（载运工具运用工程专业论文）机器人通过奇异位形的精确轨迹控制方法研究.pdf

! ! 塞奎望查兰苎- 圭兰竺鲨兰 二 6 主0 6 2 薹 v 摘要 机器人奇异位形分析与控制一直是机器人学中的研究热点之一。由于机构奇异时 雅可比矩阵的行列式等于零，机器人运动学反解不存在，无法实现其轨迹控制，而采 用传统方法时，要么损失一些精度，要么偏离期望的轨迹，不能得到满意的效果。本 文以实现机器人通过奇异位形的精确轨迹控制为目的，对其运动学理论、求解算法、 求解模型作了广泛研究，提出了一些新的观点和方法，并将这些方法和思路应用到 m o t o a m n 机器入的试验中。具体内容包括以下几个方面： 用g r a s s m a m a 线几何方法分析了机器人机构奇异时关节轴线的线性相关性：剧 螺旋理论推导出了基于力螺旋和运动螺旋表示的反螺旋约束方程式：用零空间理论求 出了机器人奇异位形的反螺旋。 建立了机器人通过奇异位形的运动学控制模型。用反螺旋理论区分工作空间独 立参数和依赖参数，从而确定机器人操作器的可行运动和不可行运动：通过分离雅可 比矩阵线性相关的行和列，保证求运动学反解时，分离后的雅可比矩阵能实现求逆运 算。因此，该模型能保证机器人处于奇异位形时运动学反解的唯一性，使机器人在奇 异点得到精确的轨迹控制。 对m o t o m a n 机器人运动学进行了详细研究。通过建立m o t o m a n 机器人 运动学方程和构造m o t o m a n 机器人雅可比矩阵，得到了m o t o m a n 机器人产生 奇异位形的三个条件。 应用本文建立的模型，针对m o t o m a n 机器人七种奇异位形进行了仿真分析。 仿真结果表明，连杆位形运动是连续的，关节运动曲线和关节速度曲线在奇异位 形时比较平滑，没有产生突变现象，机器人在奇异位形时能实现预定的轨迹，说 明本文研究的算法是有效的。 完成了对m o t o m a n 机器人的样机试验。并将试验结果与仿真结果进行了 对比分析，结果表明，两者数据非常吻合，从而用试验验证了理论分析的正确 性，表明本方法能使机器人通过奇异位形的运动轨迹得到精确控制。 关键词：奇异位形，螺旋理论，零空间，线几何，轨迹控制 擀青，j 师 i = i 意 勃垒文公布 苎室銮望查兰竖圭兰垡丝苎 a b s t r a c t t h em a n i p u l a t o rs i n g u l a rc o n f i g u r a t i o na n a l y s i s a n dc o n t r o li so n eo ft h em a i n c o n c e m si nr o b o t i c s s i n c e t h ed e t e r m i n a n to fj a c o b i a nm a t r i xi s z e r oa t s i n g u l a r c o n f i g u r a t i o n s ，t h e k i n e m a t i ci n v e r s eo fam a n i p u l a t o rd o e sn o te x i s t ，s u c ht h a t t h e m a n i p u l a t o rp r e c i s et r a j e c t o r yc o n t r o li sn o t r e a l i s t i c w h e nt r a d i t i o n a lc o n t r o lm e t h o d sa r e u s e d ，am a n i p u l a t o rw i l l l o s ei t s o p e r a t i n gp r e c i s i o n o rd e v i a t ef r o md e s i r e dp a t ha t s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n s t h em a i nt a s ko f t h i st h e s i si st os t u d yan o v e lm e t h o df o rr o b o t p r e c i s et r a j e c t o r y c o n t r o la t s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n s t h es i n g u l a r i t y c h a r a c t e r i s t i c si s s t u d i e di nd e p t hf r o mt h ek i n e m a t i cp o i n to fv i e w , a n dan e wm o d e li sp r o p o s e df o r v e l o c i t yi n v e r s eo f a m a n i p u l a t o r a ts i n g u l a r c o n f i g u r a t i o n s a n e wc o n t r o la l g o r i t h mb a s e d o nt h en e wk i n e m a t i cm o d e li s i m p l e m e n t e da n de x p e r i m e n t s a r ec a r r i e do u tu s i n ga m o t o m a nr o b o t t h ed e t a i lc o n t e n t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： u s i n g g r a s s m a n nl i n eg e o m e t r ym e t h o dt oa n a l y z e j o i n ta x e sl i n e a rd e p e n d e n c ei n m a n i p u l a t o rs i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n s ；t h em a n i p u l a t o r c o n s t r a i ne q u a t i o n sa r ed e r i v e db a s e o nt h er e c i p r o c i t yo ft w i s t sa n dw r e n c h e s ；t h en u l ls p a c em e t h o di su s e dt oo b t a i nt h e r e c i p r o c a ls c r e w sw h e ns i n g u l a r i t y o c c u r s i i , an e wk i n e m a t i cm o d e li se s t a b l i s h e df o rm a n i p u l a t o rp a s s i n gt h r o u g hs i n g u l a r c o n f i g u r a t i o n s u s i n gr e c i p r o c a ls c r e wp r i n c i p l et od i s t i n g u i s hd e p e n d e n ta n di n d e p e n d e n t p a r a m e t e r s i n w o r k s p a c e ，s u c ht h a t t h e m a n i p u l a t o rf e a s i b l e m o t i o n sa n di n f e a s i b l e m o t i o n sc a r lb ei d e n t i f i e d ；t h el i n e a rd e p e n d e n tr o w sa n dc o l u m n si nj a c o b i a nm a t r i xa r e i s o l a t e di no r d e rf o rt h em a n i p u l a t o rk i n e m a t i ci n v e r s ea ts i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n sb e c o m e p o s s i b l e i nt h i sw a y , t h ev e l o c i t yi n v e r s eo fam a n i p u l a t o ra ts i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n si s u n i q u e l yd e f i n e d ，h e n c e ，t h ep r e c i s i o nt r a j e c t o r yc o n t r o lo fam a n i p u l a t o ra ts i n g u l a r c o n f i g u r a t i o n sc a l lb ei m p l e m e n t e d k i n e m a t i c so fam o t o m a nr o b o ti s a n a l y z e d i n d e t a i l s b ys t u d y i n g t h e k i n e m a t i c e q u a t i o n s a n dj a c o b i a nm a t r i xo fam o t o m a nr o b o t ，t h r e e s i n g u l a r i t y c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d o a p p l y i n g t h en o v e lk i n e m a t i cm o d e lt os i m u l a t es e v e n t y p e so fm o t o m a n r o b o t s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n s r e s u l t ss h o w t h a tt h er o b o t c o n f i g u r a t i o n sa r ec o n t i n u o u s ，a n da l s o t h a tt h ej o i n tm o t i o n sa r es m o o t ha n dt h ej o i n tr a t e sd on o ts u f f e rf r o ms u d d e ni n c r e a s e w h e nt h er o b o tp a s s i n g t h r o u g hs i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n s t h em a n i p u l a t o rc a nt r a c ka t r a j e c t o r ye x a c t l ya ti t ss i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n s n u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt od e m o n s t r a t e t h ef e a s i b i l i t yo ft h e a p p r o a c h t h e e x p e r i m e n t sa r ec a r r i e do u tu s i n gam o t o m a nr o b o t t h es i m u l a t i o na n d i i 北京交通大学博士学位论文 e x p e r i m e n td a t a a r e c o m p a r e da n d t h er e s u l t ss h o wt h a ta c c u r a t et r a j e c t o r i e st a i lb e o b t a i n e df o ram a n i p u l a t o rp a s s i n gt h r o u g hs i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n s ，t h e s ef u r t h e rc o n f i r m t h ef e a s i b i l i t yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d k e yw o r d s ：s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n ，t h et h e o r yo fs c r e w , n u l ls p a c e ，l i n eg e o m e t r y t r a j e c t o r yc o n g o l r i l 第一章绪论 1 1 奇异位形研究的背景及意义 工业机器人从上世纪6 0 年代问世以来广泛采用串联式的机构，这种机构是由 一系列构件通过旋转关节或移动关节组成的开式链系统，具有工作空间大和灵活 度高等特点，在焊接、喷漆、装配、搬运等领域获得了广泛的应用。 但当机器人处于特殊位形时，操作器在工作空间中不能实现沿任意方向的微 小位移或转动，机器人机构处于自锁状态或失控状态，此时的位形也称为奇异位 形。工业上可以利用机构的奇异性实现一些应用，例如用自锁点位置来保证飞机 起落架工作时的安全，以及冲压机构在接近极限奇异位置时开始冲压。但如果奇 异位形出现在机器人工作空间或所期望的运动范围内，这种奇异性将会消弱机器 人的工作能力，使机器人机构不能达到期望的位置 2 1 。 奇异位形是机器人机构固有的特性，它与机器人的运动、控制及精度等方面 的性能密切相关。对奇异位形的认识来源于对六自由度机器人求运动学反解时， 由于雅可比矩阵行列式值等于零，其逆矩阵不存在，因此基于雅可比矩阵的各种 求逆运算就失效了。这不仅影响了操作器完成预定的运动，也给机器人的控制带 来了困难，致使机器人运动控制和轨迹控制都无法准确实现，由此对有关空间机 构和机器人奇异位形的研究成为机器人学研究领域的热点之一 】。 当机器人发生机构奇异时，其表现形式分多种：奇异位形在代数学上表现为 雅可比矩阵奇异：几何学上表现为关节轴线线性相关；运动学上表现为操作器失 去一个或多个自由度；静力学上表现为一个或多个力螺旋对操作器不产生任何运 动影响 4 j 【5 i 。因此，可以从不同的角度对机器人奇异位形进行分析【6 1 ，从而产生 了多种控制机器人通过奇异位形的方法。 奇异位形有两种类型【7 1 【8 l ：第一类是边界奇异位形，它出现在机器人执行器 位于工作区的边界时，这种奇异位形并不特别严重，只要执行器远离工作区边界 即可。第二类是内部奇异位形，如出现在两个以上关节轴线发生线性相关时等， 这种奇异位形很难处理，因为它可能出现在工作区的任何位置，机器人操作器在 这种奇异位形附近的可操作性变差，并且极大地减少了机器人的可行区。 北京交通大学博上学位论文 当机器人运动到奇异位置时，产生的不良影响主要表现在三个方面f 9 m 1 ： ( 1 ) 使机器人实际操作自由度减少，从而使操作器无法实现沿着某些方向的 运动，同时减少了独立的关节变量数目。 ( 2 ) 某些关节角速度趋向无穷大，导致相应的关节驱动器损毁，引起机器人 失控，使操作器偏离了期望的轨迹。 ( 3 ) 使雅可比矩阵退化，从而所有包括雅可比矩阵求逆的控制方案无法实现。 因此，在保证机器人工作性能和运动精度的荫提下使其通过奇异位形是机器 人应用的关键技术之一，该问题的解决对扩大机器人的应用范围、提高操作精度、 灵活性和运动学及动力学性能都有着十分重要的实际意义。 控制机器人通过奇异位形吸引了众多国内外学者的研究兴趣，但以往的解决 方案常常以牺牲机器人运动精度作为代价，或采用使机器人绕过奇异位形的方 法，这些方法在一定程度上降低了机器人的工作性能并且限制了机器人操作器在 其工作空间中的活动范围和运动路径。因此控制机器人通过奇异位形的问题仍然 是机器人学中的一个具有挑战性的难题【1 3 】，也是本论文的主要研究任务和目标。 本课题的工作内容得到了国家自然科学基金资助项目“机器人通过奇异位形 的轨迹控制方法研究”的支持。 1 2 奇异位形的研究现状 i 2 1 求解奇异点的研究 在机器人轨迹规划中，由于机器人手臂的独立运动变量是关节变量而作业 通常是在直角坐标空间给定的，因而需要将机械手末端在直角坐标空间的运动变 换到关节空间的运动，所以常常碰到的是逆运动学问题。常用的反解策略是建立 机器人末端操作器位姿矢量和关节位姿矢量的微分运动关系，并由此求解实现末 端操作速度所必须的关节速度。通常这种微分关系是一一对应关系，然而当机器 人处于奇异位形时，这种关系不复存在，此时对于给定操作器的从关节空间映射 到工作空间的雅可比矩阵就变为奇异矩阵，即j a c o b i a n 矩阵行列式为零，其逆矩 阵不存在，因而无法求得它的运动学反解。为此需要将所有奇异点分离出来单独 进行处理。 北京交通大学博士学位论文 理论上寻找奇异位形的方法是令j a c o b i a n 矩阵行列式等于零，从而求解出操 作器在奇异点时对应的关节角度值。文献 1 4 1 就是用这种方法，对简单特殊的几何 机构推导出了它的奇异位形。文献把机器人分成臂部和腕部两部分，分别求 出手臂和手腕子系统的奇异，再通过子系统的奇异位形来确定机械人系统的奇 异，这是判断机器人奇异效率较高的方法。 然而当操作器的几何结构比较复杂时，这种直接方法就失效了，因为常常得 到的是复数解。为此，w a l d r o n 【l7 1 在1 9 8 5 年提出了另种方法，即通过把雅可比 矩阵转换到中间连杆坐标系中，得到一种简化的雅可比矩阵的解析形式。w a l d r o n 的方法对很多工业机器人来说是可行的，但它却是一种基于特定结构的方法， 不具有普遍性。h u n t 1 8 “9 1 在1 9 8 6 提出了一种更为一般的方法，这种方法运用螺 旋理论来分析机器人操作器的奇异位形，是一种有效的方法。j p m e r l e t 2 0 1 在1 9 8 9 年提出了一种能充分利用机器人自身几何特征的新方法，这种方法运用 g r a s s m a n n 线几何理论来分析并联机器人操作器的奇异位形，从几何的角度出发 形象、有效的分析了并联机器人操作器的所有奇异位形。文献2 卜2 3 】利用线几何方 法对p u m a 机器人的奇异位形进行了详细分析。 1 2 2 奇异位形时速度逆解求解算法研究 ( 1 ) 伪逆方法 伪逆方法也称p i ( p s e u d o i n v e r s e ) 方法，该方法是当机器人处于奇异位形时， 用伪逆矩阵j + 代替j a e o b i a n 矩阵来获得关节速度的近似解。p i 方法在6 0 年代由 m a y n e 2 4 1 首次提出，曾轰动一时，被认为弥补了在奇异位形时机器人轨迹规划的 缺陷。该方法优点是当j 矩阵为长方阵时仍能获得关节速度的近似解，缺点是在 奇异点附近从精确解转换到近似解时，p i 法会存在解的不连续性问题，从而降低 了机器人的操作精度陋2 。并且p i 方法以满足机器人末端速度解的精确性为条 件因此在奇异位形附近将产生关节速度的不可行解，特别是当伪逆矩阵j + 的逆 矩阵( j + ) 。为零时，仍无法对关节速度进行求解1 2 8 】，为解决此难点，鲁棒逆法 s r i ( s i n g u l a r i t yr o b u s ti n v e r s e ) 应运而生。 ( 2 ) s r i 方法 北京交通大学博士学位论史 由于机器人在奇异点附近，实现较小的操作器速度也要求非常大的关节速度。 为此，w a m p l e r l 2 9 埽口n a k a m u r a 3 0 1 在p i 方法中引入了阻尼因子k ，阻尼项的引入 可保证机器人在奇异点附近伪逆解的稳定性，保证机器人在奇异点附近获得连续 的可行解，因此称该方法为鲁棒逆法s r i ，但它是以牺牲关节速度的求解精确性 为代价的。 与p i 方法的不同之处是s r i 方法中引入了阻尼因子k ，而七值的大小决定着 伪逆解的稳定性和精确性。为在奇异点附近获得可行解，需要选择较大的k 值来 保证伪逆解的稳定性；而为了减少运动学反解误差，却需要选择较小的k 值来保 证伪逆解的精确性。因此两者之间k 值选取是相对立的。为在保证伪逆解稳定性 的前提下尽可能提高关节速度求解的精确性，许多学者在计算过程中提出了各种 优化阻尼项系数k 值的方法【3 2 1 。 n a k a m u r a 提出了一种自适应调整k 值的方法，即根据机器人接近奇异位姿的 程度适当调整k 值大小，使两者都获得比较满意的效果。该方法把机器人的可操 作性椭球作为j a e o b i a n 矩阵的奇异性指标，并定义机器人操作度为 c o = s q r t d e t ( j7 ( 目) j ( 目) ) 】，0 9 值越大，机器人越远离奇异点，奇异点时，值等 于零。而阻尼系数k 值作为珊的函数按照关系式做自适应计算。此后，许多学者 对、k 进行了不同的定义和取值( 3 3 3 6 1 。该方法的不足之处在于可操作性椭球并 不能准确反映j a c o b i a n 矩阵的病态程度，因此用它作为可操作性指标来衡量操作 臂的稳定与精确性有一定的缺陷。 f o r s y t h e 和m o l e r 3 1 在1 9 6 7 年指出，矩阵的行列式值对矩阵逆来说是毫无意 义的。比如一个的对角阵，主对角元素是1 和1 0 ”，它的行列式的值很大，但 是求逆时所产生的舍入误差超出了许可的范围，其计算精度很差。反之，若主对 角元素是1 和1 0 “o ，虽然其行列式值很小，但它求逆的计算精度很高。因此，评 价指标不应该基于j a c o b i a n 矩阵或者其转置矩阵的行列式值，而应该采用条件数。 基于此，a n g e l e s 和r o j a s t 3 7 】提出了根据j a c o b i a n 矩阵的条件数调整阻尼系数k 的控制策略。该方法把最小条件数k 的倒数定义为操作臂运动灵巧性指标k ，操 作臂运动灵巧性指标k 的范围为0 到1 0 0 ，当扣1 0 0 时，操作臂具有各向同性， 此时灵巧性最高，因此，设计机器人机械结构时，尽量使其最小条件数为1 。文 献口副给出了雅可比矩阵条件数的一个上界，并用作调整阻尼系数的依据，与直接 北京交通大学博士学位论文 计算稚可比矩阵的条件数相比，计算条件数上界避免了运动学反解计算过程中反 复进行矩阵奇异值分解。 c h a n 3 9 1 将操作器在工作空间的实际位置和目标位置的误差值作为阻尼因子 对其进行调整，并称其为误差阻尼法( e r r o rd a m p e dp s e u d o i n v e r s e ，e d p ) 。该方 法基于这样的事实，即在关节变动很小时，j a c o b i a n 矩阵通常毹给出所需关节修 正量的正确估计值，然而当关节变动很大时，关节修正量必须避免超调和在目标 点的振荡现象。接近奇异位形时，即使很小的关节变动也会产生很大的关节修正 量，因此在奇异点需要进行阻尼修正，特别是在奇异值很小的情况下，阻尼项产 生主要的作用。接近奇异点时，随着关节空间值的收敛速度加快，阻尼项的影响 会逐渐减弱。在奇异点时需要最小的阻尼值以保证解的可逆行，以及限制条件数 和数值误差量的大小。 在s r i 方法中，引入了阻尼因子来调节运动学逆解的准确性和可行性，使机 器人在奇异位形时j a e o b i a n 矩阵的逆仍然存在。这种方法的关键问题是选择合适 的阻尼因子值，许多文献是围绕优化选择阻尼因子和改善计算性能而论述的 4 0 - 4 2 。然而这种阻尼解导致了可行运动在奇异位形时产生位置和方向误差，从而 破坏了轨迹控制的准确性。因为它忽视了这样一个事实，即在奇异位形时，由于 机器人失去了一个或多个自由度，但仍然强迫它去完成6 自由度的工作任务，这 是机器人产生偏差的主要原因。 ( 3 ) 限制最大速度法 该方法针对腕部奇异位形，通过识别任务空间的奇异方向来区分机器人执行 器的不可行运动，使机器人在可行运动方向上获得精确解，而在不可行运动方向 上其关节速度不至于太大。 a b o a f 和p a u l 4 3 1 发现机器人在实际应用中，如电焊、喷漆等作业时，工具的 位置精度比位形精度重要的多，保持精确的位置精度，牺牲一些位形误差，可以 使关节速度不超过结构限制。便以六自由度p u m a 机器人腕部奇异为例，提出了 限制最大关节速度的方法。该方法通过限定关节速度的极大值，保持了机器人末 端位置的精确性，并且满足了关节速度解的连续性，但相应会产生位形误差，且 该方法只适应于腕部奇异位形，缺乏通用性。j o h ne l l o y d 和v i n c e n th a y w a r d 4 4 通过限制各个关节速度和加速度的值，研究了一种具有鲁棒性的轨迹发生器。它 北京交通大学博士学位论文 通过插值方法能使轨迹路径接近最短距离，并且能处理各种奇异位形。 c h i a v e r i n i 和e g e l a n d 4 5 1 提出了机器人在奇异位形时通过区分独立运动和相关 运动，使执行器在可行运动方向上通过j 矩阵的伪逆计算获得精确解，在不可行 运动方向上通过插值运算获得近似解。在接近奇异位形时，为了避免关节速度超 出限制范围，在每个奇异位形附近定义了一个限制区域，将该区域作为不可行区 域，区域外为可行区。这种方法的缺点是必须区分独立运动和相关运动，从而增 加了一定的难度。 综上所述，这些方法倾向于雅可比矩阵在奇异位形处失秩时，找到较为理想 的运动学反解，但由于这类方法所得到的总是近似解，所以不可避免的引入了位 置或者方向误差。 ( 4 ) 反螺旋方法 反螺旋方法在分析各种机构的机器人处于奇异位形时特别有效。在反螺旋理 论的应用中，b a k e r 4 6 】在分析二自由度机械手的相对运动基础上，用反螺旋方法 判定了机构的几种特殊位形：k s u g i m o t o 和j , d u f f y 4 7 】推导了几种常见机器人机 构的特殊位形，对处于特殊位形附近手部的运动情况进行了研究，并给出了一些 计算实例和运动曲线，之后，他们又用各螺旋内积构成的g r a m m i a n 矩阵作为判 别矩阵，分析了空间单闭环机构和串连机器人的特殊位形，并指出机构将失去沿 反螺旋( 力螺旋) 方向的运动：h u n t 4 8 1 讨论了反螺旋螺距不为零时存在的运动螺 旋应满足的约束，并应用螺旋理论分析了串联机器人机构的特殊位形，用奇异的 j a c o b i a n 矩阵余子式解释特殊位形的实质，后来，他又用螺旋理论分析了多指多 自由度机械手的特殊位形；w a n g 4 9 1 提出了求与已知反螺旋相逆的运动螺旋和确 定其参数的循环递推算法；j w b u r d i c k l 5 0 1 分析了3 r 机器人的特殊位形，并导出 了由运动副组成的具有任一连杆参数机构的特殊位形的递推算法，这种算法不需 要求解j a c o b i a n 矩阵的各元素或其行列式，并易于确定特殊位形时的螺旋轴：黄 真i 5 ”等人研究了反螺旋和机构转动轴线之间的关系，讨论了不同的几何空间下螺 旋的最大线性无关数，分析了不同反螺旋带来的不同约束及相应的允许运动，并 用反螺旋理论分析了线几何的相关性，发展了g r a s s m a n n 理论。l w t s a i 【5 2 用反 螺旋分析了并联机器人机构的雅可比矩阵：h a o 5 3 1 等人用螺旋理论分析了空问并 联机构的线性奇异条件。 6 北京交通大学博士学位论文 c h e n i s 4 1 把物体受外力作用下力螺旋的线性相关条件，创造性地应用于机器人 机构的奇异位形分析上，研究了两个力螺旋和三个力螺旋线性相关时相应6 自由 度机器人的奇异位形；黄真【5 5 1 用反螺旋方法分析了l o 种p u m a 机器人存在反螺 旋时的位形，并给出了其可行运动的解空间；c h e n g s 6 l 用反螺旋方法分析了7 自 由度冗余机器人的奇异位形，并发现任何三维空间的机械手奇异位形时j a c o b i a n 矩阵的维数与相应反螺旋的数目之和等于6 ；n o k l e b y 5 7 1 给出了冗余机器人存在 个奇异位形时的反螺旋求解方法。 但迄今为止，反螺旋理论主要应用于并联机器人的机构分析上，在研究串联 机器人的奇异位形方面文献较少【5 ”。并且在求解运动螺旋的反螺旋方面直没有 系统的算法，一般都是用观察法或者求解方程组的方法寻找反螺旋，这样在分析 不同机构类型时不可避免地存在机构局限性。 ( 5 ) 利用具有冗余度的机器人操作器 另一类使机器人通过奇异位形时的控制方法是给机械臂增加多余的关节。冗 余度的概念是：如果关节空间的维数大于机器人操作器运动空间的维数，那么就 称该装置在运动学上具有冗余度。由于空间机器人操作器总被设计成在空间坐标 系中具有6 个自由度。因此一般认为如果机器人操作器多于6 个关节，就认为该 操作器具有冗余度。这种机器人能克服传统非冗余度机器人的诸多缺陷如提高 操作灵活度、克服奇异性、回避障碍以及改善运动学和动力学性能等。为减轻串 联机器人奇异位形所带来的轨迹控制问题，很多研究者提出用运动学的冗余度原 理来解决6 个自由度的机器人操作器通过奇异位形的控制问题 5 9 6 ”。 由于冗余度机器人为欠定系统，其j a c o b i a n 矩阵为长方阵，所以基于伪逆的 冗余度机器人操作器运动学逆解算法中计算量大使得算法难于用于实时控制。为 此需要将冗余度系统转化为非冗余系统，并通过非冗余系统求取运动学逆解。这 种利用非冗余系统的冗余度操作器运动学逆解算法分为两种【6 2 。6 ”：( i ) 分解方 法，即将关节空间维数降至m ，从而获得m n l 的非冗余系统。这种方法其 5 a c o b i a n 矩阵的满秩子矩阵不易选择，故般不采用该方法。( 2 ) 扩展作业空间 方法，即利用约束条件将工作空间扩展成r l 维，也可称为扩展j a c o b i a n 矩阵方法。 这是冗余机器人逆解最常用的方法，但这类基于雅可比矩阵的伪逆( 或逆) 的算法 计算量相当大，效率较低，而且在扩展空间法中还存在数值稳定性问题，并且采 用优化性能指标函数及扩展j a c o b i a n 矩阵，对几乎所有的冗余度机器人操作器将 北京交通大学博士学位论文 不可避免产生算法奇异。此外，还有一种利用智能控制的方法来求冗余度机器人 逆解，它从运动学正解出发来完成运动规划，以避开直接逆解带来的许多复杂问 题。s u n g l 6 6 1 以正运动学方程为约束条件，用优化理论来求最优解，但实时应用还 有待在优化理论和软硬件实现方面做进一步探讨；s i d d i q u e 6 7 1 用遗传算法来完成 轨迹规划，但这种迭代变量( 样本) 随机产生的迭代方法的收敛性无法保证。 虽然学者们从不同角度来研究冗余机器人相应的规划算法，以使机器人运动 控制有一个较为准确的参考输入，获得良好的动态控制品质，从而避免一些奇异 位形的发生，但却带来了一些不可避免的结构性奇异位形。而且判断机器人操作 器的奇异位形是可避免的还是结构上不可避免的，本身就是一个问题，同无冗余 度机器人相比，冗余度操作器的结构和控制算法都很复杂，并且成本也很高。 ( 6 ) 利用高阶t a y l o r 展开式 利用高阶t a y l o r 展开式也是解决机器人奇异位形的一种有效方法【6 3 75 1 。该方 法把机器人运动学模型表示成t a y l o r 级数的展开形式，当机器人处于奇异位形时， 其一阶展开式为零，如果存在高阶展开式，那么机器人的运动由高阶项决定其运 动行为。选择合适的高阶项函数，可以使机器人通过奇异位形。 ( 7 ) 转换作业空间法 转换作业空间法是基于这样的思路7 6 8 3 】：机器人处于奇异位形时，在奇异曲 面的上的点不能以恒定的速度沿着奇异方向运动，如果设定新的坐标系，将奇异 方向对应的坐标参数进行适当变换，使机器人奇异曲面上的点转换为可运动的 点从而将机器人工作空间进行微量的扩展，把原来工作空间内的奇异位形点全 部转换为可控点，可保证机器人通过奇异位形时的轨迹具有连续性和光滑性。并 且通过限制末端执行器的速度，可使关节速度不至于太高。该改方法优点是实施 简单，能获得精确路径误差值：缺点是不能适用于腕部奇异和两个以上奇异曲面 相交以及复杂的几何机构。 ( 8 ) 根据机构的各向同性原理设计机器人操作器 还有一种处理机器人奇异位形的方法是根据机构的各向同性原理设计机器人 操作器。很多研究者还基于优化设计的思想设计没有奇异位形的机器人操作器， 若提出了各种各样的性能指标来评估机器人操作器的运动学性能【s 4 - 8 7 1 。机器人操 作器达到各向同性( i s o t r o p y ) 的能力是机器人优化设计中最为重要的性能指标之 一。在各向同性位形，机器人操作器能够获得最好的伺服精度，而且在各个方向 8 北京交通大学博士学位论文 的可能误差都是一样的，在所有方向施加的力也是一样的。这样机器人操作器具 有更好的灵活性，雅可比矩阵的奇异性也可避免。理想的情形是机器人操作器能 够工作在各向同性的位形区及其附近。正是基于这种思想，d n n e n c h e v 【8 8 】在 1 9 9 5 年，提出了一种当串联机器人在接近或在奇异位形时轨迹规划和控制的新方 法，即奇异位形一致轨迹控制法。他指出对非冗余度机器人机构，轨迹跟踪在 通过奇异位形时仍有可能保持稳定性，在某些奇异位形处甚至连渐进稳定性也能 得到保证。然而进一步的研究表明由于机器人结构的复杂性，机器人操作器在工 作空间内的所有位形都取得各向同性是不可能的，因此，各向同性的机器人控制 器的设计只能局部改善机器人控制器的运动性能。 ( 9 ) 其他方法 其他方法包括机器人位移参数化方法 8 9 】【9 0 1 ( m o t i o np a r a m e t e r i z a t i o n ) 、奇异值 分离加简约二次规划法s 1 c q p t 9 1 ( s i n g u l a r i t yi s o l a t i o np l u sc o m p a c tq u a d r a t i c p r o g r a m m i n g ) 、协调控制法回避机器人的奇异位形 【9 2 】【9 3 】等。 1 3 课题的提出及研究目标 1 3 1 课题的提出 为使机器人在工作空间通过奇异位形，虽然研究者们提出了各种各样的控制 方法，但这些方法还没有从本质上解决这个问题。至今为止的研究还缺乏对奇异 位形机构学本质的认识，还存在下述几个尚待解决的问题： ( 1 ) 正确分析机器人机构处于奇异位形时操作器的可行运动及其方向。机器人 机构处于奇异位形时，其运动自由度减少，操作器的部分运动受到约束而成为非 可行运动，然而与雅可比矩阵的秩数目相等的其它运动则是完全可行的，因此， 正确分析机器人处于奇异位形的可行运动和非可行运动是实现通过奇异位形时 轨迹控制的关键。 ( 2 ) 正确识别奇异位形的类型。发生奇异位形的根本原因是机器人机构运动副 轴线矢量成为线性相关，空间矢量发生线性相关的可能性有多种，准确判断矢量 间发生线性相关性是建立奇异位形时轨迹控制模型的前提。 北京交通大学博士学位论文 f 3 ) 建立机器人操作空间可行运动与关节空间参数之间的一一对应的映射关 系。既然在奇异位形时操作器仍有可行运动，就一定能通过控制关节参数来实现 这些运动，并且一定能避开奇异的雅可比矩阵而建立起可行运动与关节参数之f 回 的确定的函数关系，这是实现机器人通过奇异位形的理论保证。 为此，针对上述三个问题，本论文拟以螺旋理论为基础，深入研究机器人奇 异位形的机构学本质。利用反螺旋理论、零空间方法和线几何方法，以及操作器 速度参数与雅可比矩阵的对应关系，通过识别机器人工作空间可行运动参数和不 可行运动参数，总结出可行运动参数和不可行运动参数的相互转化规律，并找出 可行运动参数对应的满秩雅可比矩阵，从而建立工作空间与关节空间参数之间一 一对应的映射关系。 1 3 2 研究目标 本课题在深入分析国内外对奇异性问题的研究现状基础上，研究了一种六关 节机器人通过奇异位形时的精确轨迹控制方法。 在不改变机器人结构参数的前提下，对于给定的操作器运动轨迹，运用机构 学原理和g r a s s m a n r t 线几何方法，对机器人奇异位形作分析。对所有可能遇到的 奇异位形按其线几何的原理分类，找出奇异位形和非奇异位形区。在非奇异位形 区，机器人按正常的速度分解控制；在奇异位形区，利用运动螺旋与力螺旋的对 偶关系，以及运动与约束、运动螺旋与反螺旋的对应关系，研究操作器运动轨迹 奇异点处的可行运动与菲可行运动的性质和变化规律、各自的子空问和互相转化 条件，据此提出对不同类型的奇异位形的处理方法，最终把在奇异位形点处的不 可行运动转化为可行运动从而得以实现速度分解控制，在脱离奇异位形区时再 转入正常的速度分解控制，从而实现准确跟踪操作空间的给定运动轨迹。 通过上述方法，使机器人具有精确通过轨迹上的奇异点、实现预期的空间工 作轨迹的能力，从而消除奇异的雅可比矩阵对机器人运动轨迹精度和运动性能的 影响。这与过去的避开法或以牺牲机器人工作性能为代价的方法相比，无论在理 论方法还是实际应用中都是一个明显的进步。 课题以现在工业生产中应用广泛的m o t o m a n 机器人为研究实例，在充分分析 其奇异位形机构特性的基础上，研究了其在通过奇异位形时可行运动与非可行运 0 北京交通大学博士学位论立 动的转化规律，并提出了相应的控制策略和算法，从而解决了m o t o m a n 机器 人通过运动轨迹上的奇异点这一轨迹控制和运动控制中的关键问题，进一步提高 了m o t o m a n 机器人的操作精度和灵活度以及运动学和动力学性能，使 m o t o m a n 机器人更好的满足柔性自动化生产的要求。 1 4 论文的主要研究内容 本课题是从机器人运动学着手展开论述的，利用反螺旋理论和线几何方法通 过识别约束条件下机构的可行运动和非可行运动，求解出可行运动对应的满秩雅 可比矩阵，从而建立了机器人通过奇异位形的精确运动学控制模型。并将该模型 应用到机器人的数值仿真和试验中，用理论分析和实际应用相结合的方法验证了 该模型的有效性。 本文的具体研究内容如下： 第一章详细阐述了国内外对机器人通过奇异位形的研究方法，在分析课题 研究的背景和实际应用的意义基础上，提出了本课题论文研究的立题。 第二章对螺旋理论的应用进行了研究。论述了螺旋理论的研究背景以及相 关的一些基本概念，研究了关节轴线的螺旋表示方法和用螺旋表示的虚功原理， 对表示机器人关机轴线的线丛奇异进行了分析，最后用g r a s s m a n n 线几何方法分 析了不同秩数目的线族。 第三章建立了机器人通过奇异位形时的运动学模型。用线几何方法分析了 机器人在奇异位形时线性相关的关节轴线，用反螺旋理论和零空间理论分析了机 器人工作空间可行运动参数和不可行运动参数，以及两者的转化规律，并对 j a c o b i a n 矩阵中线性相关的行和列进行了重新整合，使工作空间可行运动参数和 关节参数成一一映射关系，从而使机器人操作器在可行运动方向上获得精确解， 在不可行运动方向上获得近似解。 第四章将m o t o m a n 机器人作为实例，对其进行运动学分析。首先建立了 m o t o m a n 机器人的运动学方程，其次构造了m o t o m a n 机器人的雅可比矩阵， 对m o t o m a n 机器产生奇异位形的条件进行了分析，再次用线几何方法分析了 m o t o m a n 机器人线性相关的关节轴线矢量，最后用反螺旋理论和零空闻理论 分析了工作空间可行运动参数和不可行运动参数以及相应雅可比矩阵线性相关 北京交通大学博士学位论文 的行矢量。 第五章完成了对m o t o m a n 机器人的运动学仿真分析。首先应用本文介绍 的零空间方法对雅可比矩阵进行行和列的重整，然后应用重整后的雅可比矩阵建 立了m o t o m a n 机器人可行运动的运动学控制模型，最后运用建立的运动学模 型对m o t o m a n 机器人在奇异位形时的运动进行了仿真分析。 第六章完成了对m o t o m a n 机器人通过奇异位形时的试验研究，并将仿真 结果与试验结果进行了对比分析，通过试验验证了理论分析的正确性。 最后是全文的结论 北京交通大学博士学位论文 第二章奇异分析的螺旋理论及线几何方法 本章将螺旋理论和线几何方法在机器人奇异位形中的应用进行了研究。介绍了 螺旋理论的研究背景以及与螺旋理论有关的概念；研究了关节轴线的螺旋表示法和 用螺旋表示的虚功原理，并用螺旋理论对机器人机构奇异性问题进行了分析：研究 了从2 子线族到6 子线族处于奇异时各螺旋的线性相关性：最后用g r a s s m a n n 线几 何方法分析了线族失秩时的几何特性和空间分布形式。所得出的结论将为后续章节 提供理论依据。 2 1 概述 螺旋理论是分析空间机构运动特性的重要理论之一。螺旋理论形成于1 9 世纪， 由英国剑桥大学著名教授r s b a l l 9 4 1 第一个对螺旋理论进行了全面系统的研究，他 经过三十多年的努力于1 9 0 0 年完成了其经典著作螺旋理论。书中将运动螺旋和 力螺旋协调统一起来，并讨论了所有螺旋的线性组合的一般模式在运动学上与剐体 的一阶速度有着密切关系。但在整个2 0 世纪前半叶，螺旋理论几乎很少应用。2 0 世纪6 0 年代，f m d e m e n t b