（固体力学专业论文）橡胶圆管与薄膜充气管的有限变形分析.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 橡胶圆管与薄膜充气管因其具有重要的理论意义和工程背景而引起了 国内外许多学者的注意。 在本文中，首先应用高玉臣给出的应变能函数为基础，采用一种较为普 适的变形模式，理论分析了不可压缩橡胶圆管或圆柱在各种载荷作用下的应 力分布的求取问题。研究发现：对圆柱的简单扭转欲想得到一个大剪切应变 不可能只由一个扭矩单独引起，至少需要在自由表面施加压力才行。否则， 圆柱将在轴向伸长。这与小变形理论是截然不同的。 其次，采用相同的应变能函数，研究了不可压缩各向同性薄膜充气管的 膨胀问题，得到了内压与主伸长的关系曲线图，并考虑了材料参数对这种关 系曲线图的影响。当取本构参数口= 2 ， = l ( 即为n e o - h o o k e n 材料) 时与 参考文献给出的结论吻合。同时还研究了不可压缩薄膜充气管平面应变时的 膨胀问题。 再次，考虑了可压缩各向同性薄膜充气管的平面应变膨胀问题。通过引 入泊松函数的概念来施加对可压缩薄膜充气管的体积控制关系，进而得出了 内压与主伸长的显函数关系。当泊松比= o 5 时则能退化成不可压缩时的情 形。同时发现材料参数行及泊松比对这种显函数关系有着重要的影响。 最后利用了一种不可压缩横观各向同性的应变能函数，对横观各向同性 薄膜充气管进行了分析 本文得出的分析结果可以为橡胶管道以及薄膜充气管的生产与应用提供 一定的理论参考依据。 关键词：橡胶圆管；薄膜充气管；有限变形；应变能函数；超弹性 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 a b s t r a c t t h en l b b 盯c y l i n d r i c a lt u b ea n dt h em 锄b r a n ei n f l a t a b l et u b eh a v er e c e i v e d t h ea t t e n t i o no fr e s e a r c h e r sa th o m ea n da b r o a db e c a u s eo ft h e i ri m p o r t a n t t h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n de n g i n e e r i n gb a c k g r o u n d i nt h i sp a p e r , b a s e do nak i n do f s t r a i ne n e r g yf u n c t i o np r o p o s e db yyc g a o a n da d o p t e da nu n i v e r s a ld e f o r m a t i o nm o d e l ，a ni n c o m p r e s s i b l er u b b e rc y l i n d r i c a l t u b eo rc y l i n d e rs u b j e c t e dt oa l lk i n d so fl o a d si st h e o r e t i c a l l ya n a l y z e df i r s t l y t h ef a c ts h o w st h a tt h el a r g es h e a r i n gs t r a i nc a ntb eg a i n e do n l yt h r o u g ha m o m e n tf o r t h ec y l i n d e r , a n di tm u s tn e e dac o m p r e s s i v ef o r c eo nt h ef r e es u r f a c e ， o t h e r w i s et h ec y l i n d e rw i l lb es t r e t c h e d a sw ea l lk n o w , i ti sm u c hd i f f e r e n tf r o m t h ec a s eo f s m a l ld e f o r m a t i o n i na d d i t i o n , a ni n c o m p r e s s i b l ei n f l a t a b l et u b ec o n s i s t i n go ft h ei s o t r o p i c m a t e r i a lu n d e re x p a n d i n gp r o c e s si sa l s os t u d i e da c c o r d i n gt ot h es a m es t r a i n e n e r g yf u n c t i o n t h ea n a l y t i cr e l a t i o n s h i p sb e t w e e ni n t e m a lp r e s s u r ea n dt h e p r i n c i p a ls t r e t c h e sa l ea l s oo b t a i n e dr e s p e c t i v e l ya n dm e a n w h i l e ，t h ei n f l u e n c e so f c o n s t i t u t i v ep a r a m e t e ro nt h er e l a t i o n s h i p sa r eg i v e n w h e nt h ec o n s t i t u t i v e p a r a m e t e r sa a n d 行a r ee q u a lt op 1 2 ( w h e r e “i st h es h e a rm o d u l u s ) a n d1 r e s p e c t i v e l y , t h er e s u l t sa r ct h es a m ea st h e s ei nt h er e f e r e n c e a tt h es a m et i m e ，a m e m b r a n ei n f l a t a b l et u b ew h i c hi su n d e rp l a n es t r a i ni sc o n s i d e r e da sw e l l t h i r d l y ，a nc o m p r e s s i b l ei n f l a t a b l et u b ec o n s i s t i n go ft h ei s o t r o p i cm a t e r i a l u n d e rp l a n e 或l a i ni sa l s oe x a m i n e d a c c o r d i n gt o i n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to f p o i s s o nf u n c t i o n , ab u l kc o n t r o l l a b l er e l a t i o n s h i po f t h ei n f l a t a b l et u b ei so b t a i n e d ， f l l r t h e i t f l o r eae x p l i c i tf u n c t i o nr e l a t i o n s h i pb e t w e e bi n t e r n a l p r e s s u r ea n dt h e p r i n c i p a ls t r e t c hi sa l s oa c q u i r e d ，l l 皿t h ep o i s s o n sr a t i oi se q u a lt o0 5 t h e i n c o m p r e s s i b l ec a 船c a nb eg i v e n a tt h es a n l et i m e t h ec o n s t i t u t i v ep a r a m e t e r r a n dp o i s s o n sr a t i o h a v ei m p o r t a n ti n f l u e n c e so nt h ee x p l i c i tf u n c t i o n r e l a t i o n s h i p i nt h ee n d , am e m b r a n ei n f l a t a b l et u b ec o n s i s t i n go ft r a n s v e r s e l yi s o t r o p i c 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 m a t e r i a li sa l s oa n a l y z e d t h er e s u l t si np r e s e n tp a p e rm a yb eh e l p f u la sat h e o r e t i c a lr e f e r e n c ei nt h e p r o d u c t i o na n da p p l i c a t i o no ft h er u b b e rc y l i n d r i c a lt u b ea n dt h em e m b r a n e i n f l a t a b l et u b e k e y w o r d s ：r u b b e rc y l i n d r i c a lt u b e ；m e m b r a n ei n f l a t a b l et u b e ；f i n i t ed e f o r m a t i o n ； s t r a i ne n e r g yf u n c t i o n ；h y p e r e l a s t i c i t y 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明，本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 日期： 6 年忿月1 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 有限变形理论发展的工程背景和意义 有限变形超弹性理论是固体力学的一个重要分支，由于其描述的是自然 界中普遍存在的一类非线性现象，特别是这一理论在橡胶材料和高分子聚合 物材料中有着广泛的应用前景，所以它的理论研究自从问世以来一直受到力 学界和工程界的重视。 其实很多年以前人们就研究过非线性问题。1 6 9 1 年，b e r n o u l l i 通过实验 发现弦的伸长和张力并不满足线性的t t o o k e 定律。1 8 9 4 年，f i n g e r 建立了超弹 性体的有限变形弹性理论。1 9 1 0 年，k a r m a n 发表了平板大挠度的非线性方程， 此后壳体的大挠度非线性问题获得了较大发展。第二次世界大战期间，橡皮、 塑料、人造化学纤维、高分子材料工业的发展带来了大量新材料，而这些材 料的力学性能不能用传统的经典理论所解决，这样便将有限变形理论的研究 提上了日程。1 9 4 0 年，m o o n e y 通过大量的实验证实了橡胶材料几乎是不可压 缩的，并指出某类橡胶的力学性能可用缈= c l ( j 一3 ) + c ，( ，一3 ) 来描述( 其 中为应变能，厶分别为c a u c h y 变形张量的第一、第二不变量) 。这就把 有限变形超弹性理论中最困难的问题之一弹性势函数的具体形式的研 究，向前推进了一步。1 9 4 8 年，r i v l i n 利用任意形式的应变能函数，得到不 可压缩弹性体的几个简单而重要问题的精确解，并开创了半逆解法来解决有 限变形的问题半逆解法的出现标志着现代有限弹性理论的诞生。将r i v l i n 的研究成果应用于橡胶制品的力学研究，即便应变达到3 0 0 ，精度仍可以满 足要求。这一成就极大地鼓舞了人们对有限变形弹性理论的研究，使有限变 形弹性理论开始了蓬勃的发展。 此后，许多力学和材料学工作者都对此倾注了大量的心血，他们有a e g r e e n 、j e a d k i n s 、h a l e x a n d e r 等等，另外，在中国，郭仲衡教授m 、高 玉臣教授n ，、王自强n ，也对此作出了重要贡献。 有限变形理论的发展促进了许多交叉学科的出现和经典理论在更高层次 哈尔滨工程大学顼士学位论文 上的发展，例如生物力学、弹性稳定理论、板壳理论、固体的粘弹理论等。 同时其理论为许多新的研究领域的发展，包括生物组织材料弹性力学、限制 连续体力学、偶应力和多极连续理论、位相变化力学、微结构力学提供理论 模型。因此有限变形理论吸引了大量的应用数学家、工程学者、化学家和物 理学家 有限变形理论在理论和应用中遇到了巨大的数学困难，如偏微分方程的 处理，解的存在性、稳定性、唯一性问题，合理的势函数的选取等。因此数 值计算得到了广泛的使用。有限变形理论还促进了张量分析的飞速发展。众 所周知：自从a l b e r te i n s t e i n1 9 1 5 年发表广义相对论的著名论文以来，张 量分析在理论物理中占有突出重要的地位。用张量描述物理量简洁、直观、 物理意义明确。这些优点使得张量分析已成为连续介质力学一个不可缺少的 工具，正如w f l u g g e 所说，“有了张量分析，连续介质力学如鱼得水”。 反之，有限变形理论的发展又对张量分析提出了更高的要求，使之不断趋于 完善。 有限变形理论的一个重要豹研究课题是材料的本构关系，这就注定了其 与材料科学是密不可分的。其本构关系的研究促进了橡胶类材料如合成弹性 体、聚合物、天然橡胶等的广泛使用。以橡胶为例，它具有耐腐蚀，防老化、 抗疲劳、抵抗大变形等优点，大量用于制造汽车和飞机轮胎、减震弹簧、充 气结构、阻尼器等，另外，许多生物组织如皮肤、血管、肺、动脉、心脏等 其力学性能与橡胶类材料有很大的褶似性，因此有限弹往理论的发展对于生 物、医学等相关学科的发展也具有举足轻重的作用。如今以合成橡胶、合成 纤维和塑料为代表的高分子聚合物正在改变着人们的生活，应用有限变形理 论研究这些新型材料的力学性能己成为力学发展的必然趋势。 1 ，2 橡胶圆管有限变形问题的研究回顾 橡胶圆管是橡胶工业中较为常见的形式之一，有着广泛的应用。其力学 性能的研究起始于2 0 世纪4 0 年代。 1 9 4 9 年，r i v l i ne ”研究了m o o n e y - r i v l i n 材料圆柱的拉扭、圆管的翻转 2 堕笙堡三矍盔堂雯主兰壁丝塞 问题文中假设翻转后的圆管的内曲面和外曲面均为自由面；进一步假设翻 转后的圆管仍为圆柱形且其两端截面不受外力作用，这样才得到了数值结果。 在此文中作者还首次提出一种压配受扭模型，即橡胶圆管内外曲面均有刚性 物质压配着并在两者之间形成一种相对扭转。这种模型在工程中具有广泛的 应用，例如机械工程中的橡胶轴树、电工中的橡胶套管等。r i v l i n 提出了一 种变形模式( r = 【r 2 1 2 + 明“2 ，口= 0 + 厂( ，) ，：= 五z ，其中， 扣籍= 篆竿佴马捌艨舢锄彬临，r l , r 2 舶拥。 性介质和外部刚性介质的半径，且满足 墨，r 2 0 ) ，着重研究了翻转解的存在性和唯一性。 研究表明：当o g d e n 应变能函数满足脾口， 0 ( 不求和) 时，所有合理的o g d e n 材料均有翻转解。但并没有考虑当翻转后的圆管不是圆柱形时的情况，即翻 转解的唯一性并没有给予说明。 同年，c h a d w i c k n 证明了m o o n e y r i v l i n 材料圆管翻转解的存在性和唯一 性。几乎与此同时，r w o g d e n “喇用不可压缩各向同性橡胶圆柱或圆管在 拉扭组合作用下来研究一系列应变能函数需满足的条件。研究认为对圆柱只 要表面外力适当则能得到此种变形，但对圆管欲得到拉扭组合变形则应变能 函数必须满足一定的条件。 1 9 7 5 年，r l s i e r a k o w s k i 等一t 研究有初应力的类橡胶圆管的稳定性问 题( 即类橡胶圆管在轴向有均布的初应力，再给与其轴对称的微小扰动来研 究其稳定性) 。 1 9 8 3 年，a d e l e k e t w 发展了p c h a d w i c k 的结论，并证实只要材料满足e 哈尔滨工程大学硕十学位论文 不等式其圆管翻转解的存在性和唯一性是可以得到保证的。 1 9 8 5 年，l a n a n d “”通过h e n c k y 应变能函数来预测不可压缩的圆柱在拉 扭组合作用下的响应问题，并与经典的r i v l i n 和h a u n d e r s d 所做的实验对比， 认为h e n c k y 应变能函数比m o o n e y 应变能函数能更合理地预测中度变形的材 料物理响应。 1 9 9 0 年，w i l l i a mwf 等1 研究了考虑粘性的橡胶圆柱在拉伸与扭转组 合作用下的问题。在文中利用实验记录了变形圆柱的轴向载荷与扭矩的历史， 证实了拉伸与扭转间的理论耦合关系并利用理论与实验的结果得到了橡胶的 粘弹特性。 1 9 9 4 年，h a u g h t o n 和o r r 4 研究了不可压缩各向同性材料圆管翻转的 稳定性问题。在文中作者将问题处理成以初始构形中的厚度率为基本参量的 分叉问题。再利用h a u g h t o n 和o g d e n “哪于1 9 7 9 年提出的增量方程来研究圆 管翻转的稳定性问题。研究表明较薄的圆管仍能翻转成圆管，而对较厚的圆 管则不能，故存在着一个临界的厚度值。随后，他们还研究可压缩的情形( 见 文献 1 7 ) 。 1 9 9 5 年，徐志洪“”采用b l a t z k o 应变能函数讨论了薄壁圆管在内压作用 下平面应变有限变形问题，得到了管径变化与内压之间的解析关系。 1 9 9 9 年，史守峡等“”采用y e o h 型应变能函数分析了受压橡胶圆柱的大变 形，得到了其理论解；并对无限长仅受内压作用的橡胶圆管进行了有限元分 析分析结果表明：有限元解与理论解吻合很好。2 0 0 0 年，他们m ，又引入p e n n 建议的不变量分解形式的m o o n e y 型本构对受内压作用的无限长厚壁橡胶圆筒 进行了有限元计算，计算结果与理论解”吻合较好。 1 3 薄膜充气管问题的研究回顾 1 9 6 2 年，f r e io t t o 发表了他的著作( t e n s i l es t r u c t u r e s ，在此文中 他列举了数十种充气结构的新用法，其中最令人瞩目的是用充气管作为基本 的结构单元。这样充气管的概念性设计即被提出。众所周知，充气管是由柔 性薄膜或织物材料制造，内部为空腔，充气展开后成管状的一种密封结构 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 其主要作用是作为其它太空结构的支撵部件。例如，充气管可以用作卫星太 阳帆板以及充气展开太空天线的支撑结构，以减轻整个系统的质量，提高其 效率。它具有质量轻、费用低、占用有效载荷体积小、可靠性高等突出优点 w ，因此被广泛采用并成为人们研究的热点。在航天工程中的一个典型应用 是小型人造卫星上的重力梯度悬臂m - 。 目前，对充气管的研究主要集中在以下几个方面： ( 1 ) 、充气管的静态性能的研究，主要涉及膨胀后的充气管的弯曲、屈 曲、扭转以及在瞬时构形中的应力分布，内部气压极值等问题。 ( 2 ) 、充气管的展开控制研究。 ( 3 ) 、充气管的展开实验研究。 ( 4 ) 、充气管的展开模拟研究。 从上个世纪6 0 年代起，国际上就开始了对充气管的静态力学性能的研究。 1 9 6 0 年。l e o n a r d 、b r o o k s 和m e c o m b 将薄膜充气管处理为悬臂梁，并假 定充气管根部如塑性铰转动时则失效。在这种假定下，得到l 临界载荷为 p = 万p 矿l ，其中p 为充气管的内压，并与实验结果吻合较好。 1 9 6 1 年，s t e i n 和h e d g e p e t h m l 研究了充气管受恒载弯矩作用，并得到了 弯矩与充气管曲率间的关系。几乎与此同时，充气管的屈曲问题也得到了普 遍的关注，见参考资料 2 6 3 1 。 1 9 6 2 年，z e n d e r 和m c c o m b 喇用薄膜理论研究了各向同性受压圆柱壳的 失效弯矩，并认为受压薄膜的失效弯矩能够达到未受压壳的失效弯矩。 1 9 6 3 年，c o m e r 和l e v y 嘴充气管看作悬臂梁，研究了其在弯曲力矩下 的屈曲特性。研究发现：在一定的弯曲力矩作用下，管子在固定端沿周向产 生褶皱；当力矩不断增大时，褶皱不断发展，直至充满固定端的整个横截面， 此时认为失效。根据静力学中力的平衡条件，即可确定端部的弯曲荷载与褶 皱发展的关系。 1 9 6 6 年，f i c h t e r t w 通过势能最小原理来研究充气管的弯曲挠度，并成功 地将受弯和受轴向压力组合作用的充气管内压放进了平衡方程中。 1 9 6 8 年，d o u g l a s m t 应用大变形迭加小变形的方法研究了充气管充气后的 哈尔溟工程大掌硕士学位论文 弯曲刚度问题。众所周知：经典的弹性理论只能反映材抖小变形下的几何形 状的改变而对材料由于大变形而产生的物理属性的改变无能为力。这就使得 用经典理论研究充气管的弯曲问题，只是在小膨胀的条件下才近似成立。而 在实际问题中更多的是大膨胀问题，所以用大变形选加小变形的方法则更精 确。文中指出：薅大膨胀，结构的鄹度剧烈改变旦不是单调趵。对于具体的 材料，弯曲刚度先是随着变形的增大而单调地递增，达到某最值后而单调递 减。这与实验的结果是吻合的。 1 9 7 5 年，s t e e v e s w 将充气管看成薄壳模型并应用变分的方法研究了充气 粱在各种荷载下的挠度问题。 1 9 8 2 年。w e b b e r “在将充气管看成悬臂梁并假定撂皱区的应力为垣值妁 基础上导出了在受弯和受扭组合作用时的挠度、褶皱弯矩( w r i n k l i n gm o m e n t ) 和失效弯矩( c o l l a p s em o m e n t ) 的关系表达式。当扭矩为零时，可退化成1 9 6 3 年c o m e r 和l e v y 的结论。并从实验中证实充气管未失效前褶皱不会发展到整个 截面。但是所选的充气管较短( 1 d l o ，内压为3 4 4 7 5 p a 时，与理论分析结果吻合较好。 1 9 9 5 年，他们m ，又利用应变准则( 主应变为零) 来计算褶皱弯矩，并与 实验结果吻合较好。但是发现当织物材料的泊松比为0 5 时，褶皱弯矩为零， 这与事实不符，故一些学者认为应变准则不可取。 2 0 0 2 年，w i e l g o s z 等证实e u l e r b e r n o u l l i 梁不能用来评估充气管的 受弯挠度，原因是挠度表达式中并未出现内压这其实是对1 9 6 6 年f i c h t e r 结果的发展。在文献中他们假设：( 1 ) 、平衡方程在现时构形中；( 2 ) 、 梁截面满足t i m o s h e n k o 平截面假设。 2 0 0 4 年，s lv e l d m a n 等，通过应力准则来评估充气管的褶皱弯矩，并 认为p c 、p p s 和p e i 所做的充气管应该看成薄壳，而非看成薄膜。并通过实验 得到了五种不同膨胀水平时的荷载藐度关系曲线，并与考虑材料正交各 向异性的理论预测结果符合较好。 同年，t h o m a s m 等从实验、理论、有限元三方面研究了高度膨胀的织物 7 哈尔滨丁箨大学硕士学位论文 充气管的挠度问题。结果表明充气管壁中剪应力的影响不能忽略，梁截面满 足t i m o s h e n k o 平截面假设。 2 0 0 5 年，a l ev a n m 等通过l a g r a n g e 型的虚功原理得到充气管受平面内 拉伸和弯曲的非线性方程组。文中还着重考虑了悬臂粱受弯与屈曲两种情况 结果显示膨胀可以提高充气管的力学特性。 其实，薄膜充气管在受弯过程中截面会变成椭圆，b p b r a z i e r 效应。所以 越来越多的学者用松弛应变能函数m 和张力场理论”的方法来得到不同轴线 弯曲曲率时的充气管截面形状和截面上褶皱区域的分布，以期来获得考虑截 面变形的弯曲挠曲方程( 详见”4 ) 以上是对充气管研究情况的简单回顾。由于本文研究的是薄膜充气管，。 故主要回顾了薄膜充气管研究概况，同时兼顾织物充气管。其实，织物充气 管的研究几乎与薄膜充气管同步，只是在研究中要考虑织物材料的抗压性和 抗弯性( 故一般将其看成薄壳处理) ，各向异性( 横观各向异性，正交各向 异性等) 等特性。 综上所述，在进行有限变形分析时要准确地处理两个方面的闯题：一是 提出合适的变形模式，以便与实际变形相符合；二是给出合理的应变能函数 以保证能够得到合理的物理响应。充气管的静力学研究则侧重在膨胀后的充 气管受各种荷载作用下的力学特性分析，这与各学者提出的失效模式( 准则) 、 材料假设( 将充气管看成薄膜还是薄壳) 、材料的本构关系( 选取的应变能函 数不同) 都有重要的影响。 1 4 本文的主要工作 本文的工作主要集中在以下三点： 1 、以高玉臣给出的应变能函数矿= 口( ”一3 n ) 为基础，采用一种较为普 适的变形模式。理论分析了不可压缩橡胶圆管或圆往在各种外力作用下的应 力分布的求取问题。只需选取适当的应变能函数，这种方法还适合于可压缩 的各向同性材料以及不可压缩的横向各向同性材料。 2 、同样以高玉臣给出的应变能函数矽= 口( f 一3 n ) 为基础，研究了各向 s 哈尔滨工程大学硕士学位论文 同性材料薄膜充气管的膨胀问题。同时还利用了一种不可压缩的横观各向同 性材料的应变能函数，对材料为横观各向同性时也进行了分析。 3 、利用高玉臣给出的应变能函数( 2 6 9 ) ，研究了可压缩各向同性材料 薄膜充气管的平面应变膨胀问题。通过引入泊松函数的概念来施加对可压缩 薄貘充气管的体积控制关系，进页缛出了内压与主绅长的显函数关系。周对 还考虑了材料参数n 及泊松比的影响。 本文通过对橡胶材料组成结构的有限变形的理论分析，为橡胶材料在工 程上的应用提供理论和实际的参考依据。 哈尔滨工程大学职士学位论文 第2 章有限变形超弹性理论的基本理论 本章将利用张量这一数学工具，描述有限变形理论的基本方程，详细讨 论超弹性理论中应变能函数的形式。 2 1 有限变形超弹性理论的基本方程 经典弹性理论中的基本方程有几何方程( 协调方程) 、平衡方程及本构 方程。有限变形超弹性理论也一样，只是由于有限变形超弹性理论在两种标 架下讨论，因而其基本方程的表述更为复杂。 2 1 1 几何方程 众所周知，经典的弹性理论和塑性理论只适用于微小变形的情况。而对 于具有强烈几何非线性的橡胶材料的描述，则必须将初始构形和现时构形严 格区分开，引入变形梯度的概念 三维弹性体中，设p 和q 分别表示变形前后典型物质点的位置矢量，j 。 为随体坐标( l a g r a n g e 坐标) ，位移为 h = d p ( 2 - 1 ) 变形前后的矢基( 基矢) 分别为 只= 筹仑= 署( 2 - 2 ) 利用k r o n e c k e r 符号可得到逆变基矢 只p 7 - - 8 q q - - 8 ( 2 3 ) 变形梯度张量f 为 f = q 圆p ( 2 4 ) 其逆f 。为 f 一1 - - e o q ( 2 5 ) 其中“o ”表示并矢，“”表示点积，本文采用e i n s t e i n 求和约定 1 0 哈尔滨工程大学硕十学位论文 将f 极分解f = r u = y r ( 2 - 6 ) 其中，置为正常正交张量，表示转动。u 、v 为对称正定张量，分别为l a g r a n g e 型、e u l e r 型应变张量。 利用，还可定义右、左c a u c h y - 6 r e e n 变形张量，分别为 c = ，7 ，君：，7( 2 7 ) 其中“t ”表示转置。由极分解定理可知，占和c 相似它们具有相同的不 变量、0j 3 和主值露。 = t r b = b j = 易 ( 2 8 ) 厶= 争矸一伊( 丑2 ) 】= 三( 旦，毛一线色) ( 2 - 9 ) 厶= d e t b = ；陋( 肋一吾郴2 ) + 三( 柏) 3 】 ( 2 _ 1 0 ) 其中j 为单位张量。 定义 j = 厶= d o t f - - 五五 ( 2 一1 1 ) ，表示微元变形后和变形前的体积比，对于不可压缩材料，恒有j = 1 。 g r e e n 应变张量为： e = ( c - ，) ( 2 1 2 ) a l m a n s i 应变张量e 为： e = 去( j r 口。1 ) ( 2 1 3 ) 关于应变张量的定义是多种多样的，其中c 的任何个单值可逆的对称 张量值的张量函数均可作为一个应变张量，总称为l a g r a n g e 型应变张量。而 丑的这类张量值张量函数所表示的应变张量总称为e u l e r 型应变张量，这便 是应变等价定理。显然，g r e e n 应变张量为l a g r a n g e 型应交张量，而 a l m a n s i 应变张量p 为e u l e r 型应变张量。 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 若将f 和f 加以推广，便可得到s e t h 类应变张量： 1 e ”= l ( v ”一nn 为整数 ( 2 1 4 ) 甩 1 p ( ”) = 三( 一i )n 为整数( 2 - 1 5 ) 甩 另外，h i l l 还提出了h i l l 类应变张量，详细定义可见 5 6 。 2 1 2 平衡方程 在当前构形上，c a u c h y 应力( 或称为e u l e r 应力) 张量盯满足 仃= 盯7( 2 - 1 6 ) v a + f = 0 ( 2 - 1 7 ) 吒= 盯矗 ( 2 1 8 ) 其中以为面力作用的外法线，巳为c a u c h y 应力矢量。 有限变形理论中为讨论功共轭时的方便，还引入了k i r c h h o f f 应力张量 f ，定义为： f = j o( 2 - 1 9 ) f 也称为加权应力，j 如前所定义。 c a u c h y 应力是定义在现时构形上每单位面积的接触力，是与变形相关的 真实应力，是一种空间描述。然而对大多数固体力学问题，要列出变形物体 的边界条件。而在现时构形下的边界是在问题解出之后才能确定，事前并不 知道。若将平衡方程用物质坐标写出，物体的边界可事先确定，这就引出了 l a r g a n g e 应力张量j ，它与仃的关系为 岛m 戤= 吒f l a ( 2 2 0 ) rr 整理得： s = j a f 一= f f 一( 2 2 1 ) 其中 为变形前的外法线，弛，幽分别为变形前后的微元面积a 与c a u c h y 应力张量对应，l a g r a n g e 应力s 有： s，7=，s7(2-22) 哈尔滨工程大学顼+ 学位论文 s v = 0( 2 2 3 ) “= s n ( 2 2 4 ) s 也称第一类p i o l a - k i r c h h o f f 应力张量。但s 一般是不对称的，给应用带 来不便，这就引出了第二类p i o l a k i r c h h o f f 应力张量r r = f - 1 s = j f ，矿( ，- 1 ，= ，- g ( ，一) 7 ( 2 2 5 ) 显然，r 是对称张量。值得注意的是( 2 - 2 3 ) 、( 2 1 7 ) 中的v 分别为初始构 形和瞬时构形中的梯度算子。 2 1 3 本构方程 以上讨论的方程不涉及具体材料的力学或物理特性，因此在变形体力学 中，上述方程是普适的。由于不同的物体在外部因素( 力，温度、辐射等) 作用下的具体响应不同，反映这种物质多样性特征的整体就是本构方程( 物 理方程、本构关系) 本构方程是材料从经验加以抽象化的数学表现，反映了材料的力学或物 理特性。 本构方程因材料不同而不同，但必须遵循以下准则： 1 、物质客观性原理：物质客观性原理又称为物质的标架无关原理，或物质的 时空系无差异原理。表述为：本构方程不依赖于观测者，对刚体运动的参考 标架具有不变性，是物质性质的根本属性。 2 、确定性原理：在某一时刻。物体占有构形中的任一物质点的应力恒由组成 物体的全部物质点运动的历史所唯地确定，而和未来的运动无关。 3 、局部作用原理：只有与物质点a 充分临近的质点运动才对a 点应力有影响， 而离a 点有限距离的质点的运动，对a 点的应力无影响。 4 、对称性原理：大多数自然界中的物质都具有不同程度的对称性，即物质的 力学性质具有某种等向性。本构方程应反映这一对称往，例各向同性材料。 5 、相容性原理：本构方程不应违背质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、局部 能量守恒、嫡产率原理等普适原理。 6 、减退记忆原理：离现时刻越远的过去的历史，对现时刻的应力影响越小。 7 ，量纲一致性原理：本构方程中各项的量纲应当相同。 在满足上述原理的基础上，建立薄膜、橡胶、织物等材料的本构关系， 仍然是相当困难的。因为这些材料包含几何和材料的双重非线性。通常，建 立这些材料的本构关系主要有两种方法： i 、c a u c h y 法：扶弹