（基础数学专业论文）特征标表的零点个数与群的结构.pdf

特征标表的零点个数与群的结构 基础数学专业硕士研究生徐海静 指导教师张广祥教授 摘要 g 是一个有限群当g 的特征标表中零点个数很少时，可以期望g 的群论结构有很大限 制根据群的特征标表中零点的分布情况来确定群的结构的研究已有很多本文刻画了满足以 下条件之一的群： ( 1 ) g 的特征标表中每列至多有一个零点，此时称g 是v ( 1 ) 一群； ( 2 ) g 的特征标表中每列至多有两个零点，此时称g 是y ( 2 ) 一群； ( 3 ) g 的特征标表中每列至多p 个零点，其中p 为g 的阶的最小素因子，此时称g 是 y ) - 群 我们得到如下定理： 定理3 1g 是y ( 1 ) 一群当且仅当g 为以下三类群之一 以j g 为交换群； 俐g 为超特殊2 一群； 俐g = ho ( n 是一个f r o b e n i u s 群，其f r o b e n i u s 补日交换，f r o b e n i u s 核是初 等交换p - 群且l h i = i n i 一1 ， 定理3 2 设g 为有限可解群则g 是y ( 2 ) 一群但不是v ( 1 ) 群当且仅当g 为下列群之 ( 1 ) g = s 4 ； r 甜g 恰有两个非线性不可约特征标，这时g 为下列群之一： f 2 1 ) g 是超特殊3 一群 俾纠g 是f r o b e n i u s 群有交换的f r o b e n i u s 补日及初等交换的f r o b e n i u s 核且 2 1 h l = l n l l _ 侣印g = q so ( ( 7 , 3 磊) 是蜀r o b e n i u s 群有8 阶口元数群0 8 为f r o b e n i u s 补 侣钉g 是类为3 的2 - 群，有正规列g g 睁z ( g ) 1 ，且a z ( a ) 是超特殊& 群， j f g 。i = 4 ，i z ( g ) f = 2 偿圳g 是类为2 的肛群，有正规列g z ( c ) 争g 1 l ，且g z ( g ) 初等交换， i z ( g ) i = 4 ，i g l = 2 口础g z ( g ) ! ho ( n 是一个f r o b e n i u s 群，其f r o b e n i u s 补h 交换，f r o b e n i u s 核n 是初等交换p - 群且h = f n l 一1 ，z ( g ) ! 历，z ( c ) n g 。= l 定理3 3 设g 为有限不可解群则g 是y ( 2 ) - 群当且仅当g 型a 5 定理3 4 设g 是奇阶群，p - - m i n ( 7 r ( c ) ) 剐g 是y ( p ) 一群当且仅当g 为下列群之一： i ) g 为灸橇群| 例g 是超特殊p - 群； 例g = l o fg 是f r o b e n i u s 群，其f r o b e n i u s 核g 是初等交换q 一群，l 循环r 允许 p = g j ，且i d i = k l l + 1 ，k p 一个群称为m o n o l i t h 群当g 有唯一极小正规子群一个特征标x 称为m o n o l i t h 一特征 标当g k e r ( x ) 是m o n o l i t h 群记g 的全部不可约m o n o l i t h 特征标的集合为打r m ( g ) ，我 们知道i r r d v ) 对群的结构有很强的影响因此本文考虑满足以下条件的群： ( m 1 ) g 的m o n o l i t h 特征标没有公共的零点； ( m 2 ) g 的非线性不可约m o n o l i t h 一特征标中恰有两个有一个公共的零点，其余的m o n o l i t h 挣征标没有公共的零点 我们得到了下面的定理： 定理3 5 若有限群g 满足条件( m 1 ) ，则g 可解且d t ( g ) 2 定理3 6 若有限可解群g 满足条件( m 2 ) ，则d ! ( g ) 3 关键词：不可约特征标特征标零点特征标表 t h en u m b e ro fz e r o si n a n dt h es t r u c t u r e t h ec h a r a c t e rt a b l e o ff i n i t eg r o u p m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f g u a n g x i a n gz h a n g a u t h o r ：h a i j i n gx u ( $ 2 0 0 3 5 3 9 ) a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u p i ft h e r ea x ev e r yl i t t l ez e r op o i n t si nt h ec h a r a c t e rt a b l eo fg ， t h e nt h es t r u c t u r eo fgc a nb er e s t r i c t e d t h e r ew e r em a n yo u t c o m e sa b o u td e t e r m i n i n g t h es t r u c t u r eo ft h eg r o u pb yt h ed i s t r i b u t i o no fz e r op o m t si ni t sc h a r a c t e rt a b l e i nt h i s p a p e r ，w ec o n s i d e rt h eg r o u ps a t i s 印i n go n eo ft h ef o n o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 ) a tm o s to l l ez e r oi ne v e r yc o l u m no ft h ec h a r a c t e rt a b l eo ff i n i t eg r o u pq w es a y s u c hag r o u pi sy ( 1 ) 一g r o u p ； ( 2 ) a tm o s tt w oz e r o si ne v e r yc o l u m n o ft h ec h m a c t e rt a b l eo ff i n i t eg r o u pg ，w es a y s u c hag r o u pi sy ( 2 ) 一g r o u p ； ( 3 ) a tm o s tpz e r o si ne v e r yc o l u m n0 ft h ec h a r a c t e rt a b l eo ff i n i t eg r o u pg ( w h e r ep i st h em i n i m a lp r i m ed i v i s o ro fl g ) ，w es a ys u c hag r o u pi sv ) 一g r o u p ； w eg e tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e m3 1af i n i t e9 r o u pg sdy ( 1 ) g r o u p 栌a n do n l y 矿d n eo ，t h e ，d i l o w i n 9 o e e u r s f i j g i sa b e l i a n ； 2 ) gi sa ne x t r a s p e c i a l2 - g r o u p ； 3 ) g = h 。( ni s 8f r o b e n i u s9 r o u pw i t hk e r n e lna n dc o m p l e m e n thw h e r ehi s a b e e a na n dni s 。ne l e m e n t a r ya b e “a np g r o u pa n dl h = l n f _ 1 t h e o r e m3 2l e tgb eas o l v a b l ef i n i t eg r o u p t h e ngi snv ( 2 ) 一g r o u pb u tn o t 矿( 1 ) 一胛叩矿a n do n l yf ，o n eo ，肫e ，d l 如w i n go c c u r 3 ( 1 1 g = s 4 ； ( 2 ) gh a so n l yt w on o n l i n e a ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e r sr t h e no n eo ft h ef o l i o w i n go c c u r s 偿纠gi sa n 茁t m 印e “b f3 - g r a u p ； 2 2 ) g = h nj saf r o b e n i u sg r o u po le v e ro r d e rw i t hk e r n e ln a n dc o m p l e m e n t h ，w h e r e 日i sa b e l i a na n dn i se l e m e n t a r ya b e l i a na n d2 1 h i = i n i 一1 i 偿纠g = q 8 ( 磊磊) i sa a 爵- o b e n i u sg r o u pw i t hc o m p l e m e n tq s ； 偿圳gi sa2 - g r o u pw i t hn i l p o t e n tc l a s s3 ，a n dg h a sn o r m a ls e r i e s1 司z ( a ) 司g 司g ， w h e r ea z ( a ) i sa ne x t r a s p e c i a l2 - g r o u p ，i g + l = 4 ，1 z ( g ) i = 2 j 俾卅gi sa 兽g r o u pw i t hn i l p o t e n tc l a s s 幺a n dgh a sn o r 盯；耐s e r i e s1 , zg 1 司z ( g ) , zg ， w h e r ea z ( a ) i se l e m e n t a r ya b e l i a n ，l g 。i = 2 ，i z ( g ) 1 = 4 j 2 6 ) a z ( a 、= h n i saf r o b e n i u sg r o u pw i t hk e r n e ln a n dc o m p l e m e n thw h e r e hi sa b e l i a na n dni so ne l e m e n t a r ya b e l i a np g r o u pa n d1 日1 = l n l 一1 ，z ( a ) ! 忍a n d z ( c ) n g + = 1 t h e o r e m3 3l e tgb e 口n o n s o l v a b l ef i n i t eg r o u p t h e ngi sa 矿( 2 ) g r o u p 矿a n d o n l y 玎g ! a 5 t h e o r e m3 4l e tgb eag r o u p 。，o d do r d e r t h e ngi soy ( p ) - g r o u p ，a n do n l y 妒 o n eo ft h ei o l i o w i n go c c u r s 1 ) g 缸a na b e l i a n ； f gi s e x t r a s p e c i a lp g r o u p ； ( 3 1g = l gi s 口f r o b e n i u sg r o u pw i t hc o m p l e m e n tla n dk e r n e lgt w h e r eli s c y c l i ca n dg i sa ne l e m e n t a r ya b e l i a ng g r o u pa n dl i 南i 工1 + 1r 矗 lx i r r ( g ) m + ( 9 ) = ：l x i r r ( g ) ix ( g ) = 0 ) i ，表示g 的特征标表中g 所在列的零点个数 m ( g ) = ：m a x m ( g ) g g ，表示g 的特征标表中列上零点个数的最大值 f u l l y - r a m i f i e d 特征标：设里g ，口i r r ( n ) 是g - 不变的取x i r r ( g o ) ，x = 胡， 如果x 是i r r ( g 8 ) 中的唯一元，此时e 2 = j g ：n i ，我们就说x 和p 是关于g f u l l y r a m i f i e d 特征标 定义群的素图r ( g ) ：( 1 ) r ( v ) 以”( g ) 为顶点集；( 2 ) 若g 有p q 阶元，则p ，q 间用一 条边连接 ( a ，b ) 表示以b 为核以a 为补的f r o b e n i u s 群 其它群论符号参见【9 】) 群表示论符号参见【1 0 】及 1 8 4 2 预备引理 引理2 1 胆可l e m m a2 2 1 对g 的任意非主特征标【p ( 妒不能扩张到g ) ，令 = 坫妇) 为妒的稳定子群，则总存在耳的子群满足：妒可扩张到，且妒 到的每个扩张和l p 是关于，f u l l y r a m i f i e d 特征标 引理2 2 艘可命题3 2 掣若g 可解，且对v m 积( g ) ，m l ，g 至多有两个 维数为m 的不可约特征标，且若lc a i = 2 ，则g 为下列群之一： ug 型( z ( 2 ) ，z ( 3 ) ) 即s 3 功g ! ( z ( 2 ) ，z ( 5 ) ) 8 ) g = s 1 引理2 3 删定理若g 不可解，且只有两个非线性不可约特征标有相同的维 数，则g 同构于a 5 或p s r ( 2 ，7 ) 引理2 4 脾4 ，定理町若g 的国阶元最多有两个共轭类，则g 是下列群之一： a 。， = 5 ，6 ，7 ，8 别螈，n = 1 1 ，1 2 ，2 2 ，2 3 ；如；m d 剀p s l ( 2 ，口) ，q = 7 ，8 ，1 1 ，1 6 ，2 7 # ，p s l ( 3 ，3 ) ；p s i ( 3 ，4 ) ip s c r ( 3 ，g ) ，q = 3 ，4 ，5 ，8 js 缸( 4 ) ，( 8 ) 引理2 5 2 4 推论，设g 是单群若有某个p ( g ) ，g 无p 一亏零的不可约特 征标，则g 仅可能是：m t 2 ； 是2 ；4 ；如；t i s ；s u z ；r u ；c 1 ；伤；b m ；如 引理2 6 脾可定理皇5 可假设o = ( o t ，a 2 ，毗) 陕中0 1 2 a t ) 是正整 数n 的一个划分，妒i r r ( 岛) 是a 对应的s n 的不可约特征标 俐如果n 不是自对偶0 e f ，一a s s o c i a t e ) 的，则妒限制到a 。上不可约； 仞如果a 是自对偶的，则矿限制到a 。上是2 个不可约特征标的和 引理2 7 脾部定理2 3 j 刀假设a = ( a l ，叻，。t ) r 其中。l a 2 毗) 是正整 数n 的一个划分，a 所对应的晶的不可约特征标为妒则当d = m r 1 7 ) 供中 0 r n l j 时，x 。( ( 1 ，2 ，n ) ) = ( 一1 ) ，否则) ( 8 ( ( 1 ，2 ，n ) ) = 0 引理2 8 脚印定理卅群g 仅含一个非线性不可约特征标当且仅当下列条件之 一成立： g 是一个超特殊垂群 俐g = 日o ( n 是一个舟 o b e n i u s 群，其f r o b e n i u s 补日交换，f r o b e n i u s 核 5 是初等交换p 一群且i h i = 【n i 一1 引理2 9 艘印定理町若不可解群g 的特征标表中每行最多有两个零点，则g 为p s l ( 2 ，7 ) 或如 引理2 1 0 ，w 命题2 刀设g 是有限非交换群若每x x r r ( c ) 最多只在一个 共轭类上取零，则g 是以奇阶交换群为核，凸阶群为补的f r o b e n i u s 群 引理2 1 1 船鄙定理列群g 恰有两个非线性不可约特征标当且仅当以下条件之 一满足： 御g 是超特殊3 群 f 剀g 是f r o b e n i u s 群有交换的f r o b e n i u s 补h 及初等交换的f r o b e n i u s 核且 2 1 h l = i n l _ 1 例g = q 8 ( z a 历) 是f r o b e n i u s 群有8 阶四元数群。8 为f r o b e n i u s 补 “，g 是类为3 的垂群，有正规列g g 睁z ( g 玲1 ，且g z ( g ) 是超特殊凸 群，l g l = 4 ，i z ( g ) 1 = 2 俐g 是类为2 的孚群，有正规列g z ( g ) g 1 ，且c z ( g ) 初等交换， i z ( g ) l = 4 ，l g l = 2 g z ( g ) 2ho ( n 是一个f r o b e n i u s 群，其f r o b e n i u s 补日交换，f r o b e n i u s 核是初等交换p 一群且l h l = l n f 一1 ，z ( v ) = 邑，z ( c ) n = 1 引理2 1 2 删推论2 甜如果g 的每个共轭类长都是1 或是一个素数，则 ， l g f ( c ) i 和i f ( g ) 。i 都是j 或p 供中p 是素划且 俐g 或是幂零类小于等于2 的幂零群，或g z ( g ) 是p q 阶的f r o b e n i u s 群， 其中p ，q 是素数 引理2 1 3 艘哪定理印假定p 是一个素数，g 是p 群若z g 使得z 所在 的共轭类长是矿，则至少有6 0 1 ) 个非线性不可约特征标在z 上取零值 引理2 1 4 鹏甜定习吖设g 是有限群，1 n 司g 则g 是f r o b e n i u s 核为的 f r o b e u i u s 群当且仅当对每个1 口打r ( ) ，9 g 不可约 引理2 1 5 脾j ，定理研设q g 且l c d ( g i n ) l 2 则可解且d f ( ) l c d ( c i y ) 1 引理2 1 6 ，甜命题若g 可解，且l c d 。( g ) l = 2 ，则d f ( g ) ：2 引理2 1 7 艘吖引理口如果g 是个非交换群，则g 存在非线性不可约m o n o l i t h 特征标 6 引理2 1 8 甜定理，若有限群g 的所有非线性不可约特征标的维数互不相同， 则g 为下列群之一： ( 1 ) g 交换； 例g 是超特殊参群； r 鲫g 是有循环补的2 - t r a n s i t i v ef r o b e n i u s 群； g 是馏阶2 - t r a n s i t i v ef r o h e n i u s 群，以q 8 为补 引理2 1 9 艘w 推论町设p 为非交换的奇阶群g 的阶之最小素因子则g 的 所有非线性不可约特征标的重数均小于印当且仅当g 为以下两类型群之一： ( 1 ) g 是超特殊p 群； 例g = h k 是以初等交换g 一群k 为补的f r o b e n i u s 群，且l k 卜1s ( 2 p 一2 ) l h i 这里口也为i g 的素因子且允许g = p 引理2 2 0 以可推论，若g 不可解且g 的所有非线性不可约特征标的维数都是 素数的方幂则g ! s a ，其中a 交换，s f 如，p s l ( 2 ，8 ) ) 引理2 2 1 若有限群g 是矿( 1 ) 一群，则g g 证明：假设g = g ， 1 ，则g 不可解设g 有+ 1 个共轭类由条件矿( 1 ) ，g 最 多有k 个零点，另一方面由b u r n s i d e 零点定理g 的个非线性不可约特征标每个 至少有个零点，因此g 的每个非线性不可约特征标都恰有一个零点由引理2 1 0 知g 可勰，矛盾因此g d ， 引理2 2 2 设g 是可解群，n ，m 司g ，且m ，i g m i = p 取1 a m a f r r ( g i m ) ，那么对每) ( i r r l ( g n ) ，有奴i r r ( a t n ) 证明：若存在x o i r r ( a l n ) ，使a x o e i r r ( a l n ) ，则n k e r ( a x o ) ，即任意n n ，x o ( n ) = ( n ) 洳( n ) = ( x o ) ( n ) = ( a x o ) ( 1 ) = x o ( i ) ，故k e r ( x o ) ，矛盾引理得证 引理2 2 3 设g 是有限可解群，n 司g 对妒ei r r l ( g ) ，记肖g = z ( p ) = g i 妒( 9 ) l = 妒( ) ) ，取k m g ，使得l a m l = p ，取i g m el r r ( g t m ) 则 k e r ( a 妒) = ( 妒) ， 证明：因为l g m l = p ，因此对均g m ， ( g ) 是p 次本原单位根而= z ( v ) m ，因此i 妒( 9 ) l 妒( 1 ) ，进而l ( a 妒) ( 9 ) 1 = i ( 9 ) 妒( 9 ) i = i a ( 9 ) l 妒( 9 ) i = i 妒( 9 ) l 2 若g ，有非主不可约特征标0 可扩张刭) ( ，则对v i r r ( c c ) ，搬均为0 的扩 张，且有相同的零点因此根据条件y ( 2 ) ，i g g l 2 与假设矛盾所以g 的非 主不可约特征标均不可扩张到g 对每l g ，妒n r ( ) ，由引理2 1 及 1 0 】中定理 6 u 知对妒到的每个扩张0 ，存在唯一的g 的不可约特征标x ，使得【x 巩，o l o ， 且) ( 在g 一上取值为零因为g 满足条件y ( 2 ) ，所以妒到的扩张最多有两 个，即i f 2 也即是每1 a , 妒打r ( ) ，最多有g 的两个不可约特征标使得 【d ，纠0 ，且同时在g 一上取值为零 当g 作用到g j 的非主不可约特征标上的轨遭数3 时，任取其中的3 个轨道， 取l p l ，l p 2 ，协分别属于这三个轨道，则至少有3 个特征标x 1 ，x 2 ，x 3 打r ( g ) ，满足 【x i c ，归a 0 ，则) ( 1 ，x 2 ，x 3 在g u i ! 1 ；上取值为零，由条件v ( 2 ) 知g = u 。3 1 ； 困1 g ，ls2 ，所以i g g ， s4 若 g g ；= 4 ，则1 u r g i = 2 ，i = l ，2 ，3 因此对 每忧均对应g 的两个不可约特征标x t 。，) ( 。，且) ( i 。，x t 。均在g u k 上取值为零， i = 1 ，2 ，3 ，那么肯定存在g g ，的一个元，使得至少有四个不可约特征标在这一元上 取值为零，与条件v ( 2 ) 矛盾若i c c j = 3 ，则必有一个；= g r ，不妨设，= g ， 则x 1 满足f 1g f ，妒1 j 0 在g 一上取值为零而i = 2 ，3 时，1 。d l = 2 则1 p 2 对应g 的两个不可约特征标2 ，x 4 ，满足 x 2 ，妒2 】0 ，g ，妒2 】0 ，则x 1 ，x 2 ，4 都 在g 。上取值为零，与条件y ( 2 ) 矛盾 所以g 作用在g 的非主不可约特征标上的轨道数为1 或2 若恰有两个轨道， 取妒1 ，忱分别属于这两个轨道，这时1 g l 茎2 ，江1 ，2 如果有t 使i 。g i = 2 ， 不妨设1 。g j l = 2 ，则妒l 对应g 的两个不可约特征标x 1 1 ，x 1 2 ，满足汉1 1 g ，p 1 0 ， b ( 1 2 g ，妒1 0 取) ( 2 i r r ( g ) 满足b ( 2 ，忱】0 ，则x 1 1 ，x 1 2 ，) ( 2 都在g u ：1 。 9 上取零所以由条件y ( 2 ) ，g = u t 兰1 i 由于每i a l 2 ，因此i a l a l 3 若 1 a d f = 3 ，则f 。d f = 2 ，i = 1 ，2 但此时由于i a i d l = 3 ，且的非线性不可约特 征标都不能扩张到g ，则t k = 坫( 忱) = g ，i = 1 ，2 所以。= g ，与假设矛盾因此 1 。a l = 1 ，i = 1 ，2 ，则每个忱对应唯一的确j r r ( g ) 满足比g ，刚0 ，i = 1 ，2 那 么g 只有x 1 ，) ( 2 这两个非线性不可约特征标，得定理结论( 2 ) 若g 作用到g7 的非主不可约特征标上只有一个轨道，取妒属于这个轨道由 i d i 2 ，则最多有g 的两个不可约特征标使得 x g ，纠0 ，因此g 最多有两个 非线性不可约特征标若g 只有一个非线性不可约特征标，则g 是v o ) - 群若g 恰有两个非线性不可约特征标，得定理中结论( 2 ) 情形2i g g 。l = 2 此时g 的非主不可约特征标_ p ，要么可扩张到g ，要么俨j r r ( g ) 对i 妒i r r ( g ，) ，如果妒不能扩张到g ，则驴满足伊妒( 9 g g ) ，这时 伊) 组成 一个g - 轨道因为l p g i r r ( g ) 在g g 上取值为零，因此由条件y ( 2 ) ，满足条件 伊妒( g g g ) 的对( 妒，伊) 最多有两对因为g ，的非主线性不可约特征标不可 扩张到g ，所以上面的g 的特征标对中至少有一对为线性的 若这样的g 的特征标对只有一对，则必是线性的，设为( ，舻) 则d 只有这两个 非主线性特征标，即l d d l = 3 ，且d 的所有非线性不可约特征标均可扩张到g ，所以 由条件v ( 2 ) 可知g 每列至多一个零点否则，例如l ，加j m ( g ) ，曲z ( 。) = 出( z ) = 0 ，设1 ，她分别扩张到x 1 ，x 2 i r r ( g ) ，则x 1 ( z ) = x 2 ( x ) = x l ( x ) = x 2 ( x ) = 0 ，其中 1 。i r r ( g g ) ，与条件v ( 2 ) 矛盾所以由定理3 1 ，g 交换或只有一个非线性不 可约特征标，且l g i = 3 若g 非交换，g 只有一个非线性不可约特征标妒，且妒可扩张到g ，不妨设 x 一= 妒那么g 只有x ，叙，x g ( 其中1 g l r r ( g g 7 ) ) 这三个非线性不可约特征 标因为i g g i = 2 ，则炉( 1 ) = 2 若这三个非线性不可约特征标的维数全相等，那 么都是2 维的，l g = 2 + 1 2 = 1 4 ，l g i = 7 ，g7 交换与假设g 非交换矛盾所以这三个 特征标中一个是2 维的，其余两个维数相同，再由引理2 2 知g = s 4 ，得定理中的结 论( 1 ) 若d 交换，则1 g i = 3 ，1 g i = 6 , g = s a ，此时g 是v o ) 一群 下面看这样的特征标对有两对的情况设这两对特征标对为( ， 9 ) ，( 肛，矿) 若 1 0 两对都是线性的，则g 共有5 个线性特征标，所以i g i d i = 5 此时g 的所 有非线性不可约特征标都能扩张到g ，因此g 每列至多有一个零点否则，例如 庐1 ，如i r r ( g ) ，l ( z ) = 如( $ ) = 0 ，设l ，2 分别扩张到x 1 ，地h r ( g ) ，则叙l ( z ) = 自门( = x i ( z ) = 勰( 。) = o ，其中1 g i r r ( g o ) ，与条件v ( 2 ) 矛盾所以由定理 3 1 ，g 交换或恰有一个非线性不可约特征标 若g 非交换， g 只有一个非线性不可约特征标仍且妒可扩张到g ，不妨设 x = 妒那么g 只有x ， 始 g ，p g ( 其中1 g f i r r ( g t g ) ) 这四个非线性不可约特 征标因为i g g i = 2 ，则 g ( 1 ) = 尸( 1 ) = 2 若它们的维数相同，那么维数是2 ， i g l = 2 + 4 4 = 1 8 ，lg ，i = 9 ，g 交换与假设非交换矛盾所以这四个特征标中两 个是2 维的，其余两个维数相同，那么由引理2 2 ，知这样的群不存在 所以g7 交换，g 只有a g , 肛g 这两个非线性不可约特征标，l g i = 1 0 ，g = z 2o ( z s ， 属于定理中第( 2 ) 类群 现只需考虑这两对中一对线性一对非线性的情况显然i i d = 3 设( p ，胪) 为 非线性特征标对，( ，舻) 为线性特征标对我们断言g 每列也最多有两个零点若g 只有芦，胪这两个非线性不可约特征标，断言当然成立若g 。除了肛，矿外还有其它 的非线性不可约特征标，则这些不可约特征标可扩张到g 那么g 的不同于肛，矿的 不可约特征标不能同时有两个在同一元上取零否则，例如咖- ，曲2 i r r ( g ) ，咖1 ( 。) = 也( z ) = 0 ，设l ，加分别扩张到x l ，x 2 i r r ( g ) ，则n ( z ) = x 2 ( z ) = x l ( z ) = x 2 ( x ) = 0 ，其中1 g i r r ( g g ) ，与条件y ( 2 ) 矛盾而对于( 肚，矿) 这一对非线性不可约特 征标来说，若存在框扯，矿，使得q ( 。) = 0 , x g 那么芦( 。) ，9 ( z ) 就不能同时为o 否则，p ( z ) = 矿( z ) = 0 ，则，( z ) = 0 设目可扩张到x ，所以叙( 。) = x ( 。) = 0 ，与条 件v ( 2 ) 矛盾，所以断言成立 因为i g 7 c ”l - 3 ，所以的非主不可约特征标口，要么可扩张到g 7 ，要么舻 r r ( g 。) 假设口i r h g “) 可扩张到卢i r r ( g ) ，且口( 。) = 0 ，那么f l ( x ) = ( 1 卢( ) = ( 2 卢( z ) = 0 ，其中厶i r r ( d g ”) ，t = 1 ，2 这与g 每列最多两个零点矛盾所以对每 q i r r ( c ”) ，有j r r ( ) ，且q g 。在g7 g ”上取零而每列最多两个零点， 所以g 。最多有两个非线性不可约特征标，即g + 只有肛，矿这