（模式识别与智能系统专业论文）多级直线倒立摆若干问题的研究.pdf

中国科学技术大学硕上学位论文 摘要 摘要 多级直线倒立摆系统是种典型的多变量、非线性、不稳定和具有彳i 确定性 因素的系统。长期以来，它一直被作为验证控制方法有效性和控制系统设计合理 性的工具，成为研究和分析的对象。 本文对多级直线倒立摆系统的三个方面进行研究。这三个方面分别是多级直 线倒立摆的自适应控制器、建模方法和最优摆长组合的选取。 第一个方面，在吸收了p i d 控制以及神经网络结构和算法的基础上，我们 提出了一种具有自适应功能的p i d 型神经网络控制器f p i d l i k en e u r a ln e t w o r k c o n t r o l l e r ，以下简称p 1 d n n c ) 。文中分别讨论了该控制器的结构和输入输出关 系、权值调整、初始权值确定、实时控制策略步骤、稳定性定理和与其它控制器 的对比。然后，使用该控制器对直线二级倒立摆系统进行了控制实验，通过实验 说明了该控制器控制性能优于l q r 控制，并且验证了控制器的鲁棒性。 第二个方面，通过对多级倒立摆的摆杆部分进行更细致的分析，我们改进了 基于l a g r a n g e 方程的直线倒立摆的建模方法。使用改进方法我们建立了直线三 级倒立摆的离散状态空间模型，并给出了仿真控制实验结果，验证了所建模型的 正确性。 第三种方法针对多级直线倒立摆系统的最优摆长设计进行研究。我们提出 种最小模特征根方法，使用该方法能够定量地判断直线倒立摆系统的相对能控 性，从而选择合适的摆长组成相对能控性最优的系统。我们将该方法应用于直线 三级倒立摆，得到了最优摆长。 关键词：多变量控制系统；神经网络 摆；倒立摆系统建模：l a g r a n g e 方程 级倒立摆 p i d 控制器；自适应算法；多级直线倒立 能控矩阵；相对能控性；特征根：直线：三 中国科学技术大学项十学位论立 a b g t m c t a b s t r a c t a sa s y s t e mw i t hm u l t i p l ev a r i a b i e s ，n o n l i n e a rf e a t u r e s ，u n s t a b l ec h a r a c t e r sa n d u n c e r t a i n t i e s ，m u l t i p l el i n e m i n v e r t e dp e n d u l u mi su s u a l l yr e g a r d e da sat o o lo f d e m o n s t r a t i n gt h ee f f e c to fc o n t r o la l g o r i t h ma n dt h ef e a s i b i l i t yo fc o n t r o ls y s t e m d e s i g n t h r e ea s p e c t si n m u l t i p l el i n e a ri n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e ma r ei n v e s t i g a t e di nt h i s t h e s i s t h e ya r ea d a p t i v ec o n t r o l l e r , m o d e l i n gm e t h o da n ds e l e c t i o no fo p t i m a ll i n k s f i r s t ，b a s e do nt h ep i dc o n t r 0 1m e t h o da n dn e u r a ln e t w o r k ss t r u c t u r ea n da l g o r i t h m a n a d a p t i v e p i d - l i k en e u r a ln e t w o r k c o n t r o l l e r ( p i d n n c ) i sp r o p o s e d t h e p r o p e r t i e so fp i d n n c ，w h i c h i n c l u d es t r u c t u r e ，i n p u t o u t p u te q u a t i o n s ，a d j u s t m e n to f n e u r a jn e t w o r kw e i g h t s ，d e t e r m i n a t i o n so fi n i t i a l w e i g h t s ，r e a l t i m ec o n t r o 】s t r a t e g v s t a b i l i t yt h e o r y a n dc o m p a r i s o nw i t ho t h e rc o n t r o l l e r s ，a r ed i s c u s s e d s e p a r a t e l y m o r e o v e r t h ep i d n n ci su s e di nt h ee x p e r i m e n tt oc o n t r o lt h e1 i n e a rd o u b l ei n v e n e d p e n d u l u m n l e r e s u l to f 也e e x p e r i m e n ts h o w s t h a tt h ec o n 打o lc a p a b i l i t yo fp i d n n c i ss t r o n g e rt h a nt h a to f l q r a n di ta l s od e m o n s t r a t e st h er o b u s t n e s so fp i d n n c 。 s e c o n d ，a f t e ra n a l y z i n gt h el i n k so f m u l t i p l el i n e a ri n v e r t e dp e n d u l u mm o r ep r e c i s e l y , t h e m o d e l i n gm e t h o db a s e do nl a g r a n g ee q u a t i o n i s i m p r o v e d b yu s i n g t h e i m p r o v e dm e t h o d ，t h es t a t e s p a c em o d e lo fl i n e a rt r i p l ei n v e r t e dp e n d u l u mi s b u i l t t h es i m u l a t i o nr e s u l to fc o n t r o li sg i v e n ，w h i c hi n d i c a t e st h a tt h ei m p r o v e dm e t h o di s h e l p f u l t h i r d ，am i n i m u mm o d u l ee i g e n v a l u e ( m m e ) m e t h o di sp r o p o s e dt oi n v e s t i g a t et h e o p t i m a ll i n k ss e l e c t i o no fm u l t i p l el i n e a ri n v e r t e dp e n d u l t u n t h em m e m e t h o dc a r t i u d g er e l a t i v ec o n t r o l l a b i l i t yo fd i f f e r e n t1 i n e a ri n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m s t h e ni t t e l l sw h i c hl i n k sc a l qb et h eo p t i m a ll i n k st oc o r n p o b et h em u l t i p l e1 i n e a ri n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e mt h a th a st h eb e s tt e l a t i v ec o n t r o l l a b i l i t y t h i sm e t h o di su s e di n l i n c a rt r i p l ei n v e r t e dp e n d u l u ma n dt h eo p t i m a ll i n k sa r eg i v e n k e yw o r d s ：m u l t i p l ec o n t r o ls y s t e m ；n e u r a ln e t w o r k s ；p 1 dc o n t r o l l e r ；a d a p t i v e a l g o r i t h m ；m u l t i p l el i n e a ri n v e r t e dp e n d u l u m ；i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mm o d e l i n g ； l a g r a n g ee q u a t i o n ；c o n t r o l l a b i l i t ym a t r i x ；r e l a t i v ec o n t r o l l a b i l i t y ；e i g e n v a l u e ；l i n e a r t r i p l ei n v e r t e dp e n d u l u m i i i 中陶 4 导技术大学硕上学位论文 敛谢 致谢 在这篇论文完成之际，我谨向我的导师一丛爽教授表示衷心的感谢。感谢她 在我研究生三年学习中给予我的谆谆教导i 感谢她不仅向我传授知识，更身体力 行地告诉我怎样做名研究者。丛老师以她严谨的治学态度、缜密的思维方式和 忘我的工作精神成为我一生学习的榜样。 同时，也要感谢科大自动化系的魏衡华、吴汉生和张玉斌老师，感谢他们为 我提供实验仪器并帮助我排除仪器故障，以使我的研究工作能够顺利进行。 感谢张冬军同学，他所做的工作为我的继续研究打下了基础，同时他本人在 我研究的起步阶段也给予了我莫大的帮助。 感谢实验室的杜浩藩、王恰雯、程剑锋、张耀欣、戴谊、郑毅松、魏子翔、 钱辉环和郑洁同学，虽然他们中的很多人已经或者即将离开科大。感谢他们曾经 给予我的研究上的帮助，感谢他们共同营造了一个良好的实验室氛围，也感谢他 们和我一起度过了这三年难忘的时光。 感谢我的父母和女友，感谢他们对我的支持和生活上的帮助，是他们给予了 我前进的动力。 谨以此论文献给我的父母1 2 0 0 5 年5 月5f | 中国科学技术大学硕上学位论文 第牵引言 第一章引言 1 1 研究现状和研究动机 多级鸯线倒立摆系统的研究从1 9 世纪5 0 年代开始。作为一类典型的多变量、 非线性、不稳定和具有不确定性因素的系统，这一课题一直吸引着研究者的兴趣。 多级直线倒立摆系统既可以作为控制平台进行控制器的研究 1 1 1 2 ，又可以凭借 自身的不稳定、非线性和机电一体化特性使其本身成为研究的对象【3 】【4 】。 人们一般从两个方面对多级直线倒立摆系统进行研究。 第一个方面是对多级直线倒立摆的控制方法进行研究。这部分内容包括应用 于多级倒立摆机构上的经典控制理论【5 】、现代控制理论中的状态反馈控制 【6 】【7 】【8 】、模糊逻辑控制 9 】【l o 】【l l 】【1 2 】、神经网络控制u 3 d 4 和拟人智能控制【1 5 】 等。 第二个方面是对多级直线倒立摆系统本身进行研究。这其中包括非线性特性 1 6 2 2 ，系统建模【2 3 - 2 6 和系统能控性 2 7 2 8 1 1 2 9 和稳定性【3 0 】等。 在本文中，我们从三个领域对多级直线倒立摆系统进行研究。它们分别是直 线倒立摆系统的控制器、多级摆系统建模、以及倒立摆的最优摆长设计。以下是 这三个领域的研究现状和我们的研究动机。 1 多级直线倒立摆系统的控制器。线性最优二次型控制是常见的多级直线倒立 摆的控制方法，它主要包括l q r 和l q y 3 1 】。 从研究结果看，线性最优二次型控制器的优点是它们具有完备的理论依据， 其控制量在数学上是最优的，适于控制数学建模后的多级直线倒立摆系统。而它 的不足在于，l q r 和l q y 等控制器的反馈控制矩阵在开始控制前已经确定，控 制中无法进行调整，不具备自适应能力。而倒立摆系统因为其非线性特性和不确 定性因素，往往需要自适应控制策略以弥补自身的不足。 因此，为了提高多级直线倒立摆的控制性能，我们需要设计一种多变量、自 适应、能够在线调节参数的控制器。 2 多级直线倒立摆系统的建模。前面已经提到，状态反馈控制器是基于倒立摆 的数学模型的，因此建模的好坏直接关系到状态反馈控制器的设计，从而影响控 中同科学j 求人学硕士学位论文第章 l 击 制结果。 在商线倒立摆研究的早期，f u r u t a 2 3 芹nm e i e r 2 4 就刘该系统的建模进行了 研究。现在的倒立摆装置已经不同于f u r u t a 时代，但建模方法仍然分为两种思 路，- - e e 是使用l a g r a n g e 方程对系统进行建模 2 5 】，另一种是对各摆杆分别建立 牛顿力学方程来建模 2 7 】。从文献 2 5 2 7 】中可以看出，对于多级倒立摆系统， l a g r a n g e 方程建模更为简便。 随着研究的深入，研究者的经验表明，为了提高多级直线倒立摆的控制性能， 建模时需要对系统进行更细致的分析，从而建立更精确的数学模型以弥补非线性 特性和不确定性因素所带来误差。这促使我们对多级直线倒立摆的模型进行更细 化的研究以提高系统的控制性能。 3 直线倒立摆的最优摆长设计。在线性理论中，能控性决定着被控系统的控制 性能。一直以来，人们通过考察能控矩阵的秩来判断直线倒立摆系统的能控性 2 8 ，继而通过能控性来判断直线倒立摆是否能控。但这仅仅是定性的研究，我 们希望能够找到一种定量分析方法来指导倒立摆摆长的选取，从而从理论上得到 最优摆杆长度的选取法则来保证多级直线倒立摆系统具有最优的控制性能。 1 2 本文安排 本论文的安排如下： 第一章为引言，介绍本文研究领域的研究现状和本文的研究动机，给出文章 结构。 第二章介绍多级直线倒立摆控制系统基础。内容包括两种建模方法一牛顿受 力分析和l a g r a n g e 方程，线性最优二次型控制，多级直线倒立摆系统的仿真控 制以及控制系统的硬件和软件结构。 第三章提出我们设计的p i d 型神经网络控制器( p i d n n c ) ，并分别讨论了 p i d n n c 的设计基础、结构和输入输出关系、权值调整、初始权值的确定、实叫 控制策略步骤和稳定性定理，并将p 1 d n n c 与p i d 和线性最优二次型控制器进 行对比。 第明章给出p i d n n c 控制直线二级倒立摆的实验结果，并将其与l q r 控制 结果进行对比，同时验证p i d n n c 的鲁棒性。 中国科学技术大学顼土：学位论文 第一章引言 第五章讨论多级直线倒立摆系统的建模。通过对摆卡f 结构进行细化分析改进 基于l a g r a n g e 方程的建模方法，在使用改力法建立三级直线倒立摆模型之后， 用仿真控制实验对所建模型进行验证。 第六张提出最小模特征根方法，并使用该方法指导直线三级倒立摆系统最优 摆长的选取。其内容包括方法介绍、不同摆长下的性能分析实验和该方法在三级 直线倒立摆系统上的应用。 第七章对本文内容进行总结，并提出展望。 中国科学技术丈学碗上学位论支 第一章多级直线倒立摆控制系统基础 第二章多级直线倒立摆控制系统基础 2 1 直线倒立摆系统建模 在直线倒立摆的实际控制中，我们的最终目标是建立系统的离散状态空间模 型。建模的过程如图2 ，l 所示 平衡息阿也氧1 i _ 芏1 j 6 、 i 实际系统运动方程 图2 1 直线倒立摆系统建模过程图 从图2 1 中可以看出，直线倒立摆系统的建模分为三个步骤： 1 ) 对实际系统列写运动方程； 2 ) 在平衡点对运动方程线性化以建立系统的连续状态空间模型； 3 ) 对模型进行离散化得到计算机控制所需要的离散状态空间模型。 在这个过程中，工作量最大的一+ 个步骤是列写运动方程。牛顿受力分析和 l a g r a n g e 方程是两种典型的列写运动方程的方法。一般来说，牛顿受力分析理论 简单，但对每一个部件都需要列出受力分析方程，因此如果倒立摆级数增多会导 致r ：作量增大，所以牛顿受力分析不适合多级直线倒立摆系统；l a g r a n g e 方程属 于分析力学范畴，虽然有一定的理论深度，但应用并不复杂，而且适用于多级倒 立摆系统，因此从直线二级倒立摆开始我们采用该方法列写系统的运动方程。 本节将分别以直线单级和二级倒立摆为例讨论这两种列写运动方程的方法。 在列写出运动方程之后，在平衡点对其线性化可以得到连续系统状态。问模 型，然后代入系统参数，应用m a t l a b 软件可以很方便地计算出离散状态空间 模型。 中圈科学技术大学硕士学位论文 第二章多缀直线倒立摆控制系统是础 2 1 1 使用牛顿受力分析方法对单级赢线倒立摆系统建模 在忽略了空气流动和各种摩擦之后，可将单级倒立摆系统抽象成小车和匀质 杆组成的系统，如图2 2 所示。 图2 2 倒立摆系统示意图 图2 2 中各符号和变量对应在表2 1 中表示。 表2 1 各符号所表示的变量 m小车质量 m 摆杆质量 b小车摩擦系数 l摆杆转动轴心到秆质心的长度 i摆杆惯量 f加在小车上的力 x小车位置 中摆杆与垂直向上方向的夹角 e 摆杆与垂直向下方向的夹角( 考虑到摆丰t 初始位置为竖直向f ) 图2 3 是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，和户为小车与摆杆 日 互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因阳 欠量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。 中国科学技术大学硕士学位论文第二章多缎直线倒1 l 摆控制系统基6 出 p l 一一- - x l 一一- x 图2 3 单级直线倒立摆系统中小车和摆杆的受力分析图 应用牛顿受力分析方法来建立系统的动力学方程过程如下 分析小车水平方向受力，得到： 即：n ：，t 践+ m l o c o s 9 一m 1 0 2s i n 把式( 2 2 ) 代入式( 2 1 ) 中，就得到系统的第一个运动方程 p ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 时+ m ) 莹+ 扳+ m l o c o s o m l o 2 s i n ( 9 = f( 2 3 ) 分析摆杆垂直方向受力，得到： p m g = 卅事( 蛔s 目) 力矩平衡方程如下 即：p m g = 一m l o s i n ( 9 一r a l o 2 c o s o p i s i n e n i c o s 8 = 1 8 注意：此方程中力矩的方向，由于目= r - + 庐，c o s = 一c o s 0 ，s i n b = 一s i n 0 ，故 等式前而有负号。 合并这两个方程，约去p 和v ，得到第个运动方程： 6 l i 孑 绷 忙 中嗣利学技术入学硕士学位论文第二章多级直线倒立摆控制系统摹础 ( ，+ m l2 ) 0 + m g l s i n 0 = 一m l g c o s 0 ( 2 4 ) 设0 = 丌+ ( 妒是摆杆与垂直向上方向之间的夹角) ，假设矿与1 ( 单位是弧 度) 相比很小，即1 ，则可以进行线性化近似处理：c o s 0 = 一j ，s i n 臼= 一巧， 喙灶o 。 假设在控制系统中，控制信号为施加给小车的加速度信号，因此如果选择“ 来代表控制信号，有这样的关系 f = m u 。 对式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 线性化后得到如下两个运动方程： ( ，+ 埘，2 弦一喇= ? 废( n5 ) l ( f 几i ，s 十, ，”) 量+ 6 费一川，= m u 方程组( 2 5 ) 对章，解代数方程，得到解如下： 戈= - 万( 1 丽+ m 丽l 2 ) b j + 万m 圳2 9 + 1 2 。+ 万m ( 面i + 丽m 1 2 ) i ( m m m l i ( m m m l i ( m m m l “ + 牌) + 2 + 研，+ + 删) + 2 = 西= 一m l b i ( m + m ) + m i n i 2 。+ 整理后得到连续状态空间方程 少= 0l o二垡丛生： ，( 肘4 - 珊) + m m l 2 00 m l b i ( m + m 、+ m m l 2 ： 00 01 m万gl丽(m丽+m)i(m m m l 矿+ 卅、+ 。 m 2 9 l 2 i ( m + m 、+ m m l 2 o m g l ( m + m 1 i ( m + m 、+ m m l 2 懵 i ( m + m ) + m m l 2 “ 将系统参数代入以上连续状态空间方程，再用m a t l a b 中的c 2 d ( ) 函数对其离 散化就可以得到离散状态空间方程。这一步骤这里不再赘述。 门叫引“则 叽斗 xx西， o o 中国科学技术大学硕士学位论文第二章多级直线倒立摆控制系统基础 2 1 2 使用l a g r a n g e 方程对直线二级倒立摆系统建模 2 ，1 2 1 l a g r a n g e 万程 l a g r a n g eh - 程属于分析力学的范畴，其中特有的概念包括r 义坐标和、义主 动力。在分析力学中，质点系的虚功可以表示如下 删= 吃- 国， ( 2 6 ) 其中，吃称为对应于第，个广义坐标g ，的广义主动力，a 7 ，是广义坐标q ，的广 义虚位移。因为国，可以是虚线位移，也可以是虚角位移，因此屹可以有力、也 可以有力矩的量纲，这体现了广义力的广义性。 基于广义坐标和广义主动力的l a g r a n g e 方程的推导在分析力学中有详细的 描述，本文中我们只对l a g r a n g e 方程进行应用，因此舍去其推导过程，详细的 推导可以阅读参考文献( 3 2 。下面给出l a g r a n g e 方程的几种形式。 基本形式丢+ 瓦o t 婚川， ， 捌洧势的腻鲁旦o q , _ 0 川， ( 2 8 ) 主动力包括有势力与非有势力的形式景c 考j - 嚣2 小l ，一，( 2 9 ) 其中，l = t v ，为l a g r a n g e 函数，t 为质点系的动能，v 为质点系的势能。 在我们的建模过程中主要使用公式( 2 9 ) 。 2 1 2 2 建模过程 直线二级倒立摆的系统结构如图2 4 所示。 带有消耗能的包括有势力与非有势力的l a g r a n g e 方程形式为 詈( 豪卜等+ 瓦o r 喝，川如，s c z ， d l 硇；3a q ? 呱。一j 其中， 为l a g r a n g e 函数，r 和p 分别为质点系的动能和势能，r 为系统的消耗能 中臣科学技术人学颤士学位论文 第二章多级直线倒立摆控制系统基础 电 图2 4 直线二级倒立摆的系统结构图 q j ( ，= 1 ，2 ，s ) 为广义坐标，o j 为广义坐标吼对应的广义力。使用l a g r a n g e 方 程的建模过程为： 1 1 列写运动方程 在直线二级倒立摆系统中，广义坐标为x ，o l 和吼。根据图2 , 4 ，我们列写 出系统的动能为 t = + 1 + 0 2 + l 3 ( 2 1 2 ) 其中，、0 ，、l ，和l ，分别为小车、摆杆1 、摆杆2 和质量快1 的动能，它 们分别为 = 三2 腑2 ( 2 1 3 ) 乙= 咒，- i - t l 其中，咒，为摆杆1 质心平动动能，为摆杆1 绕质心转动动能，它们分别为 死。= 辄坠 2 + ( 学) 2 卜夕吲鼬最咖御 t m l 兰，砰= 丢( ；删砰) 鲆= 言m 衙印 所以得到 碥= 死h ：。= ；町21 ”反c 。s 鼠+ ；m 。衍 ( 2 1 4 ) 中鼠科学技术大学硕士学位论文第二章多级直线渤苞拦控制系统基础 瓦，：= ，：+ ： = ：鸭b ! 一z i ( 2 f 1 包c 。s 6 i + 毛息c 。唱+ ；f a ，御+ 导g g + 。鸲馥岛c 。积q ) 瓦，叫( 华+ d ( 2 l lc _ o s o t ) 2 = 扣舡2 m 3 f 1 鸸c 。s ”2 m ，衍 因此，可以得到系统动能为 f 215 ) ( 21 6 ) t = + l n + 艺2 + 乙3 = 圭 教2 + 丢m 膏2 一强u 反c 。s 只+ ；p 牟+ 圭g 2 2 t e f l 馥c 。s 最+ 城c 。s 嚷 + ；m ：( 。稽+ 扣2 2 + 4 1 1 1 2 鹕c 。积一b ) ) + 圭肌夕勘 椰啷砌并评 ( 2 1 7 ) 系统的势能为 y = 1 + k 2 + 巧3 = m 醇c o s 岛+ 2 m 3 9 l ic o s 岛+ m 2 9 q j jc o s 岛+ ? 2c o s 9 2 ) ( 2 1 8 ) 从而得到l a g r a n g e 函数为 l = t 一矿 = 圭临2 + l m t j - 2 - m r 棚c 嘲 2 3 m ，嘏+ 圭g 2 氆阶c 。s b + 城c 。s 岛 + ；m ：( 4 橱+ j 4 鹕2 2 十4 j l 如色岛c 。配一幺) + i r n 3 c x 2 - 2 嘲i 反c o s b 砌并唧 一r b i g l l c o s s l 一2 m 3 9 l l s 岛一所2 9 ( 2 1 1 e o s o l + f 2 c o s 0 2 ) ( 2 1 9 、 对广义坐标q ，o ：，由于在幺，晚上均无外力作用，故列写l a g t a n g e 方程得到 曼f 里生1 成l a 反j d fa l1 瓦l 丽j 堕：o a a 旦：o 务馥 将式( 2 1 9 ) 代入( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 得到 1 0 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 中国科学技术大学额七学位论文第幸多级直线例立摆控制系统基础 6 坍2 1 2 t ) ，2s i n ( 0 2 一0 0 + 4 ( m l + 3 ( 州2 + 加3 ) ) ，l e 一3 ( - 2 m 2 ，2 0 2 c o s ( 0 2 一鼠) n 2 2 ) + ( + 2 ( 2 + m s ) ) ( g s i n o t + y ：c o s 0 0 ) = 0 “ 3 9 s i n b 一6 l ，牟s i n ( 6 l 一舅) + 4 ，2 晓+ 6 1 l i c o s ( o ：一鼠) 一3 2 c o s 0 2 = 0 ( 2 2 3 ) 将( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 式对巨，哦求解代数方程，得到 醴= 【3 ( 一2 9 m ls i n 0 1 4 9 m , _ s i n 0 1 4 m 3 9 s i n 0 1 + 3 m 2 9 c o s ( 0 2 一o o s i n 0 2 + 锄：f , c o s ( o , 一0 2 ) s i n 一岛) 评+ 4 朋z 1 2s i n 娼一幺) 彦2 m ，i c 。s o i ( 2 2 4 ) 一4 m 2 c o s o , 一4 m 3 5 i c o s o t + 3 m 2 i c o s ( o , 一o o c o s 0 0 ) ( 2 t 1 ( 一4 m 1 1 2 m 2 一1 2 嘏3 + 9 m 2 c o s 2 ( e , 一岛) ) ) 包= 一( 一石4 ，1 2 ( + 3 ( m 2 + m o l i 2 1 2 ( 一3 9 s i n 0 2 - 6 i f ) 1 2 s i n 一0 2 ) 一3 量c o s 砬) + 委z ，? f 2 c o s ( o ，一睦) ( 6 埘2 如岛s i n - 0 0 3 ( + 2 ( 研2 + m s ) ) ( g s i n o ，+ i c o s 只) ) ) ( 一芸m ：( + 3 ( m 2 + 鸭) ) 譬置+ 4 2 2 ：2 c 。s 2 ( 鼠一岛) ) ( 2 2 5 ) 在系统中，我们采用对小车施加加速度信号作为控制量，因此还能够得到方程 “= z ( 2 2 6 ) 2 ) 平衡点线性化 在系统平衡点位置对式( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 进行线性化。直线二级倒立摆系统的 平衡点为 x = b = 0 2 = t = 0 1 = 0 2 = 0 因此，线性化原则为s i n o , = 只，c o s o f = 1 ，只= 9 = 0 ，( f = 1 , 2 ) 。线性化后得到 参：3 ( - 2 9 m i - 4 9 m z - 4 9 m 3 ) o j + 1 2 ( - 4 m l 一3 m 2 1 2 m 3 ) l l 3 ( 一2 m 【一m 2 4 m 3 ) 一 2 ( - 4 m i 一3 m 2 一1 2 m 3 ) f 9 m 2 9 2 ( _ 4 一3 m 2 1 2 m 3 ) f 或2 磊2 i g m 了z ( m i i+2(m丽2+m3)11212 ( 。2 7 ) b一磊磊49in2霉(m,+忑3(m2i+m3蕊)11212 中国科学技术大学硕士学位论文第一章多级直线倒立拦于牵制系统基础 2 m 2 ( 埘，+ 2 ( 2 + m 3 ) ) 砰，2 4 m ，( 川，+ 3 ( 聊2 十m ，) l t 2 l ! + 霹磊磊f 嗤 妲2 勖 3 ) 列写连续系统状态方程 如果取系统状态变量为 = x ，x ：= 0 1 ，b = 0 2 ，x 。= i ，x ，= d ，氏= 幺， z = i x ，z ：码x 。z ，x 6 】7 ，由( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 可以写出连续状态空间 方程为 膏= a x + b u ( 2 2 9 ) 其中， 。繁筹籍署2 ( 4 嘲一3 坞一1 2 鸭) f i 。赢笺畿 o 0 o 0 9 m 2 9 2 ( - 4 m j 一3 m 2 一r a m , ) 4 1 1 垡! 垫! 墨竺! 坠塑生 3 ( 4 嵋f 碍一萼m ：( 码+ 3 ( + 鸭) 坪譬) 0 0 0 1 3 ( - 2 m t m 2 4 m 3 ) 2 ( - 4 m l 一3 m 2 1 2 m 3 ) f 2 m = ( m 。+ 2 ( 川2 + 川，) ) ，? ，2 一 m 2 ( 脚。+ 3 ( m 2 + 用，) f ? ，2 4 坼獬一萼纵”3 ( 肼：+ m 3 州? ，z 2 oo o 0oo f 2 3 0 ) ( 2 3 ” 4 ) 连续系统离散化 在计算机控制系统中，被控系统应该为离散系统，因此我们还需要对系统 ( 2 2 9 ) 离散化。将系统参数代入式( 2 2 9 ) ，然后调用m a t l a b 中的c 2 d ( ) 函数就 可以得到系统( 2 2 9 ) 对应的离散系统，其表示为 中国科学技术大学硕上学位沦文 第二章多级直线倒立摆控制系统基碱 x ( j i + 1 ) = a d x ( k ) + b d u ( k ) 其中，a 。，和b 。为离散系统参数。 f 2 3 2 1 式( 2 3 2 ) 即为我们最终需要的系统模犁，至此，我们已经使用l a g r a n g e 方程 建立了直线二级倒立摆的数学模型。 2 2 直线倒立摆的常规控制方法 直线倒立摆的常规方法主要包括p i d 和线性最优二次型控制。其中p i d 控 制一般作用于单级倒立摆系统，线性最优二次型控制可以控制多级倒立摆系统， 主要包括l q r 和l q y 控制【3 1 。 2 2 1p i d 控制 p i d 是“比例一积分一微分”的缩写。p i d 控制是连续系统理论中基于单变 量系统的一种技术成熟、应用广泛的控制方法，它能满足大多数生产过程控制的 要求。本小节将简单介绍p i d 控制。 p i d 控制器的输入p ( r ) 和输出“( f ) 的关系式为 “( r ) = k e e ( f ) + 足；f p r + 丘。d e 犷( t ) ( 2 - 3 3 ) 相应的传递函数表达式为 g ( 5 ) ：k ，+ f f _ l + k 。j j r 2 3 4 ) 从( 2 3 3 ) , n ( 2 3 4 ) 式可以看出，p i d 控制器有三个系数：比例系数k ，、积分系数k ， 和微分系数k 。，在使用中只须设定这三个参数( k ，、k ，、k 。) 即可，控制性 能的好坏也由这三个参数来决定。 在p 1 d 控制器中，比例控制的输入信号e ( ，) 与输出信号u ( t ) 之间的关系为 u ( t ) = k ，e ( t )( 2 3 5 ) 其传递函数为 型：k 。( 2 3 6 ) ( s ) 。 比例控制器实质上是一个具有可调增益的放大器，用以平衡系统的瞬态特性 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章多级直线御立拦控制系统基础 和稳态特性。增加k ，可以减小系统的稳态误差，但同时会使系统的相对稳定性 降低，甚至造成不稳定。 积分控制的输入信号p ( f ) 与输出信号“( ，) 之间的关系为 “( ，) 2x ，je ( r ) d r( 2 3 7 ) 其传递函数为 掣：生 ( 2 3 8 ) 丘( 5 ) s 、 在控制系统中，经常采用积分控制使某种输入信号的偏差为零，以提高系统 的稳态性能。但是，积分控制使系统相对稳定性变差，甚至有可能造成系统的不 稳定。因此，一般也不单独采用积分控制。 微分控制在控制上也不能单独使用，从原理上说，微分控制的输入信号8 ( ，) 与输出信号“( f ) 之间的关系为 呻m 。警 ( 2 3 9 ) 其传递函数为 黑：k 。s ( 2 4 0 ) e ( s ) “ 、 由于微分控制具有对偏差信号的速率作出反应的性能，因此它能在偏差信号发生 变化时产生修正作用，从而改善系统的瞬态特性并有助于增加系统的稳定性。 又由于微分作用使系统的阻尼比增加，故在傈证系统瞬态特性不变的情况下，可 以改善系统的稳态性能。微分控制的缺点在于它放大了噪声，并可能引起执行机 构的饱和。 p i d 控制正是通过运用比例、积分和微分这三个元素来实现其对被控系统的 控制。 2 2 2l q r 控制 l q r 控制的反馈调节律形式为 “( 女) = 一k ，x ) 4 ( 24 1 ) 中国科学技术大学硕士学位论立第二章多级直线倒立摆棒制系统莲础 其性能指标函数为 了，= ( x ( 广q ，x ( 女) 通过使，为最小，日】求得反馈控制矩阵 k ，= 陋7 s b + r ，) - 仁7 s a ) ( 2 4 3 ) 其中s 由r i c c a t i 方程获得， s = a r s a a 7 舶陋7 船+ 尺) - 1 8 7 删+ q ， ( 24 4 ) 式( 2 4 2 ) q 6 q r 和r ，分别用来对状态向量工( ) 和控制向量“( 七) 引起的性能度量的 相对雷饔性进行加权。 在实际计算中，给出参数g 和r ，我们通过调用m a t l a b 中的d l q r ( ) 函数 来计算离散系统的l q r 反馈控制量世，。 2 2 3l q y 控制 l q y 控制的反馈调节律的形式为 u ( k ) = 一k 。x ( k ) 其性能指标函数为 ( 2 4 5 ) ，：羔( y ( 女) rq ，y ( 女) + ( i ) 7r ，“( ) ) ( 2 4 6 ) i = l 通过使j 。为最小，可求锝反馈控制矩阵 k ，= ( b 7 船+ r ，) _ 1 ( 占7 s a ) ( 2 4 7 ) 其中s 由下列r i c a t t i 方程获得 s ：爿s a a 7 s b ( b 7 s b + r ，) - b 1s a + c 。q ，c ( 2 4 8 ) q y 年i r y 分别用来对输出向量y ( 女) 和控制向量“( ) 引起的性能度量的重要 生进 行加权。 在实际计算中，给出参数q ，和r ，我们通过调用m a t l a b 中的d l q r y ( ) 函 中国科学技术大学硕士学位论文 第二蕈多级直线侧立摆控制系统基础 数来计算离散系统的l q y 反馈控制量k 。 呵以看出，l q r 和l q y 的主要区别在于它们的性能指标。l q r 忾能指标考 虑状态变量x ( t ) ，而l q y 考虑输出变量，( ) 。 2 3 多级直线倒立摆控制系统仿真 本节以直线三级倒立摆系统为例讨论多级直线倒立摆控制系统的仿真实验。 j l t 脚一o m 图2 5 直线三级倒立摆离散控制系统仿真结构图 图2 5 为s i m u l i n k 环境下直线三级倒立摆离散控制系统的仿真结构图。图中， 被控系统采用离散状态空间模型，该模块中所设定参数为离散状态空间模型( 2 - 3 2 ) 中的系数a 。、毋、c d 和d a ；控制器模块中参数为计算得到的反馈控制矩阵女。 仿真系统控制周期与实际控制时采样周期一致。 对于直线三级倒立摆系统，其状态空间维数为8 维，状态变量为 ：k 只氓b j 4 幺幺y ，这8 个变量分别被围中右侧8 个状态观测器所 观测。 图2 5 中有两个地方值得注意： 1 ) 虽然三级倒立摆系统的8 个系统都是能观的，但是在实际控制系统中，我们 6 中国科学技术人学硕士学位论文 第二章多级直线倒立摆控制系统基础 只能观测到4 个变量，即x 、0 。、岛和0 3 ，对于剩下的4 个变量，i 、馥、毋， 和氓，需要依靠前4 个变量的差分计算。为了更好的模拟实际控制系统，在 s i m u l i n k 仿真中我们同样只直接观测前4 个变量的数据，后4 个变量使用前 4 个变量的差分计算。 2 ) 鉴于有4 个变量是依靠差分计算，在开始控制的第一个周期中会无法计算差 分。为了解决这个问题，我们采取如下办法：对于第一个周期反馈控制矩 阵为 k ( f e e d b a c k p l u s 2 ) = 一k 。k bk 岛k b 0 0 0 0 j 即不考虑差分计算得到的后4 个变量，这样会使计算得到的反馈控制量不太 准确，但由于只在第一周期这样做，因此对整个控制过程的影响还是比较小 的。从第二个控制周期开始考虑所有8 个系统变量，这时，反馈控制矩阵恢 复为正常值 k ( f e e d b a c k p 船1 ) = 一扛，气k 如堍：k 4k 8 lj 2 4 多级直线倒立摆控制系统实验 2 4 1 运动控制原理 我们采用基于p c 的运动控制器技术来控制直线倒立摆系统。该技术可以使 设计者摆脱传统设计时对驱动、数据采集以及数据处理等投入过多的精力而牵制 了控制器设计。其控制结构如图2 6 所示。 运动控制系统处理机械系统( 一般称之为轴) 的一个或多个坐标上的运动阱 及这些运动之间的协调。涉及各轴上运动速度的调节，以一定的加减速曲线来进 行运动，以及形成准确的定位或遵循特定的轨迹等诸如此类的问题。这些精确的 位置、速度、加减速乃至力矩的控制主要通过电动机、驱动器、反馈装置、运动 控制器、主控制器( 如计算机和可编程控制器) 来实现。个完整的以电力为动力， 以位置控制为目的的运动控制系统如图2 7 所示。 中国科学技术大学硕士学位论文 第二苹多级直线倒立捏控制系统基础 被控对象 图2 6 倒立摆控制系统结构 可编茹制器一囊纛焉糍舞 无刷伺服驱动等 2 4 2 硬件结构 直流电动机 编码器 直流传动装置 无剥伺服电动机线性电位器直线定位平台 步进电机 光据尺 直接驱动直线电动机 直流伺服电机 旋转平台 齿轮变速辅等 图2 7 运动控制系统结构图 本文中所提到的直线倒立摆实验装置由固高科技( 深圳) 有限公司制造。在 实验过程中，我们依次用到了直线单级、二级和三级倒立摆。随着倒立摆级数的 增加，其硬件系统会随之改变。这主要是因为一根倒立摆摆杆需要配备一个测量 其偏角的光电编码器，因此不同级数的直线倒立摆就会有不同个数的摆朽和光电 编码器。 尽管不同级数的直线倒立摆系统之间有区鄹，但它们也有共同点，即硬件都 是受专用的g m 4 0 0 运动控制器所控制。在每一个控制周期中，控制软件通过 g m 4 0 0 运动控制器读取系统状态变量的值，然后按照所设计的控制算法计算出 控制量，再将控制量输出给o m 4 0 0 控制器，最终由g m 4 0 0 控制器对控制电机 进行操作实现对硬件系统的控制。 1 8 意tj 雠啊一 蓦蓦 囤 中崮科学技术大学硕上学位论文 第一章多级直线例立摆拧制系统基础 因此，g m 一4 0 0 控制器成为直线倒立摆控制系统中软件和硬件之间的媒介 从而具有重要的作用。 图2 8g m 4 0 0 运动控制器原理框图 2 4 2 1g m 4 0 0 运动控制器及速度跟踪模式 图2 8 所示为g m 4 0 0 运动控制器的原理框图。图中所