（光学工程专业论文）光子晶体的能带结构研究及大带隙设计.pdf

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d o m a i nc o m p u t a t i o n a l m e t h o dt h a tt a k e st h ev e c t o rn a t u r eo f t h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l di n t oa c c o u n t i ti sf o u n dt h a tp h o t o n i cb a n dg a p se x i s ti nb o t ht w od i m e n s i o n a la n dt h r e e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a lg e o m e t r i e s s p e c i f i c a l l y , w es t u d yt h ep h o t o n i cb a n d s t r u c t u r eo ft h et w od i m e n s i o n a lt r i a n g u l a rl a t t i c ea n da n a l y z eq u a l i t a t i v e l yt h e i n f l u e n c e so ft h es t r u c t u r ep a r a m e t e r so fp h o t o n i cc r y s t a ll a t t i c eo ni t st mp o l a r i z a t i o n b a n dg a p t h e nt h ec o m p l e t ep h o t o n i cb a n dg a p so ft h et w od i m e n s i o n a lt r i a n g u l a r l a t t i c ep h o t o n i cc r y s t a lw i t ha i rc o l u m n si nd i e l e c t r i cm a t e r i a l sa r ei n v e s t i g a t e da n dt h e m a x i m u mg a pr a t i oi sf o u n dt ob e1 6 1 9 w h e nt h ed i e l e c t r i cc o n s t a n ti s1 2 t h e i n f l u e n c i n gf a c t o r so ft h el a t t i c ea r ea l s os u m m a r i z e d i nt h el a s ts e c t i o no ft h ec h a p t e r o nt w od i m e n s i o n a ls i t u a t i o nan e wm o d e lc o m p o s e do fs q u a r er o d si nt w or e c t a n g u l a r l a t t i c e sn e s t e de a c ho t h e rw i t hl a r g ec o m p l e t eb a n dg a pi sp r o p o s e da n ds o m eo t h e rn e w m o d e l sw i t hl a r g ec o m p l e t eb a n dg a p sa r ea l s om e n t i o n e d i nt h en e wm o d e lw i t h d i e l e c t r i cc o n s t a n tb e i n g1 2ac o m p l e t eb a n dg a pw i t h1 5 8 6 g a pr a t i oi sf o u n da n di t i sa l s of o u n dt h a tt oac c r t a i r le x t e n tt h em o d e lh a sg o o ds t a b i l i t y m o r e o v e rt h e c o m p l e t ep h o t o n i cb a n dg a p so ft h ea n i s o t r o p i ct r i a n g u l a rl a t t i c ep h o t o n i cc r y s t a la r e c o m p u t e da n dm u c hl a r g e rg a p st h a n t h a to f i s o t r o p i cp h o t o n i cc r y s t a l sa r ef o u n d i nc h a p t e rf o u rp h o t o n i cb a n ds t r u c t u r e so ft h r e ed i m e n s i o n a lf a c e - c e n t e r e d 山东大学硕士学位论文 - i i i i _ c u b i c ( f c c ) l a t t i c ea n dd i a m o n dl a t t i c ea r es t u d i e df a s t t h e nt h eb a n d w i d t h so ft h eg a p s i na l ld i r e c t i o n so ft h ed i a m o n dl a t t i c ew i 血d i f f e r e n tp a r a m e t e r sa r ec o m p u t e da n dt h e m a x i m u mv a l u eo ft h eg a p sb a n d w i d t hi sf o u n dt ob e1 2 9 3 i nr a t i o a l s o ，t h e i n f l u e n c e so ft h es t r u c t u r ep a r a m e t e r so ft h r e ed i m e n s i o n a ld i a m o n dl a t t i c eo i li t s a l l d i r e c t i o n a lb a n dg a pa r ea n a l y z e d f i n a l l yw eg i v eam o d e lw i t ha s y m m e t r i cl a t t i c e a n df i n dl a r g e rg a p si nt h ea s y m m e t r i cm o d e lt h a nt h o s ei ns y m m e t r i cl a t t i c e w ea l s o s t u d yt h ef c cl a t t i c ea n df i n dv e r yl i m i t e dg a p sa l t h o u g ht h ed i a m o n dl a t t i c ei so n l ya p a r t i c u l a rc a s ew i t ht w od i e l e c t r i cb a l l si no n en o d eo f t h ef c cl a t t i c e a n dw e n o t i c et h a t af c cl a t t i c ew i t ha i rb a l l si nd i e l e c t r i cb a c k g r o u n dc a nh a v eag a pr a t i oo f1 5 5 k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l , p h o t o n i cb a n dg a p ；p l a n ew a v em e t h o d ；l a r g eb a n dg a p 4 山东大学硕士学位论文 第一章光子晶体概论 半导体材料自五六十年代以来在日常生活中一直发挥着重要作用。集成电子 电路微型化和高性能的发展趋势推动了电子技术及电子工业的发展，但是电路的 集成化和微型化使得阻抗和能耗增加，并且更高速的电路也增加了信号同步的敏 感度。因此，研究开始转向使用光子代替电子作为信息的主要载体。但是光子不 像电子一样易于操纵，因而光信息技术的应用还仅仅局限于信息的传输。而光子 晶体的出现使光子在信息处理方面的应用具有了可能。 1 1 光子晶体简介 光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l ) 是一种折射率周期性变化的电磁介质。根据电磁 场理论知道，在介电常数呈周期性分布的介质中，电磁场服从的规律是m a x w e l l 方程。通过对周期场中m a x w e l l 方程的求解发现，该方程只有在某些特定的频率 下才有解，而在某些频率区域内无解，也即在这种周期性的介电结构中某些频率 的电磁波是被禁止传播的。我们称这些被禁止的频率区间为“光子带隙”( p h o t o n i c b a n dg a p ) ，而将具有光子带隙的周期性材料称为光子晶体。光子带隙的工作波长 与光子晶体的品格常数是同一数量级，大小可比拟。 1 8 8 7 年l o r d r a y l e i g h 首先研究了周期性介质中电磁波的传播，发现其中存在 禁止电磁波传播的窄带隙。带隙与入射光的角度有关，当入射光角度变化时，反 射光的色彩也发生变化，如同自然界中的蛋白石以及蝴蝶翅膀。此后人们对周期 性电介质进行了大量研究。1 9 8 7 年，y a b l o n o v i t c h 和j o h n s 分别在讨论周期性电 介质结构对材料中光传播行为的影响时，各自独立地提出了“光子晶体”这一新 概念“。我们知道，在半导体材料中由于周期势场作用，电子会形成能带结构， 带与带之问有带隙( 如价带与导带) 。光子的情况也非常相似。如果将具有不同介电 常数的电介质在空画j 按一定的周期排列( 如图1 1 ) ，由于存在周期性，在其中传播 的电磁波的色散曲线将成带状结构，带与带之间有可能会出现类似于半导体带隙 的“光子带隙”频率落在带隙中的电磁波无法传播。如果只在一个方向具有周 ， 山东大学硕士学位论文 i i _ - _ _ - - _ _ j _ - _ - _ - _ _ _ _ 一 期结构，光子带隙只可能出现在这一个方向上。如果存在三维的周期结构，就有 可能出现全方位的光子带隙。落在带隙中的电磁波在任何方向都被禁止传播。 1 - d 2 - d3 - d 向舒 图1 1 光子晶体结构示意图 1 2 二维及三维光子晶体 本文的研究对象主要是二维及三维光子晶体。二维光子晶体沿晶体两个轴向 具有周期性介电常数而第三个方向的介电常数保持不变。本文所研究的二维光子 晶体主要有介电常数为乞的圆柱形介质柱按三角结构规则排列于介电常数为毛的 背景材料上的三角晶格二维光子晶体。同时对正方晶格二维光子晶体也进行简单 的讨论。虽然已经出现了各种不同结构的二维光子晶体，但能带计算的基本原理 是相同的。 i $ 1 2 ( a ) 是介质柱介电常数为毛，背景材料介电常数为毛的正方品格二维光 子晶体：( b ) 是介质柱介电常数为巳，背景材料介电常数为的三角晶格二维光 子晶体。 6 一 ，一 ( a ) ( b ) 图1 2 正方及三角晶格二维光子晶体示意图 三维光子晶体沿晶体三个轴向都具有周期性。本文主要研究面心立方晶格及 ： 山东大学硕士学位论文 - _ - _ _ - _ _ _ _ l _ l _ i _ i i - _ _ _ _ _ l _ _ - _ _ _ 钻石品格的三维光子晶体图1 3 ( a ) ，( b ) 分别是三维面心立方品格和钻石晶 格结构示意图。 ( b ) 幽l 3 ( a ) 面心立方晶格三维光子晶体，介质球介电常数为乞背景材料介屯常数为毛 ( b ) 钻石品格三维光子晶体介质球介电常数为吒背景材料介电常数为毛 1 3 固体理论基础 在傅立叶空间求解m a x w e l l 方程组得到： v x 三v 詹：f 竺1 2 曰 ( 1 3 1 ) 占 k c ， 这瞿占= s ( x ，y ，z ) 是介电函数，c 是光速，疗为磁场。方程是本征值方程，本征值 为( o , c ) 2 ，w o 占) v x 是本征算符。与s c h r o d 啦e r 方程中的h 眦i l t o n 算符v 2 + y 作 比较，可以看出l 占对应着势能分量上式可用归一化的电场厄密本征问题 v x v 豆= ( 叫c ) 2 占豆来代替，式中的动能分量和势能分量被分离，这样，量子机 制中的线性代数方法可以用于电磁波的求解。相对于量子机制，这里的一个重要 的区别就是存在截面限制，在m = 0 时，v 雷0 的本征解都舍去。 占( 戈) = 占( i + 豆) 是光子晶体的介电函数，豆( 滓1 ，2 ，3 分别代表一维、二维和 三维光子晶体) 为晶格矢量。此时方程1 3 1 的解可写成曰 ) = 只f ( 牙) 的形式， 本征值为q ( f ) ，这里只j 是周期性包络函数，满足下式： 7 ( v + 司* 司峨= 降卜 ， 在晶格原胞的每一个b l o c h 波矢f 上产生一个不同的本征问题。如果在所有方向上 都是周期性结构，则原胞为一有限空间，本征值离散为t i - l 2 3 个。这些本征值 ( f ) 是石的连续函数，形成分离的能带。这里厍可以是复数，复数正给出了倏逝 模式，对有限体积的晶体从晶体边缘呈指数衰减。 另外，本征解也是f 的周期性函数。f 处的解和f + g 处的解相同，这罩e 为 倒格矢，有豆q = 2 魍。利用这种周期性，我们只需要计算倒格原胞内f 的本征 解或者考虑第一布罩渊区内f 的解。如冠= a 的一维晶体，第一布罩渊区为 七= 一州乳a ，所有其他的波矢都可由第一布里渊区内的点通过单位为g l = 2 口 的平移得到。如果晶体具有更强的对称性，就可以把第一布罩渊区内多余的部分 去掉，得到简约布里渊区。在上面的一维晶体中，由于具有时间反演对称性 8 ( t 斗- k ) ，简约布罩渊区为t = o 州口a 丘 乒弋 g a p i。 k 柏卅8k 柏 ( a )( b ) 酗1 4 ( a ) 一维电介质频率与波矢数关系图 ( b ) 一维周期介质及其布里渊边界和 k = 0 处发生衰减而产生带隙 完全光子带隙是指国的一段范围，在此范围内对任何云方程1 3 2 都没有解， 山东大学硕士学位论文 其上下被传播态包围。以占= l 的一维系统为例，平面波本征解为缈( t ) = c k ，如图 1 1 中的一维情况所示。占的平凡周期为a ( a 0 ，a = 0 给出了无界色散关系) 。 x t a 0 ，用b l o c h 包络函数和波矢来表示，这种情况下 衫口的能带被平移到 第一布罩渊区内，如图1 4 ( a ) 的虚线所示。这旱k = 一万肛与k = 州口的模式处于 相同的波矢和同一频率，边界处的随机衰减是由所选择的周期决定的。我们用线 性组合e ( x ) = c o s ( 嬲口) 和d ( 工) = s i n ( 万口) 代替电场豆( x ) 束表示波函数的解。用 周期a 对s 进行扰动使其为非平凡周期，如正弦曲线s ( x ) = l + c o s ( 2 万口) 或者 图1 4 插图中的方波，由于这种振荡波的存在，e ( x ) 和o x ) 问的随机衰减被打破： 若 o ，场e ( x ) 在介电函数较高的区域比d ( x ) 更集中，低频区也一样。能带的这 种反方向移动就产生了带隙，如图1 4 ( b ) 所示( 根据微扰理论， 加 ( 2 3 1 ) - 这里；( 石，五) ，五= 1 ，2 是给定平面波矢i 的单位极化矢量。对横截面的场有： f ；( 石，五) = o ( 2 3 2 ) 这罩使： 肿) 2 丽1 ( 2 3 3 ) 由于占p ) 是位置矢量，的周期函数，那么，( 尹) 必然也是尹的周期函数。因此，可 以用倒格矢量g 对兵进行展开如f ： ，( 尹) = ，( g 广 ( 2 “3 ) 将方程2 3 1 和2 3 4 代入方程2 2 8 可得： 磊( i + g ) 邝) 石唯a ) m 五) p 二 一2 丢。( 跏五) 叫) 方程2 3 5 的傅立叶变换形式可以通过在方程两边同乘；( p ，) p 一加并在所有空间 进行积分得到： 磊( 云+ g m g ) 即( | j ，a ) m 以) ( f ，a ) 露旷 山东大掌硕士掌位论文 - - i l _ - _ 目l l l _ l l _ _ _ - i l - - l - _ - _ _ - _ _ 一 一( 詈j 否。( f ，a ) ；( 矿) ( f ，丑) 磊j ( 2 3 6 ) 对2 3 6 进行化简： 丢驴巾) ( p g ) ；( 驴一叫m 鼬) _ h ( p g ，丑) 一莓。( 钆) ；( 胁) ( 矛，a ) ( 2 3 7 ) 将o ( p ，五) a ( 妒，) = 一。代入上式可以得到： 荔驴巾) ( 驴一g ) a ( 矿一叫m 矿，) 厅( p g ，五) 一莓矗州胁) ( 2 3 8 ) 继续对上式进行化简： 荔p x ，( 郇p g ) 5 ( 妒一g ，五) h p ，) 矗( 驴一g ，五) = 一( 小( 刎 ( 2 3 9 ) 这里，使k 一k + g 有： 萎( 石+ 孙巾) ( 石+ 口一g ) # ( f + 口一钏m 石+ 劫) 矗( 后+ g 一g ，五) = 一( 詈) 2 ( f + 。，a ) c z ，t 。， 使g 一g 呻g 。： 萎阶+ 朗) ( f + 咖厂( 口一铆( f + g 。) a ( 王+ 即) | i l ( j i + 朗) ( 矛( a ) ( 2 3 1 1 ) 使g 一g ，伊寸伊，另外为了使展开的最终形式与文献中的典型形式“1 相符 合，把丑_ ，五一a 得到： 丢盼+ 每a 烨+ g ) x 作一g ) 陬g ) ；( 石+ g ，) m + g ，) 1 9 山东大罕坝士字伍论文 = 一( 詈 厅( 石+ g ，五) ( 2 3 1 2 ) 根掘矢量的乘法“订彳( 口c x d ) = ( 一占) ( c x d ) 有： a ( 石+ g ，a ) ( i + g ) ( f + g ) ( f + g ，五) = a ( i + g ，五) ( i + g ) ( f + 6 ) ；( f + g ，五) ( 2 3 1 3 ) 占( 石+ g ，五) ( f + g ) ( f + g ) 占( f + g ，五) = 一 ( f + g ) ；( + g ，五) - ( f + g 7 ) ；( j + o ，a ) ( 2 3 1 4 ) 将上述结果代入方程2 3 1 2 ，得： 瓢( f + g ) ；( 石+ g ，五) ( 石+ 卟善( f + 鼢) ，( g g ) ( f + 明) = 【詈j ( 石+ g ，五) ( 2 3 1 5 ) 进行平面波展开，可以得到线性方程组“： 。厄，删 ( m ) 2 ( m ，五) ( 2 3 1 6 ) 这里口是关于f 的矩阵，表示如下； 。，研= ( f + g ) # ( 露+ g ，五) ( f + g ) x 。( f + g ，名) ( g g ) ( 2 3 1 7 ) 对给定的f 和n 个倒格矢量色乩，全矢量的三维线性厄密矩阵口将是2 n x 2 n 的 5 b 阵# 具右如下的一般形式! 吃矗。描) 吒鱼也商) 吒矗编) 吒矗 岛) 吒矗，屯a ) 吃a 楠) 吃a 粕) 嚷舶磊) 吃矗。鹕) 吃矗郴。) 吃a 编)吒a 而后)吒卮 焉)吒岛 岛) 吒矗 川 吃岛们吃屯拍)嚷岛 岛)嚷岛也a ) 吒岛脚、) !；。； 吒矗椭l 吃亿舶) 吃岛编) 吒a 岛) 吒矗矗引 在二维情况下，对此可以分为电磁波的两种偏振，分别是横向磁场偏振( t m ) 山东大学硕士学位论文 和横向电场偏振( t e ) 在1 m 偏振中电场矢量平行于介质柱，在t e 偏振中磁场 矢量平行于介质柱。t m 偏振和t e 偏振是相对于光子晶体的周期平面的。两种偏 振模式的区分有助于对2 3 1 7 中关于f 的矩阵p 进行一些简化。二维系统中，矩阵 护关于1 m 偏振和t e 偏振的简化形式分别如下： t m 偏振： 醣( g ，g ) = f + g i 陋+ g 7 i s ( o - o ) ( 2 3 1 8 ) t e 偏振： 镌( g ，g ) = ( 岳+ g ) ( f + g ) ( 6 一g ) ( 2 3 1 9 ) 上述两式用来计算二维光子晶体的本征频率，而2 3 1 7 式用来计算三维光子晶体 的本征频率 2 4m a x w e l l 方程组在二维光子晶体中的应用 二维情况中，由于与介质柱垂直的平面的对称性，电磁波可以分离成关于此 平面的横向电场偏振和横向磁场偏振。 研究“表明，t m 带隙容易出现在高介电常数区域独立存在的晶格中，而t e 带隙更容易出现在高介电常数区域相连的晶格中。这个结论可以用来设计同时具 有t m 带隙和t e 带隙的二维光子晶体。这种晶体需要同时满足出现t m 带隙和 t e 带隙的条件，因此要具有几乎完全独立存在的高介电区域，而且高介电区域