《电磁场与电磁波》必考复习题()有答案.pdf

- 1 - 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 20132013 期末复习题期末复习题 一填空题一填空题 1已知矢量 2 z 2 y 2 x zexyexea ，则a = zxyx222 ， a = 2 yez 。 2矢量ba 、垂直的条件为 0ba 。 3理想介质的电导率为 0 ，理想导体的电导 率为 ，欧姆定理的微分形式为 ej 。 4静电场中电场强度e 和电位的关系为 e ，此关系的理论 依据为 0e ；若已知电位 22 z3xy2，在点（1,1,1）处电 场强度e 642 zyxeee 。 5恒定磁场中磁感应强度b 和矢量磁位a 的关系为 ab ；此关系 的理论依据为 0 b 。 6通过求解电位微分方程可获知静电场的分布特性。静电场电位泊松方程为 / 2 ，电位拉普拉斯方程为 0 2 。 7若电磁场两种媒质分界面上无自由电荷与表面电流，其de 、 边界条件为： _021eeen_和 021dden ；hb 、边界条件为：021bben和 021hhen。 8空气与介质)4( 2r 的分界面为 z=0 的平面，已知空气中的电场强度为 4e2eee zyx1 ,则介质中的电场强度 2 e zyxeee2 。 9. 有一磁导率为 半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 i，柱外是空气（0 ） ，则柱内半径为 1 处磁感应强度 1 b = 1 2 i e ；柱外半 径为 2 处磁感应强度 2 b = 2 0 2 i e 。 10已知恒定磁场磁感应强度为z4emyexeb zyx ,则常数 m= 5 。 - 2 - 11半径为 a 的孤立导体球，在空气中的电容为 c0= a 0 4 ；若 其置于空气与介质（1 ）之间，球心位于分界面上，其等效电容为 c1= a)(2 10 。 12已知导体材料磁导率为，以该材料制成的长直导线单位长度的内自感为 8 。 13空间有两个载流线圈，相互 平行 放置时，互感最大；相互 垂直 放置时，互感最小。 14两夹角为 n (n 为整数)的导体平面间有一个点电荷 q，则其镜像电荷个 数为 （2n-1） 。 15 空间电场强度和电位移分别为de 、 ， 则电场能量密度we= de 2 1 。 16空气中的电场强度)2cos(20kztee x ，则空间位移电流密度 d j = = )/()2sin(40 2 0 makztex 。 17在无 源区内 ，电场 强度e 的波动方 程为 0 2 2 2 t e e 或 0 22 ee 。 18频率为 300mhz 的均匀平面波在空气中传播，其波阻抗为 ）（120 ， 波的传播速度为 )/(103 8 sm ，波长为 )( 1 m ，相位常数为 )/(2mrad ；当其进入对于理想介质(r = 4，0)，在该介质中的波阻 抗为 ）（60 ， 传播速度为 )/(105 . 1 8 sm ， 波长为 )(5 . 0m ， 相位常数为 )/(mrad 。 19已知平面波电场为 zj yxi ee je (ee ) 0 ，其极化方式为 右旋圆极 化 。 20已知空气中平面波 )86( , zxj me eezxe y，则该平面波波矢量k - 3 - 86 zxee ， 角 频 率 = )/(103 9 srad ， 对 应 磁 场z , xh )/(6 . 08 . 0 120 )86( maeee e zxj zx m 。 21海水的电导率=4s/m，相对介电常数81 r 。对于 f=1ghz 的电场，海水 相当于 一般导体（ 9 8 ） 。 22导电媒质中，电磁波的相速随频率变化的现象称为 色散 。 23 频率为 f 的均匀平面波在良导体（参数为、）中传播，其衰减常数 = f ， 本征阻抗相位为 4/ ， 趋肤深度= f/1 。 24均匀平面波从介质 1 向介质 2 垂直入射，反射系数 和透射系数 的关系 为 1 。 25均匀平面波从空气向 0 ,25. 2 r 的理想介质表面垂直入射，反射系数 = 2 . 0 ，在空气中合成波为 行驻波 ，驻波比 s= 5 . 1 。 26 均匀平面波从理想介质向理想导体表面垂直入射， 反射系数= 1 ， 介质空间合成电磁波为 驻波 。 27均匀平面波从理想介质 1 向理想介质 2 斜入射，其入射角为i, 反射角为 r, 折射角为t ，两区的相位常数分别为 k1、k2，反射定律为 ir ， 折射定律为 2 1 sin sin k k i t 。 28均匀平面波从稠密媒质(1)向稀疏媒质(2)以大于等于 c 1 2 arcsin 斜入射，在分界面产生全反射，该角称为 临界角 ；平行极化波以 b 1 2 arctan 斜入射，在分界面产生全透射，该角称为 布儒斯特 角 。 29tem 波的中文名称为 横电磁波 。 - 4 - 30电偶极子是指 几何长度远小于波长、载有等幅同相电流的电流 线 ，电偶极子的远区场是指 1kr区域的场 。 二简答题二简答题 1. 导电媒质和理想导体形成的边界，电流线为何总是垂直于边界？ 答：由边界条件，电场的切向分量连续，而理想导体中的电场为零，故边界导体 一侧的电场切向分量为 0，从ej可知电流线总是垂直于边界。 2写出恒定磁场中的安培环路定律并说明：磁场是否为保守场？ 答：恒定磁场中的安培环路定律为 sc sdjldh 因为电流密度不为零，所以磁场不是保守场。 3电容是如何定义的？写出计算双导体电容的基本步骤。 答：单导体的电容为 q c 双导体的电容定义为 u q c 计算双导体电容的基本步骤：(1)选取合适的坐标系选取合适的坐标系; ;(2)假设其中一个导体带电 荷 q，另一个导体带电荷q;(3)求导体间的电场；(4)由 2 1 ldeu计算两导体 间的电压；(5)求电容 u q c 。 4叙述静态场解的惟一性定理，并简要说明其重要意义。 答：静态场解的惟一性定理:在场域 v 的边界面 s 上给定或 n 的值，则泊松 方程或拉普拉斯方程在场域 v 中具有惟一值。 惟一性定理的重要意义: 给出了静态场边值问题具有惟一解的条件； 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据； 为求解结果的正确性提供了判据。 5什么是镜像法？其理论依据是什么？如何确定镜像电荷的分布？ - 5 - 答： 镜像法是用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界 上未知的较为复杂的电荷分布， 从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限 大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。 镜像法的理论基础解的惟一性定理。 确定镜像电荷的两条原则： 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中； 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件 来确定。 6分别写出麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式并做简要说明。 答：麦克斯韦方程组的积分形式： 自由电荷的代数和。 合曲面包含的电位移的通量等于该闭穿过任意闭合曲面的 。于磁感应强度的通量恒等穿过任意闭合曲面的 通量变化率的负值。为周界的任一曲面的磁 以该闭合曲线曲线的环量，等于穿过电场强度沿任意闭合 。导电流与位移电流之和为周界的任一曲面的传 以该闭合曲线曲线的环量，等于穿过磁场强度沿任意闭合 vs s sc cs dvsdd sdb sd t b lde sd t d jldh 00 麦克斯韦方程组的微分形式： 电荷产生电场。 线总是闭合曲线。磁场是无散场，磁力 。变化的磁场产生电场 场都能产生磁场。传导电流和变化的电 d b t b e t d jh 0 7写出坡印廷定理的积分形式并简要说明其意义。 答：坡印廷定理的积分形式 vvs vv t dd) 2 1 2 1 ( d d d)(jebhdeshe 式中 - 6 - v v t d) 2 1 2 1 ( d d bhde 在单位时间内体积 v 中所增加的电磁能量。 v vdje 单位时间内电场对体积 v 中的电流所作的功；对导电媒质，即 为体积 v 内总的损耗功率。 s she d)(单位时间内通过曲面 s 进入体积 v 的电磁能量。 物理意义： 在单位时间内， 通过曲面 s 进入体积 v 的电磁能量等于体积 v 中 所增加的电磁场能量与损耗的能量之和能量守恒！能量守恒！ 。 8什么是波的极化？说明极化分类及判断规则。 答：波的极化:在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间变化的 轨迹， 或者说是在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性分为线极 化、圆极化、椭圆极化三种。 判断规则：根据两正交分量的振幅或/和两者初相角的相对大小来确定，如 果或0 xy ，则为线极化；若 xmym ee，且2/ xy ， 则是圆极化波；其它情况是椭圆极化波。 9分别定性说明均匀平面波在理想介质中、导电媒质中的传播特性。 答：理想介质中的均匀平面波的传播特点： 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（tem 波） ； 无衰减，电场与磁场的振幅不变； 波阻抗为实数，电场与磁场同相位； 电磁波的相速与频率无关，无色散； 电场能量密度等于磁场能量密度，能量的传输速度等于相速。 导电媒质中均匀平面波的传播特点： 电场强度 e e、 磁场强度h h 与与波的传播方向相互垂直， 是横电磁波 （tem 波） ； 媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场相位不同，磁场滞后于电场角； 在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减； 电磁波的相速不仅与媒质参数有关，而且与频率有关 （有色散） ； 平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。 10简要说明行波、驻波、行驻波之间的区别。 答：行波的振幅不变，其驻波比为 1；驻波的振幅最小值是零，其驻波比为无穷 - 7 - 大；行驻波是行波与纯驻波的叠加，其振幅最小值非零，驻波比在 1 到无穷大之 间。 11简要说明电偶极子远区场的特性。 答：电偶极子远区场的特点远区场的特点： 远区场是横电磁波，电场、磁场和传播方向相互垂直； 远区电场和磁场的相位相同； 远区场电磁场振幅比等于媒质的本征阻抗，即 h e 远区场是非均匀球面波，电磁场振幅与r/1成正比； 远区场具有方向性，按 sin变化。 三、分析计算题三、分析计算题 1. 电场中有一半径为a的圆柱体，已 知圆柱体内、 外的电位函数 为 a a a a cos 0 2 求：圆柱体内、外的电场强度； 柱表面电荷密度。 注：柱坐标中 z eee z 1 解：由e可得 a a e a ae a e sin1cos1 0 2 2 2 2 因为sn s dde21，则 cos201aee as 2. 同心球形电容器的内导体半径为a，外导体半径为b，其间填充介电常数为 的均匀介质。已知内导体球均匀携带电荷 q。求：介质求内的电场强度e； 该球形电容器的电容。 解：由高斯定理 q sde s ，可得 - 8 - 2 2 4 4 r q e q re rr 所以 2 4r q ee r 因为内外导体球壳间的电压为 ba q dr r q ldeu b a 11 44 2 外 内 所以电容量 )( 4 ab ab u q c 3. 空气中有一磁导率为、 半径为a的无限长导体圆柱， 其轴向方向的电流强度 为i，求圆柱内外的磁感应强度b和磁场强度h。 解：由 sc sdjldh，可得 在圆柱体内时， 2 2 2 2 2 a i h a i h 在圆柱体外时， 2 2 i hih 所以 a i e a a i e h 2 2 2 相应的磁感应强度为 a i e a a i e b 2 2 0 2 4. 矩形线圈长与宽分别为a、b，与电流为i的无线长直导线放置在同一平面上， 最短距离为 d，如图。已知ii ，求长直导线产生的磁场及线圈与导线间的互 感；已知导线电流tiicos 0 ，求导线产生的磁场及线圈中的感应电动势。 解：由 sc sdjldh，可得 2 2 i hih - 9 - 所以 2 i eh 因为磁链为 d bdia ad i sdb bd ds ln 22 00 故互感是 d bda i m ln 2 0 与前面相似，可求得磁感应强度为 t i ehb cos 2 00 0 磁通量是 t d bdai c o sln 2 00 感应电动势为 t d bdai t s i nln 2 00 其参考方向见下图中的红色箭头。 5. 一点电荷 q 放置在无限大的导体平面附近，高度为 h。已知空间介质的相对介 电常数2 r 。求点电荷 q 受到的电场力；高度为 4h 的 p 点的电场强度与 电位。 解： 由镜像原理，点电荷 q 受到的电场力即为其镜像电荷q对它的作用力， 因此 - 10 - 2 0 2 2 0 32)2(4 )( h q e h qq ef z r z 高度为 4h处的电场强度为 2 0 2 0 2 0 4 225 2 )4(4)4(4h q e hh q e hh q ee z r z r zh 电位 h q hh q hh q rr h 000 4 60)4(4)4(4 6已知半径为a的导体球带电荷量为 q，距离该球球心ad4处有一电荷 q，求 q 受到的电场力。 解： 镜像电荷分布见下图，其中 4 2 a d a d， 4 q q d a q。所以 q 受到的电场力是 2 2 2 2 2 225256 31 64 4 )( 4 a q a qq d qqq e dd qq ef xxq 7海水的电导率 =4s/m，相对介电常数 81 r 。设海水中电场大 - 11 - 小为tcosee m ， 求频率 f=1mhz 时， 海水中的传导电流密度 j; 海水中的位移电流密度 jd。 解：)/(1022 6 sradf 由ej可得，海水中的传导电流密度大小 tej m cos4 海水中的位移电流密度大小为 te tete t d j m mmrd sin5 . 4 sin1028110 36 1 sin 69 0 8在理想介质 (1,25. 2 rr )中均匀平面波电场强度瞬时值为： )t-kzcos(40t , z x ee 。已知该平面波频率为 10ghz，求：该平面波 的传播方向、角频率、波长、波数 k；电场强度复矢量；磁场强 度瞬时值；平均能流密度矢量 v sa 。 解： 沿+z 方向传播；角频率、波长、波数 k 依次为 hzhzghzf 109 10101010，)/(1022 10 sradf )/(102 25. 2 )/(103 8 8 sm smc vf rr ，)(02. 0 10 102 10 8 m )/(100 02. 0 22 mradk 电场强度复矢量 )/(40)(mveeze jkz x 磁场强度复矢量为 )/( 2 1 25. 2 120 40 )( 1 )(maeeeezeezh jkz y jkz yz - 12 - 所以其瞬时值是 )/()cos( 2 1 ),(makztetzh y 平均能流密度矢量 v sa )/( 10 2 1 40re 2 1 )()(re 2 1 2 * mweeeeezhzes z jkz y jkz xav （讲到此！ ） 9已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为： )43(cos 3 1 ,zxt-etzxh y a/m 求该平面波角频率、频率 f、波长；电场、磁场强度复矢 量；瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。 解： )/( 3 1 )/( 3 1 ),( )( )43( maeemaeezxh zkykxkj y zxj y zyx ，故 4,0,343 zyxzyx kkkzxzkykxk )(4 . 0 2 )/(5)4()3( 22222 mmradkkkk zyx )(105 . 7 4 . 0 )/(103 8 8 hz smc fcvf )/( 3 1 ),( )43( maeezxh zxj y )/(348 5 43 3 1 120/),(),( )43( )43( 0 mveee ee eekkzxhyxe zxj zx zx zxj y 平均坡印廷矢量 )/()43( 3 4 3 1 348re 2 1 ),(),(re 2 1 2 )43()43( * mwee eeeeezxhzxes zx zxj y zxj zxav )/()43(cos348),(mvzxteetyxe zx - 13 - 瞬时坡印廷矢量： )/()43(cos)43( 3 8 )43(cos 3 1 )43(cos348 ),(),(),( 22 mwzxtee zxtezxtee tzxhtzxetyxs zx yzx 10均匀平面波从空气垂直入射到某介质(=r0，0), 空气中驻波比为 3，分界面为合成电场最小点，求该介质的介电 常数 解：因为空气中驻波比 3 1 1 s 由此解出 2/1 由于界面上是合成波电场的最小点，故2/1，而反射系 数 12 12 式中， 01 ， r 0 2 2 2 ，于是有 9 9 11 3 1 02 r r 11 已 知 空 气 中 均 匀 平 面 波 电 场 强 度 的 复 数 表 示 为 zj eez 0 xi ee ， 从 z=0 区域的理想介质中， 已知该理想介质r = 4，0，求反射波的电场强度、磁场 强度；透射波电场强度、磁场强度。z0 区域合成波的电场 强度、磁场强度并说明其性质。 - 14 - 解： 因为 3 2 1, 3 1 0 0 0 0 12 12 r r ，且 zj y zj xzie e eeeeezh 120 1 )( 0 0 0 所以 zj y zj xz r zj x zj xr e e ee e eez e e eez 3603 1 )( 3 e)( 00 0 0 0 h ee 2 12 r ，)(602/ 012 r zj y zj y zj xz t zj x zj imxt e e ee e eeeeezz eeeezz 20202 0 2 2 2 02 90603 2 3 21 )()( 3 2 e)()( 2 hh eee z0 区域合成波的电场强度、磁场强度 zjeee eeeeeeeeee e e eeeezezeze zj x zjzjzjzj x zjzj x zj x zj xri sin 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 )()()( 0 00 0 0 1 ze e e eeee e eee e e e e ee e ezhzhzh zj y zjzjzjzj y zjzj y zj y zj yri cos 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 )()()( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 合成波特点： a. 为行驻波。 bzeeeze zj 2cos 3 2 9 1 1 3 1 1)( 0 2 0 1 - 15 - 当) 12(2nz时，电场振幅最大，此位置是 4 12 max n z， 0max1 3 4 ee 当nz22时， 电场振幅度最小， 此时 2 max n z， 0min1 3 2 ee 定义驻波比为 2 3 2 3 4 0 0 min 1 max 1 e e e e s c因为 z e e e zh zj 2cos 3 2 9 1 1 3 1 1)( 0 02 0 0 1 所以，)(1zh与)(1ze的最大值与最小值出现的位置正好互换。 d 沿+z 方向传播的平均功率等于入射波平均功率密度减去 反射波平均功率密度，即 2 0 2 0 11 2 e es zav 媒质 2 中沿+z 方向传播的平均功率密度为 2 2 2 0 2 2 e es zav 且有avavss21。 12已知空 气中均匀 平面波 电场强度 的复矢量 表示为 zj eez 0 xi ee，垂直入射于 z=0 的理想导体板上，求反射波 电场强度、磁场强度复矢量；导体板上的感应电流密度；空 气中合成电场强度的瞬时值表示式并说明合成波特性。 解：反射波电场强度、磁场强度复矢量分别为 zj xreeee 0 ， zj y zj xzre e eeeeeh 0 0 0 0 1 - 16 - zejeeeeeeeeee x zj x zj xri sin2 000 1 因为 zj y zj xzie e eeeeeh 0 0 0 0 1 ，所以 z e ee e ee e ehhh y zj y zj yri cos 2 0 0 0 0 0 0 1 导体板上的感应电流密度 0 0 0 0 0 1 22 | e e e eehej xyz z ns tzeetzeezeejetze xx tj x sinsin2 2 cossin2sin2re),( 000 1 tz e etzh y c o sc o s 2 ),( 0 0 1 合成波特性： a媒质 1 中的合成波