（基础数学专业论文）一些数论函数的均值估计(2).pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 众骄周知，数论毯数瓣均僮链计闻题在数论磷究中占有十分黧瑟蛉位置许 多羲囊静数谂难蘧都与之臻甥鞠荚圜蠢在遨一领域彀褥经露实矮魏逶震罄必薅 对数沦的发展起到重要的雅动作爆 本文研究了一一些特殊数沧函数的均值估计问题，以及它们与腆重要函数之 间的联系，有关和式的系列加权均值具体说涞，本文的主要成果包括以下几方 面： 1 s m a r a n d a c h e 函数的均值睡题，它与许多数论函数的均值裔密切的关系， 誊文在篱三牵孛莓 究了足类耩臻s m 8 r 勰d 8 穗e 函数翘均毽阏题，s 璐9 8 珏d a 硅e 滋数与美l 乏鸟簸函数之瀚的一个恒等式班及跨德夔质，s m a r 矗n d 8 c 氛e 对序弼疆及 它的性质，利用初等和解析的方法得出了一些新的渐近公式 2 关于加性的s m a r a n d a c h e 模拟函数的研究有着丰富的内容在第四章巾， 本文研究了s m a r a _ l l d a c h e 单阶乘模拟函数以及s m a r a n d a c h e 双阶聚模拟函数的 均饿性质，获得了一系列渐近公式 3 。磷窥了蠡f n l 蕊数倒数鲍性质及其均馕 古诗闯题，利用群橱鲍方法褥到 美予文( n ) 函数翁数豹一个穗确豹诗算公式。 关键词：f s m a r a n d a 舶e 问题；s m ”a 丑d a c h e 蕊数；数论函数；加饿模拟；对称序 列；均值；渐近公式 a b s t 】：a c t ( 英文摘要) i ti 8w e hk n o w i lt h a tt h em e a nv a l u ep r o b l e m 8o fn m h b e rt h 跚r yf u n c t i o n 8 p l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h e8 t u d yo fn u m b e rt h e o r y ，a n d 七h e yr e l a t et o l a n y f a m o u sn u m b e rt h e o r e t i ep r o b k h l s ，t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a 圭1 ) r o g r e s s 撖e h i s 嚣e l d w i l lc o n t 姓b u t et 。穗ed e v e l o p m e 蛾n u n l b e rt i e 。r y l i nt h i 8d i s s e r t a t i o n ，陀s t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m so f8 0 m es p e c i a ln u m b e r t h e o r yf u n c t i o n s ，r e l a t i o nw i t h8 0 m ei m p o r t a n tf u n c t i o n sa n d as e r i e so fa s y m p t o t i c f o r m 娃l a 8a b o u ts o m e 玲b r 疆秘t 沁珏s ，薯h em 螽b 粒h i e 增m e n se 。n t a i n e ( 圭i 珏t h i s d i s s e r t a 七i o na r ea sf o l l o w s ： lt h e8 t u d vo nt h em e 执nv a l u eo fs m a r a n d a c h ef u n c t i o n sp l a ya ni m p o r _ t a 蛙r o 圭e 溉t 囊es t 毽d y 珏u 毯挂t h e 暇y 箍眭dt h e y 糖l 蕊e 协礅a 嚣y 纽m 瓣s 鞋u m b e r t h e o r e t i ep r o b l e m s i nt h i sd i 8 8 e r t a t i o n ，w es t u d yt h em e a nv a l u eo fs o m es p e c i a l n u m b e rt h e o r vf h n c t i o n s ，a ni d e n t i t ya n dm e a nv “u eb e t w e e n8 m a r a n d a c h ef u n c t i 8 壬l8 珏dm 秘 璐蠡瓣e t i 雌，s 搬髓躲d 8 c h e 姆m m e 专r i e8 e q u e 拄c e 氇砖连sp r o p e r t i e s + u s i n ge l e m e n t 缸y 蹴da n 越y t i cm e t h o d 8g o tas 盯i e 8 n e wa s y m p t o t i ef o r m u l a s 2a d d i t i v ea n a l o g u eo fs m a r a n d a 屺h ef u n c t i o n 8e n j o yt h e i ri o n gh i 8 t o r hi n t h 话e h 8 p 酶 ，w es t 醚yt h em e 黼v 越u e 碳赫d i t i v ea n a l c 嘻u eo f8 m a r 8 珏d a c h es i n g l e 毫e t o r i a lf u n c t 幻na n d8 m a r a n d a c h ed o t l b l ef a e t o r i 毹矗j i l e t i o n a n ds e v e r 蕊证t e r e 8 t i n ga 8 y m p t o 七i cf o r m u l a sa r e 舀v e n 3 p r o p e r t i e so ft h er e c i p f o c a lo f 靠( 虹) f u b c t i o na n di t 8m e a 珏v a l u ea r e s t 耐y ，猫i n g 氇n a 骥i cm e 乇h o d 8 瘿v ea ne x te 蠢u 懿搬g 妇m 娃l 拄如rt h er e c i 芦o e 舒 o f 如m ) f u n c t i o n k e y w o 蚶s ：f s m a r a n d a c h ep r o b l e m ；s m a r a i 堪a c h ef u n c t i o n ；n u m b e rt h e o r y 趣珏c 专i 。硒a d d 主t i v e8 船越o g u s y m m e 拈i e8 e q 翡n e e ；溅e a 珏豫l 鞋e ；a s y m 蕊o i c 南r - m u l a 1 西j 匕火学学位论文知谈产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期阗论文工馋的知识产投单位属予纛l 大学。学梭有权保整荠 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子舨。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行梭索，可以采用影印、缩印或扫描游复制手段保存釉汇编本学 谴论文。蠢对，本人豫证，毕监后结合学位论文磅究潆慧氍摸写的文 章律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后通用本声明。 学位论文作者签名：磋篓之蕉指话教师签名_ 缢美国逸绮 扣序g 胃多日锄莎年多月3 目 西j 幻k 学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究1 ： 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本沦文不包含其能人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获缮两麓_ 大学或其它教旁祝构酶学位藏证书丽使耀过静枣才料。与我 一同工作的同志对奉研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：缘魍慧 枷；年否月；日 飘笺大学疆学煎澹文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 鼗谂，楚鹾究鼗的援终，褥聚蹩薹 究整数往褒酌数学分支数谂形藏一瞳独 立的学睾萼聪，随着其他数学分支的发展，研究数论的方法也在不断的发展现代数 论已经深入到数学的许多分支，在我国，数论也是发展擞早的数学分支之 当自变量n 在某个正整数集台中取值，因变嫩取实数值或复数值的函 数= ，( 他) ，这种函数称之为数论函数，它们在许多数论问题的研究中越潜非常 重要的作用尽管很多重要的数论函数豹单个取德往往很不援则，然两它们龅均 蓬歹( 诧) 熹| 】转瑗窭疆努懿燕褥经，毽磊数论申对数谂函数整囊戆磅窕经露楚在 n o 均值意义下避行的酬4 函数的均值估计是数论研究的重要课题之，她研究各种数论问题不可缺少 的工具许多著名的数论难题都与这些均值密切相获，因而在这一领域取得任何 实质性进媵都必将对数论发展怒到重要的推动作用 存o 投l yp r 。b e m s ，n o t8 0 l u t i o n s 一书中，罗码怒亚著名数论专家s 撒a r a n d 8 硅e 教授阍提壅了l 潞令羯寒辫狭嚣鼗论麓题。熬孛赘诲多睡题其煮定豹 研究价蘸，瓣其中的一些问题避行研究并给敷一定程发上的解决，是寄怒并有一 定理论意义研究课题 基于对s m a r a n d 卵h e 问题的兴趣，我们应用初簿数论，解析数论等知识对他 提出的几个数论中未解决的问艨进行研究主要研究了数论中一些著名和式的均 值性质，以及它们与一些重要函数之问的联系，有关釉式的一系列加权均蟪的渐 遥公式。 1 2主要成果和内容缀织 如前所述，本文研究了数论中些著名和式的均值性质，以及它们与一些重 要函数之间的联系，有关和式的系列加权均值的渐近公式，这些成果主睽表现 在s m a r a n d 勰h e 遁数的均馕翘越，带有据蛙的s m w 穗艇a c h e 模拟嚣数以致一些 薮戆数谂瓣熬熊均筐簧嚣莓j 0 个方嚣。内容分蠢嶷繁三章至第五章。其髂滋来， 本文的主臻成果和内容组织如下： l ，s r n a r a n d a c h e 函数的均值问题研究在数论中占有非常重要位置，它与许多 数论函数均值有密切的关系本文在第三章中研究了几类特殊s m a r a n d a e l l e 函 数的均值，利用初等和解析的方法得出了一些新的渐近公式这些公式商助于研 究第四章中螅一些均值闯题， 2 。关予女l 蛙s m g a 翻a c l l e 骥羧遗数豹鹾突舂饕丰蜜豹内吝在第酲毫。本文 研究了s m 氇l t a n d a c h e 革除乘模藐l 函数l 冀及s m a m n d a c h e 双阶乘穰接函数瀚均僮 性质，获得系列渐近公式 第一章绪论 3 ，研究了靠伽) 函数倒数的均德估计阀蹶，剜用解椽力法得到关于民) 函 数倒数的一个精确的计算公式 2 塑i ! 套耋堡主耋魑亟圣 第二章预备知识 本章中绘懑些螽瑟溪爱弱熬麓疆翔谈 2 1 积性函数 定义2 1 ：设整数集合d 满足条讳? 若m ，n 口，则m n d 定义在集合d 上 的数论函数，( ) 称为是积性函数，如果满足 歹( ? n ) 一，7 n ) ，? t ) ，蕊，嚣) = ：i ，m ，髓d ，( n ) 称为是究念积性函数，如果满足 ，( f n n ) = ，( m ) ，( n ) ， 档l ，p ( 2 1 1 f 2 2 l 定联2 1 ：设，托) 是不经为零秘凝论函数，钰 l 野骞标玲分解式站= 硝1 p 那幺，( 礼) 是积性函数的充要条件鬼，( 1 ) = l 及 ，( 札) 一，( 鲮1 ) ，q 霉7 ) ； ，( n ) 是完全积性的充要祭件是，( 1 ) 一1 及 ，( n ) = ， 1 ) 4 ，妨) “ 证嘴：先证必要性由条件知必有，( 托o ) o 由式( 2 ，1 ) 得 0 ，( 强。) = ，( 1 - 扎0 篇，( 1 ) ，( 嚣o ) ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) 这就推出，( 1 ) 一l ，式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 分别由式( 21 ) 和( 22 ) 推出， 下证充分性当m ，竹中有一个等于1 时，不妨设m = 1 ，出，( 1 ) 一i 接爨式( 2 。1 ) 及( 2 ，2 ) 一定藏立警椎 l ，? 矬 l 辩，设m 鹣豢因数分聪 式悬q f l 轷若式( 2 3 ) 成立，那么当( m ，扎) = 1 时，m n 的綮因数分解式 是q f l 轷西1 p ；r 由式( 23 ) 得 ，( 撒国= ，( g p 毋t 露卜露) = ，( q f l ) ，( 8 ) ，( 斌1 ) ，( p = ，m ) ，( n ) ， 即式( 21 ) 成立，所以，) 是积性函数若式( 2 4 ) 成立，假定p 1 一q i 肌一 啦以及当j # 时总有m q 。，l i s ，和蚰肼，l ts r 遮样、m n 的索 嚣数分瓣式是 p ? 1 + 展p ? 一壤如1 移瑞t 霹r 3 第二鼙预备9 a 识 由式f 2 4 ) 褥 ，( m 他) = ，1 ) m + n - ，( 轨) 。h 觑- ，( 蛾+ 1 ) 盛+ 1 - ，( 啦) 风- ，( m + 1 ) “蚪1 - 厂( p ，) n r = ，( 锨) 照，( 舔) 风，魏) 。t ；，魄) “ = ，( m ) ，( n ) ， 这藏涯明了歹( 拜) 是完全积蛙瓣，诬毕 定理2 1 液明：一个积性函数完全由它在索数幂矿上的取值所确定而完 全积性函数则完全由它在素数p 上的取值所确定 2 2p e r r o n 公式 引瓒2 1 ：设6 ，r 为正数我们有 熹篡警办。( 如遗( ，志) ) ，、 劫 熹篡= 。( 抽n ( ，南) ) ，。 a 6 ：琢是班岛及 直线段口= 6 ，一r t 茎f 组成融于o 。 1 ，所以扩s 1 在这两闱道内躺析 因而有 熹z 。譬如砘岗，t 同前面完全一样估计相臌线段上的积分( 注意到这时0 o 仃。，耋沁2 矗 8 ，沁镪十务 移，f2 l 及嚣2l 时有j 8 ：善正整数靖， fd ( 托) n q o 一点篡埘串+ 。( 驾掣) + o 。卜“烈( 2 。 + o f ”。日( ) f 29 1 其中她离z 最近的整数向为半奇数时，取一茹一 j ，恻i 一| 一z i i b ：霪= | 螫歉n 蟪。 n 礼“。+ ；a ( ) “。 一熹e 。删挚+ 。( 塑掣) + 。( 舻即m ；n ( ，警) ) ， 协埘 这里0 常数仅和，6 0 有关 羲耀：先诞蘩形f 8 ) 。瞻于国+ 6 氏，黪缢可逐璜积分，霉剥爰l g | 联2 。l 戆 式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 得 萁中 l 2 刑 a ( s ) 芸幽 一n ( n ) 乱”。去 一n ( n ) 豫一8 。+ o ( r ) ”o 嚣；胁渤一。( n = 1 n 兰； 8 警 争i n ( ，志) + ： n 0 #t i 2 0 对矗透繁。第三个窝式赛继诗 + n ；砣：n 6 ( 2 1 1 ) 妇。1 2 j 剐劫 ，一， 一， o ： 瑚 毗 孵 盯产k 留 汀产k 田 8 护歹 p 嗡 矿歹 对第二个和式有估计 詈 n 2 z 西北大学硕士学位论文 枭b ( b + 口o ) z 一脚，( “蛐( - ，志) + z 一删；三。( 扩。r n i n ( ，志) # r l ( 2 及一 o 因为| ，( 托) | 收敛，耩戳当z 一。列，右边静最蜃一个窝- o 。翳辍 当。o 。时，有p ( 霉) ，( n ) 当级数n 。绝对收敛时，无限桨积兀( 1 十n 。) 也绝对收敛所以有 | ，( 妨+ ，白2 ) + 1 5 ( 1 ，圳+ l ，妒) + ) | ，( 扎) p o 芦蔓 n = 2 由予嫠有部分翘都是有界的，辑戳级数 | ，晒) + ，( 矿) + 收敛。这藏诞爨了式f 2 。秘) 串鼗黍搽绝对毂教。 壤后，当，是完全积性函数时，有厂( 矿) 一，( p ) ”并且式( 2 1 8 ) 右边的每个 级数都是收敛的几何级数，其和为( 1 一，扫) ) 2 4欧挝求和公式 下嚣穷缀矮錾要频繁耀簧豹欧皴蕊秘公式，郄下瑟豹： 定珊2 4 ：设，在区间阿，胡上连续可微，其中o z ，则有 ，( 扎) 目 n 曼。 证明：令m = 龇= h ， 愀) 斑= = ，z 。，出+ z 。p 一湖) 广( 斑 + ， ) ( 。 一3 ) 一，( f ) ( 函l ) 。( 2 2 0 ) 塘 一豫 ， 一她 ， 一 蛙 | | 礁 9 ， 一 0 蝻 第二鼙预备知识 = n ，( n ) 一( 托一1 ) ，( 忡1 ) 一，( r t ) 从乳= m + 1 到札= 女求和，则有 ，( t 膨：妻协m ) 一m 一1 ) m 1 ) 卜m ) 。”。 n = m + 1 掣 n s = 蠢，( 蠢) 一z 转歹一，蜮 封n 茎。 所以有 ，咖) ：一，2 f 】，( f ) 斑+ ，( 自) 一m ，( m ) 鲈 n 兰$ “” = 一f 陵歹7 ( ) 瘦+ 歹。) 一f 琏，由( 2 2 1 ) j 彗 分部积分，则有 小够一荆吲泐一硪 结合e 式及( 2 2 1 ) ，就得到式( 2 ，2 0 ) 2 5阿贝尔恒等式 “f 嚣赍缀瑟嚣要臻裂豹嚣买尔壤等式，霹下蘧靛： 定溅2 5 ：对任一数论函数。( n ) ，令a ( ) = o ( 札) ，甚中，a ( 。) 一o ，当z 1 n 对，假设，在嚣间k ，z j 宥连续导数，英申o 掣 霉弹我们有 n ( n ) ，( 似) = a 如) ，( ) 一a ( ) ，o ) 一a ( 幻，o ) 如 封 够 s 糍薹 的患任对溅定 懑l ! 奎兰堡圭耋堡鎏塞 附向自 硝忉j ! = 1 2 ，南 注意到p 1 ，脚，：m 是不同的奇索数我们有 g 翻置毋) = l ，l i 2 l l l 礼挖 ( 2 0 堪一1 ) 恁 由( 1 ) 和( 2 ) ，我们很容易得到 这藏蠢骥了弓| 理3 、2 s 够( n ) = p ( n ) 3 。1 3 定理的证嚷 现在我们给出定理的证明我们把定理中的和式分为两部分来考虑： s 够( 咒) = s 够( 2 u + 1 ) + s 彤( 2 t z ) ? ( 3 ，1 ) “鱼 “5 笋# 先考露移式中瓣第一豁分，令鬃合盛穗器梵： a = 2 “十1 1 2 札十l 茎。，p ( 2 t 十1 ) 、夏而 3 第三蘑s m a r a n a d a c h e 黼数的均值 期 b = 2 u 十1 i 勘l + 1 z ，p ( 2 “+ 1 ) 、互而) 盎敬拯求移公式，可褥 蹦( 2 珏+ 1 ) 瓶蕊i n ( 2 n + 1 ) 。l 黼 ( 3 2 ) 2 u + l 2 u + l 兰2 棚i 均，由阳贝尔恒等式，我们也可以得到 s 够( 2 + 1 ) = p 2 鞋手1 ) = p + o i 咖l l 甜+ 1 9 詹2 + 1 1 曼j 南2 f + l 曼、压瓤p 量i 断 ， 2 堙羡面( 南霄( 焘) 却姨：，一磐本净， 十o ( 嚣。) ， ( 3 其中”( z ) 为不超过善的索数个数 对于- ( 茁) ，我们有 因而有 斟j 逝 如，= 去+ 。( 蠢) 唧曩毋( 焘丌( 卉) 邶州。卜伊巾，如) = 聂、店( ；纛 1 2 f + 1 、压 、 t 出十1 j l ( 2 i + 圭) 2 2 l n ( 2 z + 1 ) + 。( 志) + 。( 踹) + 。( 赢一踹) ) ， 幽墓再靠 嚣l 【大学碛学位论文 ：fj o 。怎( 2 。+ 】) 2 1 “赤 。兰毒赢+ 0 孚囊牛器) 一萼羔+ 。( 鑫) 饵s ， 由( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 和( 3 5 ) 我们得到 萎，躐。时t ，= 警悉+ 。( 鑫) 固 “ * 1 因而有 荟s d ，( 2 乱) = z 善，即) + o ( 面，n z ) 一萼悉+ o ( 鑫) ( s 固 2 1 ) ，有 趔：子子二 薹警2 三薹南急矿差；鲁( 妒”) 。 一塞高耋去 ：f 去f 三 磊蜀p m p 1 盆舻 刈吼- 一刍，薹高 帮 高耋学邓一扣+ 嘉十赤川鲁舻 ”p ”1 p 2 ( 8 1 ) 一，+ 等卜一+ 学。 。 。、 越为南一爱警，瘊以 n = j 击霎掣= 霎譬霎学 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 西北大学硕士学位论文 o 。( d ) 唧( 3 ) = 坐_ 了一 ( 3 1 2 ) z j s 、 比较( 31 1 ) ，( 31 2 ) 等式两边的系数，司得 驴k ( ：) = 扫_ i 菇。吣1 ； 于是完成了定理32 的证明 定理3 3 的证明：我们也可以采用如定理32 中所用的方法，即初等的方法 来完成定理3 3 的证明，但是用初等的方法得到数论函数均值渐近公式的误差比 较大，不利于我们分析和研究函数的性质，为了使数论函数的均值有一个更精确 的渐近公式，我们利用解析的方法来完成定理33 的证明 对任意的复数sf r es 1 ) ，设 m ) ：掣， 其中6 p ( n ) = 郇( 礼) 唧( 3 ) 由( 3 1 1 ) 可得 ，( s ，= 薹学= ( 薹掣) 2 藩，n = l 仙 n = 1 l 1 面一1 其中( ( s ) 为r i e m a n n ez e t a 函数，并在s = 1 处有阶极点，留数为1 而，( s ) 譬 在s = 1 处有4 阶极点，留数为 熙扑川玎锄( 1 n 毗 此处u ( s ) 表示对复变量s 求三阶导数，忍( f ) 为p 的三次多项式，且首项系数 为 c = ；搿 在p e r r o n 公式( 参阅文献【5 】中定理6 2 ) 中取6 = ；，t 2 ，可得 三一熹詹m ，缸。( 孚) 将上式积分线移至r e s = j + e 处，于是取z 1 = z 可得 蒹协一剐叫+ 熹i 翟，( s ) 知+ 。( 声。 筻三警s m a f a n 鲥a c h 銎数滤殇篷 这载完成了定理3 。3 豹证骥 嵩出) 倒抄。 3 3关于s m a r a l l a d a c h e 对称序列及其它的性质 3 3 1引言 对经爨歪整数，s m 8 r a n a d e k 对舔_ 亭列定义为：8 l = 1 ，8 2 = 1 1 8 3 = 1 2 l ，8 4 一1 2 2 l ，8 5 = 1 2 3 2 l ，锯= 1 2 3 3 2 l ：+ t ，8 2 一l = 1 2 3 ( 】 凳( 露一 1 ) 3 2 l ，8 2 = 1 2 3 蹲一i ) 辅洚一1 ) 3 2 l ，在文献s n l a r a i l a ( 1 a c h e l “， f s m a r a n 耐8 c h e 要求我们研究序列的性质，关于这个问题，张文鹏教 授【2 1 ；】给出了一个有趣的潮近公式在本文中，我们定义序列a ( n 。) 为， a ( 0 1 ) 然l ，a ( 0 2 ) = 2 ，a ( “3 ) 拦4 ，t 一，a ( 眈一1 ) 粼1 + 2 + + 南一1 十南+ 奄一l 十十l ，a ( 8 2 ) = ( 1 + + 奄l + 南+ 七+ 一l + + 1 ) ，一，并且磷究 了宅豹键矮，获褥了一个毒纛麴毽等式。帮藏是下嚣静： 3 3 2遐理的证明 这节我们来完成定理的 正明，由a ( ) 的定义可知， 酬叫毗。，+ 孚h 嚣纛毒 妻a ( 嘲：董a ( 吣，) + 妻字1 + 忆a ( 净a ( 吣，) + i 孚i + 忆 = 1l= 1 l “ j 由( 3 1 3 ) 可得 矧= 砉 字卜= 掣卜 好= l 0 “ jl 4 j 1 8 ( 3 1 3 ) f 3 1 4 j 、 + 1 2 ， ， 仁 ，一 0 o + + z 茁 n n r 毪 z o | | | | 萨一0 | | 志 嘲 帮 数登 匝 惠 任时理定 西北大学硕士学位论文 我们把定理中的和式分两部分来考虑 一方面，当n 一2 + 1 时、有 a ( a 。) = 壁兰竺丢2 _ 塑 + 。自十t 另方面，当n = 2 女时，有 酬= 掣 + 2 2 十* 由f 3 。1 3 ) ，( 3 + 1 4 ) ，f 3 ，1 5 ) 秘( 3 1 6 ) 霹褥 这就完成了定理的证明 志+ 蓥南= 萼 f 3 1 5 1 f 3 1 6 1 黼 | f 。丽 一擞 商 笺露牵荚手自0 程豹s m a a n d a c 酶镤援函数 第四章关于加性的s m a r a n d a c h e 模拟函数 4 1s m a r a n d a c h e 单阶乘模拟函数 4 。圭。王 善l 言 对任意整数竹，s m a r a n d a c h e 函数s ( 礼) 定义为： s ) 一m n m ：n i m ! ) 关于这个数论函数，许多学者对它进行了研究j 6 z s e f s 磊n d o r 嘲定义s m a 涮瞄a c h e 萃除乘摸掇蘧数兔： s ( 嚣) = m 弧伽v ：矿m l ，( 1 ，。( ) ， 以及 s ( z ) = m a x m ：m ! s 矿) ，z ( 1 ，o ( ) ， 当m 2 孵，如果z ( ( m 一1 ) ! ，m ! ，显然有岛( 茹) = m ( 因为o ! 一11 ，因而 对m = l 对不定义) 关于这+ 目蘧，壹于其提法不够弱确，因丽未营褥刘众多数 论专家瓣鬟巍，熬露这一翊憨戆疆究在数论孛占套缳重要斡邀经本文弱主要鹜 的是研究了s 扛) 的均值性质，并且得到两个有趣的结论也就是证明下蕊的： 定理4 1 ：对任意实数z 2 ，有 ，一等+ d ( 訾) 显蒸，骞下彝鼹等式 昂c z ，= 誊熬“镰：警篇舞矗1 翟! 墨 ”， 4 1 2 定理的证明 这节我们来完成定理的证明事实上，由s ( $ ) 的定义，有f m 一1 ) ! 矿墨 m ! 。对t 式强边敬霹数，可褥 ( 4 1 ) 等 0 警 带 | | 置 印 2 零 数实惠 任 时理定 m 嘲 一 叩 鲫 州渊 酋北大学硕士掌位论文 由欧拉求和公式，有 妻融= z “m 赢+ z ”圈洳凌k kzm 辨小刊) ( 1 哟凌 = m l n m m + 0 ( k m ) f 4 2 ) 和 善一厂眦以+ z 一1 ”，出蚤m hz 眦以+ 厂( 卜) ( i 协 = 糯l 珏m 一嗽+ 0 ( 1 轻m f 4 。3 ) 出( 4 1 ) ，( 4 。2 ) 和4 + 3 ) ，我们很容易得蓟 茁1 n p = m l n m m + 0 ( 1 n m ) ( 4 4 ) 因而商 m = 黑兰+ p m 2 萧+ ( 1 j 4 ，5 j 辩( 4 5 ) 式两边同时敬辩数，有 l n m = l n 。+ 0 ( 1 n l n m ) ( 4 6 ) 和 l 珏l 珏，建= 0 ( 1 n l 毪茹) f 4 7 ) 困诧，密( 4 句，( 4 固秘( 4 7 ) ，可得 ) = 面高+ 0 ( 1 ) = 警川n p (1 n z1 q ! ! 旦! 竺型 i n z ( 1 n 茹+ o ( 1 n l n ? n ) = 警+ 。( 訾) 这样便完成了定理的证明 4 2s m a r a n d a c h e 双阶乘模拟函数 碡。2 。王 弓l 言 ，i ：+ 节介绍了s m 黼a n d 8 c h e 单阶乘模拟函数，类似的，s m a r a n d a c h e 双阶乘 模拟函数也可作如下的定义： s 哇 ( 2 z ) 篇m i n 2 7 n ：2 搿s ( 2 r n ) ! ! ) ，z ( 1 ，。c ) 2 1 篁塑童篓凳l ! 墼墼! 塑鎏窒! ! 黧堡壑里鍪 s 搿1 ( 2 。十1 ) 一m i n 2 m ul ：( 2 。+ 1 ) ( 2 m + 1 ) 吣，z ( 1 ，。( ) 当玎 2 时，如果z ( 一2 ) ! ! ，m 显然有，s d ，l ( n ) = 帆这一节，我们用类 似的方法研究了s 娥( n ) 的均使牲质，并得到一个有趣盼结论即就是下面的： 寒理4 。款对任意实数茹2 ，有 洲啦淼+ o ( 等糯掣) 4 。2 。2 一个弓l 理 凳了宠成定理的证鹱，我髓濡要下嚣黪 l 瑾，蓠巍骞 引理4 1 ：对于任一给定的满足( m 一2 ) ! ! nsm ! ! 的正整数m 和n ，我们有 m = 淼十。( 觜) 证绢：海了宠藏弓 理静谨暖，我稻分嚣耱壤嚣遵孬讨浚， ( 1 ) 假设m = 2 ，爱有( 2 铭一2 强 佗( 瓢) 强瓣上式两边取对数。可褥 ( “一1 ) l n 2 十_ 、l n l n n “l n2 + - _ 1 n i 、 z t = l = l ( 4 8 ) 由欧挝求秘公式，春 = 肛斑+ z ”) ( 1 叫珏幽脚钍) ( 4 。) 盎( 4 8 ) ；，9 ) 和( 4 1 0 ) ，我们缀餐易褥赉 f 4 1 m f 4 1 1 1 因而有 “一i + 。( | ) ( 4 1 2 ) 2 ”i 再瓦蕊十u 悖1 2 ) 霹f 4 主2 式两边同时取对数，霄 珏k 0+珏一 n壮 | | 、， 钍n0+n 。黼 l i n 州趟 u 番? 西北大学硕士学位论文 和 l n l n = o ( 1 n l n l n n ) 因戴，麦4 ，1 2 ) ，f 4 1 霹帮4 。1 4 ) ，可褥 “一盎+ 。( 蜚) f 4 1 4 1 这就完成了第一种情况的证明 ( i i ) 假设m = 2 “+ 1 ，则有( 2 一1 ) ! ! 礼( 2 “+ 1 ) m 对上式两边取对数 可德 ( 4 ，1 5 ) 由姨拉求和公式，有 = z 鼽址出+ z 她( 洲) ( 1 妫珏z 幽咧凇叫n 蹲引a ) 和 2 啦+ l2 l n i = l n i + o ( 1 n 2 + 1 ) = 2 l n 十2 ( i n 2 1 ) 让+ o ( 1 n 钍) ( 4 1 7 ) 一一 、j t = 1 = 1 鑫( 4 9 ) ，4 。l ) ，( 4 。1 5 ) ，( 4 1 8 ) 嚣( 4 。1 7 ) ，毒 l n n = “l n “+ ( 1 n 2 一1 ) u + 0 ( 1 n “) 所默有( 4 ，1 2 ) 用和上面相同的方法，可得 珏一盅+ 。( 筹产) 珏。五i 鬲十u 1 1 矗话一j 这就完成了第二种情况的证明 结合上嚣嚣耱穗嚣，我们壤容荔褥到 引联得证 m 一罴+ 。( 蜚) 2 3 f 4 1 1 ) h 。 + h m m 州斟 一 扎mm 。：i +2nu n 缸m 第四鼹关于加性的s m a r a n d a c h e 模拟函数 4 2 3 定理的证明 这节我们利用引理来完成定理姻证明由s 奶( 礼) 的定义以及上面的引理 考 s 奶( 札) 2 m n s # # 1 ) ，设 “2 三赤n = l 、 由e u l e r 乘积公式( 参阅文献【1 l 中定理1 1 7 ) 可得 m ，= 耳( t + 志+ 志+ 南卜) 2 聚( ，+ 刍+ 刍+ 抄) 翼( ，+ 嘉+ 嘉+ 南卜。) 2 骣南耳( ，+ 嘉+ 寿+ 寿) 娶( ，+ 嘉+ 寿+ 嘉 2 娶j 譬f 等娶( ，六)p 簿 f 5 f 1 p 卧1p 糯 ， ：+ 1 ) 笔李 烈 矿 2 辨黔一；) 箕中( s ) 为r j e 煳a n nz e 杯汹数，并在s 一1 链有一阶极点，留数为1 赢 套三= o | 处有! 鬯唑极鼻 ) 为女的不同素因素的个数) ，因而，( 。) 警箬。：o 处毒“( 秘+ 2 羚极患，罄数为 5 赢蠢恕眇2 ，( 剜“硝+ 1 幽坍朋叫 些墼竺? ( s ) 表示对复变量s 求m 阶导数，其中( ) 为掣的m 次多项式 首项系数为 。：篁燮 ! 女 “( 女) + i ) ! 鑫i n p ( ) 为e u l e r 函数 痤弱勋渤公式参阅文羧黼中定理6 。2 ) ，取。，f 2 ，霹簿 基南= 熹z 等如，知。( 害) 将上式积分线移至r es = ；+ s 处，于是取t 一茁可得 萎高幽卅婚叫+ 熹厶：婚，删。每e ， 露嘲+ 。限一蚴| 高0 一兄( ) 十l ( 1 nz ) + o ( 搿一 + 8 ) 这羲竞盛了定理黪诞稿 且 西北大学硕士学位论文 第六章小结与展望 在0 n l yp m b l e m s n o ts o l u t i o n s 一书中，岁马尼亚著名数论专 家fs m a r a n d a c b e 教授提出了1 0 5 个尚未解诀的数论问越本论文主要研究 了其中的几个问题，_ 【 i j 自己的方法得出了一些结果其中，对于第三章的第一一节 本文只是研究了s m a n a d a d l e 双阶乘函数的均值而没有给出n 阶乘函数的均 值公式同样的，第四罩的第一节，第一节分别研究了s m a r a n d a c h e 单阶乘模拟 函数性质，s m a r a n d a c h e 双阶乘模拟函数性质，我们同样可以把它推广到n 阶乘 模拟函数这些问题的研究是有趣并有一定意义的，有待于日后我们继续研究 模拟函数这些问题的研究是有趣并有定意义的，有待于日后我们继续研究 参考文献 【1 】t m a p 0 8 t o l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u n l b e rt h e o r y n e w1 r o r k ：s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 7 6 【2 lo 。z 8 e s a 壬l d 档，0 n 鼢嚣魏e r 趣z 8 专i o 拄匿臻es m 8 差鞠矗嚣庶e & 辩疆o n ，n 。t e s n u m b t hd i 8 c r m a t h 。5 ( 1 9 9 9 ) ，p p ，4 1 5 1 f 3 1 潘承洞，潘承彪哥德巴赫猜想北京：科学出版社，1 9 8 1 疆逶承添，溪承藏，拐等鼗论。j 京：戋豪大学窭敝猛，l g 2 5 】潘承洞，潘承彪解析数论基础北京：科学出版社，1 9 9 9 【6 】k g r i c h a r d ，u n s o l v e dp r o b l e m 8i nn u m b e rt h e o r y - n e wy o f k ：s p r i n g e r - 濑1 8 9 ，1 9 9 4 【7 1c h 鲥l e sa s h b a c h e rc o l l e c t i o no fp r o b l e m so ns m a r a n d a c l l en o t i o n 8f m l e r h l l su n i v e r 8 i t vp r e 8 s ：v a j l 1 9 9 6 强k 鑫s s i 氆蠢t ，a 雠盎s s 舛。0 ns o 蕊e 硝攮es 融越穗靛( 1 8 壹l e sp 粥b l 锄s 瓣 矗h l e f i c a n 斡e s e a r c hp r e s s ：l u p t o n ，a zu s a ，1 9 9 9 f 9 1k e n i c h i r ok a s h m a r a c o m m e n t 8a n dt b p i c so ns m a r a 姐d a c h en o t i o n 8a n d p r o b l e m sf m l e r h u su i l i v e r s i t vp r e s 8 ，1 9 9 6 f l0 】g h ，h a 越ya n ds r a m a n u j a n ，t h er 0 f m a lm l m b e ro fp r i m ef 址t o r so fa n u m b e r 札q n a r t jm a 地，1 9 1 7 ，4 8 ：7 6 9 2 【1 1 l r i c h a r db e h m 勰a n a l y t i cn u m b e rt h e o r y a ni n t r o d u c t i o n m 】u n 主v e r 8 i t y o fs o 往t h e 班le 拄莪 矗珏魄。1 9 8 0 1 2 1k e n n e t hi r e l a n da n dm i c h a e lr o s e n ac l a 8 8 i c a li n t r o d u c t i o nt 0m o d e r n n u m b e rt h e o r y ( v j l ) 【l 麓醚，我啪鹾u r 哆p 毯e 联群波a 魏韪玻t i ck 驻舢娃强e a 帮翠唾 n e wy o 蠢： s p r i n g e r v e r l a g ，2 0 0 1 f 14 1d u m i t r e 8 c uc a n ds e k a c uv s o m en o t i o n sa n dq u e s t i o n 8i nn u m b