（基础数学专业论文）pq阶不可定向正则地图与第二小阶双本原半对称图的分类.pdf

摘要 本论文由两部分组成 论文的第一部分涉及正则地图的分类问题。曲面上的( 拓扑) 地图是一个闭曲 面的胞腔分解，o - 胞腔称做顶点，1 一胞腔称做边，2 。胞腔称做面，顶点和边形 成地图的基图。如果曲面是可定向的，那么称这个地图是可定向的，否则，称做不 可定向的地图的一个自同构是指基图的一个自同构。且能够扩展成曲面的一个保 持定向的自同态地图州的所有自同构对于变换乘法形成一个群，称做这个地图 的自同构群，记为a u t ( m ) 可定向地图可以通过局部旋转系来给出其组合定义， 此时其自同构群在弧集上作用总是半正则的，当这个作用是正则时，我们称该地图 为正则的更一般地，我们可以通过满足一定条件的由三个对合来生成的旗集合上 的置换群来定义地图，这样定义的地图未对曲面定向( 无向地图) ，其自同构群总是 半正则的作用在旗集合( 点一边一面相互关联的三元组集合) 上，特别当该作用正 则时，我们称地图是正则的在一定意义上来说，正则地图是具有较高对称性的地 图。在本文的第一部分中，我们分类了p q 阶连通图的不可定向正则嵌入，其中p 和q 是互异素数综合已有的关于p q 阶连通图的可定向正则嵌入的分类结果，我 们得到p 口阶连通图的正则嵌入的完全分类 论文的第二部分涉及双本原半对称图的分类问题。如果一个简单的正则图是边 传递但不是点传递的，那么我们称它是半对称的每一个半对称图x 必为两部分点 数相等的二部图，并且它的自同构群a u t ( x ) 在各部分上作用是传递的进一步， 如果a u t ( x ) 在各部分上作用是本原的，则称x 是双本原的在本文的第二部分 中，我们决定了第二小阶数的双本原半对称图 关键词：正则嵌入，正则地图，可定向正则地图，不可定向正则地图，半对称图，双 本原半对称图 a b s t r a c t i h et h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s t h ef i r s tp a r td e a l sw i t hc l a s s i f i c a t i o no fr e g u l a rm a p s am a po nas u r f a c ei sa c e l l u l a rd e c o m p o s i t i o no f c l o s e ds u r f a c ei n t o0 - c e l l sc a l l e dv e r t i c e s ，1 - c e l l sc a l l e de d g e s a n d2 - c e l l sc a l l e df a c e s t h ev e r t i c e sa n de d g e so fam a pf o r mi t su n d e r l y i n gg r a p h am a pi ss a i dt ob eo r i e n t a b l ei ft h es u p p o r t i n gs u r f a c ei so r i e n t a b l e ，o t h e r w i s e ，s a i d t ob en o n o r i e n t a b l e b ya na u t o m o r p h i s mo fam a pm w em e a na na u t o m o r p h i s m o fu n d e r l y i n gg r a p hxw h i c hc a l lb ee x t e n d e dt oa x lo r i e n t a t i o np r e s e r v i n gs e l f - h o m e o m o r p h i s mo fs u r f a c e t h es e to fa u t o m o r p h i s mf o r m sag r o u p ，c a l l e dt h e a u t o m o r p h i s mg r o u pa u t ( j i a ) o ft h em a p 州f o rc o m b i n a t o r i a lo r i e n t e dm a p 朋， a u t ( m 1a c t ss e m i r e g u l a r l yo nt h ea r c so fx i fi t a c t sr e g u l a r l y w ec a l lt h em a p a sw e l la st h ec o r r e s p o n d i n ge m b e d d i n g r e g u l a r f o rc o m b i n a t o r i a lu n o r i e n t e dm a p 朋，a u t ( 3 4 ) a c t ss e m i - r e g u l a r l yo nt h ef l a g so fx i fi ta c t sr e g u l a r l y ，w ec a t lt h e m a p a sw e l la st h ec o r r e s p o n d i n ge m b e d d i n g r e g u l a r i nt h ef i r s tp a r t ，w ec l a s s i f yt h en o n o r i e n t a b l er e g u l a re m b e d d i n g so fc o n n e c t e d g r a p h so fo r d e rp qf o ra n yt w od i s t i n c tp r i m e spa n dqi n t on o n o r i e n t a b l es u r f a c e w i t ht h er e s u l to fc l a s s i f i c a t i o no ft h eo r i e n t a b l er e g u l a re m b e d d i n g so fc o n n e c t e d g r a p h so fo r d e rp q ，w eo b t a i n e da l lr e g u l a rm a p sw i t hu n d e r l y i n gg r a p ho fo r d e rp q f o ra n yt w od i s t i n c tp r i m e spa n dq t h es e c o n dp a r td e a l sw i t hc l a s s i f i c a t i o no fb i p r i m i t i v es e m i s y m m e t r i cg r a p h s a r e g u l a re d g e t r a n s i t i v eg r a p hw h i c hi sn o tv e r t e x t r a n s i t i v ei ss a i dt ob es e m i s y m m e t r i c e v e r ys e m i s y m m e t r i eg r a p hxi sn e c e s s a r i l yb i p a r t i t e ，t h et w op a r t sh a v i n g e q u a ls i z e ，a n dt h ea u t o m o r p h i s mg r o u pa u t ( x ) a c t i n gt r a n s i t i v e l yo ne a c ho ft h e s e 2 3 p a r t s as e m i s y m m e t r i cg r a p hi sc a l l e db i p r i m i t i v ei fi t sa u t o m o r p h i s mg r o u pa c t s p r i m i t i v e l yo ne a c hp a r t ，i nt h es e c o n dp a r t ，b i p r i m i t i v es e m i s y m m e t r i cg r a p h so f s e c o n ds i n a i lo r d e ra r ed e t e r m i n e d k e y w o r d s ：r e g u l a rm a p ，o r i e n t a b l er e g u l a rm a p ，n o n o r i e n t a b l er e g u l a rm a p ，s e m i s y m - m e t r i cg r a p h ，b i p r i m i t i v es e m i s y m m e t r i cg r a p h 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明；所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：王稿蘸 日期：加6 年4 - 月刀日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用 于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内 容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位 论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：蒂套 日期：p c 年4 月碍日 第一章绪论 1 1 群与图研究的历史背景 长期以来，群和图一直都是人们研究较热的数学对象但把二者有机的结合起 来，相互作用，使之成为不可分割且生命力极强的数学分支则是近些年的事 r f r u c h t 在1 9 3 8 年证明了对于任意给定的抽象群，都存在一个图以它为自同 构群 2 4 】，这个重要的工作揭开了这个领域的帷幕而在w t t u t t e 的著名文章 【5 5 】里，作者证明了对任一个三度8 一弧传递图，必有8 5 ，该顼工作可以看作 是群对图论的第一个精彩的应用随后，特别是近三十年来，在这领域里出现了诸 多重要的工作首先，对于图论在群论上的应用，值得提出的是应用图论方法研究 置换群，特别是研究本原群的次轨道结构，关于这方面可见p m n e u m a n n 的文章 【4 7 l 。另外，h i g m a n s i m s 单群是作为图的自同构群面发现的，它对于有限单群分 类工作的最终完成做出了贡献而群论应用于图论的研究在最近几十年中则有着更 丰富的结果图的自同构群是联系群与图的桥梁，具有较高对称性的图的研究领域 是群论最有用武之地的场所图的对称性的描述通常是通过它的自同构群，特别是 自同构群的某种传递性质，如点传递图，边传递图，弧传递图( 对称图) 等 上世纪八十年代以来，随着有限单群分类工作的完成，有限群的面貌发生了巨 大的变化，抽象群和置换群的一些重大问题获得了解决。用群论的现有成果和方法 去研究组合结构，为组合数学注入了新的活力，也成为现今群论界的一个新趋势 现代群论的结果用于具有高对称性的图理论的研究产生了极其重要的成果，特别是 关于8 一弧传递图和距离传递图，成果极为丰富，可见【3 ，4 9 ，7 】等其中最为重要 的成果之一就是依赖于有限单群分类，w e i s s 证明了对除c _ 的任一个s 一弧传递 图，必有8 曼7 但8 6 ，可见f 5 7 还需要提到的工作是l i e b e c k 等在1 9 8 5 年完 成了度数为女p 的本原群的分类，其中p 为素数， q 。则m 同构于下列的不可定向正则地图 m ( g ；r ，t ，f ) ； ( 1 ) g 型a 5 ，p = 3 ，q = 2 ， r = ( 1 5 ) ( 2 4 ) ，= ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，l = ( t 3 ) ( 2 4 ) 或( 1 4 ) ( 2 3 ) 另外，基图x 竺k 6 ( 2 ) g 竺a s ，p = 5 ，q = 2 ， r = ( 1 2 ) ( 4 5 ) ，t = ( 1 3 ) ( 4 5 ) ，f = ( 1 4 ) ( 3 5 ) 另外，基图x 为p e t e r s o n 图 ( 3 ) g 兰岛，p = 5 ，q = 2 ， ( r ，f ) = ( ( 1 2 ) ( 4 5 ) ，( 2 3 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ) ；( ( 1 2 ) ( 4 5 ) ，( 2 3 ) ，( 1 4 ) ) ；( ( 2 3 ) ，( 1 2 ) ( 4 5 ) ，( 1 4 ) ( 2 5 ) ) 另外，基图x 为p e t e r s o n 图的补图 ( 4 ) g 掣s s ，p = 5 ，q = 3 ， r = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，t = ( 2 4 ) ，f = ( 1 5 ) 或( 1 5 ) ( 2 4 ) 另外，基图x 为阶为1 5 的4 度图。 ( 5 ) g = ( o ，p ) ：( z ，y ) 曼a g l ( 2 ，p ) ，( 1 1 ) o l = t ( 1 ，o ) ，卢= 地1 ) ，( n ，卢) 为a g l ( 2 ，p ) 的平移正规子群；( 。，可) 型d 2 9 ，z 和9 如 下规定： ( i ) 当2 ql ( p 一1 ) 时， f6 一、 z = 【o ( ： ：) 8 6 是。中的2 q 阶元令e 2 为2 阶单位矩阵 r = t ( 一6 1 ) 。苕，t = 一e 2 ， = 笋 第一章绪论 ( f i ) 当2 ql ( p + 1 ) 时， z = ( ；? ) 一( ：h 其中墨= ( 口) ，乃。= f a e ) ，2 = 口且e + 批是哆中的2 q 阶元 r = t ( 一，( e + 1 ) - l j l ) 石g ，t = 一8 2 ，f = y 另外，基图x 兰q f ，_ 】，其中p q 3 ( 6 ) g = p s l ( 2 ，p ) ，p 1 1 ，满足q = 警或2 土2 为素数 ( i ) 当学为素数时， r = ( 三，) ，t = ( 二。0 1 ) ，。= ( 三一0 j ，) ， 这里s2 徊) ，i z 每，i l ，2 ，一，孚 ；伊 1 ，2 ，一，警 且1 + 萨3 铲) 另外，基图x 是堑笋阶连通图，其度数为吐2 ( i i ) 当a z 2 a 为素数时， r = 蕊( 嚣t = ( ：二) ，z = ( 一：。一。护一- 1 6 1 ) 其中巧2 ( 口) ，瞄2 ( 1 + 蜮e 2 = 一1 ，z 哗，且i 1 h 2 一，牛) ；一( 1 + 铲) ( 哦0 s ( 1 h 2 ，譬) ， 另外，基图x 是啦阶连通图，其度数为学 ( 7 ) g = p g l ( 2 ，p ) ，p 7 ，满足2 笋或学为素数 ( i ) 当学为素数时， 5 j 3 本文的主要结果 一0 ：) ，t - = ( 三：) ，z = ( 二三) ，u ) 南= ( ：0 1t , l = ( 击- 1 这里露= ( 8 ) ，i 磊一l ，i 1 ，2 ，警) ； 1 ，2 ， 一1 ； 1 ，2 ，a ：2 a ) b 另外，基图x 是趔2 p 一1 ( i i l 当吐2 为素数时， r = ( ：驯：彳) 9 譬 昂且纠 阶连通图，其度数为 t = ( ：! ，) ，z = ( 二：) ，u r = ( ：驯：t = ( ：! ， l 伊一2 6。三) ， ) ，z = 其中露= ( 口) ，= ( 1 + 如) ，e 2 = 日，i 召+ 1 ) 且i 1 ，2 ，学) ；j 1 ，2 ，学) ； 1 ，2 ，a v 2 a ) 0 另外，基图x 是坐阶连通图， 其度数为p + 1 。 在给出定理1 3 2 之前，我们首先给出两个图唣。和u 豫的定义设v ( 3 ，9 ) 是 9 元域娲上的3 维酉空间，u 和彤分别是射影空间p o ( v ( 3 ，9 ) ) 的基集合和非迷 向点集，令v = u u w ，g = ( 3 ) 。则l u l = w l = 6 3 ，并且g 在u 和上作 用是本原的。任取v ( 3 ，9 ) 的一组酉基b = e ，e 2 ，e 3 ) ，这里( e l ，e 2 ) 是一个双瞌平 面，且对任意的u = x l e l + x 2 e 2 + ：c 3 e 3 y ( 3 ，9 ) 有( u ，u ) = z l z ；+ x 2 x + z 3 z i 。 设h = g b ，则h 竺4 2 ：s 3 ，h 在w 上恰有两个轨道，分别记为d 1 和 1 0第一章绪论 d 2 ，易知d 1 = ( u ) i ，u ) = 1 ，且2 ；1 = x 2 = o 或茁3 = 0 ) ，i d i i = 5 ； d 2 = 如) i ( u ，u ) = 1 ，且恰有一个以= 1 ，t 1 。2 ，3 ，l d l l = 5 8 我们知在 彬上的轨道和g 在u x w 上的轨道之间存在一一对应，那么不妨记d 1 和d 2 分别 对应。和2 ( 符号意义请见2 2 3 小节) 图u 和u 法分剐定义为x ( a ，k ，) 和x ( a ，k 2 ) 定理1 3 2 第二小阶数的双本原半对称图同构于图唣6 或l 壤，有1 2 6 个顶点， 其度数分别为5 和5 8 ，自同丰姆群为a u t ( 魄1 3 ) ) 第二章预备知识 在本章中，简要介绍与本论文有关的群与图的基本概念及一些有用的结果本 论文未加说明的概念参见【5 9 ，6 0 1 2 1 有限群的一些基本概念和结果 定义2 1 1 设n = 口，卢，y ，) 是一个非空集合，其元素称为点s n 表示q 上 的对称群所谓群g 在q 上的一个作用i p 指的是g 到岛的一个同态即对g 的 每个元素茹，对应q 上的一个变换妒( 茹) ：o _ + 矿，并且满足 ( o | 蕾) ”= c ，y ，卫，! ，g ，o q 如果k e r 垆= 1 ，则称g 忠实地作用在n 上，此时，可把g 看作q 上的变换群 而如果k e r 妒= g ，则称g 平凡地作用在q 上 定义2 1 2 设群g 作用在集合n 上，则对每个a q ， g 。= z gla 。= 口 是g 的子群，称为点口的稳定子群，并且对任意的y g ，g 。，= 一g 。y 定义2 1 3 设群g 作用在集合n 上，在q 上规定一个关系跣：对于任意的，卢 q 。 a 乳口车= = j g gs t d 9 = 口 则关系孵是q 上e 皇一个等价关系对于关系跄的等价类叫做g 在q 上的轨道 一个轨道包含元素的个数叫做该轨道的长对于a q ，令d g = 扩fg g ， 则扩是包含d 的一条轨道如果g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在 q 上的作用是传递的否则，称g 在q 上的作用是非传递的 1 1 1 2 第二章预备知识 定义2 1 4 设g s a ，若对任意的口q ，恒有g 。= 1 ，则称g 为半正则的， 如果半正则群g 又在q 上传递，则称g 在q 上是正则的 注2 1 5 设h g ，q = h gig g ) 。定义g 对q 的作用为右乘作用 ( h g ) 。= h g x ，h g ，h g x q ，g ，x g 显然，这样定义出g 对q 的一个作用 命题2 1 6 设有限群g 作用在有限集合q 上，盘，yeg ，。，卢q ，则： ( 1 ) 两条轨道口g ，酽或者相同或者交为空集，故q 的所有轨道集合是q 的划 分 ( 2 ) l o t g i = i g ：g 。i 特别的，如果g 是有限群，轨道口g 的长是i g i 的因子 定义2 ，1 7 设g 传递的作用在集合q 上q 的子集称为g 的一个块，如果 3 , 2 = a 或。na = 0 ，v x g 显然，q ，0 以及单点子集 t ) 都是g 的块，它们叫做平凡块 定义2 1 8 设g 传递的作用在集合n 上如果g 存在一个非平凡块，则称g 为q 上的非本原群；否则，称g 为q 上本原群。 本文中约定，r ，玩，d 2 。分别表示p 个元的有限域，n 阶循环群，2 n 阶 的二面体群对于一个群g 和它的一个子群日，用c e ( h ) 和 k ( 日) 分别表示 在g 中的中心化子和正规化子，用n ：h 表示与h 的半直积用v ( 2 ，p ) ， p g ( v ) ，a g ( v ) ，g l ( 2 ，p ) ，s l ( 2 ，p ) ，p s l ( 2 ，p ) ，p g l ( 2 ，p ) 和a g l ( 2 ，p ) 分 别表示域b 上的2 一维行线性空间，射影几何，仿射几何，一般线性群，特殊线 性群，特殊射影线性群，一般射影线性群和仿射变换群对于任意的y ( 2 ，p ) ， 2 j 有限群的一些基本概念和结果 1 3 用t 。表示a g ( v ) 中口所对应的平移，且用t 表示a g l ( 2 ，p ) 的平移子群，则 a g l ( 2 ，p ) 鲁t ：g l ( 2 ，p ) 。 下面是本文中常用的一些群论结果。 命题2 1 9 2 6 j 设p 5 是一个奇素数，贝仃p s l ( 2 ，p ) 的极大子群是： ( 1 ) 一类乙：z 犁； ( 2 ) 一类b 一1 和一类b + 1 ； ( 3 ) 当p 7 ，1 1 时，d p l 是极大子群；当p 7 时，b + l 是极大子群； ( 4 ) 当p 兰士l ( m o d1 0 ) 时，有两类a ； ( 5 ) 当p 三士l ( m o d8 ) 时，有两类& ； ( 6 ) 当p = 3 ，1 3 ，2 7 ，3 7 时，有一类j 4 4 命题2 1 1 0 【2 6 】设p 5 是一个奇素数，则p g l ( 2 ，p ) 的极大子群是 ( 1 ) 一类弓：乙一1 ； ( 2 ) 一类d 2 ( p 1 ) 和一类d 2 ( p + 1 ) ； ( 3 ) 当p 三士3 ( m o d8 ) 时，有一类； ( 6 ) 一类p s l ( 2 ，p ) 。 命题2 1 1 1 1 7 】设p 和q 是不等的素数，且p 3 ，q 3 设h 是一般线性群 g l ( 2 ，p ) 的同构于z 2 9 ：忍的子群，则日同构下列所定义的群疗l 或王f 2 ： ( 1 ) g i 学，且p 5 ，h 1 = ( 。，g ) 兰d 4 口，其中 z = ( 6 一( ：0 1 ) ， 6 是g 中的2 q 阶元。 1 4 ( 2 ) q l 警，且p 5 ，h 2 = ( 茁，! ) 型d 4 q ，其中 一e ? ) 一( ：! 。) 第二章预备知识 其中0 = ( 8 ) ，耳z = b ( s ) ，2 ：口且e + ，是瞄中的2 q 阶元 设h 是命题2 1 ，1 1 中毡，其中i = 1 ，2 当t = l 时，记u = ( 1 ，1 ) ，u = ( 0 ，1 ) ； 当i ：1 时，记钍= ( 1 ，o ) ， = ( o ，1 ) 设a 和芦分别是射影几何a g ( 2 ，p ) 中的元 u 和口所对应的平移变换，且记p = ( n ，助竺露从而可定义仿射群a g l ( 2 ，p ) 的子群g 1 如下； g l = p ：日= ( o ，声) ：( z ，y ) ( 2 1 ) 命题2 1 1 2 设z 是群s l ( 2 ，p ) 的中心，那么z 2 z ( z 3 z ) 当且仅当t r ( x ) = o ( 打0 ) = ：h 1 ) 命题2 1 1 3 设b 是p 个元的有限域，则 ( 1 ) 当p 三1 ( m o d4 ) 时，方程z 2 + 2 = 有p i 组解，这里0 ( 2 ) 当p 三一l ( m o d4 ) 时，方程z 2 十y 2 = k 有p + 1 组解，这里k b 。 命翘2 1 1 4 【4 1 】2 p 级本原置换群是双传递的，其中p 是不等于5 的素数 命题2 1 1 5 所有的素数个点p 上的不可解的2 一传递群的基柱t ，点稳定化子 正，传递重数和不等价的个数m 如下表一所示t 表一 5 2 1 有限群的一些基本概念和结果 基柱t p 正重数k 如 p a p 一1p l 勤 1 p s l ( 2 ，2 2 。) ( s 0 ) 2 2 。+ 1 罐5 ：忍”一l 31 p s l ( n ，g ) ( n 3 ) ( q ”一1 ) ( q 一1 )p l 勘 2 p s l ( 2 ，1 1 ) 1 1 a 5 22 m l l 1 1 m , 0 41 m 2 3 2 3 m 2 2 4l 命题2 1 1 6 5 0 】设q 和p 是满足3 口 0 2 2 ”+ 12 2 “十1 + 1 1 - s p a c e s p s l ( 2 ，q 2 )g r q 2 + i ) 2c o s e t s o f p g l ( 2 ，q ) p s l ( 2 ，1 9 ) 3 1 9c o s e t so f a 5 p s l l 2 ，2 9 ) 72 9c o s e t so f a 5 p s l ( 2 ，5 9 ) 2 95 9c o s e t so f a 5 p s l ( 2 ，6 1 ) 3 16 1 c o s e t so f a 5 g = p g l ( 2 ，1 1 ) 51 lc o s e t so fs t p s l ( 2 ，2 3 ) 1 12 3 c o s e t so f s 4 p s l ( 2 ，p ) ，p 1 1 ( p 千1 ) 2p c o s e t so f 岛千1 肘2 3 1 12 3 m 2 2 7l l m 1 1 51 1 1 6 以下的结果在以后的证明中也要用到。 第二章j j l 备知识 命题2 1 1 7 设a 是素数个点p ( p 5 ) 上的传递群，基柱为t = s o c ( a ) 如果t 在p q 个点上有一个传递的非本原表示，其中是q 素数，则q g ( x ) ) 2 0 2 2 2 块圈和素数阶对称圉的有关知识 第二章预备知识 设x 是连通图，g 是a u t ( x ) 的子群且在顶点集v ( x ) 上作用是非本原的， 记= o ，l j ，- ) 是g 在y ( x ) 上的一个完全块系我们定义x 的块 图x 为： 顶点集y ( x ) = z o ，x l ，。一1 ) ； 边集e ( x ) = t ，j ) 1 | v i i ，v j js t 地，) e ( x ) ) g 在上有一个诱导的作用，设这个诱导作用的核是k ，记百= g k ，那么虿 在上作用是忠实的，下面是关于块图一个基本结果： 命怒2 2 1 6 设x 是g 一对称图，则有 ( 1 ) x 是舀一对称的； ( 2 ) 如果x 是连通的，那么叉也是连通的 下面我们还要介绍一下有关素数阶对称图的基本知识设昂= o ，1 ，p 一1 ) 是素数阶p 的循环群，a u t ( 乙) 竺磊一，对于任意的si ( p 一1 ) ，用风表示a u t ( 名) 的唯一的阶为s 的子群，风皇磊对于p 一1 的每一个偶因子s ，定义p 阶对称 图x ( p ，s ) ： y ( x 。，s ) ) = ，e ( x ( ns ) ) = “z ，9 ) iz ye 日。) 下面是关于x ( p ，s ) 的基本结果 命题2 2 1 7 ( 1 ) x ( ns ) 是阶为p 度数为s 的对称图； ( 2 ) 每一个p 阶对称图同构于p 1 或x ( p ，s ) ，si ( p 一1 ) ； ( 3 ) x ( p ，p 一1 ) 竺，因此a u t ，p 一1 ) ) 兰s p 。如果s p 一1 ，则 a u t ( x ( p ，s ) ) 笺乙：忍茎a a l ( 1 ，p ) 5 2 2 图的一些基本概念和结果 2 2 。3 半对称圈的有关知识及有用的结果 2 1 首先介绍一下构造半对称图的一般方法设g 是集合矿上的置换群，且只有 两个长度相等的轨道u 和w ，设- ，是g 在u w 上的轨道，对于 i l ，r ) ，用x ；= x ( a ，k i ) 表示点集为v 边集为“u ，u ) l ( 札，u ) i ) 的二部图，显然x ；是正则的且边传递的此外置是半对称的充要条件是它的自 同构群保持g 的两个轨道不动 相反的，任意给定一个半对称图，都可以由以上构造得到设x 是一个半对 称图，g 是其自同构群，u 和是顶点集y 的两部分取铒以u w ，并且 设h = g 。，k = g 0 很容易看到日在上的轨道( 或在u 上的轨道) 和g 在u w 上的轨道之间存在一对应，从而满足上面的情况 命题2 2 1 8 2 1 】设x 是点集为v = uuw 的正则二部图，且i u i = l w l ，设 g a u t ( x ) ，g 保持u 和w 且在其上分别传递设u u ue 彬h = g 。，k = 瓯且d = 9 gl “j 9 ( u ) ，如果存在盯a u t ( g ) 满足h 4 = k ，k 4 = h 且 d 4 = d ，那么x 是点传递的，特别的， ( i ) 如果g 是交换的且在u 和彤上作用都是正则的，那么x 是点传递的； ( i j ) 如果日在w 上( 或在u 上) 的轨道长互不相同，那么x 是点传递 的 命题2 2 1 9 2 1 最小的2 p q 阶双本原半对称图有1 1 0 个顶点，这里p 和q 是不同 的素数 命题2 2 2 0 f 2 3 最小阶半对称图有2 0 个顶点此外，不存在阶是2 p 或2 矿的半 对称图，这里p 是素数。 2 2第二章预备知识 命题2 2 2 1 【4 2 l 设g 是集合q 上的传递群，设t ，n ，h = g ”，l 是日$ 1 y - 群 如果包含在日中的l 的g 一共轭类的集合在日中形成t 个共轭类，l h l 。，厶 t 分别是t 个共轭类的代表，那么l 在n 上有l n a ( l i ) ：h ( l d l 个固定点。 i = 1 命题2 2 2 2 【2 0 1 设x 是一个双本原半对称图，那么a u t ( x ) 不是仿射群并且 r ( a u t ( x ) ) 3 命题2 2 2 3 4 8 设g 是q 上秩为r 的t i 度本原群，其置换特征为丌假设 * = x o + e i 地，这里x o 是主特征，) ( 是 级e 重的不可约成份我们有 t = 1 s 一1j l ( 1 ) r = 14 - e ? 且14 - e ，i = n ； f = 1l 毒1 ( 2 ) 如果r 曼5 ，那么丌是无重的； ( 3 ) g 的所有次轨道是自配对的当且仅当7 r 是无重的并且每一个不可约成份 始是实值的 2 3 记号说明 本节给出本论文中用到的另外一些记号，未加说明的符号参见【5 9 ，6 0 g ：h 群g 的子群日在g 中的所有陪集的集合 露或磊乙乙p “阶初等a b e l i a n 群 s y l 。( g ) mi 礼 群g 的s y l l o wp - 予群 整数m 整除整数n 整数m 不整除整数礼 整数 , 和整数扎的最小公倍数 同n 互素的模n 的剩余类的个数 群g 的基柱 l n ，= v ”卜 嘶 川 邓 5 2 3 记号说明 t r ( z ) r ( g ) a u t ( g ) i n n ( g ) o u t ( g ) g l ( 2 ，p ) 的元z 的迹 群g 在某集合q 上的秩 群g 的自同构群 群g 的内自同构群 群g 的外自同构群 第三章地图的有关知识及一些重要引理 3 1 地图的一些基本概念和术语 首先，给出拓扑地图的定义 定义3 1 1 曲面上的( 拓扑) 地图是一个闭曲面的胞腔分解，o 胞腔称做顶点，1 一 胞腔称做边，2 胞腔称做面，顶点和边形成地图的基图如果该曲面是可定向的，那 么称这个地图是可定向的( o r i e n t a b l e ) ，否则，称做不可定向的( n o n o r i e n t a b l e ) 通常的，我们通过将一个连通图嵌入一个曲面来构造曲面上的地图在地图的 研究中，用地图的组合定义有时是更方便的对于可定向地图，我们都非常熟悉遥 过局部旋转系来描述的组合定义 定义3 1 2 一个可定向地图m 是一个三元组( d ；冗，l ) ，这里d 是一个非空弧 集，兄和是d 上的两个置换，工是个对合并且群m o n ( m ) = ( r ，l ) 在d 上 作用传递。 群m o n ( m ) 称做m 的定向单演群，置换r 称做m 的旋转子群( r ) 在d 上作用的轨道称为m 的顶点，子群) 在d 上作用的轨道称为m 的边，子群 r l ) 在d 上作用的轨道称为m 的面的边界，州的顶点和边构成m 的基图 特别地，如果m 与其镜像m ( d ，r ，l ) 同构，则称m 是可自反的( r e f l e x i b l e ) 我们也称如此定义的地图为有向地图( o r i e n t e dm a p ) ，它只适用于可定向曲 在本文中，我们主要关注一般地图的组合定义 定义3 1 3 一个地图m 是指一个四元组( f ；p ，7 ，a ) ，其中f 是一个非空集合 p ，r 和a 是f = f ( m ) 上的对称群岛中的三个无不动点的对合，且满足： 2 4 5 3 】地图的一些基本概念和术语 2 5 ( i ) a r = r a ；并且 ( i i ) 群p ，丁， ) 在f 上是传递的 ( p ，r ，a ) 称做m 的单演群，记作m o n ( m ) 。p ，r 和a 分别称做m 的旋转对 合，横向对合和纵向对合 定义m 的顶点是子群( p ，丁) 在f 上作用的轨道，m 的边是子群( a ，丁) 在f 上作用的轨道，朋的面的边界是子群( p ，a ) 在上f 作用的轨道m 的顶点和边 构成m 的基图 我们也称如此定义的地图为无向地图( u n o r i e n t e dm a p ) ，它即适用于可定向 曲面，也适用于不可定向曲酉 m o n ( m ) 的子群矿，丁a ) 称为单演群m o n ( 1 ) 的偶字子群显然， ( ，7 _ a ) 在m o n ( m ) 中的指数至多为2 ，如果指数是2 ，那么朋是可定向的，否则，m 是不可定向的 对于每一个有向地图( d ；r ，工) ，它都对应一个无向地图m 自= ( f 6 ；，丁_ 6 ，”) ， 砷= d 1 ，- 1 ，对于任意的扛，j ) d 1 ，- 1 ) ，有 p t ( z ，j ) = ( 印( z ) ，一j ) ，r 。( z ，j ) = ( ，一，) ，”( 芏，j ) = ( l ( z ) ，一j ) 反过来，对于每一个可定向的无向地图m = ( f ；p ，r ，a ) ，它对应两个互为镜像 的有向地图朋= ( d ；r ，l ) 和川”= ( d ；r 一，l ) ，其中d 是r 在f 上的轨道集 合，记m o n ( m ) 在f 上作用的两个轨遭之一为f + 对每一个弧 z ，t i z ) = 嘲， 其中。f + ，有r ( 纠) = 【( z ) 】，r _ 1 ( 吲) = p p ( 。) 】，三( 吲) = 【打( z ) 】。容易 看到，定义31 3 中的可定向地图是可自反的 定义3 1 4 设朋l = ( f l ；i ，l ，t i ，a 1 ) 和m 2 = ( y 2 ；班，龟，a 2 ) 是鼹个无向地图，妒 是f l 寸f 2 的一个映射，如果f p 满足p p l = p 2 p ，妒n = n 妒和1 = a 2 妒，则 称妒为m 】- m 2 的一个建图同态。 2 6第三章地图的有关知识及一些重要引理 定义3 1 5 设m 1 = ( d l ；r 1 ，l 1 ) 和m 2 = ( d 2 ；r 2 ，l 2 ) 是两个有向地图，妒是 d lod 2 的一个映射，如果l p 满足妒r 1 = 岛i p 和妒三l = l 2 妒，则称妒为州i _ + m 2 的一个地图同态 同样的，我们可以定义地图的同构和自同构如果以上定义中的映射是一个双 射，那么我们就称这两个地图是同构的如果m = m l = 2 , 4 2 ，建l 称妒是m 的一 个自同构地图m 的所有自同构形成一个群，称做m 的自同构群，记为a u t ( m ) 由以上的定义可知，对于有向地图m ( d ；r ，三) ，a u t ( j 4 ) c s 。( m o n ( m ) ) ， c s 。( m o n ( m ) ) 是m o n ( m ) 在勘中的中心化子从而a u t ( m ) 在d 上作用是半正 则的，如果这个作用是正则的，那么我们称朋是可定向正则的( o r i e n t a b l er e g u l a r ) 对于无向地图州( f ；岛下，入) ，a u t ( m ) sc s , ( m o n ( m ) ) ，c s v ( m o n ( h a ) ) 是 m o n ( a a ) 在昂中的中心化予从而a u t ( , 4 ) 在f 上作用是半正则的，如果这个 作用是正则的，那么我们称朋是正则的( r e g u l a r ) 由置换群理论，我们可知在 一个正则地图州= m ( f ；nt ，a ) 中，f 上的两个置换群a u t ( m ) 和m o n ( 。4 ) 可 以分别看作一个抽象群g 的左右正则表示，因此有g 羔a u t ( m ) 型m o n ( a 4 ) 下面我们就在不同文献中出现的术语( 正贝l j 逾图) 作一些说明对于正则地图 本文中的定义同r o m a n ( 4 6 ) ，w i l s o n ( 5 8 ) 和c a r d i n e r 等( 1 0 1 ) 中的定义一致。 但在( 1 2 】) 中，b i g g e r 称本文中的可定向正则地图为对称地图，而在( 【5 8 ) 中，则 称本文中的可定向正则地图为旋转地图，且称本文中的可自反的可定向正则地图为 正则地图c o x e t e r 和m o s e r ( 【1 3 】) 直接称可定向正则地图为正则地图 3 2 代数地图 设q 是正则地图州= a a ( f ；p ，l 的一个固定旗。则a ( ) 是m 的一个 固定顶点，设卢( ”) 是朋的任一顶点，其中卢f 由朋的正则性可知，存在 妒a u t ( 1 v t ) 使声= q ，从而p ) = ( 酽) ) = ( o 瓴7 ) 9 ，故正受 j 地图m 的基 3 2 代数地图 2 7 图是点传递的，同理可知其基图也是边传递的 我们也可以用正则地图的自同梅群来描述这个正则地图，它对应的基图可以表 示成一个陪集图( 定义2 2 1 3 ) 定义3 2 1 设g = ( n t ，f ) 是由三个对合生成的有限群，并且t l = i t ，设日= ( r ，t ) 是g 的一个子群且满足1 日nh = 2 我们定义一个代数地图m ( g ；r ，t ，1 ) = ( x ；f 】p ，r ，a ) ，这里陪集图x = x ( g ；h ，h i h ) 是地图的基图并且 f = ( 日口，h l g ，h l r g ) lg g ) 是它的旗集合，三个对合p ，r 和a 被以下式子决定： ( 日g ，h l g ，h l r g ) p = ( h 9 ，h l y ，h l r g ) g “憎= ( h 9 ，h l r g ，h l g ) ， ( h g ，h l g ，h l r g ) 7 = ( h g ，h i g ，h l r g ) g t g = ( h g ，h l g ，h l r t g ) ， ( h 9 ，h l g ，h l r g ) 1 = ( h 9 ，h 1 9 ，h t r g ) g - l i g = ( h 1 9 ，h 9 ，h l r l 9 ) 通过定义，不难看出以上所定义的代数地图是正则的。 引理3 2 2 设m ，_ ( f ；，一，a ) 是一个正则地图并且g = a u t ( 1 ) ，设d 是川 的一个固定旗并且钍=