（材料学专业论文）金属互连电迁移噪声非高斯性研究.pdf

摘要 摘要 现代集成电路互连线的有效截面积已达到l 平方微米量级以至于更小。因此， 当电流达到毫安量级将导致电流密度达到兆安每平方厘米数量级。在这种情况下 电迁移现象极为明显。金属互连电迁移已经成为超大规模集成电路主要失效模式 之一电阻是金属互连电迁移传统表征参量噪声表征技术比电阻更为灵敏和全 面。以往都是将噪声信号当作高斯信号，而且电迁移噪声表征模型也是基于高斯 过程的实验发现电迁移过程的某些阶段噪声信号具有非高斯性这种非高斯性 产生自迁移动力学机制，因此通过非高斯性分析，可以从噪声中提取电迁移相关 动力学信息 本文在电迁移失效机理和噪声非高斯性的理论基础上，将非高斯信号检测方 法引入电迁移噪声时间序列的分析，通过实验证实在电迁移前期噪声信号以高斯 噪声为主，在空洞成核时期发生非高斯跳变，转而以非高斯噪声为主引入高阶 统计量f 对电迁移噪声信号的非高斯性进行定量描述将实验过程中非高斯性参 量变化与电阻及传统的噪声表征参量进行了对比，表明，可以更为敏感地反映了 电迁移动力学机制为了解释实验结果并进一步建立基于噪声非高斯性参量的电 迁移噪声表征模型，本文通过引入自由体积的概念，采用散射理论，从理论解释 了电迁移噪声信号非高斯性产生的原因与机制。所建立的数学模型证明理论预期 与实验结果一致这些工作为噪声非高斯性参量可作为一种新的电迁移表征参量 以及建立相应的表征模型奠定了基础 关键词：电迁移互连噪声非高斯性 a b s t r a c t t h ei n t e r c o n n e c t i o nl i n e so fm o d e r ni n t e g r a t e dc i r c u i t sh a v ee f f e c t i v ec r o s s s e c t i o n si nt h er a n g eo f1 a n 2o rl e s s t h e r e f o r e ，c u r r e n t so faf e wm i l l i a m p sr e s u l t i nc u r r e n td e n s i t i e si nt h er a n g eo fm a c l n - 2 u n d e rt h e s ec o n d i t i o n s 。t h cp h e n o m e no f e l e c t r o m l g r a t i o na r i s e s e l e c t r o m i g r a t i o nh a sb e e no n eo ft h ei m p o r t a n ti n v a l i d a t i o ni n v l s i r e s i s t a n c ei st h et r a d i t i o n a lt o k e np a r a m e t e ro fe l e c t r o m i g r a t i o n ：n o i s ei st h en 哪 t o o l ，m o r es e n s i t i v ea n dc o m p l e t e t h ep a s tn o i s ew c l er e g a r da sg a u s s i a nn o i s ei nt h e e l e c t r o m i g r a t i o na n a l y s i s ，a n dt h em o d e l b a s e do ng a u s s i a np r o c e s s ；t h en o n - g a u s s i a n n o i s ew e r ef o u n di nt h ee l e c t r o m i g r a t i o ne x p e r i m e n tp h a s e t h en o n - g a u s s i a nn o i s e o r i g i n e df r o mt h ed a n a m i c a lm e c h a n i s m ，s oe l e c t r o m i g r a t i o nd a n a m i c a li n f o r m a t i o n c a no b t a i n e df r o mn o n - g a u s s i a na n a l y s i so ft h ed a n a m i c a lp a r a m e t e r b a s e do nab r i e fd e s c r i p t i o nt ot h ed a m a g em e c h a n i s mf o re l e c t r o m i g r a t i o na n d n o n - g a u s s i a no fn o i s et h e o r i e s ，a n a l y s e dt h ee l e c t r o m i g r a t i o n n o i s eu s e d b y n o n g a u s s i a nm e a s u r e dt o o l s ，f o u n da n e we x p e r i m e n tp h e n o m e n o n - - t h en o n - g a u s s i a n n o i s ee x i s ti nt h ew h o l ee l e c t r o m i g r a f i o ap i o 辐；t h eg a m s i a n i d o m i n a n ti nt h e e a r l ys t a g e ，t h en o n - g a u s s i a nn o i s ed o m i n a n ti nt h ev o i d sn u c l e a t i o na n dg r o w t hs t a g e an e wp a r m n e t e r 彳w a sb r o u g h tt oc h a r a c t e rt h en o n - g a u s s i a nn o i s ei n e l e c t m m i g r a t i o np r o c e s s , t h e nc o n t r a s ti tw i t ht h er e s i s t a n c ea n dc o n v e n t i o n a ln o i s e p a r a m e t e r i nt h ef o r t h 鲥留丽咀，w i n t r o d u c e dt h ef r e ev o l u m e ，d e s c r i b e dt h ee l e c t r o n s c a t t e r i n gm e c h a n i s m s ，s i m p l e dt h ec o m p l e xe l e c t r o m i g r a t i o np r o c e s s b a s e do nt h e f r e ev o l u m e , b u i l tan 唧e l e c u o m i g r a t i n nm o d e l - - n o n - g a u s s i a nn o i s em o d e l , w e e x p l a i n e dt h en o i s en o n - g a u s s i a n i nt h ee l e c t r o m i g r a t i o n ，t h i sa g r e e dw i t ht h e e x p e r i m e n tp h n e n o m e n a sar e s u l t ，t h en o i s en o n - g a u s s i a nc a nb ean e wt o k e n p a r a m e t e ro f e l e c t r o m i g r a t i o n k e yw o r d s ：e l e c t r o m i g r a t i o n h t t e r c o n n e c t i o nn o i s e i m o n g a m s i a n 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知。除了文中特别加以标注和致谢中所列的内容外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：童型：笸 日期： 7 2 6 关于论文使用授权说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权属西安电子科技大学。本人保证毕业离 校后，发表论文或使用论文工作成果时署名仍然为西安电子科技大学。学校有权 保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分 内容，可以允许采取影印、缩印或其他手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守 此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名：董：! ：塞 导师签名：出么 日期： 劲b 7 、26 日期：幽：么：墟 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 自从1 9 5 8 年集成电路问世以来，由晶体管组成的小规模电路已经发展到现在 的超大规模和巨大规模，器件尺寸进入超深亚微米量级，封装向小型化、高密度 化发展，金属互连在整个集成电路芯片中所占的面积越来越大。金属互连技术已 从传统的铝 3 1 百- 连技术发展到大马士革铜互连【4 l 技术。目前主要采用低电阻率的 c u l 5 1 及其合金代替传统的m ，开发研制低介电常数材科【6 1 等，这些措施都大大提高 集成电路中的互连性能，缩小其特征尺寸r ”但是，当集成电路的工作频率迅速提 高至凡g h z 甚至更高时，基于目前的传统金属互连将无法满足传输的要求。这就需 要突破传统的互连方法引入新的金属互连方法，最近新提出银互连技术伴随着 集成电路发展，金属互连失效成了集成电路发展的瓶颈。在各种互连中电迁移始 终存在金属互连电迁移已成为超大规模集成电路【1 l 的主要失效机理之一闭。 1 9 6 8 年r o s e n b e r g 和b e c n b a u 第一次借助电阻测量研究电迁移过程，但在电 迁移过程中，特别是早期的电迁移阶段，电阻指示的灵敏度不够高，因此广泛开 展了金属互连电迁移表征参量研究嘲1 9 7 3 年v o s s e n 第一次提出低频噪声可以用 于金属互连可靠性评估后，由于低频噪声 9 1 ( i o l 对电迁移损伤极为敏感，噪声表征技 术备受关注 到目前为止，金属互连电迁移噪声表征技术都是建立在功率谱基础上l n l 由 信号处理理论可知，功率谱的分析方法只适用于分析平稳的和线性高斯信号。线 性高斯信号仅是理想情况下产生的，实际的信号往往具有非高斯性和非线性。高 阶统计量信号分析方法是近年来发展起来的新的信号分析方法冈这种方法在很 多领域都得到了广泛应用【埘高阶统计量已经应用的领域包括，地震信号的处理 1 4 1 ，水声信号的非高斯分析与检测，机械故障诊断【1 5 l ，地质信号的石油气预测【坷， 信号处理【1 7 1 ，电子器件的低频噪声的分析【堋，生物医学1 1 9 】等等。高阶统计量分析 方法为电噪声非高斯检验和基于噪声的电子器件可靠性分析提供了新的表征参量 1 1 2 1 本文尝试分析金属铝互连电迁移噪声信号的非高斯性并研究其非高斯性的表 征参量。双谱是信号非高斯性普遍采用的统计检验参量 2 0 - 2 1 1 ，但是这种方法对于 非高斯噪声的评判方法在某些情况下却有一定的局限性。倒如，对于高斯背景下 的非高斯噪声的幅度不能作一定的定量或半定量分析本文将一种新的高阶统计 量统计检验量t 2 值例应用到评判电迁移噪声非高斯性，并结合电迁移的散射机 理给予了合理的分析与解释实验和理论分析结果表明，噪声非高斯性的r 2 参量 2 金属互连电迁移噪声非高斯性研究 可以作为一种新的电迁移表征工具。 1 2 论文结构 本文共分为五章，各章的内容具体安排如下。第一章是绪论。主要概述了本 课题的背景、研究背景及其意义第二章主要分为两个部分。第一部分主要是金 属互连电迁移现象及其失效机理。第二部分详细介绍了噪声的定义与类型，高斯 分布、高斯过程，噪声与非高斯性的关系以及本文用于评价噪声非高斯性的工具 第三章是金属互连电迁移噪声非高斯性实验。首先简单介绍了金属互连电迁移噪 声测量系统与本实验所用的样品接着，详细介绍了从电迁移实验中发现的新现 象一以高斯性为主的噪声发生了非高斯突变。从实验过程中既得到了高斯噪声又 观测到了非高斯噪声，并将新噪声参量结果与传统的电迁移电阻表征参量和噪声 参量进行了对比第四章主要针对本文第三章实验发现的电迁移噪声新特征，从 自由体积模型出发，对电迁移噪声的非高斯性进行了解释。从理论上建立了基于 非高斯性参量的金属互连电迁移噪声表征模型。第五章是本文的结束语，归纳了 本论文的主要内容，并对本课题的下一步工作进行了展望 第二章金属互连电迁移与噪声非高斯性基础 第二章金属互连电迁移与噪声非高斯性基础 2 1 1 电迁移现象 2 1 电迁移现象与失效微观机理 电迁移现象是金属布线中的金属原子与通过布线层的电子相互作用引起的输 运现象。金属中的金属原子渡越能量势阱，成为自由原子通过这种自由原子与 电子流的相互作用( 动量交换) 后，金属原予才移动如图2 1 所示，金属原子 所受的力由与电场同一方向的库仑力( f 1 ) 和与电场相反方向的带电载流子( 这里 是电子) 所受的力( f 2 ) 决定的在铝金属的情况下，已知由电子作用的力比库仑 力约大十倍左右因此，金属原子沿电子移动的方向输运 在金属原子移动的轨迹上产生原子空位( 空隙) 。空位的产生使得布线层的断 面积便减小，电流密度进一步加大，由焦耳热引起温度升高，加速了空隙产生， 最后直至断条，此外，在金属移动堆积的地方产生小丘( h i l l o c k ) 嘲，此小丘便造 成了临近布线间( 多层布线时为层间) 的短路。图2 2 中所示的是高电流密度下 ( j = 2 3 m a c m 2 ) ，铝互连线电迁移损伤的微观图像 一些 ( 竺兰墅_ ! f ：- f 2 1 0 图2 1 铝原子受力示意图图2 2 铝互连线电迁移现象 2 t 2 电迁移失效微观机理 从b l e c h 和m e i e r a n 首先提出了电路开路的原因是电迁移引起的质量迁移i 硐， 对电迁移现象研究一直延续至今，研究的内容包括电迁移过程，电迁移建模以及 如何提高互连可靠性等等 电迁移是由金属条内有电流通过时引起导体内微观物质的重新分布引起的 电流在金属条内通过时，电子会引起电子风，微观物质在风力的作用下将发生漂 移，“起风处变得贫瘠，消风处微粒堆积起来”，从而形成空洞或小丘、晶须如 4 金属互连电迁移噪声非高斯性研究 果问题严重，就有可能导致断路或短路，从而引起失效。 在适当的温度下，空位在晶阵中随机地扩散。空位与金属原子交换位置分为 两步。首先，热激活一对空位原子复合体。参看图2 3 ，我们考虑a 原子的运动， 它要到达空位，就必须先到达阴影原子的中间位置( 这个位置叫鞍点，及它原来 位置和空位的中间点) ，同时挣脱它的三个邻居的吸引力，有时分子热运动就能提 供这种能量( 这个能量叫激活能) ，一旦原子获得了由热运动提供的激活能，并到 达了鞍点，下一步它到达那个位置仍有两种可能，一时继续向前走，到达空位点， 再就是回到原来的位置。同样原子b 也有发生刚才所述过程的可能。总体来看， 经过一段时间后，热运动不会引起微观物质的重构，不会产生净空位流。而当有 电子通过金属条时，就有了电子风的影响，在被激活的原子到达鞍点位置时，电 子风就给它一个推力，不管这个推力有多小，原子肯定朝空位的方向运动。图2 3 中，a 最有可能到达位置2 ，b 有可能到达3 ，这个过程持续不断的发生，就会引 起金属条内微观物质的移动和重构，同时产生了与原予迁移方向相反的空位流。 册鼢 鳓嘞 图2 3 无电流和有电流情况下的原子扩散示意图 2 2 非高斯信号基础知识 2 2 1 高斯分布与高斯过程 2 2 1 1 高斯分布 无论对随机变量还是对随机过程而言，高斯分布都是一类常见的概率分布 工程实践中很多类型的噪声和信号都可以被认为服从高斯分布高斯分布之所以 常见，主要是因为存在如下的中心援限定理1 2 9 l 。 中心极限定理的目的是为了寻找大量的随机变量之和的极限是高斯分布的条 件。它首先被李亚谱诺夫证明，后又被推广为一组定理。以下是最常见到中心极 限定理。 设随机变量置，z ：，。e 相互独立并且服从统一分布。都具有有限的均值一和 有限的方差，设- x l + 邑+ + 邑，则其均值和方差分别为e 瞰】一万以； 第二章金属互连电迁移与噪声非高斯性基础 砌r 瞰】一哦又设乙- 每i 警，厶( 乙) 和厂如) 分别为和z 的概率密度函数， 则必有o - 拜 。 一 物酏) i ，。去强p ( 一手) 一( 2 - 1 ) 上述中心极限定理表明，在这些随机变量是独立的前提下，只要有足够多的随机 变量相加，随机变量之和的分布将会趋于高斯分布 2 2 1 2 高斯分布律 m - 去唧卜譬卜* ) 。( 2 - 2 ) 其中a 和仃分别为x 的均值和方差 如果对z 进行归一化，即令，- ，再用x 取代f 得到新的归一化变量z ， 从而有弘- o , a - 1 ，则x 成为标准正态分布，此时x 的概率密度函数为 ， 几) - 去唧( 一卦( 一一 一 c 拍， 由定义式可以得到高斯随机变量的分布函数为 州- p ( ) 一扛叫一簪卜 c 2 4 ， 上式用归一化高斯变量f - 三带入得到 砟) 。瓤唧( 一争- m p ) c 2 - s ， 其中晔) 去唧( 一譬卜称为概率几分函数，这个积分通常得不到精确的 结果，但可以通过概率积分表查出：对应的m ( z ) 数值 商斯随机变量的分布函数如图2 4 所示。 6 金属互连电迁移噪声非高斯性研究 图2 4 均值为1 。方差分别为0 5 。l ，2 的高斯分布 1 参数卢称为位置参数。( x ) 曲线关于x p 对称这表明对于任意| i l ，o 有 p p h 工p - p p ：x p + ) ( 2 - 6 ) 2 当工- p 取到最大值 ，( ) 一丽1 ( 2 - 7 ) x 离z 越远，t ( x 1 的值越小。这表明对于同样长度的区问，当区间离p 越远，z 落 在这个区间上的概率越小在x 一土盯处曲线有拐点。曲线以d y 轴为渐进线。特 别，当p - 0 ，盯- 1 时称工服从标准正态分布。 2 2 1 3 高斯过程 随机变i x ( t 1 的概率统计特性由它的任意维数状态组成的任意维随机变量的 联合概率密度函数确定如果对于任何有限时刻( i - 1 2 ，。 ) ，由随机变量 置- 石( f 1 ) 组成的任意行维随机变量的概率分布是高斯的，那么这次随机过程就成 为高斯过程【加l 。 例如马尔科夫过程中的扩散和布朗运动过程都是高斯过程 高斯过程不一定是马氏过程，但具有马氏性质的过程是高斯过程，w i r i e r 过程 就是一个具有马氏性质的高斯过程高斯过程不一定是平稳的，但经常研究的是 平稳高斯过程。对高斯过程来说，广义平稳与平稳是等价的，因为高斯过程的分 布完全由均值与相关函数所确定 2 2 3 信号偏离高斯性的评判方法 非高斯信号处理是近年来迅速发展起来的一个信号处理的新领域。传统的信 号处理理论和技术基本上是基于高斯分布和二阶统计量的，这是因为高斯模型比 第二章金属互连电迁移与噪声非高斯性基础 7 较简单且在许多应用是场合是适用的，在这种模型基础上设计的信号处理算法 易于进行理论上的解析分析实际上很多电子器件中引入的信号都具有非高斯性。 传统的信号非高斯分析方法有：图示法，峰度一偏度检验方法，x 2 - - 拟合检验， 以及信号功率谱检测的方法。这些方法都是以数据统计方法区分数据的非高斯性 的，在某些方面都存在着一些问题。 最简便的图示方法是正态概率纸法。此方法根据所用数据计算相应的近似统计 函数分布并在正态概率纸上标出相应的点，如果所有点基本上在一直线上，则 不能否定数据的高斯性如果与直线差异太远，则可以怀疑数据的高斯性 利用这种方法检验数据正态性的优点是简单、迅速、直观，但关键是对于直线 差异太小的判定往往因人而异，因此缺乏一个通用的准则并且对于数据量巨大 的电噪声信号分析，其工作量也将很大，判定也易受主观因素的影响 所谓的偏度和蜂度检验方法是指使用数据统计特性的偏度峰度两个参量来衡 量分布对于高斯分布的偏离程度。图2 5 和2 6 为正偏态，正态，负偏态的分布 函数以及尖削，正态，平阔峰的分布函数 偏度定义为三阶矩除以标准差的立方： 尻- 等p 8 )。 口。 偏度反映了分布的对称性。对于连续的、单峰的、不对称的概率密度函数， 它在众数( 概率密度函数在这一点达到最大值) 的一边形成长尾，另一边形成短 尾。如果长尾是在正的一边，那么称该分布具有正的偏度。反之，如果长尾在负 的一边，则该分布具有负的偏度，以下是一组对数正态分布的概率密度函数曲线。 峰度定义为四阶中心矩除以方差的平方，即 晟一等(2-9) 圈2 5 正俯态，正态。负偏态的分布函数 图2 6 尖削，正态，平嗣蜂的分布函数 峰度反映了概率密度函数曲线在众数附近的。峰”的尖削程度 但是，由于这种方法通常用于研究概率分布函数为连续、单峰时的情况所 8 金属互连电迁移噪声非高斯性研究 以那以满足实际数据处理的需要。 矿一拟合检验方法是使用皮尔逊分布族拟合数据，并使用z 2 拟合优度来检验 对于非高斯性的偏离。此方法使用公式对于数据进行拟合，将数据分布类型划分 为有限种分布类型，还要已知分布类型，还要已知分布的参数，并且需要进行假 设检验和查表。方法过于繁琐 信号功率谱密度的能量检测方法，是众所周知的信号功率谱密度方法无法提 取的噪声信息中无法提取的噪声信息中有关非高斯性的信息。并且在很强的高速 背景下时，功率谱会被噪声所污染而无法反映正常的信息。 上述这些方法对于高斯噪声敏感，在小信噪比情况下并非最优的方法但是 近来被广泛使用的高阶统计量方法。它并不是功率谱等二阶统计量分析方法的替 代品，它可以突出分析信号中的非高斯成分，为非高斯噪声信号检测提供了一种 更优良的分析方法。 2 2 4 高阶统计量方法 高阶统计量包括高阶矩，高阶累计量以及其谱一高阶矩谱和高阶累计量谱这 四种主要累计量，最常用的高阶谱是三阶或四阶谱 设，( 工) 是随机变量x 的概率密度函数，则其第一特征函数又称为矩生成函数 定义为： 妒( ) 一f f ( x ) e x p ( j r o x ) d x e 【c x p ( 肚) 】 ( 2 - l o ) 第二特征函数即累计量生成函数定义为： 妒( 甜) 一l n ( ) ( 2 - 1 1 ) 所以随机变量x 的k 阶累计量c i 定义为累计量生成函数的k 次倒数在原点的值 q - 妒俐神一，) l 掣i 。 ( 2 1 2 ) 对应于k 阶累计量定义为累计量c 。的k - 1 阶傅立叶变换。 & ( 咿纵) 。荟“荟q h ，凡t ) 唧卜j 善w ? r 4j ( 2 - 1 3 ) 根据高斯随机过程的定义，将其概率密度函数带入矩生成函数公式，则相应的炬 生成函数为： 妒( w 卜c ，( 工扣m 出一击e 训k 胁出一矿锄( 2 - 1 4 ) 接着可以得到累计量生成函数 第二章金属互连电迁移与噪声非高斯性基础 9 妒( ，) i l n 妒( w ) 一一华 ( 2 1 5 ) 将代入式得到高斯分布随机变量的一阶，二阶以及k 阶累计量为： f q - 0 ； c z - - 0 2 ；( 2 - 1 6 ) i c i - o ( k 2 ) 从上面的结果可知， 当随机变量服从高斯分布时，其高阶累计量( b 2 ) 时恒为0 ( 但高阶矩却并 不为0 ) ，这就是使用高阶累计量而不使用高阶矩的原因但是非高斯随机变量， 其高阶累计量就不再为0 ，利用高阶累计量的这个优点可以从理论上轻易区分高斯 驻机变量和非高斯随机变量。这一结论可以推广到高斯随机过程，其结果同样是 成立的 高阶累计量 假设观测信号y ( f ) 为y ( t ) - 4 0 + 4 f ) ；其中，( f ) 为离散时间的零均值非高斯( 可 能为线性) 平稳随机过程，而栉( f ) 表示离散时间的零均值高斯噪声序列；且s ( f ) 和 ( f ) 是统计独立的 其一阶，二阶，三阶，四阶累计量计算公式为 c l e 工( f ) ( 一阶累计量( 均值) ) ( 2 - 1 8 ) c 。似) - e x 扣) 工o + 七) ( 二阶累计量( 相关函数) )( 2 - 1 9 ) c k ( 七，1 ) - e x ( n ) 工扣+ 七p 伽+ 讲 ( 三阶累计量) ( 2 - 2 0 ) c , x ( k ，f ，m ) - e r ( 开) x ( 弗+ 七) 工n + f ) 工n + 历) c 缸( 七) c 。( j 一臃) 一c 0 ( f ) c 2 l ( 量一臃) 一m 。( 埘) m 。( k - 1 ) ( 四阶累计量) ( 2 - 2 1 ) 其中吖。似一f ) 一e 扛o ) 工( 栉+ m ) 】，对于实数过程与c o ( 朋) 相等e ) 表示取均 值。这里提到的高阶矩是自然概念，累计量是矩的非线性合并由于累计量关于 他们的变元是对称的，所以k 阶累计量具有七! 种对称形式由该性质得到三阶累计 量有6 种对称形式 高阶累计量谱 通常所谓的功率谱就是二阶累计量谱。它是信号子相关函数的富利叶变换序 列。同样通过对相应的累计量序列进行富利旰变换定义k 阶多谱。这里只介绍到四 阶多谱其中称三阶累计量谱为双谱，四阶累计量谱为三谱 金属互连电迁移噪声非高斯性研究 s n ( ，) 一c o ( 七) e 4 一 ( 二阶累计量谱 ( 2 - 2 2 ) ( ，2 ) 。荟墨( ) e 。2 删e - 2 * t 2 p 盖荟( 七，咖酬肛蹦 ( 三阶累计量谱) ( 2 - 2 3 ) 量，( 矗，五， ) - c i ( ，1 ，m ) e - 2 ( 肚+ 胁加) ( 四阶累计量谱) ( 2 2 4 ) 对于有限能建锅礴定性信号仁扣) ) ，一- o ，1 2 ，则其富利叶变换，能量 谱，双谱和三谱分别定义如下， x ( w ) 一善( 七p m ( 富利叶变换)( 2 2 5 ) e ( w ) - x ( w ) x w 1 ( 能量谱)( 2 2 6 ) 且( ) 一j ( w 1 ) z ( 屹) z ( m + ) ( 双谱) ( m + 屹+ w 3 ) - z ( m ) z ( 屹) z ( 鸭) j ( m + + w 3 ) ( 三谱) 二阶相关函数是使用信号的双谱和功率谱共同定义为： ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) 通过对计算信号的高阶统计量就可以得到相应的高阶累计量谱。如果在计算 中利用高阶统计量的对称特性，就可以大大减少运算量和运算时间，提高运算效 率下图给出了累计量及相应多谱的计算步骤以及相互关系； 图2 7 高阶统计量及其谱的计算步骤 从上面的基础理论可得到：高阶统计量并非功率谱的一个替代品，而是功率 分析方法在时域上的延伸它是比传统的功率谱频域分析方法更高除的分折方法。 可以比功率谱方法从信号中提取更多的有用信息，原本的功率谱信息包含在高阶 统计量谱之中。 第二章金属互连电迁移与噪声非高斯性基础 l l 2 3 噪声与非高斯性 噪声来源于物理量的随机起伏嘲随机起伏的物理量称为随机变量，记为 x ( t ) ，其中f 为时间在任一瞬间，不能预知随机变量的精确大小，但是大多数随 机变量遵循一定的统计分布规律。随机变量的统计值恒为零，故多用均方指表征 其大小 电子器件中的噪声反映了器件内部微观环境下的变化，在平稳状态下的高斯 噪声与非平稳状态下的非高斯噪声，本文主要考虑三种类型的噪声：白噪声与】，r 嗓声，噪声主要包括v ，噪声和布朗噪声。这三种噪声的时间序列与相应的 频谱表示如下图： 苣i 5 8 s e t b 崤熊 a 。 图2 8 三种典型的噪声时间序列 在一般的半导体器件中，背景噪声一般是白噪声，所以大部分情况下认为背景 噪声是高斯白噪声但是对于量子器件中的白噪声，特别是散粒噪声，在某些情 况下却认为是非高斯噪声产生自不同器件和材料中的低频1 ，r 噪声表现的高斯 属性不同 图2 9 高斯v ，噪声 金属互连电迁移噪声非高斯性研究 v o s s 发现在肿( 场效应晶体管) 中v ，噪声是高斯性的，而在p - n 结中的噪 声表现为非高斯的网。因此，v ，噪声有高斯的也有非高斯的。但是，经过多位实 验者对不同的器件和材料中v ，噪声进行分析研究发现高斯v ，噪声占主导。因为 绝大多数研究者认为v ，噪声是在平衡系统中由于温度的涨落引起洲高斯v ，噪 声的时间序列与信号统计直方图如图2 。9 所示。 对于不同的材料，像在硅、铋、一些小颗粒的c ( 碳) 电阻1 3 5 】中和s o s ( s i o n - s a p p h i r e 硅上镀蓝宝石) 以及p e t 、b t ( 场效应晶体管和双极晶体管) 中的v ，噪声表现为高斯的，而大颗粒的c 电阻和n b ( 铌) 、p n 结以及h b t ( 异 质结晶体管) 中的1 ，噪声表现为非高斯的。e d o a r d o ，i | 【e i j i 和y n g v e 等人1 3 6 1 已经 证明某些电子材料和器件中的低频噪声并不完全符合高斯分布，或具有一定的非 高斯成分a n t a l t 等人l 卵】认为这种1 ，噪声的非高斯性是与频率指数有关的。通 常认为l ，噪声是由多个弛豫过程形成的，其谱是由多个洛伦兹谱叠加而成。在 许多实际的物理情况下和许多复杂系统中，电学参量的涨落并不服从高斯分布， 因为引起涨落的因素并不一定相互独立，而是具有一定的相关性。电噪声的性质 决定于内部的动力学机制以及自由度的状态，因此通过噪声信号非高斯性分析可 以提取系统内部动力学与状态的相关信息。 2 4 噪声非高斯性在电迁移研究中的意义 随着电子器件向深亚微米量级发展，超大规模集成电路互连线截面积越来越 小，其承受的电流密度急剧增加，目前电迁移已经成为v i _ s i 主要失效模式之一 金属互连电迁移是一个复杂的过程，主要分为三个阶段：空位扩散、聚集， 空洞成核和断条。不同阶段电迁移的动力学机制不同，反映到噪声信号上的噪声 特性也不同电迁移过程中的空位的扩散过程是典型的高斯过程，引入的1 ，噪声 是以高斯性占主导的；而一旦空洞成核并长大，相应的电阻、噪声频率指数发生 突变，而引入的1 ，2 噪声是以非高斯性占主导的 以往的电迁移噪声信号分析都是将噪声信号当作高斯信号，分析具有一定的 局限性，对于复杂的电迁移过程仅仅分析了其中的某些阶段或过程。已有的电迁 移噪声模型是基于高斯过程的，并且分析适合于频域分析，这样简化了模型或是 忽略有关效应为了从噪声中提取电迁移相关信息，需要从动力学模型与中心极 限定理出发，直接从时间序列入手，将最原始的时间序列所反映的非高斯性表现 出来以研究电迁移的动力学信息。 c p c n n c t t a 在充分利用s b r n 模型的基础上研究了不同尺寸和内部无序程度不 同的传导薄膜的电阻涨落分布，发现在电子击穿附近即金属薄膜受到电迁移损伤 时电阻涨落出现高斯性偏离，而当金属薄膜中的颗粒尺寸渐渐变大，直到出现相 第二章金属互连电迁移与噪声非高斯性基础 变的时候，非高斯性出现并持续这说明电迁移薄膜损伤时引入的噪声应该具有 非高斯性，所以用噪声非高斯性研究电迁移过程是必要的 3 9 1 。 非高斯噪声的产生受电阻涨落的局限性通过动力学的电流再分布表示微观 结构和有效的样品连通性在测量幅值和噪声信号的非高斯型的特点中起到了重要 的作用。尤其是，强非高斯性一般在金属绝缘体转变附近发现，但电阻噪声的 高阶统计量分析从来没被研究过所以用高阶统计量分析方法来研究电迁移过 程中的噪声非高斯性具有重要意义 第三章金属互连电迁移噪声非高斯性实验 第三章金属互连电迁移噪声非高斯性实验 3 1 金属互连电迁移噪声测量 3 1 1 金属铝互连电迁移噪声测量系统 金属薄膜本身的电阻很小，同时，为了保证噪声测试的非破坏性，要求测试 时所加的电流密度尽可能的低，这就使得待测的噪声信号极其微弱，很容易被淹 没在背景噪声中，所以对于测试系统有些专门的要求。金属薄膜电阻的噪声频谱 及英时阿序列的漏试系统的构成和连接如图3 i 所示 3 ，1 噪声测试系统 噪声测试系统中采用了两个低噪声前放分掰是n f 公司的s a - 2 0 0 f 3 超低噪声 前放和e g & g 公司的p a r c l l 3 双放大测试系统，比传统噪声测试系统的性能好且 精度高，测试系统的背景噪声能达到1 0 - 埔v ：h z 。 3 1 2 金属铝互连电迁移样品 实验样品采用华晶公司提供的l # m 标准c m o s 工艺制造，塑料双列直插封装， 封装在同一芯片中的两条宽长比的铝膜。其中一种( 铝条i ) 宽度为2 t u n 、长度为 1 3 2 5 t u n ，室温下电阻约为5 5 q ：另一种( 铝条) 宽度为t 7 p m 、长度为1 3 3 5 p m ， 室温下电阻约为6 5 q ；为同一次铝膜工艺制造，厚度均为0 5 p m 试验用的样品封装相邻引脚间距为2 5 4 r a m ， 引脚列间距为1 5 2 4 m m ，每列1 4 支引脚共z 8 支 封装外形如图3 2 所示，样品引出端定义如下： 4 ：铝条i 噪声测量端5 ：铝条i 偏置及老化端 6 ：铝条i 偏置及老化靖7 ；铝条i 唤声测量端 金属互连电迁移噪声非高斯性研究 1 1 ：铝条i i 噪声测量端1 2 ：铝条i i 偏置及老 化端 1 3 ：铝条i i 偏置及老化端1 6 ：铝条i i 噪声测量 端 铝条采用四端引出结构，将其分成两组四个引出 端，固定的把它们用作测量和偏置老化端这样，可 以避免因引出端相互接触和因由频繁插拔引起的引出 端老化而引入的额外噪声 图3 3 为超大规模集成电路中铝条的纵向结构图 ( 图中没有画出钝化层) ，由下至上依次为封装外壳、 图3 2 样品封装 硅衬底、多晶硅、氧化层、铝膜。为使实验结论能适用于一般超大规模集成电路， 测试样品于集成电路采用相同工艺制造，采用和集成电路相同的键合引出方式。 样品中铝膜厚度为0 5 1 x m 图3 3 测试样品纵向结构 本次实验中共使用了两条铝线铝条i 和铝条i i ，铝条i 的结构图如图3 4 所示，该条铝线宽度为2 呻、长度为1 3 2 5 1 一u n ，常温下其电阻阻值约为5 0 f l 。图中 下面四个焊盘为引出端，自左到右依次为：4 、噪声测量端i ，5 、偏置及老化端i ， 6 、偏置及老化端i i ，7 、噪声测量端i i 图3 4 铝条1 的结构图 铝条i i 的结构与铝条i 相似，其结构如图3 5 所示，该条铝线宽度为1 7 岬、 长度为1 3 3 5 p m ，常温下其电阻阻值约为6 0 q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 加n 心协h 第三章金属互连电迁移噪声非高斯性实验 1 7 图3 5 铝条i i 的结构图 图中下面四个焊盘为引出端，自左到右依次为：1 1 、噪声测量端i ，1 2 、偏置 及老化端i ，1 3 、偏置及老化端i i ，1 6 、噪声测量端i i 3 1 3 电迁移试验设计 整个实验过程分两个部分：( 1 ) 电迁移过程中电阻在线测量( 2 ) 电迁移过程 中的噪声测量由于电阻变化和噪声对温度的变化非常敏感，因此这种测试方法 对温度的控制极为苛刻在线测量噪声信号是在样品非平衡状态下测得的，噪声 的产生机制比较复杂，要分别提取出不同动力学机制产生的噪声几乎是不可能的 本次实验的目的是探索互连1 ，r 噪声与电迁移空洞成核及长大过程的关系，特别 是空洞演变过程带来的噪声变化因此，采用平衡测试方法，即在电迁移实验进 行中，每隔5 个小时在线测量样品电阻，然后断掉样品两端所加的应力，将样品 冷却至室温后测量噪声，这种方法可以保证大的偏置应力电流和小的测试电流。 电迁移实验过程中的不同应力条件和测试条件如表3 1 所示 表3 1 非在线电阻测量结果 实验热应力实验电流应力测试温度 噪声嗣试偏 样品编号 ( )( m a 锄2 ) ( ) 置电流( m a ) r 1 1 1 01 2室温1 0 d 21 1 02 0室温1 0 w 21 4 03 o室温1 0 x 11 4 03 5室温1 0 s 21 3 o2 51 0 f 1l 3 52 51 0 1 8 金属互连电迁移噪声非高斯性研究 3 2 金属互连电迁移噪声的非高斯性 3 2 1 电迁移过程中噪声统计直方图的变化 信号分布特性最直观的反映是统计分布直方图。从直方图上可以对信号的统计 分布特性做出定性的判断。所以在信号的非高斯性研究中，一般也是首先从直方 图上予以观察实验中共使用6 个样品，其中样品s 2 和f 1 所加的应力过大，实 验刚开始l o 个小时样品就坏掉了，而样品r 1 在其被加应力3 0 小时的时候超低前 放没电导致第3 0 至第4 5 小时的数据没测样品就坏掉了，整个过程中仅采到前6 个点为不完整的电迁移实验数据；样品1 ) 2 、w 2 和x 1 是从加应力0 小时至坏掉的 整个过程中每5 个小时的数据都采集到了，是很完整的电迁移老化实验数据，则 采用上述三个样品作为分析。 样品x 1 、样品w 2 和样品d 2 的频谱与噪声统计直方图如图3 6 、3 7 和3 8 所示。噪声频谱是用x d 3 0 2 0 噪声分析软件绘制而出，噪声统计直方图是将4 0 0 0 0 0 个噪声电压幅值的个数统计绘制而成。其高斯拟合曲线是根据噪声电压幅值的均 值及方差进行的高斯拟合。 蒿 o2 0 6 06 5 、 、 l 屯 i 啊 j_ _ _ i_il l- - _ 信 号 统 计 直 方 图 、 l 一 k i 。_ ( i 一 t 、 l ： t if -、kl 1u f 、 l 一 一 4 一 jl 图3 6 样品x 1 在老化时间为0 、2 0 、6 0 以及6 5 小时的的噪声频谱统计直方图 图3 6 给出了样品x 1 在老化时间为0 小时、2 0 小时、6 0 小时以及6 5 小时的 噪声频谱和相应的噪声统计直方图及其高斯拟合曲线从样品x l 的噪声频谱，可 看出其噪声均符合v ，噪声特性。在。小时的噪声频谱密度幅值接近1 0 _ 巧v 2 h z ， 第2 0 小时的幅值更接近l o _ 巧v 2 h z ，但比0 小时的噪声频谱密度幅值大，第6 0 第三章金属互连电迁移噪声非高斯性实验 小时的幅值增大到l 矿v 2 h z 附近，到第6 5 小时，达到l 盯”v 矶i z 左右由此 看来，噪声频谱密度的幅值随着老化时间的增大而增大，在前6 0 个小时增加的比 较缓慢，但第6 5 小时增加的特别快样品x 1 的噪声统计直方图，在从o 小时到 第1 5 小时均无明显变化，与图2 9 对比可认为是高斯v ，噪声；从第2 0 小时到 5 5 小时，其分布基本上为高斯分布，但是高斯包络线外有一些毛刺，形成非高斯 噪声成分，引起非高斯噪声的因素有可能是电迁移样品的工艺缺陷或是电路中引 入的r t s 等；第6 0 小时的噪声统计直方图已经出现了非高斯噪声，高斯包络线外 毛刺显著增多；第6 5 小时已经偏离了高斯分布，为典型的非高斯噪声噪声电压 幅值在第0 小时、2 0 小时及6 0 小时都在1 矿数量级，但是在第6 5 小时变化为l o 5 ， 这与噪声频谱的数量级变化是一致的 一 将样品x 1 的噪声频谱密度与噪声统计直方图结合起来，随着老化时间的增 长，噪声频谱密度的幅值也在慢慢增长，直到从第6 0 小时到第6 5 小时其数量级 的变化才比较明显；信号统计直方图在第6 0 小时以前都没什么明显的变化，在第 6 0 小时才有非高斯出现的迹象，第6 5 小时已经非常明显；噪声电压的幅值数量级 在从0 小时到第小时都是1 0 _ ，在第6 5 小时变化为1 0 5 v 这说明，当噪声 频谱增长特别快的时候，噪声偏离高斯的程度猛然增大，但是非高斯性不能从噪 声频谱上看出，因为在前面阶段即从第0 小时到第小时，噪声频谱幅值一直在 慢慢的增长，更何况噪声的时间序列几乎没区别，而噪声成分从频谱上看来几乎 都是v 厂噪声，具体的噪声频率指数的大小，我们将在第3 4 节详细讨论 璺0 4 0 5 0 5 4 1 日j 、 ii k il 、 i i 一 ：l l l 1 - 。一l i 簟j l 、 虬 1f 信 号 统 计 直 方 图 l 图3 7 样品w 2 在老化时间为o 、4 0 、5 0 以及5 4 小时的噪声频谱和噪声统计直方图 图3 7 给出了样品w 2 在老化时间为o 小时、4 0 小时、5 0 小