6 j 算法的改进，该算法发展了零树 的基本思想，采用集合分裂和显著性排序原则，使其在编码效率方面比e z w 有了 很大的提高，而且还保留了e z w 实现简单、码流具有嵌入特性等优点，是零树编 码方法中最有代表性的种方法。 s p i h t 算法虽然压缩性能不错，但算法在搜索排序过程中不得不保存三个列 表，所需内存较多。为了解决这一问题，w i c l i n 和n b u r g r e s s 提出了更利于硬件 实现的l z c ( l i s t l i s sz e r oc o d 器) f 2 川算法，l z c 算法相对于s p i i - i t l 2 7 】算法的优势在于 在编解码过程中不需要列表，取而代之的是用两个标志位图( f l a gm a p ) 来存储树信 息，简化了原s p i h t 算法，降低了内存需求量，但该算法却在一定程度上降低了编 码器性能。 一般认为，小波变换中的父子相关性是基于树的编码方法具有优越编码性能的 原因。而许多研究结果表明，树编码方法的高效性更多的是依赖于小波变换的能量 压缩性质，而不是变换系数相关性的性质嗍。许多基于块的编码方法，如a g p 2 9 1 、 s p e c k p o l 等，利用子带内菲显著小波系数的聚集特性，进行块分裂编码获得了高效 的编码性能。1 9 9 8 年i s l a m 和p e a r l m a n 提出的基于块结构的编码方法，称为集合分 裂嵌入块小波编码s p e c k ( s e tp a r t i t i o n i n ge m b e d d e db l o c k ) 闭】。s p e c k 继承了 s p 瑚t 集合分裂和显著性排序的两个重要思想，不同的是，s p e c k 在子带的块中进 行集合分裂，分裂的具体形式为四叉树分裂( q u a a t r p a r t i t i o n i n g ) ，此外，s p e c k 还使用了倍频带分裂( o c t a v eb a n dp a r t i t i o n i n g ) ，充分利用了小波系数的能量衰减特 性，可以进一步提高编码效率。s p e c k 算法的复杂度比s p i h t 更低，是制定 j p e g 2 0 0 0 标准时的一个侯选算法。 总的来说。无论是树编码方法还是块编码方法，都利用了逐次逼近量化、集合 分裂、显著性排序的编码原则。大多数的树编码方法和块编码方法，如上面所提到 的豳玑s p i h t 和s p e c k ，都能够产生质量可分级的嵌入码流，但不支持分辨率 可分级和区域随机访问功能，原因是这些编码方法均利用了跨子带的处理方法，但 放弃跨子带处理却带来编码性能的明显损失。1 9 9 8 年t a u b m a n 提出了优化截断嵌 入块小波编码e b c o t ( e m b e d d e db l o c kc o d i n gw i t ho p t i m i z e dt r u n c a t i o n ) p “。 e b c o t 将子带划分成编码块，对每个码块进行独立编码产生嵌入码流，它在获得 比s p m t 更高编码性能的同时，能够在单一的码流里实现质量可分级、分辨率可分 级和区域随机访问等丰富的功能。因此，e b c o t 被i s o 采纳作为j p e g 2 0 0 0 的基 项士掌位论文 m a s t e r st h e s i s 本编码方法( 翊。 虽然e b c o t 能够获得很多优越的功能，但它的系统结构复杂，运算量大。与 e b c o t 相比，e z w 、s p i h t 等嵌入式编码算法结构简洁，系统实现难度低，在许 多应用场合里为了降低实现的难度都采用了这些算法，它们在图像存储应用领域占 有重要的位置 3 6 1 ，对目前的小波变换图像编码产生了重要的影响。 1 4 研究的关键问题及意义 嵌入式小波图像编码支持渐进式传输，可以在任意点停止编码，能严格满足目 标码率或目标失真度要求。这样，采用嵌入式编码就能对码流进行精确控制，一旦 编码失真或编码码率达到要求，就可以随时停止编码过程，非常适用于图像的渐进 传输、图像浏览和因特网上的图像传输。在现有算法中，s p i h t 算法性能优良且算 法结构简洁，采用算术编码的s p i h t 压缩性能与e b c o t 接近，但s p i h t 复杂度 更低更易于实现，极具应用前景。 但s 删t 算法也存在缺点，主要有： ( 1 ) 基于m a i l t 算法的小波交换过程需要引入大量的卷积操作，使得计算复杂 度偏高，不利于硬件实现和图像的实时压缩 3 7 1 ； ( 2 ) s p i h t 算法虽然有效地降低了均方误差( m s e ) ，但由于m s e 仅仅是视 觉失真的粗略描述，而s p i h t 算法未充分考虑人眼视觉特性( h v s ) ，故在一定 程度上影响了图像复原质量( 特别是在低比特率情况下) 。因此，如能在图像压缩 编码时充分利用人眼视觉特性，在扫描时优先传输视觉上的最重要系数，将能提高 图像复原质量。 ( 3 ) 嵌入式编码的核心问题是小波系数的排序及其按序传输，s p i h t 算法在 捧序小波系数和按序传输小波系数时，未能充分利用小波变换的能量聚集性，在所 产生的码流中，不重要位信息占相当大的比例，会引起编码效率的下降。 如何在低比特率的情况下，仍得到较好质量的复原图像是研究的一个重要出发 点。如能结合现有技术，对上述不足从各方面加以改善，将进一步提高s p 玎算法 的性能，具有重要现实意义本文所做工作正是基于这几方面展开的 1 5 本文主要内容及章节安排 本文在研究嵌入式小波图像编码的基础上，重点对s p i h t 算法进行深入分析和 研究，针对算法中存在的不足，提出一种改进的图像编码算法。改进算法主要包含： 4 硕士肇位论文 m a s t e r st h e s i s 对原始图像进行提升小波变换；结合人眼视觉特性，给不同子带小波系数赋予不同 的视觉权值；利用优化分集捧序的改进s p h t 算法进行压缩编码。实验结果表明， 本文提出的改进算法是一种有效的图像压缩算法，在提高算法压缩性能的同时仍有 满意的图像质量。 本文的章节安捧如下： 第一章是绪论部分，主要叙述了研究的背景及意义，并简要介绍了小波图像编 码的发展现状。 第二章主要介绍小波分析的基本理论。介绍了连续小波变换和离散小波变换、 分辨率分析和小波分解与重构的快速算法m a l l a t 算法，最后给出了图像的小波 分解。 第三章对小波提升方法作了较为详细的介绍。介绍了提升方法的基本原理、提 升方法的分解和重构过程以及传统小波的提升实现。 第四章主要讨论嵌入式小波图像编码算法。给出了小波变换编码的基本框架， 分析怎样利用小波系数的分布特点，对系数进行组织和嵌入式编码，重点对e z w 、 s p i h t 两种嵌入式小波编码算法进行了分析研究，并比较分析了算法性能的优缺点 第五章提出了一种改进的图像压缩编码算法。通过对原始图像进行提升小波变 换、结合人眼视觉特性( h v s ) 、使用改进s p i h t 算法等措施，获得更好的压缩性 能。 第六章是对本文的总结和展望，讨论了可以迸一步研究的方向。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章小波分析基础 小波变换图像编码是当今图像压缩编码领域中的研究热点，而小波分析理论作 为小波变换压缩编码的前提和基础，近年来成为众多学科共同关注的热点，它已经 广泛应用于图像分析、图像编码、模式识别、语音编码、地震信号分析等众多科学 领域。在许多使用传统傅里叶分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析优于 傅里叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，由于对图像信 号的高频成分采用逐渐精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细 节。小波分析的这一特点，使得它特别适合于对信号奇异点的分析，被誉为数学显 微镜 小波变换能够有效的改变图像的能量分布，使其能量主要集中在少数低频系数 上，大部分商频系数只占很少的能量，同时不损失原始图像的能量信息；另外，小 波交换还能够去除图像的全局相关性。目前，小波变换图像压缩已经引起了普遍关 注，基于小波变换，人们提出了许多高性能、多用途的图像编码算法。 2 1 傅里叶变换到短时傅里叶变换 傅里叶变换是众多科学领域( 特别是信号处理、图像处理、量子物理等) 里最 重要的工具之一在信号分析中，对信号的刻画一般采用两种最基本的形式，即时 域形式和频域形式。傅里叶变换能较好地刻画信号的频域特性。 傅里叶变换定义为： ，( m ) = i 厂( t ) e 一”出 ( 2 - 1 ) 傅里叶逆变换定义为： 1 一 ，( f ) 2 去j 二f ( 功矿埘d m ( 2 2 ) 傅里叶变换的实质是将时域的信号分解成不同频率的正弦波或余弦波的叠加， 这样就可以把对原函数f ( t ) 的研究转化为对其变换系数，( 吐，) 的研究。傅里叶变换 能较好地刻画信号的频域特性，但它几乎不提供信号在时域上的任何局部信息。为 了用傅里叶变换研究一个模拟信号的频谱特性，必须提供时域中该信号的全部信 息，甚至包括将来的信息。如果一个信号在某一时刻的一个小的领域中发生了变化， 那么整个谱就会受到影响。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频 6 顾士荦位论史 m a s t e r s t h e s i s 域局部化矛盾【3 钔。 为了解决这一问题，1 9 4 6 年g a b o r 提出短时傅里叶变换( s t f t ) 的概念1 3 9 】， 引入时域上的局部频率参数，在一个时间窗内分析时域信号。其基本思想是【3 8 】：把 信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时 间间隔存在的频率。 短时傅里叶变换定义为： g ，( 峨力= f ( t ) g ( t - r ) e - l d t ( 2 - 3 ) j 称式( 2 3 ) 为窗1 3 函数g ( t ) 的窗口傅里叶变换或g a r b o r 变换。 短时傅里叶变换虽然可以描述菜一局部时段上的频率信息，但是其定义的窗函 数的大小和形状均不随时间、频率的变化而变化。对于我们要分析的非平稳信号来 说，要获得信号高频成分信息，就需要使用很窄的时问窗口进行分析，而要获得信 号的低频成分信息，需要较宽的时间窗口进行分析。因此，对一个时变的非平稳信 号，短时傅里叶变换不能达到此目的，我们很难得找到一个“好的”时间窗口来适 合不同的时间段，因为窗函数本身不具备这种“弹性”。所以迫切需要在理论上与 方法上创建新的时频分析技术，以满足信息处理的发展，小波分析的思想正是在这 一需要的基础上逐渐产生的。 2 2 小波变换 2 2 1 小波基函数 所谓小波( w a v e l e t ) ，即存在于一个较小区域的波，小波函数的数学定义是： 设矿( f ) 为一个平方可积函数，即矿( f ) rn 口，若其傅里叶变换缈徊) 满足条件 纠昏 ( 2 棚 那么称y ( f ) 为一个基小波或母小波函数，并称式( 2 哪是小波函数的容许条件。 母小波函数有以下性质： ( 1 ) 小：由妒( f ) e z ( r ) ， 工陟( f ) 陋 慨震 称儿j ( f ) 为参数为a 和b 的小波基函数。 2 2 2 连续小波变换 设，( f ) 是平方可积函数( 记作厂( f ) r ) ) ，则几) 的连续小波变换定义为 ，( 口 6 ) = 去上，( f 妒( 等弘= ( 厂( f ) 知) ) ( 2 甸 若( f ) 为实值函数，则( 2 - 6 ) 成为 扣6 ) ：去工州吐等弘= ( m 嘣r ) ) 式中。口作为尺度因子，其作用是对基本小波进行伸缩。口越大，y f 三1 愈宽，a 越 小，缈f 三1 愈窄，三与角频率出等价，改交口，则改变小波变换的时域分辨率。6 称 口 口 为平移因子，其值可正可负，( 6 ，口) 称为时间一尺度参数，用作能量的归一化。 、，口 公式中口和b 均取连续变化的值，因此称为连续小波变换( c w t ) 。小波变换 是一个时频联合分析的工具，其时频特性如下： 口增加，国降低，妒f 三1 展宽，时域窗变宽，能够观测更长时间区间，同时多( 口0 0 口， 变窄，在频域能够观测更窄的频域窗，且频率中心向低频移动。这相当于对于 低频情况，小波变换对时间看得更粗些，对频域看得更细一些。 4 减小，出增大，y f 三1 交窄，时域窗变窄，观测更短时间区间，同时多( 口国) 变 宽，观测更宽的频域窗，且频率中心向高频方向移动。对于高频情况，小波变 换对时间域看细一些，对频域看德粗些。 硕士学位论文 m a s l r st h e s i s 这是数学显微镜的能力，小波变换具有时频自适应的性质，丽短时傅里时交换 不具备这样的自适应性，它们的时频平面分辨率示意图如图2 1 、图2 2 所示。 图2 1 短时傅里叶变换的对频窗 图2 2 小波变换的时频窗 2 2 3 离散小波变换 在利用小波变换重构信号的应用中，常采用离散化处理。这里的离散化都是针 对连续的尺度参数a 和平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。 通常尺度参数a 和平移参数b 的离散化公式分别取作a = 和6 = 勋玩，则对 应的离散小波函数妒。( r ) 可写为 吩。( f ) = 矗l t - k a ：o b o j = a o 南( 班勋o ) ，七z( 2 8 ) 信号f ( t ) 的离散小波变换定义为 ， 胛j ( ，j ) = ( 1 e o ，t ( f ) ) j( 2 - 9 ) = 工厂( f 耽。( o a t = 萨工，( f 妒( 础一k b o ) a t 2 3 多分辨率分析 多分辨分析又称为多尺度分析，它是建立在函数空间概念上的理论，但其思想的 9 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 形成来源于工程。其创始者s m a l t a t 是在研究图像处理问题时建立这套理论的， 它的基本思想是将图像在不同尺度下分解，得到不同尺度下图像分解的结果，然后 进行比较，从而得到一些有用的信息。从机器视觉的角度而言，单纯从灰度信息理 解一幅图像中的物体是很困难的，更重要的是图像中灰度的局部变化。为了能够较 好地理解一个物体，刻划这一局部变化的尺度应该与物体的结构大小相匹配。然而 在一般的图像中，需要理解的各种结构大小不同，因此不可能预先定义一个最佳的 分辨率来描述它们。为解决这一问题，在计算机视觉中采用了不同的分辨率来处理 图像中不同结构信息的方法，将图像在各种分辨率下的细节提取出来，得到一个拥 有不同分辨率，( - ，z ) 的图像细节序列，其中，分辨率时图像细节定义为：在分 辨率乃下对图像的逼近与在分辨率，。下对图像的逼近之差。这种多分辨率表示提 供了一种图像信息简单的分层描述，在不同分辨率下，图像的细节刻划了不同尺度 的结构。在租分辨率时，这些细节表示了大的结构信息提供了图像的近似描述，因 此，很自然地应该先分析这些信息，然后逐渐增加分析精度。这种由粗到细的分析 过程已经广泛应用在立体视觉匹配和模扳匹配中，并且表明与人眼的低级视觉处理 是很相似的。对于分辨率的层次划分，考虑到计算和推导的方便以及人眼的视觉特 性一般采用倍频程划分，即分辨率取值为2 。 多分辨分析的基本思想是引入了2 ( r ) 的一列渐增子空间族，从亭( r ) 的某个子 空间出发，构造小波函数，建立子空间的基底，然后进行伸缩变换把基底扩充到 r 俾) 中去。 定义：称满足下列条件的r 俾) 中的一列子空间 巧 。及一个函数伊( f ) 为一个 正交多尺度分析，记为( 巧 。，“啪： ( i ) 巧，e z ， ( 2 ) 厂( f ) 巧c 亭f ( 2 t ) l - 1 ， ( 3 ) n 巧= o ，u 巧。= r ( r ) ， j 乞zj e z ( 4 ) 妒( f ) k ，且 烈卜七) 。e z 是的标准正交基，称妒( f ) 是此多尺度分析的 尺度函数或父函数。 、 由条件( 2 ) 和( 4 ) 可知，对于任何) k ，有，l 古l 巧，且可得到函数 1 0 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 系 2 烈t t - k ) ，构成了巧的一组标准正交基。 ，t t z 下面推导如何由 巧 。构造空间r ( 足) 的正交分解r ( r ) = 。 由于巧巧，记是巧在中的正交补空问，即巧，= 巧+ ，上巧， j c z ，这样得到空间列 蝴，显然当m ，n z ，所开时，有呢上形，另外有： r j - , = r j + 乃= i + + l + = 珞2 + 印1 2 + 形“+ = ( 2 l o ) = ，+ 阡i ，+ 阡i 卜i + + 彤x i + 形， 令s 寸佃，得到： 2 曼 ( 2 _ 1 1 ) 令_ ，岭一，得到： f ( r ) = o ( 2 1 2 ) 称哆为尺度为_ ，的小波空间，巧为尺度为，的尺度空问由于乃是巧在e e r i e 交补，因此，也称巧在的细节空间 2 4m a l l a t 算法 m a l l a t 在著名的用于图像分解的金字塔算法( p ) 聊i d a la l g o r i t l n n ) 的启发下， 结合多分辨率分析，提出了信号的塔式多分辨分解与综合算法，常简称为m a u a t 算 法。 f ( t ) e l 2 ( r ) ，并假定已得到厂( f ) 在2 7 分辨率下的租糙像以厂巧， 巧) j , 2 构 成上2 ( r ) 的多分辨分析，从而有巧= 巧。o 。，即： 4 ，= 厶t ，+ 厂 ( 2 - 1 3 ) 式中4 厂= e 饥( f ) ，b 厂= q 。( f ) ，于是有 t 4 mk = - - o _ 饥o ) = q 。蝣。( f ) + 9 ，+ l 。 ( f ) ( 2 - 1 4 ) i - t l t 由尺度函数的双尺度方程可得：。，( f ) = h ( k - 2 m ) 十j ( f ) ，利用尺度函数的正交 性，有： ( w 屯，。) = ( 七一2 小) 同理由小波函数的双尺度方程可得： 约+ i i _ ，乜j = g 一2 掰) 由式( 2 一1 4 ) 、( 2 - 1 5 ) 署u ( 2 - 1 6 ) 立即可得： ，= 吼h 仲一2 m ) k - - - 。e 。，= g ( _ i 一2 m ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ( 2 一i s ) = h ( k - 2 m ) c j + , ，+ g ( k 一2 m 琢。， ( 2 1 9 ) 引入无穷矩阵h = 【以j 】：舢，g = 【q j 融一，其中以i = f ( 七一2 m ) ， 瓯j = g ( | 一2 m ) ，则式( 2 - 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 分别表示为： c i + l = ：h 吗c i 歹= o ，l ， ( 2 2 0 ) 和式q = h c + g + d ，j = j ，j 一1 ，l ，0 ( 2 - 2 1 ) 其中，g 分别是日和g 的共轭转置矩阵式( 2 2 0 ) 为m a l l a t 分解算法，m a l l a t 分解如图2 2 所示，式( 2 2 1 ) 为m a l l a t 为重构算法，m a l l a t 重构如图2 3 所示 c 0 马c 卜簟卫一c 3 q d 2d ， 图2 2m a l l a t 小波分解算法示意图 g 止q 正一q 卫一g 弋弋 d ld 2岛 图2 3m a l l a t 小波重构算法示意图 2 5 图像的小波分解 图像的小波分解是小波应用于图像分析和处理的基础，而图像的分析和处理都 1 2 是二维的，并且小波变换的本质是多分辨率分析或多尺度的分析信号，因此需要将 多分辨率分析从一维推广到二维的情况 设 巧i j e z 是r ( 月) 中的一个多分辨率分析，其尺度函数与小波函数分别为妒 和矿，则张量积空问 哆 ，其中哆= 巧。匕，构成三2 ( 盖2 ) 的个多分辨率分析，并 且其尺度函数驴( 工，y ) = 烈力烈y ) 。 令小波空间孵为呼空间的正交补，即哆。野= 瑶。 定义三个函数： f r ( x ，y ) = 缈c 刁矿o ，) 甲2 似y ) = 缈( 曲烈力 ( 2 。2 2 ) i 罗( j ，力= 妒( 功y ( y ) 则对于任意_ ，z ，函数系 l 乎免，( 五j ，) = 纺j 蚧，0 9 吆，伍力= 蚴，( 力 i 譬兹，瓴力= 玢j ( 力l f ，抽办 构成空间孵的规范i e 交基又因为哆。哆= 噶， ，i v = l ，2 ，3 ；j ，k ，m e z 是f f ( r 2 ) 的一个规范正交基 设厶，e 曙。，由哆。嘭= 瑶。可得，存在乃哆，勺孵有 i “= l l e l 利用级数展开可得 ( 2 - 2 3 ) 因此函数系 ( 2 - 2 4 ) 厶，协力= q m ，嘭m ， ：k , a le 。，嘭舳+ 谚。，q t ，1 。，+ 0 m 2 ，嗡。+ d ! ；，g 2 5 k , m 埘f 一一 类似于式( 2 2 0 ) 、( 2 2 1 ) 推导，可得如下二维分解与重构算法 q 如= i k 一，如 巧。，= 砒t ；一c ：，+ l 如 ，= i m 。石一。咖 砚，= 琵。邑。勺。 硕士肇位论文 m a s t e r st h e s i s e 小= 。颤。e 如+ 噍。靠。珥如+ 茎。k 。，+ 磊叫。，( 2 - 2 7 ) 如果我们把原始数据看作是一幅图像采样后的二维离散数据，则二维离散小波 变换对图像的分解则可看成是交替在水平与垂直方向上进行滤波和亚采样。其过程 如图2 4 、图2 5 所示： 勺+ - 行变换列变换 图2 4 二维m a l l a t 分解算法 列变换 行变换 哆 码 噶l 。 玛j 。 坞l 。 a 0 n l 。 图2 5 二维m a l l a t 重构算法 事实上，二维小波分解与重构算法是一维的