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第一章 复数与复变函数第一章 复数与复变函数 1.1 习题 1.1 习题 2设 12 ,., n z zz是任意 n 个复数，证明： 11 | nn kk kk zz = ，并给出不等式中等号成立 的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是 12 ,., n z zz线性相关）. 3证明： 1 (reim)reim. 2 zzzzz+ 证明： 设zaib=+， 则reza=，im zb=， 22 |zab=+.由题2知，zabiab+=+ 故 2222 2222 22 2 ()| 22222 abaabbab abab abz + + =+=， 即有 1 (reim)reim. 2 zzzzz+ 4若 12 |,0zz=，证明： 2 1212 |zzzz=. 证明：不妨设 22 2 2121 0.zzzz= 则 22 22 212122121112 zzzz zzz zzzzz= 即有 2 1212 |zzzz=成立. 5设|a|1，证明：若|z|=1，则1 1 za az = . 证明：由1z =得1zz = 故11zazazzzazaz= 即证之. 6设|a|1，|z|1.证明：1 1 za az . p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 证明：提示： （1 1 za az 2222 |2re|12re| | ;zazaazaz+） 7设 12 ,., n z zz， 12 ,., n 是任意 2n 个复数，证明复数形式的 lagrange 等式： 2 22 2 1111 ()(), nnn kj jjjjjk jjjj k n zzzz = =+ + 12 (0,1),(1),() 1 k zzz k =+= + . 6 图 1.5 是三个边长为 1 的正方形，证明： 2 aodbodcod +=. e a b c od 解：以 o 为原点，od 为 x 轴，oe 为 y 轴，建立坐标系.设 123 ,oaz obz ocz = 则 123 1,2,3zi zi zi= +=+=+， 从而 1 23 arg()arg(1)(2)(3)arg(10 )z z ziiii=+= . p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 因为 i 是单位向量，它的辐角为 2 ，即 2 aodbodcod +=. 10证明： 222 2 121212 2(| ),zzzzzz+=+并说明等式的几何意义. 证明： 222222 121211 2211 22 |2re|2re|zzzzzz zzzz zz+=+ 22 12 2(| )zz=+ 几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和. 11设 1,.,n zz是单位圆周（以原点为中心、半径为 1 的圆周） 上的 n 个点，如果 1,.,n zz是 正 n 边形的 n 个顶点，证明： 1 n k k z = =0. 证明：记 12 . n zzzc =+，设该正 n 边形的一个圆心角为，0，则 2 ad=， 原式 2 222 0()()a zza za zadazazaz+=+=+= 即证之. 1.31.3 习题习题 1. 证明：在复数的球面表示下，z 和 1 z 的球面像关于复平面对称. p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 证明：设zxiy=+其球面对应的坐标为 2 123 222 1 , 1(1)1 z zzzz xxx zizz + = + . 而 1 z 球面像对应的坐标为 1122 2 11 11 1 1 zzzz zz xx z z z + + = + + + , 22 2 22 11 1(1) (1) (1) zzzz zz xx iz iz i z = + + + , 2 2 2 33 222 1 1 1 1 11 1 1 z z z xx z z z = + + + , 从而有 112233 ,xx xx xx= ，故z和 1 z 的球面像关于复平面对称. 2. 证明：在复数的球面表示下，z和的球面像是直径对点当且仅当 z=-1. 证明：设zxiy=+，由1z = 得 11 , zz = = ， 由于z对应的球面像为 2 123 222 1 , 1(1)1 z zzzz xxx zizz + = + ， 对应的球面像为 123 ,xxx，计算可得： 11,2233 ,xx xxxx= = = ， 故 z 和的球面像是直径对点. 由球面表示的几何意义知，, z 位于通过竖坐标轴的平面与 xoy 平面交点上，从而, z 必与原点共线，则,0z = ，由 33 xx=，易知1 =. 3. 证明：在复数的球面表示下, c中的点 z 和的球面像间的距离为 ()() 22 2 11 z zw + . 证明：设z和w的球面像的坐标为() 123 ,x xx和() 123 ,xxx， p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 则()()()() 222 1122331 12233 22xxxxxxx xx xx x+=+， 112233 x xx xx x+ ()() ()()()() ()() 22 2 2 11 11 zzzzz z + = + ()() ()() 222 2 2 112 11 zz z + = + 故 ()()()() 222 112233 ,d zxxxxxx =+ () ()() 1 12233 2 2 2 22 11 z x xx xx x z =+= + 4. 证明：在复数的球面表示下，若 ab cd 是二阶酉方阵，则 c的变换 w= azb czd + + 诱导 了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证 () ()() 2 2 2 , 11 zw z wc d z w zw = + ，一定有(), azb awb dd z w czd cwd + = + . 而 ()() 2 2 2222 22 ()det 11 ab azbawb zw czdcwdcd azbczdawbcwdazbawb czdcwd + + = + + + ， 由 ab cd 是二阶酉方阵知， ()() 22 2 det1,11|1, 11 abacabzz azbczdzzz cdcd bd =+=+ 类似的有 22 2 |1,awbcwdw+=+故 原式= ()() ()()()() 2 2 222 2 1111 adbczwzw zwzz = + ， p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 故(), azb awb dd z w czd cwd + = + 成立，从而诱导变换是一个等距. 又等距变换的行列式是 ab cd 的连续函数且只取1两个值，而二阶酉方阵全体是连通的， 从而行列式为常数. 取 ab cd = 10 01 ，此时诱导变换是恒等变换，行列式为 1，故此常数为 1，从而此等距 变换为旋转. 1.41.4 习题习题 1. 设 0 (,0z ，0 n z ，nn .证明：复数列 n z收敛到 0 z的充要条件是 0 lim n n zz =和 0 limargarg n n zz =. 证明：因为 00 (,0,0, . .argzstz +， 由不等式 0000 | argarg nn zzzzzzz+即得充分性 由不等式 00 | n zzzz 及 0 000 argarg |2| sin 2 n n zz zzzzz + 并注意 0 argarg 222 n zz +，可得必要性. 2. 设zxiy=+c, ,证明：()lim 1cossin n x n z exiy n +=+ . （提示：分开证明实部与虚部收敛即可.） 1.51.5 习题习题 2 设 e c是非空点集，, z wc.证明：()(),d z edez成立，而 ()()(),d z eded ze不成立. 证明：,e 有 ( , )inf | | | e d z ezzzz =+|( ,) |d z ez， 取下确界得 ( ,)inf |( ,) | e ded z ez =，即( ,)( ,) |d z edez（1） 同样可得( ,)( ,) |ded z ez（2） p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 因此由（1） （2）可得结论成立. 反例：令1,2,1ez=.则( ,)d z e=1，( ,)de=0，(,)d ze=0 3. 指出下列点集的内部、边界、闭包和导集： (i) n=k: k为自然数； 解：内部：空集；边界：n；闭包：n=k: k为自然数；导集：空集. (ii) e= 1 k : k 为自然数： 解：内部：空集；边界：e 0；闭包：e= e 0；导集：0. (iii) d=b(1,1) ( 1,1)b; 解：内部：d=b(1,1) ( 1,1)b; 边界：:|1| 1dzz=c或|1| 1z +=； 闭包：:|1| 1dzz=c或|1| 1z +； 导集： :|1| 1dzz=c或|1| 1z +； (iv) g=z c: 12z; 解：内部：:1 | 2 o gzz= (ii) ()() 12 1 0,., n nk k d fdfz zzfb zd = 对任意 存在 中的点使得并且 ()() 1 , n k k db zdd fd = . 证明： （1）由定理 1.5.6 可得 （2）(, ), k b z成立( ,)( ,)(,)( ,) | kk d fdddd zdddz，即 n 1 (, ),)inf( ,)( ,) k k db zdddd fd = = 1.6 习题 1.6 习题 1.满足下列条件的点 z 所组成的点集是什么？如果是域， 说明它是单连通域还是多连通域？ （i）re1;z = 实部是 1 的直线， 不是域 (ii) im5z ; 虚部小于-5 的开平面， 单连通域 (iii) 5;zizi += 椭圆曲线 不是域 (iv) 2;zii 闭圆盘 单连通域 (v) ()arg1; 6 z = 半射线 不是域 (vi) 1 1,im; 2 zz 开弓形 单连通域 (vii) 1 2; 1 z z + 圆盘外无界闭区域 (viii) 0arg. 4 zi zi ， 对 d 上任意的 1,2 z z，只要 12 2 ,zz有() 12 f zz证明： )(i若( ( ) ( ),0 f z fzz z =c，则 arg ( ); iz f zze )(ii若()( ) ( )f zf z f=，(,0zc,()0,且 (1) ,f=则 arg ( ) iz f zze 证明：(i) 要证 arg ( ) iz f zze =，即证 log ( ) z f ze= () log ( )0 z f z e =,及(1)1f= log ( )| zi argz f zeze =. (ii) ()( )( )zf zf z f=令1 =得( )( )zf zf z= 即 ( ) ( ) f z fz z = 14.证明: )(i cos()coscossinsin;zzz+= )(ii sin()sincoscossin;zzz+=+ p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 证明:(i) cos()sin()ziz+ ()i z e + = ()cos cossin sinsincoscos sinzzizz=+ (1 ) 在上式中以z，代入，得 cos()sin()ziz+ ()cos cossin sinsin coscos sinzzizz=+ （2） (1)+(2)得 cos()cos cossin sinzzz+= (1)(2)得 sin()sin coscos sinzzz+=+ 19.证明: sinz =将半条形域:re,im0 22 zzz 一一地映为上半平面. 证明: sincos()cos() 22 zzz =令 2 uz =, 则coswu=是由指数,(re0,im0), iu zeuu= 与 rokovsky函数 11 (), (0,1) 0 ,0), 2z zzbargz=+的复合. 故sinwz=将半条形区域:re,im0 22 zzz 一一映成上半平面. 20.证明(0,1)b是 2 ( ) (1) z f z z = 的单叶性域,并求出( (0,1)f b. 证明: 1 2 1212 2 12 1 ( )()() (1)(1) z z f zf zzz zz = 给出f的单叶性 0z 时, 11 2 ( ) z f zz =+由 rokovsky函数的性质易得 1 ( (0,1)(, 4 f b= 21.当z按逆时针方向沿圆周:2zz =旋转一圈后,计算下列函数辐角的增量: (iii) 1 2 4 (23) ;zz+ (iv) 1 2 1 1 z z + . 解: (iii) 1 2 4 (23)zz+ 1 4 (3) (1)zz=+ 3在圆周| 2z =外,1 在圆周| z =内 所以当z按逆时针方向沿圆周旋转一圈后, 辐角的增量为 2 p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 (iv) 1 1 1 2 2 2 2 1(1)(1)1 (1)(1) 1|1|1| zzz zz zzz + =+ + 1z = 均在圆周| 2z =内,所以辐角的增量为 0. 22.设 1 ( ),01. (1) p p z f zp z =bcad. 充分性：对0,1,z =都有( ) zr,从而将实轴映为实轴, 又 im( )0iadbc=,故将上半平面映为上半平面. 4.试求把单位圆盘的外部1:zz 映为右半平面:re0 的分式线性变换,使得 (i)1,- i,- 1 分别变为 i,0,- i; (ii)- i,i,1 分别变为 i,0,- i. 解:(i)( ) zi t z zi + = (ii)( ) (2)21 zi t z i zi = + 10.设( ) azb t z czd + = + 是一个分式线性变换,如果记 a c 1 b d = ,那么 1( ) z tz z + = + . 证明: a c 1 b d = d c b a = ( ) azb t z czd + = + ( )( )czt zdt zazb+=+ 1( ) bdzz tz czaz + = + 从而证得 1( ) z tz z + = + . 11.设 11 11 1 )( dc ba zt + + =,=)( 2 zt 22 22 dc ba + + 是两个分式线性变换,如果记 p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 1 1 a c 1 1 b d 2 2 a c 2 2 b d = a c b d 那么 12 ()( ) azb ttz czd + = + o. 证明: 12 ()( )ttzo= 121 21 212 121 21 212 a a zabbc zbd c a zcbd c zd d + + 又q 1 1 a c 1 1 b d 2 2 a c 2 2 b d = a c b d 121 2 1 212 1 212 a abca a bbdc c bd dd += += += 121 21 212 121 21 212 a a zabbc zbdazb c a zcbd c zd dczd + = + 从而 12 ()( ) azb ttz czd + = + o. 12.设是过- 1 和 1 的圆周,z和w都不在圆周上.如果, 1=zw那么z和w必分别于的内部 或外部. 证明:由圆的对称性知的圆心必然在虚轴上，设圆周与虚轴交个交点为 12 zz，. 又由平面几何知识知 12 | | 1zz=,从而 2 1 1 z z =. 设z在内部，则z位于走向 1， 1 z,- 1 的左边,因此分式线性变换 1 (x)t x =，将 1 ( ) z t z=映 为走向 1 (1)( )( 1)tt zt ，即 1， 2 z，- 1 的左边. 注意( )t =，走向 1， 2 z，- 1 的左边即的外部，故 1 z 在外部. 15.求一单叶全纯映射,把除去线段i+1 , 0的第一象限映为上半平面. 提示: 先作变换 4 1 zz =,再作4 12 += zz,最后作变换 23 zz =可得. 16. 求一单叶全纯映射,把半条形域:re,im0 22 zzz 映为上半平面,且把 2 ,0 , 2 分别映为 1,- 1,0. 提示: 先作变换 1 ziz= ,再作 1 2 z ez =,) 1 ( 2 1 , 3 3423 z zzizz+=. p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 即 11 () 2 iz iz wie ie =+ 17.求一单叶全纯映射,把除去线段hiaa+,的条形域:0im1zz映为条形域 :0im1ww,其中,a 是实数, 01h0 使得当 rr0时，有 2 ( ) ( ) p z z m q z 因此 2 | | | | ( )( )2 |0() (z)( )|z| zrzrzr p zp zmm dzzdzr qq zr = = 所以 ( ) lim0 ( ) r p z dz q z = 6.设 f 1( ), c d是域 d 中分别以 a 和 b 为起点和终点的可求长曲线.证明： ( )( ) ( )( ) z f zf z dzdzf bf a z += z)1f ), 2 ff idzdxidy zxy =+ （ （ )1 ), 2 f zff idzdxidy zxy =+= （ （ ( )( )11 ()()()() 22 f zf zffff dzdzidxidyidxdy zxyxyz ff dxdydf xy +=+ =+= 故 ( )( ) ( )( ) f zf z dzdzdff bf a zz += 8.设是域 d 中以 a 为起点，以 b 为终点的可求长曲线，f,g 1 ()().h dcd证明分部积 分公式： f( )( )( ) ( )|z). b a z g z dzf z g zfdz = （ p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )|b a f z g z dzfz g z dzfz g zf z g z dzf z g zdzf z g z +=+= 故( ) ( )( ) ( )|( ) ( ) b a f z g z dzf z g zfz g z dz = 9.设是正向可求简单曲线，证明：内部的面积为 1 2i r zdz . 证明：由公式得 r zdz = z (dz d dz z ）=- d dzdz =-()(i d dxidydxidy+ dd ）= 2 dxdy= 2ida =2ia 所以 a= 1 2i r zdz 11.设f在 z0处连续，证明： （i） 2 00 r0 0 1 lim()z 2 i f zredf += （ ）； (ii) 0 0 0 0| r 1( ) lim() 2 r z z f z dzf z izz = = . 证明：(i) 22 0000 00 11 ()(| ()(|d 22 ii f zredf zf zref z + ） 0 0 | sup |( )()|0(0 ) z zr f zf zr + = 所以 2 00 r0 0 1 lim()() 2 i f zredf z += . (ii) 0 2 0 0| r0 1( )1 () 22 i z z f z dzf zred izz = =+ 故 0 0 r0 0| 1( ) lim() 2 z zr f z dzf z izz = = 12.设 d= 00 z:arg()(02 ),zaa+ + 22 |z| 2| | 2| | 2 11 2ai2 zzz azaza eee dzdzdz zazaiaizai = = + = 112 i 22sin 2ai2 aiai i ei ea aia = 2.设f在:|zrz p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 证明：设 ,rrr 利用cauchy积分公式得 | | | | | dz2( ) zrzr zr a f ziaf z dzdz z = = = （ ） |z| 1 |( )| r zf za dz r = | | 2sup|( )|0() zr zf zar = 4.设0,rr f 由cauchy积分公式得 | | | 1( )1( ) 2 i2 zrz f zf z dzdz ziz = = 即 22 00 11 ()() 22 ii f redfed = ，令0 ，则有 2 0 1 ()(0) 2 i f redf = (ii) 2 |z| 1 ( ) r r f z dxdy = r2 2 00 1 () r i dfed （1） 利用（i）得 2 0 ()2(0) i fedf = （2） 由（1）和（2）式得 2 | | 1 (0)( ) zr ff z dxdy r = 5.设 u 是 b(0,r)中的调和函数，0.rr证明： 2 0 1 u(0)=(). 2 i u red 证明：单连通域上的调和函数是某个全纯函数f的实部：reuf= 22 00 11 (0)()0re(0)() 22 ii ff redufu red = （ ） 6.设01.r 故 12 ( )()f zf z，这表明f是d上的单叶函数. 3.43.4 习题习题 1 计算下列积分： （1） 2 | | 1 sin 1 z z dz z = p d f 文件使用 p d f f a c t o r y p r o 试用版本创建 解： 2 | | 1|1| 11 sin1sinsin 2sin1 1111 zzz zzz dzdzii zzzz = = = + (2) 2 | | 2 ; 1 z dz z = + 解： 2 | | 2| | 2 111 0 12 zz dz dz zizizi = = + (4) 22 3 | | 2 ; (1)(4) z dz zz = + 解：与第二题类似，答案为 0. (6) | | () () n zr dz zazb = ,n 为正整数，ab 不在圆周|z|=r 上. 解：原式 0, 2 () 2 () 0,. n n a b i a ba i a ba a b = 均在圆外. 在圆外，b在圆内. 在圆内，b在圆外. 均在圆内 3.设 d 是由有限条可求长简单闭曲线围成的域， 1,n zz,是 d 中 n 个彼此不同的点.如果 ()()fh dc di ，证明： ( )( )1( ) ( ) 2( ) nn nd zf p zd iz = 是次数不超过 n- 1 的多 项式，并且 1 ()(),1,2,.( )()( - ) kknn p zf zknzzzz z=， 其中，. （提示：证明 ( )( ) nn z z 是 z 的次数不超过 n- 1 的多项式.） 证明：由于 1 ( )() n zzz= n (z-