（基础数学专业论文）torus型李代数的泛中心扩张.pdf

t o r u s 型李代数的泛中心扩张 摘要 1 1 1 令r = z 2 o ) ，f 是任意特征为0 的域我们定义李代数l ：= s p a n f z ” e ( m ) i n r 其李关系为 e ( m ) ，e ( n ) 】l = s ( m ，n ) e ( m + 1 1 ) z ”，e ( n ) l = s ( m ，n ) z “+ “，( z “，z “】l = 0 其中8 ( h i ，n ) = 1 2 礼。一m 。札2 ，m ，n r 文献【1 】是通过计算李代数的二上 同调群来推出该李代数的泛中心扩张，本文是先给出李代数l 一个中心 扩张，然后证明所给出的中心扩张同构于l 的泛中心扩张 关键词：李代数；覆盖中心扩张；泛中心扩张 t o r u s 型李代数的泛中心扩张 i v a b s t r a c t l e tr = z 2 o ) ，a n dfb ea n yf i e l dw i t hc h a r a c t e r i s t i c0 w cd e f i n eal i ea l g e b r al ：= s p a n fx “，e ( m ) 1 m f ) w i t hl i e b r a c k e tg i v eb y e ( m ) ，e ( n ) 】l = s ( m ，n ) e ( m + n ) p “，e ( n ) 上= s ( m ，n ) z “+ “，p “，x n = 0 w h e r e4 m ，n ) = m 2 n l m l n 2 ，m ，1 1 f h i 【1 1 ，t h eu n i v e r s a le e n t r a le x t e n s i o no flw a so b t a i n e db yd i r e c tc o m p u t i n gt h es e c o n d c o h o m o l o g yg r o u po fl i nt h i st h e s i sw ef i r s tg i v eac e n t r a le x - t e n s i o no fl ，t h a np r o v et h a ti ti si s o m o p i ct ot h eu n i v e r s a lc e n t r a l e x t e n s i o no fe k e y w o r d s ：p e r f e c tl i ea l g e b r a ；c o v e r i n gc e n t r a le x t e n s i o n ；u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打” ”) 作者签名：f 翠日期：z * 年；- f l z g 日 导师签名：日期：年月 日 t o r u s 型李代数的泛中心扩张 第一章引言 1 9 世纪末出现了李代数，当时它是作为研究李群的代数工具而引进 的。最初李群的研究都是从局部来考虑，随着拓扑的发展，数学家们开 始从整体上对李群的结构系统进行研究，从而形成了近代l i e 群论，其 中以e c a r t a n 和h w e y l 为代表。李群的概念是1 8 7 0 年左右挪威数学 家s l i e 在研究微分方程的积分曲线族在什么变换下不变时发现并且建 立起来的。当时是受g a l o i s 理论的启发，数学家们将变换群的思想推广 到几何与分析领域，发现几何或分析领域的自同构变换群通常也具有自 然的几何或分析的结构，l i e 群是一个有机结合体，同时也有群和可微的 结构，而且群的运算保持其可儆性。李群就是可微分的群或者连续变换 群，它实际上是随着微分方程用积分求解的可能性问题以及连续变换群 的研究而发展起来的，s l i e 在李群结构理论上的个重大成就在于他 认识到关于可微群的大量信息已被包含在它的“群的无穷小变换”的代 数中，而且这种代数做为线性对象在许多方面都比可微群更容易研究。 当时人们把这种数理模型称之为“群的无穷小变换”或“无穷小群”大 约在1 9 3 4 年h w e y l 正式把这种数理模型叫做李代数，李代数来源于李 群，它主要是作为群论问题线性化的工具。而李群理论第一个近代化的 叙述则是由邦德列雅金于1 9 3 8 年给出的。 十九世纪后期，李代数的经典理论主要在于它对李群的应用，此后， 李代数的地位随着李群在数学以及古典力学和量子力学的作用而不断地 上升，它不是仅作为研究李群的代数工具，而是成了近世代数学中一个 蓬勃发展的独立的分支。二十世纪以来，李代数与几乎所有的数学学科都 发生着联系，它能解决线性代数中许多极好而又困难的问题。w k i l l i n g 和e c a f t a n 对于可解李代数、半单李代数及单李代数等结构的研究获得 了丰富的成果。经过e c a r t a n 的工作与h w e y l 的完善，特征为0 的域 上的有限维单李代数的分类问题已经获得圆满解决，而特征p 0 的情 形则比较困难，现今仍未完全解决。 在研究有限维李代数的同时，数学家们也开始了对无穷维李代数的 研究。无穷维李代数的研究揭示了李代数与其它很多数学分支的联系( 见 【4 1 ) ，数学物理和形式变分学的某些方程的理论中常见其例。无穷维李 代数的抽象理论现在仍处于发展的初始阶段。1 9 6 8 年v g k a c 和r v m o o d y 各自独立地引入k a c m o o d y 代数( 无穷维李代数) ，仿射k a c t o r u s 型李代数的泛中心扩张 2 m o o d y 代数可看成从一维环面到复数域上有限维单李代数的多项式映射 的泛中心扩张，也就是说，它们以一元罗朗多项式环为其坐标代数。一元 罗朗多项式环的全体导子构成的李代数称为w i t t 代数，而w i t t 代数的 一维泛中心扩张后形成的新的李代数称为v i r a s o r o 代数。无中心的v i r a - s o r o 代数最早出现于1 9 0 9 年，由ec a r t a n 定义，1 9 3 9 到1 9 4 1 年被大 量研究。v i r a s o r o 代数的表示在仿射k a c m o o d y 代数的可积模的构造及 其结构分析和可积模的分类中扮演着重要的角色( 见【5 和 6 】) 。同时， v i r a s o r o 代数的u n i t a r y 表示在m o o n s h i n em o d u l e 以及顶点算子代数的构 造和结构分析中也有许多应用( 见 7 】) 。此外，v i r a s o r o 代数的表示在理 论物理中也得到了广泛研究( 见。由此可见，李代数的坐标代数的 导子李代数及其中心扩张在李代数的表示研究中起着重要作用，同时它 自身在数学和理论物理中也有许多应用，也正由于这种广泛的应用，人 们自然试图对它进行推广，d 维环面a 上的导子全体d e r a 所成的李代 数是w i t t 代数的最为自然的推广。而d e r a 是否有非平凡的中心扩张? 它们能否作用在f o c k 空间上( 见9 1 ) ? 这是最基本的两个问题。但由 于d e r a 没有标准的三角分解，因而也就缺少了顶点算子代数构造中所 需要的“正规序”。多元l a u r a n t 多项式环的全体导子所构成的李代数不 存在非平凡的中心扩张，但发现二元l a u r a n t 多项式环上的斜导子是形 如z ? ，z 孑。( m 。z ，熹一m ，z 。熹) 的一阶微分算子，它们构成的李代数具有 和v i r a s o r o 李子代数极其类似的性质，故称之为v i r a s o r o 。l i k e 代数，( 也 称二阶无中心的v i r a s o r o 李代数) ，该代数存在非平凡的二维泛中心扩张 ( 见2 1 ) 。二元l a u r a n t 多项式环a 的斜导子代数记为b ，它就是无中心 的二秩v i r a s o r o 代数或v i r a s o r o - l i k e 代数事实上，所谓v i r a s o r o - l i k e 代 数有时也被称为b l o c k 型代数，在【1 0 和【1 1 中都对它进行过研究。1 9 9 4 年，k i r k m a n 等人研究了2 秩量子环面在q 为g e n e r i c 的情形下内导子 李代数( 称为g 类似v i r a s o r o l i k e 代数) 的结构，并发现了它与v i r a s o r o - l i k e 代数之间的关系，证明了这两种李代数都存在非平凡的中心扩张由 此可见，量子环面的导子李代数与v i r a s o r o 代数的推广存在着密切的联 系。 李理论中在对导子和中心扩张的研究过程中发现由一些特定的代数 的导子李代数或全形( 即代数与它的导子的半直积) 出发可以构造出( 或 实现) 许多有意义的李代数。比如，一元罗朗多项式环的全形的泛中心扩 张称为扭i t e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数( 见f 1 2 1 ) ，而一元l a u r a n t 多项式环与 t o r u s 型李代数的泛中心扩张 3 w i t t 代数的半直积可以看成一阶微分算子全体所构成的李代数。13 研 究这个李代数与丛上的m 空间的二上同调群的联系，证明了这个代数存 在个三维的泛中心扩张：个帆心和w i t t 代数构成v i r a s o r o 李代数， 另一个中心和一元l a u r a n t 多项式环构成h e i s e n b e r g 代数，还有一个中心 使得v i r a s o r o 李代数和h e i s e n b e r g 李代数的作用“扭”了一下。故泛中心 扩张后的李代数称为扭的一阶h e i s e n b e r g v i r a s o r o 李代数。f 1 2 1 给出了 一阶h e i s e n b e r g v i r a s o r o 李代数的一类不可约表示。1 4 1 给出了一种广 义的v i r a s o r o - t o r o i d a l 李代数的不可约模。另外，在对无穷维李代数的结 构和表示的研究过程中人们也发现泛中心扩张的重要性。比如在复代数 变量x 是一个复的环面时，m a p ( x ，g ) 是一个l o o p 群而相应的李代数 m a p ( x ，g ) 是l o o p 代数；当m a p ( x ，g ) 换成它的泛中心扩张后，表示理论 就有了巨大的生命力，并由此得到了仿射最高权表示理论、顶点表示理 论、模形式理论和特征标理论等。 由于中心扩张的重要意义，许多学者都对这一课题进行了研究。徐晓 平、赵开明和d o k o v i c 等人推广了经典的c a r t a n 型李代数的构造方法， 从而构造出了许多广义c a r t a n 型李代数并研究了它们的结构( 见15 1 和 【1 6 】) 。 1 把扭h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数的构造方法推广到2 秩的情形，并 研究了它的泛中心扩张、导子、自同构群的结构d z h u m a d i l d a e v 受到量 子群的相关研究工作启发构造出所谓形变( d e f o r m a t i o n ) v i r & s o r o 型李代 数( 见 1 7 1 ) 。在 1 8 中b l o c k 创立了一种建立在与c a r t a n 子代数对应的 分次基础上的技巧，并充分利用了这种技巧去确定许多李代数的中心扩 张。b e r m a n 在 1 9 1 和【2 0 】中则把b l o c k 所创立的方法应用到对无穷维李 代数的导子和泛中心扩张的研究中去；此外，还有许多文章研究了各种 不同代数的泛中心扩张和导子李代数( 见 2 1 1 ，【2 2 】， 2 3 】， 2 4 】， 2 5 】， 2 6 】) 。 二十世纪四十年代，人们推广了完备群概念并引进了完备李代数，这种 代数与李代数的导子和泛中心扩张的关系更加紧密。对它们的结构和表 示的研究也进一步推进了对李代数的导子和泛中心扩张的研究。在这一 方面，孟道骥、姜翠波、朱林生、a n g e l o p o u l o s 、b e n a y a d i 、f a v r e 和 c a r l e s 做了大量的工作( 参见f 2 7 1 和其中参考文献) 。 二元l a i n a n t 多项式环a 的斜导子是形如z “( 弛d ，一帆d 。) 的一阶 微分算子，其中d ，d 。是度导子，这些算子组成v i r a s o r o - l i k e 代数b ，记 三= aob ，l 是三的导出李子代数很容易证明l 是一个p e r f e c t 李代 数，我们称之为二秩h e i s e n b e r g v i v a s o l 。李代数。令f = z 2 o ) ，f 是 t o n , s 型李代数的泛中心扩张 任意特征为0 的域我们定义x m = z ；u z ? t a ，用e ( m ) 表示斜导子 z “( 舰d 1 一m l d 2 ) ，其中m f ，并且定义李代数l ：= s p a n f z “e ( m ) l m 1 1 1 文献( 1 i 是通过计算李代数的二上同调群来推出该李代数的泛中心扩 张，在下一章的第一节，我们交待了有关的概念，并给出李代数l 及其 一个覆盖中心扩张( 丘p ) 。在第二节，我们证明同构于李代数l 的泛 中心扩张。 为了书写方便，我们定义以下符号，z ( g ) 表示李代数9 的中心， k e r 砂表示线性映射砂的核，f 是特征为0 的域，z 。表示二维整数向 量，令r = z 。 o ) ，对于m = ( m 。，m 。) p ，在不产生混淆的情况下，记 z “= x ”2 ，e ( m ) = e ( m , 1 ， m 2 ) ，y ( m ) = ( m 1 ，? t t 2 ) ，d ( m ) = d ( m l ，7 r 1 2 ) ， e l = ( 1 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ) t o r u s 型李代数的泛中心扩张 第二章t o m s 型李代数的泛中心扩张 第一节准备知识 5 定义1 1 设g 是一个李代数，若g = g ，胡，则称g 是一个p e r f e c t 李代数 定义1 2 李代数g 的一个中心扩张是指一个李代数口和一个满同态丌： 口一g ，满足k e r 7 r z ( 口) ；如果口还是一个p e r f e c t 李代数，则称( 口，7 ) 是 g 的一个覆盖中心扩张 定义1 3 设( 口，”) 是g 的一个覆盖中心扩张如果对g 的每一个中心扩 张慨a ) ，都存在唯一的李同态妒：互一，使得a 妒= 丌，那么就称( 口，7 r ) 是 李代数g 的一个泛中心扩张 每一个p e r f e c t 李代数都有一个泛中心扩张( 见 2 ) 求泛中一5 - 扩张通 常有两种方法：一种就是通过计算李代数的二上同调群来推出该李代数的 泛中心扩张，如文献| 1 1 ；另一种是先构造中心扩张，然后证明所构造的中 心扩张就是所给李代数的泛中心扩张，如文献3 令f = z 2 o ) ，f 是特征为0 的域定义l ：= s p a n ， z “e ( m ) l n r ， 规定反交换关系如下： e ( m ) e ( - - ) l = s ( m ，n ) e ( m + n ) z “，e ( n ) l = s ( m ，n ) z “+ “， z ”z “】l = 0 ( 1 1 ) 其中s ( m ，n ) = m 2 n 1 一m 1 m ，n r 容易验证l 是一个p e r f e c t 李代 数若令k = s p a n f k 。，k 2 ，f 3 甄) ，= l o k ，并且规定反交换关系如 下： x ”，e ( n ) i l = x “，e ( n ) l + 6 。+ n o h ( m ) ， e ( m ) ，e ( n ) = e ( m ) ，e ( n ) l + 6 r e + n , o f ( m ) ， k ，l l = 0 ，陋x n 】= x ，护 l = 0 ( 1 2 ) 这里h ( m ) = m 1 垃+ ” 2 ，f ( m ) = m 1 k 3 + m 2 k 4 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 容易验 证三是个p e r f e c t 李代数，并且( l p ) 是l 的一个覆盖中心扩张，其中 p ：上一l 是自然投影 文献f 1 1 研究了上的自同构群、导子及泛中心扩张本文将利用文献 3 j 的方法来证明是l 的泛中心扩张 t o r u s 型李代数的泛中心扩张6 第二节泛中心扩张 由三的李关系，我们可以得到几个后面有用的等式 匾= p 加，e ( 一1 ，o ) l l = 一曲。，e ( i ，o ) j t ， k 2 = 妒1 ，e ( o ，一1 ) = 一妒一，e ( 0 ，1 ) k 蝎= e ( 1 ，o ) ，e ( 一1 ，o ) 1 4 = 一 e ( 一1 ，o ) ，e ( 1 ，o ) 】， 肠= e ( 0 1 ) e ( 0 ，一1 ) = 一 e ( o ，一1 ) e ( o ，1 ) 】f 命题2 1 ( 见 n ) 设( 雪，”) 是一个p e r f e c t 李代数9 的一个覆盖中心扩张， ”：垂一口是雪到自身的李同态如果”= 7 r ，则叩= 弛 口 定理2 2 ( 三，p ) 是l 的泛中心扩张 证明：假设( 三，”) 是l 的泛中心扩张，由于( 厶p ) 是l 的一个覆盖中心 扩张，故存在唯的同态砂：三一，满足p 砂= ”，即有交换图： l 二 u 上 三二 下面，我们将定义一个李同态v 7 ：一三，满足p g , c ，：p 和”砂，砂：丌 由命题2 1 知，础7 砂和妣- 7 都是恒等同态，从而抄，是李同构 显然，k e r g ，z ( 三) ，砂一1 ( k ) z ( 三) 而且砂是满的设可( m ) d ( m ) 分别是z ”，e ( m ) 的一个原象，n l r 由于对任意的m ，n f 我们有 陌( m ) ，可( n ) = 1 ( m ，n ) k e r 妒z ( l ) 同理，因为 砂阿( m ) ，d ( n ) = p “，e ( n ) = s ( m ，n ) x “+ “+ kf n , 0 ，l ( m ) ， 妒 d ( m ) ，d ( n ) 】= e ( m ) ，e ( n ) = s ( m ，n ) e ( n + n ) + 6 。+ 。，o f ( m ) 所以有 i v ( m ) ，_ d ( n ) = 8 ( 1 1 1 ：n ) v ( m + n ) + n ( 1 1 1 + n n ) ， t o r u s 型李代数的泛中心扩张 7 【d ( m ) ，d ( n ) = s ( m ，n ) d ( m + n ) + ( m + n ，n ) ， 其中s ( m ，n ) = m 2 n l m 1 礼2 ，m ，n r ，q ，口z ( 三) 当m 。o 时，我们用( m ) 一去q ( m ，e z ) 替换可( m ) ，用d ( m ) 一击口( m ，e 1 ) 替换d ( m ) ；当帆= o 时，我们用9 ( m ) + 击n ( m ，e 2 ) 替换( 1 1 1 ) ，用 o ( m ) + 击2 ( m ，e 2 ) 替换d ( m ) 我们有 is ( m ，n ) ( ( m + n ) 一吾五啬。( m + n ，已1 ) ) + n ( m + n ，n ) 5 ( m ，n ) ( f ( m + n ) + 石五杀q ( m + n ，e 2 ) ) + n ( m + n ，n ) ia ( m + n ，n ) ， 融江 d ( m ) d ( n ) , 3 ( m + n ，e 1 ) ) + 口( m + n ，n ) ，m 2 + n 2 0 ， 3 ( m + n ，e 2 ) 卜卢( m + n ，n ) ，m 2 + n 2 = 0 ，m 1 + n 1 0 i n + n = 0 ( 2 3 ) 其中mn f ，o ，口1 z ( ) 令 岛一曲( 1 o ) ，d c 一1 ，o ) 】，飓= 陟( o ，1 ) ，d ( o ，一1 ) j 1 h 3 = d ( 1 ，o ) ，d ( 一1 ，o ) 】14 = d ( 0 ，1 ) ，d ( 0 ，一1 ) - ( 2 4 ) 由于p t b ( h i ) = p ( k i ) = 0 ，所以凰k e r n z ( 三) ，即有 甄，司= 0 ，z = 1 ，2 ，3 ，4 现在我们定义线性映射妒7 ：一三如下： ( z “) = 可( m ) ，妒7 ( e ( m ) ) = d ( m ) ，妒7 ( k i ) = 凰vi = 1 ，2 ，3 ，4 ：i n f 下面，我们将用四个引理来证明砂是三到三的李同构，从而定理得 证成立 引理1 ( 一1 ，1 ) ，d ( 1 ，1 ) = 一日+ h 2 ，日= 一西( 一1 ，o ) ，d ( 1 ，o ) ( 2 5 ) 鬟一 m 圭一 t o r u s 型李代数的泛中心扩张 y ( 1 ，一1 ) ，d ( 一l ，1 ) = h 1 一日2 ，= 一阿( o ，一1 ) ，d ( 0 ，1 ) 】 d ( 一1 ，1 ) ，d ( 1 ，一1 ) = 一凰+ 日4 ，3 = 一 d ( 一l ，( ) ) ，d ( 1 ，( ) ) 】 o ( 1 ，一1 ) ，d ( 一1 ，1 ) = 玛一凰，巩= 一f d ( o ，一1 ) ，d ( 0 ，1 ) 1 引理的证明：由( 2 2 ) 及( 2 4 ) 等式，我们依次有 匆( 一l ，1 ) 。d ( i ，一1 ) = 一 b ( o ，1 ) ，d ( 一1 ，o ) ，d ( 1 ，一1 ) 1 一一 b ( o ，1 ) ，d ( 1 ，一1 ) 】d ( 一1 ，( ) ) 一 y ( o ，1 ) ， d ( 一1 ，o ) ，d ( 1 ，一1 ) = 一i v ( 1 ，( 】) d ( 一1 ，o ) j + 阿( o ，1 ) ，d ( o ，一1 ) = 一h 1 十日2 阿( 一1 ，o ) ，d ( 1 ，o ) = - i y ( 一1 ，1 ) ，d ( o ，一1 ) 1 ，d ( i ，o ) 】 = 曲( 一1 ，1 ) ，d ( 1 0 ，d ( 0 ，一1 ) 】一阿( 1 ，1 ) ， d ( o ，一1 ) ：d ( 1 ，o ) 】 = 一曲( o ，1 ) ，d ( 0 ，一1 ) j + 阿( 一1 ，1 ) ，d ( 1 ，一1 ) = 一风 可( 1 1 ) ，d ( 一1 1 ) 】= 一 阿( 1 ：o ) d ( o 一1 ) 1 d ( 1 ，1 ) 】 = 日( 1 o ) d ( 一1 1 ) 】d ( o 一1 ) 一 y ( 1o ) ， d ( o ，一1 ) d ( 一1 ，1 ) = y ( o 1 ) ，d ( 0 ，1 ) 】+ y ( 1 o ) d ( 一1 o ) 一h 1 一凰 y ( o 一1 ) ，d ( 0 ，1 ) 1 = i y ( 1 ，一1 ) ，d ( 一1 ，o d ( 0 ，1 ) 】 = 陟( 1 ，一1 ) ，d ( 0 ，1 ) ，d ( 一1 ，o ) + b ( 1 ，一1 ) ，【d ( 一1 ，o ) ，d ( 0 ，1 ) 】 = 一阿( 1 ，o ) ，d ( 一1 ，o ) 】+ f v ( 1 ，一1 ) ，d ( 一1 ，1 ) = 一 d ( 一l ，1 ) ，d ( 1 ，一1 ) 】= 一 d ( ( ) ，1 ) ，d ( 一l ，0 ) 1 ，d ( 1 ，一1 ) = 一 i d ( o ，1 ) ，d ( 1 ，一1 ) ，d ( 一l ，o ) 】一 d ( 0 ，1 ) ， d ( 一1 ，o ) ，d ( 1 ，一1 ) = i d ( 1 ，o ) ，d ( 一1 o ) + 【d ( o ，1 ) ，d ( o ，1 ) = 一h a 十凰 d ( 一1 o ) d ( x ，o ) = 一 【d ( 一1 ，1 ) ，d ( 0 ，一1 ) 】，d ( 1 ，o ) = d ( 一1 ，1 ) ，d ( 1 o ) 】，d ( 0 ，一1 ) 】一【d ( 一1 ，1 ) ， d ( o ，一1 ) ，d ( 1 ，o ) = 一 d ( 0 ，1 ) ，d ( o ，一1 ) + d ( 一1 ，1 ) ，d ( 1 ，一1 ) = 一凰 8 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) t o r u s 型李代数的泛中心扩张 d ( i ，一1 ) ，d ( 一1 ，1 ) = 一 d ( 1 ，o ) ，d ( 0 ，1 ) ，d ( 一1 ，1 ) 】 = 一 d ( 1 ，o ) d ( 一1 ，1 ) d ( 0 ，一1 ) 】一 d ( 1 ，o ) ， d ( 0 ，一1 ) ，d ( 一1 ，1 ) = 一【d ( o ，1 ) d ( 0 ，一1 ) + d ( 1 ，o ) ，d ( 一1 ，o ) = h 3 一h 4 【d ( 0 ，- - 1 ) ，d ( 0 ，1j j l 【u 【l ，一1 ) ，u ( 一1 u ( u ，l jj = d ( 1 ，一1 ) ，d ( 0 1 ) ，d ( 一1 ，o ) 】+ d ( 1 ，一1 ) ， d ( 1 ，o ) ，d ( 0 ，1 ) = 一 d ( 1 ，o ) ，d ( 一1 ，o ) + d ( 1 ，一1 ) ，d ( 一1 ，1 ) = 一h i 所以引理1 得证 引理2 1 ) 当m 。0 时， 【y ( r l l l ，o ) ，y ( n l ，o ) = 0 叭m 。) ，d ( n h o ) _ 和( o ) 】脚1 1 0 ) ) 【d ( m 1 ，o ) ，d ( n 1 o ) = 幕 d ( m - ，o ) ，d o ) 跏，m 。) g ( 。) 】= 黑鼢? l m z ) ，g ( 哪 2 ) 当m 2 o 时， 阿( o ， 1 2 ) ( ( ) ，扎。) = 0 y ( o ，m z ) ：d ( 0 n 。) 】= 纛b ( o ，m 2 ) ，d ( o ，n z ) 】， d ( o ，m 。) ，d ( 0 ，n z ) 】：纂 d ( o ，m 。) d ( o ，n 。) 。 阿( m - ，m 。) ，9 ( n ，礼z ) 】= 箍陌( m ，m 。) ，可( n l ，t t 2 ) 】 9 埘 埘 埘 均 ? 心 口 国 心 i i ) r 型李代数的泛中心扩张 引理2 的证明：1 ) 对于( 2 9 ) 式，利用( 21 ) ( 2 2 ) ，我们有 1 0 陌( 帆，o ) ，( o ) _ 焘州m ，1 ) ，d ( 一一1 ) m 札o ) = i 1 阿( n ，1 ) ，o ) 】，d ( m 。一n 。、一1 ) + 熹阿( n 。，1 ) ， d ( m ，一，h 一1 ) ( 。，o ) 2 面1 1 ) ，( 札o ) ) ：d ( m ，一札一1 ) 卜罢1 ，1 ) ，y ( m - ，一1 ) 】 = 。+ 熹m 哦d ( 0 ，1 ) 】洲m ，剖 2 嘉m o ) ，( 一1 ) ，d ( o ，1 ) + 去阶，o ) ， d ( o ，1 ) ，可( 帅，一1 ) 】 从向有 阿( 7 t 1 1 ，o ) ，g ( n 1 ，o ) = 0 对于( 2 1 0 ) 第一式，利用( 2 ，7 ) 式及甄ek e r r r z ( 三) ，我们有 阿( m - ，。) 、。( n 1 ，。) 】= 而1 陟( m z - 1 , 1 ) ，。( 1 ，一1 ) 】，。( ，。) 】 2 i if 阿( w 1 1 1 ) 一d ( l ，o ) d ( 1 1 ) + 嘉阿( m t l ，1 ) ， d ( 1 ，一1 ) ，d ( n l ，o ) 】 = 旦l y t 上1 匆( m 1 + l 1 1 ) d ( 1 ，一1 ) 一竺? n 旦1 阿( ”1 1 1 ，1 ) ，d ( n 】+ 1 一1 ) = 一而蒜龇m - - i z l , o ) d ( 屯1 ) 】1 d ( 1 ，一1 ) + 嘉瞰盯i l ，o ) ，d ( 一1 ，1 ) 】d ( m + 1 ，一1 ) = 一而瞅m l 栅l ，o ) ，d ( 1 ，一1 ) l ，d ( 1 ) 一百元蒜阿( ”z ，+ 礼1 ，o ) ， d ( 一l ，1 ) ，d ( 1 ，一1 ) + 黑 陟( m t ，o ) ，d ( 礼，+ 1 ，一1 ) ，d ( 一1 ，1 ) + 黑阿( m 1 ，o ) ， d ( 一1 ，1 ) ，d ( n z + 1 ，一1 ) 】 一一署陟( m 1 + n ，+ 1 , - 1 ) ，d ( 一1 ，1 ) 】。而而f 1 阿( t n lq - n l , o ) ，一凰+ 凰】 凡1 + o y ( r n l + 扎l + 1 ， n , 1 黑阿( o ) ，d ( 仉o ) 1 ) ，。( 一1 ，1 ) + 菇1 2 咖t ，。) ，。( 。) t o x l l 8 型李代数的泛中心扩张 全于弟一式，找制确 口( m ，。) 口，。) = 击 。( 一一1 ，1 ) ，。( 1 ，一1 ) ，。( 礼，。) = 击 d ( ，n ，一1 ，1 ) ，d ( m ，o ) 】，d ( 1 ，一1 ) + 嘉f 。( m ，一1 ，1 ) ， d ( 1 ，一1 ) ，d ( n ，o ) 一；n ，。l ， d ( m 1 + 九l 一1 ，1 ) ，d ( 1 ，一1 ) 一罴 d ( m 1 1 ，1 ) d ( n 1 + 1 , - d = 一而击而 d ( m ，+ n l ，o ) ，d ( 一1 ，i ) i d ( 1 ，一1 ) + 黑 【d ( 1 ，( ) ) ，d ( 一1 1 ) ，d ( n 1 + 1 一1 ) = 一百五 口( m ，+ n t ，o ) d ( 1 ，一1 ) 口( 一1 ，1 ) 一百i 靠【d ( m ，+ 礼，o ) ， d ( 一1 ，1 ) ，d ( 1 ，一1 ) 】 + 黑【 d ( m 1 ，o ) ，d ( 礼1 + 1 ，一1 ) ，d ( 一1 ，1 ) + 黑【d ( m 1 ，o ) ， d ( 一1 ，1 ) ，d ( n 1 + 1 ，- 1 ) 1 = 一暑 d ( m 1 + n l + 1 , - - 1 ) ，d ( 一1 1 ) 】百蒜 d ( m 1 一- n l , o ) ，一凰+ 皿j + 暑m ，棚，扎一1 ) ，d ( 1 ) + 磊 d ( m 棚) ，d ( 删】 2 嘉p ( m o ) ，d ( 札o ) ；- 这就证明了( 2 1 0 ) 的两个式子至于( 2 1 1 ) 式，我们有 阿( m n m 。) ，y ( n l , n 2 ) = 一去 阿( m “m 。一1 ) ，d ( o - 1 ) ，y ( n l , t t 2 ) = 一击啮( m ，m 。一1 ) ，( n ，n 。) ，d ( o ，1 ) 一去由( m ，m 。一1 ) ， d ( 。，1 ) ，( 礼，n 。) 】 = 一面1h ( ( r n l ，m 2 1 ) ，r z l , n 2 ) ) ，d ( 0 ，1 ) 一鲁陌( m ，n 2 1 ) ，y ( r t l , n 2 + 1 ) 1 = 一黑m m 1 忱) ，d ( o ，1 ) 】，( n 2 + 1 ) = 一杂 阿( m t ，n z ) ，f ( n t ，n 。+ 1 ) 】，d ( 0 ，一1 ) 一黑日( m ，m 2 ) ， d ( o ，一1 ) ，( h i , n 2 4 - 1 ) 2 嘉【f ( 仉m 2 ) ，( 札n 2 ) t o r u s 型李代数的泛中心扩张 2 ) 对于( 2 1 2 ) 式，利用( 2 1 ) ( 2 2 ) ，同样有 吲州帅。) 】：一去 ! ，( 1 ，。( 乩m 2 - n 。) l 川帅。) = 一去m ”蝴州) d ( - 1 , m 。- n 2 ) 卜瓦1 叭蚴 ( d ( m 。 = 一面1 忡，n 。) ，( 。，心) ) d ( 一l ，m 。一n 。) 卜老n 。) ，( 一1 ，m z ) = 。一毫，蚴 d ( 】) 川- 1 ) 吲 = 一面1 ，现) ，y ( - - 1 , o t 2 ) ，。( 1 ，。) j = 阿( o ，- 2 ) ( ( ) 、m 2 ) 磊1 恒( o ，。2 ) ，i d ( 1 ，o ) ，g ( - - 1 ， ，t t 2 ) 1 2 从f 口确 目( o ，? f 1 2 ) ，y ( o ，n 2 ) = 0 对于( 2 1 3 ) 第一式，利用( 2 8 ) 式及h i k e r n z ( 三) ，我们有 吲，d ( o ，1 一毫b ( 1 , n 。2 - - i ) ：。( 1 ) 】，d f o ，抛) 1 = 一磊i m 1 m 2 1 ) d ( 0 n 2 ) d ( 一1 ，1 ) 一而1 阿( 1 | m 2 - 1 ) ， 。( 一1 1 ) d ( o n 2 ) = 罴目( 1 ，”z 。+ ，功一1 ) ，| ) ( 一1 ，1 ) 羔b ( 1 ，m 。一1 ) ，d ( 一1 ，n 。+ 1 ) 2 百五j n i 2 而 眵( o ，m 。+ n 。) ，d ( 1 ，一1 ) j ，d ( 一1 ，1 ) 一黑( 陟( o 、m 2 ) ，d ( 1 ，一1 ) 】，d ( 一1 ：n 2 + 1 ) l 2 瓦丽t t 2 眇( 0 , m 2 + n 2 ) ，d ( 一l m d ( 1 ，一1 ) + 瓦而t 1 2 m 2 + n 2 ) ， d ( 1 - 一1 ) ，d ( 一1 ，1 ) 】 墨啮( o ，m z ) ，d ( - ln 2 + 1 ) 】，d ( 1 ，一1 ) 】一丽n 2 阿( o ，m 2 ) ， d ( 1 ，一1 ) ，d ( - 1 , n 2 + 1 ) ) = 鬲n 2 。 9 ( 一1 ，m 2 + n 2 + 1 ) ，d ( 1 ，一1 ) + ( m 2 j + 丝n 2 ) 一m 2 陟( o ，m 2 + n 2 ) 凰一场】 + 罴陟( - 1 , m 2 + n 2 + 1 ) d ( 1 ，一1 ) + 纂嘲d ( o ，n z ) 2 鑫呻一m 2 ) ，d ( 0 训- t o r u s 型李代数的泛中心扩张 1 3 全于弟一式，我们相 d ( o ，”z 2 ) ，d ( 0 ，n 。) = 一熹 d ( 1 ，m 2 1 ) ，d ( 一1 ，1 ) 】，d ( o ，n 。) 1 1 1 p ( 1 ，竹z 2 1 ) ，d ( 0 ，n 2 ) l ，_ d ( 一1 ，1 ) 1 一 d ( 1 ，m 2 一1 ) ， d ( 一1 ，1 ) ，d ( o ，7 2 2 ) 】 ，f ，l t ) = 罴 d ( 1 ，t 砌+ n 。一1 ) ，d ( 一l ，1 ) 一罢 d ( 1 1 m 。一1 ) d ( 一1 札z + 1 ) 2 石五靠 d ( o ，m z + n 。) ，d ( 1 , - 1 ) 】，d ( 一1 ，1 ) 一d ( 0 ，m 2 ) ，d ( 1 ，一1 ) ，d ( - i , n 2 + 1 ) l 2 i 鬲靠【 d ( o ，m 2 + n 2 ) ，d ( 一1 ，1 ) 】，d ( 1 ，一1 ) 】 + 石五靠 d ( 0 ：m 。+ n 。) ， d ( 1 ，一1 ) ，d ( 1 ，1 ) 】 一纛( d ( o ，m z ) ，d ( 一1 n z + 1 ) j ，d ( 1 ，一1 ) 】一纛 d ( o ，m 。) ，( d ( 1 ，一1 ) ，d ( 一1 ，咒。+ 1 ) 一。n 2 2 d ( - 1 , m 2 + n 2 + 1 ) ，d ( 1 , - 1 ) + 瓦卺藏吼吣n 。棚。) 凰一驯 + 。n 2 d ( _ 1 ”时咒2 + 1 ) ，d ( 1 ，一1 ) 十磊 d ( o 朋2 ) ，d ( o ，n 2 ) 】 = 蒹( d ( 嘶，。) d ( 吣：) - 就证明了( 21 3 ) 的两个式子至于( 2 1 4 ) 式，我们有 叭m 洲扎2 ) = 去 j ! ，。，嘲，d ( 1 舰咖t ，】 2 竞 阻( m ，一1 ，m t ) ，y ( n l , n 2 ) ，d ( 1 ，o ) 】+ g 。b ( m ，一1 ，m 。) ， d ( 1 ，o ) ，y ( , 1 , z 1 2 ) 】 = o 一罴咖2 1 _ 1 7 t 1 2 ) ，y ( n + 1 ，n 2 ) l = 纛m m 2 ) ，d ( - 1 , o ) m n l + 1 ，礼2 ) = 罴 b ( m ，r n 。) ，可( ? 7 , 1 _ - 1 , n 2 ) 】，d ( 1 ，o ) + 纛阿( m ，m z ) ，p ( 一1 ，o ) ，( h i 4 - 1n 。) 】 = 磊咖- ，m 。) 目( 蛳 所以引理2 得证 引理3 是李同态，也就是说，( m ) d ( m ) ，玩，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，i n r ，满 足下列关系 i 见，l ) = 0 ，阿( m ) ，( n ) 】= 0 ( 2 1 5 ) t o r u s 型李代数的泛中心扩张 陟( m ) ，d ( n ) 】= ( 7 y 2 n 1 一m l 咒2 ) 可( m + n ) + d m 协o f ( m ) d ( n 1 ) ，d ( n ) = ( ? t l , 2 n i m l n 2 ) d ( m + n ) + k 。4r * , o g ( m ) 其中， f ( m ) = m 1 h l + m 2 2 ，g ( m ) ：m 1 风+ m 2 凰 1 4 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 引理3 的证明：先证明( 2 1 5 ) 式由于日。，凰，h 3 ，h 4 z ( 三) ，故只需证 ( 2 1 5 ) 的第二个式子对任意的i n = ( m ，m 。) ，n = ( n 。) r ，由引理2 可知 当r 1 2 = o 时，由( 29 ) 和( 2 1 4 ) 式得阿( m 、，m 2 ) ，目( m ，o ) 1 ：o ： 当t t