（计算数学专业论文）一类偏积分微分方程正交样条配置方法.pdf

摘要 在记忆材料的热传导，多孔粘弹性皆知的压缩，动态人口，以及 原子反应动力学等问题中，常常碰到抛物型积分微分方程，对于该 种问题的数值求解，国外的v t h o m 6 e ，w m c l e a n ，c h l u b i c h ，l w 址1 b i n ， g f a i r w e a t h e r 等，国内的陈传淼，许传炬，汤涛，孙志忠，徐大等 做了大量的研究，他们大多采用有限元方法，有限差分法，谱配置方 法，样条配置方法，但是用正交样条配置方法进行时间，空间离散的 估计却很少涉及 本文考虑一类偏积分微分方程时间，空间全离散，采用正交样条 配置方法得出其相应的稳定性和误差估计 主要结果如下： ( 1 ) 给出方程时间半离散的稳定性和误差估计 ( 2 ) 给出该方程全离散的稳定性和误差估计 ( 3 ) 数值例子 关键词：弱奇异核，偏积分微分方程，e u l e r 方法，正交样条配置方法 a b s t r a c t t h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p eo f t e no c c u r si na p p l i - c a t i o ns u c ha sh e a tc o n d u c t i o ni nm a t e r i a lw i t hm e m o r y , c o m p r e s s i o no fp o r o - v i s c o e l a s t i cm e d i a ，p o p u l a t i o nd y n a m i c s ，n u c l e a rr e a c t o rd y n a m i c s ，e t c t h e r ea r e 1 0 t so fd o c u m e n t so fv t h o m s e ，c h l u b i c h ，l w a h l b i n ，g f a i r w e a t h e ri no v e r - s e a sa n dc h u a n m i a oc h e n ，c h u a n j ux u ，t a ot a n g ，z h i z h o n gs u n ，d ax ui n h o m e al o to ft h e mu s ef e m ；f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ；s p e c t r a lc o l l o c a t i o n m e t h o d s ：s p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d s b u taf e wo ft h e mm a k eg l o b a lb e h a v i o r o ff u l ld i s c r e t i z a t i o nb yo r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d s w es t u d yap a r t i a li n t e g r o l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp a r a b o l i c t y p e ，u s i n g o r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d sd e r i v e ds t a b i l i t i e sa n de r r o re s t i m a t e d r e s p e c t i v e l y m a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ： ( 1 ) g i v e nt h es t a b i l i t y , e r r o re s t i m a t eo ft i m es e m i d i s c r e t i z a t i o ne u l a rm e t h - o d sf o rt h ee q u a t i o n ； ( 2 ) g i v e nt h es t a b i l i t ya n de r r o re s t i m a t eo ff u l ld i s - c r e t i z a t i o nf o rt h e b a s e do nt h eo r t h o g o n a ls p l i n em e t h o d sf o rt h ee q u a t i o n ( 3 ) n u m e r i c a le x p e r i m e n t k e yw o r d s ：p a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b a c k w a r de u l e rm e t h o d ， o r t h o g o n a lc o l l o c a t i o nm e t h o d s i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：引眇 0 舯净f 月9 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书 2 、不保密臼 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：引车缸 日期：刎年石月g 日 导师签名：魄、k 日期：枷。1 年5 月9日 3 9 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 1 引言和一些记号 1 1 引言 我们将研究下面一类偏积分微分方程的数值解 u t ( x ，亡) 一f 孑n ( t s ) u z ( z ，s ) d s = f ( x ，亡) ( 1 1 ) ( 其中核s t ( t ) = 亡一1 2 r ( 1 2 ) ，在t = o 点是奇异的) ( z ，t ) 加( o ，t ) ， 满足如下边界条件： u ( x ，t ) = 0 ，( z ，t ) a q 0 ，明 和初始条件： u ( x ，0 ) = 妒( z ) ， z q ( 1 2 ) ( 1 3 ) 方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 常出现在带有粘弹性流体模型及带有记忆功能的 热传导物质它的齐次方程被许传炬研究，它是介于标准热传导( 抛 物) 方程和波动( 双曲) 方程之间的一类方程，实际上，积分算子i i 2 将 每一个( 局部可积) 函数，( t ) o ) ，映射为如下函数： r t ( 1 1 2 州亡) = ( t s ) 1 2 f ( s ) d s ，0 满足下列性质( 见【6 】) ： r t ( 1 1 2 ( ，垅，) ) ( t ) = 7 r f ( s ) d s - ，0 因此丌一1 2 1 1 谎看成不定积分算子的平方根，通过运用分数次计算的 理论( 见 4 】) ，我们能定义微分算子d d t 拘平方根d 1 2 ： ，t d m d 1 2 ，( s ) d s = 邢) ， ，0 7 r - 1 2 d 1 2 1 1 2 = 恒等算子 在( 1 1 ) 的齐次方程两边运用d 。2 可得： u t ( z ，t ) 一d 1 2 z ( 2 ，t ) = d ，1 2 厂( z ，) 1 硕士学位论文 近年来，国内外有很多人研究了这类方程陈传淼、t h o m d e 和 w a h l b i n 1 采用向后e u l e r 格式，空间方向采用线性有限元，积分项通 过内积求积技巧进行离散，得到解的正则性条件及误差估计l d p e z m a r c 0 8 1 3 研究了一类非线性的积分微分方程，采用了一阶时间全离 散差分格式m c l e a n ，t h o m d e 5 使用了e u l e r $ j z 阶向后差分格式，空 间方向用g a l e r k i n 有限元方法，并给出了问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的正则 性估计s a n z s e r n a 6 也研究了这类问题，在时间方向，他采用了 向后e u l e r 格式和一阶卷积求积逼近积分项，对光滑与非光滑的初 始值导出了相应的误差估计徐大 8 】考虑了e u l e r 和c r a n k n i c o l s o n 格式和一阶、二阶卷积求积，得到了带权的误差估计由于时间离 散必须保留前面所有的值，它将要求大量的内存，为了克服这些困 难，黄元清 2 】提出了一种迭代格式，从而减少了大量的计算和内存 s l o a n ，t h o m d e 7 建议减少求积区间，使用高阶的求积公式杨晓霖在 文中空间方向采用差分法离散，时间方向取拉普拉斯数值逆进行数 值计算。陈红斌等运用二阶向后差分格式进行时间离散，空间方向 采用有限二阶差分格式，对积分项采用二阶卷积求积。由于方程的解 在亡= 0 不光滑，导致误差估计在整个过程都不能达到时间的二阶精 度。样条配置方法也常常应用到解这类方程如f 疵r 伽e 口亡危e r 【9 】 1 0 】用 正交样条配置方法研究了这类方程，导出了相应的误差估计，其中核 为连续核但这类带奇异核的问题在我们所掌握的文献中没有发现 用正交样条配置方法研究 经过三十多年的发展，正交样条配置方法由于其应用广泛，容易 掌握，易于计算，故在解决带有弱奇异核的偏微分方程上已经成为 一种非常重要的方法。它比有限元方法更容易计算其系数。本文我 们采用正交样条配置格式来研究这类带奇异核的方程，得到了相应 的误差估计 全文按如下安排：第一章，我们介绍一些相关记号，第二讨论连 续时间正交样条配置方法的稳定性与误差估计，第三章讨论一阶正 交样条全离散的稳定性和误差估计，第四章讨论二阶正交样条全离 散方法的稳定性和误差估计，第五章这类方程的差分格式第六章数 值例子 2 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 1 2 一些记号 现给出一些空间上的内积和范数 ，i ( ，妒) = ( z ，秒) 妒( z ，y ) d x d y i ，n 表示三2 ( q ) 上的内积 a ( n ) = ( 眺。i i d 口卅) 壶， d q 妒= 毋告，q = ( q 2 ) ，1 0 4 = 口1 - i - 口2 表示伊( 9 2 ) s o b o l e v 空间在q 上的范数 0 l m ( q ) = e s s s u p a 妒l ( 3 0 圳雌( q ) = l a i si i d a 圳工* ( q ) r i l l ：( x ) = ( 譬m ) 恢2 叫1 1 l i l 一( x ) = e s 8 8 u p t ( o ，t ) i i v ( t ) i i x 让瓦= ) 笛表示i _ 州- j 划分，0 = 知，z 1 x n z = 1 ，九( 瓦) = m a x ( x t x i - 1 ) 如果疋和如是，上的两个划分，用d 表示单元区间q 上的划分 h = m a x ( h ( 5 z ) ， ( 西) ) ，= ( z i 一1 ，z ) ( y i 一1 ，犰) ， f = _ 【，1 i 札，1 歹“】， p ( r ，s ；如) = v l v c 8 ( d ，秒只( 【z t 一1 ，z 】) ，i = 1 ，2 ， 乙，v ( o ) = v ( 1 ) = o ) ， p ( r ，s ；6 ) = p ( r ，s ；如) op ( r ，s ；屯) 对7 = f 只 只( ，y ) = v l v = v 1 7 ) 2 ，v l 只( z t 一1 ，z i ) ，v 2 p r ( b j 一1 ，协】) ) a 七) r b - ：0 1 ，0 = a 1 一1 o ，对于剖分疋和如，令 a 七t ( 疋) = 一1 + a 南( 瓤一戤一1 ) ，1 七r 一1 ，1 i 札， a 巧( 屯) = 纷一1 + ) _ d y j 一缈一1 ) ，1 l r 一1 ，1 j 玑， a ( a ) = a 捌( 瓦) ，a 巧( 毛) ，1 k ，l r 一1 ，1 i 也，i 歹m ) 3 硕士学位论文 下面我们定义伊( q ) 的离散内积 为 = 1 r ，y ， j = ( z i x i 一1 ) ( 协一协一1 ) 七r - 。f ：1 1u _ | c 蛐牡( a 兢，a 巧) ( a 觚，a l j ) ， i u i ：= 1 ，i u l 2 = 全文中，我们假设 i 饥t ( ，亡) i c t 一垅，i 地t t ( ，t ) i c t 一啪， l 戚( - ，o ) l c ，i 删( ，t ) i c t 一1 2 ，( 1 4 ) 对0 t t ，x q 附注1 对充分光滑妒( z ) 及，( z ，亡) ，( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一的解，并 且满足下面的正则性【1 】： u c ( o ，卅；h 2n 硪) ，饥c ( 【o ，邪；l 2 ) nl i ( 0 ，刀；- 2n 础) ， u t t l i ( 0 ，卅；l 2 ) 附注2 此类齐次问题的正则性估计已被i i e n 5 ，定理5 5 】，它由半 模的形式给出： l 口k = i i a r 2 u 0 ， r r ，其中a = 一， i u ( z ，t ) l r + 2 口c ( q ) 亡一( 。+ 1 i v l r ，t 0 ，0 0 1 ( 1 5 ) 类似地，时间导数满足： d 尹u ( ，t ) l r + 2 口c ( r n ，q ) 亡一( a + 1 ) o - m i v l r ，t 0 ， 一1 p 1 ( 1 6 ) 如果在( 1 5 ) ，( 1 6 ) 中，选取适当的0 ，r ，我们能得到如下正则性估 计( o 为连续的l 2 模) ： i iu t t ( ，t ) i i o c t 1 2 ，i i ( ，t ) i i o c t q 2 ， l it z 武( ，0 ) i i o c ，0u x x t t ( ，t ) i i o c t _ 1 2 ，( 1 7 ) 对0 t t ，z q 4 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 2 连续时间正交样条配置方法 2 1 连续时间正交样条配置方法的离散格式 问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 连续时间正交样条配置方法是找u ：【o ，卅_ p ( r ，1 ；6 ) ， 7 3 ，满足下面方程 ( ( 百o u h ，钌) = o 。p ( 亡一s ) ( u ( s ) ，口) d s + ( 弛) ，口) 初始条件： m 由下面定义 v p ( r ，1 ；6 ) ， ( 2 1 ) u ( z ，0 ) = m 妒z a ( 6 ) ，( 2 2 ) m ： 0 ，刁一p ( r ，1 ；6 ) a ( u m ) = 0人( 6 ) 0 ，卅( 2 3 ) 下面几个引理给出了u m 的估计 引理2 1 如果 丽0 u h m ( q ) n h a ( a ) ， i = 0 ，1 ，则 。杀( 乱一m ) 1 1 c h 件铆肿。吲呱 证明见 9 ，引理3 1 】 引理2 2 如果u h 7 + 1 ( 7 ) 和u 只。只( ，y ) ，7 f ，存在常数c ，使得 l i 让一vi i 工m ( 7 ) c h r | lu1 1 日r + t ( ，y ) + 一10 一vi i l ：( 1 ) 】， 证明见【9 ，引理3 2 】 由引理2 1 ，引理2 2 得到 5 引理2 3 如果 i = 0 ，1 ，则 证明 等旧+ 3 ( 叩h o b ( n ) ， i 杀( u m ) i c 矿“| l 丽o o i u 怕州( o ，t ) ， i 嘉( 乱一m ) 1 2 o ，u c ( 【o ，卅；d ( b 1 2 ) ) 证明见【5 ，引理2 1 】 引理2 5 模i i 和i i i i 在尸( r ，1 ；6 ) 上是等价的 证明见【9 ，引理3 4 】 2 2 连续时间正交样条配置方法的稳定性 定理2 1 如果u 和u 分别是( 1 1 ) 一( 1 3 ) 和( 2 _ 1 ) 的解，那么 6 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 iu h ( t ) l iu h ( o ) i + 2 if ( t ) id t ，0 证明在( 2 1 ) c 0 取移= u 则 ( i 酉a u h ，u h ) = 0 2 p ( 亡一s ) ( 矿( s ) ，钆h ) 如+ ( 弛, u h ) ( 2 - 4 ) 而 ( 警) = 互l 夏d u 叩( 2 - 5 ) 从。到t 积分 三 i 乱 ( t ) 1 2 一i 乱 ( 。) 1 2 ，= = tz 。p ( 亡一s ) ( 让 ( s ) ，7 2 h ) d s d t + z o o t ( ，( 亡) ，仳 ) d t ( 2 6 ) 应用引理2 4 ，我们得至l j ( 2 6 1 中右边第一项是非正的，则 u ( t ) 1 2 2fi ，( t ) i iu id t + i 乱 ( o ) 1 2 2 ( 舒im ) i d t + 1 u ( 刚s u p t i 钍 ( t ) i 我们得到 l u h ( t ) l 。要l u h ( t ) l 2 i 邢) id t + i u h 0 ( o ) l ，t o t， 定理2 1 证毕。 2 3 连续时间正交样条配置方法的收敛性 定理2 2 如果u 和u 分别是( 1 1 ) 一( 1 3 ) 和( 2 一1 ) 的解，那么 u - - t t hi l ( 雌c h 件1 ( 1 lul | l 。( h r + 3 ) j r l l 知纠) 证明：设0 = u 一m ，p = m i t , 把u = 0 + m 代2 ( 2 1 ) 中，则 硕士学位论文 o r + m 让洲) = z 。雕- s ) ( a o + a 地郴s + ( m ) ，u ) or,v)一厂。p一s)(p，口)ds=(，(亡)，u)一(mut，)+zp一s)(zmujo0 ，口) d s) 一p 一s ) ( p ，口) d s = ( - 厂( 亡) ，u ) 一(， ) + p 一，口) d s - ， 而 饥( ，亡) 一o p ( 芒一s ) u ( ，s ) 如= ，( ，亡) ( o t ，v ) 一0 2 p ( 亡一s ) ( 口，u ) d s = ( 一风，移) 应用定理2 1 ，我们得到 io ( t ) i o j = 0 ，1 ，2 使 证明见 5 ，引理4 7 】 e ( 矽) c t 七z 2 i , p t id s 9 硕士学位论文 引理3 2 如果 ) 器o 1 1 是一些满足 的正数，则 5 ( p ) = b j c o s ( j e ) 0 o rp r j = o vn b i ( 咖) = b , , _ j c j n 0 ，v = ( 矽1 ，妒) r ，n 1 n = l j = x 证明：见 5 ，引理4 1 】。 引理3 3 当仇= 1 ，2 时，记m u 2 = u 2 一味m ， 则 2 = a mi 巩1 2 + l m 巩1 2 证明： 2 = = + 一 = miu n1 2 + i m u n1 2 ， 3 2 一阶正交样条全离散格式的稳定性 定理3 1 假设让为问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解，u 袅是满足( 3 1 ) 的数值 解，进一步假设问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解满足假设条件( 1 4 ) ，则 n l “l lu oi + 2 七l 厶i n = l 证明在( 3 1 ) 中取u = h 则 佩让：，欲) = ( 眠t u ? ，破) + ( 厶，让：) t = 1 应用引理3 3 ，我们得到 ( a 让：，u ：) = 互10 。l u n1 2 + 喜i 夙让n1 2 1 0 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 则 吉ai u n1 2 ( 眠t u ? ，u h ) + ( 厶，让：) 。 i = 1 n i t , 应用引理3 2 ，我们得到2 后( w r , ；u ? ，u ：) 非正 nnnn ( 1u n1 2 一lu n - 11 2 ) 2 k ( t u ? ，h ) + 2 k i 厶iu n 佗= 1n = li - - - - 1n = l n 2 k i 厶i i i 一- j - o i n = l 则 i u 1 2 嘶i n a , x i 乱n1 2 n1 v i 咖1 2 + 2 k 胆1i 厶i i u ni ( i i + 2 k 胆1i 厶1 ) u m s 。a s x i i i 1u oi + 2 ki 厶i f i t = 1 3 3 一阶正交样条全离散格式的收敛性 定理3 2 假设札为问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解，u ：是满足( 3 1 ) 的数值 解，进一步假设问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解满足假设条件( 1 4 ) ，则 l | u 一饥t i hl i c h 件1 + c k i i e n 记以= 乱袅一螈，砌= 一，把u ：= 如+ 螈代入 ( 3 1 ) 中，则 ( a 如+ o t m u n ，口) = ( 眠t ( 吼+ m u i ) ，v ) + ( 厶，v ) 1 0 0 ，u ) ( i v t a o i ， ) = ( ，n ，口) 一( o , m u n ，u ) + ( w r , i 钆卅) t = 1 i = l 硕士学位论文 而 则 饥( z ，亡) 一o p 一s ) 钆( z ，s ) d s = ，( z ，t ) p o n ，可) 一( w i x o i ，v ) l = 1 ：( 地( k ) 一o t m u n ，u ) + ( 壹i 讹一j gz ( t s ) u ( z ，s ) d s ，口) i = 1 应用定理3 1 ，我们得到 其中 0 1 2 k i + 厶i + 1 0 0 l ( 3 3 ) n = 1 厶= ( 如) 一o t m u n j 1 2 = i = 1 u i - - 1 0 r t 一s ) “( z ，s ) 如 n i i l 饥( 亡n ) 一o t u ni + ia 陬i i 霄l = l 饥( n ) 一侥l 由带积分余项的t a y l o r 展开可得，对一切z 均有： u ( x ，t n 一1 ) = u ( z ，t n ) 一k u t ( z ，t n ) + 它u u ( x ，s ) ( 亡n 一1 一s ) d s ， u ( z ，t n 一2 ) = 让( z ，t n ) 一2 k u t ( x ，t n ) + 刍( 一2 七) 2 u u ( x ，t n ) + 互1 它一2u t t t ( x ，s ) ( 亡n 一2 一s ) 2 d s 由上式可得 i 贯l = iu t ( x ，t n ) 一k - a ( 一一1 ) i = k 1 l 它u u ( x ，s ) ( t n 一1 一s ) d s i 庇。lu u ( x ，s ) id s 1 2 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 从假设( 1 4 ) ，我们得到 尼f 霄i c k ( 3 4 ) n = l 应用证明引理2 3 的方法和l i 侥肌i l 泸i 1 仨，i l 赛i l l 。d t ，我们得 到 七la mi c + 1 崤o u 州( 3 - 5 ) 应用引理3 1 和假设( 1 4 ) ，我们得到 尼l1 2i c k ( 3 6 ) n = l 由( 3 3 ) ( 3 - 6 ) 得 i i c k + c h 件1( 3 7 ) 利用三角不等式，引理2 1 ，引理2 5 和( 3 7 ) ，我们得到 证毕 让一u n hi i c h 件1 + c k 1 3 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 4 二阶正交样条全离散 4 1 二阶正交样条配置方法的格式 这一章，我们考虑二阶时间离散正交样条配置方法的稳定性与误 差估计记 d t u h ：( 害u 2 2 破一。+ 万1u 棚h ) k ， ”z ( t 竹一s ) 矽( s ) 幽( ) = 圣 r t 庀一，p ( 厶一s ) ( 乃一s ) 饥- 1 ) 咄- 1 ) 如 = 眠t 九 则时间离散正交样条配置方法的格式当n 2 时： ( 耽u ：， ) = ( i v t 钍? ，可) + ( 厶， ) 口p ( r ，1 ；6 ) ，( a - 1 ) i = 1 当佗= 1 时： l ( 侥扎拿，口) = ( 胍t 乱? ，口) + ( f i ，u ) u 尸( r ，1 ；6 ) ，( 4 - 2 ) i = 1 初始条件： 让3 = m o p 引进积分项误差 n ( ) = ( ) 一o kp ( 一s ) 咖( s ) d s 同时定义整体积分误差 e n = 七h ( ) n = 1 4 2 二阶正交样条配置方法的稳定性 1 5 ( 4 3 ) 硕士学位论文 定理4 1 假设u 为问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解，u ：是满足( 4 1 ) 的数值 解，进一步假设问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解满足假设条件( 1 4 ) ，则 以i iu ol + 3e ki 厶i n = l 证明在( 4 1 ) 中取秽= 砩在( 4 2 ) 中取t ，= 牡 则 nn 佩乱：，钆2 ) + ( d “h ，缸：) = ( t 也? ，u ：) + ( 厶，u ：= ) i = 2 应用引理2 3 ，我们得到 则故： n = li = l 兰叼一2 u y - 1 + 三叼= 2 叼一互1 2 叼 n - - - - 1 k = = 2 一 = 1iu n1 2 + la 1 u n1 2 一：1 ( a 2 u n1 2 + ia 2 u 竹1 2 ) = 1iu n1 2 一j 2iu n1 2 + ia 1 u n1 2 一i 1ia 2 u n1 2 由( 垂4 ) ，对2 n n 求和得： ( l n = 2 j v = ( i n = 2 n u n1 2 一；2iu n1 2 ) = ( iu n1 2 一iu n - 11 2 n = - 2 i u n1 2 一iu 件_ 11 2 + iu n - 21 2 ) 2iu 1 2 一 iu 一11 2 2l u 11 2 + ju o1 2 ， ( 4 4 ) 一 lu n1 2 + jiu 铲21 2 ) ( i 1 泸1 2 一三ia 2 u n1 2 ) = ( 1a 1 u n1 2 一 ia 1 u n + a 1 u n 11 2 ) n = 2n = 2 ( 1 u n1 2 一j ( 1a 1 u i + ia 1 u n 一1i ) 2 ) n - - - - 2 ( 1a 1 u n1 2 一；( ia a u j 2 + ia 1 u n 一11 2 ) ) n = 2 互1 ( 1a i u n1 2 一ia 1 u n 一11 2 ) = ( 1a 1 u 1 2 一ia 1 u 11 2 ) 1 6 ( 4 5 ) 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 因此对2 礼n 有： n 七 + 忌丕 ；( iu 11 2 一iu o1 2 + la 1 u 11 2 ) + ( ia 1 u 1 2 一ia 1 u 11 2 ) + ( ；lu 1 2 一jl u 11 2 一ilu 11 2 + jiu o1 2 ) iiu 1 2 一ji u 一11 2 一互1 iu 11 2 一互1 u o1 2 ( 4 6 ) 因此 则 ；iu 1 2 一 lu 一11 2 一jl u 11 2 一 nnn ke ( w , x u ? ，乱n h ) + k i 厶l i n = li = ln = l 应用引理3 2 ，我 2 n ii 矿1 2 一i 1i u 肛11 2 一j u i 一 渺1 2 七量i 厶i i l 从而得到当n 2 时： 当n = 1 时： 仳1 2 嘶m a x i 2 ( i 也一11 2 + lu l1 2 + iu o1 2 ) + 庇 7 l = 工 ( iu 0i 札l 1 以l 去( 1 巩i + ig o1 ) + 阢i iv oi + 后i i 1 7 厶l | 矿 正ej 黔 u 。n1 u n 汹 脚 - s = u 至得1 j 胛i 厶 忌 脚 2 硕士学位论文 从而得到 n 巩i 1 i + 3 k ki 厶i n = l 证毕 4 3 二阶时间正交样条配置方法的误差估计 引理4 1 ：如果p ( 亡) = 亡一1 2 r ( 1 2 ) ，则对几1 有： s ( 妒) c 七譬i 妒。i 幽 + c k 2 i 仇。i d s 证明：见【8 ，引理7 2 】。 定理4 2 假设u 为问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解，乱：是满足( 4 1 ) 的数值 解，进一步假设问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解满足假设条件( 2 一1 ) ，则 i id u 一hl i c h + 1 + c 后g 证明记以= 砩一螈，风= 地一，把让n h = 钆+ 代入 ( 4 1 ) 中则 而 ( 皿以+ d t m u n ，u ) = ( i ( 仇+ a m u i ) ，口) + ( 厶，钉) i = 1 ( 皿0 n ，u ) 一( t d c o i ， ) = ( 巾) ，口) 一( 皿m ，u ) + ( t 让洲) i - - - - - 1i = l 饥( z ，芒) 一o 。p ( 亡一s ) 仳( z ，s ) d s = ，( z ，亡) 1 8 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 则 n ( 玖以，v ) 一( 眠i 仇，v ) = ( u t ( t n ) 一d t m u n ，v ) i = 1 应用定理4 1 ，我们得到 其中 + ( n i 让i f op ( t s ) xu ( x , s ) d s , v ) i = l i 3 k i 厶+ 厶i + 1 0 0 l ( 4 7 ) n = 1 厶= u t ( t n ) 一d t m u n 拈渊w n i x u i - 上r t 卢( h ) 札( 叩) d s n i i iu t ( 亡n ) 一d t 让住i + id t 胁。i l 霄i = iu t ( t n ) 一d t 由带积分余项的t a y l o r 展开可得，对一切x ( o z 1 ) 均有： 当仃3 时： u ( x ，t n 一1 ) = u ( x ，t n ) 一k u t ，t n ) + 互1 ：、k ) 2 饥t ( z ，t n ) + 刍口1 地托( z ，s ) ( 亡n 一1 一s ) 2 d s ， 让( z ，t 几一2 ) = 乱( z ，t 付) 一2 k u t ( z ，t n ) + 刍( 一2 忍) 2 u 此( z ，t n ) + 刍正一2u t 竹( z ，s ) ( t n 一2 一s ) 2 d s 由上述两式可得( 1 j j 一1 ) ： i 噶i = 1 饥( z ，t n ) 一七。1 ( ；仳n 一2 u n 1 + a n - 2 ) i = 刍i 偿 a t t t ( x ，s ) ( 如一t s ) 2 d s 一；它一2 毗托( z ，s ) ( 如一2 一s ) 2 d s ( 尼2 皮。l ? 2 t t t ( x ，s ) id s + ( 2 七) 2 仨：i 妣( 叩) i 凼) c k 农。iu t t t ( x ，s ) id s 当n = 2 时： 乱( z ，t 1 ) = 乱( z ，t 2 ) 一k u t ( z ，2 ) + 启锄t ( z ，8 ) ( t l s ) d s ， 1 9 硕士学位论文 仳( z ，如) = u ( x ，t 2 ) 一2 k u t ( z ，t 2 ) + 让托( z ，s ) c t o s ) d s 由上述两式可得( 1 j j 一1 ) ： 当n = 1 时： i 吃i = lu t ( x ，t 2 ) 一七一1 ( ；乱2 2 u 1 + l u o ) i = i 层饥t ( z ，s ) - 一s ) d s 一；譬乱“( z ，s ) ( 一s ) d 8 丢( 七臂i 饥t ( z ，s ) ld s + ( 2 七) 它i 饥t ( 叩) ld s ) c l 饥t ( z ，s ) id s 乱( z ，如) = “( z ，亡1 ) + k u t ( z ，t 1 ) + 片让t t ( z ，s ) ( 亡一s ) 2 d s 故( 1sj j 一1 ) ： i 噶l = iu t ( x ，t 1 ) 一k - 1 ( u 1 一钆o ) l = l 岔u u ( x ，s ) ( 亡- 一s ) d 8 cci 饥。( z ，s ) id s 对一切1 j j 一1 ，死3 ，由假设条件( 1 4 ) 均有： h p ： 叩1 2 c k 2i 仨。iu t u ( x ，s ) ld s1 2 c k 2 ( 农：s 一3 2 d s ) 2 同理可得： 砰i c k 皮。s 一啪d s 1 c 譬s m d s ， 因此很容易得到： 到 i c f ：七s m d s i 昱七2 曼：s 一3 2 d s + k f ：8 - 1 2 d s + k f ：七s 一1 2 d s c k 3 2 n = j ( 4 8 ) 应用证明引理3 3 的方法和| la 肌i i p 丢庇。o 象i l l 。d t ，我们得 幻( 何r - i - 3 ) ( 4 9 ) 七 脚 + c 一 n pa 脚 七 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 应用引理4 1 和假设( 1 4 ) ，我们得到 南i 2l c k 2( 4 一l o ) n = 1 由( 4 - 7 ) 一( 4 - 1 0 ) 得 l e i c k + c h r + 1( 4 1 1 ) 利用三角不等式，引理2 2 ，引理2 5 雨3 ( 4 1 1 ) ，我们得到 证毕 i i 一hi i c h + 1 + c k 3 2 2 1 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 5 1 差分格式 5 这类问题的差分格式 我们给出如下网格巧= j h ，j = 0 ，1 ，j ，其中九= 1 j ( j 是正整 数) ，时间步长记为惫，给出时间的一个划分t n = n k ，1 7 , = 0 ，1 ，n ，( = 【叫纠) ，记叼近似让( 吻，t 凡) ， 定义以下差分记号： 6 2 y j = + 1 2 k + k 一1 贝j j ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的离散格式可以写成如下形式： 其中： 佗一1 叫叼一叼- 1 ) 一( h - 2 i - - - - o 屈6 2 叼) = 疗，( 5 1 )、u工， 歹= 1 ，2 ，( j 一1 ) ， 礼= 1 ，2 ，3 ， w = v y = 0 ，n = 0 ，1 ，n ( 5 2 ) 护= ( 四，明，四一1 ) 已给出 觑= 汁1 ( 如一s ) q - l d 8 = 磨1p ( s ) 如 屈= 丘汁1 ( k s ) a - l d s = 一t ( 5 3 ) 为了后面的需要，我们收集了差分计算的一些记号和结论。我们 将用记号沪( 仃= 0 ，1 ，) 表示吖一1 中的向量，e p u n 表示向量( 叼，叼， ，旺。) 。在我们的分析过程中，如遇到巩和协，我们定义u o = v j = 0 。 2 3 硕士学位论文 女n ( v 1 ，k ，巧一，) ，( 慨，一。) 为叫一，中的向量，则我们规定： + v j = 巧+ 1 一巧，一v j = v j v j 一1 ， 耳v j = 巧+ l 卫v j = k 一1 ，( v w ) j = ， 1 歹( j 一1 ) ， ( 5 4 ) i i y | i o 。2 1 9 m a ( i ，x 一1 ) i k i ， - - 仁e 1 m 名， l i y l l 2 = 容易验证下面的等式成- o r ( 见【3 】) ： t ，一1 = 一e ( + 巧) ( + ) ( 5 5 ) y = o 5 2 稳定性 这一节我们将给出离散格式( 5 1 ) 一( 5 3 ) 的稳定性。 容易验证卢( t ) 为正类型核，满足引理3 2 的条件曼k j c o s j o 0 。 j = o 下面给出格式的稳定性。 定理5 1 ：如果叼按照( 5 1 ) 一( 5 3 ) 定义，当七= o ( h 2 ) 时，那么 n 0 泸i l i lu o0 + 2e 七i i ，n0 n = l 证明：记叼= 叼一叼， 由定义，我们很容易验证： ，一1 2 = 2e 危( 叼一叼- - 1 ) 叼 ，2 1 ，一】 = e ( ( 叼) 2 一( 叼- - 1 ) 2 + ( 叼一叼- 1 ) 2 ) = ，i i 扩0 2 + 0a i u n 悒 j 2 1 对1 几n 求和得： nn e - - 互1e ( 10u n1 1 2 + 0a x u n1 1 2 ) n = ln = i = i 1e ( i iu n0 2 一i | n 一10 2 + 0u n u n _ 10 2 ) n = i i 1e ( 1 l 扩l 2 一l i 泸- 1 = i 1l iu 0 2 一 | iu o0 2 一类偏积分微分方程正交样条配置方法 在( 5 1 ) 的两边同时乘以九叼，并对j ( 1 j ( j 一1 ) ) 求和可得： n 一1 一各鼠 = k i = 0 先交换求和次序，再对每个固定的歹，由引理3 2 可将得： 屈 = e 一t n = 1i = 0n = 1i = o t l 一1 j - 1 = 一ek te 九+ 叼a + 叼 n - - - - 1i = 0 j = o - ，一1nn = 一he ( ee k d x + 呀一p + 叼) j = on - - - - 1p = 1 0 因此： 1 2i i 矿j | 2 一划1泸1 1 2 七 n n - - - - 1 ki i 广i 沪| 1 n = 1 整理得： 0u 0 2 i i 沪1 1 2 + 2e k0 广iu n0 n = 1 假设i | 【，mi i = 。芝狲0 泸i i ，则： 进一步得到： 从而得到： 证毕。