（计算数学专业论文）非线性椭圆型方程多解的计算与研究.pdf

徐云：湖南师范大学硕士论文 o 1中文摘要 y6 6 35 5 9 1 本文在c m c h e n 和z q x i e 提出的一种全新的计算非线性椭圆 型方程多解的搜寻延拓方法s e m n 的基础上，引入了有限元方法和 插值系数方法，改进后的s e m ( 称为i s e m ) 大大减少了计算量， 并且将原方法推广到非奇非线性情形和多种区域( 包括凹域) 上。 主要结果如下z ( 1 ) 利用i s e m 方法算得的数值结果初步证实了文1 4 1 中关于奇 非线性椭圆型方程多解的分布结构的猜想，从任一特定的初值川出 发，可以算得它所对应的解。在某些区域( 正方形区域、三角形区 域和l 型区域) 上算得了比现有的其他方法( 山路型算法m p a 和 h i g h l i n k i n g 算法等) 更多的解。 ( 2 ) 初步证实了文 4 】中关于对称区域上非线性项( 4 ) = 7 1 3 时方 程多解的数目至少为3 一1 ( k 为算子特征根的重数) 个的猜想。 关键词；插值系数有限元 多解非线性椭圆型方程 搜寻延拓方法 堡垂! 塑壹竖整盍堂亟迨塞 i i o 2 a b s t r a c t b a s e do nt h e s e a r c h e x t e n d m e t h o d ( s e m ) t h a tp r o p o s e db yc m c h e n a n dz q x i ef o rc o m p u t i n gm u l t i p l es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ef e m a n dt h ei n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n tf i n i t ee l e m e n t m e t h o di n t ot h es e m a n dc a l l st h i si m p r o v e dv e r s i o na si s e m i s e m n o to n l y c a nr e d u c eo u re x p e n s i v ec o m p u t a t i o n g r e a t l yb u ta l s oc a nb eg e n e r a l i z e dt o n o n 。o d dn o n l i n e a r i t ye a s e sa 8w e l la s m a n yd i f f e r e n td o m a i n sr i n c l u d i n gt h e c o n c a v ed o m a i n s ) m a i nr e s u l t sf o 1 0 w s ： ( 1 ) t h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l to ft h i sp a p e rv e r i f i e sf t h o u g h o n l y i nn u n l e r i c e ds e n s e ) t h e a s s u m p t i o na b o u tt h es t r u c t u r ea n dd i s t r i b u t i o no ft h en a i l k i p l e s o l u t i o n so fo d dn o n l i n e a re q u a t i o n sf 4 j a n dw ec a no b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gs o l u t i o nf r o ma n yg i v e ni n i t i a lg u e s s1 4 1 m o r es o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e d b yi s e mt h a nb ya n yo t h e re x i s t e dm e t h o d s ( s u c ha sm p a ，h l a ) i ns o i n e d o m a i n s ( s u c ha ss q u a r e ，t r i a n g l ea n dld o m a i n ) ( 2 ) f u r t h e r ，t h er e s u ko ft h i sp a p e rv e r i f i e st h ea s s u m p t i o na b o u tt h e a m o u n to ft h es o l u t i o n si sa tl e a s t3 一1 4 1 ( ki st h e m n l t i p l i t yo ft h ee i g e n v a l u e o ft h eo p e r a t o ri ne q u a t i o n ) ，w h e nt h en o n l i n e a rt e r m i s ，( 饥) = 珏3 k e yw o r d ：i n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n tf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， m u l t i p l es o l u t i o n ，n o n l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n ， s e a r c h e x t e n s i o nm e t h o d 第一章绪论 在物理、生物、能源及工程领域出现的一些非线性椭圆型方程 引起了数学家和物理学家的广泛兴趣，考察下面这种常见的形式： a u + f ( x ，u ) - = 0 i n q ，u = 0o l , a q ，( 1 ) 正则性假设如下： ( 1 ) f ( x ，t ) 在行r 上局部l i p s c h i t z 连续； ( 2 ) 当n 3 时，存在常数c 。和岛使得 f ( x ，) i c 1 + c 2 i t l ，( 2 ) 这里0 冬p 0 的不稳定解。事 实上，不稳定解比稳定祭更重要。 基于山路定理，y s c h o i 和p j m c k e n n a 在文 6 】中提出了著名 的山路型算法( m p a ) 来计算拟线性椭圆问题的山路型解从1 9 9 3 年 起，该算法广泛地应用于求解各类偏微分方程，如波动方程和悬浮 2 韭垡蛙煎堕型查堡垒竖塑盐差生垦窒 桥方程等 1 z , a s , a g 。m p a 算法先在一条连接0 和e ，的折线上求j ( u ) 的极大值，这里0 为l ，( 乱) 的局部极小点，x ( e 。) 0 ，则方程 ( 1 ) 有无穷多对解，但由于具有高阶m o r s e 指标的临界点的多重性、 退化性和不稳定性，m p a ，h l a 和m n a 的收敛性分析遇到了固有 的困难，只能算出为数不多的几个解，且对于解的结构一无所知。 去掉f ( x ，t ) 奇非线性的假设，多解的研究将更富有挑战性。在一些 更强的假设下，目前最好的结果是z q w a n g 得到的，他利用环绕理 论和m o r s e 理论证明了方程( 1 ) 至少有三个非退化解，在一般非规 则或非奇情形下没有人在数值上得到了方程( 1 ) 的4 个以上的解。 由于方程( 1 ) 有很强的物理背景，物理学家和工程师们更感兴 趣的是一些简单易行的算法。例如方程( 1 ) 的特殊情形 a u + u 3 = 0 打 q ，“= 0 帆a n ，( 4 ) 在激光发射领域是非常重要的，基于这个方程，c m c h e n 与z q x i e 在文【4 中提出了一种全新的理论和方法，称之为搜寻延拓方法( s e m ) 。 利用这种方法，理论上可以算出方程( 1 ) 具有奇非线性情形的无穷多 个解，并且第一次提出了关于解的结构与分布的猜想：以算子一的 特征函数基底 协) 墨，或特征函数基底之间的线性组合作为多解的初 第一章绪论 3 始解进行迭代，从某一特定的初始解出发，将得到一个特定的解。也 就是说，初始解与迭代解之间是一种一一对应的关系。文 4 1 0 】提出 了在确定初始解时，由于k 重特征根所对应的特征函数有3 一1 种 不同的组合，因此k 重特征根对应的解的数目至少为3 一1 的猜想。 本文的主要结果是改进了s e m 方法，改进后的方法( i s e m ) 有这样几个优势t 首先，采用有限元方法构造特征基底，将s e m 方 法推广到了不规则区域( 不对称域、凹域等) ，也就是说，它适用于 特征函数系未知的情况；其次，利用插值系数有限元法【1 1 】处理非线 性项，不仅大大减少了计算量，而且还保持了超收敛性。 利用i s e m 方法得到了如下很好的结果： ( 1 ) 在奇非线性情形各种区域( 包括不规则域和凹域) 上初步证 实了文 1 0 】中关于( 4 ) 的解的数目及分布的猜想例如，正方形区域 上算得了三重根a = 5 0 所对应的2 6 个多解，与3 2 1 ( = 3 ) 这个数 目完全吻合。另外还有三角形区域( 不对称) 及l 型区域( 凹域) 上的数值结果也证实了这一点。数值例子显示，这一猜想可以推广 到不对称区域 ( 2 ) f ( x ，u ) 为奇非线性情形( 见本文1 4 ，1 5 ，弘6 ) ，对一般区域 i s e m 可以算得方程( 1 ) 的无穷多个解。 ( 3 ) 在某些非奇非线性及非规则域情形，得到了五个以上的解， 为方程理论的研究提供了新的课题。 全文的结构安排如下t 第一章介绍了国际上研究此类问题已有 的结果，分析了现有的几种主要方法m p a 、h l a 和m n a 的进展 和局限性。第二章1 引入了作为i s e m 方法理论基础之一的插值系 数有限元法。2 详细介绍了i s e m 方法的思想和步骤，以及采用这 种方法得到的一些主要结果第三章1 ，2 和3 分别给出了奇非线 性情况下对称凸域、不对称凸域和凹域上的数值例子，其中有一些 解是以往的方法所无法求得的。4 将i s e m 方法运用到非奇非线性 情况，得到了一些初步结果。最后一章对于多解现象作出了一些简 单而直观的解释，并提出了i s e m 方法的一些尚未解决的问题。 第二章理论分析与方法介绍 2 1插值系数有限元法 我们首先简要介绍一下插值系数有限元法。考虑下面的非线性 椭圆问题的弱形式t a ( u ，o ) + ( ，( 札) ，u ) = ( 9 ( ) ，”) ，z q ， s ( 5 ) 其中q c r d 是边界为r 的有界域，且双线性型a ( 钍，钉) = = 如( 。好( ) d u d j u + a ( x ) u v ) d x 是岛一强制的。设s “cs o 是维有限元子空间且 如搓， 是它的一组基。因此( 5 ) 的有限元解u s “可以表示为u ( x ) = 兰咖( 茁) 屿s 6 。令u ：妒i ，i ：1 ，2 ，n ，贝。有 j = l nn 4 ( 咖，也) 屿+ ( ，( 办( 霉) 屿) ，也) = ( 目，a ) ， = 1 ，2 ， ( 6 ) j = 1j = l 利用播值系数有限元法，即用i h f ( “一) = 暑n 办( 搿) ，( ) 直接替换厂( “) ， 其中插值系数有限元解u n 仍表示为钍n = 暑n 咖( z ) ，得到 nn a ( 也，0 v j + ，( 屿) ( 如，a ) = ( 目，声t ) ，u s “ j = lj = 1 ( 7 ) ( 6 ) 的求解转化为对( 7 ) 的求解，计算量大大减少。 对于拟线性抛物闻题，z l a m a l 】提出了插值系数有限元法， 他基于离散的最大值原理和一个未证明的相关的椭圆型问题的最大 模估计得到了分片线性的插值系数有限元法的逐点最佳收敛阶。后 来，t h a m e e ，l a r s s a n 和z h a n g 得到了如下误差估计 1 4 1 ： u h ( t ) 一u ( t ) 0 = o ( h ) c h e n ，l a r s s o n 和z h a n g 在分片致线性三角形网格上使用超收敛技 巧获得了下面这个几乎最佳阶误差估计 1 s l ： 6 韭堡丝煎堕型友堡垒缝塑盐簋复互丝 他们在证明中用到了算子a 的椭圆投影风“与插值厶“之间的一个 超收敛估计式： i h u ( t ) 一r h u ( t ) | 1 = o ( h 2 i z 礼h l m ) 对于拟线性椭圆问题，文f 1 2 在拟一致网格上直接采用辅助椭 圆算子投影作为比较函数获得了一个最佳阶误差估计，文【1 2 1 中假 定： 对于给定的( 5 ) 的一个真解乱驴+ 1 ( q ) ，总是假定下面的辅助 线性椭圆问题有唯一解伽s o b ( 叫，v ) = a ( w ，v ) + ( ，7 ( ) 叫， ) = ( g ，钉) ，t ，5 0 由边值问题第一估计式，1 ，c - 恻l + c l l g l l ，又由唯一f 生假 设，可得先验估计怕胁g ，9 l 2 ( n ) 下面的定理1 是一个关于收敛性的结果，定理2 是一个关于超 收敛性的结果。 定理1 【，2 j 在上述假设下，假定剖分是拟一致的，他( 乱) = w l w h 叶1 ( q ) n 岛，m o 。i u 叫i ) 是( 2 1 ) 的孤立解乱h n + l ( q ) n 岛的某 个邻域，那么n 次插值系数有限元u n 有如下最佳阶估计 u h u i i g 护+ 1 这里c = g ( 让) 是依赖于范数。扎n 的常数。 定理2 2 1 1 在与定理1 相同的条件下，若n 2 ，则n 次插值系数有 限元乱h 在每个单元的佗+ 1 阶l o b a t t o 点q l 上有 ( 乱 一乱) ( q 1 ) i c h n + 2 l z n i i i 乱9 。+ 2 ，。，n 2 2 新的改进的搜寻延拓方法( i s e m ) 不妨采用下面的这个模型问题来描述我们的算法。考虑问题 a u + u 3 = 0i n q ，乱= 0o na q ，( 8 ) 第二章理论分析- b 方法介绍 其变分形式为 ( v u ，v v ) 一( 钆3 ， ) 一0 ，铷s ， 与之对应的非线性泛函为 m ) = 如( 乱) 一；二钆4 慨u 只 7 _ _ ( 9 ) ( 1 0 ) 其中j a ( u ) = ；a ( ) ，4 ( u ， ) = ( v u ，v v ) ，钍， s ，0 0 ) 的临界点 即为方程( 8 ) 的解。 考虑特征值问题； - a u = a ui nn ，u = 0o r ta n ， 变分形式为 ( v u ，v u ) = a ( 乱，口) ， ( 1 1 ) f 1 2 ) 这里， ，仍) ，j = 1 ，2 ，是它的特征对。设0 入1 冬a 2 k 茎 一。，相应的特征函数 墨。构成了一个完备的正交基底。 下面我们给出改进的s e m 算法。 i s e m 的步骤： 第一步：寻求初始解。 a 当( 1 1 ) 中所对应的特征对已知时。若凡是单特征根，对应的 特征函数为忱，令初始解乱0 = 啦忱，将其代入( 9 ) ，并令”= 协有 a i ( v v t ，v 妒i ) 一( 瓴3 掣 3 ，妒i ) ：0 ，( 1 3 ) 即 a t m ( 忱，协) 一嘶3 t 恍3 ，协) = 0 ( 1 4 ) 因此，a 产士( 九( 忧，协) ( 谚怫) ) m ) ，得到初始解铲；若凡是k 重特征 根，对应的特征函数为忱，妒l 十l ，妒m 一。，可令初始解研= e 1 0 j 仍， 将其代入( 1 2 ) ，并令”= ，j = f ，l + 1 小 k 一1 。这样我们就得 到了含个未知数a i ( i = f ，f + l f + k 一1 ) 的一个三次非线性代数 方程组。初始解的系数a i 必须满足的方程组具体写出来就是： l + k - 1l + k - 1 a j ( w j ，v 妒) 一( ( 吩妒j ) 3 ，妒；) = 0 j = l j = t 8 韭垫丝邋囤型立堡垒堡塑盐差生堑堑 用搜寻方法解这个方程组，求得3 t 一1 组非零解 啦堪；，将其代入 初始解表达式，这样我们就得到了初始解u 0 ：毫1 奶，取泸( t ) 一 岜1 0 ；( i ) ，江1 ，2 ，则u o 将成为第二步的初始解向量。 ，= i b 若特征函数系未知( 例如在不规则区域上) ，无法得到解析 的特征函数表达式，这时可以用有限元方法构造基底：用有限元法 来解决特征值问题( 1 2 ) ，代入钍= 量m k ，口= n j ，j = l ，2 ，有 t = l nn ( v m ，v n j ) v , = a ( m ，n j ) v , ，( 1 6 ) t = 1t = 1 集结及强加边界条件后写成代数方程组的形式为k 1 v a t f 2 v ， v = ( k ，) t ，于是 k f l k l v = a k( 1 7 ) 直接分解矩阵k f l k l 得到特征值 和相应的离散的特征向量y ，则 ( 】1 ) 的特征函数可以表示为= 艺k n j ( 茁) 。将初始解取为对应同一 特征值的特征向量的线性组合，以后的步骤同上，得到的初始向量 为u o 一( 田，哩，嘿) t ，这就将原来s e m 的适用范围拓广了。 第二步：利用插值系数有限元法处理非线性项利用插值系数 有限元法及( 9 ) ，可以得到一个新的有限元方程， ( v u h ，v v ) 一( ( u i ) ， ) = 0 ，v v s 6( 1 8 ) ， r 其中u n = 妻旭巩，“( u 2 ) = 艺m u 2 ，肌是有限元空间的基函数， i = l ，2 ，是有限元空间基函数数目。令钉= 肌，强加边界 条件后有 k l u 一硷矿3 = 0 ，( 1 9 ) 其中硒和飓是两个与u 无关只与基函数妒，有关的阶方阵， u = ( u 1 ，) t ，解方程( 1 9 ) 所对应的j a c o b i 矩阵为j ( 钆) = 碟 3 磺u ；) 需要说明的是，如果不用插值系数有限元法，而采用标准 的有限元法，在用n e w t o n 迭代法求解相应的非线性代数方程组时， 计算j a c o b i 矩阵的工作量非常大。 第三步：解目标方程组。具体地说，将第一步得到的初始解作 为初值，利用数值延拓法解第二步得到的代数方程组( 1 9 ) 。同伦映 第二章理论分析与方法介绍 9 射取为 h ( u ，t ) = t f ( u ) + ( 1 一t ) g ( 让) ，o t 1 ，( 2 0 ) 其中f ( v ) = k a u k 2 u 3 ，g ( u ) = d f ( u o ) ( 矿一u o ) ? ，u o 是初始向量， 由经典的数值分析理论可知，这种迭代格式是稳定的，收敛效果较 好。对方程日( t ) = 0 ，将t 作细分，t 。= 0 t l t 2 t 。= 1 ， 这里t 产i m ，i = 0 ，1 ，m ，m 足够大。对于每一个赴，解方程 只：h ( u ( 赴) ，t i ) = 0 ，i = 1 ，2 ，m ( 2 1 ) 采用牛顿迭代法解每一个这样的方程只，初值取为方程只一，的迭代 解( i = 2 ，3 ，m ) ，当i = 1 时，初值取为u o 。终止指标为i u ( ，( 缸) 一 沙_ 1 ( 如) i o ，p 是迭代次数。最后解方程，此时t = 1 ，为了得到更 为准确的解，在这一步可以将终止指标取为i u 扫( 1 ) 一u ( v 一( 1 ) | s 。， 这里e ，比印要小得多。方程岛的解即为所求，按第一步取定的不 同的初始解向量俨迭代后将得到不同的解。 根据我们计算的经验，对t 作细分时，若m 取得较大，也就是 说t 分得较细时，在每一步迭代的次数就会较少；反过来，若m 取 得较小，t 分得较粗，也就是说每一步跨得较大时，在每一步迭代的 次数就会相应多一些。一般来说，取m = 2 5 就足够了，也就是说每 一步前进t t t 。= o 0 4 ，中间每一步迭代的终止指标。取为1 0 _ 3 ， 最后一步迭代的终止指标s ，取为1 0 一 对第一步应该作一些补充说明，在某些初始鹪取为同一特征值 ( 重根) 所对应的多个特征函数线性组合的情况下，迭代有可能发 散，我们猜想发散的原因是在这种复杂情况下初始值对解的模拟不 够精确。此时，我们可以引入一个伸缩因子u ，用它来调整初始解， 这样在一些原来发散的情况下也得到了收敛的结果计算结果表明 u 在一个相当大的范围内取值时，都可以收敛到同一个解，事实上， 我们一般取0 6 0 ，留l + 。2 l 上考虑问 题( 8 ) 。注意到区域不再对称了，但，( 茹，札) = f ( u ) 仍是奇非线性的。 在q 上我们采用如下的三角形剖分，网格尺寸为h = 1 m ，m 为三 角形区域直边上的剖分数 在这种不对称区域上，不存在解析的特征函数系，由前面第3 节的( 1 7 ) 知，直接分解矩阵蚜1 k 。可以得到特征函数系，并按照特 征值由小到大的顺序排列。首先利用i s e m 计算方程( 8 ) 的第一个 解，得到的解如图1 0 所示。事实上，h l a 方法基于由m p a 方法所 得到的两个正、负山路型解及它们的局部性质，分别得到了两个变 号解( 文【8 中f i g 1 3 及它的反号) ，所以，在三角形区域上，h l a 总共算出了( 8 ) 的四个解。而我们的i s e m 方法则可以按照特征值 的顺序，求得无穷多个解。以下几个图就是第1 个到第5 个特征值 所对应的方程( 8 ) 的解。由于f ( x ，乱) 的奇非线性，当钆是方程( 8 ) 的 解时，一u 也是方程( 8 ) 的解。这里实际上给出了十个解，具体数据 1 7 1 8 参见表3 、图l o 至图1 4 。 韭垡丝煎圆翌查堡垒壁堕盐笠生婴塞 三角形区域上的有限元网格( m 一8 ) 图1 0 ：三角形区域上方程( 8 ) 的以o 。妒，为主项的解 箜三主墼鱼盐墨墨堕窒1 9 图1 1 ：三角形区域上方程( 8 ) 的以a 2 c p 2 为主项的解 图1 2 ；三角形区域上方程( 8 ) 的以毗为主项的解 2 0 韭堂堡煎堕型查壁垒竖堕盐簦量堑塞 图1 3 ：三角形区域上方程( 8 ) 的以0 4 妒。为主项的解 图1 4z 三角形区域上方程( 8 ) 的以a s h y ；为主项的解 第三章数值计算与研究 初始解主部特征值a最大值最小值备注j a l 1 4 9 3 5 0 61 05 4 9 40 对照文 8 】中正山路型解p i g 1 2 j a 2 妒2 9 8 7 2 1 21 4 9 1 9 61 4 9 1 9 6 对照文1 8 】8 中变号解f i g 1 31 a 3 妒3 1 2 8 3 5 1 91 8 8 7 6 0- 1 6 ，3 6 3 9 a 4 ( p 4 1 6 7 。8 9 3 01 7 8 2 6 3- 2 4 0 0 4 9 a 5 妒5 1 9 7 ，6 1 8 72 0 9 5 4 7- 2 0 9 5 4 7 3 3l 型区域上奇非线性情形 在上，型区域q = ( 。，x 2 ) 譬卜1 ，1 】【o ，1 u 卜1 ，0 】【一1 ，o ) 上考 虑问题 8 ，注意到现在区域是凹域，但，( 。，u ) = i ( u ) 仍是奇非线性 的。在q 上我们采用如下的矩形剖分，网格尺寸为h = 2 m ，m 为 l 型区域上两条长边上的剖分数。 同样的，特征函数系是未知的，用第5 节中的方法求得特征函 数系，然后按照特征值由小到大的顺序求解，这里给出了方程( 8 ) 的 4 个解，分别由表4 和图1 5 一图1 8 表示( 由于，( 扎) 的奇非线性，实 际上给出了8 个解) 。 表 初始解主部特征值a最大值最小值 b 15 0 l 9 6 7 3 14 8 7 3 90 b 2 1 0 2 1 5 2 0 8 35 6 8 7 05 6 8 7 0 6 3 妒3 1 9 7 3 9 96 5 0 0 86 5 0 0 8 k 妒4 2 9 5 2 5 48 3 7 8 58 3 7 8 5 解 韭堡壁煎婴型友堡垒壁堕盐篷鱼堑墨 五型区域上的有限元网格( m = 8 ) 图1 5 ：l 型区域上方程( 8 ) 的以6 t 妒，为主项的解 第三章数值计算与研究 图1 6 ：五型区域上方程( 8 ) 的以6 。妒。为主项的解 图1 7 ：l 型区域上方程( 8 ) 的以6 3 妒。为主项的解 2 3 韭垡丝煎匦墼壶堡垒竖鲤盐簦皇堑塞 图1 8 ，l 型区域上方程( 8 ) 的以6 4 妒a 为主项的解 从l 型区域上特征值分解的数值可以看出，a s ，。= 4 9 3 6 8 6 是它 最小的一对二重根，对应的特征向量分别为恤和妒。初始解形式 设为。妒。+ b o p 。，按照第二章2 中介绍的方法求出a 和b ，从而得到 初始解。在这种情况下，用i s e m 方法可以求得方程( 8 ) 的8 个解， 逸一点与关于解的数目的猜想3 * 一l = 3 。一1 = 8 是吻合的，但是这 个猜想是基于对称区域的【1 0 】，是否可以将其推广到不对称区域呢? 目前尚不知道这四个解( 反号的解略去) 的具体数据见表5 ，相应 的解的图形见图1 9 一图2 2 ，这些图形的形状看起来很有规律，图形 的峰值也相差不大 初始解主部特征值a最大值最小值 。妒8 4 9 3 6 8 61 0 7 0 3 41 0 7 0 3 4 6 妒9 4 9 3 6 8 61 0 7 0 3 41 0 7 0 3 4 o + 如9 4 9 3 6 8 61 0 5 2 9 31 0 5 2 9 3 o 妒8 6 妒9 4 9 3 6 8 61 0 5 2 9 31 0 5 2 9 3 箜三主墼垡盐墨墨堑窒2 5 图1 9 ：l 型区域上方程( 8 ) 的以a t 8 为主项的解 图2 0 。l 型区域上方程( 8 ) 的以b 妒。为主项的解 韭垡壁煎匦墼虚堡垒壁煎盐苤生叠塞 图2 1 ：l 型区域上方程( 8 ) 的以o ( 妒s + 妒。) 为主项的解 图2 2 ：l 型区域上方程( 8 ) 的以b ( c p s 一妒。) 为主项的解 第三章 数值计算与研究 3 4 非奇非线性情形的数值例子 当f ( x ，u ) 这一项是非奇非线性时，方程( 1 ) 的理论研究和实际 计算都要比奇非线性情形复杂得多本文第一章中提到了目前最好 的结果是z q w a n g 得到的，他在文1 2 0 l 中利用环绕理论和m o r s e 理 论证明了方程( 1 ) 至少有三个非退化解我们把i s e m 方法分别运 用到非奇非线性情形三角形和二型区域上，初步得到了一些结果。 考虑三角形区域n = ( z 1 ，现) r 2 l z l o ，x 2 0 ，茹1 + 口2 = 1 ) 上的 模型问题： 在这里， a u + f ( x ，札) = 0i nq ，钍= 0 啪a q ( 2 2 ) 与之对应的非线性泛函为 ，0 i f 0 j ( 乱) = ；五i v “1 2 如一；五u ；如一；互让! 出 ( 2 3 ) 文 6 只能求得两个山路型解，文 8 】在两个山路型解的基础上又得 到了图2 4 和图2 5 这两个变号解，而i s e m 方法可以求得更多的解。 在上述情况下，特征函数系是未知的，同样地按照前面的方法 求得离散的特征函数系。首先计算 。所对应的解，初始解形式取为 札o = o 妒- ，得到的结果如图1 0 所示，它是方程( 2 2 ) 的正山型解。若初 始解形式取为u o = 山妒，( 一妒，也是a ，对应的特征函数) ，得到的解 如图2 3 所示，可以对照文 8 】中的f i g 1 4 ，r a i n 。n u ( x ) = 一4 1 4 2 8 ，它 是方程( 2 2 ) 的负山型解，显然它与正山型解不是互为相反数的( 事 实上也不可能，因为此时方程是非奇非线性的) 。 韭垡丝煎圜望立堡垒壁塑盐差皇至壅 图2 3 ：三角形区域上方程( 2 2 ) 的o 妒t 为主项的解 图2 4 ：三角形区域上方程( 2 2 ) 的o z 妒。为主项的解 第三章数值计算与研究 图2 5 ：三角形区域上方程( 2 2 ) 的一。知z 为主项的解 图2 6 ：三角形区域上方程( 2 2 ) 的o 。妒。为主项的解 接着计算 。所对应的解，初始解形式取为乱o = c 妒z ，得到的结 果如图2 4 所示，m a x 。n 让( 。) = 1 62 3 6 3 ，m i n 。n u ( x ) = 一4 5 3 7 2 ，可以 韭垡丝煎旦墼壶堡堑竖塑盐笠量堑塞 对照文献【8 】8 中的f i g 1 6 同样地，若初始解形式取为= 一d p 。， 得到的结果如图2 5 所示，峰值与图2 4 的相同，这个图与奇非线性 情形下a 。对应的解图1 1 有相似之处，但是图1 1 中向上的正峰和向 下的负峰是完全对称的，图2 5 中的两个峰却是一大一小。可以对照 文献 8 】中的f i g 1 5 。它与图2 4 关于茹，= 。对称，但是不互为相反 数。计算h 所对应的解，初始解形式取为u o = e 妒。，得到的结果如 图2 6 所示，? f g a x 。曲u ( ) = 1 3 0 1 9 0 ，r a i n a u ( x ) = 一6 5 8 2 6 ，这个图与 奇非线性情形时的图1 3 在形状上有相似之处 类似地，我们在三型区域( 定义见本章3 ) 上考虑问题( 2 2 ) ， 除了两个正负山路型解外，我们给出了如下三个变号解a 。所对应 的解如图2 7 所示，? r l a x 。n u ( o ) = 5 3 5 2 3 ，r a i n 。锄u ( o ) = 一3 1 0 2 5 ，这 个图与奇非线性情形下a 。对应的解图1 6 有相似之处；同样地，若 初始解形式取为u 。= 一却。，得到的结果如图2 8 所示，峰值与图2 7 的相同，它与图2 7 关于。- = z 。对称，但是不互为相反数。b 所对 应的解如图2 6 所示，m a x 。锄乱( z ) = 5 5 8 5 4 ，r a i n 。n 让( 。) = 一3 3 6 1 0 ， 这个图与奇非线性情形时的图1 7 在形状上有相似之处。 图2 7 ：l 型区域上方程( 2 2 ) 的0 2 妒。为主项的解 第三章 数值计算与研究 图2 8 ：l 型区域上方程( 2 2 ) 的一吐忱为主项的解 图2 9 ：l 型区域上方程( 2 2 ) 的船妒3 为主项的解 3 1 参考文献 a a m b r o s e t t ia n dp r a b i n n o w i t z e ，d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n t t h e o r ya n d 印p l i c a t i o n s j f u n c t a n a l ，1 9 7 31 4 3 2 7 - 3 8 1 2 】k c c h a n g ，i n f i n i t e d i m e n s i o n a lm o r s e t h e o r ya n dm u l t i p l es o l u t i o np r o b l e m s b i r k h a u s e r ，b o s t o n l1 9 9 3 3 】h b r e z i sa n dl n i r e n b e r g ，p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s i n v o l v i n gs o b o l e vc r i t i c a le x p o n e n t s c o m m ，p u r ea p p l m a t h ，1 9 8 3 ，3 64 3 7 4 7 7 4 1c h u a n m i a oc h e na n dz i q i n gx i e ，s e a r c h - e x t e n t i o nm e t h o df o rm u l t i p l es o l u - t i o n so fn o n l i n e a rp r o b l e m ( t oa p p e a ri nm a t h c o m p a p p l ) 5 jy d e n g ，g c h e n ，w m n ia n dj x z h o u ，b o u n d a r ye l e m e n tm o n o t o n e i t e r a t i o ns c h e m ef o rs e m i l i a e a re l l i p t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a t h c o m p ， 1 9 9 6 ，6 5 ，9 4 3 9 8 2 6 1 y s c h o ia n dp j m c k e m n a ，m o u n t i a np a s sm e t h o d f o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o n o fs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s n o n l i n e a ra n a l ，1 9 9 3 ，2 0 ，4 1 7 - 4 3 7 7 1 m i c h a e ls t r u w e ，v a r i a t i o n a lm e t h o d s s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 6 8 】z h d i n g ，d c o s t aa n dc c h e n ，ah i g h l i n k i n ga l g o r i t h m f o rs i g h c h a n g i n g s o l u t i o n so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s n o n l i n c u ra n a l ，1 9 9 9 ，3 8 ，1 5 1 - 1 7 2 9 y l i ，a n dj x z h o u ，am i n i m a xm e t h o df o rf i n d i n gc r i t i c a lp o i n t sw i t ha g e n e r a lm o r s ei n d e xa n d i t sa p p l i c a t i o nt os e m i l i n e a rp d e ( t oa p p e a r ) 1 0 1 c m c h e na n dz q x i e ，s e a r c h - e x t e n s i o na l g o r i t h mf o ra p p r o x i m a t i n g m u l t i p l es o l u t i o n si nn o n l i n e a rp r o b l e m a c t a s c i n a t u r h u n a nn o r m a lu n i v e r s i 吼2 0 0 0 ，2 3 ，9 5 - 9 6 【1 1 】陈传淼，有限元超收敛构造理论。湖南科学技术出版社，长沙，2 0 0 1 。 【1 2 c h u a n m i a oc h e na n dz i q i n gx i e ，i n t e r p o l a t e dc o e f f i c i e n t f i n i t ee l e m e n t sf o r n o n , n e a re l l i p t i cp r o b l e m s ( t oa p p a e r ) 1 3 1m z l a m a l ，af i n i t ee l e m e n ts o l u t i o no ft h en o n l i n e a rh e a te q u a t i o n r a i r o m o d e l m a t h a n a l n u l n e r ，1 9 8 0 ，1 4 ，2 0 3 - 2 1 6 1 4 1s l a r s s o n lv t h o m e e a n dn y z h a n g ，i n t e r p o l a t i o no fc o e f f i c i e n t sa nt r a n s f o r m a t i o no ft h ed e p e n d e n tv a r i a b l e