（机械设计及理论专业论文）环板式针摆行星传动非线性动力学研究.pdf

捅要 摘要 环板式针摆行星传动是一种新型传动，它是在分析比较以渐歼线为齿形的诸种环板 减速器和常规摆线针轮行星传动各自优缺点的基础上研制的一种新型传动。具有体积 小、重量轻、传动比范围大、传动效率高、传动平稳、结构简单、承载能力大等诸多优 点，在工程上具有广泛的应用前景。随着高速、重载、轻量化和运转平稳要求的增加， 对其动态性能的要求也不断提高，因此，对其动力学特性的研究具有重要的意义。本文 以双曲柄四环板针摆行星减速器为研究对象，研究了双曲柄四环板式针摆行星传动系统 的非线性动态特性。 本文采用集中质量法建立了考虑时变啮合刚度、齿侧间隙、误差激励等因素的环板 式针摆行星传动的非线性动力学分析模型。采用拉格朗日方法推导出系统的非线性动力 学统一微分方程，该方程是一个半正定、变参数、弯扭耦合和包含多元非线性函数的多 自由度非线性微分方程组，难以直接求解。通过坐标变换和无量纲化处理，推导出矩阵 形式的非线性统一微分方程，不仅消除了刚体位移，而且方程中的弹性恢复力项全部是 统一形式的一元间隙非线性函数，方便求解。 用解析谐波平衡法推导出可求解的多自由度间隙非线性动力学平衡方程组，采用拟 牛顿法进行编程迭代求解，得到环板式针摆行星传动系统的稳态响应，给出了系统的频 响特性，并分析了刚度，误差，阻尼等参数对系统动态特性的影响。 分析了环板式针摆行星传动系统的非线性动态特性，采用变步长龙格库塔数值积分 法对多间隙多自由度非线性微分方程组进行了求解，得到系统在不同参数条件下的简 谐、非简谐单周期、准周期和混沌稳态强迫响应，并且研究了间隙对环板式针摆行星传 动系统的动态特性的影响。 关键词：齿轮传动；环板针摆行星传动；非线性动力学；混沌 大连交通犬学t 学硕十学f 市论文 a b s t r a c t r i n g - p l a t e - t y p ec y c l o i dd r i v ei s an e wk i n do fd r i v eo nt h eb a s eo fa n a l y z i n gt h e a d v a n t a g e sa n dt h es h o r t c o m i n g so fi n v o l u t e g e a rr i n g - p l a t ed r i v ea n dt r a d i t i o n a lc y c l o i d d r i v er e s p e c t i v e l y ，w h i c hh a st h em e r i t so fs m a l lv o l u m e ，l i g h tw e i g h t ，w i d er a n g eo f t r a n s m i s s i o n r a t i o ，h i g he f f i c i e n c y ，t r a n s m i s s i o nu n i f o r m l y ，s i m p l es t r u c t u r e ，h i 【g h l o a d c a p a c i t y i tc a nb eu s e do ne n g i n e e r i n gw i d e l y w i t hi n c r e a s i n go fh i g hs p e e d ，o v e r l o a d i n g ，l i g h tw e i g h ta n dt r a n s m i s s i o n ，d y n a m i cp e r f o r m a n c ei sa l s on e e dt oi n c r e a s e s o ，i ti s i m p o r t a n tt os t u d yd y n a m i c sc a p a b i l i t y d y n a m i cn o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c so fad o u b l ec r a n k f o u rr i n g - p l a t e t y p ec y c l o i dr e d u c e ra r es t u d i e di nt h ep a p e r an o n l i n e a rd y n a m i ca n a l y s i sm o d e lo ft h er i n g - p l a t e - t y p ec y c l o i dr e d u c e ri n c l u d i n gt h e t i m e v a r y i n gs t i f f n e s s ，b a c k l a s ha n dt r a n s m i s s i o ne r r o ri se s t a b l i s h e db yl u m p e dp a r a m e t e r m e t h o d t h en o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n so fr i n g p l a t e - t y p e c y c l o i dd r i v es y s t e m a r e d e d u c e db yt h el a g r a n g ep r i n c i p l e ，w h i c hh a v ed i f f i c u l t i e si ns o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n g m u l t i d e g r e e o f - f r e e d o mn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs e m i d e f i n i t e ，t r a n s f o r m a t i o n p a r a m e t e r sa n dt r a n s l a t i o n a l t o r s i o n a lc o u p l i n g b yc h o o s i n go n es u i t a b l ec o o r d i n a t i o n t r a n s f o r m ，an e ws e to fu n i f o r mn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs y s t e ma r ec o n s t r u c t e di n t e r m so fm a t r i c e s r i g i db o d ym o v e m e n ta n dn o n l i n e a rr e s t o r i n gf o r c ei se l i m i n a t e dw h i c ha r e j u s tf u n c t i o no fas i n g l ev a r i a b l ea n di sc o n v e n i e n tt ob es o l v e d m u l t i p l ed e g r e e so ff r e e d o mn o n l i n e a rd y n a m i cb a l a n c ee q u a t i o n sw i t hb a c k l a s ha r e d e d u c e db yh a r m o n i cb a l a n c em e t h o d n o n l i n e a rf r e q u e n c yr e s p o n s ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e s y s t e ma r eo b t a i n e db yb r o y d e n t h ei n f l u e n c eo ft i m e v a r y i n gs t i f f n e s s ，e r r o r sa n dd a m p i n g c o e f f i c i e n to nt h es y s t e md y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ci sa n a l y z e d t h en o n l i n e a rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i co ft h es y s t e mi sa l s od i s c u s s e d ，t h en o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm u l t i p l eb a c k l a s ha r es o l v e db yv a r i a b l es t e ps i z er ki n t e g r a t i o n m e t h o d t h en o n h a r m o n i cr e s p o n s e ，q u a s i - p e r i o d i cr e s p o n s e ，c h a o t i cr e s p o n s eu n d e rt h e c o n d i t i o no fc h a n g i n gp a r a m e t e r so ft h es y s t e ma r ed i s c o v e r e d t h ei n f l u e n c eo fb a c k l a s ho n t h er i n g p l a t e t y p ec y c l o i dd r i v ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c si si n v e s t i g a t e d k e y w o r d s ：g e a r d r i v e ；r i n g p l a t e t y p ec y c l o i dd r i v e ；n o n l i n e a rd y n a m i c s ；c h a o s 大连交通大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢及参考 文献的地方外，论文中不包含他人或集体已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得太董塞通太堂或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 本人完全意识到本声明的法律效力，申请学位论文与资料若有不 实之处，由本人承担一切相关责任。 学位论文作者签名： 于目虱 e l 期：z 一口c | 年f2 - 月l1 日 大连交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解太羹銮通太堂有关保护知识产权及保 留、使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的 知识产权单位属太董塞通太堂：，本人保证毕业离校后，发表或使用 论文工作成果时署名单位仍然为太整壅通太堂。学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件及其电子文档，允许论文被查 阅和借阅。 本人授权太董塞通太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入 中国科学技术信息研究所中国学位论文全文数据库等相关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 、 又。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者张诚虱导师娩 第面亥 日期：弘汐气年1 一月1 1 日 日期： 。? 年f - 月( l 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电子信箱： 电话： 邮编： 绪论 绪论 1 课题的来源及意义 随着机械设计理论的发展，现代机器日益向高速度、高精度、高效率和高自动化的 方向发展，特别是近二三十年，对机械的高速化、大型化、精密化和自动化的需求与日 俱增，传统的静态设计方法也逐渐不能适应设计的要求，使得人们对机械系统的动态性 能提出了更高的要求，而新兴的动态设计方法正越来越被人们认同和采用。机械动力学 的研究已经由线性领域进入了非线性领域，非线性动力学、振动、噪声及其控制己成为 当前非常活跃的前沿课题【1 。3 】。 人们在日常生活及工程应用中广泛使用着各种各样的机械设备，机械设备在工作过 程中所产生的振动，恶化了设备的动态性能，影响了设备原有的精度、生产效率和使用 寿命，同时，机械振动所产生的噪声，又使环境受到了严重污染。齿轮传动在机械系统 中占有十分重要的地位，是应用最广泛的动力和运动传动装置，随着对高速、重载、轻 量化和运转平稳要求的增加，减轻振动噪声变得越来越重要，特别是在航空、航海、及 现代机器人领域中，齿轮可能在高速轻载条件下工作，由于外部激励、内部激励和齿侧 间隙的影响，轮齿间的接触状态会发生变化，导致轮齿间的接触、脱离、再接触的重复 冲击，并且，轮齿的动载荷会对齿轮系统的动态性能产生不良影响，因此对齿轮传动系 统的动力学分析己成为国内外研究的重要课题。 环板式针摆行星传动是一种新型的传动形式，不仅保留了环板式传动，可以省略输 出机构从而使输出轴刚性好，而且转臂轴承由行星轮内移至行星轮外，尺寸不再受到限 制，从而使传递的转矩可以较传统的环板式传动有更大的优越性，而且又保留着原摆线 针轮行星传动同时啮合齿数多，总法向力与总圆周力间夹角小，摆线轮与针轮齿均为硬 齿面等本质上的优点。环板式针摆行星传动与其他齿轮传动系统一样，存在时变啮合刚 度、齿侧间隙、传动误差的影响，导致系统产生强非线性振动，这对环板式针摆行星传 动系统的工作性能和可靠性产生很大的影响。由于环板式针摆行星传动尚处于研究阶 段，对其结构原理、运动学分析已经达到一定的深度，但对其动力学特性的研究、还未 能全面展开，特别是非线性动态特性的研究还是空白。本文以环板式针摆行星传动系统 为研究对象，考虑齿侧间隙，时变啮合刚度，误差等因素的影响建立环板式针摆行星传 动系统非线性动力学模型，深入研究环板式针摆行星传动系统的非线性动态特性，具有 重要的理论意义和重大的应用价值【4 j 。 2 齿轮动力学研究的现状 大连交通大学r 学硕十学位论文 系统的齿轮动力学研究开始于上个世纪2 0 年代和3 0 年代早期，在分析理论方面， 齿轮动力学以冲击理论为基础，以啮合冲击描述，解释齿轮动态激励和动态响应，并用 冲击作用下的单自由度系统的动态响应来模拟系统的动力学行为。 在齿轮系统中包含了许多非线性因素，如齿侧间隙、误差、时变啮合刚度等。在2 0 世纪5 0 年代，t u p l i n 提出了第一个弹簧一质量模型用于轮齿动载荷的计算从此揭开了齿 轮动力学研究的新纪元【5 】。相继在5 0 年代中期出现了许多其它的齿轮动力学模型，在这 一段时期内，研究者在理论和实验上都取得了大量的成果。自2 0 世纪7 0 年代至今，人 们围绕齿轮动力学提出了更为复杂的模型，包括了时变啮合刚度、系统中各组成元件的 非线性、轮齿间摩擦力、阻尼以及激励效应，但人们总把啮合刚度时变性的影响归类于 线性问题的参数振动问题。齿轮系统间隙非线性动力学的研究，就是以具有齿侧间隙的 齿轮系统为对象进行其动态特性的研究，由于齿侧间隙反映在齿轮动力学方程中是强非 线性项，其动态响应表现了典型的非线性系统的响应特性。 在模型中考虑的因素和基本假设上，许多研究者提出的模型有相当大的差异，但都 声称和实验吻合很好，其原因来源于以下方面【6 l ：( 1 ) 所进行建模的系统本身表现出了 不同的动态特性，例如当一个齿轮安装在一个很短的轴上时，它就可以假定为横向是刚 性的，而当其固定在一个细长轴上时就不能这样假设；( 2 ) 建模的目的不同，例如，当 考虑齿轮系统的低阶模态对研究轮齿的动应力就足够了，但对同一系统的噪声研究却并 不充分；( 3 ) 研究者在做实验时一般都使得他们的实验设备满足其建模时的假设。 ( 1 ) 齿轮动力学研究的内容 齿轮系统的动态性能研究一般包括以下几个方面的内型l j ： 固有特性 固有特性指系统的固有频率和振型，是齿轮系统的基本动态特性之一。目前齿轮系 统固有特性分析主要包括：利用集中参数方法研究齿轮传动系统的固有频率和振型：利 用有限元方法计算齿轮轮体和箱体结构的固有频率和振型；利用灵敏度分析和动态优化 设计方法研究系统结构参数、几何参数与固有频率、振型的关系，进行结构修改，提高 和改善系统的固有特性。 动态响应 在动态激励作用下齿轮系统的响应是齿轮系统动力学研究的重要内容，主要包括轮 齿动态啮合力和轮齿激励在系统中的传递以及传动系统中各零件和箱体结构的动态响 应等。研究轮齿的动态啮合力，可以了解系统动态激励产生的机理、大小和性质，确定 轮齿的动载荷和动载荷系数，对轮齿强度和可靠性设计具有重要意义。研究系统中动态 2 绪论 激励的传递及各零件的动态响应，目的在于通过系统的设计修改，减小动态激励的传递， 降低系统各零件的振动，减小支承轴承的受载，提高寿命，降低振动和噪声。 动力稳定性 齿轮系统是一种参数激励系统，与一般的机械振动系统的区别在于它存在动力稳定 性问题。通过齿轮系统动力稳定性分析，评价影响稳定性的因素，确定稳定区与非稳定 区，为齿轮系统的设计提供指导。 系统参数对齿轮系统动态特性的影响 在研究系统的各种动态性能时，重要的任务是研究齿轮系统的结构形式、几何参数 等对系统动态性能的影响，特别是以研究系统动力学模型为基础，通过灵敏度分析定量 了解各类参数的灵敏程度，在此基础上进行齿轮系统的动态优化设计。 ( 2 ) 齿轮动力学分析模型 一般对齿轮系统动力学分析模型进行分类相当困难，目前按照研究的对象复杂程度 的不同可分为动载荷系数模型、齿轮副扭转振动模型、传动系统模型、完整齿轮系统模 型等，除动载荷系数模型外，其余三类均是目前常用的。在振动理论范畴内，齿轮系统 的动力学模型又经历了由线性振动到非线性振动，由定常系统向参变系统的发展，具体 可归类为吐 线性时不变模型 这类模型采用线性振动理论，以平均刚度替代时变的啮合刚度，并由此计算齿轮副 的固有频率和振型，不考虑由时变啮合刚度引起的参数激励、啮合间隙引入的非线性对 系统的动态特性的影响。 线性时变模型 在齿轮传动过程中，由于参与啮合轮齿个数和啮合位置的变化，齿轮的啮合刚度是 随时间周期变化的。线性时变模型就是因考虑了啮合刚度的时变效应而将问题转化为线 性参变问题，这类模型依然不考虑啮合间隙的影响。 非线性时不变模型 如前所述，无论从设计的角度还是从齿轮传动的实际运转来看，齿轮传动中的间隙 是必然存在的。特别是当间隙较大、高速回转时，轮齿地啮合、脱离、再啮合现象尤为 突出。由于非线性动力学行为远比线性动力学行为复杂，所以此类模型往往会涉及到系 统的分岔和混沌等问题地研究。因为仅考虑问隙就会使得系统的微分方程地分析和求解 难度大大增加，因此在大部分的非线性模型中，都忽略啮合刚度的时变效应，而采用定 刚度模型。 非线性时变模型 大连交通大学i ：学硕十学位论文 这类模型最为复杂，在考虑间隙非线性的同时，计入啮合刚度的时变性，把齿轮系 统作为一种非线性的参数振动系统加以研究。 3 针摆行星传动发展现状及分析 摆线针轮行星传动最早是由德国人提出的以外摆线为齿廓曲线的少齿差传动。发明 者劳伦兹勃朗( l o r e n zb a r a e n ) 于1 9 3 1 年在慕尼黑创建了“赛古乐 股份有限公司，开 始制造和销售摆线减速器。3 0 年代后期e 1 本住友重机械株式会社与德国“赛古乐”公司 签定技术合作协议，引进此技术，并开始研制生产该行星齿轮传动装置，到1 9 8 0 年完 成新型的“8 0 系列 摆线减速器的设计制造。从1 9 9 0 年开始，日本住友重机械株式会 社又在“8 0 系列 的基础上推出了“9 0 最新样本的摆线针轮减速器。后者把摆线针 轮减速器的机型从1 5 种扩大为2 1 种，传动比由8 种扩大到1 6 种，6 0 以上机型的摆 线减速器传递功率均略有增大。 我国从六十年代末期，开始介绍这种新型机械传动的运动学、几何学及动力学等方 面的基本知识；上海交通大学对摆线减速器的制造工艺、传动效率试验、输出销轴强度 试验等方面进行了研究。东北工学院的周培德教授系统地提出了摆线齿轮滚刀齿形设计 原理及用包络线原理和用啮合线原理两种计算滚刀齿形的方法，大连铁道学院朱恒生教 授以点齿代换法为媒介，从运动学和几何学出发，提出了摆线齿轮在任意加工节圆时计 算滚刀齿形的通用方程式；鞍山钢铁学院高兴岐教授提出了摆线针轮行星传动胶合失效 的计算准则；郑州机械研究所还进行了将少齿差摆线啮合用于齿轮泵的研究。辽阳制药 机械厂于1 9 7 8 年首先研制成功两台二齿差摆线针轮减速器，魏祥稚高工在我国率先对 二齿差摆线针轮传动进行了成功的实践探索；郑州工学院冯澄宙教授也对二齿差摆线针 轮传动原理、强度计算、短幅外摆线齿轮的公法线测量方法进行了研究；大连铁道学院 马英驹教授对二齿差摆线轮齿廓项部曲线参数与复合齿形进行了优化计算；大连铁道学 院李力行教授并首次提出了一种考虑了摆线轮修形及受力零件弹性变形影响的准确摆 线轮受力分析方法和公式，特别是首创了_ 种修形后，工作部分符合共轭条件的摆线轮 优化新齿形；根据对摆线针轮行星传动特性分析及对摆线轮齿形精确测量的实际需要， 提出能概括各种齿形修行的通用的摆线轮齿形方程式。但摆线针轮行星传动还存在下述 问题：转臂轴承处在高速重载下工作，轴承寿命较短；输出机构中的销轴是悬臂式 结构，受力不均匀，影响运动精度，而且易产生折断破坏。 4 四环板针摆行星减速器的工作原理及特点 四环板针摆行星传动是在分析比较以渐开线为齿形的诸种环板式减速器和常规摆 4 1 一输出轴 2 摆线轮 3 带针轮的环板 舢输入轴 5 主动同步带轮 6 _ 同步带 7 - 从动同步带轮 8 - 从动曲柄轴 环板针摆行星传动机构简图 r i n g - p l a t e t y p er e d u c e r d r i v e nb yc i n c t u r c 1 输出轴 2 摆线轮 3 带针轮的环板 4 ，9 主动曲柄轴 5 ，8 从动齿轮 6 主动齿轮 7 输入轴 景2 三齿貔双黧酾臻嚣帆n 一渺 f i g 2s k e t c hm a p o ft h ed o u b l ec a n kf o ：。n n g p l a e y p c1 “。 一 一般裤粼獭禅 脯黼绷 大连交通大学丁学硕十学位论文 0 1 、3 一分别为各由一电机驱动的两根输入轴 2 、2 一相位相同带针轮的环板 2 ”一相位相同的二片带针轮的环板， 与2 、2 。相位差1 8 0 。 4 一输出轴 5 一摆线轮 图3 双电机驱动双曲柄四环板针摆行星传动机构简图 f i g 3s k e t c hm a po ft h ed o u b l ec r a n kf o u rr i n g - p l a t e - t y p ec y c l o i dr e d u c e r d r i v e nb yd o u b l ee l e c t r om o t o r s 5 论文的主要工作 本文研究的对象是综合考虑时变啮合刚度、误差和齿侧间隙的非线性多自由度环板 式针摆行星传动系统，对其动力学行为进行研究，具体的研究内容如下： ( 1 ) 对齿轮系统的动态激励进行了介绍，重点研究了刚度激励与误差激励的计算分 析方法。文献【9 】运用有限元分析软件计算了针摆行星传动系统一个啮合周期内啮合刚度 的离散值，本文在此基础上对这些离散值进行曲线拟合，通过快速傅里叶变换得到时变 啮合刚度的表达式并给出了摆线轮啮合刚度的频谱图，为后文的研究提供了理论依据和 数据来源。 ( 2 ) 采用集中质量法建立了环板式针摆行星传动的非线性动力学模型，模型中考虑 了时变啮合刚度，齿侧间隙，误差等因素。用拉格朗日方法推导了系统的动力学微分方 程，并建立相对坐标系，消除了系统的刚体位移，并对方程进行了无量纲化处理，为后 面的计算奠定基础。 ( 3 ) 论述了非线性动力系统进行分析所涉及到的理论基础，介绍了r u n g e k u t t a 数值 积分方法。基于第二章建立的微分方程组，研究了相应的解法，虽然前文推导公式仅考 虑一次谐波，但由于齿轮系统多时变参数，多间隙非线性以及受到复杂的外载荷的作用， 其动态响应的频率成分将很复杂。本文应用多自由度解析谐波平衡法求解系统动力学微 分方程组，得到了锄个代数平衡方程组。 ( 4 ) 在第三章得到的3 咒个方程组的基础上，采用数值计算方法拟牛顿法进行迭代求 解了环板式针摆行星传动系统的稳态响应，给出了线性系统和非线性系统的频响特性曲 线，并分析了间隙、时变啮合刚度、误差等参数对系统动力学特性的影响。 ( 5 ) 研究了环板式针摆行星传动系统非线性动态特性。分析了在不同激励频率和齿 侧间隙下系统的动态特性，通过分析各齿轮副的动载荷系数变化规律，讨论了齿轮副三 6 绪论 种啮合冲击状态之间的转换与齿侧间隙的关系，从理论上分析了齿侧间隙对系统的稳态 响应、动载荷等动态特性的影响。 7 第一章齿轮系统时变啮合刚度的计算与分析 第一章齿轮时变啮合刚度的计算与分析 1 1 引言 环板式针摆行星传动作为齿轮传动的一种，具有齿轮传动系统的普遍特性，其传动 系统是一种弹性机械系统，是在动态激励下产生动态响应的。而轮齿啮合刚度随时间的 周期性变化，是产生动态激励、引起啮合过程中产生振动的最主要原因，因此齿轮传动 过程中啮合刚度的变化是固有的，即使对于完全没有任何误差和负载波动等其他因素影 响的理想齿轮，由于啮合刚度的时变性也会形成齿轮系统的内部激励。从某种程度上讲， 正是由于啮合刚度时变性产生的参数激励，使得齿轮传动的动态特性有别于其它一些机 械结构。所以，轮齿弹性变形和啮合刚度变化特性地研究是齿轮动力学分析的基础。 齿轮啮合刚度一般的计算方法是用齿轮所受的力除以齿轮啮合时产生的变形，传统 的计算齿轮变形的方法有基于材料力学的近似公式方法和以有限元法为代表的数值计 算方法。 。 计算齿轮变形的一些方法与计算公式都已经很成熟，并得到广泛的应用。例如直齿 轮变形计算的石川公式，在日本得到了广泛的应用，是轮齿变形计算中带有一定权威性 的计算方法。石川公式把直齿轮近似为梯形，直接用材料力学的公式计算弯曲变形、剪 切变形和接触变形，关于摆线齿轮变形的计算文献【9 】做了相关说明。而自2 0 世纪7 0 年 代以来，人们已经开始采用有限元法计算轮齿的弹性变形和啮合刚度。 本章探讨了齿轮系统存在的几种激励，并做了深入分析。在文献 9 的有限元分析 结果的基础上，对其进行曲线拟合，得到一个周期内啮合刚度的函数表达式，并对其进 行快速傅里叶变换，得到时变啮合刚度表达式，为齿轮非线性动力学模型中刚度函数的 选用形式和处理方法提供了理论依据和数据来源。 1 。2 齿轮系统的动态激励 激励是系统的输入，是进行系统动力学分析的先决条件，因此也是齿轮系统动力学 研究的首要问题。齿轮系统的动态激励分为内部激励和外部激励两大类，外部激励是系 统外部对系统的激励，主要是指原动机的主动力矩和负载的阻力和阻力矩，外部激励的 确定与一般的机械系统是相同的。内部激励是齿轮副啮合中在系统内部产生的，内部激 励问题是齿轮系统动力学研究的重点之，内部激励一般包括刚度激励，误差激励和啮 合冲击激励等，正是由于内部激励周期性的存在适合用谱分析来确定影响内部激励的主 要因素，并采取有效措施减少内部激励。 9 大连交通大学r 学硕十学何论文 1 2 1 刚激励度 由于齿轮啮合过程中啮合综合刚度的时变性而引起的动态激励的现象称为齿轮啮 合的刚度动态激励，简称刚度激励。刚度激励是一种周期性的激励，这也是齿轮传动中 最主要的动态激励之一。 齿轮轮齿的刚度激励实际上它是由于同时啮合齿对数的变化、轮齿的受载变形、齿 轮误差等因素引起了啮合过程中的轮齿动态啮合力产生的，齿轮啮合刚度是和轮齿弹性 变形紧密相关的，周期变化的弹性变形对应着周期性变化的齿轮啮合刚度，而刚度的周 期性变化是任何型式的齿轮啮合所不可完全避免的，所以刚度激励是齿轮系统潜在固有 的特征。轮齿啮合刚度的周期性变化，反映在系统的分析模型( 即动力学方程) 中则是弹 性力项的时变系数，因此刚度激励在性质上是一种参数激励，其力学效应使齿轮处于参 数振动状态，而齿轮系统的动力学问题实际上是一种参数振动问题。 1 2 2 误差激励 在齿轮传动中，齿轮和轮齿的加工和安装过程中不可避免的会引起各种误差，引起 误差的原因主要有两种，一部分是由轮齿受载弹性变形引起的，称为传动误差，另一部 分是由制造误差引起的，仅与制造过程有关，故而称为“制造传动误差”。由于误差的 时变性，这种偏离就形成了啮合过程中的一种位移激励，在齿轮动力学中，将这种由误 差引起的位移激励称为误差激励。在环板式针摆行星传动中针摆传动部分是减速器整机 传动误差的主要来源，文献【1 0 】做了很好的论述。针对其变化规律一般有如下几种处理 方法【1 1 1 ： ( 1 ) 用实测的误差数值表示。当取误差为常数时，常用此法处理。 ( 2 ) 用实测的齿轮误差曲线进行振动计算。计算时，将误差曲线表示某种函数形式。 ( 3 ) 用傅立叶级数表示。设定误差为周期误差，基频为齿频。通常只考虑基频，且 相位可以任意选取。 ( 4 ) 用简谐函数表示。取齿频的简谐函数。 ( 5 ) 用随机数表示。用计算机解振动方程式时，有时把齿轮误差用计算机内的随机 数来表示。这种表示法有一定局限性，只有当齿轮误差为随机无规律变化时才是适用的， 是一种近似的处理方法。 在齿轮动力学研究中，一般采用上述第( 3 ) 种或第( 4 ) 种方法。本文按照第( 3 ) 种方法 假设进行计算，即利用傅立叶级数表示误差为【1 2 1 。 盟 e o ) 一e 面c o s ( i t o t + ) ( 1 1 ) 1 0 第一章齿轮系统时变啮合刚度的计算j 分析 式中，为啮合频率，= 2 册z 6 0 ，l 为摆线轮转速，单位为r r a i n ，z 为摆线轮 齿数：e 面为误差的f 阶谐波幅值；钆；为初相位；n 为所取谐波数目。 1 2 3 外部激励 在上文所述的激励属于齿轮啮合引起的内部激励，齿轮传动系统中其它因素也会对 齿轮啮合和传动系统产生动态激励，如原动机、负载和系统中其它零部件( 如联轴器、 键联接、滚动轴承等) 的基本特性。这些激励统称为齿轮传动系统的外部激励1 1 j 。具体来 讲，产生外部激励的原因有：齿轮旋转质量不平衡、几何偏心、原动机( 电动机或发动机) 和负载的扭矩波动以及系统中有关零部件的激励特性，如滚动轴承的时变刚度、离合器 的非线性等等。在这些因素中，质量不平衡产生的惯性力和离心力将引起齿轮传动系统 的转子耦合型问题，是一种动力藕合问题。对于几何偏心，它引起啮合过程中的大周期 误差，是以位移形式参与系统激励的，由于质量不平衡和几何偏心主要是由加工误差引 起的，因此往往将它们的影响与内部激励一起研究。就外部激励这点来看，齿轮传动系 统同其它机械系统是一样的。 1 3 摆线轮啮合刚度的计算 1 3 1 摆线轮的受力与变形 摆线针轮的传动具有同时啮合齿数多，传动比大等优点，理论上同时啮合齿数能达 到总齿数的一半，但摆线轮要经过等距，移距或转角修形，则同时啮合齿数要少于一半， x蹰nx 图1 1 摆线轮受力模型图 f i g 1 1t h em o d e lf i g u r eo ft h ef o r c eo fc y c l o i d 1 1 大连交通大学1 ：学硕十学位论文 所以求解摆线针轮的啮合刚度是比较困难的。 标准齿形的受力分析是研究修形齿廓受力分析的基础，图1 1 为理想标准齿形无隙 啮合时，针齿与摆线轮啮合的作用力。标准的摆线轮经过等距、移距或等距加移距修形 后，如果不考虑零件弹性的补偿作用，不仅啮合的齿数就达不到针齿总齿数的一半，而 且会变为当某一个针轮齿和摆线轮齿接触时，其余的针齿和摆线轮齿之间都存在着大小 各不相同的初始间隙。 设摆线轮不动，针轮转动，在负载转矩r 作用下，有i = m 到i = n 的针齿与摆线轮发 生接触变形。根据文酬1 3 , 1 4 】有 互。弘吨茎c 争警地 2 ) 式中，e 一第i 个针齿的接触力；f 懈一在妒一一a r m s k 。处或最接近于此处的 摆线轮齿受力最大，它的接触力用k 表示，e ；挚瓦。；t 第f 个针齿啮合点 的公法线或待啮合点的法线至摆线轮中心d 。的距离； z f ；，c 下罢坠 ( 1 3 ) z f = ，c1 i 兰三= 一 ( 1 印 1 + k ? 一2 k l c o s q ，f 锻一第f 对齿的初始间隙；r c 一摆线轮的节圆半径； 6 。缸一受力最大的一对摆线轮齿与针齿的变形。 根据文献【1 4 】，各对齿沿待啮合点公法线方向上的初始间隙驴；可按照下列公式计算 可得： a孵：一arp(1-klcosq)i-41-k21 s i n c p i ) + l m 伊( 1 一下i 粤坠) ( 1 4 )：= = = = = = = = = = = = = 一+ 一1 1 一芦= = = = = = 圭= = = = 2 i1 斗， 1 + k f 一2 k 1c o s r p i4 1 + k f 一2 k 1c o s 够 式中，r 。一移距修正量； k 一等距修正量。 而摆线轮各啮合点公法线方向的总变形或在待啮合点法线方向的位移应为 哦；l i 卢；下罢坠6 一 ( 1 5 ) 1 + k ? _ 2 k l c o s q ，f 式中，一加载后，由于传力零件的变形所引起的摆线轮的转角； 6 。“一受力最大的一对摆线轮齿与针齿的变形。 1 2 第一章齿轮系统时变啮合刚度的计算与分析 显然，在传递转矩时，凡4 大于该位置初始间隙仍的各个齿都将啮合，反之就不 会进入啮合，瓯和够的分布曲线的交点决定出两个对应的角度，这两个角度之间的各 齿即为进入啮合而同时受力的齿。 计算出摆线针轮在任意时刻的受力和变形，即可以求解出e 和反，这样，依据刚度 的定义，可以得出摆线针轮的单齿啮合刚度公式为： k ii 一；啦；， ( 1 6 ) 显然各单齿啮合刚度对摆线针轮整体刚度的贡献是角度的函数，不能简单叠加。因 此先将各单齿啮合刚度转化为等效的扭转刚度，然后再叠加求出摆线针轮整体的等效扭 转刚度。同时，考虑到摆线轮加工误差、装配误差等导致个别齿对不能正确啮合的情况， 因此在式中加入调整系数天，理论上摆线轮同时啮合齿数能达到针齿齿数的1 2 ，但实际 情况只能达到1 3 到1 4 的齿啮合，因此，a 一般取o 5 加7 摆线轮单齿扭转刚度为： 七扭= a t z ? ( 1 7 ) 根据文献【1 5 】得摆线针轮整体的啮合刚度为 “k c o s ( 1 8 ) 1 3 2 摆线轮的刚度计算 在啮合过程中，齿轮的变形是不断变化的，因此齿轮的啮合刚度也是变化的，式( 1 8 ) 3 5 0 0 3 0 0 0 e 芝2 5 0 0 富2 0 0 0 o 21 5 0 0 蜊1 0 0 0 区0 5 0 0 0 0 0 0 刚度 1234 567 891 01 1 1 2 1 31 41 51 61 7 1 8 1 92 02 1 摆线轮转角帔) 图1 2 摆线针轮啮合刚度变化曲线 f i g 1 2t h ec u r v eo fm e s h i n gr i g i da b o u tc y c l o i dg e a r 1 3 大连交通大学1 ：学硕十学位论文 给出的是一个概念性的定义，实际上啮合刚度的大小是随时间变化的，为了准确分析啮 合刚度的变化规律，根据文献f 9 1 有限元方法计算出啮合刚度的离散值如图1 2 所示，横 坐标表示摆线轮转过的度数，纵坐标表示摆线针轮的啮合刚度。由上面的曲线可以看出， 摆线针轮的啮合刚度呈周期性变化，一个周期在1 0 3 度左右。 1 4 摆线针轮啮合刚度频谱分析 齿轮变形和啮合刚度的变化都是以啮合周期为周期的周期函数。在齿轮动力学的研 究中，通常都是假定啮合刚度为某一种简单函数来处理。例如，最一般的情况是以啮合 刚度平均值代替啮合刚度，将其视为常量；或者是把直齿轮啮合刚度作为矩形周期波， 把斜齿轮的啮合刚度作为简谐函数来考虑。由于啮合刚度是周期函数，可以将其展开成 f o u r i e r 级数，确定其频谱特性，这样就有可能在频域内对齿轮啮合刚度进行较为准确的 分析。由图可以看出摆线轮啮合刚度大约1 0 3 0 ，取一个啮合周期内不同啮合位置的离 散啮合刚度值，为了进行傅里叶变换，首先将这些离散点的周期转化为0 一h 上，并对 一个周期上的点进行曲线拟合，得到在一个啮合周期内啮合刚度变化表达式 厂o ) 一1 0 7 2 0 0 0 x 3 9 7 9 7 0 0 0 x 2 + 2 5 4 x l o7 石+ 9 1 3 0 4 0 0 0( 1 9 ) 在一个周期内，采用f i 叮变换方法对式( 1 9 ) 进行离散f o u r i e r 变换【1 2 l ，得到如下的时 变啮合刚度表达通式 ! - k o ) ；k 。+ 罗a j l fc o s ( i w t + 九) ( 1 1 0 ) 符 式中，k 。为平均刚度；为激励频率；妒为初相位：a 。，为第f 阶幅值；疗为谐波次 数。 本文在计算中取一次谐波，得到如下表达式 k o ) = 1 6 1 4 7 x1 0 8 + 3 2 2 9 4 0 0 0 c o s ( a g + ) ( 1 11 ) 取式( 1 9 ) 在时域一个啮合周期内的1 2 4 个采样点，得到一个周期内啮合刚度的离散 值，采用f f t 变换方法对其进行傅里叶变换，得到啮合刚度的频谱图如图1 3 所示，各 频率阶次对应的频率值如表1 1 所示。 1 4 第一章齿轮系统时变啮合刚度的计算与分析 坦 罂 世 菌 图1 3 摆线轮啮合刚度频谱 f i g 1 3t h es t i f f n e s ss p e c t r u mo fc y c l o i dg e a r 表1 1 频率阶次对应的频率值 t a b l e1 1t h ef r e q u e n c yb a n dc o r r e s p o n d st ot h ef r e q u e n c yv a l u e 频率阶次 123 4 5678 91 01 l 角频率 1 3 0 2 6 03 9 04 2 06 5 07 8 09 1 01 0 4 0 1 1 7 01 3 0 01 4 3 0 ( r a d s ) 在图1 3 中可以看出啮合刚度呈阶跃变化形式，啮合刚度频谱中前几阶都有一定程 度的幅值，但一阶成分最高，所以本文在计算时取一次谐波是合理的。 本章小结 本章首先介绍了齿轮系统的动态激励，齿轮系统动态激励是齿轮系统产生非线性的 重要因素，着重介绍了刚度激励及时变啮合刚度计算，根据有限元计算的摆线轮一个周 期啮合刚度的离散值，采用曲线拟合方法得到啮合刚度表达函数，并对其进行f f r 变化， 得到时变啮合刚度的表达式和啮合刚度频谱图，为后续动态特性的分析做好准备。 1 5 第二系统= f 线性动力学模型与方程 第二章系统非线性动力学模型与方程 2 1 引言 在非线性动力学分析中，动力学模型的建立至关重要，合理非线性动力学模型的建 立对方程求解的难易程度与分析结果的可靠性有着直接的联系。与其他机构相比，齿轮 传动系统的动力学研究难度较大，特别是多自由度非线性齿轮系统，在考虑时变啮合刚 度，误差，齿侧间隙等因素的影响时非线性响应特性更为复杂。 已经有很多学者对多自由度齿轮系统进行了研究，如沈允文、王三民、孙涛等人对 两级星型齿轮传动系统的动力学问题做出了较好的研究，并同时考虑了时变啮合刚度， 误差，齿侧间隙对系统动态特性影响。鲍和云、孙志民、刘晓宁等对星型齿轮系统非线 性动力学问题进行了深入的研究，研究了分岔与混沌以及多自由度间隙非线性动力学系 统的复杂动力学行为，并对混沌控制进行了探讨，取得了一些成果和进展【摊1 7 1 。但对环 板式针摆行星齿轮传动系统非线性动力学的研究还很少。本章同时考虑时变啮合刚度， 误差，齿侧间隙等因素建立环板式针摆行星齿轮传动系统的非线性动力学模型，并给出 量纲一化后的非线性动力学方程。 2 2 环板式针摆行星传动非线性动力学模型的建立 研究一个实际的工程结构问题时，总是要对这个结构进行简化，抽象出其主要的力 学本质，建立一个以若干广义坐标来描述的力学模型，称为振动系统，广义坐标的个数 称为这个振动系统的自由度。 2 2 1 系统建模的假设条件 ( 1 ) 不计齿轮啮合时摩擦力的影响； ( 2 ) 原动机和负载的惯性，输入和输出轴扭矩的波动忽略不计； ( 3 ) 啮合副、回转副及支承处的弹性变形用等效弹簧刚度表示，弹簧刚度即为啮合 轮齿的啮合刚度； ( 4 ) 建模时采用集中质量模型，且各环板具有相同的物理参数和几何参数且相位差 1 8 0 0 ： 1 7 大连交通大学【学硕十学位论文 2 2 2 系统动力学模型的建立 图1 是环板式针摆行星传动的运动简图，在图1 1 所示的环板式针摆行星传动中，引 入下面的符号：r b ：回转构件基圆半径；0 ：回转角；x ：啮合作用线上的等价位移；q ；： 曲轴( f 是曲轴的序号) h i ：环板( f 是环板的序号) ；s ：摆线轮。 图2 1 环板式针摆行星传动非线性动力学模型 f i g 2 1n o n l i n e a rd y n a i l l i cm o d e lo ft h er i n g - p l a t e t y p ep i n - c y c l o i d a ld r i v e n 本模型采用集中质量法，将两个曲柄和摆线