（运筹学与控制论专业论文）跳扩散模型下的期权性质.pdf

摘鹱 摘要 早在上世纪7 0 年代许多学者就开始研究一定条件下某些期权价值的性质， 并取得相应的成果，但大多都是在扩散模型下研究的而实际中突发事件的不 可预测性和频发性使得标的资产值常常具有跳跃性，为此本文研究在跳扩散模 型下欧式期权和美式期权价值的一些性质，将文【l 】 2 】中在扩散模型下期权价 值的有关性质推广到跳扩散模型下我们引入了文中称之为“波动率时间”的 随机时间的概念，并在契约函数是凸的情况下证明了欧式划权关于标的资产具 有凸性和单调性，关于波动率具有单调性和连续性以及期权的时间衰减性同 时，对于美式期权而言，我们以百幕大期权为桥梁在欧式期权的基础上证明了 类似的结论 第一章，我们简单介绍期权及其数学模型第二章讨论欧式和美式期权 价值关于标的资产s ( t ) 的性质第三章讨论欧式和美式期权价值关于波动 率口( t ，s ( ) ) 的单调性第四章讨论这两种期权价值关于波动率的连续性和时 间衰减性 关键词跳扩散模型，期权，波动率时间，期权值的性质 a b s t r a c t i nl a s tc e n t u r y7 0 s ，s o m es c h o l a r ss t a r t e dt h e i ri n v e s t i g a t i o na b o u tp r o p e r t i e so f s o m eo p t i o np r i c e si nc e r t a i nc o n d i t i o n s ，a n dg o tc o r r e s p o n d i n gs u c c e s s h o w e v e r m o s to f t h e s ep a p e r sa r es t u d i e di nd i f f u s i o nm o d e l ，a n da c t u r a lp r i c e so f u n d e r l y i n g a s s e t sa r o u n du sa l ea l w a y sh a v i n gt h ec h a r a c t e ro f j u m p sb e c a u s eo fu n c e r t a i n t ya n d f r e q u e n c yo fa c c i d e n t s s ow es t u d yt h ep r o p e r t i e so fe u r o p e a no p t i o np r i c e sa n d a m e r i c a no p t i o np r i c e si nt h ep m s e n tp a p e ri nt h ec o n d i t i o no f j u m p - d i f f u s i o nm o d e l ， a n d g e n e r a l i z ep r o p e r t i e so f o p t i o np r i c e si n 【1 】a n d 2 】f r o md i f f u s i o nm o d e lt o j u m p - d i f f u s i o nm o d e l w ei n t r o d u c et h ec o n c e p tt h a ti sc a l l e d “v o l a t i l i t yt i m e ”i nt h ea r t i c l e a n di nt h ec a s eo f ac o n v e xc o n t r a c tf u n c t i o n , w es h o wm o n o t o n i c i t ya n dc o n v c x i t yi n u n d e r l y i n ga s s e t sf o re u r o p e a no p t i o np r i c e s a n dt h ep r o p e r t i e sf o re u r o p e a no p t i o n p r i c e sa r et i m ed e c a ya n db o t hm o n o t o n i c 时a n dc o n t i n u i t yi nt h ev o l a t i l i t y s i m i l a r l y , t h es a m ep r o p e r t i e sc a nb ep r o v e df o ra m e r i c a no p t i o np r i c e s0 nt h eb a s eo f e u r o p e a n o p t i o np r i c e sb yb e r m u d a no p t i o np r i c e s i ns e c t i o n1 ，w es i m p l yi n t r o d u c eo p t i o na n dm a t h e m a t i c a lm o d e l s i ns e , c t i n n2 ， w es h o wc o n v e x i t ya n dm o n o t o n i c i t yi nu n d e r l y i n ga s s e t sf o rb o t he u r o p e a no p t i o n p r i c e sa n da m e r i c a no p t i o np r i c e s i ns e c t i o n3 ，w es h o wm o n o t o n i c i t yi nv o l a t i l i t y f o rb o t he u r o p e a no p t i o np r i c e sa n da m e r i c a no p t i o np r i c e s i ns e c t i o n4 ，w es h o w c o n t i n u i t yi nt h ev o l a t i l i t ya n d t i m ed e c a yf o rb o t ho p t i o np r i c e s k e y w o r d sj u m p - d i f f u s i o nm o d e l ，o p t i o n ，v o l a t i l i t yt i m e ，p r o p e r t i e so f o p t i o np r i c e s 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢 意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 第1 章引言 期权( o p t i o n ) 是种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量 的某种特定资产的权利期权实际上是一种选择权，期权的持有者可以在该项 期权规定的时间内选择买或不买，卖或不卖的权利，他可以实施该权利，当可 以放弃该权利，最大损失为期权费，而期权的出卖者只负有期权合约规定的义 务按不同的分类标准，期权可分为看涨期权和看跌期权，欧式期权和美式期 权等等 1 1 期权的历史和现状 期权交易始于十八世纪后期的美国和欧洲市场 由于制度不健全等因素影响，期权交易的发展一直受到抑制十九世纪二 十年代早期，期权自营商都是些职业期权交易者，他们在交易过程中，并不会 连续不断地提出报价，而是仅当价格变化明显有利于他们时才提出报价这样 的期权交易不具有普遍性，不便于转让，市场的流动性受到了很大服制，这种 交易体制也因此受挫 直到1 9 7 3 年4 月2 6 日芝加哥期权交易所( c b o e ) 开张。进行统一化和标准化 的期权合约买卖，价格的一致问题才得以解决期权合约的有关条款，包括合 约量，到期日，敲定价等都逐渐标准化起初只开出1 6 只股票的看涨期权，很快 这个数字就成倍的增加，股票的看跌期权不久也挂牌交易，迄今全美所有交易 所内有2 5 0 0 多只股票和6 0 余种股票指数开设相应的期权交易同时美国期货 交易委员会也放松了对期权交易的限制，有意识地推出商品期权交易和金融 期权交易 由于期权合约的标准化，期权合约可以方便地在交易所里转让给第三人 并且交易过程也变得非常简单，最后的履约也得到了交易所的担保。这样不 但提高了交易效率，也降低了交易成本1 9 8 3 年1 月，芝加哥期权交易所提出 了s & p 5 0 0 股票指数期权，纽约期货交易所将期权交易迅速扩展至其它金融期 权上目前，期权交易所已经遍布全世界，其中芝加哥期权交易所是世界上最 大的期权交易所期权交易实质上为期货交易提供了一个规避风险的工具，增 强了期货市场的流动性和稳定性，对期货交易具有保值的经济功能 我国证券市场起步较晚，直到上世纪9 0 年代初，才在上海深圳等地开设证 券交易所，而期权交易则更迟，2 0 0 5 年才在上海证券交易所首次推出“宝钢权 证”这一期权交易，至今也只有几个期权品种“宝钢权证”的诞生开启了金融 衍生产品的大门，为国内证券市场注入新的活力，丰富了投资者的交易策略， 使投资者的理财手段更加灵活有效2 0 0 7 年2 月国务院原则通过了修订后的 期货交易管理条例，该条例将规范的内容由商品期货扩展到金融期货 和期权交易，进一步强化了风险控制和监督管理随着我国市场经济的发展和 金融制度的完善。必将出现越来越多的期权品种以供广大投资者选择，因此从 理论上和应用上对期权的研究都显得十分必要和迫切 1 2 模型介绍与说明 1 2 1 模型介绍 设( q ，莎，p ) 是一完备的概率空间，伍( t ) ，t o ) 是( q ，莎，p ) 上的一 个l 6 v y 过程，对任意a 留( r 一 o ，定义n ( t ，a ) = # 0 8 t ；a x ( s ) 4 ， 其中x ( t ) = x ( t ) 一x ( t - ) ，记号4 ) 表示 中点的个数对给定的u a 和t 0 ，n ( t ，) ) 是( r 一 o ) ，劈( r 一 o ) ) 上的测度，称n ( t ，) 为泊松随机测 度对任意a 留( r 一 0 ) ，令( a ) e ( n ( 1 ，a ) ) ，则p ( ) 是( r 一 o ，留( r 一 0 ) 上的测度，称为过程( x ( t ) ，t 0 ) 的i 名v y 测度在本文中我们假设( r 一 o ) o 。，j ；一舻( 血) o 。令( t ，a ) = n ( t ，a ) 一t v ( a ) ，称n ( t ，) 为校正 的泊松随机测度由k v y n 6 分解定理，存在b r ，盯0 ，使得 x ( t ) = b t + 盯b ( ) + z n ( t ，d z ) ， , j r 一 o 其中6 = e ( x ( 1 ) ) ，b ( t ) 为一标准布朗运动，n ( t ，) = ( t ，) + 加( ) 为一泊松随 机测度，且留一 o ) ，b ( ) 与n ( t ，a ) 相互独立，其三元i 如府征( 6 ，盯，) 由 过程( t ) ，t o ) 唯一确定以( 舅) 谚。表示x ( t ) 的右连续自然盯域流，对给定 的a 留( r 一 o ，( ( t ，a ) ) 关于( 玩) t o 是鞅，故称( t ) 为鞅值测度 设风险资产价格s ( ) 满足跳扩散过程 d s ( t ) = p ( t ，s 0 一) ) d t + 盯( t ，s ( t - ) ) d b ( t ) + z n ( d t ，( k ) ，t 0 ( 1 1 ) j a - o 一2 一 锕l 哿c 其中m 仃是确定性函数，b ( t ) 和( t ，) 分别是对应于雎v y 过程( t ) ，t o ) 的标 准布朗运动和泊松随机测度 无风险资产价格 a ( t ) = e “，t 0( 1 2 ) 其中无风险利率r o 为常数 1 _ 2 2 模型说明 风险资产价格的波动有两方面的原因：一是市场内在的波动性，它使风险 资产价格有一个长期连续的波动，其大小由波动率盯来决定；另一方面是突发 事件的影响，它使风险资产价格产生跳跃性波动，这个波动是短期的间息的， 可用一个复合泊松过程来描述，其大小由l 6 v y 测度( ) 来决定 1 3 研究背景 关于期权价值性质研究的文献是很丰富的早在1 9 7 3 年m e r t o n 就表明在 无套利的情况下，当股票价格在风险中性测度下服从某种分布时，看涨期权的 价值是当前股价的凸函数和增函数c o x 和r o s s 在1 9 7 6 年推广这个结论时指出 当股票价格满足相同的假设时，任何欧式期权的价值都继承了与契约函数相 同的性质在满足一定条件的一维扩散模型下，期权价值通常关于标的资产是 凸的和递增的，关于波动率和利率也是单调递增的，见【3 】期权价值关于波动 率的单调性见【9 】，关于标的资产的凸性见 1 0 】j r y s k 于2 0 0 3 年证明了在扩散模 型下欧式期权价值关于波动率是递增的，见f 2 】e k s u s m 于2 0 0 4 年表明美式期 权价值具有凸性和连续性，关于波动率的单调性和时间衰减性，见 1 】然而在 跳扩散模型中关于期权价值性质的研究颇为欠缺，e e k s l x 6 m 和j t y s k 作过这方 面的研究，得到了期权价值的凸性和单调性，见 4 】 实际生活中突发事件的不可预测性和频发性使得我们研究带跳模型下 的期权性质有了越来越重要的意义本文就是在风险资产价格满足跳扩散模 型( 关于带跳的金融模型的详细介绍见 7 】) 的条件下来研究欧式和美式这两种 常见期权的性质，得到了与文【1 】【2 】中基于扩散模型的期权性质相似的结论 本文结构安排如下：第二章讨论欧式和美式期权价值关于标的资 产s ( t ) 的性质第三章讨论欧式期权和美式期权价值关于波动率盯( t ，s ( t ) ) 的单 调性第四章讨论这两种期权价值关于波动率的连续性和时间衰减性 1 4 定价公式 在介绍期权价值的性质之前，我们先引入几个定价公式，下而均以e 表示 在某个等价鞅测度下取期望 欧式期权定价公式 y ( t ，s ) = e ( 8 ”口“朋( t ) ) | 玩) 垒岛，( e 叫邶( t ) ) ) 美式期权定价公式 p ( t ，s ) = s u p e(e-r(-of(s(reftt i 丁) ) i 玩) ， 、 皇| ， e s f u i t p 易，s ( e 叫r 卅，( s ( r ) ) ) , v l 、7 百慕大期权定价公式 b ( t ，s ) _ 触怕s u p 知 e ( e - r ( ， - t ) t l 朋( r ) ) i 疡) r f f o ，t f 7 垒憎 思，训且，s ( e 叫删朋( r ) ) ) t f t 0 ，1 ，村 、7 其中，扛) 为连续的契约函数，如看涨期权，( z ) = 一七) + ，看跌期权，( z ) = ( k z ) + f a 稀_ a r 中取值的( 玩) 一停时集，t = t o t l 0 ，以。嬲( t ) 表示一切满足条件譬e ( x 2 ( t ) ) d t o 。的。级 可料过程x ( t ) 组成的线性空间对给定的f ( t ) 毙( t ) 及满足条 件厶一 o ) x e h ( x ) i ，( 出) 0 ，6 为常数，则 9 ( z ) = c ( o z + b ) 也是凸函数 证明v a ( 0 ，1 ) ，v x i ，x 2 r ， g o x l + ( 1 一a ) x 2 = c ， 口凹l + ( 1 一o z ) a x 2 + 6 ；c f a ( a x l + 6 ) + ( 1 一o ) ( a z 2 + 6 ) 一 一 c o t f ( a x l + + ( 1 一a ) f ( a x 2 + 6 ) 】 = a g ( z 1 ) + ( 1 一o ) 9 ( z 2 ) ， 故g ( z ) 也是凸函数群 引理2 2 设，( 茁) 是见上的单增( 单减) 函数，a 0 ，c 0 ，6 为常数，则 g ( x ) = c ，( + b ) 也是单增( 单减) 函数 证明 当，( z ) 是兄上的单增函数时，v x l ，z 2 冗，且z l o ( a 8 ) ，q 为在r 上取值的随机 变量，若v z r ，( ，( 缸+ 町) 的期望存在，则 v ( x ) = e ( ( ，( z + ，7 ) ) 也是凸函数 证明v 。( 0 ，1 ) ，v z l ，$ 2 r ， y ( 。z + 1 1 一。) z z ) = e ，g 哆+ ( 一。) z 。) + 7 7 ) = e i ，( n ( z ，+ 叩) + ( 1 一a ) ( f 勋+ 叩) ) e 。 o ( a 8 ) ，( o ( a 8 ) ，7 7 为在r 上取值 的随机变量，若忱r ， ，( + 叩) 的期望存在，则 y ( x ) = e ( ( ，( f 。+ 叩) ) 也是单增( 单减) 函数 证明仅证，( z ) 是单增函数的情况，对于，( z ) 是单减函数的情况类似可证 v x i ，x 2 r ，且z l x 2 ，贝u z 1 + 叩 z 2 + ，7 ( n 8 ) ， v ( x 2 ) 一v ( x 1 ) = e ( ( ， 勋+ q ) ) 一e k ，( f z l + 玎) ) = e l ( ，( z 。+ 叩) 一，( z - + ，7 ) ) 】 0 社 定理2 5 设，( z ) 是冗上的凸( 单增单减) 函数，则欧式期权价值 v ( t ，s ( t ) ) = e ( e - t ( t - t ，( s ( 丁) ) i 玩1 也是s ( ) 的凸( 单增单减) 函数 证明因为在测f f a q t ，雪( t ) 是关于m v y 过程( t ) ，t 0 ) 的自然盯一域 流( 玩) o 的平方可积鞅，由文【6 定理5 3 5 知，存在由雪( f ) 唯一确定的口 r ，f 。，缓( t ) 和g 嬲( z r 一 0 ) ，使得( 0 ，卅有 。鼬) = a + t f ( ) d b j o ( u ) + z 上- 0 g ( 邺) 砌u 川， j 0j r f 0 ， 其中s ( t ) 是标准布朗运动，( t ，) 是泊松鞅值测度，于是有 即) 胡t f f ( u ) d b ( 卅z n - o g ( 让，班( 毗妇) 鼠t ) _ 鼠+ + z 班( 乩，妇 欧式期权价值 v ( t ，s ( ) ) = e ( e - r ( t - t ) ，( s ( 丁) ) 玩) = e ( e ”( t - - t ) f ( e r t 雪( t ) ) i 舅) 、 ， = e e ”。口_ ) ，( e 汀扛+ r f ( 乱) d b ( u ) + z t l 嘶脚删卜， 由引理2 3 和引理2 4 知y ( t ，s ( f ) ) 是s ( ) 的凸( 单增单减) 函数撑 2 2 美式期权价值关于标的资产的性质 下面来介绍美式期权价值关于s ( 曲的性质 引m 2 6 若，( z ) 是r 上凸的契约函数，那么对任何固定的t ，百慕大期权值关于 标的资产s f t ) 也是凸的 证明契约函数是凸的情况下，欧式期权值关于标的资产也是凸的，且两个凸 函数的最大值还是凸的，由百慕大期权准则可证得群 引理2 7 当百慕大期权可能的执行日期变得稠密时，百慕大期权值收敛到相应 的美式期权值，即当一0 0 时，b ( ，8 ) 一p ( t ，5 ) 证明给定一个停时r f o ，卅，令 g n = i n f u 一钍a n ) ，则啊f a n ，且 当_ 0 0 时，r _ f a s ，由控制收敛定理 易。e r ( 7 一，( j s ( 下) ) 一易，。e 一( 7 w 一。) ，( s ( 7 _ ) ) = i 邑，【e 一7 p 一2 ) ，( s ( r ) ) 一e - - r ( w o f ( s ( t n ) ) 1 毋，。i e 一7 ( 7 一。) ，( s ( 7 ，) ) 一e - r ( ”一t ) f ( s ( t n ) ) i 一0 ( 一o 。) 5 m i n f 。o b n ( t ，s ) p ( t ，s ) ，又由注l 知b n ( t ，8 ) p ( t ，s ) ，因此当一 0 0 时，b _ ( t ，$ ) 一p ( t ，s ) 群 。 定理2 8 若，( z ) 是r 上凸的契约函数，则美式期权值p ( t ，s ) 关于标的资产也是凸 锦2 币聂卜杯的簪产的n 届： 的 证明收敛凸函数列的极限还是凸的，由引理2 6 和引理2 7 可得证挣 引理2 9 若，( z ) 是兄上的单增( 单减) 的契约函数，则百慕大期权值u ( t ，8 ) 也是标 的资产的单增( 单减) 函数 证明 由百幕大期权满足的准n o ) 和( 2 ) 及定理2 5 易知撑 定理2 1 0 若，( z ) 是兄上的单增( 单减) 的契约函数，则美式期权值e ( t ，s ) 也是标的 资产的单增f 单减) 函数 证明单调函数列的极限还是单调的，由引理2 7 和引理2 9 易证# 3 章美j 浊? 卉衣的nl 谢扎 第3 章关于波动率的单调性 3 1 欧式期权关于波动率的单调性 在风险中性测度q 下，资产折现价值过程( 雪( ) ，t 0 ) 满足随机微分方程 d 雪( ) 2e n 仃。，s ( t 一) ) d w 7 p ) + f r - ( o x 为q ( d t ，d z ) ，( 3 1 ) 由文【6 】练习6 2 1 0 知当盯( t ，z ) 满足李普希茨条件( c 1 ) 年f l 增长条件( c 2 ) 时，上 述s d e 存在唯一解雪= ( 雪( ) ，t 0 ) ，其中 ( c 1 ) l i p s c h i t z i 盯( t ，z ) 一盯0 ，可) i k , ( t ) l x 一! ，i ， ( c 2 ) g r o w t h f 盯( t ，z ) f 2 碗( t ) ( 1 + i zj 2 ) 记 厂t 厂 n ( t ) = e - r u x n q ( d u ，血) ， j oj r - o x ( t ) = s ( t ) 一( t ) ，y ( t ) = n ( t - ) ， 方程( 3 1 ) 可改写为 d x ( t ) = e 一“盯( t ，e r t ( x ( t ) + ( ) ) ) d w ( t ) ( 3 2 ) 方程( 3 1 ) 有唯一解时，方程( 3 2 ) 也有唯一解，即当条件( e 1 ) 和( c 2 ) 满足时，方程 x ( t ) = z 2 e 一盯( “，e ”( “) + ( “) ) ) d ( 让) 有唯一解由仃粥( t ) ，故x ( t ) 为零初值平方可积鞅 定义3 1 称二次变差( x ，x ) t 为x 的波动率时间，记作7 - ( t ) ，即 邢) 垒z e ( u ，扩( 孙) 吲u ) ) ) 2 d “ 2 z 觑删沁”血， 其中 p ( t ，x ( o ，鲈( t ) ) = 于2 ( t ，x ( t ) ，! ，( ) ) ， 。 厅( t ，x ( t ) ，( t ) ) = e - f r o ( t ，e r t ( x 0 ) + y ( t ) ) ) = e - r t a ( t ，s 0 一) ) 今后我们总假设亏( t ，霉，) 是矿r 豆上的可测函数，且关于z ，均连续， 对子( t ，z ，) 我们提出如下假设： ( c 3 ) 存在正数c 使得对一切t 0 ，有 厅( t ，x l ，y 1 ) 一矛( t ，x 2 ，y 2 ) i c ( i x l z 2 l + i y l s 2 1 ) ( c r 4 ) 存在正数c 使得对一切t 0 ，有i 子( t ，z ，) l c ( 1 + + 川) 由口和厅的关系知，当矛满足条件( c 3 ) 和( g 4 ) 时，必有口满足条件( e 1 ) 和( c 2 ) 引理3 2 设b ( f ) 是尼上的连续函数，“t ) 是r 上的左连续函数，z ( t ，茹，) 是r + r r 上的有界可测函数，对每个固定的t 关于z ，g 均连续，对佗= 1 ，2 ，归纳 定义函数厶( t ) ，其中 厶( 0 ) = 0 ， 厶( t ) = 厶( ：) + 正p ( s ，b ( 矗( ：) ) ，( s ) ) d s ，： t 警，j c = 0 ，1 ， 令，( t ) = h m s u p ，。厶( t ) ，n f ( t ) 是下述方程 ，# ，( t ) = p ( s ，口( ，( 8 ) ) ，! ，( s ) ) d s ，t 0 ( 3 3 ) j 0 关于( g 暖) 的停时解，其中现= 盯( b ( s ) ，8 t ) 证明 记声( t ，b f f ( t ) ) ) = z ( t ，且( ，( ) ) ，! ，( ) ) ，对声( t ，b ( ，( ) ) ) 应用文 2 】的引 理l 即证得该引理撑 引理3 3 设b ( ) 是一布朗运动，s ( o ) = 。o ，f ( t ) 嬲( t ) ，孑( t ，z ，y ) 满足条 件( c 4 ) ，若7 - ( t ) 是方程 r ( t ) = o 铲( s ，b ( r ( s ) ) ，( s ) ) d s ( 3 4 ) 钸1 审y j + 漱曲砗：的，v 渊t q 的停时解那么 e r ( ) ( 1 + 瑶+ e 矿( t ) ) e 3 c ，t 0 址明等n 足一止祭识，田【3 4 ) 口j 得 r ( t ) = j ( o t 5 2 ( s ，b ( r ( s ) ) ，( s ) ) 啊( 。) 。】如 z o t 5 2 ( s ，b ( r ( s ) ) ，y ( s ) ) d s ， 由( c 4 ) 可知 厅2 ( ，。，y ) c 2 ( 1 + j z l + i y l ) 2 3 d o + 2 c 2 + y 2 ) ， 又因r ( 8 ) a 是一有界停时， f t e ( 7 | ( ) ) e j o 铲( s ，b ( 7 _ o ) a n ) ，可( 8 ) ) d s o t e 3 d ( i + s 2 ( r ( s ) ) + 犷( s ) ) 1 d s = 3 c 2 z 1 + e b 2 ( 小) ) + e y 2 ( s ) d s = 3 c 2 z 1 + z 3 + e y 2 ( s ) + e ( r ( s ) ) d s 最后一个等号是因为 e b 2 一( s ) a n ) = e ( b ( r ( 8 ) a n ) 一b ( o ) ) 2 + e b 2 ( 0 ) ：e f r b l a 1 + z i 因 l + x 3 + e y 2 ( t ) + e ( r ( t ) ) 1 + z 3 + e 矿( ) + 3 c 2 ( 1 + 瑶+ e y 2 ( 5 ) + e ( 7 _ ( 8 ) a ) ) d s ，f j 0 由g r o n w a l l s 不等式( 见文【6 】命题6 1 4 ) 可得 1 + 磊+ e y 2 ( t ) + e p ( t ) a ) ( 1 + 磊+ e 矿( t ) ) e 3 c 2 ， 令_ o 。可得e t ( t ) ( 1 + 。3 + e y 2 ( t ) ) e 3 c 2 孝 注2 类似地可以证明e r p ( t ) 0 0 ，v t 0 ，1 p o o 引理3 4 设b ( t ) 是一布朗运动，b ( o ) = x o ，y ( t ) 嬲( t ) ，a ( t ，z ，y ) 满足条 件( g 4 ) ，则方程( 3 4 ) 存在停时解 证明对= 1 ，2 ，定义卢k ( t ，z ，可) = 子2 ( t ，。，y ) an 2 ，由引理3 2 ，存 在t n ( t ) 使得 研( t ) = 卢( s ，b ( t 1 v ( s ) ) ，妒( s ) ) d s j o 定义r ( t ) 垒l i m i r l f n o o 伽( t ) ，这是一个( g 既) 一停时由引理3 3 知s u p e t i v ( t ) o o ，故由法都引理有 e ，- ( t ) l 咖i i l f e t n ( t ) o 。， ( 目 因而r ( t ) 是几乎处处有限的 对给定的t 0 及q ，假定7 - ( t ) ) r ( 荆，如( u ) 2 嬲阶) ( u ) 1 ，嘶) = 。s u p 。i v ( 洲 有无穷多个使得研( t ) a 1 ，固定一个这样的 使三c ( 1 + a 2 + a 3 ) 由 引理3 - 2 知存在停时序列 r 砜，n 1 ) 使得计= l i m 8 u p 。砜，故对充分大 的7 1 , ，有7 n ( t ) 0 ，有n ( t ) 您( t ) 证明假定对某个t o ，丁l ( t ) = 您( ) ，这样的t 是存在的，例如t = 0 令茁= n ( t ) ，口= b ( z ) ，对i s t i l 和某常数m l ，有 t ( s ) 一砰( s ，玩( s ) ) i = l 砰0 ，b ( 7 1 ( s ) ) ，( s ) ) 一砰( s ，雪，0 ) ) 舰i b n ( s ) ) 一引 = 缸i b ( n ( s ) ) 一b ( 7 1 ( t ) ) e h b 藕 r # 连续性，若l s 一引足够小，则 同理，若i s t | 足够小，则 ( s ) 一孑 ( s ，痧，3 ，( s ) ) j 0 如果对某个8 0 ，吃( s ) n ( 8 ) ，定义t 垒i | 1 f s 0 ：见( s ) 7 1 ( s ) ) ，我们 有t 0 且丁2 ( t ) = 力( t ) 由( ) 可知，对某个8 ( t ) 存在与佗无关的o ) o 。，使得对所有的礼 0 ，有n ( t ) 忍( t ) 证明令以( ，$ ，y ) = a k t ，霉，y ) + 石1 ， r n 是方程( 3 9 ) 的相应解，由引理3 6 知， 对每个佗，几乎处处有( t ) 7 1 ( t ) 由引理3 8 知，当仃一o o 时( t ) 一 吃( 亡) a s ，敢丁2 ( t ) r ic o 务 引理3 1 0 假定b ( o 是一个布朗运动，b ( o ) = x o r ，7 1 ，仡是使得n r 2 几乎必 然成立的两个停时，且e 仡 o 和2 k 0 ，z ，y r ， 孔( t ，茁，y ) 方0 ，$ ，y ) ( 礼+ 0 0 ) 也成立如引理3 8 中那样定义和r ，则对t 0 ，当竹一0 0 时， 7 n ( t ) 一7 ( r ) a 8 ， 故b ( ( t ) ) 一b ( f ( t ) ) o 8 令否( ，z ，y ) = 1 + c ( 1 + 蚓+ i y l ) ，则石也是一个满足定理3 5 的条件的波 动率，因此存在满足方程 亍( t ) = 萨0 ，b ( 亍( t ) ) ，可( ) ) ，亍( o ) = 0 的停时解亍由引理( 3 6 ) 知( t ) ：( t ) ，因此 g ( b ( 彳h ( t ) ) c 1 ( 1 + i b ( r n ( t ) ) 1 ) 七c l ( 1 + b + ( 亍( t ) ) ) 知 其中b + ( t ) = s u p o 。tl b ( s ) i b u r k h o l d e r - d a v i s g l l i l d y 不等式及注2 知 e b ( 亍( t ) ) c k e ( 亍( t ) ) 妒 o 。 其中吼为一常数，故由控制收敛定理可得 e g ( b ( ( t ) ) ) + e g ( b p ( t ) ) ) 由定理3 5 知e o ，g ( 蜀。( t ) ) 一e o ，。g ( x ( t ) ) ，即v ( 0 ，8 ，) 一v ( o ，8 ，仃) 孝 引理4 2 设厅满足定理3 5 的条件，0 t 1 t 2 ，若b ( t ) 是一个布朗运动，7 1 ，死是 下述方程 t 0 ) = 亏2 ( t ，b ( n ( t ) ) ，耖( t ) ) ，t t i ，瓦( t ；) = 0 ，i = 1 ，2 的两个停时解，那么对每个t t 2 ，丁1 ( t ) 吨( t ) a 8 证明对t t 2 ，4 2 r ( t ) = r i ( t ) 忍( t ) ，则 7 -