（基础数学专业论文）具有非负曲率完备非紧流形的体积增长.pdf

硕士学位论文 蠢莲a s t 嚣r st h e s i s 摘要 在本文中，我们主要研究具有菲负益率完备非紧流形的体积增长 接掰；l 洫v ( x ，f ) k 与阔测地线及距离函数临界点一些关系。 具体来讲，我们证嘴了下瑟两个定理： 定理1 设膨4 为完备j 紧i 暑负益率流形，若磁”含育一非平凡的闭测地线( 鄂不是一 个点) ，雯l 必有g 掰= 0 。换言之，若体积馐长 0 ，煲| j 不可能存在任何菲平凡的 闭测地线。 定理2 设膨“为完备j 车紧j 暑负曲率流形，若体积增长 1 2 ，则m “上任何距离函 数d o ，x ) 除p 点之； f - t 含其他任何憔界点。 关键词：非负截面曲率，体积增长，闭测地线，距离函数临界点。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i i lt h i st h e s i s ，w e m a i n l ys t u d yt h ev o l u m eg r o w t ho fc o m p l e t en o n c o m p a c t r i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hn o n n e g a t i v ec u r v a t u r e ，w h i c hh a sr e l a t i o n sw i t hc l o s e d g e o d e s i c sa n dc r i t i c a lp o i n t so fd i s t a n c ef u n c t i o n s t ob ep r e c i s e ，w ep r o v e dt h ef o l l o w i n gt w or e s u l t s ： t h e o r e m ll e tm ”b eac o m p l e t e n o n c o m p a c tm a n if o ldw i t h n o n n e g a tiv e c u r v a t u r e 。i fm 释c o n t a i n san o n t r i v i a lc l o s e d g e o d e s i c ( i 。e 。n o t a p o i n t ) ，t h e n a m = 0 o nt h eo t h e rw o r d s ，i f a 艇0 ，t h e n m “d o e sn o tc o n t a i na n y n o n t r i v i a lc l o s e dg e o d e s i c t h e o r e m 2l e tm ”b eac o m p l e t e n o n c o m p a c t m a n i f o l dw i t hn o n n e g a t i v e c u r v a t u r e i f 口j | i f 1 1 2 ，t h e na n yd i s t a n c ef u n c t i o nd ( p ，z ) h a sn oc r i t i c a lp o i n t e x c e p tp k e yw o r d s ：n o n n e g a t i v ec u r v a t u r e ，v o l u m eg r o w t h ，c l o s e dg e o d e s i c ， c r i t i c a lp o i n to fd i s t a n c ef u n c t i o n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明譬| 用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 乃幻 哦p 7 年参步 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并尚国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中炳范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 痒，并通过网络向社会公众提供信息服务。 名茎2 ，垒 绡7 j 5 斧 导师签名：q 一 日期：1 。门年 0 ，则该流形与尺“微分 同胚。 故关于这方面众多结果都以r i c c i 曲率0 为基本假设， 司时辅以较弱的截曲率条件 ( 主要用来控制距离函数稳界点) ，再加上某耪体积增长条件( 一般来浼比较强) ， 所得结论是该流形具有有限拓扑型或与欧氏空f h j 微分同胚。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文研究的仍然是完备非紧非负曲率流形的体积增长问题，但我们研究的是体 积增长与闭测地线之间的关系。具体来讲，我们证明了下面的定理 定理l 设m “为完备菲紧菲负曲率流形，若膨”含有一非平凡的闭测地线( 即不是一 个点) ，则必有口肘= 0 。换言之，若体积增长a 肘 0 ，则不可能任何存在非平凡的 闭测地线。 定理l 证明的主要是利用这样一个事实：口硝一l i m y 0 ，f ) 圪只依赖于“射线 部分的体积 ( 弓| 理3 1 ) 。然后再篇闭测地线的条件结合t o p o n o g o v 比较定理把射 线集控制在个零测集范围内( 引理3 2 ) 。 注意，定理0 并不蕴含定理1 ，如将圆柱面一端套上一半球面，则圆柱面上的圆周 依然是闭测地线。结合c h e e g e r - - - g r o m o l l 的核心定理【2 】f 4 】，我们将应用定理 1 在第三章给出了定理0 的另一不同的证明。m a r e n i c h t o p o n o g o v 的定理无疑是十 分漂亮的，但从c h e e g e r - - - g r o m o l l 定理的观点来看，又变得十分明显( 见第三章 注) ，这也许是它不被人常提起的原因。 定理0 已说明口时 0 时，流形与r “微分同胚。但这并不一定意味距离函数没 有临界点。那么口m 在什么条件下才能使距离函数没有临界点? 事实上，我们得到 了下面的结论 定理2 设m 4 为完备非繁非负曲率流形，若体积增长口膨1 2 ，则膨”上任何距离函 数a ( p ，x ) 除p 点之外不含其他任何临界点( 见后面定义2 2 1 ) 。 以上定理1 与定理2 是本文的主要结论。本文安排如下：第二节是一些必要的预 备知识，第三节是本文一些结果的完整证萌并对结果作的一些讨论，第四节给患一 些相关的例子。 2 硕士学位论文 m a s t e st h e s i s 第二节一些预备知识 本节共分两部分：第一部分介绍本文涉及到的比较定理知识，第二部分介绍距离 函数临界点理论。 2 。l l 比较定理 比较定理是度量几何的基本工具，最基本的有r a u c h ，h e s s e ，l a p l a c e 比较定理。 它们主要是透过与常蓝率作某种毙较，露对流形某些量傲定量的分幸厅。比较定理被 r a u c h ，b e r g e r ，k l i n b e r g ，c h e e g e r 等人成功运用，并取得了巨大成就。例如有著名 的r a u c h b e r g e r k 1 i n b e r g 球面定理，c h e e g e r g r o m o l 核心定理等。 鉴于本文的需要，我们只介绍三角比较定理( 也称t o p o n o g o v 比较定理) 与 b i s h o p g r o m o v 体积比较定理，前者是r a u c h 比较定理的推论，后者是l a p l a c e 比 较定理的基本运用。 定理2 1 1 ( 三角比较定理 2 3 ) ，) ，：为m 8 串具有相同起点盈夹角为艿的测地线， 且y ：是极短测地线( 但) ，。不必极短) ，长度分别为乇，如且乇 ，当口村o 时我们称流形其有大体积增长。 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 注 r i c c , t on ，易证明a 联- 与x e m “选取无关【1 0 】，定理2 1 。2 表职d 辫此时 定存在。 2 。2 距离函数的l 黯界点理论 众所周知，经典的m o r s e 理论是通过研究流形上光滑壅数的菲退化临界点来确 定其拓扑性态( 如著名的m o r s e 不等式) 。对于黎曼流形上最基本的函数距离 函数，由于是非光滑的，故不能套用m o r s e 理论。但人们也引入了相应的临界点的 概念，它具有光滑函数m o r s e 理论许多类似的性质，并对研究黎曼流形的拓扑性质 产生了重要作用。 距离函数临界点理论的基本思想出自【7 】，g r o m o v 在【6 】中给出明确的定义，并 给出了一个经典的应用( 即下面的定理2 2 5 ) ，而【3 】是标准的参考文献。 下面给出距离灞数临界点的定义： 定义2 2 1d ( p ，工) 表示从p 点出发的距离函数。q e m “称为d ( p ，x ) 的临界点，若对 于任意单位向量v e t q m ，都存在从譬到p 的极短测地线) ，使得 0 ，若膨”之直径 d ( m “) = t 2 , - e ，则辫”同胚于球面s “。 硕士学位论文 鑫l a s 譬嚣r st 薹 e s i s 第三节主要定理的证明及讨论 本章分为两节，分别给出定理1 ，2 的详细证明，并作一些讨论。 首先声骧，本章涉及的流形皆为完备非紧，且截些率非负。 3 。1 定理l l 的证明及讨论 首先我们给出用于证明定理1 的两个关键的引理： 引理3 l 王0 3 设= y e s ，m e x p p p ) 是一条射线，t o ，其中s ，脑是乃艏中的单 位球面，命c ( ) 一 q e miq e x p 。 ) ，v e z ，t o ，b ( z ，) 一b ( p ，) nc ( z ) 则 。，l i m 。v o l ( b ( z ，r ) ) t o r ” 其中鸭表示j r “中单位球面面积。 注：引理3 1 表明的值只依赖于“射线部分的体积。 证明用。表示j 匿_ s p m 中的补集，贝j jv o l ( b ( p ，r ) ) = v o t ( b ( e ，尹) ) + 场z p ( 芝，r ) ， 爨此只需说盟，l i r a 。r - n 一，、一、c ，广) ) t o 任意o ，选取6 o 馒褥在0 膨中的开 j 一邻域三d 满足v o t ( b ( e 6 、艺) ) 葶，由b i s h o p g r o m o v 体积比较定理 r - v o l ( b ( e 6 艺，) ) s ；i m 。，一4 v o t ( b ( 2 d 、，r ) ) - - - - t l 一1 v o l ( e 6 ) 0 可以任意小，从而l i m r ”v o l ( 兰。，) ) = 0 ，引理便得证 ，1 引理3 2 设盯0 ) 是一具有弧长参数的闭测地线，( o ) = 仃p ) 一p ，( o ) 一盯p ) ， b 0 为此闭测地线的长度。，( f ) 是从p 出发的任一射线，则( o ) 上y ( 0 ) 。 证明俞g 为( 与y ( o ) 的夹角，lf f ；jc r ( o ) n o q ) 的测地线) 的长度出三焦艮较 定理 t 2 + f 2 2 t l c o s a d 2 ( g g ) ，y p ) ) ，t 2 z 2 一d 2 ( g ) ，j ，0 势 c o s8s i = = r 。二 ? 丑l 当z = 6 时，t d p p ) ，y o ) ) ，从而有 b c o s c ls 玉 命t 呻，c o s c t 0 ，于是g z 2 ，圃样考虑( q ) ，将有一仃( 与y + ( 妨的夹角 筇2 ，于是 iy ) 。 定理1 的证明由引理3 2 知m e s z 一0 ( 相对于单位球面的诱导度量) ， 由f u b i n i 定理，我们得到 m e s ( e x p 以p ( ，厂) ) ) 一0 对任意的， 0 。由于e x p 是c ”的，由s a r d 定理 8 ，我们得到 v o t ( b ( z ，r ) ) = 0 对任意的， 0 。由弓l 理3 1 ，我们有a m ；0 现在我们结合c h e e g e r - - - g r o m o l l 的核心定理【2 】【4 】，来给a j 定理0 的另一 证明：若膨“不与科微分同胚，由c h e e g e r - - - g r o m o l l 定理知r “的核心s 不是一个 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 点，但由予s 紧致全测地子流形，故s 上必存在一非平凡闭测地线 1 7 ，这也是膨” 的闭测地线，这就与定理1 矛盾。 注：我们也可以直接从c h e e g e r - - - g r o m o l l 核心定理与体积比较定理导出 定理0 ，c h e e g e r - - g r o m o l l 核心定理告诉我们m 8 微分圈胚子s 的法丛，故m ” 露胚于u x r ”碰”，其中致 是s 的有限开覆盏，对每个吼x r n - d i m s 运用体积比 较定理，不难导出定理0 ，更一般有a = l i m v ( x ，t ) v c ( t ) 关于t 的界不超过，l d i m s 。 3 2 定理2 的证明及讨论 隽了证明定理2 ，我们先证明弓| 理 引理3 。3 如果擘是d ( p ，舅) 的临界点，则对任意从p 出发的射线t o ) ，及经意连接p 与譬的极短测地线9 ) ，有0 一 7 r 1 2 。 证爨由临界点的定义，对任意连接留与y ) 的极短测地线托) ，存在连接口与p 的 极短测地线7 ，：和) ，使得 0 ，而 。 群材；爱学；，lim。g，(r)：三 】o 硕士学位论文 m a s t e r st 辩e s i s 参考文献 【1 】伍鸿熙，沈纯理，虞言林， 黎曼几何初步) ) ，= | 艺京大学出版社，1 9 8 8 【2 j 。c h e e g e r , d e b i n c o m p a r i s o nt h e o r e m si nr i e m a n n i a ng e o m e t r y n o r t hh o l l a n d ， a r m s t e r d a n ，1 9 7 5 【3 】j c h e e g e nc r i t i c a lp o i n t so fd i s t a n c ef u n c t i o n sa n da p p l i c a t i o nt og e o m e t r y , l e c t u r e n o t e si nm a t h ，s p r i n g e r - v e r l a g1 5 0 4 ( 1 9 9 1 ) f 4 】j c h e e g e ra n dd g r o m o l l ，t h es t r u c t u r eo fc o m p l e t em a n i f o l d so fn o n n e g a t i v e c u r v a t u r e ，a n n o fm a t h ，9 6 ( 1 9 7 2 ) ，4 1 3 - 4 4 3 【5 】j c h e e g e ra n dd g r o m o l l ，t h es p l i t t i n gt h e o r e m sf o rm a n i f o l d so fn o n n e g a t i v er i c c i c u r v a t u r e , j d i f f g e o m6 ( 1 9 7 1 ) ，1 1 9 - 1 2 8 【6 1 m g r o m o v , c u r v a t u r e ，d i a m e t e ra n db e t t in u m b e r s ，c o m n e n t m a t h h e l v ( 1 9 8 1 ) ，5 3 7 8 f 7 】k g r o v e a n d k s h i h a m a ，ag e n e r a l i z e ds p h e r et h e o r e m ，a n n o fm a t h1 0 6 ( 1 9 7 7 ) ，2 0 1 2 1 1 8 】m w h i r s h ，d i f f e r e n t i a lt o p o l o g y , s p r i n g e r - v e r l a g1 9 7 6 【9 】x m e n g u y , n o n c o l l a p s i n ge x a m p l e sw i t hp o s i t i v e r i c c ic u r v a t u r ea n di n f i n t e t o p o l o g i c a lt y p e ，p r e p r i n t 【l o 】d 。o r d a y , b s t e n p h e n sa n dd g y a n g , l a r g ev o l u m eg r o w t ha n df i n i t et o p o l o g i c a l t y p e p r o c e e d i n go f t h e a m s v o l u m e l 2 8 ( 2 0 0 0 ) ，n u m b e r 4 ，p a g e s l l 9 1 - 1 1 9 6 【1 1 】j i p i n gs h aa n dz h o n g r n i ns h e n ，c o m p l e t em a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v er i c c i c u r v a t u r ea n d q u a d r a t i c a l l yn o r m e g a t i v e l y c u r v e d i n f i n t y , a j o fm a t h 1 1 9 ( 1 9 9 7 ) ，1 3 9 9 1 4 0 4 【1 2 】z m s h e n ，c o m p l e t em a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r ea n dl a r g ev o l u m e g r o w t h ，i n v e n t m a t h ( 1 9 9 6 ) 3 9 3 - 4 0 4 ，m r 9 7 d ：5 3 0 4 5 f 1 3 】c y x i a ，l a r g ev o l u m eg r o w t ha n dt h et o p o l o g yo fo p e nm a n i f o l d ，m a t h z2 3 9 51 5 5 2 6 ( 2 0 0 2 ) 【1 4 】x uw b ，z h a nh 。s ，t h ep r o g r e s so fr i e m a n n i a nm a n i f o l dn o n n e g a t i v er i c c i c u r v a t u r ea n dl a r g ev o l u m eg r o w t h 。j o u r n a lo fj i m e iu n i v e r s i t yv 0 1 8 ，n 0 4 d e c 2 0 0 3 f1 5 】z h a nh s ，s h e nz m ，t h ev o l u m ea n dt o p o l o g yo fac o