（应用数学专业论文）自由不连续问题的一些结果.pdf

摘要 x 3 s 6 8 3 自由不连续问题是一类广泛的变分问题。这类问题中变分泛函 包涵体积能量和面积能量，每项依赖于一个闭集k 和一个通常在k 外是光滑的函数。由于k 是未知的而且一般来说不是边界，因此 这类问题不是自由边界问题，需要一个新的方法来求解。应用b v 和g s b v 函数的理论能够成功的解决此类问题。 在这篇论文里我们应用变分法的直接方法和g s b v 函数的理论 证明了一类自由不连续问题的解的存在性。粗略地说我们的方法是： 首先我们在g s b v 函数中定义原来问题的弱解；然后根据g s b v 函 数的紧性和下半连续性证明弱解的存在性；最后我们通过证明弱解 ( 及其不连续集) 的正则性而得到原来问题解的存在性。由于我们的 证明没有用到数据的有界性条件，所以我们的结果推广了a l e a c i 的 结果。 j 对我们所考虑的问题，在一定条件下我们还证明了一个解的紧性 结果。，4 。 关键字：b vi 撒；g s b vi 城；f l 由不连续问题；变分法；几何测度论 -i，hnr a b s t r a c t n e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e m sa r et h o s ev a r i a t i o n a lp r o b l e m st h a tc o n s i s ti nt h em i n i m i s a t i o n o faf u n e t i o n a l ，i n v o l v i n gb o t hav o l u m ea n das u r f a c ee n e r g y , d e p e n d i n go nac l o s e ds e tka n d af u n c t i o nuu s u a l l ys m o o t ho u t s i d eo fk s i n e ek i sn o tf i x e dap r i o z ia n di sn o tab o u n d a r yi n g e n e r a l ，t h e s ep r o b l e m sd on o tf a l li n t ot h ec l a s so ff r e eb o u n d a r yp r o b l e m s t h e yr e q u i r ean e w a p p r o a c ht ob es u c c e s s f u u yh a n d l e d ；t h eu s eo fs b vo rg s b vf u n c t i o n sh a st ob ep a r t i c u l a r l y f r u i t f u l ，t h r o u g hs u i t a b l ew e a kf o r m u i a t i o n so ft h eo r i g i n a lp r o b l e m sa n dr e g u l a r i s a t i o no ft h e s o l u t i o n so ft h er e l a x e dp r o b l e m s i t h i st h e s i sw ep r o v e dae x i s t e n c et h e o r e mo faf r e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e mu s i n gt h ed i r e c t m e t h o d so fc a l c u l u so fv a r i a t i o n si nt h es e t t i n go fg s 口yf u n c t i o n s r o u g h l ys p e a k i n g o u r m e t h o di s ：f i r s t l yw er e l a xt h eo r i g i h a lp r o b l e mt og i v eaw e a kf o r m u l a t i o ni ng s b vf u n c t i o n s ； s e c o n d l yw ee a s i l yp r o v et h ee x i s t e n c ef o rt h er e l a x e df u n c t i o n s lb yl a r n b r o s l o sc o m p a c t a n dl o w e ts e m i c o n t i n u i t yt h e o r e mf o rg s b vf u n c t i o n s ；t h i r d l yw eo b t a i nf r o mt h em i n i m i z e r o ft h er e l a x e df u n c t i o n a lap a i rw h i c h1 1 1 i n i i n i s e so u ro r i g i n a lf u n c t i o n a l ，t h r o u g hp r o v i n gt h e m i n i m i z e rra n di t sd i s c o n t i n u i t ys e t ) o ft h er e l a x e df u n c t i o n a ls a t i s f y i n gs o m er e g u l a r i t i e s t h i s r e s u l te x t e n d st h et h e o r e mo fa l e a c is i n c ei no u rt h e o r e mw er e m o v et h eb o u n d e dc o n d i t i o n o n t h ed a t a f o ro u rc o n s i d e r e d p r o b l e m w ea l s op r o v e dac o m p a c t n e s sr e s u l to f as e q u e n c eo f m i n i m i z e r s u n d e rs o m ec o n d l t i o n s k e y w o r d s ： b vf u n c t i o n s ；g s b vf u n c t i o n s ；f r e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e m s ；c a l c u l u so f v a r i a t i o n s ； g e o m e t r i cm e a s u r et h e o r y c h a p t e ri i n t r o d u c t i o n 1 1f r e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e m s f o l l o w i n gat e r n f i n o l o g yi n t r o d u c e db yd eg i o r g ii n 3 s ，w ed e n o t ea sf r e ed i s c o n t i n u i t y p r o b l e m sa ut h o s ep r o b l e m si nt h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n sw h e r et h eu n k n o w ni sap a i rf u k 1 w i t hke a r i n gi nac l a s so f ( s u f f i c i e n t l ys m o o t h ) c l o s e dh y p e r s u r f a c e sc o n t a i n e di naf i x e do p e n s e tf 2cr “a n du ：f l k _ r 们b e l o n g i n gt oac l a s so ff s u f f i c i e n t l ys m o o t h lf u n c t i o n s s u c h p r o b l e m sa r eu s u a l l yo ft h ef o r m m i n e , ，( “，置) + b ( mk ) + l o w e ro r d e rt e r m s ) 1 1 w i t he t _ ，e sb e i n gi n t e r p r e t e da sv o l u m ea n ds u r f a c ee n e r g i e s ，r e s p e c t i v e l y s e v e r a le x a m p i e sc a ub ed e s c r i b e di nt h i ss e t t i n g w el i s taf e wo n e s ( i ) s i g n a lr e c o n s t r u c t i o n as o u r c es i g n a li su s u a l l yap i c c e w i s es m o o t hf u n c t i o n “( w h i c h w em a yt h i n ka sp a r a m e t e r i z e do ns o l n ei n t e r v a l ( a b ) ) ( s e e 6 7 ， 5 8 】) t h ep r o b l e mo fr e c o i l s t r n c t i n guf r o mad i s t u r b e di n p u tgd e r i v i n gf r o n lad i s t o r t e dt r a n s m i s s i o n c a nb em o d e l l e d a sf i n d i n gt h en f i n i m u m m i n 五u ，| 2 d r + c lf 。5l u 刮2 d r + c 2 社( ) ( 1 2 w h e r es ( “) d e n o t e st h es e to fd i s c o n t i n u i t yp o i n t so f “h e r e ，e 1a n d 。2a r et u n i n gp a r a m e t e r s i nt h i sc a s en = ( a ，6 ) k = 乳，e ”( u ，k ) = j n 、kl u 1 2 出，a n de ( u ，) = c 2 社( 耳) ( i i ) i m a g er e c o n s t r u c t i o n t h ef o r m u l a t i o na b o v ec a nb ee x t e n d e dt om o d e ls o l n ep r o b 1 e m si nc o m p u t e rv i s i o nb yi n t r o d u c i n gt h ef u n c t i o n a l ( s e e 5 9 ， 5 7 ， 3 9 ， 3 1 ， 6 4 ) l v u l 2 d z + c l l u 9 1 2 d z + c 2 咒1 ( 五 j n 、k 1 3 ) w h e r e7 t d e n o t e st h es - d i m e n s i o n a lh a u s d o r f fi n c a s u r e i nt h i sc a s egi s i n t e r p r e t e da st h e i n p u tp i c t u r et a k e nf r o u lac a l n e r a ，“i st h ec l e a n e di m a g e a n dki st h er e l e v a n tc o n t o u ro f t h eo b j e c t si nt h ep i c t u r e a g a i n ，e la n de 2a r cc o n s t r a s tp a r a m e t e r s n o t et h a tt h ep r o b l e m i sm e a n i n g f u la l s oa d d i n gt h ec o n s t a n tv u = 0o u t s i d e 耳i nw h i c hc a s ew eh a v eam i n i m a l p a r t i o n i n gp r o b l e m ( s e ee g 【s g ， 2 9 ， 7 ， 8 2 2 ) f i i i lf r a c t u r e dh y p e r e l a s t i cm e d i a i nt h i sc a s eqcr 3i st h er e f e r e n c ec o n f i g u r a t i o n o fa ne l a s t i cb o d y , ki st h ec r a c ks u r f a c e ，a n dur e p r e s e n t st h ee l a s t i cd e f o r m a t i o ni nt h e u n f r a c t u r e dp a r to ft h eb o d y f o l l o w i n gg r i 伍t h st h e o r yo ff r a t u r e w ec a ni n t r o d u c eas u r f a c e e n e r g yw h i c ha c c o u n t sf o rf r a c t u r ei n i t i a t i o n ( s e e 1 5 ， 9 ) i nt h eh o m o g e n e o u sc a s e ，t h i s t y p e s e tb y & v 一- r e x s o m er b s u i t so ff r e ed i s g o n t i n u i t yp r o b l e m s e n e r g yi ss i m p l yp r o p o r t i o n a lt ot h es u r f a c e a l ? e ao fki ft h eb o d yi s i s o t r o p i c ：e ，( “，k ) = c 7 2 ( 耳) o r ，n l o r eg e n e r a l l y , ei sa ni n t e g r a lo nkd e p e n d i n go nt h eo r i e n t a t i o n o ft h ec r a c k s u r f a c ei nt h g en o n - i s o t r o p i ec a s e ：e 5 ( u ，k ) 2kt p ( v ) d t 2 t h ev o h n n ee n e r g yt a k e st h ef o r m e t ，( mk 】= r n 、kw ( v u ) d z ，w h e r ew i sa i le l a s t i cb u l ke n e r g yd e n s i t y ( f o rf r e ed i s c o n t i n u i t y p r o b l e m si nt i f f sf r a n l e w o r ks e e f o re x a m p l e ，9 j ，f 2 1 1 2 3 】，4 4 1 ) ( i v ) d r o p so fl i q u i dc r y s t a l s ( o s e e n - f r a n ke n e r g yw i t hs u r f a c ei n t e r a c t i o n ) i n t h i sm o d e ldcnr e p r e s e n t st h er e g i o no c c u p i e db yal i q u i dc r y s t a l w h o s ee n e r g yi s d w ( n , v n ) 出+ 厶。肋u d ) d 咒2 f 1 4 i nt h i sc a s e k = o d ，ni st h eo r i e n t a t i o no ft h ec r y s t a l ，“= ( n ，) z di st h en o r m a lt oo d ( s e e 7 0 ) ( v ) p r e s c r i b e dc u r v a t u r ep r o b l e m s a sap a r t i c u l a rf r e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e mw ec a n a l s or e c o v e rt h ep r o b l e mo f f i n d i n gs e t sew i t hb o u n d a r yo f p r e s c r i b e dm e a nc u r v a t u r r e 日：i e s a t i s f y i n g 丑2g po no e i nt h i sc a s et h ee n e r g yt ob em i n i m m i z e di s g ( z ) d z + 7 l “一1 ( a e )( 1 5 ) j e w h i c hc a nb es e e na s8 u n lo fav o h u n ea n das u r f a c ee n e r g yd e p e n d i n go i lt h eu n k n o w n s “= x e a n dk = 0 e t h et r e a t m e n to f f r e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e m sf o l l o w i n gt h ed i r e c tm e t h o d so f t h ec a l c u l u s o fv a r i a t l o n sp r e s e n t sm a n yd i f f i c u l t i e s ，d u et ot h ed e p e n d e n c eo ft h ee n e r g i eo nt h es u r f a c e k u n l e s st o p o l o g i c a lc o n s t r a i n t sa r ea d d e d i ti su s u a l l yn o tp o s s i b l et od e d u c ec o m p a c t n e s s p r o p e r t i e sf r o mt h eo n l yi n f o r m a t i o nt h a ts u c hk i n do fe n e r g i e sa r eb o n n d e d a ni d e ao fd e g i o r g ih a sb e e nt oi n t e r p r e tk a st h es e to fd i s c o n t i n u i t yp o i n t so ft h ef u n c t i o n u ，a n dt os e tt h e p r o b l e m si nas p a c eo fd i s c o n t i n u o u sf u n c t i o n s t h er e q u i r e m e n t s0 ns u c has p a c ea r eo ft w o k i l l d s ： ( a ) s t r u c t u r ep r o p e r t i e s ：i fw ed e f i n ek a st i l es e to fd i s c o n t i n u i t yp o i n t so ft h ef u n c t i o n “t h e nkc a nb ei n t e r p r e ta sa nh y p e r s u r f a c e a n dui s “d i f i e r e n t i a b l e “o nq ks ot h a tb u l k e n e r g yd e p e n d i n go i lv c a l lb ed e f i n e d ： ( b ) c o m p a c t n e s sp r o p e r t i e s ：i ti sp o s s i b l et oa p p l yt h e d i r e c tm e t h o do ft h ec a l c u l u so f v a r i a t i o n s 。o b t a i n i n gc o m p a c t n e s so fs e q u e n c e so ff u n c t i o n sw i t hb o u n d e de n e r g y t h ea n s w e rt ot h et w or e q u i r e m e n t sa b o v eh a sb e e nd eg i o r g ia n da m b r o s i o ss p a c eo f s p e c i a lf u n c t i o n so fb o u n d e dv a r i a t i o n 37 ：af u n c t i o nub e l o n g st os b v ( e ) i f fi t sd i s t r i ， b u t i o n a ld e r i v a t i v ed ni sab o u n d e dm e a s u r et h a tc a l lb es p r i ti n t oab u i ka n da8 u r f a c et e r m t h i sd e f i n i t i o nc a nb ef u r t h e rs p e c i f i e d ：i fu s b v ( n ) a n ds 似) s t a n d sf o rt h ec o m p l e t m e n to f t h es e to ft h el e b e s g u ep o i n t sf o rut h e nam e a s u r et h e o r e t i c a ln o r m a lv “t os “c a l lb ed e f i n e d 咒”- a e o n 乳，t o g e t h e rw i t ht h et r a c e s “+ o nb o t hs i d e so f 乳；m o r e o v e r ，t h ea p p r o x i m a t e g r a d i e n tv ue x i s t sa e o i lq a n dw eh a v e d u = v u c + ( “+ 一u 一) h w ”。l s u( 1 6 r e p l a c i n gt h es e tkb y 鼠w eo b t a i naw e a kf o r m u l a t i o nf o rf r e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e m s ，w h o s e e n e r g i e st a k et h eg e n e r a lf o r m z , u , v n ) 出+ z 。p ( z , u + u - , 圳矿1 ( 1 7 1 2b x i s t e n c er e s u l t s 1 2e x i s t e n c er e s u l t s 3 a ne x i s t e n c et h e o r yf o rp r o b l e m si n v o l v i n g ( 1 ，1 ) _ ( 1 5 ) h a sb e e nd e v e l o p e db ya m b r o s i o 【3 _ i s a n d 3 8 u n d e rs o n l eb o u n d e dc o n s t r a i n t s a ni m p o r t a n ta n de x t e n s i v e l ys t u d i e dm o d e le a s ei sg i v e nb yt h ef o l l o w i n gf u n c t i o n a l e ( u ) = i v u p + d m 9 1 。d z + 卢爿n - - 1 ( q n k j n 、 - w h e r ep 1 ，g 1 g l q ( n ) ，u c 1 ( q 眉) ，kc l o s e d ，n ，卢 0 i t sw e a kf o r m u l a t i o n i s e ( “) = v u l + a f u g j q d x + p w ”一1 ( s 。) 1 8 f 1 9 w h e r eu s b v ( n ) i fg 工。( q ) ng l q ( f 1 ) o ru g s b v ( f 1 ) i fg 五9 ( ) i ng e n e r a l w l l e np = q = 2 ，n = 2 。g 三( q ) ，( 1 8 ) ( i e ( 13 ) ) i st h em u m f o r ds h a hf u n c t i o n a l w h i c hi ss u g g e s t e db yi m a g es e g m e u t a t i o ni nc o m p u t e rv i s i o n i nt h i sc a s egi n 1 g ) r e p r e s e n t s t h ei m a g eo fag r o u po fo b j e c t sg i v e nb yac a m e r a w i t hd i s c o n t i n u i t i e sa l o n gt h ee d g e so ft h e o b j e c t s b ym i n i m i z i n gt h ef u n c t i o n a l ( 1 9 ) o l l et r i e st od i s t i n g u i s ht h ed i s c o n t i n u i t i e sd u et o t h ee d g e sa n ds h a d o w sf r o n lt h ed i c o u t i n u i t i e sd u et on o i s ea n ds m a l li r r e g u l a r i t i e s i nt h ep a p e rf 3 s ，d eg i o r g i - c a r r i e r o - l e a c ip r o v e dt h ef o l l o w i n ge x i s t e n c et h e o r e m t h e o r e m1 1 l e tn n ，n 2 ，l e tncr “b en no p e ns e t ，1s 口 0 g 工( n ) ng 五2 ( n ) ? t h e nt h e r ee z i s t sa tl e a s to n ep a i r ( k ，u ) m i n i m i z i n gt h ef a n c t i o n a le d 印n e dy o re v e r yc l o s e ds e tk 亡冗札a n df o re v e r y “c 1 ( n 耳) b y g ( k ，“】= i w l 2 + a i “9 1 2 d z + j 臼w ”一1 ( nn 耳) j n r f o rt h ep a r t i c u l a rc a s en = 2 ，d a lm a s o - m o r e l s o l i m i n ii n 3 2 p r o v e dt h es a n l er e s u l t t h ei d e ai uc o u l l n o nt ob o t hp r o o f si st h el l s eo faw e a kf o r m u l a t i o no ft h ep r o b l e mf o rw h i c h e x i s t e n c et h e o r e ma r ea v a i l a b l e 3 t h i si sd o n eb ys e t t i n g s = 鼠= z q ：。i sn o t al e b e s g u ep o i n to fu ) a n d m i n i m i z i n g t h e g r e a t e s t l o w e rs e m i c o n t i n u o u se n v e l o p e ( t h er e l a x e d f u n c t i o n a l ) g i e ( 1 9 ) ( p = 2 ) o fgi nap a r t i c u l a rc l a s so ff u n c t i o n so fb o u n d e dv a r i a s t i o n ，d e n o t e db ys 口矿( q ) t h es e t 乳o ff u n c t i o n s i ns b v g ) i sn o tn e c e s s a r i l yc l o s e d o nt h eo t h e rh a n d 、t h ea u t h o r so ff 3 8 1 a n d 3 2 p r o v e db yd i f f e r e n tm e t t h o d st h a t 咒一1 ( 乳nn 民) = 0f o ra n ym i n i m i z e rno ft h e r e l a x e df u n c t i o n a l t h e n t h ep a i r ( s u ) m i n i m i z e sg s o m eo t h e re x i s t e n c er e s u l t sf o rf u n c t i o n a l f l 8 ) h a v eb e e np r o v e di nv a r i o u sp a p e r si nw h i c h t h ep r o o f sa l u 2 0 s tf o l l o w e dt h ei d e ao f 【3 8 i nt h ee l b eo fp5n = 2a n dgp o s s i b l yu n b o u d e d ， a ne x i s t e n c er e s u l th a sb e e np r o v e di nf 5 0 i n 4 9 t h em a i nt h e o r e mo f 4 8 w a se x t e n d e d t ot h em u l t i d i m e n s i o n a lc a s e w en o t e dt h a tt h ee x i s t e n c er e s u l t sw e r ee s t a b l i s h e di nf 5 0 1 w h e np l ，gb o u n d e da n di n 3 0 w h e np l ，gb o u n d e d ，qb o u n d e da n du c 1 ( n 耳；s 。) ( 8 = f z r h l ：川= 1 ) i nt h i st h e s i sw ew i i lp r o v ea ne x i s t e n c et h e o r e mf o ras o l u t i o no faf r e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e m w i t hp - t hg r o w t ha n du n b o u n d e dd a t ai na n yd i m e n s i o ns p a c ew h i c he x t e n d st i l er e s u l to ff 5 0 4s o m er e s u i 卫so ff r e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e m s 1 3r e g u l a r i t yr e s u l t s t h er e g u l a r i t yo fn ：i n l m i s i n gp a i r s ( k u ) f o rt h em u m f o r d - s h a hf m m t i o n a li sav e r yc h a l l e n g - i n gm a t h e n a a t i c a lp r o b l e m s t i l lt h eo b j e c to fa c t i v ei n v e s t i g a t i o n s s o n l er e s u l t sa r ea v a i l a b l e i nd i m e n s i o n2a n di fn2 n i n n yp r o p e r t i e so fs o l u t i o n sa r es t i l lu n k n o w n ，t h ef o l l o w i n g c m 日e c t u r e s t a t e df o rn = 2b yd m u m f o r da n dj s h a hi n 5 9 w a 8s t i l lo p e n 1 , 3 1e o n j e e t u r e ( m u m f o r d s h a h ) l e t ( k n ) b ea no p t i m a le s s e n t i a l p a i r e e n p 3 1 圳 ，d rt h em u m f o r d s h a ha n c t i o n a l ：t h e n ，ki sl o c a l l yi nnz ku n i o no f f i n i t e l ym a n yc 1 一e m b e d d e da r c s an l o r ep r e c i s ef o r mo ft i l ec o u j e c t u r es t a t e st h a to n l yt w ok i n d d so fs i n g u l a r i t i e sc a l lo c c u ri n s i d en ：e i t h e ral i n et e r m i n a t e sa ts o n l ep o i n t t h es o - c a l l e dc r a c kt i p o rt h r e el i n e s l n e e tf o r n f i n ge q u a la n g l e so f2 _ 】r 3 t h es oc a l l e dt r i p l ej u n c t i o n t h ed i s t a n c eb e t w e e nt h e m u m f o r d s h a l lc o n j e c t u r ea n dt h en f i l dr e g u l a r i t yp r o p e r t i t i e so f 3 2 ， 4 0 j ， 3 4 a n d 3 6 】( s u c ha s r e c t i f i a b i l i t y ，d e b s i t yl o w e rb o u n d s e t c ) i ss t r i k i n g h o w e v e r s o n - l ep r o m o n gr e g u l a r i t yr e s u l t s h a v eb e e no b t a i n e di nt h ev e r yl a s ty e a r s ，s i m u l t a n e n o u s l ya n di n d e p e n t e n t l y ，b ya m b r o s i o f u s c o - p a l l a r a 1 0 ，【1 = 1 b yb o n n e t 1 7 1 8 ， 1 9 a n db yd a v i d 3 3 b o n n e t sr e g u l a r i t yt h e o r e m 1 9 1y i e l d sap o s i t i v ea n s w e rt ot h em u m f o r d s h a hc o n j e c t u r e a n dt ot i l ec l a a s i f i c a t i o no f s i n g u l a r i t i e si nt r i p l ej u n c t i o n sa n dc r a c kt i p sf o ra l lo p t i m a le s s e n t i a l p a i r s ( k 1s u c ht h a tkh a sl o c a l l yaf i n i t en m n h e ro fc o n n e c t e dc o m p o n e n t si nn b u tf o ra n o p t i m a le s s e n t i a lp a i r ( k “) i ti sn o te v e nk n o w nw h e t h e rt h ec o n n e c t e dc o m p o n e n t so fk a r e c o u n t a b l yn l a n yo rn o t a m b r o s i o f u s c o - p a l l a r ai n 1 0 ， 1 2 1 ( o rs e e ：0 1 ) p r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t l e tf ( u n ) = 。f i w l 2 如+ 咒一1 ( & nn ) 1 3 2t h e r e t o 矿n s b m o f ( n ) i saq u a s i m i n i m i s e ro f f t h e r ee x i s t sa n 何“一1 一n e g 幻i b l e s e t c 乳nqr e l a t i v e l yi nnn & i sah y p e r s u r f a c eo fc l a s sc 1 , 1 4 t h i sr e s u l tc a nb ea p p l i e di np a r t i c u l a rt om i n i m i s e r so ft h em u m f o r d s h a hf u n c t i o n a l v u l 2 d z + a l u 9 1 2 d z + p 咒”一1 ( n q w h i c ha r eq u a s i - m i n i m i s e r so ff ，p r o v i d e dg 工。( q ) t h i sr e g u l a r i t yt h e o r e m ，v a l i di na n y n u n l b e e ro fd i m e n s i o n s s t a t e st h a tt h e r e re x i s t sac l o s e ds