（固体力学专业论文）薄膜屈曲力学行为的有限元研究.pdf

中文摘要 材料薄膜技术近年来得到迅猛的发展，薄膜材料在许多工程领域得到广泛应 用，并将成为2 1 世纪的高性能材料领域之一。随着现代科学技术的发展，对薄 膜性能提出了更高的要求，因而，薄膜材料成为近年来材料科学的一个重要发展 新方面，对其力学行为的研究具有重要意义。本文用有限元方法针对薄膜屈曲行 为进行了以下研究。 首先，总结薄膜屈曲研究成果，包括国内外的理论、实验、数值模拟研究成 果，用非线性、大变形理论的有限元方法建立模型。 其次，利用弹性稳定和几何非线性理论，进行结构矩阵分析，用有限元方法 对屈曲问题的特征值求解，计算临界力，并与理论值进行比较，分析这种有限元 计算方法的可靠性。参考薄膜屈曲的实验过程和前辈们的工作成果，用c 语言编 写非线性有限元计算程序，为了求解的精确和计算效率的考虑，计算的时候采用 载荷增量法和牛顿一拉斐逊迭代法同时求解。程序包括建模、计算、迭代、求解 全过程。 利用该平面有限元程序计算了不同厚度的t i n 薄膜在不同基底上，不同外部 载荷作用情况下，薄膜屈曲的离面位移和薄膜基底结合处应力分布。得到薄膜 的离面位移与载荷的关系曲线和屈曲后薄膜的形状，并得到在同样的外部载荷作 用下，基底弹性模量的不同对薄膜基底结合处应力影响较大，而基底的泊松比 对结合处应力影响几何可以忽略，这对实际应用具有指导意义，为薄膜屈曲问题 研究提供了一种方法。 最后，用a n s y s 软件建立三维有限元模型对有初始缺陷的薄膜基底材料屈 曲进行计算，分析得到薄膜的弹性模量、泊松比、厚度的增大，圆泡的半径减小 都导致屈曲的临界载荷的增加，而基底的弹性模量和泊松比对屈曲临界载荷大小 没有影响；对于直线型屈曲与编写的平面有限元程序进行比较，验证程序的正确 性，并分析随着直线型屈曲的长度增大，薄膜屈曲临界载荷减小，并对屈曲后的 变化趋势进行分析，对薄膜屈曲力学行为进行深入的研究。 关键词：薄膜；有限元；屈曲；力学行为 a b s t r a c t t h i i lf i l mt e c h n i q u eo fm a t e r i a ld e v e l o p e df a s tn o w a d a y s f i l m sa r eu s e di nm a n y e n g i n e e rf i e l d s ，a n di tw i l lb eo n eo ft h ef i e l d so fh i g h p o w e dm a t e r i a li n21 轧c e n t u r y a st h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , w ep a ym o r ea t t e n t i o nt ot h ef i l m p e r f o r m a n c e a sar e s u l t ，f i l m sa r ea ni m p o r t a n tf i e l do fm a t e r i a ls c i e n c e s oi tw i l l m a k es e n c et or e s e a r c hi t sm e c h a n i c a lb e h a v i o r t h i sa r t i c l ei n v e s t i g a t e sm e c h a n i c a l b e h a v i o ro ff i l mb u c k l i n gu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d f i r s t ，s u m m a r i z et h ew o r ko ff i l mb u c k l i n gb yo t h e rp e o p l e ，i n c l u d i n gt h e o r e t i c a l ， e x p e r i m e n t sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，b u i l dn u m e r i c a lm o d e l sb yf i n i t ee l e m e n t m e t h o do fn o n - l i n e a ra n dl a r g ed e f o r m a t i o n s e c o n d , u s ep l a s t i cs t a b i l i t ya n dl a r g ed e f o r m a t i o nt h e o r y , a n a l y s i st h es t r u c t u r e m a t r i x ，c a l c u l a t et h ee i g e n v a l u e s ，t h e nc o m p a r e di tw i t ht h ea c a d e m i cr e s u l t s ，a n di ti s c r e d i b l et ou s et h i sm e t h o df r o mt h ec o n c l u s i o n c o n s u l t i n gt h ep r o c e s so ft h ef i l m b u c k l i n ga n do t h e rp e o p l e sc o n c l u s i o n , acl a n g u a g eo ff i n i t ee l e m e n tp r o g r a mi s c o d e ，t os o l v et h ep r o b l e mf a s t e ra n dm o r ea c c u r a t e ，b o t hi n c r e m e n t a lm e t h o da n d n e w t o n r a p h s o nm e t h o da r ea d o p t e d t h ep r o g r a mc o n t a i n sm o d e l i n g ，c a l c u l a t i n g ， i t e r a t i o na n ds o l v i n g u s i n gt h i sp r o g r a mt oc a l c u l a t ed i f f e r e n tt i nf i l m sl a yo v e rd i f f e r e n ts u b s t r a t e ，a n d a l s ou n d e rd i f f e r e n tp r e s s u r e ，t os e et h ef i l md e f l e c t i o na n dt h es t r e s sn e a rt h e d e f l e c t i o nb e t w e e nt h ef i l ma n dt h es u b s t r a t e i ta l s og e t st h er e l a t i o no ft h ef i l m d e f l e c t i o na n dt h ee x t e r i o rs t r e s s a tt h es a m ee x t e r i o rl o a d , t h ed e f f e r e n c eo ft h e e l a s t i c i t ym o d u l u so ft h es u b s t r a t ei n f l u e n c eal o tt ot h es t r e s s w h i l et h ep o i s s o nr a t i o i n c l u e n c el i t t l e i ti ss i g n i f i c a t i v et oa p p l i c a t i o na n d p r o v i d i n ga m e t h o dt oi t a t1 a s t t h em e c h a n i c a lb e h a v i o ro ff i l m s u b s t r a t em a t e r i a l sw i t hf l a w sa r e c a l c u l a t e db ya n s y s ，t h ei n f l u e n c eo ft h el e n g t ho ft h es t r a i g h t s i d e db u c k l ei s s i m u l a t e da n dt h et r e n do ft h ef i l ma f t e rb u c k l ei sa l s oc a l c u l a t e d ，t os t u d yt h o r o u g h l y a b o u tt h em e c h a n i c a lb e h a v i o ro ft h ef i l mb u c k l i n gp r o b l e m s k e yw o r d s ：f i l m ，b u c k l i n g ，f i n i t ee l e m e n t ，m e c h a n i c a lb e h a v i o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：维断 签字日期：加。7 年2 月三日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁注盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：础 签字日期：厶口7 年2 月锣日 导师签名：为拟宴 签字日期：扫，7 年1 月乙矿日 天津大学硕。1 j 学位论文薄膜屈曲力学行为的有限元研究 1 1 概述 第一章薄膜屈曲研究意义及全文内容介绍 1 1 1 薄膜屈曲研究意义 材料薄膜技术近年来得到迅猛的发展，其研究成果广泛应用于电子、光学、 计算机、机械、能源、航空、核工业等各个领域，并将称为2 1 世纪的高性能材 料领域之一。随着现代科学技术的发展，对薄膜性能提出了更高的要求，因此， 薄膜制备工艺与薄膜成分、微结构与性能的关系一直是材料研究人员关注的重点 之一。 薄膜材料在微电子技术、微电子机械系统及表面防护( 如提高耐磨性、抗腐 蚀性和抗氧化性) 技术等方面有广阔的应用前景，其力学性能对膜基系统( 薄膜 + 基材) 的力学完整性及结构整体性质影响很大，已成为一大研究热点【1 2 1 。 薄膜基底结构系统在信息科学以及微电子机械系统技术( m i c r o e l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m ，m e m s ) 中有着十分重要的地位。同时，薄膜应力( 残 余应力和外加应力) 对于沉淀在基底上的薄膜的影响研究已经得到了广泛的关 注。对薄膜中应力的研究是m e m s 研究中的一个热门力学问题。另外，受载薄 膜的研究不仅仅是局限在m e m s 领域内，它们的力学特性在固体力学领域、材 料科学领域、统计物理学等领域都被研究过。 近些年来，国内外学者对于沉积薄膜层脱层问题的关注，主要是因为膜层的 广泛用途。因为脱层与屈曲是这类器件的主要破坏形式，所以屈曲研究对于其寿 命预测具有重要意义。 1 1 2 薄膜屈曲的研究成果概述 在这一领域的研究中，实验研究，理论模型和数值模拟研究已经取得了一些 成果。 ( 一) 实验研究成果 对于薄膜基底系统的力学性能的测试有很多不同的方法，比较成熟的技术 有：x 射线衍射测量应力法、纳米压入和划入技术、外部载荷屈曲形貌法1 3 1 ，等 等。其中x 射线法有其局限性，不能真正测出材料在纳米尺度下的表层内的力 天津大学硕士学位论文薄膜屈曲力学行为的有限兀研究 学性能。比较有良好发展前景的技术是纳米压入和划入微尺度力学测试技术，尽 管人们对这种新兴的技术尚未完全认识。它具有操作方便、样品制备简单、测量 和定位分辨率高等优点。虽然纳米压痕技术在金属和陶瓷测量方面取得了很大的 成功，但是对于纳米尺度材料力学性能测量来说，纳米尺度下的材料表现出一定 的粘弹性，这是纳米压入划入技术所欠缺的地方。只有外部载荷屈曲形貌方法能 测量薄膜于基底材料交界的性能。对于外部载荷下屈曲形貌的探索研究是薄膜脱 层屈曲现象的基础。在薄膜层脱层及屈曲问题的实验研究方面，电镜技术 ( s e m ，t e m ，a f m ) 、纳米压痕技术和图像处理技术等，都己在这类问题的研究 中得到了应用，取得了很多的实验结果。 在压力作用下薄膜基底结构中薄膜的屈曲问题，a ge v a n s 等针对类钻石碳 薄膜( d l c ) 玻璃基底试样( 薄膜厚度：2 6 0 4 6 0 n m ) ，利用a f m 和f i b 技术， 得到了表面缺陷对d l c 薄膜受压屈曲的生成和扩展影响的实验结果。c c o u p e a u t 4 】等利用a f m 和高精度p z t 技术，获得了n i ，c u ，a u ，f e 等薄膜材料( 厚 度：2 4 0 6 0 0 n m ) 在不同基底上受压时的屈曲模态。 ( 二) 理论和数值模拟研究成果 薄膜屈曲是一个复杂的力学问题。近二十几年来，以几何非线性理论为基础 的屈曲和后屈曲理论，得到了迅速发展。目前，以非线性理论为基础的有限元方 法，已成为求解板壳及其加筋结构的屈曲、后屈曲及破坏问题最有效的途径， 并为全世界结构力学专家和设计工程师们所接受。 分析结构力学中稳定性和屈曲问题的目的是求解结构从稳定平衡过渡到不 稳定平衡的临界载荷和失稳后的屈曲形态。 对于结构弹性稳定性的研究是从e u l e r 研究压杆屈曲问题开始，1 7 4 4 年他提 出了基于小挠度理论的e u l e r 临界载荷【5 1 。e n g e s s e r 根据e u l e r 公式，用应力 应变曲线的切线模量代替欧拉公式中的弹性模量e ，将欧拉公式推广应用到非弹 性范围。 判断结构是否处于不稳定临界状态的准则有很多，b u d i a n s k y 利r o t h 在研 究球壳的动力稳定性时，通过位移和载荷的关系，认为如果所加载荷的微小增量 可以导致结构响应的一个巨大变化，则所对应的载荷便是临界载荷，即b r 运 动准则【6 】。b o g d a n o v i c h 7 】等采用b r 运动准则分析冲击载荷作用下的弹性屈曲问 题。s i m i t s e 认为临界屈曲条件和系统的总势能的特征直接相关，即s i r n i t e s 准则， 对于杆、板等结构如果认为当某个特征位移达到一规定值时，结构发生动态屈曲 时该法则也使用8 1 。王仁能量准则【9 1 1 0 1 认为在一定冲击载荷作用下，任何导致屈 曲的相对于前屈曲运动的任何偏离，都将违背能量关系，则屈曲不发生。此外还 天津大学硕 = 学位论文 薄膜屈曲力学行为的有限元研究 有准分叉理论 1 1 , 1 2 , 1 3 】、放大函数澍1 4 1 和分叉准则【1 5 】等。 对于结构的静态屈曲，自从e u l e r t 5 】解决了弹性e u l e r 压杆静态屈曲问题并求 得e u l e r 临界荷载以来，人们就已开始了静态的弹性材料和弹塑性材料屈曲问题 的研究。上世纪3 0 年代末，v o nk a r m a n 1 6 】论证了结构屈曲载荷理论与实验之间 的差别在于结构的不稳定后屈曲形态，并形成了考虑前屈曲变形的后屈曲形态研 究的弹性稳定大挠度理论。利用该理论，在上世纪8 0 年代r e r k s h a i l a n d a i l a l l 7 j 等 人用有限元法计算了偏心受压板的极限强度，u e d a 和y a o 博1 分析了各种模态初 始挠度对矩形板极限强度的影响。9 0 年代r a v i n g e r t l 9 】采用有限元法研究矩形板 在后屈曲状态下的动力特征。白瑞祥、陈浩然【2 0 】等提出了复合材料加筋层合板在 受压缩载荷作用下的前、后屈曲分析的有限元方法。 对于纳米薄膜屈曲的数值模拟开始在上世纪9 0 年代初，j wh u t c h i n s o n 的研 究小组对直线型( s t r a i g h t s i d e d ) 屈曲、圆泡状屈曲( c i r c u l a rb l i s t e r ) 、电话线状 ( t e l e p h o n e c o r d ) 屈曲等三类问题进行了研究，给出了能量释放率和临界应力的解 析式。在本世纪h u t c h i n s o n ，j w 和s u o ，z 2 u 对纳米薄膜屈曲的临界载荷值进 行计算。局部屈曲可以驱动脱层向前扩展，在一定的假设下，利用有限元数值分 析可以确定裂纹扩展前沿的形状以及断裂力学参数等【2 2 1 。m w m o o n 和 k r l e e i 2 3 】等对于不同基底材料的薄膜基底结构实验进行比较分析。h u t c h i n s o n j w ，h em y 2 4 】等对由于初始裂纹的不同，对薄膜基底结构性能的影响进行分析。 gp a m r 【3 9 】等从单位应变能的角度分析三种薄膜的转换过程。 总的来说，这些研究工作都是以确定薄膜的强度极限、能量释放率、应力强 度因子、应变能等宏观力学参数为主的。对薄膜基底二元结构的理论研究、数 值分析和实验分析才刚开始。对于薄膜屈曲问题，是这一领域中非常重要的力学 问题，也是今后国内外学者特别关注和集中研究的热门课题。 如前所述，有关稳定问题研究的文献并不少见，求解的方法也各有不同。这 些方法，总体而言可分为两大类：解析法和数值法。随着计算机技术的高速发展， 很多解析法无法解决的问题借助于数值方法，问题变得可解了。 1 2 本文的主要工作 综上所述，薄膜屈曲问题虽然已经取得了一些研究成果，但是在理论、计算、 试验等方面都存在着一些问题值得深入研究和探讨。本文对于薄膜屈曲的解析和 数值分析方面，作了一些研究，内容如下： 1 对薄膜材料在现代科技工程领域的应用、研究以及在应用中出现的问题 天津大学硕卜学位论文 薄膜屈曲力学行为的有限元研究 等方面以及屈曲问题研究的进展进行概述，主要对三种屈曲形式( 直线型、圆泡 型、电话线型) 的有限元分析进行说明； 2 简要地阐述了大变形、大位移连续介质的运动与构形的描述，阐明了初 始构形与现时构形中应变与几何构形之间的关系，以及各种应力的定义与它们之 间的关系。对几何非线性问题根据l a g r a n g e 方法，推导切线刚度矩阵，并介绍 几种求解非线性有限元的方法； 3 对于屈曲临界载荷值的计算，利用弹性稳定和几何非线性理论，进行结 构矩阵分析，用有限元方法分别采用板单元和梁单元进行计算，并与理论值进行 比较； 4 介绍c 语言编写非线性有限元计算程序的方法，然后利用该程序计算了 不同厚度的t i n 薄膜在不同基底上，不同外部载荷作用情况下，薄膜屈曲的离面 位移和薄膜基底结合处应力分布； 5 用a n s y s 软件建立三维有限元模型对有初始缺陷的薄膜基底材料屈曲进 行计算，分析薄膜基底材料参数、初始形状等对薄膜屈曲力学行为的影响，对 直线型屈曲与平面有限元程序进行比较，并对屈曲后的变化趋势进行分析，对薄 膜屈曲力学行为进行深入的研究； 6 对全文的研究工作进行简要的回顾与总结，并提出进一步工作的设想。 天津大学硕士学位论文 薄膜屈曲力学行为的有限元研究 第二章薄膜屈曲的有限元研究进展 2 1 薄膜屈曲通用的概念及其力学意义 通常考虑的薄膜屈曲( b u c k l e ) 是指材料受到压缩载荷导致的一种破坏模式， 特征表现为垂直于载荷方向上大幅度的离面位移。 薄膜屈曲包含各种具体形态：直线型褶皱( s t r a i g h t - - s i d e dw r i n k l e ) 、圆形屈 曲( c i r c u l a rb l i s t e ro rb u b b l e ) 和电话线型屈曲( t e l e p h o n ec o r db u c k l e ) 。但是称 谓并不完全统一，如删h u t c h i n s o n 2 5 】曾经用泡( b l i s t e r ) 替代屈曲，指代所有类 型的屈曲。在al e e1 2 9 】的文章中，脱层( d e l a m i n a t i o n ) 也具有和屈曲相同的意 义。在研究某一具体形态时，屈曲的具体模式和通用称谓可以换用，如褶皱 ( w r i n k l e ) 和屈曲( gp a r r y 【4 1 ) 。又如m wm o o n 【2 6 】用e u l e rm o d e 替代直线型褶 皱。 溅射沉积( s p u t t e r i n gd e p o s i t i o n ) 形成的膜层表面通常受到高残余压应力的 作用，膜层容易脱层并产生屈曲，形成各种表面形态，如直线型褶皱、泡状屈曲 和电话线型屈曲。残余应力在金属基底上的陶瓷膜和聚合物上的金属膜上尤为明 显。这种材料界面的韧性较低容易受到屈曲导致的脱层的影响。 通常厚基底的热膨胀系数大于膜层，当基底与膜层热扩展系数的差值 口。一口，= a a o 时，热扩展不匹配( t h e r m a le x p a n s i o nm i s m a t c h ) 导致的残余 应力公式残余应力为1 ： 吒= 口。= c r o = e a a a t ( 1 一v ) “ 图2 8 薮荷路径与不同的平衡状卷( 线犁、圆池犁、电1 日线犁) 的单儿能景关系斟 f 为找抽的七景纲化处理e k 为睢儿的融变能 图中，在每个载荷状卷下，麻变能的最小值即为平衡状态。 最后得到单无在外加载荷作用情况下，得到直线型、圆泡型、电话线型屈曲 的图例。 图2 - 9 ，r 板经过两条不h 晌载荷路径雇后形成电1 线状屈曲 由于能量释放率和界面韧性都会随着裂纹模式的变化而变化t 所以需要在打 展判据两边都消去裂纹模态混台比例的影响，因此对引致能量释放率和韧性炳青 都除以( 1 + t a n2 ( 1 一a ) p ) 。由此定义模态调整的能量释放率( m o d e a d j u s t e de n e r g y r e l e a s er a t e ) f ：g 圳+ t a l l 2 ( 1 一 ) ) 只有当f 大干韧性一。叫届曲才i 以杉 展，奠中一1 1 是与裂纹模式无关的常数。 天津大学硕士学位论文 薄膜屈曲力学行为的有限己研究 2 3 原始缺陷的影响 j wh u t c h i n s o n 6 1 分析了原始缺陷对屈曲的影响，并在理论上阐述了膜与基 底界面上的波动型缺陷( u n d u l a t i o n ) 对于屈曲作用的机制。如图所示 图2 一1 0 内部缺陷对薄膜屈曲影响示意图 推导出w n = 二( 1 + c o s 竺竺) g 一( 引岛) 。 2 厶 波动缺陷可以在裂纹成核阶段引起垂直于膜层表面的拉应力，因此微裂纹 ( f l a w s ) 聚集起来形成宏观裂纹。在这个成核阶段，能量释放率从g 僦开始下 降。下降过程中，如果能量释放率等于界面断裂韧性，裂纹就不再扩展。当裂纹 对应屈曲阈值尺寸时，能量释放率对应g 。i n o 一旦g 。i 。值超过界面断裂韧性时， 裂纹界面就开始屈曲，裂纹进入扩展阶段能量释放率就会增长。但是屈曲是否会 在膜下迅速扩展导致失稳，也受到韧性变化的制约。此外他用数值模拟逼进的方 法定量推导了不同尺寸缺陷对于能量释放率的影响，而所谓裂纹大小是以裂纹尺 寸与屈曲阈值尺寸的比较作为划分标准。局部缺陷是指波动缺陷的宽度远小于屈 曲阈值尺寸的缺陷，其尺度的测量出于面内尺寸的角度。 m wm o o n 2 8 】从实验上研究了基底材料与薄膜交界面上原始缺陷对于屈曲 初始阶段的影响。提出了一种通过表面三维形貌推断界面上原始缺陷的方法。大 量的波动型缺陷按照其平面尺寸分成亚临界、稳定态和超临界三类。尺寸较小的 亚临界缺陷的离子束截面图像，验证了薄膜仍结合在基底上。而形成电话线型屈 曲的超临界缺陷的截面图像体现出界面的脱层。 m wm o o nt 2 0 l 琊r 究了平板印刷技术( 1 i t h o g r a p h i ct e c h n i q u e s ) 对于基底的影 响。在沉积膜层之前局部印刷基底上界面会使得交界面结合力较低，从而导致这 天津大学硕士学位论文薄膜屈曲力学行为的有限冗研究 一区域的膜层易于屈曲。当然这种局部低结合力也可以看作是一种j 。义缺陷，其 尺寸比上面提到的原始缺陷大得多。研究表明不同宽度的带状区域会导致不同的 屈曲模态，窄时为直线型褶皱，宽时则以电话线型为主。 2 4 柔性基底的分析 一种降低膜层残余压应力的方法是在外膜层与基底之间增加一层低粘性的 膜层，因此形成某种“柔性基底”。例如k dh o b a r t 【2 2 】研究中闻的一层异性外延膜 层，对于外表半导体涂层在退火过程中的屈曲的影响。在对膜层屈曲泡状屈曲的 局部有限元分析时，传统的研究方法是假定局部基底材料刚性，刚性的局部基底 上膜层可以看作边缘受载荷。这种模型可以在v o l lk a r m a n 的平板理论框架内得到 解释，由此得到膜层屈曲的阈值应力和屈曲的几何参数。例如gp a r r y 【3s j 用a f m 观测并使用基于刚性基底模型的有限元方法解释了直线型褶皱向其他屈曲模式 转变的后屈曲过程。 另外也有人专注于基底的作用，在bc o t t e r e l lp 2 】的探索之后，对于基底的柔 性的研究成为近年来的热点。通常其他对于泡状的局部屈曲分析中都认为基底是 刚性的( 只分析泡状屈曲所在的区域，而不是整体受载试件) 。h hy u1 2 3 】在计 算直线型屈曲扩展前端的能量释放率时，考虑了基底的弹性变形。其结论为当基 底的弹性模量小于膜层时，特别是聚合物基底上的金属膜或者陶瓷膜，基底的韧 性对于膜层屈曲应力和界面脱层裂纹的能量释放率有重要影响：即基底越有柔 性，脱层开始时的屈曲宽度就越小，屈曲阈值也更小，这意味着脱层更容易。另 一方面基底的变形会部分释放结合膜层的弹性应变能，因此较大柔性基底界面上 脱层裂纹的扩展就会增大能量释放率。这种能量释放率差异的例子如：bc o t t e r e l l 【3 2 】计算的一种基底柔性是膜层6 0 倍的材料脱层时所释放的能量为3 2 3 6 ，朋2 ， 这与刚性基底的计算结果5 j m 2 有显著差距。 刚性基底计算直线型褶皱的结果是：在脱层区域载荷方向应力等于阈值应 力，而膜与基底的结合部的应力等于外载的远场应力，即在裂纹尖端存在应力突 变。gp a r r y 3 8 】使用有限元模型分析膜与弹性基底的相互作用，分析了基底的柔 性对于后屈曲的影响。因此计算区域选择试件的纵向截面，而且宽度远大于褶皱 脱层区域范围。因为纳米尺度的膜层厚度对于基底可以忽略不计，所以对膜层使 用一维二节点壳单元，对基底使用三角型单元。计算结构表明：膜层的屈曲绝非 局限于其脱层区域，相反屈曲在仍结合的交界面处也有扩展。gp a 丌yp 8 j 模拟了 不同的基底和膜层材料下，泡状屈曲的高度随远场载荷应力的变化图，可以看到 柔性基底显著降低了屈曲的阈值应力。另外在相同的外部载荷下，柔性的基底上 天津大学硕士学位论文薄膜屈曲力学行为的有限厄研究 的膜层离面位移显著大于刚性基底的情况。 2 5 本章小结 本节简要概述了薄膜屈曲以及屈曲后过程的有限元研究进展，对薄膜屈曲的 概念，三种主要的屈曲形式( 直线型、圆泡型、电话线型) 的有限元分析，初始 缺陷和基底材料对屈曲的影响进行了简要阐述。由于薄膜的屈曲是微纳米机电系 统器件的主要破坏形式之一，因此用有限元方法分析薄膜屈曲问题具有一定的价 值和意义。 天津大学硕j | 学位论文薄膜屈曲力学行为的有限元研究 第三章屈曲问题的有限元基本理论 在薄膜的屈曲分析中，薄膜的临界状态被认为是有限变形状态，为正确地 揭示变形过程中的变形规律，必须采用非线性力学理论进行描述。因此，薄膜屈 曲问题属于小应变、大位移的几何非线性问题。 3 1 物体变形的物质描述 物体发牛大变形时，必须考虑前后构形的变化。为确定物体初始构形中点的 位置，通常引入拉格朗f j ( l a g r a n g e ) x 坐标o x l x 2 x ，( 亦称为物质坐标系) 【3 3 】。初始 构形中任意一点x 位置由物质坐标x ，( 江1 ，2 ，3 ) 确定。为确定物体在现时构形中 的位置，引入欧拉( e u l e r ) 坐标系o x l x 2 x 3 ( 或称为空问坐标系) 【3 3 1 。现时构形中任意 一点的位置由空间坐标五( f _ 1 ，2 ，3 ) 确定。用物质坐标x i 作为自变量来描述物体 的变形和运动时，称为拉格朗日方法，用空间坐标x i 作为自变量的描述方法称为 欧拉方法，这两种坐标系和描述方法是建立度量张量和研究大变形的前提和基 础。 在固体力学中常采用拉格朗日描述。为度量物体的运动和变形，需要选取一 个特定的构形作为初始参考构形。不失一般性，可以取t = 0 时刻或未变形形态的 构形作为参考构形。在选定一个固定的空间坐标系后，运动物体中的每一质点的 空间位置可以用初始时刻t 。= 0 ，质点的物质坐标，( f = l ，2 ，3 ) 和时间变量，来表 示，即质点的运动可以用下列方程表示： 薯= ( x 1 ，x 2 ，x 3 ，f ) ( 待l ，2 ，3 ) ( 3 1 ) 如果已知物体内所有质点方程，就可以完全了解物体的运动和变形。图( 3 1 ) 所示 为采用参考构形与现时构形相同坐标架下表示的初始形态与变形形态物体的构 形。 矿 图3 1 初始态与变形态物体的构形 天津大学硕i ：学位论文薄膜屈曲力学行为的有限元研究 3 2 应变的描述 物体变形中，一个质点邻域内的相对变形的描述很重要，这就是应变度量的 问题，在小变形中的应变度量在几何大变形中已经不能适用，在经典的几何非线 性理论中应变的表达主要有格林( g r e e n ) 应变和阿耳曼西( d l m a n s i ) ) - 立变【3 5 】。 考虑变形前物体内任意一质点p 与邻域内的另外两质点尸。和p 。，它们分别 构成无限小物体线元p p 和p p 。，并且分别用矢量d x 和t y x 表示。变形后，在t 时 刻，线元艘。和即。分别移到q q 和q q 。，此两线元矢量变为出和以，如图( 3 2 ) 所示。 图3 - 2 变形前和变形后物体内线元 由即和p p 构成的物质三角形在现时构形和初始构形之间的差别可用两矢 量标积之差来表示： d x 7 6 x 一必7 1 础= 研7 ( f 7 f 一，) j x = 2 科7 e 6 x( 3 - 2 ) 式中上标丁表示转置，为单位矩阵。如将( 3 2 ) 写成分量形式为： d x k s x i 一妈万置= 2 e o d d ( f y x ： ( 3 - 3 ) 物质三角形在现时构形和初始构形之问的差别还可以表示成： d x r 8 x 一栅7 。万x = d x 7 ( ，一( f 7 f ) 。l 陪= 2 d x 7 e 8 戈 ( 3 - 4 ) 其分量形式为： 出t 6 x t 一赵k 6 x t = 2 e o d x j d x ： ( 3 - 5 、) ( 3 7 ) 式和( 3 9 ) 式中的e 和e 为无因次的量： e = 去( f 7 f i ) ( 3 - 6 ) 、， 、 p = 寻( ，一( 尸7 f ) 1 ) ( 3 - 7 ) 式中e 和e 为二阶对称张量，分别是基于初始构形描述的应变张量和基于现时构 形描述的应变张量。e 称为格林应变张量，e 称为阿耳曼西应变张量。 由( 3 6 ) 式，e 和e 的分量可以表示为： 天津大学硕士学位论文 薄膜屈曲力学行为的有限元研究 毛2 烈簧每一刮( 3 - 8 ， 吗1 ( 6 一一等筹j p 9 ， 由图( 3 1 ) ，初始构形与现时构形之间的关系可用位移“表示，其分量形式为： x i ( x ，f ) = x i + “， ( 3 一l o ) 置( x ，f ) = _ 一z f ， ( 3 - 1 1 ) 相应的变形梯度可以写成： 蠹= 蠹岛( 3 - 1 2 ) - t = o 仃 a xj为xj 、 娑：磊一挈( 3 - 1 3 ) 由此格林应变张量和阿耳曼西应变张量可以写成： 易= 圭【善+ 毒+ 簧薏j ( 3 - 1 4 ， 乞：三f 塑+ 堕一亟盟i ( 3 - 1 5 ) 铲j l 蠢+ 磊一蔷茜j j5 ) 在计算格林应变时，被看作是x j 的函数，即未变形的初始构形内质点位 置一的函数，在计算阿耳曼西应变时，“，被看作是变形后的现时构形位置_ 的 函数。 如果是小变形问题，即满足下列条件时， 盟代1 ，盟“1 a x j瓠j 格林应变和阿耳曼西应变退化为柯西( 白材c 砂) 应变3 6 1 ： 瞄中圭眵+ 剖p ：三f 垫+ 盟j 21 苏，j 3 3 应力的描述 有限变形的应力度量有多种形式，主要有欧拉( e u l e r ) 应力、拉格朗日 ( 上铅阳馏j 册) 应力和基尔霍夫( 尉砌厅d ) 应力【3 7 】。 天津大学硕：f ：学位论文 薄膜屈曲力学行为的有限元研究 3 3 1 欧拉应力 欧拉应力是定义在现时构形的每单位面积上的接触力，它是与变形相关 的真实应力。考虑物体在时刻f 的现时构形内的一个有向面元n i z m ，在该面元两 侧的介质通过面元的相互作用为力元z ，这个力元除以面积就定义了该面元上 的应力矢量。 f 峙l i m 丝：堡( 3 - 17 ) m - o 鲋谢 如果这个面元与另外的三个垂直于坐标轴的面元嚣? d 4 1 ，终；心和摊? 戤构成一 个四面体，如图( 3 3 ) 所示，那么根据这个四面体的平衡条件可以证明面元n i d a 上 的应力矢量f ! ”) 可用其它三个面上的应力矢量表示。 设 ，p = t 。，。) = 气2 ，) = 以3 ( k = 1 ，2 ，3 ) ，则有： 节= z - o n f 姬= 玎，谢 ( 3 1 8 ) 这里由垂直于坐标轴的三个面上的应力矢量的九个分量t i 定义的一个张量， 叫做欧拉应力张量。该张量是对称的。 3 3 2 拉格朗e t 应力 图3 3 欧拉应力张量 拉格朗日应力是定义在初始构形上的一种应力张量。类似于( 3 1 8 ) 式，但采 用变形前( 初始) 构形中这个物质面元的面积戤来定义，该应力矢量的定义是： k 蜘 - - ，0 盖5 蠹 ( 3 - 1 9 ) 鲋“l f l “，1 n 其中的力元矢量饵是在变形后构形的面元n f l a 上作用的力元矢量。图( 3 - 4 ) 给出t - 维情况的示意图。在变形前的构形上，面元m 戤与三个垂直坐标轴的 面元构成一个四面体( 变形后这三个面元未必保持垂直) 。这三个面元按照上式定 义的应力分量为： ，i ) = 女1 ，f ：= 2 ，t 3 = 女3 ，( 露：1 ，2 ，3 ) 它们的整体构成一个张量叫做拉格朗日应力张量，也被称为第一皮奥拉一 基尔霍夫( p o i l a k i r c h h o f f ) 应力张量。考察四面体平衡条件可得： 天津大学硕：卜学位论文 薄膜屈曲力学行为的有限元研究 f = 矿哆，够= 扩幽 ( 3 2 0 ) 比较( 3 1 8 ) 式和( 3 2 0 ) 式可得欧拉应力t f 和拉格朗日应力口之间的转换关 系： 。，：do 。x m 。( 3 - 2 1 ) u 嗫j 勺玎1 薏州 ( 3 - 2 2 ) 拉格朗日应力一般不是对称张量，这给某些应用带来了不便。 图3 4 拉格朗日应力的定义 3 4 有限元方程的建立l a g r a n g e 法 3 4 1 位移形式的平衡方程组 以初始构形为参考构形，将初始构形进行有限单元离散，选用固定不动的直角坐 标系。初始构形中单元的几何形状由单元的节点坐标插值得到， x = n x ( 孝，r l ，f ) 以 ( 3 2 3 ) 七= i 式中，x = x l ，x 2 ，x 3 t 为任意物质点的坐标矢量，x k 为第k 个节点的物质坐标， n i ( 善，7 ，f ) 为定义在母单元上的插值形函数。单元中任意一点的位移可以表示为 “= n k ( 考，刁，o u ( 3 - 2 4 ) 膏= j 其中，u = u l ，u 2 ，u 3 t 为任意物质点的位移矢量，是l a g r a n g e 坐标的函数。将( 4 1 ) 和( 3 2 4 ) 统一写成矩阵形式， x = n x 。甜= n d 8 ( 3 2 5 ) 式中，x 。