（基础数学专业论文）球面稳定同伦群中的若干新元素族.pdf

摘要 球面稳定同伦群在代数拓扑中是一个非常重要的问题之一设4 为模p 的s t e e n r o d 代数，s 为模p 的球谱。决定球面稳定同伦群7 r ，s 是同伦论中的中心问题之一。解决 这一问题的一个重要工具就是a d a m s 谱序列( a s s ) ：雹8 = f z t 譬( 4 ，弓) 号丌t s 其中 e o 为a 的上同调如果霹中有一族生成元在a s s 中非平凡地收敛，那么我们就 在”+ s 中找到了一族非平凡的同伦元素 我们就说 在a s s 中由q 骂所表示， 具有滤子( f i l t r a t i o n ) s 。到目前为止，人们发现的7 r + s 中的非零元素还不多。例如： r c o h e n 在1 9 8 1 年发现了一族非零元素矗一l 丌矿q + q - - 3 s ( n 2 ) 在a s s 中，厶一1 有滤子3 ，由h o b n l e x t ? “叶9 ( 磊，磊) 所表示。 在本文，我们利用两种不同的方法找到了新的非零元素族。一种方法是我们称之为 “几何”方法，另外一种我们称之为“代数”方法在本文，我们共找到了四个新的非平 凡元索旗。 全文共由五章构成第一章是前言，是对本文所涉及的问题的背景、进展及所得结 论的一个综述第二章，我们利用“几何”方法找到了一族新的非平凡元素族，证明了： 当p 5 ，n 3 时，在a d a m s 谱序列中，鼠+ 2 h 。e x t r a + 3 扩什( 蚪2 ) 9 ( 3 + 1 ) 。+ 5 ( 乙，磊) 收 敛到”矿什( 卧2 净口+ h 1 ) gs s 中的一个阶为p 的非平凡元素，其中q = 2 ( p 一1 ) ，0 s p 一2 在证明的过程中，我们得到7 r ，v ( 1 ) 中的一个新的元素族，该元素族在a d a m s 谱序列中由风i ，+ i + ( ) e z t 女矿叶叶1 ) 叶1 旧+ k ，) 所表示在第三章、第四章和第 五章，我们利用“代数”的方法找到了三个新的非平凡元素族。证明了：讯+ 3 h l h 。 e z t ，5 巾“9 + o 斗3 ) p 2 9 + ( 5 + 3 ) p 9 + ( 5 + 1 ) 。+ 5 ( 磊，名) ( p 7 ，n 4 ，0 s p 一3 ) 、。+ 3 ( b o h n + ，l l k 1 ) e x t ；+ 6 , p n q - l - ( s - l - 3 ) p 2 q + ( s + 3 ) p q + ( s - l - 1 ) q + s ( 磊，4 ) ( p 7 ，n 4 ，01s p 一4 ) 和 声2 h 。e x t ；+ 5 “9 + ( 5 + 3 细+ ( 州) 9 + 5 ( 弓，磊) 5 ，礼3 ，0 s p 一3 ) 在a d a m s 谱 序列中均收敛到”+ s 中的一个阶为p 的非平凡元素族。 关键词：球面稳定同伦；a d a m s 谱序列；t o d a s m i t h 谱；m a y 谱序列 学科分类号：0 1 8 9 2 3 i i i a b s t r a c t t h es t a b l eh o r n o t o p yg r o u pi sav e r yi m p o r t a n tp r o b l e mi na l g e b r a i ct o p o l o g y l e t ab et h er o o dps t e e n r o da l g e b r aa n ds b et h es p h e r es p e c t r u ml o c a l i z e da ta no d dp r i m e p t od e t e r m i n e t h es t a b l eh o m o t o p y g r o u p so fs p h e r e s7 r + si so n e o ft h ec e n t r a lp r o b l e m s i nh o m o t o p yt h e o r y o n eo ft h em a i nt o o l st or e a c hi ti st h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e ( a s s ) 鹾= e z t j 。( 名，磊) 7 t t s s ，w h e r et h e 霹, t _ t e r mi s t h ec o h o m o l o g yo fa i fa f a m i l yo fh o m o t o p yg e n e r a t o r s 矗i n 霹c o n v e r g e sn o n t r i v i a l l yi nt h ea s s ，t h e nw eg e t af a m i l yo fh o m o t o p ye l e m e n t s 五i n 矸+ sa n dw es a yt h a t i sr e p r e s e n t e db yx i 霹1 丰 a n dh a sf i l t r a t i o n8i nt h ea s ss of a r ，n o ts om a z l yf a m i l i e so fh o m o t o p ye l e m e n t si n 丌，sh a v eb e e nd e t e c t e d i n1 9 8 1r c o h e nd e t e c t e daf a m i l y 。一1 7 n q + 口一3 sf o r 饥2 w h i c hh a sf i l t r a t i o n3i nt h ea s sa n di sr e p r e s e n t e db y h o b 。一l e z t a a $ “q + q ( ，乙) ，w h e r e q = 2 ( p 一1 ) i nt h i st h e s i s ，w ea l s od e t e c ts o m ef a m i l i e so fh o m o t o p ye l e m e n t si n7 r ，sb ya d o p t i n g t w om e t h o d s o n ei sn a m e da sg e o m e t r ym e t h o d ，t h eo t h e ri sn a m e da sa l g e b r a i cm e t h o d i nt h i st h e s i s ，w ed e t e c tf o u rn e wf a m i l i e si nt h es t a b l eh o l n o t o p yo fs p h e r e s t h i st h e s i sc o n t a i n sf i v ec h a p t e r si nt h ef i r s tc h a p t e r ，w er e v i e wt h eb a c k g r o u n d ， t h ed e v e l o p m e n t sa n dr e s u l t sr e l a t i n gt ot h ep r o b l e md i s c u s s e di nt h i st h e s i s i nt h e s e c o n dc h a p t e r ，b yt h eg e o m e t r ym e t h o dw ed e t e c tan e wn o n t r i v i a lf a m i l yi nt h es t a - b l eh o m o t o p yo fs p h e r e sa n dp r o v et h a t 厦+ 2 h n 0 e x t a + 如( 舢鲫+ ( 州) m ( 名，磊) i sap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea s sa n di tc o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n 7 r 矿q 十( s + 2 1 p q + ( s + 1 ) 日一3 s ，w h e r ep25 ，n 3 ，q = 2 一1 ) ：0 s p 一2 i nt h ec o u r s eo f p r o o f , an e wf a m i l yo fh o m o t o p y e l e m e n t si n7 r + v ( 1 ) w h i c hi sr e p r e s e n t e db y 风i 7 ，i ；( 。) e x t a p “。+ ( + 1 ) 4 + 1 ( 日+ k ，乙) i nt h ea d a m s s p e c t r a ls e q u e n c ei sd e t e c t e d i nt h et h i r d ( ：h a p t e r ，t h ef o r t hc h a p t e ra n dt h ef i f t hc h a p t e r ，b yt h ea l g e b r a i cm e t h o dw ed e t e c tt h a ti n t h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e ，s + 3 h l k e x t a + 5 矿4 十3 + 咿4 + 3 + 拙+ s 十1 ) q + 5 ( z p ，乙) ( p 7 ，n 4 ，0 s p 一3 ) ，吼+ 3 ( 6 0 h n + h i k 1 ) e x t a + 6 , p n q + ( s t 3 ) p 2 q + ( s + 3 ) p q + ( s + 1 ) q + s ( 磊，磊) ( p 7 ，礼4 ，0ss o ) ，m 0 o ) ，。0 o ) ，b i ( i 三o ) ， a n d 九。，z7 ( j 三i 十2 ，i 三0 ) w h o s ei n t e r n a ld e g r e ea r e2 q + 1 ，2 ，p 。g + l ，p 冲1 q + 2 p 。吼 1 2 p ”1 q + p q ，+ 1 qa n dp q + 矿gr e s p e c t i v e l y e x t 3 f o rp 2 h a sb e e nc o m p u t e db y a i k a w a i i 一4 1 t h er r m s ts u c c e s s f u l m e t h o df o rc o m p u t i n ge x ti st h em a y s p e c t r a ls e - q u e n c e t h em a ys p e c t r a ls e q u e n c ei sa sf o l l o w s f r o mr e f e r e n c e 【1 i 一3 ，p 8 2 ，t h e o r e m 3 2 孔t h e r e i sas p e c t r a ls e q u e n c e ( m s s ) 霹 + ，d r ) w h i c hc o n v e r g e st of z t i ( 磊，磊) w i t he 1 一t e r m e ： 4 = e ( m ，t l m o ，i 兰o ) 眨多p ( h l i m o ，i o ) 砭多p ( n 。i s o ) ( 111 ) w h e r eei st h ee x t e r i o ra l g e b r a ，pi st h ep o l y n o m i a la l g e b r a ，a n dt h ee l e m e n t sh m 1 日2 m 一1 矿，2 m，b m ，i e 2 , 2 ( 矿一1 ) 矿“巾2 m 一”7 五l a , 2 p n - 1 , 2 n 州0 1 1 eh a s 西：e 9 + - e 筝+ 1 a n di f 嚣e ： ，可e ：7 ，。”，t k e ad ，( 掣) = d ，( z ) 可+ ( 一1 ) 5 d r ( 暂) ( r 1 ) ， x y = ( 一1 ) ”。y xf o rz ，y = h 岬，b m , ，o ro n t h ef i r s tm a yd i f f e r e n t i a ld li sg i v e nb y d 1 ( h i j ) = ，k n j h k , j ， 0 ( t d l ( a i ) = h i - k 、k a k ， 0 0 ，l e to = 如i ，屈= j j 7 卢“i i ，m = j j 3 7 2 i 27 i t o d a i i 一2o p r o v e dt h a tf o rp 2 e a c ho ci san o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n7 l - q t - - l s s m i t h i i 一2 1 p r o v e dt h a t f o rp 5 鼠i san o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e r p i n7 r ( 川) 旷口一2 s t o d a i i 一1 4 p r o v e d t h a tf o rp 7e a c hmi san o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n 7 1 - t 口( p 2 却+ 1 ) 一口( p + 2 ) 一3 s c o h e nr i i l jp r o v e dt h a tf o rp 2 a n di 0 ，h o b i sap e r m a n e n tc y c l ei nt h e a s sa n dc o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n t6o fo r d e rpi n 砷时口s w i t ht h er e s u l t ， x i a n g j u nw a n g i i 一2 2 p r o v e dt h a tt h ep r o d u c t 成h o b ii s ap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea s s a n dc o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n7 。s i n i i 一1 2 ，x u e g u a n gz h o up r o v e dt h a tc e r t a i nt o d a ss e c o n d a r yp r o d u c to f1 2 ，叩3 ， - 一，( 1 ，已，一a n dp ，c e r t a i np r o d u c to f 声l ，阮，叩2 ，r 3 ，一，( 1 ，已，一，0 1 a r en o n z e r oa n d o b t a i n e dt h e i rr e p r e s e n t a t i o ni nt h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c e ，w h e r en a n d 夙d e n o t e r e s p e c t i v e l y 口f a m i l ya n d 口f a m i l y r e c e n t l y ，j i n k u nl i no b t a i n e das e r i e so fr e s u l t si nt h eh o m o t o p yg r o u p so fs p h e r e s ： ( a ) ( j i n k u nl i na n dq i b i n gz h e n g i i 一6 ) l e tp 7 ，n24 ，t h e nt h ep r o d u c t k 一1 9 0 ( 3 0 e z t j 9 “9 + 3 2 埘1 ) 9 ( 磊，耳) i sap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea d a m s s p e c t r a ls e q u e n c ea n dc o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n t o fo r d e rpi n7 7 p n 口+ 3 ( p 2 + p + 1 ) q 一7 s ( b ) ( j i n k u nl i n i i 一2 3 ) l e tp 7 i sp r i m e ，n 4 t h e nt h ep r o d u c t 。9 0 7 3 0 e z t 盖p “q + 3 ( p 2 a p + 1 ) 4 ( z p ，z p ) a n di tc o n v e r g e si nt h ea s st oan o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n t - p n g 十3 ( p 2 + p + 1 ) 口一6 s ( c ) ( j i n k u ul i n i i 一5 ) l e tp 5 ，n 兰3 ，t h e n ( 6 0 h 。+ h i k 1 ) 0 e z t j 矿9 + ”( 易，弓) i sap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea s sa n dc o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rpi n 7 r p n q p q 3 s 3 i nt h i st h e s i s id e t e c ts o m ef a m i l i e so fh o m o t o p ye l e m e n t si n7 r - sb ya d o p t i n gt w o m e t h o d s o n ei sn a m e da sg e o m e t r ym e t h o d ，t h eo t h e ri sn a m e da sa l g e b r a i cm e t h o d i nt h i st h e s i s ，w ed e t e c tf o u rn e wf a m i l i e si nt h es t a b l eh o m o t o p y g r o u p s o f s p h e r e s i n t h es e c o n dc h a p t e r ，b yt h eg e o m e t r ym e t h o da si n 【i i 一5 】 1 i 一6 ja n d ( i i 一2 3 】w ed e t e c tan e w n o n t r i v i a lf a m i l yi nt h es t a b l eh o m o t o p y g r o u p so fs p h e r e sa n dp r o v et h a t 风2 h 。0 e x t ；+ 3 矿9 + 川卅州m ( 磊，磊) i sap e r m a n e n tc y c l ei nt h ea s sa n di t c o n v e r g e st oan o n t r i v i a le l e m e n to fo r d e rp i n 7 r 矿口+ ( 5 + 2 ) p g + ( s + 1 ) 口一3 s ，w h e r ep 5 ，扎3 ，g = 2 ( p 一1 ) ，0s8 p 一2 i nt h e c o u r s eo fp r o o f , an e wf a m i l yo fh o m o t o p ye l e m e n t si n v o ) w h i c hi s r e p r e s e n t e db y 风i 7 ，i + ( n ) e z t “4 + 1 。+ 1 ( 日+ k ，名) i nt h ea d a m ss p e c t r a ls e q u e n c ei sd e t e c t e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h ef o r t hc h a p t e ra n dt h ef i f t hc h a p t e r ，b yt h e a l g e b r a i cm e t h o d w ed e t e c tt h a ti nt h ea d a m s s p e c t r a ls e q u e n c e 讯十3 h l h 。e x t 二 + 5 9 “9 + 。+ 3 2 9 + 5 + 3 抽+ ”1 。+ 5 ( 磊，乙) 0 9 7 ，n 4 ，0 s p 一3 ) ， 仉+ 3 ( 6 0 。+ 1 b 。一1 ) e x t 二i + 6 一“9 + 。+ 3 p 2 9 + 3 + 3 4 + ( 3 + 1 9 + 5 ( 弓，弓) ( p 7 ，扎4 ，0 s p 一4 ) a n d 反+ 2 b o h 。e x t ；+ 5 9 ”9 + 5 + 3 9 + 3 + 1 9 + 。( 乙，4 ) ( p 5 ，n 3 ，0 s 3 ，t h e n b 以i + ( k ) 0 e x t 2 a , p ”9 + 。+ 1 1 叶1 ( 日4 t f ，乙) 拈妒m n 丸e n tc 掣c f e 吮t h ea s sa n d c o n ，j e r f l e st 。n o n t r i v i 。1 e l e m e 疵厶酗口+ ( p + 1 ) 目一l k ， w h e r eh 。e n 矿4 ( 磊，弓) ， t h e o r e mi il e tp25 ，n 3 ，t h e n 声s + 2 h 。0 e 。t 3 矿9 + 泖州州) 口+ 5 ( z p ，z p ) 。snp e 御。n e n tc y c l ei nt h ea s s a n di t c o n v e r g e st onn o n t r i v i a le l e n t e n to f 。7 d e rp 伽 砀n 目斗( 5 + 2 ) p 口+ 扣+ 】) g 一3 s r e m a r k ：t h e 鼠+ 2 n e l e m e n to b t a i n e di nt h e o r e mi ii sa n i n d e c o m p o s a b l ee l e m e n t i “7 r , s ，i 。，i t i 8n 。tac 。m p o s i t i 。n 。fe l e m e n t so fl o w e rf i l t r a t i o n i n 7 r + s ，b c c a l i s e 。 ( n 0 ) i sk n o w nt od i ei nt h ea s s a f t e r g i v i n gs o m ep r e l i m i n a r i e so i le x tg r o u p s 。fl e w e rd i m e n s i o ni n8 e c t i o n2 2 t l l e p 。o f so ft h e o r e mia n d1 1w i l lb eg i v e ni ns e c t i o n2 3 a n d2 4r e s p e c t i v e l y 6 2 2t h em a ys p e c t r a ls e q u e n c ea n ds o m e u s e f u le x tg r o u p s i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l lf i r s tr e v i e ws o u l ek n o w l e d g eo nt h em a ys p e c t r a ls e q u e n c e a n dt h e np r o v es o m er e s u l t so ne x tg r o u p so fl o w e rd i m e n s i o nw h i c hw i l lb eu s e di nt h e p r o o f so f t h e o r e m s f r o mr e f e r e n c e 【3 】 p ，8 2 ，t h e o r e m3 2 5 ，t h e r ei sam a ys p e c t r a ls e q u e n c e ( m s s ) e + ，d r ) w h i c hc o n v e r g e st oe z t 掣( 磊，乙) w i t he 、一t e r m e y + = e ( ，h ，i m o ，i 兰o ) q 尸( 6 仉f m o ，i 三o ) o p ( n 。l ”2 。) w h e r eei st h ee x t e r i o ra l g e b r a ，尸i st h ep o l y n o m i a la l g e b r a ：a n dt h ee l e m e n t s 研，2 ( ”一1 1 p 2 ”1 ，b m ，t 霹，2 ( p ”一1 扫”1 9 2 ”一”，。够却”一1 ，2 ”+ 1 o n e h a sd r ：g ，如斗 e i + 1 l ，a n di fz e ；。t - 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