（计算机应用技术专业论文）基于固有模态分解的时频分析技术研究与应用.pdf

摘要 非平稳信号是日常生活和科学研究中经常观察到的现象，这些信号往往持续 时间有限，存在产生和消亡。传统的信号频域分析法一傅立叶分析只适用于分 析信号组成分量的频率不随时间变化的平稳信号，因此人们针对非平稳信号的 分析引入了在时频二维平面上表征信号的新方法一时频分析方法。随后，各种 时频分析技术，例如s 1 n f t 、小波分析等，也都得到了快速地发展。其中，上世 纪末，h u a n g 等人首次提出的一种新的信号分析理论一希尔伯特黄变换( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ) 被公认为是对时频分析技术的一个突破。分析和改进h h t 变换是本论文研究的核心问题。 本文在深入分析了h h t 变换的基础上，指出了h h t 目前存在的一些缺点： 在e m d 分解的过程中，细小特征尺度可能会丢失；对与存在跳跃性变化的信 号的分解存在模态混叠现象；以及h h t 变换不能实现信号的即时分析，即不具 备边提供数据边进行时频分析的能力。针对以上缺点，本文提出了如下改进1 ) 提出了c u r - e m d 算法，在e m d 分解中采用曲率极值点代替幅度极值点作为信 号的特征时间尺度，克j e t 原始e m d 中细小特征尺度分解不完全的缺点，提 高了e m d 分解和h h t 分析的精度；2 ) 对e m d 分解中筛选过程进行了改进， 提出了信号的特征时间尺度平稳度的概念和检测信号突变点的方法，当信号的 时间尺度存在着跳跃性变化时，较好的解决了原方法中严重的模态混叠现象；3 ) 传统上，因为h h t 变换涉及到整个信号的反复样条插值，因此h h t 分析必须 针对一个完整的信号。本文采用阿克玛插值法替代三次样条插值，并提出了一 种“分而治之”的递归模态分解法，探讨了将h h t 应用于即时信号分析的可能 性，当信号在连续输入的时，经过一个有限的延迟，该算法就可以给出当前的 时频分析结果。本文通过编程( m a t l a b 和j a v a ) 实现以上各算法，并完成了一 系列数值试验，直观的给出了不同时频分析方法得到的结果。数值试验的结果 证明改进后的算法具有分析精度更高，有效消除模态混叠等优点，证实了改进 的有效性。最后，本文介绍时频分析技术在作者参与的一个实际项目中的应用。 在这个项目中，时频分析技术主要被用于信号去噪以及图像纹理分析两个方面。 关键词：时频分析非平稳信号 内蕴模态分解曲率即时分析 a b s t r a c t n o n - s t a t i o n a r ys i g n a l c a nb eo f t e no b s e r v e di no u rd a i l yl i f ea n ds c i e n t i f i c r e s e a r c h f o rt h o s es i g n a l s ，t h e ya r eg e n e r a t e ds u d d e n l ya n dw i t h e ra w a yi nal i m i t e d t i m e h o w e v e r , t r a d i t i o n a lf r e q u e n c y a n a l y s i sl i k ef o u r i e rt r a n s f o r mi sa p p l i c a b l e o n l yw h e nt h ec o m p o n e n t so ft h es i g n a ll a s tf o r e v e ra n dh a v ef r e q u e n c i e st h a ta r e c o n s t a n t s o ，t h et i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sh a sb e e ni n t r o d u c e da san e wm e t h o dt o a n a l y s i s t h en o n - s t a t i o n a r ys i g n a l t h en e wm e t h o d r e p r e s e n t ss i g n a l s i na t w o d i m e n s i o n a lp l a n eo ft i m ea n df r e q u e n c y d i f f e r e n tk i n do ft i m e - f r e q u e n c y t e c h n o l o g i e si n c l u d i n gs o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r ma n dw a v e l e ta n a l y s i sh a s b e e n w e l ld e v e l o p e ds i n c et h e n a m o n gt h e m ，t h en e wp r o p o s e dh i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ( h ii t ) i sc o m m o n l yc o n s i d e r e da sab r e a k t h r o u g ht ot i m e b e q u e n c ya n a l y s i s t h i s t h e s i sw i l lf o c u so nd i s c u s s i o n sa n di m p r o v e m e n t sb a s eo ni t b a s eo nt h es u m m a r ya n dar e l a t i v e l yt h o r o u g ha n a l y s i so fh h t , t h et h e s i sp o i n t o u ti t sd e f i c i e n c i e s ：t h e r ei sp o s s i b i l i t yo fl o s i n gt i n yc o m p o n e n t si nt h ep r o c e s so f e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ；a l i a s i n gp h e n o m e n o na r i s e s i ft h ec h a r a c t e r i s t i c s c a l e so fs i g n a ls u d d e n l yc h a n g e d ；a n d ，h h tc a n n o ta n a l y z et h er e a l - t i m es i g n a l t h a tm e a n si ti su n a b l et oa n a l y z et h es i g n a lt h es a m et i m ei tb e i n gp r o v i d e d a g a i n s tt h o s ed e f i c i e n c i e s ，s e v e r a li m p r o v e m e n t sh a v eb e e np r o p o s e dh e r e ：1 ) t h e t h e s i sp r o p o s e st h ec u r e m da l g o r i t h mw h i c ha d o p t sc u r v a t u r ee x t r e m e si n s t e a do f a m p l i t u d ee x t r e m e sa st h ec h a r a c t e r i s t i cs c a l e si nt h ed e c o m p o s i t i o n c o m p a r i n gt o t h et r a d i t i o n a le m da l g o r i t h m ，c u r - e m db o a s t sah i g h e rp r e c i s i o n 2 ) t h et h e s i s d e f i n e st h ec o n c e p t i o no fm u t a t i o np o i n ta n dt h ew a yt od e t e c ti t t h a n k st ot h i s c o n c e p t i o n ，a ni m p r o v e dd e c o m p o s i t i o nm e t h o do fh i - i th a sb e e np r o p o s e di nt h i s t h e s i s t h en e wm e t h o dc a ne f f e c t i v e l ya v o i dt h ea l i a s i n gp h e n o m e n o nc a u s e db yt h e s u d d e nc h a n g eo ft h ec h a r a c t e r i s t i cs c a l e s 3 ) t r a d i t i o n a l l y , b e c a u s eo fh h t i n v o l v e s t h er e p e a t e ds p l i n ei n t e r p o l a t eo fa ne n t i r es i g n a l ，t h es i g n a lt h a th h ta n a l y z e sm u s t b ei n t e g r a t e d t h i st h e s i sg i v e sad i s c u s s i o no fan e wi m p r o v e dd e c o m p o s i t i o nb a s e o nt h en o t i o no f “d i v i d ea n dr u l e ”i na d d i t i o n a l ，t h en e wm e t h o da d o p t sa k i m a i n t e r p o l a t ei n s t e a do fs p l i n ei n t e r p o l a t e a l lt h o s et o g e t h e rm a k ei tp o s s i b l ef o ru s i n g n h h tt o a n a l y z er e a l t i m es i g n a l t h a ti s t h ea l g o r i t h mc a ng i v et h ec u r r e n t t i m e - l j r e q u e n c ya n a l y s i sr e s u l to fac o n s e c u t i v ei n p u ts i g n a la f t e ral i m i t e dd e l a y i n t h i st h e s i sw ei m p l e m e n tt h ea l g o r i t h m sm e n t i o n e da b o v eb yp r o g r a m m i n g ( m a t l a b a n dj a v a ) ，a n dm a k eas e r i e so fn u m e r i c a le x p e r i m e n t a t i o n b a s e do nt h ec l e a r l y p r e s e n t e dr e s u l t sc o m e sa f t e rd i f f e r e n tt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o d s ，t h i st h e s i s g i v e sa na n a l y s i sa n dp r o v e st h ee f f i c i e n c yo ft h ei m p r o v e da l g o r i t h m f i n a l l y , t h i s t h e s i si n t r o d u c e sa l la p p l i c a t i o no ft h ep r o p o s e dt i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i st e c h n o l o g y m e t h o d si nap r o j e c tt h a tt h ea u t h o r p a r t i c i p a t e d i n i nt h i s p r o j e c t ，t h e t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i st e c h n o l o g yw a sm a i n l yu s e di na s p e c t so fs i g n a ld e - n o i s i n g a n dt e x t u r ea n a l y s i sf o ri m a g e s k e y w o r d s ：t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sn o n - s t a t i o n a r y i n t r i n s i cm o d e lc u r v a t u r e r e a l - t i m ea n a l y s i s i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：龇。日期：至竺旦笙鱼璺1 且 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的全部内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存或汇编本学位论文。同时 授权经武汉理工大学认可的国家有关机构或论文数据库使用或收录本学位论 文，并向社会公众提供信息服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生( 签名) ：堂 导师( 签名) ：期：确咀1 目 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 时域和频域是信号分析的两大领域，它们是通过傅立叶变换联系起来的【。 对于确定性的平稳信号，单独地从时域或频域分析一般已经能够达到要求。然 而许多现实应用中，我们几乎难以找到严格满足平稳性要求的信号。为了能够 分析这些非平稳信号的特性，单单靠时域或频域分析方法是远远不够的，而时 频分析技术的发展则为处理这类非平稳信号提供了非常有效的方法【2 1 。 1 1 问题的提出 傅里叶分析是最早研究频率的信号分析理论，也是目前发展最成熟的信号 分析理论。傅里叶变换将一个函数表示成无穷多个最和谐的函数，即正弦函数 的加权和。由于这些正弦函数的频率是固定不变的，其波形无始无终，因此， 傅立叶分析只适用于分析信号组成分量的频率不随时间变化的平稳信号，但不 能给出任何有关这些正弦波何时出现何时消亡的信息。 然而，变化的频率是现实生活中人们经常直观感觉到的自然现象。现实世 界中的信号大多是非平稳、非线性、非均匀、非确定、非规则、非连续、非周 期、非对称，等等。许多天然和人工的信号，譬如语音、生物医学信号、音乐、 雷达和声纳信号、机械振动和动物叫声等，即是典型的非平稳信号，其特点是 持续时间有限，并且是时变的。因此描述这种现象并研究其变化规律对人类的 生产和生活将是十分有益的。 为了得到信号频谱随时间的变化情况，我们需要使用时间和频率的联合函 数来表示信号。为此，2 0 世纪4 0 年代，学者们便针对非平稳信号的分析引入了在 时频二维平面上表征信号的新方法一时频分析方法。如图1 1 所示为一弓头鲸 发出声音的时域波形、频域波形和时频分布。其中主图左边为弓头鲸声音的时 域分布图，主图的下方为频域的能量密度频谱。我们从能量密度频谱仅可以看 出哪些频率存在，以及它们的相对能量密度有多大。只有从时频联合分布图中， 我们才能够看出该声音是由一个时变频率成分组成，并能对于这些频率的产生、 变换和消失进行观察。 武汉理l 。人学硕 学位论文 _ 一 主一蓁蓁雾霾 图11 由弓头鲸发出声音的时一频曲线i 从图中我们可以看到，相比单纯时域或频域分析时频分析的优势在于能 将频谱随时问的演变关系明确表现出来自然更符合实际应用的需要。然而目 前各种理论和算法都不够完善，进一步研究时频分析有极大地意义，时频分析 也必将因此拥有更为广阔的应用前景。 1 2 国内外研究现状 作为一种新兴的信号处理方法，时频分析的研究始于2 0 世纪4 0 年代，特刖 是从2 0 世纪8 0 年代阻柬有了长足的发展，各种时频联合分析方法得到了广泛 的研究和应用，逐渐形成了一套独特的理论体系。为了得到信号的时变频谱特 性众多学者提山各种形式的时频分布函数多达几十种。目前已获广泛应用线性 时频分析法主要有：短时傅里叶变换、w i g n e r - v i i l e 分布和小波变换等。这”! 方 法获得的最终理论根据都是博罩叶分析，理论都是采用积分分析方法，l 期而也 容易遭受傅早叶分析理论分析非线性非平稳信号的局限，如出现虚假信号和假 频等，而且受h e i s e n b e r g 不确定原理的限制，不能精确描述频率随时问的变化。 然而这些方法作为时频分析的基础对这些方法的回顾和分析我们可以对食品 耀 虹啦 武汉理工大学硕士学位论文 分析领域的基本概念和理论有一个更好的了解，而且例如小波分析仍是迄今为 止最好的时频分析方法之一。 希尔伯特黄变换( h h t ) 是由n a s a 的n o r d e neh u a n g 等在1 9 9 8 年提 出的一种新的信号处理方法，该方法以h i l b e r t 变换为基础，适用于非线性非平稳 的信号分析，被认为是近年来对以傅里叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一 个重大突破。 它的主要创新是提出了固有模态( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n 或i m f ) 的概念 和引入了经验筛法( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n 或e m d ) 。h h t 变换通过 e m d 将信号分解成i m f 的和。对每个i m f 进行h i l b e a 变换，使非平稳信号平 稳化，从而获得有意义的瞬时频率，从而给出频率随时间变化的精确表达。信号 最终被表示为时频平面上的能量分布，称为h i l b e a 谱，进而还可以得到边际谱。 然而h h t 变换出现的时间较短，仍存在不少问题，对于这种新的信号处理 方法其基的完备性还需要严密的证明。因此，其理论的完善和改进还有大量的 工作可以做。 1 3 本文研究内容及后续章节安排 1 3 1 算法与理论 本文的研究主要以h h t 变换和其中的e m d 分解为基础，详细分析了目前 h h t 变换的不足并给出了自己的改进。其中主要内容有： 幻传统的e m d 分解算法，采用极值点间的距离作为特征时间尺度，在有 些情况下，它并不总是很精确的，极值点的间隔也会丢失一些细小的时 间尺度量。因此，本文提出了c u r - e m d 算法，在e m d 分解中采用基于 曲率的特征时间选择，在继承原算法优点的基础上，进一步提高了e m d 分解和h h t 分析的速度和精度： b ) 本文提出一种启发式的自适应分解算法。该方法基于e m d 并在e m d 分解的基础上加入了对突变的特征时间长度进行检测，提出了特征时间 尺度平稳度的概念。当信号的时间尺度存在着跳跃性变化时，较好的解 决了原方法中严重的模态混叠现象； c ) 传统上，因为h h t 变换涉及到整个信号的反复样条插值，因此h h t 分 武汉理工大学硕士学位论文 析必须针对一个完整的信号。本文探讨了通过采用改进的分解方法使得 h h t 应用于即时信号分析的可能性，即信号在连续输入的时，经过一个 有限的延迟，算法可以给出当前的时频分析结果。 1 3 2 应用 本文除了提出了时频分析算法和理论方面的改进，也对时频分析技术在现 实应用中做了相应探索。本文把时频分析方法应用到了现实中去，作者在其参 与的一个涂层表面质量检测系统开发的项目中，将时频分析技术应用在信号的 去噪，以及图像纹理分析等方面。 1 3 3 后续章节安排 本文后续章节组织如下：第二章对时频分析的理论进行了回顾和总结。其 中傅里叶变换是大多是时频分析理论的基础。对于一些常用时频分析理论，例 如短时傅里叶变换和小波分析等，本章都做了分析和比较。作为一种新的时频 分析方法，第三章对h h t 变换及其的理论基础h i l b e r t 变换做了详细的分析和 总结，并通过代码( m a t l a b ) 进行了实现。之后，本章还通过一个设计好的测试信 号，形象地比较了上述时频分析技术各自的特点，详细讨论了其优势和不足， 为之后对时频分析技术的改进做好基础知识和理论准备。第四章介绍了本文的 主要工作；本文对在h h t 时频分析的基础上，经过详细的研究和实验，提出了 曲率特征时间尺度、自适应分解算法和即时h i - i t 变换等改进算法。第五章，本 章把时频分析方法应用到了现实中去，介绍了作者参与的一个项目以及时频分 析在该项目中的应用，主要包括信号的去噪，以及图像纹理分析两方面。扩展 了时频分析的现实应用。第六章，总结全文并提出了有关时频分析算法继续研 究的一些想法。 4 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章时频分析技术背景和回顾 信号是信息的载体和表现形式，信号分析是揭示信号结构特征，获取传递 和处理信息的有效手段。信号在自然界和现实生活的普遍存在形式是非线性非 平稳的时变频率信号，如语音信号、脑电信号、心电信号、水波信号、雷达回 收信号、地震信号等等。因此对非稳定信号分析的研究具有重要的现实意义。 2 1 平稳性定义 要求数据的平稳性不是专门对傅立叶分析而言的； 分析方法都有效。根据传统定义，一个时间序列删， 任给时间t ，满足 e ( x ( 0 1 2 ) 0 为尺度参数，y ( t ) 为一个时间、频率均局部化了的带通函数。 对复小波而言，母小波缈( f ) 可表示成2 6 的形式。 妒( f ) 1h ( t ) e 川( 2 7 ) 其中为小波妒( f ) 的中心频率，j i l o ) 为一低通实函数。尽管小波变换没有 在其变换结果中给出明确直接的频率特征，但是变量1 a 代表了信号的频率值。 比较小波变换公式2 5 、2 6 和s 1 1 丌公式2 4 ，可知，小波变换和短时傅氏变换 具有很大的相似性。区别仅在于观察信号的不同频率分量，小波变换使用了不 同宽度的窗函数，在高频时使用短窗口，在低频时则用宽窗口，即以不同的尺 度观察信号，以不同的分辨力分析信号，充分体现了多分辨率分析的思想，与时 变、非平稳信号的特性一致【1 4 l 【1 5 】。同短时傅氏变换相比，小波变换具有多分辨 能力，能较好地解决时间和频率分辨力的矛盾。 小波变换方法非常具有物理意义：母小波相当于一个预先设定的基本的信 号模型，每个小波基函数相当于在这个信号模型中取不同的参数。为了研究信 号的局部性质，就用一种已知性质的小波与其匹配，如果匹配程度好，就说明 信号在该处具有匹配小波的性质；否则表明信号在该处不具有匹配小波的形状 和性质【1 6 1 7 1 。 小波分析是迄今为止最好的时频分析方法之一。其在时频分析，图像压缩 等领域都取得了广泛的应用。最常用的小波母函数是由法国科学家j e 柚m o r l e t 在1 9 8 4 年发展起来的m o r l e t 小波【1 8 l ( 如图2 1 所示) ，因为它简单易于计算，并 且具有连续的表达式。 8 武汉理工大学硕士学位论文 图2 1m o r l e t 小波 小波分析是基于傅里叶分析的，因此他也继承了傅里叶分析的一些缺点。 在小波变换中，基函数的尺度参数和平移参数都是预先设定的，这样无论基函 数与信号的主要成分是否相似，都需要大量的甚至无穷多的基函数表示，信号 易造成信号的信息弥散在太多的基函数上，导致了能量的泄漏，也使得定量的 时频分析变得困难。有时，对通过小波分析得到的时频分析的解释也有违常规， 例如：为了确定事件发生的具体位置，我们必须在高频段来寻找，因为对于基本 小波，频率越高，其时间精度才越高。如果一个局部事件发生在低频段，我们 仍需被迫到高频段才能找出它的痕迹【1 9 1 1 2 0 。可以说小波变换的结果不是一种真 正的时频谱。 2 5 传统时频分析方法总结 目前很多常用的时频分析方法都以傅里叶变换理论为基础，对变换基函数 进行改造或者加窗口来实现的，因此这些时频分析方法通常需假设信号是局部 平稳的，或自相似的。 这些共同缺点是因为它们都是基于傅里叶分析理论的，因而也受傅里叶分 析不足的制约。傅里叶分析理论是将信号分解成无始无终的正弦信号的加权和， 当信号是仅由几个正弦信号组成的时，用傅里叶分析比较理想。但如果信号极 9 武汉理工大学硕士学位论文 不规则，用傅里叶分析就需要许许多多的正弦信号来拼凑，因而容易带来虚假 的正弦信号和假频现象。将基于傅里叶分析理论的时频分析方法用于一般的非 线性非平稳信号时也会出现虚假信号和假频问题。 解决这一问题的最理想方法是研究信号的瞬时频率。从瞬时频率的定义和 希尔伯特变换入手，n e h u a n g 等人提出的h h t 变换从另一个角度较好的解决 了这个问题。 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章h h t 的基本思想和代码实现 从物理意义上讲，频率就是表征信号交变的物理量，但第一次用严格的数学 方法给出频率定义的是f o u r i e r 变换。本质上，f o u r i e r 变换是将任何信号分解 为正弦信号的加权和，而每一个正弦信号对应着一个固定的频率( f o u r i e r 频率) 和固定的幅值，因此，用f o u r i e r 变换分析频率不随时间变化的平稳信号是十分 有效的。但对于频率随时间变化的非平稳信号，f o u r i e r 变换就无能为力了。然 而在处理非平稳信号的时频分布式，我们需要的是瞬时频率与能量分布，而不 是傅立叶谱分析所得出的全局频率与能量分布【2 1 l 。在本章中，我们先从回顾瞬 时频率的概念开始。 3d 1 瞬时频率的定义 对于非平稳信号，f o u r i e r 频率定义不能直观说明信号的物理含义，因此有 必要对f o u r i e r 氏频率的定义作某些修正和扩充。瞬时频率作为一种经验现象每 天都能感受到。对于一个频率调制( f m ) 信号。 s ( f ) e x p j ( t o o t + “m ( t ) d t ) l ( 3 1 ) 其中一h 厂。代表载波频率，a 是一个实参数，代表信号调制强度。而所( f ) 是低频信号，它是我们要传递的信息，即调制波。c a r s o n 和f r y 在1 9 3 7 年定义 该调频信号的相位角驴( f ) 和瞬时频率z ( f ) 为【2 2 1 ： 们) 。吣+ “m ( t ) a t 删。去警 。2 上式表明，瞬时频率由相位的导数定义，即基于瞬时频率是常值频率的一 般化，即相位角的变化率的概念。这样就形成了瞬时频率的传统定义一解析信 号相位求导( d e r i v a t i v eo f t h ep h a s eo f t h e a n a l y t i c a ls i g n a l ) ，简称d p a s 定义。 然而相位导数能否满足我们对瞬时频率的直观概念，这是一个重要问题； 武汉理工大学硕士学位论文 另外，还存在一个问题：如果瞬时频率是相位的导数，那么要使用什么样的相 位? 自然界中的各种信号都是实的，尽管如此，定义在某种意义上对应实信号 的复信号经常是有用的，把瞬时频率定义为相位的导数是很自然的，因为它在 时间范围内的平均值就是平均频率。至此，怎样获得相位还是一个尚待解决的 问题，定义复信号的目的之一是：它使我们能够明确地获得信号的相位和幅度， 由此就能够得到瞬时频率的表示。 我们要寻找一个复信号z ，使它的实部r e a l ( z ) 是被分析的实信号s 0 ， 而其虚部i m a g ( z ( t ) ) 贝1 是要选择的，以便实现合理的物理和数学描述。设： z ( t ) - r e a l ( z ) + j i m a g ( z ) 一a ( 0 e 如( 3 3 ) 如果我们能够确定虚部，那么就可以明确地定义幅值和相位，即： 彳( f ) - j z 2 , ( t ) + z ；o ) ( 3 4 ) 妒o ) 一口，c 培( ! )( 3 5 ) z i 这就可以给出瞬时频率为 川i 1 矾) t 石1 警 ( 3 6 ) 那么问题的关键就在于怎样定义虚部。在历史上，有两种方法：正交方法 和解析信号方法【矧。在g a b o r 引入解析信号之前，建立复信号的主要思想是基 于正交方法，对于一般形式为s ( t ) = a ( t ) c o s q o ( t ) 的信号，其复信号对应的形式 定义为a ( t ) e j 中t ，这样就出现一个问题，该方法首先需要把信号转化为 a ( t ) c o s c p ( t ) 的表示形式，但是这种表示形式并不是唯一的，它可以有无数种情 况，这种方法的优势是它在直观上非常明显。1 9 4 6 年g a b o r 引入了解析信号， 从而使虚部定义问题得到了很好的解决。 3 2h i l b e r t 变换与解析信号 由g a b o r 建立的解析信号方法得到一个复信号，这个复信号有一个和实信 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 号正频率完全相同的频谱，对于负频率，其频谱为零。正像我们将会看到的那 样，解析信号的相位导数能够满足我们许多情况下对瞬时频率的直观感知，而 且其物理含义非常明确【矧。 如果实信号5 0 ) 有频谱；( ) ，那么复信号z ( f ) 的频谱只由；( 珊) 的正频率部分 构成，由f o u r i e r 反变换可得： z 以去徊d l 上式引入系数2 是因为解析信号的实部将是5 ( f ) ； 导z q ) 的数学表达式。 由傅里叶变换公式可知： 讹) 一扛绯。“出 ( 3 7 ) 现在使用实信号s 来推 将公式3 8 带入公式3 7 我们可以得到z ( r ) 的表达式如下： ( 3 8 ) 荆- 1 2 去肛卿= r e j 捌 以去r c 蛾如( ，叫捌缈 由此可以得到一个实信号s ( t ) 的解析信号，表示为： z ( f ) - s ( t ) + 上f 盟d f ( 3 1 0 ) 兀vi 一1 命名为解析信号的理由是：这些类型的复函数满足柯西一黎曼 ( c a u c h y r i e m a n n ) 可微分析条件【2 5 1 ，传统上p q 作解析函数，方程( 3 1 0 ) 的第 二部分就是这个信号的h i l b e r t 变换，用h 【s ( t ) 】表示，即 圳s o ) 】。三胆如 ( 3 1 1 ) 玎ol i 在得到解析信号后，我们就可以利用公式3 4 和公式3 6 来计算信号的能量 和瞬时频率。 h i l b e r t 变换和s t i 叮变换以及小波分析得到的结果不同，h i l b e r t 变换得到 得结果为单一频率值，时频谱仅为一根线条。h i l b e r t 变换的特点也就在于它适 1 3 武汉理丁大学硕士学位论文 合与分析单分量信号的频率变换。从第四章的数值试验中我们也可以看到， h i l b e r t 变换的结果比较精确，但是在信号的两端存在波动现象，这是由于在数 字方法实现是采用傅立叶变化而形成的频谱泄漏，这一现象称为端点效应【2 6 , 2 7 。 虽然解析信号具有非常好的物理解释，h i l b e r t 变换也提供给了我们一种合 理的计算瞬时频率的方法。然而，对于一些信号，直接使用h i l b e r t 变换求出来 的瞬时频率会产生一些明显与事实相悖的结果1 3 ，2 2 1 ： 1 瞬时频率可以不是频谱中的频率之一； 2 如果有只由少数明显的频率组成的一个线状频谱，瞬时频率可以是连续 的，而且在无数个值范围内变化： 3 虽然解析信号的频谱对于负频率为零，但瞬时频率可以是负的； 4 对于一个带限信号，它的瞬时频率可以在频率之外。 产生以上现象的原因主要是因为h i l b e r t 变换仅适用于单分量信号。因此我 们将在下一节分析并讨论h i l b e r t 变换的适用条件。在此基础上，h i l b e r t h u a n g 变换有效地扩展了h i l b e r t 变换的应用范围。 3 3h i b e r t h u a n g 变换 为了探索h i l b e r t 变换的局部限定条件h u a n g 等人分析了一个简单的例子对 信号： x o ) 1 1 声+ s i n t ( 3 1 2 ) 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 p 1 0 jp ( 1 p = 0 j i ： l ：- 一 於 i 一| i |n ：i - 图3 1 相点图 如图3 1 所示，当一0 时，其h i l b e r t 变换为- c o s t 。如图3 1 所示，其x - y 的相点是平面上的一个单位圆。图3 2 a 相位函数是一条直线。图3 3 a 瞬时频率 是正如所料的一个常数图。如果夕一0 ，也就是将信号均值移动，如图3 1 所 示，此时x y 的相点还是平面上的一个单位圆，且与卢的值无关，但圆的中心 移动了卢。如果卢 1 ，中心还是在圆内，但在这种条件下，它的傅里叶谱有一 个直流项。尽管它的平均过零频率仍与- 0 时相同，但它的相位函数与瞬时频 率很不同于卢= 0 。 由图3 2 b 和图3 3 b 给出了当0 声 1 时的相位 函数和瞬时频率，这时相位函数与瞬时频率都会出现没有意义的负值。 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 ，、 刁 母 。 、， o 们 母 = a ，、 n - r 、- ， ，、 u c o 了 叮 出 s ( t ) = c o s ( t ) 。 s ( t ) = 05 + c o s ( t ) s ( t ) = 5 + c o s ( t ) 彳 么c： t i m e ( s e c ) 图3 2 相位函数 a ) f l - 0b ) o 1 的情况；任何一个非对称波局部等同于0 1 的情况。为了获 得有意义的瞬时频率，应该用这些局部限制代替先前分析的全局要求。 由以上分析出发，n e h u a n g 对可以用h i l b e r t 变换得到有意义的瞬时频率 的信号所必须满足的条件做了归纳【2 5 1 ，并将其称为内蕴模式函数( i n t r i n s i c m o d ef u n c t i o n ) 。一个i m f 应该满足以下条件： 1 整个信号中零点数与极点数相等或至多相差1 ； 2 信号上任意一点由局部极大值点确定的包络线和由局部极小值点确定 的包络线的均值均为零，即信号关于时间轴局部对称。 h u a n g 等人认为，对非平稳信号局部均值涉及到局部时间尺度，这是不可能 定义的，因此用信号极大值和极小值确定的包络线的均值逼近信号的均值，并 认为这种逼近效果即使在最坏的情况下用d p a s 定义算出的瞬时频率也与物理 意义一致。 图3 4 是一个i m f 的例子。 图3 4 一个i m f 的例子 对每一个i m f ，其瞬时频率可由d p a s 定义求出。但实际中的信号大多数都 不满足成为i m f 的要求。任何时候信号中都可能包含超过一个的振动模态，这 就是对一般信号简单地使用h i l b e r t 变换不能充分描述其频率内容的原因【2 9 1 ，因 此为了获得有意义的瞬时频率需要将信号分解成若干i m f 分量的叠加。 h u a n g 等人基于对信号局部均值和时间特征尺度与瞬时频率关系的研究引 入了将一个复合信号分解成i m f 的方法一经验模态分解( e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ) 简称e m d 或经验筛法。这种分解基于三个假设，一个复合信 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 号满足： 1 信号至少有一个极大值点和一个极小值点 2 特征时间尺度由极值点间的时间推移定义 3 如果整个信号只包含曲折点而不包含极值点可以先微分一次或多次找 到极值点最后将所得到的分量积分 e m d 的具体步骤是： ( 1 ) 第一步：确定时间序列x o ) 的所有局部极值点，然后将所有极大值点和 所有极小值点分别用一条曲线连接起来，得到x o ) 的上、下包络线，使信号的 所有数据点处于二条包络线之间。计上、下包络线的平均值为鸭o ) ； ( 2 ) 第二步：信号x o ) 与竹( f ) 的差记作h a ( t ) x o ) 一( f ) 一h i ( t )( 3 1 3 ) 理想情况下，j i l o ) 应该是一个基本模式分量。然而，对非线性、非平稳数据 而言，包络均值可能不同于真实的局部均值，一些非对称波依然存在。筛选过 程主要有二个作用：一个是去除叠加波，二是使波形更加对称。为了达到这个 目的，使( f ) 作为待处理数据，重复上述筛选过程，直至i 1 1 p ) 是一个基本模式 分量( i m f ) ，记f l ( t ) ；j i l l o ) ：这样就从原信号中分解出了第1 个i m f 。 这一过程如图3 5 所示，图3 5 a 是原信号；图3 5 b 中实线为原信号，虚线 为上下包络线，中间黑线为均值曲线。它将信号很好地进行了上下平分。图3 5 c 即为公式3 1 3 所表示的原信号与均值曲线的差。 ( 3 ) 第三步：从原始序列x ( t ) 分解出第一个基本模式分量五( f ) 之后，用工( f ) 减 去五( f ) ，得到剩余值序y j j x 。( t ) 一x ( t ) 一五( f ) 。 ( 4 ) 第四步：把( f ) 当作一个新的“原始”序列，重复上述步骤，一次提取出 第2 ，第3 ，直至第n 个基本模式分量。整个分解过程可按如下任何一个准则 终止：1 、当分量o ) 或剩余信号( f ) 足够小时；2 、当剩余信号， ( f ) 变成一个 1 8 武汉理工大学硕士学位论文 单调函数以至不能再从中提取i m f 时。( f ) 这就是原始信号的余项。如果最后 的剩余信号不为零，那么最后的剩余信号应该体现信号的某种趋势。 ( f ) 一o ) ( 3 1 4 ) a ) b ) c ) o - o ， 图3 5 经验筛选法过程 a ) 原信号，b ) 信号的上下包络线和均值曲线，c ) 原信号与均值曲线的差 1 9 武汉理工大学硕士学位论文 综合公式3 1 3 和公式3 1 4 我们可以得出 x o ) c f ( f ) + o ) ( 3 1 5 ) 衙 通过上面的分析我们知道，借助于e m d 分解算法，我们可以把任何一个复 合信号分解为一系列单分量信号的和。对这些单分量信号进行h i l b e r t 变换，我 们就可以得出整个信号的h i l b e r t 频谱了。 3 4h i l b e r t 谱和边际谱 h h t 是一套较完整的信号分析方法体系。除i m f 概念和经验模态分解以外， 它还提出了h i l b e r t 谱和边际谱等新概念。得到原始信号的基本内蕴模式函数分 量之后，我们就可以对每一个分量i m f 进行希尔伯特变换来计算h i l b e r t 谱。 综合等式3 6 、3 1 0 和3 1 5 ，计算信后的瞬时频率表达式： 工o ) ；r e 妻o 弦巾 ( 3 1 6 ) ；置 在公式3 1 6 中省略了余项o ) ，因为它或者是一个常数，或者是一个单调 函数，而且o ) 是一个不确定的低频信号的一部分，但是信号所包含的信息主 要在高频分量中，因此做了省略处理。r e 是取实部运算符。上式的右边称为 h i l b e r t 频谱，也记作： h ( w , t ) ；r e 窆o 弦小o ( 3 1 7 ) 篇 由上式可以看到，经过h h t 变换求得频谱的每个分量的幅值和频率都是随 时间变化的。而通过傅里叶变换求得的频谱中，每个分量的幅值和频率都是不 变的。可见