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部传厚：工业过程噪声的混沌特征研究 摘要 本文针对控制领域中许多经典的理论难以成功应用的事实，指出其主要原因 在于噪声处理问题上，诸如之类的控制理论和方法包括k a l m a n 滤波、最小二乘 辨识、多元统计分析、神经网络等。上述这些理论和方法基本上都是建立在白噪 声的假设基础之上，至多扩展到平稳随机过程。然而，白噪声只是数学上的理想 模型，在实际工业过程中并不存在，这样的假设偏离实际太多而无法在实践中得 到成功应用。因此，需探索新的机理去研究工业过程噪声而不是总是遵循白噪声 的假设。由于，非线性动力学的研究表明，许多看起来貌似随机的过程往往并不 是随机的而是混沌的，因此本文提出从混沌的角度研究工业过程噪声。 本文以扬子石化p t a 氧化反应工段中的脱水塔内采集到的温度信号为原始 数据，基于以下两个假设，即( 1 ) 工业过程噪声具有零均值；( 2 ) 有效信号是 慢变信号而噪声信号是快变信号，利用原始信号去除多点平均值的方法提取工业 过程噪声。随后，利用相空间重构技术和g p 算法，计算表征工业过程噪声具 有混沌行为的特征指标一关联维数，由此来确定其混沌性。结果表明，工业过 程噪声是一个高维确定性的混沌系统而不是随机系统，更不是白噪声；同时又得 出了描述工业过程噪声状态变化所需变量的个数。 本文的研究有助于实现工业过程噪声的预测与建模，从而突破传统参数辨 识、k a l m a n 滤波、多元统计分析及神经网络等技术要求工业过程噪声为白噪声 的严格限制，有望提出新的滤波及辨识算法。这将大大推动这些经典理论与方法 的工业应用，缩小控制理论研究与工业应用之间的鸿沟。另外，根据混沌辨识时 得出的嵌入维数，还可估计出产生噪声的噪声源个数，为建立捕述工业过程噪声 的确定性方程提供参考。 关键词：工业过程噪声；混沌；相空间重构；时间序列；关联维数 浙江大学博士后研究工作报告 a b s t r a c t t h em a i nr e a s o nt h a tm a n yc l a s s i c a lc o n t r o lt h e o r i e sa r ei n c a p a b l eo fb e i n g a p p l i e dt op r a c t i c es u c e s s f u l l yi s t h ew r o n gm e a n st od e a lw i t hn o i s e c a n d i d a t e e x a m p l e si n c u l d ek a l m a nf i l t e r , l e a s t - s q u a r ei d e n t i f i c a t i o n , m u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a l a n a l y s i s , n e u r a l n e te t c t h e s ea b o v e - m e n t i o n e dt h e o r i e sa n dm e t h o d sw o r kb a s e do n t h ea s s u m p t i o no f w h i t en o i s eo rs t a t i o n a r yr a n d o mp r o c e s sa tm o s lh o w e v e r , s i n c e w h t i en o i s e 西j u s ta ni d e a lm o d e l 胁m a t h e m a t i c sa n de x i s t sh a r d l yi ni n d u s t r i a l p r o c e s s , s u c ha s s u m p t i o n i st o ou t o p i a nt ob ea p p l i e dt op r a c t i c es u c c e s s f u l l y t h e r e f o r e , i ti sn e c e s s a r y t o e x p l o r ef l e wm e c h a n i s mt oe x p l a i nt h en o i s ef r o m i n d u s t r i a lp r o c e s s n f i p ) b u tn o tf o l l o w i n gt h ea s s u m p t i o no fw h i t en o i s ea l w a y s b e c a u s et h er e s e a r c ho nn o n l i n e a rd y n a m i c si n d i c a t e st h a tm a n y p h e n o m e n aw h i c h a p p e a rt ob er a n d o ma r en o tr a n d o mi n h e r e n t l yb u tc h a o t 缸, nm o t i v a t e su s 雷 i n v e s t i g a t en f i p f r o mt h e p o i n to f v i e wo f c h a o s i nt h i s r e p o r t , t h n es e r i e s d a t ao ft e m p e r a t u r e a c t u a l l yo b s e r v e df r o m d e h y d r a t i o n t o w e rw i t h i nt h eo x i d a t i o np r o c e d u r eo fp r o d u c i n gp t a ( p u r i f i e d t e r e p h t h a l i ca c i s ) i ny a n g z ip e t r o c h e m i c a ll t d i st o k e na st h eo r i g i n a ls a m p l e t h e n , w ea d o p tas i m p l ea p p r o a c ht h a tt h em e a nv a l u eo fs u c c e s s i v em u l t i - p o i n t s 括三- s u b t r a c t e df r o mo r i g i n a ld a t at oe x t r a c tn o i s e , b a s e do nt h ef o l l o w i n gt w o a s s u m p t i o n s ：( 1 ) t h en f i p 缸z e r o - m e a n ；( 2 ) t h ee f f e c t i v es i g n a l 缸s l o w - v a r y i n gw h i l e t h en f i pi s f a s t - v i ，r y i n g a f t e r w a r d s , c o r r e l a t i o nd i m e n s i o na sa ni n d i c a t o ro f c h a o s i se s t i m a t e du s i n gt h et e c h n i q u eo f p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o na n d g - pa l g o r i t h m t h er e s u l t ss h o wt h a tt h en f i pi sh i g hd i m e n s i o n a lc h a o t i cs y s t e mb u tn o tr a n d o m s y s t e m , a n ds a y i n gn o t h i n go fw h i t en o i s e i na d d i t i o n , t h en u m b e ro fd e g r e e so f f r e e d o mn e e d e d t om o d e lt h ed y n a m i c so f t h en f i pi so b t a i n e d t h i sr e p o r t p r e s e n t s a w a y t o w a r d s d i r e c t s o l v i n g t h e p r e d i c t i o n a n d m o d e l i n g o f t h en f l p , w h i c hw i l lb r e a kt h er i g o r o u sl i m i t a t i o no f w h i l i n o i s en e e d e db yc l a s s i c a l p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n , k a l m a nf i l t e r , m u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a la n a l y s i sa n dn e u r a l n e te t c a sar e s u l tas e r i e so f c h a n g e so f t r a d i t i o n a la l g o r i t h m s 历c o n t r o l f i e l dw i l l t a k ep l a c e 胁t h ef u t u r e t h i sw i l ls p e e dt h es u c c e s s f u la p p l i c a t i o no ft r a d i t i o n a l m 。堡笪里! 三些塾堡堡苎塑堡塑量笙里塑 c o n t r o lt h e o r i e st oi n d u s t r i a lp r a c t i c e i na d d i t i o nt h en u m b e ro fv a r i a b l e sa st h e s o u r c e st og e n e r a t et h en f 玎1m a yb ee s t i m a t e da c c o r d i n gt ot h ee m b e d d i n g d i m e n s i o n , w h i c hw i l lp r e s e n tar e f e r e n c et oc o n s t r u c tad y n a m i c a le q u a t i o no f t h e n f l p k e y w o r d s ：n o i s ef r o mi n d u s t r i a lp r o c e s s , c h a o s ；p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n ；t i m e s e r 洒；c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n 浙江大学博士后研究工作报告 第一章绪论 众所周知，上世纪6 0 年代初形成的现代控制理论，在航空、航天等领域都 取得了辉煌的成果。利用状态空间法分析和设计系统，提高了人们对被控对象的 洞察能力，提供了在更高层次上设计控制系统的手段。然而，随着工业应用的不 断深化，人们很快发现，到目前能在工业实际中得到普遍应用的控制理论只有 p i d 控制，许多完美的理论和控制实践之间存在着巨大的鸿沟。这主要表现在以 下几个方面( 席裕耿，1 9 9 3 ) ： ( 1 ) 在工业过程中，难以建立描述对象的精确数学模型以满足现代控制理 论的需要； ( 2 ) 实际对象的结构、参数和环境的不确定性，使得按照理想模型得到的 最优控制在实际中往往不是最优的。因此，在工业环境中，不能单纯地追求理想 的最优性，而应考虑系统鲁棒性； ( 3 ) 工业控制手段的经济性要求控制算法必须简单以满足实时性的要求。 这些来自实际的原因，阻碍了现代控制理论在工业过程中的有效应用，也向 控制理论提出了新的挑战。近年来，人们发现这种挑战变得越发严峻，控制理论 研究与工业应用之间的鸿沟有扩大的趋势( 钱积新，2 0 0 5 ) 。 理论上，像参数辨识、滤波以及神经网络等技术都已有一套完整的、系统的 解决办法，但实际上，至少在工业过程中几乎很少有成功的应用。究其原因主要 是在噪声处理问题上。上述理论与方法在处理噪声时无一不是基于白噪声的假 定，至多扩展到平稳随机过程。而实际上，在工业过程中几乎没有这种单纯的白 噪声，致使算法不收敛或偏差很大而无法在线应用。这些情况在仿真实验及现场 应用中都得到了证实。同时，基于白噪声的假设几乎成为多元统计分析的基础， 因此多元统计分析中的主元分析、偏最小二乘等方法在过程工业中也难以取得满 意的效果。理论上的严格假设造成了与工业应用之间的脱节，这己成为多个研究 领域的理论成果成功应用的瓶颈，所以研究工业过程噪声的建模就成为突破这一 瓶颈的关键问题。 工业过程噪声通常是指干扰工业过程测量信号，如温度、压力、流量、液位 等的扰动。在控制领域，为了数学处理的方便，常常将工业过程噪声假设为白噪 郜传厚；工业过程噪声的混沌特征研究 声，而白噪声过程是一种最简单的随机过程，它是一种均值为零、谱密度为非零 常数的平稳随机过程；或者说它是由一系列不相关的随机变量组成的一种理想化 随机过程。这样理想化的假设，在工业实际中并不可行，使得许多控制理论成果， 如k a m a n 滤波、神经网络、主元分析、偏最t j , - 乘法等，在控制实践中难以得 到成功的应用。为了缩小白噪声假设所带来的误差，很多研究者利用实测数据估 计白噪声协方差，而不是假设其在整个控制过程中为常数，形成的方法有贝叶斯 法( a l s p a c h , 1 9 7 4 ；h i l b o m & l a i n i o t i s ，1 9 6 9 ) ，最大似然法( b o h l i n , 1 9 7 6 ；k a s h y a p ， 1 9 7 0 ) 、协方差匹配法( m y e r s & t a p l e y ，1 9 7 6 ) 以及关联法( b 6 1 a n g e r , 1 9 7 4 ；c a r e w b d l a n g e r1 9 7 3 ；m e h r a , 1 9 7 0 ，1 9 7 2 ；o d e l s o n ，r a j a m a n i & r a w l i n g s ，2 0 0 6 ) 。这些方法 在不同的时期都曾起到了一定的作用，但是，并没有从根本上解决问题，仍然无 法满足实际控制的需要。因此当前的任务应当是探测工业过程噪声的本质行为而 不是总是遵循白噪声的假设。自然界存在着四种类型的噪声机理：白噪声、l f f 噪声、热噪声、g r 噪声( m o t c h e n b a c h e r & c o n n e l l y 。1 9 9 3 ) 。探测工业过程噪声 究竟属于何种噪声或是否存在着其它类型的噪声机理是一个很有意义的课题。 近年来，人们对噪声的关注日益增长，表现在电力( a m a u d & g a r l o s m o n t o r o ， 2 0 0 4 ；m i d d l e t o n , 1 9 9 9 ；s u n g ，k a n g & k i m , 2 0 0 3 ) 、交通( m a r t i n & h o t h e r s a l l ，2 0 0 2 ； r i n g h e i m 1 9 9 6 ；t h o r s s o n & o g r e n , 2 0 0 5 ；v a n l e e u w e r l 2 0 0 0 ) 、1 f 噪声( d a v i d s e n & s c h u s t e r ，2 0 0 2 ；g i l d e i l t h o r n t o n & m a l i o n ，1 9 9 5 ；j e n s e n , 1 9 9 0 ；k a u l a k y s & m e s k a u s k a s ，1 9 9 8 ；t i m a l d i ，2 0 0 4 ) ，还有从环境( h o d g s o n , 1 9 9 8 ；o l i v e i r a , p e r e i r a & f e r r e i r a e ta l ，2 0 0 5 ) 、声学( b a i & l e e ，1 9 9 8 ；m a k a r e w i c z , 1 9 9 9 ) 、人类听觉 ( e l e f t h e f i o u ，2 0 0 2 ；e m m e r i c h , r i c h t e r & l i n s s ，e ta 1 ，2 0 0 5 ；e m m e d c h ，r i c h t e r & r e i n h o l d ，e ta 1 。2 0 0 0 ；s l i w i n s k a - k o w a l s k a & j e d l i n s k a , 1 9 9 8 ) 等方面研究工业噪 声，其主要目的是预测噪声影响、评价降噪需要和估计降噪措施影响等。然而很 少有注意力去研究工业过程噪声的机理、预测和建模。通常在处理工业过程噪声 时，多是将其假设为随机的甚至是白噪声。但实际上，许多貌似随机的现象本质 上并不是随机的而是混沌的，而且白噪声的假设造成了大量的理论成果难以成功 应用，所有这些都促使我们从混沌的角度来研究工业过程噪声。 混沌是由l o r e n z 首次发现的( l o r e n z , 1 9 6 3 ) ，它是耗散系统中存在的一种貌 似随机的不规则现象，具有对初值极端敏感性和系统长期行为不可预测性( k a n t z 浙江大学博士后研究工作报告 & s c h r e i b e r , 2 0 0 1 ) 。通常用分维、l y a p u n o v 指数、k o l m o g o r o v 熵等特性指标来 表征系统是否具有混沌性，如果系统的分维为有限的分数值，最大l y a p u n o v 指 数大于零或k o l m o g o r o v 熵为大于零的有限值，那么系统就具有混沌性。自然界 中，很多领域都存在着混沌现象，如物理领域、化学领域、生物领域甚至社会领 域等。之所以从混沌角度研究工业过程噪声是因为混沌系统行为可进行短期预 测，而随机系统既不能进行短期预测也不能进行长期预测。 本文尝试探测工业过程噪声的混沌特性，其内容安排大致如下：第二章简述 噪声的估计方法；第三章介绍混沌系统判别方法；第四章利用相空间重构及g p 算法研究工业过程噪声的混沌特性：第五章总结本文得出的结论并指出将来的研 究方向。 郜传厚：工业过程噪声的混沌特征研究 第二章噪声估计方法 现代控制论中，常常用状态空间模型对系统进行数学描述，其具体形式为 d x ( ) 出= f ( x ( 咖( 伽+ g ( x ( 删，( ) 1 “r ) = 日( x ( r ) ，) + v ( ，) 、7 式中x ( t ) 吼”、u ( t ) 锨7 、y ( t ) 孵”分别表示系统的状态、输入和输出， ( f ) 卯、 v ( t ) 倪”分别表示系统的过程噪声和测量噪声，函数，( ) 、g ( ) 和h ( ) 关于x ( t ) 即可以是线性的也可以是非线性的。 考虑系统( 2 1 ) 为线性定常的情况，其离散化形式为 x ( 竞+ 1 ) = 4 x ( 七) + b u ( k ) + g w ( k ) j ，( 七) = c x ( k ) + v ( _ i ) k a l m a n 基于以下两个假设 ( 2 2 ) 【假设l 】似f ) 和v ( f ) 是带零均值、方差阵分别为色、冠的独立白噪声： e w ( t ) = 0 ，e v ( t ) = o ，e w ( t ) v 7 ( 朋= o , v t ，_ ， e w ( t ) w t ( j ) = q 3 0 ，e 【v ( f ) ，( ，) 】= r 瓯 ( 2 3 ) 屯= 航二 其中e 为数学期望。 【假设2 】初始状态x ( o ) 与过程噪声w ( t ) 和v ( f ) 相互独立，且 e x ( 0 ) = o ，e 【( x ( o ) 一u o ) ( x ( o ) - u o ) 1 】= p o ( 2 4 ) 用一组递推关系式给出了系统状态向量的基于方差最小的无偏估计，称之为 k a l m a n 滤波( k a l m a n ，1 9 6 0 ) ，其结果为 裂(k+lmlk)=)a：yc(kk圳)+ky c ( k 篙k x ( k + 1 ) 似川卜c y c ( k 椰1 ) ) ( 2 5 a ) j ( 后+ l i+ 1 ) =+ l i i ) + 1 ) ( j ( 七+ 1 ) 一+ i 七) ) 、7 其中增益阵k ( k + n 为 k ( j + 1 ) = p ( 后+ 1 l k ) c 7 c p ( k + 1 i k ) c 1 + 冠( 七+ 1 ) 1 。1( 2 5 b ) 误差协方差阵可通过解r i e c a t i 方程求得 浙江大学博士后研究工作报告 p ( 七+ l i 七) = 4 p ( 七m 1 + g 线g 1 ， ( 2 5 c ) y ( k + 1 l k + 1 ) = ( 厶一k ( k + 1 ) c ) e c k + l i 七) 、 初始条件为 i ( o i o ) = 硒，y ( o io ) = 昂( 2 6 ) k a l m a n 滤波因其设计简单且能给出对应条件下系统状态的最优估计，目前已在 通讯系统、航天测控领域，天气预报、多传感器融合等方面得到了广泛的应用。 但在其他许多实际应用问题中，k a l m a n 滤波的精度却非常差，其原因包括( d a u l n ， 2 0 0 5 ) ：( 1 ) 状态方程或测量方程是非线性的；( 2 ) 协方差矩阵为病态的；( 3 ) 描述系统的状态方程不正确或不完整；( 4 ) 噪声为非白噪声。当系统是非线性 时，滤波问题也表现为非线性。解决非线性滤波问题的最优方案需要得到其条件 后验概率的完整描述，然而这种精确的描述需要无尽的参数而无法实际应用，为 此人们提出了大量次优的近似方法，如扩展k a l m a n 滤波( s o r e n s o n , 1 9 8 5 ； u h l m a t m , 1 9 9 2 ) 、u n s c e n t e dk a l m a n 滤波( c r a s s i d i s & m a r l d e y ，2 0 0 3 ) 、粒子滤波 ( g o r d o n ，s a l m o n d & s m i t h , 1 9 9 3 ) 以及非线性滤波( b e n e ，1 9 8 1 ；d a u m ，1 9 8 6 ； d a u m ，1 9 8 8 ) 等：对于第( 3 ) 种原因描述系统的状态方程不正确或不完整，则属 于系统辨识的内容，不在本文考虑之内；当噪声为非白噪声时，则难以应用白噪 声的一些统计特性，如零均值、独立等，因此无法利用k a l m a n 滤波的方法对系 统的状态和测量值进行滤波和预测。实际，即便是白噪声其协方差也难以在整个 过程中保持为常数。近年来，在自适应滤波研究领域，很多研究者利用实测数据 去估计白噪声的协方差，形成的方法有贝叶斯法( a l s p a c h , 1 9 7 4 ；h i l b o m & l a i n i o t i s ，1 9 6 9 ) ，最大似然法( b o h l i n , 1 9 7 6 ；k a s h y a p ，1 9 7 0 ) 、协方差匹配法( m y e r s & t a p l e y ，1 9 7 6 ) 以及关联法( b l a n g e r , 1 9 7 4 ；c a r e wb d a n g e r1 9 7 3 ；m e h r a ，1 9 7 0 ， 1 9 7 2 ；o d e l s o n , r a j a m a n i & r a w l i n g s ，2 0 0 6 ) ，下面分别加以介绍。 2 1 贝叶斯法 参数估计问题是统计学中的经典问题，最常用最有效的方法就是贝叶斯估 计和最大似然估计。这两种方法都是首先假定类条件概率密度的形式已知而参数 未知的情况下，利用现有的样本对参数进行估计。贝叶斯估计把待估计的参数看 成是符合某种先验概率分布的随机变量，而训练样本的作用就是把先验概率转化 为后验概率。 郜传厚：工业过程噪声的混沌特征研究 具体到估计噪声协方差，即在时间k 处，利用已知数据p - 一，儿，肌1 计 算状态吒和噪声协方差线、r 的后验概率p ( ，巩，墨l 一，咒，几) ，为书写方 便，以口代表未知信息吼和r ，由贝叶斯公式知 p ( ，口iy k ) = p ( x ki 盯，y ) p ( 口ly ) ( 2 7 ) 式中p ( 黾，口l 矿) 是以均值为毫* ( 口) ，协方差为最* ( 口) 的高斯分布函数，在指定 噪声协方差的情况下，7 可通过k a l m a n 滤波( 2 5 ) 求得；p ( a ly ) 可由下式计算 p c 盯i y ，5 p c 口i ，。，y “1 ，2 i j 募； ! ：喜糕c 2 s ， 式中p ( 肌i g ，y “1 ) 是均值为瓯* 一。( 口) ，协方差为c 品似) c 7 + 墨的高斯分布函 数；a 表示a 所属的集合( m e h r a , 1 9 7 2 ) 。虽然式( 2 8 ) 可通过任意假定口初始概率 分布p ( a ) 递归计算求得，但在实际应用时，计算这样的概率密度是非常困难的。 为此，a v e r b u c h 等提出多模型方法计算p ( ay ) ( a v e r b u c h , i t z i k o w i t z & k a p o n , 1 9 9 1 ) ，即为 p ( q 2 曩p ( 万y k ic o 丽p ( a , ) 进一步估计系统状态为 = ( c o p ( a ，旷) ( 2 9 b ) 上述( 2 7 卜( 2 9 ) 便是多模型贝叶斯法估计噪声协方差的完整步骤，目前已在 研究火星探测计划时得到了很好的应用( b u r k h a r t & b i s h o p ，1 9 9 6 ) 。 2 2 最大似然估计法 最大似然估计是把待估计的参数看作确定性的量，只是其取值未知，寻找能 最好解释训练样本的那个参数值。最大似然估计方法因其算法容易实现，在实际 中通常得到更多的使用，并且在大样本的情况下，得到的分类器的效果也较好。 在进行状态估计时，有下列三种似然函数可进行最大化( m e h r a , 1 9 7 1 ) ( 1 ) 联合估计一估计耳和口，将p ( ，口f y ) 最大化； 浙江大学博士后研究工作报告 ( 2 ) 边缘估计一估计口，将p ( 嘶i ) 最大化； ( 3 ) 条件估计一估计耳，将p ( 黾i y ) 最大化。 考虑三者中最简单的情况边缘估计，由贝叶斯公式知 p ( 口= p ( y 万k l a ) p ( a ) ( 2 1 0 a ) 其中 p ( y ki 口) = p ( y k - 1 以i 口) = p ( 以ly k - l , a ) p c y i 口) = 一烈ny t t - i , a ) p ( y k ly * - 2 , 口) p ( 见4la ) ( 2 1 0 b ) 为计算方便，取其对数值 l ( a ) = l o g p ( o t l p ) = 一三扣一旺陋c 7 圳- 1 + l o g ( c 霉c 1 + r ，) + l o g p ( 咖c 亿1 1 式中l o g p ( a ) 项，若口的先验概率未给定，则可略去( m e h r a , 1 9 7 2 ) 。噪声协方差 可通过最大化l ( a 1 求得，即满足 口：a r g m 瓤掣( 2 1 2 ) “ o a 2 3 协方差匹配法 协方差匹配法是通过估计余差的协方差来近似噪声协方差的方法( m y e r s & t a p l e y ，1 9 7 6 ) ，以估计观测噪声的协方差为例，可定义余差为 吃；豉一瓴( 2 1 3 ) 由于观测噪声服从正态分布，即为v k n ( r ，r ) ，则由协方差定义可求得r 的无 偏估计为 e = 而1 备n 【噍一f ) ( 唯一；) 7 ( 2 1 4 a ) 式中，为r 的无偏估计 1 7=二nk*l略(214b) 文献( t a p l e y & b o m ，1 9 7 1 ) 曾求得式( 2 1 4 a ) 的数学期望为 郜传厚：工业过程噪声的混沌特征研究 e 晦】= 吉q 露掣+ 置 k f f i l 所以可求得观测噪声的协方差近似值为 豆= e e 】一万1 缶hq 最- - g 7 = j 函1 缶nr 一项。唯一，) t 一与g 豆g 7 ) 同理可求得过程噪声的协方差矩阵为 屯= j 而1 善n 咄一似吼一扩一等 4 瓦4 7 一钆 ) 式中 吼= 毫一以川毫- 1 一忍雌一 牙2 专善吼 陀1 5 ) 位1 6 ) ( 2 1 7 a ) ( 2 1 7 d ) ( 2 1 7 e ) 协方差匹配法在估计噪声协方差矩阵时，用到状态估计值毫以及估计误差 协方差互i 而后者一般是在已知噪声统计特性才可准确求出，因此这种方法得 到结果可能是有偏的( o d e l s o n ，r a j a m a n i & r a w l i n g s ，2 0 0 6 ) ，同时有文献也指出其 结果不一定收敛( l i & b a r - s h a l o m ，1 9 9 4 ) 。 2 4 关联法 关联法最早是由m e h r a 提出的( m e h r a , 1 9 7 0 ；1 9 7 1 ；1 9 7 2 ) ，因其计算方便、可 靠性高，迄今已得到了很大的发展，如b 6 1 a n g e r 改进此法用于处理非静态情况 ( b d a n g e r ，1 9 7 4 ) ：w o j c i k 通过改进将其成功应用于单输入输出系统( w o j c i k , 1 9 9 1 ) ：o d e l s o n 等在研究模型预测控制时，通过改进大大提高了关联法的实用性 能等( o d e l s o n ，r a j a m a n i & r a w l i n g s ，2 0 0 6 ) 。 关联法在处理噪声时仍然假设噪声为具有零均值的白噪声，对于式( 2 1 ) 给出 的线性定常系统，类似于k a l m a n 滤波式( 2 5 a ) ，它给出状态估计式为 搿(k+l州lk)=)a：yc(klk)1+ky c ( k + i 嚣l k ( y ( k + 1 ) q 川旧) ( 2 1 8 ) j ( 七+ lj+ 1 ) = 1 i 】| ) + 1 ) 一c 量( 七+ l l 七) ) 、。7 式中l 增益阵不一定是最优增益阵；并定义输出余差j ，( t + 1 ) 一c f c ( k + l i 七) 为l 新息( o d e l s o n , r a j a m a n i & r a w l i n g s 2 0 0 6 ) 。 浙江大学博士后研究工作报告 田瓦( 2 1 8 ) j 得状态估计误差占( ) 2 x ( 七) 一j ( 七i k - 1 ) 满足下列递归式 砸+ 1 ) = ( a - a l c ) e 岍叫嘲 ( 2 1 9 ) 令2 = ( 4 - a r c ) ，：召二f g ，一舭】，帝惦) = 【似) ，y ( 后) j t 可得l 新息的状态空问模 型为 6 ( k + 1 ) = 盈( 七) + 面( 七) f ( _ i ) ；c e ( k ) + p ( 七) ( 2 2 0 a ) 善( 七) = 灭后) 一c i ( 七j k 1 ) 初始时刻的状态岛满足 利用l 新息的状态空间模型( 2 2 0 ) 及其初始状态( 2 2 1 ) u - - y 得 e ( f ( ) 掌( 七) 7 ) = c p c 7 + 风 e ( 耻) 善( 七+ ，) 7 ) = c 2 j p - c r _ c 2 j 一1 一l r ，j 1 刚，嚣譬 借用k r o n e c k e r 积k r o n e c k e r 和公式及v e c 操作符( b r e w e r , 1 9 7 8 ) a r w p k = a n b a 1 2 b - a l q b a 2 , b a 2 2 b 。a 2 q b ； a p l ba p 2 b a b ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ，a m q 固8 m 。= a 圆lp + b 圆l m q 2 5 a ) v e t ( z ) = z s - = - ( z l t , z 2 t , , ) 7 ，v e e ( a x b ) = ( 口7 圆a ) v e c ( x ) ( 2 2 5 b ) 可将式( 2 2 4 ) 化为 郜传厚：工业过程噪声的混沌特征研究 n c ，= o p - o t + f 暑n u - - t - - 厶u a t 厂7 + p 垒r + 垒墨 妒7 + 垒r q z s 式中 ； 0 = c c a ： c 互“1 厂= 对式( 2 2 6 a ) 进行v e c 操作得 o0 o0 ： co ，p ：厂f 占( 一a 三门 l 产1j 【n ( ) l = ( d 。d ) ( 。一j p 乃一1 + ( ，圆厂) 文| ( g 固g ) ( 幺) 。 + ( d 圆d ) ( ：- a 一固a 一) 一1 + ( 厂固厂) 3 州 ( 4 。4 三) + ( 妒。妒+ o ：) 3 。 ( 噩) s ( 2 2 7 a ) 其中3 。满足 ； ( 垒r ) 。吨肥，。 对于式( 2 2 2 ) 所定义的自协方差， w a t t s ，1 9 6 8 ) ，即 宝，= 南和切7 ( 2 2 7 b ) 在实际中常常根据实测数据进行估计( j e k i n s & 因此可将式( 2 2 7 a ) 写为最小二乘式为 三x = b 其中 ； 三= d ( g 。g ) ， d ( 彳。4 三) + ( p 。p + 乇：。：蟛。，。 ， d = ( d 圆d ) ( ，一彳。两- 1 + ( 厂固厂) 3 。 x = ( 瓯) s t ，( 墨) 。t t 6 = n ( ) 1 。 最后可得噪声协方差的最小二乘估计为 露= 鹕哑n b 一占： 其中 ( 2 2 8 a ) ( 2 2 8 b ) ( 2 2 8 c ) ( 2 2 8 d ) ( 2 2 9 a ) o?：留 浙江大学博士后研究工作报告 舅= ( 免) 。7 ，( 怠) 。7 i ( 2 2 9 b ) 一 ? i z o1l 5 = 疗( ) 。， n ( ) 。= l ；l ( 2 2 9 c ) l 至。1 宝。i 上述介绍的四种估计噪声协方差的方法，均是通过观测值估计噪声的协方 差，较之以前假定噪声协方差是静态的要精确的多了，但它们在估计噪声协方差 时，亦存在着许多不足，如贝叶斯法和最大似然估计法计算非常复杂，难以在有 限的时间内估计出结果，因此这两种方法要达到在线使用还有相当距离，而且最 大似然估计法只适用于过程噪声协方差差阵为对角的情况( o d e l s o n , 2 0 0 3 ) ；协方 差匹配的方法常常给出估计变量的有偏估计，即偏离真实值；关联法估计的协方 差值偏大，同时亦存在着负数的可能( n e e t h l i n g & y o u n g 1 9 7 4 ；o d e l s o n , r a j a m a n i & r a w l i n g s ，2 0 0 6 ) 。除此之外，上述这四种方法均是建立在假定系统的过程噪声 和测量噪声是白噪声的基础之上的，有的更是假定噪声是具有高斯分布的，这仍 然未摆脱白噪声的假设，不符合工业实际中的噪声类型，因此难以在实际中推广 应用。针对上述原因，本文试图从混沌的角度描述工业过程噪声，首先介绍混沌 判定方法。 部传厚：工业过程噪声的混沌特征研究 第三章混沌判定方法 混沌是非线性耗散系统中存在的一种貌似随机的的不规则现象，是非线性确 定系统内在随机性的表现，它具有对初值极端敏感性和系统长期行为不可预测性 ( k a n t z & s c h r e i b e r , 2 0 0 1 ) 。自美国气象学家l o r e n z 在1 9 6 3 年首次发现混沌以来 ( l o r e n z , 1 9 6 3 ) ，混沌现象一直是国内外研究的热点。混沌现象的发现，使人们认 识到客观事物的运动不仅有定常、周期、准周期的运动，不仅有概率的、随机的 运动，而且还有一种混沌运动。混沌是自然界中的一大类现象，比有序更为普遍。 混沌并不是简单的“无序”或“混乱”，而是没有明显的周期和对称，但它却具 备了丰富的内部层次的“有序”状态。混沌的出现在确定论和概率论这两套数学 体系之间建立了由此及彼的桥梁，混沌理论研究的是非线性动力学系统随时间变 化的规律。 通常描述系统动力学行为是否具有混沌性可以采用直接观察状态变量随时 间的变化或观察相空间的轨迹来研究。但对于很复杂的混沌运动，这两种方式有 时难以奏效。因此为了研究复杂的混沌运动，还需要有其它的混沌判定方法，如 p o i n c a r d 映射、分维、l y a p u n o v 指数、k o l m o g o r o v 熵和功率谱等。下面分别加 以描述。 3 1p o i n c a r 6 映射 ： p o i n c a r d 映射是研究动力系统非常有效的手段，它能把甩维连续的动力系统 化成为栉一i 维离散的动力系统。在研究复杂动力系统行为时，在疗维相空间中选 取或许并不平坦的刀一1 维超曲面，即p o i n c a r 6 截面，考察连续的动力学轨道与此 截面相交的一系列交点的变化规律，由此得到关于动力系统运动特征的信息。图 3 1 是p o i n c a r d 映射的示意图。由图可看出，三维空间的轨线以一定的演化方向 与横截面( p o i n c a r 6 截面) 依次相交于a ，b ，c 点，这些离散点形成了一个p o i n c a r - 6 映射 c = p ( b ) = p ( p ( 4 ) ) = p 2 ( 4 ) = ( 3 1 ) 这样，就将原动力系统所决定的随时间的连续运动转变为在p o i n c a r d 截面上的一 个离散的映射。这不仅给研究带来了很大的方便，而且映射还保持了原连续动力 系统的拓扑性质。由于映射到p o i n c a r d 截面上的点相比较原轨道上的所有点而言 浙江大学博士后研究工作报告 大大减少。意味着将研究问题的复杂性大大降低，因此p o i n c a r 6 映射方法广泛地 应用于非线性动力学的研究中。 图3 1p o i n c a r 6 映射示意图 在耗散系统中，不同的运动形式通过p o i n c a r 6 截面时，与截面的交点有不同 的分布特征： ( 1 ) 周期运动在截面上留下有限个离散的点； 卅岬日 1 - 1 图3 2 周期运动的p o i n c a r 6 截面 ( 2 ) 准周期运动在截面上留下一条闭合曲线： 图3 j 准周期运动的p o i n c a r 6 截面 郜传厚；工业过程噪声的混沌特征研究 ( 3 ) 混沌运动在p o i n c a r 6 截面上是沿一条线段或一曲线弧分布的点集，而且 具有自相似结构。 图3 4 混沌运动的p o i n c a r 6 截面 3 2 分维 维数是几何对象的一个重要的特征量，经典的维数概念是指确定物体或几何 图形中任意一点的位置所需要的独立坐标数目。由此可看出，经典的维数必须是 整数。实际客体的维数应视为其存在形式的维数，它与客体所存在的空间的维数 是有区别的。因此，客体的维数有可能是分数的，特别是在分形研究领域，其维 数多半是分数的。分维数可对吸引子的几何特征及吸引子上的轨道随时间的演化 情况进行数量上的描述，是刻画混沌吸引子的一种主要手段。由于自然界中的混 沌吸引子是多种多样的，因此可以用多种形式的分维来描写它们的特征，而且对 于复杂的吸引子必须采用多种维数来描述。分维的定义可表示如下： 定义3 1 分维见满足 ，i n “ d q = l 。i m 。l i r a 者弋i _ 卅2 - - 。o ，- 1 ，o ，l ，+ 。 ( 3 2 ) 式中，表示小盒子的边长，p 是覆盖概率，表示用边长为，的小盒子去覆盖某种 分形时，分形中的_ 个点落入第i 个小盒子的概率。 当q 取不同值时，式( 3 2 ) 可表示不同的分维。如q = o ，1 ，2 时，见表示h a u s d o