（基础数学专业论文）一类二维尺度空间上的混淆现象.pdf

摘要 摘要 直线上多分辨分析的研究已取得丰硕成果近年来关于混淆现象的研究引起 众多小波分析工作者的关注，同时高维多分辨分析的研究也取得了不少成果本 文研究一类二维尺度空间上的混淆现象 给定一个行列式等于士2 的二阶伸缩矩阵m ，设 嵋l e z 是与吖相关的多 分辨分析，妒是其尺度函数本文研究与之相关的混淆误差我们知道，行列式 为土2 的二阶伸缩矩阵可按整相似分为六类因此，与m 相关的尺度空间上的混 淆现象的研究可归结为与六个矩阵相关的尺度空间上的混淆现象的研究本文在 妒满足恰当条件时建立了采样定理，通过采样定理给出了相应的尺度空间上混淆 误差的点态估计和驴( r 2 ) 范数估计，并且证明了这里的估计是最优的 关键词t 多分辨分析，整相似，混淆误差 a b s t r a c t a b s t r a c t o n e - d i m e n s i o n a lm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sh a ss e e ng r e a ta c h i e v e m e n t i nr e c e n ty e a r s ，a l i s i n gp h e n o m e n o n sr e l a t e dt oi th a v ei n t e r e s t e dm a n yw a v e l e t t e r s ， a n dm a n yg o o dr e s u l t so fm - d i m e n s i o n a lm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sh a v ea l s ob e e n e s t a b l i s h e d t h i st h e s i sa d d r e s s e s 出i 8 s 吨e r r o r si nac l a a so fb i d i m e n s i o n a ls c a l i n g s p a c e s g i v e na2 2d i l a t i o nm a t r i xmo f d e t e r m i n a n t4 - 2 l e t k ：j z ) b ea m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sa s s o c i a t e dw i t hm ，w i t h 庐b e i n gi t ss c a l i n gf u n c t i o n i t i sw e l l - k n o w nt h a t2 2d i l a t i o nm a t r i c e so fd e t e r m i n a n t 士2c a nb ec l a s s i f i e da 8 s i xc l a s s e sa c c o r d i n gt oi n t e g r a ls i m i l a r i t y t h e r e f o r e o u rp r o b l e mc 8 nb er e d u c e d t ot h es t u d yo fa l i s i n ge r r o r sr e l a t e dt os i xm a t r i c e s i nt h i st h e s i s ，as a m p l i n g t h e o r e mi se s t a b l i s h e dw h e n s a t i s f i e sm i l dc o n d i t i o n s ，a n dt h e n ，i nt e r m so fi t a no p t i m a lp o i n t w i s ee s t i m a t ea n da no p t i m a ll 2 ( r 2 ) 一n o r i ne s t i m a t eo fa l i a s i n g e r r o r si nt h ec o r r e s p o n d i n gs c a l i n gs p a c e sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，i n t e g r a ls i m i l a r i t y ，a l i a s i n ge r r o r i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：知毯敏日期：m ) 7 占，2 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：纠鬈钦导师答名彳；乏啉妒m 1 1 概念与符号 第1 章绪论 第1 章绪论 z 表示整数全体，r 表示实数全体，t 表示区间 一”，”】 表示n 维欧式空间，对z 甜，以x i 表示z 的第i 个分量，记= 相等 对于r “上的勒贝格可测函数，定义 i i ：i i o = e ”翘i n f i ( 吼i i i l o o2 。s u p 在本文中，i 呼中两个勒贝格可测函数相等，若无特殊声明，均指几乎处处 定义l 2 ( r - ) 为满足 i 。= ( 如i ，( z ) 1 2 ) 1 2 o o j 卫4 的所有函数，作成的h f l b e r t 空间 定义三2 ( ) 为满足 i i 川2 = ( d x l f ( x ) 1 2 ) 1 2 其中 表示r “中的内积 北京工业大学理学硕士学位论文 给定一个n n 伸缩矩阵m ，t ，分别定义伸缩算子d ：l 2 ( ”) 工2 ( r n ) 和乎移算子t t ：l 2 ( 鼢) 工2 ( 舯) 为对于任意f l 2 ( 船) ， d ( ) = d e t m i f ( m ) ； 正，( ) = ，( 一t ) 以m 。表示m 的转置 一个n 住整数矩阵m 称为伸缩矩阵，是指它的所有特征值的模都大于1 称两个2 2 矩阵d 1 和d 2 整相似，如果存在行列式为4 - 1 的整数矩阵p ， 使得d 2 = p d l p 例子t 矩阵( ：) ，( ：) 和( ：二。) 相互整相似；( ：- 1 ) ， ( 二：) 和( 二：) 相互整相似 容易验证，整相似是一个等价关系 对于任意，l 2 ( ) ，的z a k 变换定义为 ( z 似，u ) = f ( k + t ) e 4 “ ”，t ，u r “( 1 - 1 ) i z 设n 舻，0 啦 1 ( i = l ，2 ，扎) ，y 与矿是l 2 ( r - ) 的两个闭子空间， v c 矿， ( 一) ：七z n ) 是y 的一个性质良好的基，且y 中采样公式成立， 即存在岛v ，使 凡) = f ( k + a ) s o ( - k ) ( ，y ) z n 第1 章绪论 显然，对任意，矿，上述等式未必成立此时定义，的混淆误差b o y 为 e o ( ) = ，( ) 一， + 口) s ：( 一) k e z n 本文将研究一类二维多分辨分析尺度空间上的混淆现象 1 2 背景和主要结果 1 9 8 6 年，法国数学家y m e y e r 成功地构造出具有一定衰减性的光滑函数， 这个函数的整数平移和二进尺度伸缩产生的函数系构成工2 ( r ) 的标准正交基，这 个函数就称为m e y e r 小波继m e y e r 小波提出后。d l e m a r i e 和g b a t t l e 又 分别独立地构造出了具有指数衰减的小波函数此后，s m a a t 提出多分辨分 析的概念，成功地统一了j s t r o m b e r g ，y m e y e r ，d l e m a r i e 和g b a t t l e 等 人的小波构造方法并且s m a l l a t 在多分辨分析的基础上给出了相应的分解与 重构算法。这种算法主要用于数字图像的分解与重构1 9 9 8 年，i d a u b e c h i e s 基于多项式函数构造了具有紧支撑的正交小波1 9 9 0 年，c k c h u i 和王建忠 基于样条函数构造了正交小波函数。并讨论了具有较好局部化性质的尺度函数和 小波函数的构造方法 1 - 4 1 到目前为止，直线上小波分析的研究已经取得丰硕的 成果 5 - 8 1 众所周知，多分辨分析是构造性质良好的小波的一个重要工具l 2 ( r ) 的一 个闭子空间套 巧：j z ) 称为铲( r ) 的一个2 一进制多分辨分析，如果 ( i ) 对任意j z ，y j 一1c k ； ( i i ) 瓯再= l 2 假) ，n ，口k = 0 ) ； ( i i i ) 对任意j z ，( ) u f ( 2 ) v j + i ； 北京工业大学理学硕士学位论文 ( i v ) 对任意k z ，( ) v o = ，( 一k ) v o ； ( v ) 存在一个函数曲使得如( 一k ) ：k z ) 是的标准正交基 这时，称生成该多分辨分析，妒称为其尺度函数 经典的s h a n n o n 采样定理告诉我们，对任意，p 等 ，l 2 ( r ) ： s u p p c 【- t r ，7 r 】) 有 ”) = ，( n ) s ( 一n ) ，0 - 2 ) n = 一0 0 其中s ( t ) = s i n t r t r t 这时若采样公式( 1 2 ) 运用到，隹p 形，时，所谓的混淆现 象将出现，即有误差e ，： e ，：= ，( ) 一，( n ) s ( 一n ) n e z 关于这一现象1 9 6 7 年j l b r o w n 在【9 1 中给出了许多漂亮的结论。 注意到上述s 生成个2 一进制多分辨分析，1 9 9 2 年g ，g w a l t e r 在【1 0 】 中在一般多分辨分析框架下讨论了采样定理及混淆想象，得到如下结果一 设连续函数生成2 一进制多分辨分析 嵋：j z ) ，并满足： ( 1 ) ( t ) = o ( i t l - 1 。) ( i t i + + o o ) ； q ) 对任意u r ，) = ，岖z 毋( n ) e 一0 则存在s v o ，使得对任一个，y o 有 ”) = ，( n ) s ( 一n ) n z g g w a l t e r 也讨论了f 时的混淆现象 1 9 9 3 年，j e m j a n s s e n 在【1 l 】中研究了平移采样。设a 是【o ，1 ) 中的一 个固定的数，连续函数咖有界，且对任意t 【o ，1 1 ，。z l 咖o n ) i 一致收敛 4 第1 章绪论 生成2 一进制多分辨分析 嵋：j z ) ，并满足对任意u r ，( z ) ( o ，u ) 0 则对任意v o ，有 九) = ，( n + o ) ( - 0 ， n e z 筑0 ) = $ 0 ) ( z 庐) ( o ，u ) 并根据z a k 变换研究了相应的混淆现象，即误差历， e ，：= 凡) 一伽+ o ) ( - n ) ( ，) 0 - 3 ) n e z 2 0 0 5 年，a g g a r c f a 和g p 6 r e z - v i l l a l 6 n 在【1 2 】中利用z a k 变换对一维 多分辨分析的尺度空间 ：j z ) 上混淆现象做了详细的研究，对( 1 - 3 ) 式中 误差玩，做了很好的估计，得到下面定理； 定理设0 o ，使i l j i ( t ) i = o ( i t l 。) ( 一+ ) 若生成一个2 一进制多分辨分析 巧：j z ) ，且 0 i i ( z 咖) ( 吼一) 1 1 0si i ( z 妒) ( o ，) 0 0 0 ， 则对任意，h ，存在两个正常数g o 和，使 k o l l p w o y l l 2 。o z ) i i 乜川2 ，o a ) 0 p 川各o r ) ， 其中户是铲( r ) 到w o 上的正交投影算子，w ，0 是在k 中的正交补进一 步，当硒，如分别取下列值时，估计达到最优z 耻i i 幽号粉船滓趔 - i i 幽掣赫嬲产逖i i 。 继【1 3 中i d a u b e c h i e s 给出了r 中具有任意光滑性的紧支撑正交小波的构 造之后，各种各样的新的小波基被构造，并在图像处理、数值分析、统计等方面得 北京工业大学理学硕士学位论文 到广泛的应用而许多应用如图像处理用到的大多是r 2 上的小波基 s m a l l a t 和y m e y e r 在【1 4 】和 1 5 】中给出了构造三2 ( r 2 ) 的多分辨分析和小波基的张量 积方法显然这些基都是可分的，并且继承了r 中对应的小波基的性质，例如光 滑性和支撑的大小等然而，可分小波也有不少的缺点，如它们的滤波器设计的 自由度较小可分性还给自然的图像强加了个不必要的乘积结构，尤其在图像 压缩比较高的情况下，这种对z ，y 方向的偏爱会造成严重的失真现象，这对自 然的图像来讲是极其不自然的不可分小波基提供了各向同向的可能性任何与 m ( m 是行列式是士2 的二阶伸缩矩阵) 相关的多分辨分析容许个基小波，并且 基小渡也有明确的小波表达m 小波是不可分的，而且与m 相关的多分辨分 析对应的小波也可以有很好的正则性【1 6 蝴“特别地，r 2 中具有任意光滑性的正 交( ：二) - j , n n pq u i n c u a x 小波的构造在中绌关于这籼测起 了许多小波分析工作者的关注陋一驯近年来，高维多分辨分析和高维小波的研 究也取得了不少成果一叫 本文主要研究与m 相关的尺度空间上的混淆现象，其中m 是行列式为士2 的二阶伸缩矩阵l 2 2 ) 的一个闭子空间套 v j ：j z ) 称为l 2 ( r 2 ) 的一个与 m 相关的多分辨分析，如果 ( i ) 对任意j z ，巧c k + l ； ( i i ) u ) e z v j = 驴( r 2 ) ，n j z v j = o ； ( i i i ) 对任意j z ，( ) k 毒= = 争f ( m ) v j + i ； ( i v ) 对任意k z 2 ，( ) 辛，( 一k ) g o ； ( v ) 存在个函数，使得 ( 一k ) ：k 舻) 是的标准正交基 第1 章绪论 这时，称生成该多分辨分析，西称为其尺度函数 令是嵋在k + 1 上的正交补，即巧+ 1 = k o w j ，p w , 和r j 分别是 工2 ( r 2 ) 到和嵋上的正交投影算子类似于【3 5 】，【3 6 】可知：对任意，k ， 存在个函数”，l 2 ( 1 r 2 ) ，使得 ，( ) = m ，( ( m + ) ) 乒( ( m ) ) ( 1 - 4 ) 此时容易验证，对于，k ，有 u i i l ：a 1 2 ) = 了苏1 0 m ，i i 伊俨) ( 1 _ 5 ) 因为妒y o c h ，所以存在h 1 2 ( z 2 ) ，使 = h n ( m - 0 n z 2 等价地，存在m e l 2 ( 俨) ，使 声( ) = m 4 ( ( m + ) ) 壬( ( m + ) ) 类似于一维二进制的情况，一个函数妒使得伽( 一n ) ：n z 2 ) 是w i 的标 准正交基( 即妒是小波) 当且仅当存在l 2 ( t 2 ) ，使 1 1 5 ( ) = m e ( ( m + ) - 1 ) $ ( ( m ) ) ， 并且函数m d 和”沁满足下列不等式t l m d u ) 1 2 + i m 4 0 + 2 r ( m + ) _ 1 e ) 1 2 = 1 ；i ”p p ) 1 2 + i “十0 + 2 r ( m ) - 1 e ) 1 2 = 1 ； m 0 ) 磊i 砑+ m 0 + 2 r ( m ) _ 1 e ) 鬲及了干瓦可砀可= 亏) = 0 ，( 1 6 ) 一7 北京工业大学理学硕士学位论文 其中e 是z 2 m z 2 的一个非零代表元 关于整相似，我们有如下命题 命题a ( 3 7 - 3 9 ) 一个行列式为士2 的2x2 伸缩矩阵必整相似于以下六个矩阵中 唯一的一个t ( 一0 。：) ( ：引二：) ，( ，( 二：) ，( ：= ：) 为下文书写方便，我们依次记上述六个矩阵为 n ， 如， 如，m j ，慨， 毛，记 f = 必：1 l 6 ) 由下面的命题知，我们所研究的问题可以归结为m 是上述六个矩阵时的尺 度空间上的混淆现象 命题b ( 3 9 】) 令d l ，d 2 是两个二阶伸缩矩阵，对某个行列式为士1 的整数矩阵 p ，令d 2 = p d l p ，则 ( 1 ) 对于i ；5 l 2 ( r 2 ) ，生成l 2 ( r 2 ) 的个与d i 相关的多分辨分析 k ： y z ) 当且仅当孑( ) = ( p ) 生成个与d 2 相关的多分辨分析 仍：j z ， 其中 吃= u ( p 一) ：，v j ) o z ) ( 2 ) 对于妒l 2 ( r 2 ) ，妒是工2 ( r 2 ) 的个d 1 小波当且仅当每( ) = 妒( p - i ) 是一个d 2 一小波 本文给出了中函数的混淆误差的点态估计和l 2 ( r 2 ) 范数估计，得到如下 两个定理， 定理1 设m f ，o r 2 ，0s 啦 0 ，使满足( t ) = o ( o + l t l ) - 1 - 5 ) ( i t i 一+ o o ) ，。z 2i ；( r + 2 7 r 礼) l l o o ( 俨) 庐生成一个与m 相关的多分辨分析，妒是对应的小波设，u ，叶l 2 ( 1 r 2 ) ， 且满足碲p ) = 叼0 ) 巧0 ) ，其中p w o 是l 。( r z ) 到w o 上的正交投影算子， 石是在v 1e e r i e 交补如果a 蜡庐( u ) 是打周期的，那么，对任意h ， 有 l e a f ( 圳知倒些篙器产忆：l l p w o f l l 删t r 2 ( + ) 其中，对z c ，a r g z 表示z 在 一7 r ，9 1 ) 上的幅角的值特别地，当o = e o 或 口= ( m + ) _ 1 时存在函数，u 满足t 羽圳忙小c m p 咖型燮堕等篆铲绌垫竣型 使得，是( + ) 的极值解，其中a 是任一给定的复数，g o = ( 3 ) ，e = ( 静 定理2 设m r ，n r 2 ，0s 啦 0 ，使满足( t ) = o ( ( 1 + i t l ) - 1 - 6 ) ( i t l 一+ ) ，。乎i 声( + 2 7 r n ) l 工”( 1 r 2 ) 妒生成个与m 相关的多分辨分析，且有 0 i i ( z 咖) ( o ，) 1 1 0 i i ( z 西) ( 口，) 1 1 。 则对任意，h ，存在两个正常数硒，蚝，使 g o l l p w , l l ：。掣) i i e d l l ：, 。掣) 玩川p 川：o r 2 ) ， 其中是l 2 ( r 2 ) 到w o 上的正交投影算子，w ，0 是在e e r i e 交补进 一步，j 如的最大值和j b 的最小值分别是： 凰= | j 幽堕瑞糕鬻斧坐凼| | o ； 北京工业大学理学硕士学位论文 = | f 必堕等凝鬻铲坐趔忆 其中e = ( d 1 3 本文结构 本文研究与m 相关的尺度空间 k ：j z ) 上的混淆现象第二章给出了 一些辅助引理和定理，分为两节第一节得到二维采样公式的表达式；第二节首 先给出关于z a k 变换的两个引理和另一个辅助引理，由此得到h 中函数的混淆 误差的付里叶变换，并且给出该误差的个点态估计第三章给出了本文主要结 果( 定理3 1 及定理3 2 ) 的证明，即混淆误差的最优的点态估计和l 2 ( r 2 ) 范数估 计第四章给出了中函数的混淆误差的付立叶变换及点态估计 1 0 - 第2 章一些辅助引理与定理 第2 章一些辅助引理与定理 本章中m r ，n r 2 ，0 a i 0 ，使满足毋0 ) = o ( ( 1 + l t l ) 。一) ( i t i 一十) ，则对任意b 1 2 ( z 2 ) ，e6 咖( 一k ) 是连续的 i z 2 证明因为咖( ) 是连续的，只要证明k ( 一k ) 在r 2 上一致收敛即可由 k z 2 c a u c h y - s c h w a r z 不等式，对任意0 k 1 k 2 ，有 芝二b k 咖( t 一) is 芝二i b k 庐( t 一) i k x _ l k l k 2耳l ! l k l ! 拖 ( m 2 ) ( i ( t - k ) 1 2 ) 膏1 s s k 2 k l l k i k 2 s c ( k i i k i _ k 2 | 6 删( k 。_ l k i k 2 矸南) 5 ， ( k i _ i kj _ k 2 晰) 5 ( 1 q 萎l k1 0 ，s t 砂( ) = o ( 0 + i t l ) 一1 5 ) ( i t i 一+ o o ) b ) 0 0 ( z 妒) ( n ，) l l os0 ( z 妒) 0 ，) l l 。 o o 北京工业大学理学硕士学位论文 那么，对于任意f v ，下面的采样公式成立 儿) = f ( n + a ) s a ( 一n ) ， ( 2 7 ) 其中露) = ；p ) ( z ) ( n ，w ) 证明分两步证明 ( 1 ) s ：( 一n ) ：钆z 2 ) 是v 的p d e s z 基 因为0 i i ( z ) ( o ，) 1 1 0 8 ( z 咖) ( o ，) 1 1 。 0 ，使as 1 ( z l j i ) ( 吼 ) b ，于是，1 ( z 咖) ( o ，w ) l o o ( 1 r 2 ) cl 2 ( 俨) 再注意到赢( u ) = p ) ( z ) ( q ) ，我们有s o v ，且 乏i 露p + 2 叫1 2 _ 南三i 础+ 2 叫降而1 磁硒1 研， 故 a 2 4 丌2 i 蕊0 + 2 7 r n ) 1 2 b 2 4 丌2 一 。 n e 鄹 由此知 最( 一7 1 , ) ：n z 2 是面丽霜= i = = 司砭互再的r i e s z 基 下证 s p a n & ( 一n ) ：n z 2 = v 由v 及v 的平移不变性知，历丽霜了= 面泛面cv ，再由乒p ) = 赢( u ) ( z ) ( 0 ”) ，我们有t ? i 面丽丽了= 面j 天酉，从而 庐( 一n ) ：n z 2 s p a n ( 一n ) ：n z 2 ) ，故 v c s p 凸礼 ( 一n ) ：n z 2 ) ， 从而 s p n 仃 岛( 一礼) ：仃z 2 ) = y 第2 章一些辅助引理与定理 ( 2 ) 对任意，v ，有，( ) = ，m + o ) r ( 一n ) n c z 2 由引理2 1 知对任意f v ，f 是连续的从而，( n + a ) 是有意义的由 f v ，且 ( 一n ) ：n z 2 是y 的一个r i e s z 基，对任意b ，d 1 2 ( z 2 ) 有 ，( ) = 蟊( 一n ) = e6 。( 一扎) ，从而 n e z 2n e z 2 ( 厶e 。“”) $ ( u ) = ( 6 n e 。) 金( u ) n e z 2n e z 2 = ( k e 4 “，。) 每p ) ( z ( n ，”) n e z 2 因此 ( b 。e “) ( ；o ) = ( 厶e “。) 留) ( o ，”) ；p ) n z 2n 6 2 2 = d t ( n + n 一七) e 。“。乒( u ) n z 2 z 2 = 【，m + o ) e “c ，】i ；p ) n c j 3 而 ( 一n ) ：n z 2 ) 是y 的一个标准正交基于是， k e 4 “ ”= ，+ n ) e 。“” n e 7 3n e z 2 故k = f ( n + a ) 因此，对任意f v ，有 几) = ，( n + n 溉( 一n ) n c j 3 2 2 函数h 的混淆误差的付立叶变换及点态估计 设m r ，( t ) 满足定理2 1 的条件，。弘i 毒( + 2 r n ) i l 。( 1 r 2 ) ，并且庐 生成一个与m 相关的多分辨分析 k ：j z ) ，妒是对应的小波对任意，k ， 设m ，l 2 ( 铲) ，使得 北京工业大学理学硕士学位论文 - p ) = m ，( ( m + ) 一1 u ) $ ( ( m ) 一，u ) 由引理2 1 知对任意，v o ，f 是连续的注意到y j = f ( m j ) ：f ，对任 意，v j ，f 也是连续的 对任意，k d o ) ，混淆误差函数玩，为： e o f ( ) = ，( ) 一，+ n ) ( - , 0 n 舻 其中露0 ) = 声( u ) ( z 妒) ( o ，”) 定义h 的子空间耽为 厶= ，k ：，( 礼+ n ) = 0 ，n z 2 在这一节中对任意f h ，我们构造两个函数q v o f v o 和q 肌，心，使得 ，= q v o f + q 肌，成立注意到 玩f = 忍q v o f + 玩q m o f = b q m f = q m o f , ( 2 - 8 ) q 地，正是混淆误差函数 关于h 中函数的z a k 变换，我们有下面两个引理 引理2 2 令，对于匿定的t r 2 ，有 ( z 似，u ) = 2 ”e ，”缸+ 2 r n ) e 抓州( n e u r 2 ) ( 2 - 9 ) n 翻 证明记f p ) = 2 r e 矧，“，p + 2 7 r n ) e “ 州，注意到( z ，) ( t ，u ) = n z 1 垂 第2 章一些辅助引理与定理 。舻f ( n + ) e 一m ”，作为u 的函数，( z 似t ，) l 2 ( t 2 ) 故只需证明 f ( ) l 2 ( 1 r 2 ) ，并且 幽f ( u ) e “mo = 2 1 r f ( t + n ) ( 2 - 1 0 ) j 1 2 此时 i _ p + 2 ”n ) l = l m ，( ( m + ) - 1 w + 2 ，r ( m ) 。n ) $ ( ( m ) - 1 u + 2 ”( m ) - 1 n ) l = i m l ( ( m + ) 一1 u + 2 ”n ) $ ( ( m 4 ) 一1 u + 2 ”n ) i + i m i ( ( m 4 ) 一。+ 2 r n + 2 r ( m + ) 以) $ ( ( m + ) 4 u + 2 7 r n + 2 m ( m 。) 。1 ) = i m l ( ( m 。) 一1 u ) l i 声( ( m + ) 。u + 2 m - n ) l + l m s ( c m ) 一1 u + 2 7 r ( m ) 一1 ) ) i l $ ( ( 肘) 一1 u + 2 口n + 2 ”( 肘) 一1 e ) j n e z 2 c ( i m i ( ( m ) 一1 u ) i + i m f ( ( m + ) 一1 u + 2 7 r ( m 4 ) 一1 e ) ) 1 ) s 、互c ( i m ，( ( 矿) 一1 u ) 1 2 + i m ，( ( 扩) 一1 u + 2 r ( m + ) 一1 e ) ) 1 2 ) ， 其中用到1 6 ( + 2 z - , 0 1 s c n e z ， 因此 厶缸( 三限川酬) 2 2c 2 d u i m a ( m + ) 一1 u ) 1 2 + i m l ( ( m + ) 一1 u + 2 r ( m ) 一1 s ) ) 1 2 1 j t 2 2g 2 缸i m ，( ( m + ) _ 1 u ) 1 2 + 2 俨幽i m 州m + ) 4 u + 2 7 r ( m + ) - 1 e ) ) 1 2 j 巾j , l , 2 于是，f ( ) l 2 ( 1 口) 容易证明( 2 - 1 0 ) 成立引理得证 北京工业大学理学硕士学位论文 引理2 3 对每一个固定的r 2 ，的z a k 变换表达如下：对a e u r 2 ， ( z f ) ( t ，u ) = ( z 毋) ( f ，( m ) 一1 u ) ”，( ( 彳) 一1 u ) + ( z ) ( m ，( m ) 一1 u + 2 7 r ( m + ) 一1 e ) m ，( ( m + ) 一1 u + 2 丌( 矿) 一1 ) 证明把z 2 分成m z 2 和m z 2 + 两类，由引理2 2 得 【z f ) ( t ，u ) = 2 7 r e “。，p + 2 ，r n ) e “”幻 = 2 1 r e ，。m a c m ) 。u + 2 1 r ( m + ) 以n ) 毒( ( m 4 ) 。1 u + 2 ”( m + ) 1 n ) e m 啦 = 2 7 r e k m f ( ( m + ) 1 u ) $ ( ( m 4 ) 1 u + 2 1 r n ) e | “胁，幻 + 2 ”e k m i ( ( m ) 以w + 2 7 r ( m + ) 以e ) $ ( ( 矿) 一1 u + 2 1 r n + 2 7 r ( m ) 一1 ) e “。( 4 “扣) 2 。 再用引理2 2 ，引理得证 引理2 4 对任意，定义“，) ，叶0 ) 分别为 则 “加) = m ，( ( m ) 。1 u ) - 丽汀下丽 + m 烈m + ) - 1 u + 2 1 r ( m 4 ) 。1 e ) 丽而巧瓦再丽i j 万= 丐) u ，( u ) = m ，( ( m ) 。1 u ) 面而万下硒 + m ，( ( 吖。) - 1 u + 2 ，r ( m + ) - 1 e ) 面硒矿严i 函硒河巧忑) ( 2 - 1 1 ) 蔚p ) = q ，0 ) 乒p ) ，瓦甜p ) = 蜥p ) 参0 ) ( 2 一t 2 ) 1 6 - 第2 章一些辅助引理与定理 其中，r a 和分别是l 2 ( r 2 ) 到和w o 上的正交投影算子，b 是在 h 中的正交补进一步， i i p w o f l l ：。畔) _ 而1m i ：。，( 2 - 1 3 ) 证明先证( 2 - 1 2 ) 对任意9 u ，设 ( 9 ) ) 1 2 ( z 2 ) 使得 g ( ) = 以c n ( g ) ( m 一礼) n 护 因为，w o ，我们有 p w o f ( 一) = 讥刖 z 故 下证 蔚( u ) = ( e - i k , u ) 西p ) k e z 2 e 。础，。= v i c e ) 翩掣 显然， = 压( ，) 而 n e 乎 ， 一 =d x 妒( m x 一佗) 妒( z k ) j r 2 ， = d y 毋( m g - i - m k n m ( y ) j 卫2 1 2 南 因此， = 历1 习丽面而 ：去i i 丽 2 历一” e - i k , ”= ( c n ( ，) i 而网e 1 础。 k e z 2k e z 2n z 2 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 下面只需证明 u 加) = ( 岛( ，) i 忑而) e “础 。 女z 2n z 2 ”，) = m 州肘+ ) - 1 u ) 面而7 下硒 + m ，( ( r ) 一1 u + 2 ，r ( m + ) 一1 ) 鬲孑趸瓦f f i 了干j 孑巧河可= 丐) 2 南三w 胪“4 一历1 乞删妒朋1 4 ” + 击三( ，) e 一“r + 2 州”r k 击三砥_ e k “r 删r k = ；岛( ，) 三= 双_ e “础朋。1 ” i z 2n 羽 + ；( ，) 夏二疋事砖。础( ”“。+ 2 。) “。 = ( 岛( ，) 石i 丽) e 。础，” 于是 同理可证 j j i 孑( u ) = ”，( u ) 母( u ) 蔚( u ) = “，0 ) 缸) 第2 章一些辅助引理与定理 r 囱证明【2 - 1 3 ) 0 尸饥刘刍掣) = i i 碲嵫衅) = 山i 碲p ) 1 2 = 缸i 叶0 ) 识u ) j 2 2 厶帅删乏胁+ 2 打妒 = 而1 二幽l 叶圳2 2 赤i i v , l l ! , 定理2 2 设，h ，叶l 2 ( 俨) 满足瓦( u ) = ) 西) ，则 歪= 7 蜘“( 胪) 1 咖绌必篙茜型盥荆讯卅。1 以 ( 2 - 1 4 ) 证明k 中个函数g 矗当且仅当( z g ) ( a ，u ) = 9 ( n - i - a ) e 4 “，o = 0 由引理2 3 得h 中一个函数9 厶当且仅当 m g ( ( m ) 一1 u ) ( z 西) ( m 口 ( m + ) 一1 u ) - i - m 口( ( 矿) 一1 u + 2 7 c ( m + ) 一1 e ) ( z 庐) ( 40 ( m ) 一1 u + 2 | ，t ( m ) 一1 ) = 0 ( 2 - 1 5 ) 定义函数妒。 矗： 荭( u ) = e 一( ( 肼) - 1 咖( z ) ( m q ( m + ) 一1 u + 2 7 r ( m ) 一1 5 ) 乒( ( m + ) 一1 u ) ( 2 - 1 6 ) 容易验证z l 缸定义 百击0 ) = a ，p ) ；和) ，萄西0 ) = 西p ) 荭0 ) ，( 2 - 1 7 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 其中 a ，( u ) = m 1 ( c m + ) 一1 u ) ( z ) ( 4 0 ，( m + ) 一1 u ) + m s ( ( m + ) 一1 u + 2 r ( m + ) 一1 ) ( z 庐) ( 扎，( m ) 一1 u + 2 r ( m ) 一1 e ) 】( z 庐) 0 ，“，) 岛p ) = e 2 1 ( ( 胪) 4 。) ：m ，( ( m + ) 一1 u ) 鬲页巧矿严两( 2 - 1 8 ) + m ，( ( 矿) 一1 u + 2 7 r ( m + ) 一1 ) 鬲i r 砀可= j i 了忑i 互f j = 砑( z 妒) ( o ，u ) 显然，a ，是2 ”z 2 周期的为证q v o f v o ，只需证o q l 2 ( t 2 ) 即可记 i i ( z ) 0 ，) l l o = a ，i i ( z 庐) ，) i i = b 山j q ，( u ) 1 2 j t 2 。厶山i 盟业篙粉巡业| 2 + 。j 巡型业坐锑糕掣型型坐坳1 2t 2a 掣八“ j = 4 二帅觥i 黝1 2 + 4 l 山1 m ，( p + 2 7 r ( m ) _ q 一剑甾茜篙孚趔1 24 掣八“ ww j _ 4 b f 2 厶fd u i m ，。) j 2 i + 等厶d u i m ，( 。+ 2 ”( m ) - 1 e ) 1 2 类似地，我们可以证明o u s 且满足( 2 一1 5 ) ，于是，q 地， 厶 利用引理2 3 ，我们可以验证 ，= 菇) + q - t y ( u ) ( 2 - 1 9 ) 由( 2 8 ) 知e j = 虿乃) 对照( 2 i i ) 和( 2 - 1 8 ) ，得 所。) 毋“胪) i 岫高 第2 章一些辅助引理与定理 将盼棚代k 【2 一l 甄，刚得【2 - 1 4 ) 值得注意的是空间u 可以表示为和 厶两空间的直和 下面的定理将给出f 的混淆误差的点态估计为叙述方便，记凰p ) = $ + 2 x n ) n e z 2 定理2 3 对任意，k ，有蔚l 1 ( r 2 ) ，并且下面的不等式成立 i e 。f ( 圳 2 | i 剑蒹等芋氇蛾帮) i i p w o f l l ，t qr 2 ( 2 2 0 ) 证明对于，考虑函数u ，使碲p ) = 叶0 ) 西0 ) 我们得到 厶驯剑必篙篙型盟咖俄( 。1 删 = z 厶训剑铹蔷端掣叭肌俄删 = z 二缸l 坚丛篆豢未嚣；等竺塑叶( m 圳协。) ( 卿- ) 再由c a u c h y - s c h w a r z 不等式及引理2 4 得我们得到 i 垡盟坐堕罢袈掣菩! ! ! ：出p ) $ ( ( m ，) 一。) i 山 山( z 庐) ( o ，u ) 1 ”“7 驯剑蒹等芋塑蚴矾竹l i p w o ：l l 于是，豆= 7 l 1 ( 珉p ) ，又由i e j ( t ) l 去l | 五污0 l z 掣) 可得( 2 - 2 0 ) 进步，对于每一个t r 2 都存在e j ( t ) 的一个积分表达式 推论2 1 设，u ，且叶l 2 ( 铲) 满足碲p ) = 叶0 ) 每p ) ，则玩，g ( 舻) 并且 e a r ( 归嘉二缸e 她倒铹掣( 刎( 批u ) v ( m r 2 北京工业大学理学硕士学位论文 证明由定理2 3 得玩，l 1 ( r 2 ) ，故e o c o ( r 2 ) 运用逆付里叶变换公式作 类似于( 2 - 2 1 ) 中的计算得到 e o f ( t ) = ；上：幽磊7 ( m + u ) e “胪。 = ；厶幽三蔚( 脚砌嘞e i 再由引理2 2 可得( 2 2 2 ) 2 3本章小结 本章给出了一些辅助引理和定理第一节给出了一个重要引理和采样定理， 第二节首先通过两个引理给出了函数_ ，n 的z a k 变换的两种表达方式，然后 将空间分成和 毛两空间的直和得出函数，u 的付里叶变换；第三节 给出函数，的混淆误差的一个点态估计和表达式 2 2 - 第3 章主要结果和证明 第3 章主要结果和证明 为简便起见，记e = ( ：) ，e o = ( o o ) 3 1 定理及证明 设m r ，o r 2 ，0 m 1 ( i = 1 ，2 ) ，( ) 满足定理2 1 的条件， 。z 2j $ ( + 2 7 r n ) i l 。( 1 r 2 ) ，并且生成一个与m 相关的多分辨分析 v j ：j z ) ，妒是对应的小波对任意，设m ，工2 ( 1 r 2 ) ，使得 ，( u ) = m ，( ( 扩) 一1 u ) $ ( ( 矿) 一1 u ) 定理3 1 设，町l 2 ( 铲) ，且满足芦肃p ) = 蜥0 ) 西p ) ，其中p w o 是 驴( r 2 ) 到w o 上的正交投影算子，w o 是在k 中的正交补如果a r g 参p ) 是 2 口周期的，那么，对任意f ，有 l e j ( 圳扣剑些篙将掣蛔 i p w o f l l 啪t r 2 ( 3 - 2 3 ) 其中。对z c ，a r g z 表示z 在【一7 r ，7 i ) 上的幅角的值特别地，当o = g o 或 o = ( m ) _ 1 e 时存在函数，h 满足； 厕