（概率论与数理统计专业论文）分式布朗运动驱动的随机微分方程.pdf

摘要 摘要 h u r s t 参数在( o ，1 ) 之间的分式布朗运动最早l * t k l o m o g o r o v 研究波动时提出，随 后在其它领域得到广泛应用和发展。特别的，当参数h = 要时，即为一般的布朗 运动，所以对分式布朗运动的研究兴趣也在逐步提高。最重要的一个方面就是对 分式布朗运动所驱动的随机微分方程的研究。 在这篇论文里，基于已有的关于分式布朗运动线性随机微分方程的研究。我 主要用白噪声分析的方法，讨论的是无穷维空间上分式布朗运动驱动的非线性随 机偏微分方程，其中h u r s t 参数h ( 0 ，1 ) 。本文主要用固定点定理和h e r m i t e 变换 证明了分式驱动的非线性随机微分方程m i l d 解的存在性和唯一性问题。同时，其 它形式的由分式白噪声驱动的无穷维随机微分方程可以的到相应推广。 关键词：分式布朗运动 白噪声理论随机微分方程w i c k 积 a b s t r a c t a b s t r a c t f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ( a b b r f b i n ) w i t hh u r s tp a r a m e t e rh ( 0 ，1 ) i sa s t o c h a s t i cp r o c e s so r i g i n a u yi n t r o d u c e db yk o l m o g o r o vi nas t u d yo ft u r b u l e n c e m a n y o t h e ra p p l i c a t i o n sh a v e b e e ns u b s e q u e n t l ys u g g e s t e d f o rt h i sr e a s o n ，a n da l s ob e c a u s e t h i so n e - p a r a m e t e rf a m i l yo fp r o c e s s e sc o n t a i n st h ef u n d a m e n t a lc l a s s i c a lb r o w n i a n m o t i o na sas p e c i a lc a s e ( h = ；) ，t h e r eh a sb e e nag r e a ti n c r e a s ei nt h ei n t e r e s ti n f b ma n dt h er e s e a r c ha c t i v i t yr e l a t e dt oi t a n dv a r i o u ss t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sd r i v e nb yf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nh a v eb e e nr e c e n t l ys t u d i e d i nt h i sp a p e r , w es t u d ys t o c h a s t i ce v o l u t i o ne q u a t i o n sd r i v e nb yf r a c t i o n a lb r o w - n i a nm o t i o nw i t ha r b i t r a r yh u r s tp a r a m e t e ri ni n f i n i t ed i m e n s i o n w ee s t a b l i s ht h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fam i l ds o l u t i o nf o ran o n l i n e a re q u a t i o nw i t hf b mb yu s i n g f i x e dp o i n ta r g u m e n ta n dh e r m i t et r a n s f o r mi na l la p p r o p r i a t ei n d u c t i v el i m i ts p a c e t h i sr e s u l ti sa p p l i e dt os t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp e r t u r b e db yaf r a c t i o n a lw h i t e n o i s e k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n w h i t en o i s et h e o r yw i c kp r o d u c t s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：弓午斗 易奇艿年厂月f7 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：写玺幸 7 _ , 0 0 3 年i - 月f - e l c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ac e n t e r e dg a u s s i a np r o c e s sb 日= 硭，t o ii sc a l l e df r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n ( f b m ) o fh u r s tp a r a m e t e r 日( 0 ，1 ) i fi th a st h ec o v a r i a n c ef u n c t i o n r 日( 芒，s ) = e ( b h b h ) = 丢( s 2 日+ t 2 h _ l t s 1 2 日) ( 1 1 ) f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nh a st h e f o l l o w i n gs e l f - s i m i l a rp r o p e r t y ：f o ra n yc o n - s t a n ta 0 ，t h ep r o c e s s a 片b 鬈，t 0 a n d 0a n dt 0 , t h e r ee x i s t sa n o n n e g a t i v e r a n d o mv a r i a b l eq ，rs u c ht h a te ( i q ，r i p ) 0 i fh = ；，t h ec o v a r i a n c ec a nb ew f i t t e na s 冗 = t as ，a n dt h ep r o c e s sb ni sa s t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n h e n c e ，i nt h i sc a s et h ei n c r e m e n t so ft h e p r o c e s si nd i s j o i n t i n t e r v a l sa r ei n d e p e n d e n t h o w e v e r , f o rh ，t h ei n c r e m e n t sa r en o ti n d e p e n d e n t c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n s e t = b 磬一b 墨1 ，n 之1 t h e n _ k ，n 1 ) i sag u a s s i a ns t a t i o n a r y s e q u e n c ew i t hc o v a r i a n c ef u n c t i o n j d 日( n ) = 去( ( n + 1 ) 2 日+ ( 佗一1 ) 2 日一2 n 2 日) ( 1 4 ) t h i si m p l i e st h a tt w oi n c r e m e n t so ft h ef o r m 碟一距1a n d 碹n 一磷州a r e p o s i t i v e l yc o r r e l a t e d ( i e p n ( n ) o ) i fh a n dt h e ya r en e g a t i v e l yc o r r e l a t e d ( i - e p n ( n ) o ) i f 日 t h es t a t i o n a r ys e q u e n c e e x h i b i t sl o n gr a n g ed e p e n d e n c e ， t h a t i s 仃l 。i m 日( 2 日p h 一( n 1 ) ) 矛= 1 ( 1 5 ) a n d ，a sac o n s e q u e n c e ，器1 p h ( n ) = 。o i nt h ec a s eh w eh a v e i p n ( n ) l ( 1 6 ) o n ec a l ls h o wt h a taf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nb i sas e m i m a r t i n g a l ei fa n d o n l yi fh = ，w h e r ei nt h i sc a s ei t i sas t a n d a r db r o w n i a nm o t i o n t h e r e f o r et h e c l a s s i c a ls t o c h a s t i cc a l c u l u sc a nn o tb ea p p l i e d o n et h eo t h e rh a n d ，i tt u r r l so u tt h a t a ne f f i c i e n tw h i t en o i s et h e o r yc a l lb ec o n s t r u c t e d t h i sw a sd o n eb yb e n d e r 2 】a n d e l l i o ta n dv a nd e rh o c k 【3 】d e a l i n gw i t hp r o b l e m sr e l a t e dt ot h ec o n s t r u c t i o no ft h e f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o na n di t sr e s p e c t i v es t o c h a s t i cc a l c u l u su n d e rt h ef r a m e w o r k o ft h ew h i t en o i s ea n a l y s i s b a s e do nt h el i n d s t o r m sr e p r e s e n t a t i o n ( s e e 4 ) ，e l l i o ta n d v a nd e rh o e kd e v e l o p e daf r a c t i o n a lw h i t en o i s et h e o r yu n d e rt h ew h i t en o i s em e a s u r e pf o ra n yh ( 0 ，1 ) p r o v i d i n gas i m p l ew i e n e rc h a o sd e c o m p o s i t i o nf o r t h ef r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n a tt h es a m et i m e ，b e n d e ra l s oc o n s t r u c t e dac o n s i s t e n tf r a c t i o n a l w h i t en o i s et h e o r yb a s e do nt h em a n d e r b r o tv a nn e s sr e p r e s e n t a t i o n ( s e e 【5 】) o t h e r a p p r o a c h e sc a na l s ob ec o n s i d e r e di no r d e rt oc o n s t r u c tas t o c h a s t i cc a l c u l u sf o rt h e f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ( s e ea m o n go t h e r sf e y e la n dd el ap r a d e u e1 6 ，a l o sa n d 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n n u a l a r t 【7 】，c a r m o n ae ta 1 【8 】，o rz h a l e 9 】) 1 2s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nd r i v e nb yf r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n an a t u r a le x t e n s i o no ft h e s ep r o b l e m si st os t u d ys t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sd r i v e nb yaf r a c t i o n a lw h i t en o i s e l i n e a rs t o c h a s t i ce v o l u t i o ne q u a t i o n s w i t ha d d i t i v en o i s ed r i v e nb yac y l i n d r i c a lf r a c t i o n a lb r o w r t i a nm o t i o nw e r es t u d i e d b y d u n c a n 1 0 a n dt i d e l 【11 】i nt h es k o r o h o ds e n s e h u 【12 d e a lw i t hal i n e a rh e a te q u a t i o no n 0 ，) 础w i t ha d d i t i v ef r a c t i o n a l w h i t en o i s eo fa r b i t r a r yh u r s tp a r a m e t e r 日= ( h o ，h i ，h a ) ( 0 ，1 ) d h u 【1 3 】 s t u d i e dal i n e a rh e a te q u a t i o nw i t hm u l t i p l i c a t i v ef r a c t i o n a lw h i t en o i s ef o r 吾 h 1 a n o t h e re x t e n s i o ni st os t u d ys t o c h a s t i ce q u a t i o ni ni n f i n i t ed i m e n s i o nd r i v e nb y af r a c t i o n a ln o i s eu n d e rt h ef r a m e w o r ko ft h ew h i t en o i s ea n a l y s i s m a s a y o s h i 【1 4 】 s t u d i e dt h ef o l l o w i n gs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 掣= 似+ f x ( t ) + b x ( t ) w 日( t ) ( 1 7 ) o nt h es p a c eo fa b s t r a c ts t o c h a s t i cd i s t r i b u t i o n s h e r ea t h eg e n e r a t o ro fa6 0 一s e m i g r o u p ， fi sal i p s c h i t zf u n c t i o n ，bab o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r , ot h ew i c kp r o d u c t ，a n dw 日( 亡) i st h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lf r a c t i o n a lw h i t en o i s e t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oe x p a n dt h i se q u a n o n w es t u d yt h ef o l l o w i n g s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 百a x ( t ) = 似( t ) + ( t ) + x 眈( 亡) 。w u ( t ) ( 1 8 ) h e r eai st h es a m ea sa b o v ea n dci sac o n s t a n t x 眈( 亡) i sx ( t ) x ( 亡) b yt a k i n g a d v a n t a g eo ft h ew o r k so fm a s a y o s h i 1 4 】a n db e n d e r 【2 】，w ee s t a b l i s he x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f ( 1 8 ) f o ra n y 日( 0 ，1 ) t h er e s u l to ft h i sp a p e ra l l o w so n et os o l v e e q u a t i o nf o ra n yh ( 0 ，1 ) a n dd 1o nt h ek o n d r a t i e vs p a c e sb yu s i n gh e r m i t e t r a n s f o r m sa n df i x e dp o m a r g u m e n t 3 c h a p t e r2w h i t en o i s et h e o r ya n df r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ni ni n f i n i t ed i m e n s i o n c h a p t e r2 w h i t en o i s et h e o r ya n df r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o ni ni n f i n i t ed i m e n s i o n 2 1w l l i t en o i s et h e o r y w eb e g i nb yr e c a l l i n gt h es t a n d a r ds e t u pf o r t h ec l a s s i c a lw h i t en o i s ep r o b a b i l i t y s p a c e ( s e e ，f o re x a m p l e ，h i d ae ta 1 【1 5 ，k u o 【1 6 ，h o l d e ne ta 1 【1 7 】，m a n d e l b r o te t a 1 1 8 1o ra a s ee la 1 1 9 f o rm o r ed e t a i l s ) d e f i n i t i o n2 1l e ts ( r ) d e n o t et h es c h w a r t zs p a c eo fr a p i d l yd e c r e a s i n gs m o o t hf u n c t i o n so nra n dl e tq ：= s 7 ( r ) b ei t sd u a l ，u s u a l l yc a l l e dt h es p a c eo ft e m p e r e dd i s t r i b u t i o n s l e tpb et h ep r o b a b i l i t ym e a s u r eo nt h e 仃一a l g e b r ao ft h eb o r e l s e t s 召( s ( 瓞) ) d e f i n e db yt h ep r o p e r t yt h a t 厶、e x p ( i ( w ，) ) 咖( u ) = e x p ( 一砉i i ，| i 至。( r ) ) ， ( 2 1 ) j s 7 f r ) 二 。 w h e r e ( u ，f ) = u ( ，) i st h ea c t i o no f u ( r ) o nf 假) t h e nm e a s u r e 肛i s c a l l e dt h ew h i t en o i s ep r o b a b i l i t yi t l e a s u r e i nt h ef o l l o w i n gw el e t k ( z ) = ( 一1 ) n e x 2 2d 杀( e 一害) ，n = o ，1 ，2 ， ( 2 2 ) d e n o t et h eh e r m i t ep o l y n o m i a l sa n dw el e t 厶= 7 r 一 ( ( 佗一1 ) ! ) n 一1 ( 、乞叠) e 一譬，佗：0 ，1 ，2 ，( 2 3 ) b et h eh e r m i t ef u n c t i o n s f r o mt h a n g a v e l u 2 0 ， 岛) 黯1c o n s t i t u t e sa l lo r t h o n o r m a l b a s i sf o r 二2 ) w ew i l ld e n o t eb yat h es e to fa l ls e q u e n c e sa = ( a l ，a 2 ，) ，a i n ，s u c ht h a ta l l t h et e r m s ，e x c e p taf i n i t en u m b e ro ft h e m , v a n i s h f o ra aw ed e f i n et h eg e n e r a l i z e d h e r m i t ep o l y n o m i n a lg o ( x ) ，z r ，b y h a ( x ) = h a ；( 孔) ( 2 4 ) i = 1 4 c h a p t e r2w h i t en o i s et h e o r ya n d f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ni ni n f i n i t ed i m e n s i o n = 一一一 t h ea b o v ep r o d u c ti sw e l ld e f i n e db e c a u s eh o ( x 1 = 1a n da i 20o n l yf o raf i n i t e n u m b e ro fi n d i c e s f r o mt h ep r o p o s i t i o no fn u a l a r t 【1 】，w ek n o wt h a t 九= 妇k ( ( u ，劬) ：= 佰凰， ( 2 5 ) i = 1 w h e r eu s ( r ) ， 矗) 县1r r ea sd e f i n e db e f o r e ， 九，a a ) i sc o m p l e t eo r t h o n o r m a l s y s t e mi nl 2 ( p ) l e te = l 2 o ，1 1 ，w ek n o wi ti sar e a ls e p a r a b l eh i l b e r ts p a c e i t so r t h o n o r m a l b a s i si s e 乱= 、厚s i n ( n z r x ) 震= 1 w ew r i t el 2 ( p ，e ) f o rt h es p a c eo ft h es q u a r e i n t e g r a b l ef u n c t i o n si nt h eb o c h n e r s e n s e s i n c e 吼) 口ai sa no r t h o g o n a lb a s i so fl 2 ( p ) ，i tf o l l o w st h a t h o e d 口e a ，i e ni s a l lo r t h o g o n a lb a s i so fl 2 ( p ，e ) w i t ht h ef o l l o w i n gh i l b e r t i a no r t h o g o n a ls u m 二2 ( p ，e ) = o 巩圆e i ， ( 2 6 ) i = 1 w h e r e 矾i st h ec l o s e dl i n e a rs p a no f t h es e t 鼠，a a k ，w h e r ea k = o a ，i a l = 后) a n di a i = 墨1 a i w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft h eh i d as p a c eo fs t o c h a s t i ct e s tf u n c t i o n s 嬲f o l - l o w s d e f i n i t i o n2 21 ) h i d as p a c e $ ) i so fs t o c h a s t i ct e s tf u n c t i o n st ob ea l l 妒l 2 ( p ) w h o s ee x p a n s i o n 矽( u ) = c 口也( u ) ( 2 7 ) a e a s a t i s l i e s a ! ( 2 n ) 梳 o o a e a f o r a l lk = 1 ，2 ，3 ，w h e r e ( 2 n ) = ( 2 1 ) r 1 ( 2 - 2 ) 他( 2 - m ) ，i f r = ( r 1 ，r 2 ，) a 2 ) h i d as p a c ep ) i so fs t o c h a s t i ct e s tf u n c t i o n st ob es e to ff o r m a le x p a n s i o n s g ( u ) = k 凰( u ) ， ( 2 8 ) 6 a 5 c h a p t e r2w h i t en o i s et h e o r ya n df r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ni ni n f i n i t ed i m e n s i o n s u c ht h a t 磋q ! ( 2 n ) 一 o o b 6 a f o rs o m eg 0 0 i nt h ef o l l o w i n gw ec o n s t r u c tt h ek o n d r a t i e vs p a c e si ni n f i n i t ed i m e n s i o na sm a s a y o s h i i n 缸o d u c e di n 【1 4 1 d e f i n i t i o n2 31 ) f o rp 0 ，1 】，a n dg n ，w ed e f i n es ( e ) p qa st h es p a c eo ff u n c t i o n s s u c ht h a t ，= 口a c 0 凰l 2 ( p ，e ) 刘；，口：= 口a i 1 2 ( o ! ) 1 + p ( 2 n ) 钾 o o ( 2 9 ) 2 ) f o rp 0 ，1 ，a n dg n ，w ed e f i n es ( e ) _ p ，一口a st h es p a c eo ff o r m a le x p a n s i o n si n e s u c ht h a t d e f i n e 1 1 1 e 1 1 w e h a v e f = a a 凰 e l i 2 _ p ，一g ：= 口a i j c d i l 2 ( 口! ) 1 _ p ( 2 n ) 一叼 。 o 。o o s ( e ) p = ns ( e ) p ，七，s ( e ) 一p = us ( e ) 一p ，一七 k = l k = l s ( e ) ics ( e ) pcs ( e ) ocl 2 ( p ；e ) cs ( e ) 一ocs ( e ) 一pcs ( e ) 一1 2 2 i n t e g r a t i o no f f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ( 2 1 0 ) s i n c ef b mi sn o ta m a r t i n g a l ee v e nn o tas e m i m a r t i n g a l e ，i ti so fi n t e r e s tt od e v e l o p as t o c h a s t i cc a l c u l u sf o rf b m i f ； 日 1 ，t h ei n t e g r a lw i t hr e s p e c tt of b mc a nb e d e f i n e dp a t h w i s e ( w i t h a sap a r a m e t e r ) ，a sf o l l o w s ： 6 ，( 亡，叫) 6 b 日( 句：= i l 蚓i m 。 f ( t k ，) ( b 日( t k + 1 ) 一b n ( t k ) ) ( 2 11 ) 6 c h a p t e r2w h i t en o i s et h e o r ya n df r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ni ni n f i n i t ed i m e n s i o n t h i sf o l l o w sf r o ma g e n e r a lt h e o r yo fi n t e g r a t i o nw i t hr e s p e c tt op r o c e s s e do fz e r o q u a d r a t i cv a r i a t i o n ，o r i g i n a l l yd u et oy o u n g 2 1 1 h o w e v e r , w h e na p p l i e dt of i n a n c e t h i st y p eo fi n t e g r a t i o nl e a d st oa r b i t r a g e f o r 互1 日 1 a l la l t e r n a t i v ei n t e g r a t i o nt h e o r yb a s e do nt h ew i c k p r o d u c to w a s i n t r o d u c e db yd u n c a n 【2 2 ，a sf o l l o w s ： 上f ( t ，u ) d b h ( 吼2 蚓l i m 。莓m 洲) ( 舻) - b m ) ( 2 1 2 ) w ec a l lt h i sf r a c t i o n a li t oi n t e g r a l ，b e c a u s et h i si n t e g r a ls h a r e sm a n yo ft h ep r o p e r - t i e so ft h ec l a s s i c a li t oi n t e g r a l i np a r t i c u l a r , i nc o n t r a s tt ot h ep a t h w i s ei n t e g r a l ( 2 11 ) w e h a v e e f ( t ，w ) d b 日( 亡) 】= 0 ( 2 1 3 ) ，r i nh ua n do k s e n d a l 【2 3 】t h i sf r a c t i o n a li t oc a l c u l u sw a se x t e n d e dt oaw h i t en o i s e c a l c u l u sf o rf b ma n da p p l i e dt of i n a n c e ，s t i l lf o rt h ec a s e 互1 日 1o n l y t h e ni n e l l i o t ta n dv a nd e rh o e k 3 】t h i st h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o nt of i n a n c ew e r ee x t e n d e dt o b ev a l i df o ra l lv a l u e so fh ( 0 ，1 ) w en o wr e v i e w b r i e f l yt h ea p p r o a c ho fe l l i o t ta n d v a nd e rh o e k 【3 】 f i xh ( 0 ，1 ) t h em a i ni d e ai st or e l a t et h ef b mb 日( t ) w i t hh u r s tp a r a m e t e rh ( 0 ，1 ) t o c l a s s i c a lb r o w n i a nm o t i o nb ( t ) v i at h ef o l l o w i n go p e r a t o rm d e f i n i t i o n2 4t h eo p e r a t o rm = 订( 日) i sd e f i n e do nf u n c t i o n sf s ( r ) b y 斫( 可) = 排一日氕可) ，y r ， ( 2 1 4 ) w h e r ef ( y ) d e n o t et h ef o u r i e rt r a n s f o r mo f ，( 可) f o rh = w eh a v e f o r0 日 w eh a v e m f ( x ) = ，( z ) m f ( 曲地t 监名h 型班， 亡g 一 7 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) c h a p t e r2w h i t en o i s et h e o r ya n d f r a c t i o n a lb r o w n a nm o t i o ni ni n f i n i t ed i m e n s i o n c n = 2 r ( h 一互1 ) c d s ( 丢( 日一三) ) 】- 1 r ( 2 h + 1 ) s 讥( 丌日) p a n dfd e n o t e st h er f u n c t i o n f o r 互1 h 1 w eh a v e 瑚垆铅上品出 ( 2 1 7 ) t h e nw ec o n s i d e rt h es p a c et h a to p e r a t o rmd e f i n e do n 己备( r ) ：= ，：酞_ r ；m y ( x ) l 2 ( r ) ) = _ f ：r r ；i i f i i l ( r ) ) ， w h e r ej i f l i l 备 k ) = i i m 州l ：( r ) t h ei n n e rp r o d u c to nt h i ss p a c ei s ( ，9 ) l 备( r ) = ( m ，m g ) l z ( r ) ( 2 1 8 ) i np a r t i c u l a r , t h ei n d i c a t o rf u n c t i o n 如，胡( ) i se a s i l ys e e nt ob e l o n gt h i ss p a c e ，f o r f i x e d t r a n d w ew r i t e m 1 0 ，t j ( x ) = m 0 ，司( z ) n o t et h a ti ff ，g l 2 ( r ) nl 2 h ( r ) ，t h e n t h e nw ed e f i n e ( ，m g ) l 2 ( r )( ，m g ) l z ( r ) i v l 埘氕! ，) 烈可) 匆 ，r ( m g ，) l ：( r ) = ( m g ，f ) l 2 ( i o ( 2 1 9 ) 否日( 亡) ：= 台日( ，u ) = ( 叫，m 五o ，t j ( ) ) ( 2 2 0 ) t h e n 台日( 亡) i sg u a s s i a n ，百日( o ) = e 百日( 亡) 】= 0f o ra l lt r ，a n d e 百日( t ) 百日( s ) 】= m o ，s l ( x ) m o ，t ( x ) d x i ，r 8 c h a p t e r2 w h i t en o i s et h e o r ya n df r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ni ni n f i n i t ed i m e n s i o n = m 0 ，s ( 秒) m o ，t ( y ) d y ，r = 川1 - 2 h 萄稻( y ) d y ，r = 去 2 日+ 1 8 1 2 日一i s t 1 2 1 1 1 e r e f d r e t h ec o n t i n u o u sv e r s i o nb n ( t ) o fb 日( t ) i sf b m f