（基础数学专业论文）奇数维黎曼流形中闭曲线的morse指标估计.pdf

摘要 考虑黎曼流形m n 中的测地线c ，若a 摄能量函数的e 的临界点，对 乎e 的非退化峨界点c ，我们搬h e s e i a n e 的最大的负定子密闭的维数称为 测溅线c 懿m ( ，r s e 摇耩。在冀耱学孛，我貔卡势关注m o r s e 搀擦静稳诗 m o r s e 指标的一个重要的性质就是m o r s e 指标定理它告诉我们黎曼 流形中的测地o 的m o r s e 指标等于c 上的共轭点的个数( 个靛按重数计算) 魏暴我靛簧去嫠计m o r s e 黪蠡，最童然戆方法就麓羧遗夔h e s s i a n 势 负辩线往无关酌向量场，熬薅通过研究离濑场的性质去掰画m o r s e 指标 本炎中，我们考虑满足某些曲率条件的奇数维黎曼流形中特殊的曲线一 一闭测地线，通过研究闭测地线的完整角，用构造的方法绘出了一族在 这耱整率条毒争下僚h e s s i a n e 为受懿骜臻黪线毪无关瓣淹爨绣，获瑟绘毽 了闭测地线长魔，完整角和留的m o r s e 指标之间的关系，给出了通过闭 测地线长度去估计m o r s e 指标的方法，然盾源过m o r s e 指标定理，说明了 在潜数维黎曼澈澎中闭溅地线长度与完璧建鳃关系对 程溅遗线上共轭点 个数豹影璃 关键词：湖向量场、共轭点、断测地线嶷问、h e s s i a n 、完整角、m o r s e 指标 墨圭篓堡墼耋：耋墼璧篓苎鎏墅耋墨兰耋墼筌塑塑堡竺芝 a b s t r a c t c o n s i d e r 堍g e o d e s i c si nr i e m a r m i a nm a n i f o l d 坍，i fai st h en o n - d e g e n e r a t e “i t c 畦p o i n to fe n e r g yf u n c t l o ne w ed e f i n et h em o r s ei n d e xo fca st h em a x i m a l d i m e n s i o no fa l ls u b s p a c e so i lw h i c ht h eq u a d r a t i cf o r ma s s o c i a t e dt oh e s s i a u ei sn e g - a t i v ed e f i n i t e i ng e o m e t r y , o i lsi np a ym u c ha t t e n t i o nt ot h ee s t i m a t e so ft h em o r s e i n d e x a ni m p o r t a n tp r o p e r t yo fm o ei n d e xi sm o r s ei n d e xt h e o r e m i tt e l l su si n r i e m a n n i a nm a n i f o l d ，t h em o r s ei n d e xo fg e o d e s i cce q u a l st 0t h en u m b e r so ft h e c o n j u g a t ep o i n t so fo ( 0 ) ，e a c hc o u n t e dw i t hi t sm u l t i p l i c i t y i fmw a n t 毒。e s t i m a t em o r s ei n d e x an a t u r a li d e ai st of i n do u tt h el i n e a r l y i n d e p e n d e n tv e c t o rf i e l d st h a tm a k eh e s s i a n et ob en e g a t i v e w es t u d yt h ep r o p e r t i e s o ft h e s ev e c ：t o rf i e l d sa n do b t a i ns o l l l ek n o w l e d g eo fm o r s ei n d e x i nt h i sp a p e r ，w e c o n s i d e rs o i n eo d dd i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l ds a t i s f i e st h i sc u r v a t u r ec o n d i t i o n ， i nt h e s em a n i f o l d sw es t u d y8 0 e 蹲e c i a lc u r v e s - c l o s e dg e o d e s i c s a f t e rs t u d yt h e h o l o n o m ya n g l e so fs u c hc l o s e dg e o d e s i c ，w eg e tar a m n yo fl i n e a r l yi n d e p e n d e n tv e c t o r f i e l d sw h i c hm a k e sh e e s i a n et ob en e g a t i v eu n d e rs u c hc u r v a t u x ec o n d i t i o n w eo b t a i n ar e l a t i o na m o n gt h el e n g t ho fd o s e dg e o d e s i c ，h o l o n o m ya n g l es a di t sm o r s ei n d e x m o r e o y e r ，b e c a u s e 。fm o r s ei _ i l d e xt h e o r e m ，w ek n o wt h er e l a t i o nb e t w e e nt h el e n g t h 蹑 d o s e dg e o d e s i ca n dh o l o n o m ya n g l eh o wt or e f l e c tt h en u m b e r so ft h ec o n j u g a t ep o i n t s o nt h ec l o s e dg e o d e s i c s k e yw o r d ：c l o s e d w l m ：t o rf i e l d ，c o n j u g a t ep o i n t ，b r o k e a xg e o d e s i cs p a c e ，h e s s i a n ， h o l o n o m ya n g l e ，m o r s ei n d e x h 首都师范大学位论文原创性声明 y86 8 9 9 5 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：j 酞 弧 日期：强6 年斗月i 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：酞弘 日期：蛐4 月泞日 硕士学位诧文t 奇数堆黎曼漉彤中闭曲线的m o r s e 指禄估计 1暑i言 球定理是整体微分几何学中的一个十分受人荧注的问题，而单射半 径懿信计又在球定壤的证瑟过程串起餮+ 分重要秘作霞，瑷在逝较尼侮 学巾的许多工具和概念都照在对这两个问题的研究过程中发展起米的 据扑球定褒楚黎蔓a 健孛懿袋莩懿缭论之一，宅滋裙了蔡燕流形 m n 的拓扑性质是由它的截面益率和一些整体的性魇来决定的这方面最 早懿王终燕p _ u c h 秘b e r g e r 骰鑫静1 9 8 1 零r a u c h 绘峦了瀵是0 7 4 - p i n c h e d 条件的拓扑球定理，几年詹b e r g e r 和k l i n g e n b e r g 改进了这个结果，最终 懿绩果是w , k l i n g e n b e r g 在l 鲻1 年绘挺翦，慰手完备黪单连遇麴黎鬟流形 护，著它的截面曲率满足严格的 。伽c h e d 的条件，则这个黎曼流形就同 胚姆球面驴，在他鲍证明过程中最关键的壤是利用共轭半经去控铡单射 半校 对于；- p l n c h e d 条件，b e r g e r 在1 9 6 0 年给出了剐性定理，说明了对于 偶数维的完备单遵道黎曼溅形舻，它丽胚霹妒或者渺等鞭与秩为1 的 对称空间所有的这些结果都是建巍在直接的比较几何的方法上的 g r o v e 释s h i o h a m a 在1 9 7 7 年甩d i a t o m a 焘耨截面藩翠有正下葬 的簸件代蛰了p i n c h e d 条件，给出了赢径球窟理在此基础上，g r o m o l l 和 g r o v e 在1 9 8 7 年又缭逡了爨经球定攥。鄄在d i a t o m “泰羁截覆蘸率骞 正下界a 的条件下缭出了结论 一童班来，夫爨部试甏找蘩最健懿p i n c h e d 常数，不过鬟曩蘩舞壹对 于最佳的p i n c h e d 常数还是不知道的，但是b e r g e r 柱1 9 6 2 年通过一个例子 说甓对于小予熬p i n c h e d 搴数是苓鼙援褥列球定璎戆。 不过在这方面的工作已经取得了一魃进展，b e r g e r 糕1 9 8 3 耷王证明 了；对于偶数n 存摆一令常数炙 0 ，3 5 0 只要寿t 0 t o t 2 k + ls l 且：b + 1 一t 2 i f 5 t = u 藏宥：| c ( t 糊) 一g ( 如) i e t = u 定义3 。4 ：( 肘”上的绝对连续) 6 硕士学位论文t 奇数维黎曼流形中闭曲线的m o r s e 指标估计 设c ：i m “是胛中的一条曲线，称c 是绝对连续的，若对于m n 中的一个坐标卡( u ，) 和，= g 1 ( u ) ，映射t e l 7 + 伽。g ( t ) e r n 是7 p 中绝 对连续的 定义3 5 ：( 长度函数和能量函数) 设a ：冗z 一是一条可微的曲线，定义它的能量函数和长度函数 为。 即) ：= ；厶h ) 2 出= ；z 1 f 2 出即) ：五，；陆，卜 定理3 1 ： 设c ：冗z m “是一条可微的曲线，则它的长度函数和能量函数有 如下关系z l 2 ( g ) s2 e ( c ) 等号成立当且仅当参数s 是弧长参数 证明：由定义5 ， 即) ：= ；厶，；协) 1 2 凼即) ：= 上，。h ) l a s 由舒瓦茨不等式： ( z 1 ，卵s ) 2 z 1 ，2 出z 1 ，2 出 等号成立当且仅当g 是常数 令，；1 ，g = l g 怡) | 得到： f ( g ) s2 e ( c ) 等号成立当且仅当参数s 是弧长参数 口 定理3 2 ：( m i l n o r ) 典范映射tn m n m 是同伦等价的，特别的，能量函数e 的临界 点是m ”中的闭测地线 注t 在m i l n o r 的证明中，用到了下面的断测地线空间： f m ： c n m l c l 【8 i ，s i + l 】 工( g | r、) i n j m “ p i ，8 件1 j 7 是篡篓 对任意o f 女i 硕士学位论文t 奇数维蔡曼流形中闭曲线曲m o r s e 指标估计 其中s 产 ，0 s t ，是 o ，1 】区间的分割 在下面的讨论中我们假设m n 的共轭半径是大于等于”的，并且我们将 要研究如下的集合 n ：m ：= 。e n m fl 。爿： ：雾：兰耋i 三，长度) 其中。 z ” 定义映射靠：e 一( ( s t ) ) 等，则记 硪m ：= 靠( n 2 m ) t m t m ，具体表示为： ， k - 1 ，。 壳拟2 ( v k - 一11 - i t m p 州= e x p p t ( 扣) ，却 z ) 注：p i 表示切向量仇t m 的起点 下面在毗m 上面引入度量 首先取标准的投影映射ti r k ：t mx t m m m 由m “的共轭半径大于等于丌 知： 矶限制在五2 m 上是到护中开集的局部微分同胚，有如下关系 n 2 m 鱼墩m 3 m m 茬( 知o 。日) ) 置却g 。9 ) 一b - ? g e 。9 p , p ；在n i m 与越m 分别取拉回度量： 鲰= j 蕊锨= ；”沁。g ) n i m 中的点，曲线，曲线长度，能量和切向量 1 n 2 m 中的点为m n 中满足如下条件的曲线c ： ( i ) c i 是测地线 i s s + 1 j ( 2 ) 工p | r，) 墨l 2 n 2 m 中的连接两点岛，研的曲线为护中的曲线岛，o 的变分c ( s ，t ) 8 硝士学位论文t 奇数堆黎曼流彤中闭曲线的m o r s e 指标估计 且对v t f 。 t i ，岛海熙( 1 ) ，( 2 ) 。 3 a 2 m 中的曲线c ( s ，t ) 的长度和熊艟； 若c ( s ，t ) en m ，且映铂为a ，则c ( s ，t ) 可以理解为， e s ，t ；：魏i i , 1 0 ，l 】+ 掰8 ，夔褥，g 黩o ) = 6 0 ，c ( s ，1 ) = 岛，令岛( $ ) 熹g 离鸯 代入，得 粥) = z 1 | d t = 0 1 i 讯嘶) j d t = z 1 ；陋吼嘶) i d t 鑫于；矗兹( 岛。) ) = 蕊d ( 何。靠j g ( s ) ) 一差( g ；( s t ) ) 搿 三f 最一z 1 | 岛( s ) 陋一z 1 = 五i i 夏石再j t = f o i ； m 。，d t z 1 ； 妇铘氍 = = 1 、j ；薹 a t = z 1 j 薹j e t c s ，j 2 a t e ( c d 一；z 1 | 岛) 1 2 d t = z 1 。蕊 = ；z 1 ； ，。咖d t = ；z 1 器1 瓣锄氍 = 汜i 备k - 1 d t = i 1 ( ；j ( 1 驴k - 1 ) | 2 d t ) = 莲鼢国) 4 n m 中的曲线c ( s ，t 1 的切向量为它的褒分向慑场 r c a 2 m ，- x ：缸，馥一? 掰| 遥羧o * 懿彝黎耱，滚足逮壤袈律 9 硕士学位论文：奇敷维黎王流形中闭曲线的m o r s e 指标估计 ( x ( 。) ，x ( 6 ) ) 丑g ( ，g ( ) 4 定义3 6 ：( g h 一测地线) 设( 胛，g ) 是n 维的黎曼流形，称同伦t g 是n i m 中的鼬测地线， 当且仅当k 条曲线t q ( 毛) ( 0 墨i z 即，g ( 8 ，k ) 毛啦m ，所以c ( 8 ，t ) 可能不在n i m o 【以，o t + lj 中，所以n i 是不完备的，但是它有如下的紧性 定理3 3 ： 设( m ”，9 ) 是n 维的黎曼流形，它的共轭半径大等于”，若c o 啦m ( f 【o ，们) 是m ”中的一条闭测地线，则t 对于v ( 而1 ( 2 一 工( 岛) ) ，球b ( c o ，e ) 在( n 【，9 k ) 中是相对紧的 证明：由注中的说明，我们只需证明由饰出发的长度不超过e 的测地线 仍在( n 2 m ，g k ) 内即可 由于岛是m ”中的一条闭测地线，可以假设岛的每段弧长为；l i = l ( c o ) 考虑从岛出发的一条g k 一测地线：c ：f 0 ，卅一( 吼m , 9 k ) 由g k 一测地线的定义，对于v i o ，k 一1 ) c ( s i ，t ) ： o ，列一( 肘“，g ) 是m “中的k 条测地线 以厶记m “曲线c ( s ，t ) 的长度， 则c ( s ，t ) 作为n 2 mcn ：m 长度小于等于的曲线的长度当且仅当如下条 件成立： k - 1 1 一- i 台_ 2 ( 2 ，事实上l 我们可以选取s 为曲线弧长参数，所以由定理1 有，l 2 ) = 2 e ( c ) l ( c ) s ( 车= 争l ( g ) 2 e 2 = = 4 e ( c ) ( 2 由前面推导的公式： a e c s ，= ；c 蓑e c q c 曲，= ；c 薹：p c s 跏，= ；薹曰 壤毒学拉镌文，毒教臻纂曼流彩中蠲鹰巍秘耩撩馈 群泼五鼢f 蝴占f g ) 2 s 2 蝴；- - - l 穿1 。妒 女 ；鳓 毒骰浚 去程国) ) 稳v z 氧固甄酝j ，) 要z + 毛+ 五+ l 蔓( 。) 2 始l 捆三角不等茂胃饕黔 降m + l j 群以，球b ( c o ，0 翟( 鸵2 强鳜) 串怒糯辩紧辩 下嚣鲶穗耍个记号t n 嬲i 日：= n 麒n 尽1 ( f o ，；铲玎 镤a 延# ：一q a fn 掣”1 羚；互i 口2 】) 其对墩的舞镁域势t n a ：一张埘1 n 翌一1 【o ，；酽) ) 躞投：= n z m n 扩1 【。，互1 2 ) ) 定遴3 。龟 设( 舻，蓟是n 缝的黎璺流缪。它的共魏半较大等手瓤女m l ( o ，嗣， 则任意 弧，q 2 魄 cn z m _ 摄孀的，恿典裁映射t 轮l 魄一淫魄漫嚣稔等徐静。 记e k ：= 露 n f 科，则n 魄- t 6 9 e 的临界点与硪m 岛c 蠼蚝中的取的 临界点耀周，它们均是m ”中的朗测地线，攀安上，h e s s e | | 。与强m 酞l 。 骞耀弱瓣m o r s e 鬓椽镩零铯空麓+ 稀痿和h e s s i a n ： 我们知道哦吖中的一条曲线c 可以理解为m n 中的双参数映射； g ：( s ，t ) 一q ( 8 ) m ” 嚣敬淤逮洚c 翁麓爨嚣数静零熬莓戮舞辩下囊爨场裘鑫， c 的翅简麓场：( t ) ：= 啬c t ) 硕士学位论文z 奇数维黎曼流形中闭曲线的m o r s e 指标估计 u 即断j a c o b i 功f u 【s ，”：= 羞u 【s ，t ) 事实上t 由定义 粥卜；厶。胁t ，陆黝t 私= 砉门口b ，t ，2 幽 则； 丢鼠) 2 j 1 出d 鲁k 上f 。s + z d s = 妾r “1 罢坝s c 即p 如= 塞r ”l 罢。c 州，c 刚胗出 = 娄r “1 五d ，巩c 啦卜a s 一壹i = 0 a t “+ l 。c 叫，罢c 州p a s 因为g ( s ，t ) n 尬所以， o i 卅，g ( s ，t ) 是陬，8 i + 1 上的测地线， 所以在ks l + 1 上丢g 如，t ) = 0 枞爰既( c t ) = 塞 e ：。 嘉最( g ) = 磊d 、战d e k 旧) ) = 磊d 鲁k 厶f s + l d s = l 一s l a t l 面v 甜v , 腆i ，抄如+ 妻， 跏，巩肌脚妯 。娄一 - 确，巩咐胁，瑚舶，炒 + ) 出 = 萎k 沌巩肌州。+ 硬士学位辣支：专数维肇曼漉群中躅豫媛簿越搪姆糍孳 害盼州一 ) 出 冀孛x ，y 是努裁勒矗 s 女一l 一 1 3 硕士学捷掩文：专敷维纂曼漉彤申巍l 按蠛妁m o r s e 穗撩话砖 + 一q ( s l + o ) ，巍( s l + o ) + + 一 ； ； 口 1 4 硕士学位论文- 奇数维蔡曼流彤中闭曲线的m o r s e 指标估计 4 闭测地线与m o r s e 指标估计 定义4 1 ：( 完鞫 设( m “，g ) 是一个黎曼流形，c o ：n z ，( m ”，酌是一条闭曲线，c o 的 完整定义为同构u c o ：t o o ( o ) m t c o ( o ) m ，它给出了沿闭曲线c o 的平行向 量场的闭合的信息 进一步说，u 岛是满足z w o w ( 1 ) 的唯一的线性映射，事实上，它 还是正交变换 其中w 是沿曲线n i z a m ”的向量场s 一( s ) ，它是通过解具有边值条 件w ( 0 ) = w o 的常微分方程署( s ) = 0 得到 u c o 的线性性是显然的，下面来说明u 岛的唯一性和正交性 先给出平行向量场的具体表示： 在岛( o ) 点的切空间取一组正交向量te l ， 对e l ，做平行移动，得到沿曲线c o ( 8 ) 的一组正交标架te l ( s ) ，( s ) 设w o = a l e l + + e n ，则w ( 8 ) = a l e l ( 8 ) + + 口。( s ) ，事实上， 设w ( 8 ) = 。l ( s ) e l ( s ) + + ( s ) e 。( s ) ，因为w ( 8 ) 是平行的，则有一 云( s ) = a 1 ( s ) 日( 8 ) + + h ( s ) ( s ) + n 1 ( s ) 者8 l ( s ) + + “( s ) 云( s ) = o 因为e i ( s ) 是平行的正交标架，即 e t ( s ) = 0 ，则上式可以化为 耵 去( s ) 26 1 ( s ) e l ( s ) + + k ( s ) e n ( s ) 2 0 又因为e l ( s ) ，e 。( s ) 是一组正交标架，所以a t ( s ) = = a 。( 8 ) = 0 所以：a l ( s ) = a l ，口n ( s ) = a n 下面来说明u 岛的唯一性 取两个平行向量场：啊( s ) ( s ) ，若有u b 嘱均满足； u b o w l ( o ) = 眦( 1 ) ，吃w 2 ( 0 ) = ( 1 ) 由上面的讨论，m ( s ) 与( s ) 有如下表示t 矸 ( s ) = ( 1 l e l ( 8 ) + + 口n e n ( s )w 2 ( 8 ) = b l e l ( s ) + + k e n ( 8 ) 1 5 所淡有 则， 领出学位论文t 奇敷维纂曼流形中闭曲线的m o r s e 指标估计 啊( 1 ) = a l e l ( 1 ) + 十( 1 ) w 1 ( o ) = 口1 8 1 ( o ) + + ( o ) ( 1 ) 一h e l ( 1 ；+ + ( 1 )觏( 。) = b l e l ( o ) + + 稚 阢wc。，=cce，a。，enc。，(i!)=cet c ，e 。c ， v & w d o ) = 噫( e 1 ( o ) ，。，e 。( o ) ) 三 三) 由上式可以得到： 嗡趣( o ) ，国) ) = ( e l ( 1 ) ，( 1 ) ) = 魄随，秘 所以，u b 一皑 接下来说明u 稿的正交j 腱 垂上囊懿讨论，池( o ) ) = 毪( 1 ) ，弼； = q ( 1 ) ，e j ( 1 ) ，冀因为龟( s ) 魑平行标架， 有 = 常数 所以 = = 对于沌，疹( o ) ，毒，阮8 ，声 一 所以，u c o 魁正交变换，它对应的矩眸是正交阵 定义4 ，2 ：( 完攘角) 谩岛怒黎曼滚影m n 中戆翅夔线，瘤子魄是纛嶷薄，蠢j o r d a n 蠡瑾 1 6 ，ffiillli-i，11llliillli、iiiiiil|， h ： ，。，。，。 硕士学位论文；奇数堆黎曼流彤中阐曲线的m o r s e 指标估计 (鼢钕；-。，)磐为稳麴凌 f1。(呶)。渤学，3国秀磷黼 删2 ：j 爝这释方式搭爨懿巍，唆鬟睦一确定了逮撼u o o ，象髓豫秀瓣熬缓鹞瓣 完整熊。 定义4 3 ：( 阕尚譬场) 设c o ：u z 一( m n ，g ) 魁一条闭的w 求长的曲线，称沿骗的向量场w 蹩滏毪懿麓超羞囊，螯w 灌霆；形 一w ( t ； l 理4 1 ： 设妒，站是毒数绻鳇突餐黎墨溅澎，o ：踅缪一妒，蓟爨一条瓣溯 地线，舅4 对予任意的i ，郝存拯一族游e 的单使翅向爨场溉，。定，2 # z ，它 按露速度辘固旋转，箨弼浚斑燕下方撩表泰； 老( s ) 妒e ( c ) 眠+ i ( 8 ) ，它还有下耐的表示 崴国2 蝴# 鹣翰+ s i n c e 鸭国 t 1 7 t 硕士学位论文一奇数维孳曼流形中闭曲残的m o r s e 指标估计 证明：取与c b ) 正交的向量e 1 ( s ) ，e ，l l ( s ) ，它们构成沿e 的一个正交标 架：( ( s ) ，e 1 ( s ) ，一1 ( s ) ) 由g 是一条闭测地线，所以有c ，( 0 ) = 铝( 1 ) 因为u c 可以表示成j o r d a n 标准型，不妨设在基( e ，( 0 ) ，e 1 ( o ) u c 可以表示成为j o r d a n 标准型，即t u bc c ，c 。，e tc 。，e n 一- c 。，= 1 c(o)， 设h ，口( s ) = a o ( s ) o ，( 0 ) + 0 1 ( s ) e 1 ( s ) + + a n - - 1 ( s ) 一t ( 。) ，若w 二( s ) 是我们要找的 向量场，则它要满足如下条件； ( 1 ) ( s ) f = 1 ( 2 ) 罟( s ) = 咖( g ) + ；( s ) ( 3 ) ( o ) = ( 1 ) 且1 w ，卅；( s ) l = 1 ，a 冗2 r r z 如果我们找到( 占) 与w ；( s ) 满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 则w 二( s ) = c o s a ，w o ( s ) + s i n a ；( s ) 满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，为所求的 即要满足t ( 1 ) 1 w o ( s ) | 2i 鸭( s ) l = 1 ( 2 ) 暑( s ) ；讥( g ) ( s ) 壬= 如( e ) ( s ) ( 3 ) ( 0 ) = w o ( 1 ) ，w 名( o ) = w ( 1 ) 设w o ( s ) = a 0 ，o ( s ) g 7 ( s ) + a l ，o ( s ) e l ( s ) + + a n 一1 。o ( s ) e n 1 0 ) ，则有： 罴呲) = 掣郎) ) + 掣州卅+ 笔掣：岬) 鸭 若( s ) 满足有下面的方程，则( s ) 满足( 1 ) ( 2 ) ： f 碚小s ) + 吐。( s ) + + 吐小) = 1 只需取。 1 。6 ，。( 5 ) 。十。i ，。( 。) 2 + + 。：一。( s ) 2 ：孵( g ) 只衙取。 撷士学位论文t 奇数堆蔡王流帮中闭曲线的m o r s e 指标估计 啦o ( 8 ) = c 0 8 瓴( e ) s ，啦+ 1 曲0 ) 拦$ i n 魂( o ) s ，礅( $ ) = 0 ，g ，l + 1 ) 褥到l f w j ( 。) ：c o s 咖( g ) 。哪( 。) + 8 i n 班( c ) s 斑+ l ( 。) w ；( s ) 一一8 k 旗q $ 岛( $ ) + c 。s 壤 o ) s l s ) 罴鸭( s ) ；一饥( g ) c o s 帆( a ) # 瓯( s ) 一砒( g ) 8 i n 他( c ) s 岛+ l ( d ) = 哦( q ( 一c o s 班( c ) s 岛s ) 一s - n 妒￥( g ) $ 略+ 1 ( s ) ) = 瓴f 秽) 敞f s 若要( 8 ) 与鸭( s ) 是闭的，只需要，w o o ) = w o ( i ) ，鸭( o ) = 鸭( 1 ) 代入上西礴t lc o s 妒i ( c ) o e ( o ) + s i n 诹( 奶o e l + l ( 0 ) 一c o s 慨( c ) l e i ( 1 ) + 妇谯( a ) t l 咯+ l ( 1 ) is i n b i ( c ) - o e i ( o ) + c o s 妒_ ( c ) - o e i + l ( 0 ) 一s i a 妒l ( c ) - l e , ( 1 ) + c o s 砒( g ) l e l + 1 ( 1 ) 茸 醐净“赋固喝擘) 豳巅q 嗨+ l ( 1 ) 即有， = ；ck u 目i ie 冲l ( o ) = 一s i n 啦( g ) - e t ( 1 ) + c o s 啦( d ) e i + l ( 1 ) 舟，嘲| 嘲杉酶够l 娟国酬瑚 l s i n ( g ) c o s 班( o ) j 由对于氐( o ) ，q + 1 ( o ) 的选取，我们知道上式成立 口 善l 理4 2 ： 设( 彬，曲是一个奇数维懿完备黎璺流形，藏有萨曼k m ，5 0 ，e ： n z 一( 彬，g ) 是一条闭测地线，假设c 的m o r s e 指标i n d e 2 m ，则； 点( c ) s 以n 7 r 证羽： 由弓f 理4 , i 知t 对于任意的班( g ) ，存在族闭的与c 正交的单僚向量场， 记为zw ：“1 盈( s ) ，它满足， 嚣vr r 。2 “，2 ( s ) 一魄 w 2 i - 。l , 2 1 s x 与 硕士学位论文z 奇数维黎曼流形中闭曲线的m o r s e 指标估计 醒。1 1 2 ( s ) = c o s ( 1 孵i - - l , 2 i ( 8 ) + s i na 畦。2 ( 8 ) 所以存在警族这样的向量场t 说2 ( s ) ，职2 ，n _ 1 ( s ) 其中每一族向量场w ：i - - l , 2 i ( s ) 由w - 1 ，硝( s ) 与w 譬_ 1 t 甜( s ) 张成，且全都正 交，即是线性无关的向量场，事实上； = = ( c o s 妒i ( c ) s ( 一s i 他( q s ) + 8 i n 也( 口) s ( c o s 也( g ) s ) ) = 0 ( 1 j ) = = o = = o 用反证法，若结论不成立，即满足- 6 l ( g ) 妒m ( 回 砂m l ( q 妒i ( c ) 由前面的h e s s i a n 公式t h e s s e k g ( 。= 厶信( 一 ) 如 则有； h e s s e , ( 嚼1 - - 1 , 2 ( s ) ，嚼i - - 1 , 2 i ( 5 ) ) o m ) = f 冗z ( 一 ) d s 2 厶，。( 一 ) d s = 谚( g ) 厶，。( 一耳( 时吐料( s ) ，) 1 嚼i - - i , 2 ( s ) c d 如 = 孵( g ) 厶陀( 1 一耳( 嚼i - - 1 , 2 1 ( s ) ，盼w ) d s = 僻( 小厶，。( 嚼i - - 1 , 2 i ( s ) ，i c , j 2 d s 璺童兰兰兰兰：煮璧堡垒苎鎏篓! 璺苎垒丝鹜黧塑丝竺： 曼谤( g ) 一f u z 铲i c 1 2 d 3 = 孵( c ) _ 铲2 露( 回培( g ) 一6 2 l 2 ( g j 。 同理， 融蹶 。( 哼。搿潞哼4 。锄 。o m ) 所以，i n d e ( c ) 2 m ，这于i n d e ( c ) 2 m 滞盾 艨以，占l ( 秽) 母m 霄 孽l 理4 3 设( 蝌，曲是一个奇数维的完备黎