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四川大学硕士学位论文 支付红利股票的美式看涨期权定价问题的 数值方法研究 计算数学专业 研究生杨壶指导教师胡兵 期权作为最重要的金融衍生工具之一，在防范和规避投资风险中起着巨大 作用。如何通过合理的数学模型来确定期权的价格是期权研究中的关键问题之 一。对于欧式期权和不付红利股票的美式看涨期权，金融学家f b l a c k 和m s c h o l e s 已给出了精确的b l a c k s c h o l e s 定价公式( 见 2 9 ) 。然而，对于标的 股票支付红利的美式看涨期权却没有解析表达式，加之标的股票支付红利非常 贴近于真实的金融市场交易，所以发展计算此问题的数值方法具有重要的理论 和实际意义。 支付红利股票的美式看涨期权的数值方法研究较少，其中常用的方法有二 叉树图法( 见 8 、2 0 、2 9 ) 、有限差分法( 见 1 0 、1 3 、1 4 、2 3 、2 6 ) 等。但 二叉树图法未考虑股票价格持平情形，且计算时间长；文献 2 3 主要利用的是 显式差分格式，精度欠缺且没有相应的理论分析。本文在其基础上，考虑到股 票价格持平情形，应用隐式差分格式进行求解，利用极值原理分析了差分解的 稳定性和收敛性，并给出了误差估计。另外，文献 2 4 提出了一种混合数值方 法为美式看跌期权定价。本文在此基础上，应用快速傅立叶变换和r u n g e k u t t a 法对支付红利股票的美式看涨期权定价问题提出了一种新型混合数值方法。 通过一系列美式看涨期权定价问题的数值实验、分析、比较，结果表明本 文所提供的数值方法均是快速且高效的，同时也验证了文献 2 9 中提到的“基 于支付红利股票的装式看涨期权应该提前执行”这一结论的正确性。 关键词：美式藉涨期权红利有限差分法二叉树图法龙格一库塔法 快速傅立叶变换 四川大学顼士掌位论文 r e s e a r c ho nn u m e r i c a lm e t h o d sf o rp r i c i n ga m e r i c a nc a l l o p t i o n so nd i v i d e n d - p a y i n gs t o c k m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s a u t h o r ：y a ny a n g s u p e r v i s o r ：b i n gh u o p t i o ni so n eo ft h ec o 孵t o o l so ff i n a n c i a ld e r i v a t i v es e c u r i t y i tp l a y sa l l i m p o r t a n tr o l ei nt h ee f f e c t i v em a n a g e m e n to f r i s ka n ds p e c u l a t i o n t h ec r i t i c a lt h i n g f o rt h eo p t i o ns e c u r i t i e st oe x i s tr e a s o n a b l ya n dd e v e l o pp r o p e r l yi sf a i r p r i c e e v a l u a t i o n u n l i k ee u r o p e a no p t i o n sa n da m e r i c a nc a l l o p t i o n so nn o n - d i v i d e n d p a y i n gs t o c k ，n oe x p l i c i tc l o s e d f o r mf o r m u l a sh a v eb e e nf o u n df o ra m e r i c a nc a l l o p t i o n so nd i v i d e n d p a y i n gs t o c k ，s oa p p r o x i m a t i o nm e t h o d sh a v et ob eu s e di n p r a c t i c e r e s e a r c h i n gm o r ee f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o d sa b l et os o l v et h i sp r o b l e mi s a l s oi m p o r t a n t n u m e r i c a lm e t h o d sf o rp r i c i n gt h ea m e r i c a nc a l lo p t i o n so nd i v i d e n d - p a y i n g s t o c ka r ef e w ，s u c ha st h em u l t i s t e pb i n o m i a lt r e em e t h o d ( s e e 【8 ，2 0a n d2 9 ) a n d f l u t ed i f f e r e n c em e t h o d ( s e e 1 0 ，1 3 ，1 4 ，2 3a n d2 6 】) h o w e v e r ，t h ef i r s tm e t h o d n e g l e c t st h ep o s s i b i l i t yo fn o n - f l u c t u a t i n gp r i c e s ，a n dc o m p u t a t i o nt i m ei st o ol o n g ； i n 【2 3 】，t h ee x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei ss h o r to fa c c u r a c ya n dc o r r e s p o n d i n g t h e o r e t i c a la n a l y s i s b a s e do nt h e s ed e f e c t s ，t h i st h e s i sc o n s i d e r san o n - f l u c t u a t i n g m a r k e ta n dp r e s e n t sac o r r e s p o n d i n gi m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ef o rt h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o n ，a n da d o p t st h ee x t r e m u np r i n c i p l et oa n a l y z es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo f t h es c h e m e f i n a l l y , a c c o r d i n gt oam i x e dn u m e r i c a lm e t h o df o ra m e r i c a np u t o p t i o n si n 2 4 ，t h i st h e s i sc o m b i n e sf a s tf o u r i e rt r a n s f o r ma n dr u n g e k u t t am e t h o d i n t oan e wn u m e r i c a lm e t h o df o ra m e r i c a nc a l lo p t i o n so nd i v i d e n d p a y i n gs t o c k t h r o u g ha n a l y z i n ga n dc o m p a r i n gas e r i e so fo p t i o n s ，t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t s h o w st h a tt h em e t h o d sp r o v i d e di nt h i st h e s i sa l la r ef a s ta n de f f e c t i v e a n dt h e 四川大学硬士学位论文 c o n c l u s i o no f “a m e r i c a nc a l lo p t i o n so nd i v i d e n d - p a y i n gs t o c ks h o u l db ee x e r c i s e d i na d v a n c e ”m e n t i o n e di n 2 9 i sa l s or e a c h e d k e yw o r d s ：a r a e r i c a nc a l lo p t i o n s ，d i v i d e n d ，f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，b i n o m i a lt r e e m e t h o d ，r u n g e k u t t am e t h o d ，f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m 四川大学颈士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成 果归四川大学所有，特此声明。 作者签名： 日期： 枸- - & - 导师签名： 日期： 四j i 丈擘u 士掌位论文 第一章绪论 金融衍生产品( d e r i v a t i v es e c u r i t y ) 是一种新型的金融工具，近年来在国 际金融市场中发挥了极大的作用。其价值依附于其它更基本的标的( u n d e r l y i n g ) 变量。其中，用于作为标的资产的可以是债券、股票、货币等原生金融工具， 可以是其它实物资产，也可以是金融衍生工具本身。其中远期合约( f o r w a r d c o n t r a c t ) 、期货合约( f u t u r e sc o n t r a c t ) 和期权( o p t i o n ) 是三种最基本的衍 生工具。 期权作为最重要的金融衍生工具之一，最早是在上个世纪7 0 年代中期起源 于美国。它作为一种金融创新工具，在防范风险和投机中起着非常重要的作用， 并且在近三十年得到了迅猛发展。股票期权子1 9 7 3 年首次在有组织的交易所内 进行交易。现在，在世界各地的不同交易所中都有期权交易。银行和其它金融 机构同时也进行巨额的期权合约的场外交易。期权的标的资产包括股票、股票 指数、外汇、债务工具、各种商品和期货合约。期权赋予其持有者做某件事情 的权利，持有者不一定必须行使该权利。这一特点使期权不同于远期和期货。 在远期和期货合约中持有者有义务购买或出售该标的资产。 期权的分类标准大致有两种。一是根据期权赋予持有者履约时买入或卖出 标的资产行为的不同划分，期权具有看涨期权( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( p u t o p t i o n ) 两种形式。看涨期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格购 买标的资产；看跌期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格出售标 的资产。期权合约中的价格被称为执行价格或敲定价格 e x e r c i s ep r i c eo f s t r i k e p d c e ) 。合约中的日期为到期日或执行日( e x p i r a t i o nd a t e o r e x e r c i s ed a t e ) 。 二是根据期权持有者在有效期内履约的灵活性，期权主要有欧式期权 ( e u r o p e a no p t i o n s ) 和美式期权( a m e d c a no p t i o n s ) 两种类型。欧式期权只 能在到期日执行，而美式期权可在期权有效期内任何时候执行。在交易所中交 易的期权大多为美式期权，尤以股票期权市场最为突出。 自1 9 9 5 年开始，中国期权市场发展仅有十年时间，但期权市场需求己相当 成熟。如何对期权风险进行有效的管理和控制，已关系到期权开发能否从研究 阶段过渡到试运行阶段。然而，要对期权风险进行有效的管理和控制，首先就 必须对金融衍生工具特别是期权进行合理的定价。因此，对期权定价方法的研 究就显得尤为重要。 四川大学磺士学位论文 1 1 早期期权定价理论研究 期权的思想萌芽可追溯到公元前1 8 0 0 年的汉谟拉比法典，而早在公元 前1 2 0 0 年的古希腊和古腓尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不 过在当时条件下不可能对其有深刻认识。公认的期权定价理论创始人是法国数 学家l o u i sb a c h e l i e r 。1 9 0 0 年，他在博士论文“投机理论”中第一次对股票价 格的走势给予了严格的数学描述。他假设股票价格交化过程是一个无漂移和每 单位时间具有方差仃2 的纯标准布朗运动，并得出到期日看涨期权的预期价格 是： 瓣滞。( 兰剖堪。【( 而s - kj 、+ 仃厨甲( 兰剖( 1 - ) 其中c ( s ，f ) 表示t 时刻股票价格为s 时期权的价值，定表示期权的执行价 格，巾( ) 表示标准正态分布函数，甲( ) 表示标准正态分布密度函数。为与股票 的零预期价格变化假设一致，他没有为得到现值而贴现预期值。按照现在的标 准来看，这一模型仍有不少可取之处。但它在两个方面还是稍有不足：一是绝 对布朗运动的应用允许股票价格为零的假设，它忽视了资金的时间价值为正， 期权和股票间不同的风险特征：二是风险厌恶特征和程度。虽然有此不足，实 际上该模型对预测短期看涨期权的价格非常适用，但在长期期权价格的判断中， 因要求期权价格与期限的平方根成正比例增加而失效。 在l o u i sb a c h e l i e r 以后，期权定价模型的最新发展当属s p r e k l e ( 1 9 6 1 ) ， 他假设股票价格变化过程服从具有固定平均值和方差的对数分布，且该分布允 许股票价格有正向漂移，他得到的看涨期权价值公式为： c ( s ，r ) = e 烈1 s 中( 碣) - 0 一万) k ( d 2 ) ( 1 2 ) 其中， dl：?ln(sk)+(a+tr22)(t-t)，al：d一盯x17再。 ( 1 3 ) = = = ，一， 2 函一盯一f o、1 0 ， a 4 t - t 参数石是市场“价格杠杆”调节量( 当万取0 时，( 1 2 ) 式给出了期权的最终预 期值) ，口是股票预期收益率，而不是无风险收益率。与l o u i sb a c h e l i e r 的 模型的不足之处相似，这一模型也没有考虑资金的时间价值。 b o n e s s ( 1 9 6 4 ) 的模型与s p r e k l e 的模型非常相近。他也对股票收益假定 了一个固定的对数分布，并且认识到风险保险的重要性。为简明，他假定“投 资者不在乎风险”。他利用这一假设证明了用股票的预期收益率口来贴现虽终 2 四川大学焉士学位论文 期权的预期值。他的最终模型是： c ( s ，t ) = s d ( 蟊) 一e ”q 卅足o ( 吐) ， ( 1 4 ) 其中，西、吐如( 1 3 ) 式所定义。这一等式在形式上与后来的b l a c k s c h o l e s 公式完全相同。唯一区别是口的用法，此处是股票的预期收益率而不是无风险 收益率r 。假如b o n e s s 将投资者不在乎风险的假设代以逻辑结论口= ，他将 推导出b l a c k - s c h o l e s 方程。当然，他的推导仍需建立在风险中性的假设基础 上。 s a m u e l s o n ( 1 9 6 5 ) 认识到，由于不同的风险特性，期权和股票的预期收益 率一般来说是不同的。他的欧式看涨期权的模型是： c ( s ，t ) = p 似书。“s m ( 吐) 一e 烈足o ( 吐) ( 1 5 ) 其中，匾、破也如前面( 1 3 ) 式所定义。前面提到的b o n e s s 模型是这一模型 在口= 口时的特例。 1 2 现代期权定价理论研究 现代期权定价理论的革命发生在1 9 7 3 年，美国金融学家f b l a c k 和m s c h o l e s 在有效市场和股票价格遵循几何布朗运动等一系列假设条件下，运用 连续交易保值策略推出了著名的b l a c k s c h o l e s 定价模型。b l a c k s c h o l e s 定 价模型的核心在于设计了一个套期组合策略，使得期权市场投资的风险为零， 这是对期权定价公式建模思路的高度概括。它告诉我们，如果构造了这样的套 期组合，其能够完全复制期权的收益及风险特性，则下列两个量均应当与期权 当前的公平价值相等：第一，构造该套期组合的当前成本；第二，该套期组合 在期权到期日价值的期望值按无风险利率贴现的现值。 b l a c k s c h o t e s 期权定价模型的基本假设如下： ( 1 ) 允许使用全部所得卖空衍生证券； ( 2 ) 没有交易费用或税收： ( 3 ) 在衍生证券的有效期内没有红利支付； ( 4 ) 不存在无风险套利机会； ( 5 ) 证券交易是连续的； ( 6 ) 无风险利率r 为常数且对所有到期目均相同； ( 7 ) 股票价格遵循下述几何布朗运动： 3 四川大学硕士学位论文 口艿= a s d t + 盯磊， ( 1 6 ) 其中为股票的预期收益率，t l r 为股票价格波动率，、盯均为常数。毋为一 个维纳过程，即是： 咖；占历( 1 7 ) 占服从标准正态分布( 即均值为0 、标准差为1 0 的正态分布) 。 由此可以得到标的资产为不付红利股票的衍生证券在时刻t 的价格f ( s ，t ) 所满足的偏微分方程为： 望+ 心望+ 土口z s2 馨：r 厂( 1 8 ) a ta s 。2 己s 1 这就是著名的“b l a c k - s c h o l e s 微分方程”。该方程的一个重要特性是不包含股 票的预期收益率j ，使其独立于投资者的风险偏好。 b l a c k s c h o l e s 期权定价方法是现代期权定价理论的一大创举。自从 b l a c k 和s c h o l e s 的论文发表以后，m e r t o n 、c o x 、r o s s 与i n g e r s o l l 又对 其进行了深入的研究和扩展，将其推广到诸如股指期权、货币期权、期货期权 等众多衍生品的定价之中，从而奠定了期权定价理论的基础。 1 3 近期期权定价理论的发展及本文的工作 b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型对市场做了许多理想的、不切实际的假设。 近2 0 多年来，经济学家们试图“放松”这些假设条件，寻求更贴近实际市场的 期权定价模型，并取得了许多优秀成果，极大地丰富和发展了期权定价理论。 7 0 8 0 年代的重要研究成果有：t h o r p e ( 1 9 7 3 ) 检验了卖空限制条件： m e r f o n ( 1 9 7 3 ) 推广了考虑股利和随机利率的模型；c o x 、r o s s ( 1 9 7 6 ) 和 m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 考虑了股票价格公式展开中小具有连续样本路径时的期权定价问 题；i n g e r s o l l 和s c h o l e s ( 1 9 7 6 ) 考虑了资本收益和股利的不同税率效果； r o b i n s t e i n ( 1 9 7 6 ) 和b r e n n a n ( 1 9 7 9 ) 引入了具有代表性的投资者效用函数， 得到了关于离散时间交易的b l a c k s c h o l e s 方程解。b l a c k ( 1 9 7 6 ) 研究了商品 期权，l e l a n d ( 1 9 8 5 ) 考虑了有交易成本的期权定价模型。 9 0 年代以来特别是近几年，很多经济学家对不完善市场、基础资产的价格 存在异常变动跳跃或者基础资产报酬率的方差不为常数等情况下的期权定价问 题，以及美式期权定价问题进行了广泛研究，取得了许多重要研究成果。 4 四川大学硬士掌位论文 不完善市场主要是指对贷款及卖空股票进行限制，或者存在交易成本，或 者市场本身不完备。不完善市场假设显然要比完善市场假设更接近真实的金融 市场，但这时的期权定价问题就复杂多了一在不完善市场情况下，通常难以得 到b l a c k - s c h o l e s 模型那种期权的公平价格，已有的定价方法也将失去其作 用。关于不完善市场的期权定价问题，目前经济学家采用的主要方法有方差最 优套期保值( v a r i a n c eo p t i m a lh e d g i n g ) 、均值方差套期保值( m e a nv a r i a n c e h e d g i n g ) 、超套期保值( s u p e rh e d g i n g ) 、有限风险套期保值( 1 i m i t e dr i s k h e d g i n g ) 等方法。在这方面做出过重要贡献的经济学家主要有b a r r o n & j e n s e n ( 1 9 9 0 ) ，f o l l m e r & s c h w e i z e r ( 1 9 8 9 ，1 9 9 1 ，1 9 9 3 ) ，h o f m a n n ( 1 9 9 2 ) 等，d a v i s ( 1 9 9 3 ) 等，k a r a t z a s & k o u ( 1 9 9 4 ) ，日k a r o u i & q u e n e z ( 1 9 9 5 ) 。 较早对基础资产价格变动存在跳跃情况的期权定价问题进行研究的要数 m e r t o n ( 1 9 7 6 ) ，他在股票价格几何布朗运动之上加了各种跳跃，提出了以下模 型： d s = o a k ) s d t + 盯s d z + s d q ( 1 1 1 ) 其中，五为跳跃发生的频率，为平均跳跃幅度占股票价格上升幅度的比率，龙 是标准维纳过程，砌是产生跳跃的泊松过程。假设出和由过程是相互独立的。 m e r t o n 所作的关键假设是股票收益的跳跃成分代表了非系统性风险( 即经济学 中没有进行定价的风险) 。这意味着b l a c k s c h o l e s 形式的证券组合，在消除 了几何布朗运动带来的不确定性之后，应获得无风险收益，从而可得出相应的 期权定价公式。后来，d a r r o w & r o s e n f e i d ( 1 9 8 4 ) 和b a l l & t o r o u s ( 1 9 8 5 ) ，a h n ( 1 9 9 2 ) ，a m i n ( 1 9 9 3 ) ，b a t e s ( 1 9 9 1 ，1 9 9 6 ) ，d a s & f o r e s i ( 1 9 9 6 ) ，陈超和邹 捷中( 1 9 9 9 ) 等进一步推进了这方面的研究工作。 目前，在金融市场上交易的期权大部分是美式期权。美式期权的定价闯题 要比欧式期权定价复杂得多。一般情况下，美式期权没有精确的解析定价公式， 只能使用解析近似解方法或数值方法进行求解。用于美式期权估值的数值方法 主要有：二叉树图法、有限差分法、有限单元法和数值积分法等。 二叉树图法( 由c o x 、r o s s & r o b i n s t e i n 于1 9 7 9 年首先提出) 假设在每 个小的时间间隔a t 内，股票价格要么按比例上升，要么按比例d 下降。、d 的大小和相应的概率经过恰当选择后，可使股票价格的变化在风险中性世界中 具有正确的均值和标准差。从二树图的末端开始倒推可计算出期权的价格。对 5 四川大掌磺士学位论文 美式期权而言，在某个节点的价值是如下两个值中的较大者：一个是它立即执 行时的价值；另一个是继续持有血时间的贴现期望值。有限差分法是直接将标 的变量的偏微分方程转化为一系列差分方程，然后用迭代法求解。类似二叉树 图法，有限差分法的计算也是从期权有效期最后时刻开始，倒推回期权有效期 的初始时刻。 由于考虑到现实金融市场的特点，本文在前人工作的基础上，阐述了标的 股票支付红利的美式期权价值的形成机理。认识到支付股票红利的美式期权非 常贴近于现实金融市场交易，其中更现实的假设莫过于支付已知红利数额( 见 【1 3 、 2 7 1 2 乏 3 s ) 。又因为支付股票红利的美式看涨期权没有解析公式( 见f 13 】) ， 所以本文就以支付股票红利的美式看涨期权的数值解法为主要研究目标。 目前，关于支付红利股票的美式看涨期权定价的数值方法研究较少，常用 的方法有二叉树图法( 见【8 、2 0 、2 9 】) 和有限差分法( 见 1 0 、1 3 、1 4 、2 3 、 2 6 1 ) 等。由于二叉树图法未考虑股票价格持平情形，且计算时间长；而文献 2 3 主要利用的是显式差分格式，精度欠缺且没有相应的理论分析。本文在其基础 上，考虑到股票价格持平情形，应用隐式差分格式进行求解，利用极值原理分 析了差分解的稳定性和收敛性，并绘出了误差估计。此外，文献 2 4 提出了一 种混合数值方法为美式看跌期权定价，本文在此基础上，应用快速傅立叶变换 和r u n g e k u r a 法对支付红利股票的美式看涨期权定价问题提出了一种新型混 合数值方法：首先将美式看涨期权价格所满足的b l a c k - s c h o l e s 微分方程定解 问题转化为一个含有低阶项的抛物型初、边值问题，然后通过快速傅立叶变换， 使之转换为一个不带股价变量的常微分方程初值问题，再利用龙格库塔法进行 数值求解。 通过系列美式看涨期权定价闯题的数值实验、分析、比较，结果表明本 文所提供的数值方法快速且高效。同时也验证了文献 2 9 中提到的“基于支付 红利股票的美式看涨期权应该提前执行”这一结论的正确性。 具体而言，全文内容安排如下： 第二章美式期权的价值分析 第三章离散型支付红利股票的美式期权定价 第四章数值实验 第五章结论 6 四川大学磺士学位论文 第二章美式期权的价值分析 在完全金融市场，现有交易所中交易的期权大部分都是美式期权。由于美 式期权可以在合同到期日或到期日之前的任何时刻执行，故美式期权的定价问 题要比欧式期权定价问题困难得多。一般情况下，除了基于不付红利股票的美 式看涨期权外，美式期权没有耩确的解析定价公式，只能用数值方法或解析近 似解方法进行定价。 2 1 期权的内涵价值与时间价值 对于看涨期权来说，如果现在标的股票价格s q l 高于执行价格足，则此时 看涨期权处于实值状态( i nt h em o n e y ) ；如果现在标的股票价格s ( f ) 低于执行 价格足，则此时看涨期权处于虚值状态( o u to f t h em o n e y ) 。对于看跌期权来 说，情况正好相反。如果期权的执行价格置正好等于标的股票价格s ( t ) ，则此 时期权处于两平状态( a tt h em o n e y ) 。内涵价值( i n t r i n s i cv a l u e ，也称内在 价值) 定义为零和期权立即执行时所具有的价值这两者之中的极大值。因此， 看涨期权的内涵价值为m a x f s ( o k ，0 ，看跌期权的内涵价值为 n l a ) ( k s ( r ) ，0 。一个处于实值状态的美式期权的价值一定大于或等于其内涵 价值，因为该期权的持有者可以通过立即执行期权实现其内涵价值。处于虚值 状态的期权的内涵价值总为零。在期权未失效前，期权价值往往大于期权的内 涵价值。期权价值减去期权的内涵价值的差则是期权的时间价值。在到期日， 所有期权的时间价值都变为零。一个处于虚值状态的期权只有时间价值而没有 内涵价值。 2 2 美式看涨期权的价值分析 这里我们对美式看涨期权的价值进行分析，主要研究标的股票不支付红利 和支付红利这两种情况。其中标的股票支付红利的情形是本文的主要研究对象。 2 2 1 标的股票不支付红利的情况 首先考虑下面两个组合： 组合i ：一个欧式看涨期权加上金额为盈。( “的现金。 7 四川大事曩士掌位论文 组合：一股股票。 在组合i 中，如果现金按无风险利率来投资，那么在r 时刻将变为k 。如果在 欧式期权到期时刻r 的股票价格s ( t ) 大于执行价格k ，那么在r 时刻应该执行 看涨期权，则组合i 的价值为s ( d ；如果s ( n 小于k ，这时期权到期价值为零。 则组合i 的价值为k 。从而，在r 时刻组合i 的价值为： m a x s ( 即，k ( 2 1 ) 而组合i i 在r 时刻的价值为s ( t ) 。因此，在r 时刻组合i 的价值通常不低 于并且有时可能还会高于r 时刻组合i i 的价值。于是，在不存在套利机会的情 况下，有： c ( 0 + i 一，( r 一芝s ( f ) 即 c ( t ) s ( r ) 一i c e “7 。 ( 2 2 ) 由于期权的价值不可能为负值，因此有： c ( t ) m a x s ( f ) 一k e - r ( r - o , 0 ( 2 3 ) 式( 2 3 ) 即为未到期时欧式看涨期权价值与标的股票价格及执行价格之间的关 系。 现在来看美式看涨期权。美式看涨期权可以在到期前提前执行，当然也可 以在到期时刻再执行。因此，美式看涨期权的价值应该不小于欧式看涨期权的 价值，即有： c ( t ) c ( ，) m g x s q ) 一k e - t ( r - o0 ( 2 4 ) 但是，如果在时刻，( 到期前的任意时刻) 提前执行美式看涨期权的话，实现的 价值是： m a x s ( t ) - k ，o 显然，这是不划算的，因为实现的价值少于美式看涨期权在时刻f 应有的价值。 因此，提前执行不付红利股票的美式看涨期权是不明智的。 既然不付红利股票的美式看涨期权不可能提前执行，因此有： c ( r ) = c ( f ) ( 2 5 ) 即是说，基于不付红利股票的美式看涨期权与欧式看涨期权具有相同的价值。 由此，就得到了不付红利股票的美式看涨期权的定价方法，即求解相应的欧式 看涨期权的价值。此外，一般认为不付红和股票的美式看涨期权不应该提前执 8 四川大学磺士学位论文 行的原因之一是由于期权提供保险。当持有看涨期权而不是持有股票本身时， 看涨期权保证持有者在股票价格下降到执行价格之下时不受损失。一旦该期权 被提前执行，股票价格取代了执行价格，这种保险就消失了。另一个原因是由 于货币的时间价值。支付执行价格越晚越好。 2 2 2 标的股票支付红利的情况 在上一节，我们己经分析了标的股票没有红利支付时美式看涨期权不应该 提前执行，其价值等于相应的欧式看涨期权的价值。当标的股票有红利支付时， 情况就不一样了，美式看涨期权可能在任何红利支付日之前的瞬间提前执行。 b l a c k 提出了一种近似解法，就是让美式看涨期权价格等于两个欧式看涨期权 价格中的较大者。第一个欧式看涨期权与美式看涨期权的到期日相同；第二个 欧式看涨期权在最后一个红利支付日之前瞬时执行期权。r o l l ，g e s k e 和 w h a l e y 提出了一种更为精确的处理方法，即：若假定标的股票在时刻 分红 d 1 ，这里t 0 的条件下，当股票价格足够低时，立即执行美式看跌期权是明智的。 如果提前执行的话，该期权的价值为鬈一s 0 。因此，当s 很小时，代表看跌期 权价值的曲线与看跌期权的内涵价值k s ( f ) 重合在一起。 由于美式看跌期权的提前执行性，故其定价比较复杂，没有精确的解析定 价公式。目前，用于美式看跌期权估值的数值方法主要有：二叉树图法、有限 差分法、有限单元法和数值积分加外推法等。k i m ( 1 9 9 0 ) 。j a c k a ( 1 9 9 1 ) ， c a r r j a r r o w 和m y n e n i ( 19 9 2 ) 推导出：不付红利股票的美式看跌期权价格 等于相应的欧式看跌期权价格再加上一个表示由于期权的提前执行性所具价值 的积分，即： l p = p + l r k e 一n ( - a 2 ( 只足，t ) ) d t ( 2 1 2 ) i 其中，幺 ，芝，f ) ：i n ( s s c ) + ( 7 r - ( 1 2 一) c r 2 ) t 。这里，s 是，时刻的股票价格，是c r q t 临界股票价格，其它的符号如前面所定义。 关于临界股票价格s ，有如下三种等价定义： ( 1 ) 当股票价格达到墨时，看跌期权持有者执行与不执行没有什么不同； ( 2 ) 在期权有效期内，当看跌期权价值等于其内涵价值( 即等于执行价格 减去股票价格) 时，股票价格之中的最大值； ( 3 ) 当看跌期权价值不依赖于时间r ( r = t 一，) 时，股票价格所具有的最大 值。因为，假如立即执行看跌期权是最优的，那么它的价值与离到期还有多长 时间是没有关系的。 d a v i ds b u n c h 和h e r b j o h n s o n 利用的第三种定义，并结合式( 2 1 2 ) 对美式看跌期权进行了定价。根据的第三种定义，当s = 时， 一o p ：0 ( 2 1 3 ) a f 这里f ；t t 。 四j l i 大掌硕士学位论文 对式( 2 1 2 ) 取罢：o ，并注意到s ( 哦) ：i c e 一一( 吐) 及s ：足，可得： a t 量= e x p 一( ，+ ( 1 ，2 ) 盯2 ) r - g a c q ( 2 1 4 ) 其中， g = 】基里， ka x = 一，口2 1 一 一 s l + 蛐：t 2 f 彳= 圭( 击 2 ，y = 2 r o r 2 当f 较小时，g 有如下逼近： g ：压磊 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 可以用数值积分方法和r i c h a r d s o n 外推法来计算美式看跌期权价格和临界股 票价格母。如果运用式( 2 1 2 ) 、( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 来计算，可得到较为精 确的结果；如果运用式( 2 1 2 ) 、( 2 1 4 ) 和( 2 1 6 ) 来计算，则可得到速度 很快但精度相对降低的计算方法。 在股票有红利支付的情况下，美式看跌期权的定价同样比较复杂，本文将 不做讨论。需说明是：由于股利的除权作用，会使股票的价格下跌，从而会加 深看跌期权的实值状态，因而对于美式看跌期权的持有人来说，其执行期权的 最优时机不可能在支付红利之前，两只可能在支付红利之后，这样将推迟期权 提前执行的时间。 1 2 四川大学磺士学位论文 第三章离散型支付红利的美式看涨期权定价 由前面章节的分析可知，支付红利的美式看涨期权没有精确的解析定价公 式，只能用数值方法或解析近似解方法( 见【2 9 】) 进行求解。本章我们将介绍三 种数值方法，分别是二叉树图法、有限差分法和快速傅立叶变换加龙格一库塔法。 首先，将美式看涨期权价格c 岱，f ) 所满足的偏微分方程定解闯题通过变量替换 转化为一个含有低阶项的抛物型初边值混合问题，然后再分别通过有限差分法 和快速傅立叶变换加龙格库塔法进行数值求解，最后与二叉数图法的数值结果 进行精度与速度上的比较。 为明确起见，本章用s 表示股票价格，x 表示期权的执行价格，c 表示期 权价格，r 为期权到期日，仃为股票价格的波动率，r 为无风险利率( 假定为常 数) 。还假定股票价格s 由两部分构成：一部分是对应于期权有效期内支付已知 红利的无风险部分s ，另一部分则是有风险部分s 。其中无风险部分s 就是从t 时刻开始到期权到期日为止支付的所有红利按无风险利率从除权日贴现到r 时 刻的现值。并且还假定在期权有效期内某确定时刻q ( k = l ，2 ，p ) 支付确定红 利数额皿。 3 1 二叉树图法 首先，我们需要对二叉树图法进行简单的介绍。c o x 、r o s s 和r o b i n s t e i n 于1 9 7 9 年首先提出此方法，此法具有计算简便、直观和可处理多标的变量的优 点，至今仍然被广泛应用于期权定价的数值计算中。 该法假设股票价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成的，所以我们把 期权有效期分为很多很小的时间闻隔& 。假设在每一个对闯段内股票价值扶开 始的s 运动到两个新值肌和尉中的一个。一般情况下，甜 l ，d f 和 童：s d e r ( r - 1 6 t ) ，当必啦f 其中d 是红利。设t 3 r 为重的标准差，假设孑是常数。用孑代替( 3 4 ) ( 3 7 ) 式中的盯可计算出参数p 、u 和d ，这样就可以用通常的方法构造模拟s 的二叉 树图了。通过把未来红利的现值加在每个结点的股票价格上就会使原来的二 叉树图转化为另一个模拟s 的二叉树图。在i a t f 时，这个树图上的结点所对应的股票价格为： s u d 。，_ ，= 0 ，1 ，i ( 3 9 ) 由以上数据就可倒推计算出所需的期权值。通过数值实验表明，该方法也 可以推广到处理多个红利的情况，本文就以此方法处理了两次红利支付的情况。 1 6 四川大学囊士学位论文 3 2 有限差分法 众所周知，运用有限差分法进行金融问题的数值计算时，具有方便、快速 且较精确的优势。本节首先将b l a c k s c h o l e s 微分方程定解问题转化为一个含 有低阶项的抛物型初边值混合问题，然后建立了相应的隐式差分格式，并利用 极值原理分析了差分解的稳定性和收敛性。 3 2 1 变量替换 若假设有风险部分股票价格s + 的波动率还是等于d r ，且遵循下列几何布朗 运动：劣= y s + 西+ 舔咖，其中为s 的预期收益率，d o j 为一个维纳过程。 则基于有风险股价s 的美式看涨期权价格c ，f ) 满足下列b l a c k - s c h o l e s 偏微 分方程： 百o c 硝簧+ 三10 - 2 8 2 等- ，c ( 3 1 0 )西a s 2 a s ” 其定解条件为： c 仃，s ) = g ( s ) = m a x ( s 一x ，o ) (