（飞行器设计专业论文）宇航机器人动力学建模研究.pdf

哈尔滨厂程大学硕十学位论文 摘要 随着人类宇航发展的脚步，用机器人代替人类维修和探查等活动是必 要的。在宇航机器人建模中，由于轻质机械臂的采用，加上对其精度的要 求，必须要考虑机械臂的柔性效应。本文研究了宇航机器人的动力学建模， 首先对机器人通过拉格朗日方法进行多刚体建模，为机器人的控制与动力 学设置提供了依据。 然后考虑到机械臂的柔性，通过k a n e 运动学方法建模，结合模态分 析和运动控制来研究宇航机器人的柔性多体机械臂在运行中的动态响应， 对多体系统可靠性做了初步的规划研究。 1 对机器人分划为机械体与机械臂连接的模型，通过拉格朗日方法对 其进行多刚体建模，初步对其运动与动力学分析提供了模型。 2 考虑机械臂的柔性，通过k a n e 方法的分析，将宇航机器人模型归纳 为机械体与柔性机械臂连接的模型，在弹性小变形的情况下，对单机械臂 的动力学进行分析，计算了基本的运动学参量，进而用k a n e 方程建立了 考虑臂柔性的机械臂的动力学模型。 3 根据现有的柔性机械臂数据，对其加载，并用模态分析的方法分别 研究了各个单个机械臂的动力学响应。 4 对航空多体系统的运动可靠性做了初步的规划研究，通过对其在各 个阶段的可靠性简单分类研究，为以后的航空动力系统运动规划可靠性研 究打下基础。 关键词：柔性机械臂；k a n e 方法；模态分析；运动可靠性规划 哈尔滨_ t 程大学硕十学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ee v o l u t i o n a ls t e po fa v i a t i o ni n d u s t r yo fm a n k i n d ，i tb e c o m e s b e c o m em o r ei m p o r t a n tt h a t u s i n ga i r s p a c er o b o t i c si n s t e a do fh u m a nb e i n g a st h el i g h t w e i g h tm a n i p u l a t o r sw e r eu s e da n da l s oh i g ha c c u r a c yw a sn e e d e d d u r i n g t h er e s e a r c h o f a i r s p a c e r o b o t i c s t h ef l e x i b l ee f f e c t sm u s tb e c o n s i d e r e d i nt h i sp a p e r ，t h ed y n a m i cm o d e l i n gi n a i r s p a c er o b o t i c sw a s s t u d i e d f i r s to fa l l ，d y n a m i c sm o d e l i n gf o rm u l t ir i g i db o d ys y s t e mo ft h e l a g r a n g et h e o r e mw a ss t u d i e df o rt h ea i r s p a c er o b o t i c s ，w h i c hi sp r o v i d e df o r t h ei n i t i a lr e s e a r c ho ft h ed y n a m i ca n dc o n t r o la n a l y s i so fa i r s p a c e r o b o t i c s k a n e sd y n a m i c sm o d e lw a se s t a b l i s h e dc o n s i d e rt h ee f f e c to ff l e x i b l e r o b o t i cm a n i p u l a t o r t h ef l e x i b l e a i r s p a c e r o b o t i cm a n i p u l a t o r s d y n a m i c r e s p o n s ed u d n go p e r a t i o nw a ss t u d i e d ，w h i c hc o m b i n e dw i t hm o d e la n a l y s i s a n dm o t i o nc o n t r 0 1 t h eb a s i cr e s e a r c ho nr e l i a b i l i t yo fm u l t i - b o d ys y s t e mw a s s t u d i e d t h es t r u c t u r eo ft h ed i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s ： 1 t h em o d e lo fa i r s p a c er o b o t i cw a sd i v i d e di n t ot h ec o n n e c t i o no ft h e r o b o t i cb o d ya n dt h er o b o t i cm a n i p u l a t o r d y n a m i c sm o d e l i n gf o rt h er o b o t i c m a n i p u l a t o rw a sg i v e nb yl a g r a n g et h e o r e m t h i si sp r o v i d e df o rt h ep r i m a r y s t u d yo fk i n e m a t i c sa n dk i n e t i c s 2 c o n s i d e r i n gt h ef l e x i b l eo ft h er o b o t i cm a n i p u l a t o r , t h es i n g l er o b o t i c m a n i p u l a t o rd y n a m i cw a ss t u d i e di ns m a l le l a s t i cd e f o r m a t i o nu s i n gk a n e s d y n a m i c se q u a t i o n s ，t h eb a s i ck i n e m a t i cp a r a m e t e r sw e r ee s t a b l i s h e d ，a n dt h e n t h em o d e lo ff l e x i b l er o b o t i cm a n i p u l a t o rw a ss t u d i e di nk a n e se q u a t i o n 3 a c c o r d i n gt oe x i s t i n gd a t aa n di n f o r m a t i o n ，t h em o d e lw e r el o a d e di n d y n a m i cp a r a m e t e r s t h ed y n a m i cr e s p o n s e o f s i n g l e f l e x i b l er o b o t i c 哈尔滨工程大学硕十学位论文 i i m a n i p u l a t o rw a ss t u d i e di nm o d a la n a l y s i s 4 t h eb a s i cr e s e a r c ho nr e l i a b i l i t yr e s e a r c ho fa i r s p a c er o b o t i c sp l a n n i n g w a ss t u d i e d a f t e ra n a l y s i si ne v e r ys t a g e so fr e l i a b i l i t yr e s e a r c h a l lo ft h e w o r km a d ef o u n d a t i o no fb a s i cr e s e a r c ho nm o t i o np l a n n i n gr e l i a b i l i t yo f a i r s p a c er o b o t i c s k e yw o r d s ：f l e x i b l em a n i p u l a t i o na r m ；k a n e sm e t h o d ；m o d a la n a l y s i s ； k i n e m a t i c sr e l i a b i l i t yp l a n n i n g 哈尔滨工程大学 学位论文原创性l 声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：圣尘匠 日 期：2 p 邪年歹月晓日 哈尔滨t 稗大学硕十学位论文 1 1 概述 第1 章绪论 什么是机器人，到现在为止还没有严格的定义。但是存在一个共识，就 是机器人是一种由电脑控制的、可编程的多功能操作设备，它可以根据程序 质量完成多种作业。机器人技术设计机械、电子、自动控制、人工智能、运 动学、生物力学、感测器技术、讯息处理、仿生学、神经网络、材料科学等 众多科学。现实机器人的外形并不一定像人，但其功能却与人的某些功能相 似。机器人是代替人完成某些任务并具有某些智能的仿生机械。它的机械手 可以完成各种操作，比如搬重物、焊接工件、装配机器、摘果实、剪羊毛、 挤牛奶、扫地、擦玻璃、洗衣服做饭、端茶喂饭、弹琴作画、写字等。机器 人可以用“脚 在地面上移动，在水中游，在墙壁上和海底爬行，在山路和 楼梯上步行，跨越障碍。机器人的感觉器官可以看见外界物体景象，听见声 音，检测物体位置及运动速度，感知与物体接近和接触，检测所抓物体重量， 分辨手爪所抓物体的形状、大小以及滑动与否等。电脑能够分析、计算，判 断、思考和作决策，产生控制作用，由传动装置使机器人的手和脚完成操作 和动作。 、 世界上第一次使用机器人这一词的人是捷克剧作家k a r e lc a p e k ，在他的 科幻剧本“r o s s u n su n i v e r s a lr o b o t s 中，“r o b o t s ”一词首次被使用。但是 实用机器人基础研究从2 0 世纪5 0 年代已经起步，8 0 年代得到迅速发展。到 今天各种各样的机器人相继面世，从用于宇宙探索的宇航机器人到各种智能 玩具都有机器人的技术，比较著名的宇航机器人就是n a s a 的火星车，“勇 气号”( 图1 1 ) 和其孪生兄弟“机遇号”。 錾垒垄! ；些垒尘堡圭茎篁篁奎 黎 幽1 i 勇气号 “勇气”号长1 6 米、宽2 3 米、高1 5 米，重1 7 4 千克。它的“大脑”是一 台每秒能执行约2 0 0 0 万条指令的计算机，计算机在火星车身体内部。所谓 “颈”和“头”是火星车上伸出的一个桅杆式结构，距火星车轮子底部高度约为 1 4 米，上面装有一对可拍摄火星表面彩色照片的全景照相机作为“眼睛”。两 台相机高度与人眼高度差不多，有了它们，火星车能像站在火星表面的人 样环视四周。当“勇气”号发现值得探测的目标，它会以6 个轮子运动至目标 面前，然后使用机械臂进行考察。火星车的机械臂上面带有多种工具。还有 同样是美国设计的第一辆月球车：月行者。 图12 爿行者 堕查堡；兰堡銮耋堡。：兰堡鎏奎 此后世界各个国家也都设计出自己的宇航机器人，如中国自行设计，探 月计划中的月球车，如图1 3 。 图13 中国自行设计月球车 图1 2 普通卫星示意图 图1 2 为普通的卫星示意图，在广义上说，对其的运动学建模r 比如太阳 能帆板的打开) ，也可以归纳到机械体的建模，对机器人的建模可以容易的用 哈尔滨工稃人学硕+ 学位论文 在其上，可以说其物理模型是通用的。 1 2 课题的背景介绍 随着宇航事业的发展，大型空间站的建立。对航天器的外部活动，比如 维修、空间采样等一系列空间作业提出很高的要求；同时在很多极端的条件 下，人类无法达到或者是超出人类极限的；而且在自然的太空环境下，对宇 航员的自身的要求也是非常高的。随着人类宇航发展的脚步，用机器人代替 人类维修和探查等活动是必要的。在宇航机器人建模中，由于轻质机械臂的 采用，加上对其精度的要求，必须要考虑机械臂的柔性效应。 与刚性机械臂相比较，柔性机械臂具有结构轻、载重自重比高等特性， 因而具有较低的能耗、较大的操作空间和很高的效率，其响应快速而准确， 有着很多潜在的优点，在工业、国防等应用领域中占有十分重要的地位。由 于运动过程中关节和连杆的柔性效应的增加，使结构发生变形从而使任务执 行的精度降低。所以，机械臂结构柔性必须予以考虑。柔性机械臂是一个非 常复杂的动力学系统，其动力学方程具有非线性、强耦合、时变等特点。而 进行柔性臂动力学问题的研究，其模型的建立是极其重要的。大尺寸太阳能 帆板、航天器与卫星间的绳索联接系统、卫星上的鞭状天线等就是具有柔性 结构系统的一些典型例子。柔性结构的广泛应用可以提高生产效率，降低产 品成本，减少动力装置的能量消耗。但是柔性结构往往会产生大的弹性变形 及振动，直接影响系统的稳定与控制精度。 1 3 国内外发展状况 对机器人主要的建模工作是对其机械臂的建模，对机械臂的建模为多体 系统建模。多体系统建模通过近4 0 年的发展，已经有了很大的进步【。 4 哈尔滨1 j 程大学硕十学伊论文 1 3 1 多刚体动力学 对多刚体系统，自2 0 世纪6 0 年代以来，从各自研究对象的特征出发， 航天与机械两大工程领域分别提出不通的建模策略。航天领域以系统每个铰 的一对邻接刚体为单元，以一个刚体为参考物，另一个刚体相对该刚体的位 形由铰的广义坐标( 即拉格朗日坐标) 来描述。这样树系统的位形完全可由铰 的广义坐标阵百所确定。其动力学方程的形式为广义坐标阵的二阶微分方程 组，即 a 一b( 1 - 1 ) 这种形式首先在解决拓扑为树状的航天器问题来推出，值得注意的是，非树 状多体系统可以通过添加虚铰的方法简化。总的说来，一般的航天器拓扑形 状基本都为树状。式( 1 - 1 ) 的优点是方程个数最少，但方程呈严重非线性，矩 阵a 与b 的形式相当复杂。为使方程具有程式化与通用性，在矩阵a 与b 中包含描述系统拓扑信息。 机械领域是以系统每一个物体为单元，建立固结在刚体坐标系，刚体的 位形均相对于一个公共参考基进行定义，其位形坐标同意为刚体坐标系基点 的笛卡尔坐标与坐标系的姿态坐标，一般情况下为6 个。对于n 个刚体的系 统，位形坐标力模型坐标阵牙的坐标数为6 n 个，系统的力学模型一般可以表 示为： ? + 誓部( 1 - 2 ) i 西q ，f ) = 0 其中：m 为位形坐标阵q 的约束方程； 垂p 为约束方程的雅克比矩阵。 这类数学模型是个数相当大的代数微分混合方程组。上述不同类型的 多刚体系统动力学模型形成了两种完全不通的数值处理方法，在软件的实现 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 上也各不相同。就多刚体而言，存在两种相互独立的方法，分别称为多刚体 系统动力学的拉格朗日方法与笛卡尔方法。 1 3 2 多柔体动力学 对与柔性多体系统，自2 0 世纪8 0 年代后在建模方法上逐渐成熟。从多 体系统动力学的角度看，柔性多体系统动力学的数学模型首先应该和多刚体 系统与结构力学有一定的兼容性。当系统中的柔性提变化可以不计时，即退 化为多刚体系统。当系统的大范围运动不存在是，即退化为结构动力学问题。 b o l a n d 等，k a n e 等，r o b e r s o n ，w i t t e n b u r g ，l i k i n s 等，h o 等，h u g h e s 等，m e i r o v i t c h 等【2 h 9 】都为柔性多体航天器动力学的建模作出过杰出贡献。 美国l e h i g h 大学校长p l i k i n s1 1 0 l 早在7 0 年代中期，就对柔性系统作了大量 研究。l i k i n s 首次提出了用离散坐标描述物体的大位移运动，用模态坐标或 有限元节点坐标描述物体的弹性变形，为了满足宇宙飞船、机器人、运输车 辆和机械制造设备的高效设计和分析的需要，l i n k i n s 及其合作者长期从事柔 性多体控制系统动力学方程及程序的研究。他们所建立的数学模型和程序功 能多种多样，力学系统可以使柔性树结构，闭环树和可变拓扑等系统。内体 约束可以包括定常或非定常、完整或非完整约束。在控制系统中他们提供了 8 种可供选择的传感器和5 种可供选择的执行机构，系统方程可执行数值线 性化处理，还备有数值积分子程序。 h o ，j o o k e r 【8 l 【1 1 1 对内连多刚体末端为柔性体的树状多体航天器动力学进 行了研究，h o 用拉氏方法与n e w t o n e u l e r 方法建立了各个物体的动力学方 程，并用他们提出的直接通路法( d i r e c tp a t hm e t h o d ) 将各物体的运动学量 转换到一个制定的主体上，削去物体间的约束力后的得到系统的动力学方程。 1 9 8 5 年，h o 又建立了每个物体均匀变形体的树状柔性多体航天器动力学与 控制方程，并通过摄动法( p e r t u r b a t i o nm e t h o d ) 对所建立的方程进行线性化， 在此基础上研制了a l l f l e x 通用软件，其特点是能够充分利用结构动力学 6 哈尔滨t 稃人学硕十学位论文 分析软件( 如a n s y s ) 产生的模态信息。h p p k e r 也应用直接通路法描述系统 的拓扑结构，并采用嵌套体方法自动削去约束反力。 b o l a n d 等【1 2 】把多刚体系统动力学r o b e r s o n w i t t e n b u r g 方法做了直接发 展，用d a l e m b e r t 原理建立任意物体均为变形体的树状及含闭环的柔性多体 系统动力学方程，并且推导出了供稳定分析的线性化方程。 m e i r o v i t c h 1 3 卜1 1 5 1 对转动柔性体特征值进行了较深入的分析并将由他发 展的准坐标系形式的拉氏方程推广到柔性体航天系统。 k a n e 等【1 6 1 【1 7 1 对复制航天器建模的各种动力学原理进行了理论上的比较， 并对运动基座上固结悬臂梁的模型进行了动力学分析，指出了几何非线性变 形对柔性体动力学响应的影响以及目前的多体程序因为对变形体采用线性假 设离散，在许多工况中会得到完全错误的结果。 h 柚一1 8 l 用有限元法得到挠性体的质量分布、刚度分布特征量及弹性变形 模量，其弹性变形用结构力学中的静力修正模态和震动模态来描述，刚体转 动用方向余弦或欧拉参数来描述，整个方程用虚功原理来退到，在受约束的 多提系统中，挠性体和刚体的耦合运动方程编入到动力学程序之中，以便进 行数值积分。 l i l o v 1 9 】利用虚功原理退到柔性系统动力学方程是，用大位移广义坐标及 节点出的相对运动伪速度来描述刚体运动，用形状参数描述弹性体小变形， 他把刚体系统和柔体系统统一在一组方程中，既可以处理刚体系统，又可以 处理柔体系统。 m o d i 2 0 】将7 4 年以前关于带柔性福建的航天器姿态动力学与控制的研究 成果进行了比较全面的总结。 1 9 9 1 年h u s t o n l 2 1 1 将近年来多体系统动力学模拟和分析方面的最新进展进 行了评述，对于柔性多提系统他指出某些分析工作者提倡集总参量模型 ( 1 u m p e dp a r a m e t e rm o d e l s ) ，在这些模型中，系统是通过由弹簧和阻尼器连接 7 哈尔滨丁程大学硕 学侍论文 起来的各刚体来模拟的，这些弹簧和阻尼器模拟了柔性效应，即所谓的有线 段法。有限段方法是由有限元思想发展起来的，而又有别于一般的有限元方 法，具体表现在：有限段方法采用一系列的刚段来描述柔体的惯性，这样不 仅有质量的描述，又有惯性矩的表达；梁段柔性的表达不是相对于柔性体的 体坐标系，而是相对于段坐标系，从而可以用粱段间的小变形表达整个柔体 的大变形，并借助于非线性多刚体动力学理论，自然计及了几何非线性的影 响，包含了动力刚化项，无需附加几何刚度阵；还可以通过段间参数的非线 性表达，处理材料的非线性问题。其他一些入则利用弹性力学原理、模态分 析和有限元分析，将柔性效应直接并入多体系统中。这些方法的相对优点和 缺点，特别是他们的精确度、效率和使用的难易，仍在不断的争议之中【勿。 1 4 本论文的主要工作 本论文主要是对宇航机器人多体系统进行动力学建模，首先把多体系统 归纳为机械体和机械臂连接的模型，重点对机械臂进行建模。首先用拉格朗 日方程进行多刚体建模，然后用k a r l e 方法进行多柔体建模，进行动力学仿 真，最后对多体系统可靠性做了初步的研究。 8 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 第2 章宇航机器人多刚体动力学建模 2 1 宇航机器人模型 宇航机器人是一个复杂的系统，涉及到自动控制，程序等多方面领域， 本文的分析主要从其动力学方面建模，考虑到建模的复杂性，本文中设计的 宇航机器人多体模型主要是以“勇气号”为基础，对其机械臂进行建模，为 更加复杂的宇航多体系统研究打下基础，本文的建模简化如下( 图2 1 ) 。 图2 1 多体机器人简化图 宇航多体系统模型简化为机械体连接单个机械臂，从机械体向外延伸分 别为臂1 和臂2 。 对其机械臂的模型离散出来后，为下图2 2 结构。 9 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 图2 2 单独的机械臂结构 上图是的机械臂的单独结构的示意图，与本体分离，设其前端机械手为 单独操作，不影响整个机械臂自由度，那么整个机器人可以简化如下图2 3 的机械臂模型。 图2 3 机械臀模型 首先用分析力学的方法对对机械臂进行多刚体动力学建模，通过初步对 刚体建模，进行动力学模拟，为加入柔性效应打下基础。 2 2 第二类拉格朗日方程 分析力学是一般力学中的一个重要分支，在力学的各学科中占有基础地 位。分析力学研究低速宏观世界机械运动的一般规律，概括地说，是研究任 意离散力学系统的描述方法、动力学普遍原理以及运动微分方程的建立和积 1 0 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 分方法。 分析力学与牛顿力学不同。牛顿力学以力、速度和加速度等矢量为基本 量，应用欧几里德几何方法求解，几何直观性强，对于不甚复杂的力学问题 可以得到简明满意的结果。但是由质点系的动力学问题，仅依靠几何方法是 十分费力的，甚至是很困难的。分析力学着眼于能量，采用解析方法来研究 质点系统的动力学普遍规律。由于在方法上有高度的概括性，而且在概念上 又有着较抽象的特点，因而便于求解非自由质点系统的动力学问题。1 7 5 5 年， 拉格朗日写出了并于1 7 8 8 年正式出版的不朽名著分析力学，为分析力学 奠定了基石。拉格朗日提出广义坐标，并巧妙地将力学原理和数学分析方法 结合在一起，提出了建立非自由质点系统运动微分方程的普遍方法。为分析 力学做出重大贡献的还有高斯、雅克比、阿沛尔、哈密顿等人，他们完善了 分析力学体系。第二类拉格朗日方程可以表示为： 要要+ 要，q j一一十一i l ， d t 磕ta q j 一 其中：q i 为广义力。 第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学 问题一个普遍、简单而又统一的解法。拉格朗日方程是分析力学得以发展之 源。第二类拉格朗日方程的称谓是相对第一类拉格朗日方程而言的。第一类 拉格朗日方程是应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和 约束方程而建立的一组动力学方程。由于方程式的数目多，求解的难度大， 所以在一个时期内，它的应用价值远小于第二类拉格朗日方程【2 4 】凶。 2 3 机械臂的多刚体动力学建模 2 3 1 机械臂的参数选定 机械臂模型如图2 2 所示，参数如表2 1 所示。那么广义坐标就可以选择 哈尔滨工程人学硕十学位论文 臂1 对机械体的转角和臂2 与臂1 之间的转角岛、0 ：来表示，选择关节力矩 r 1 、f 2 为广义力。 表2 1 机械臂运动参数 口口 口 兀 兀，兀孔 1 号臂 f 一f 一f旦f 2 一j l f 3 1 0 01 5 0 05 05 0 05 02 5 0 妨 3 ：r l l 一一。t 一三t 3 一f 2 号臂 21 0 0 5 0 05 05 0 05 0 2 5 0 0 2 3 2 动能和势能的计算 设有一个n 个构件组成的系统，系统的自由度数为1 1 ，设其广义坐标分 别为：q l , q ：，吼，则各个质点矢一m - e 。可以由广义坐标表示为： 亏1 亏( g 。，口2 ，q 。) i 一1 ，2 ，n ( 2 - 1 ) 设在臂i 中任一质点在系i 中齐次坐标为：尹= 【工，y ，z ，1 r ，显然其在系 0 中的表示为： 声一f 其中o 为i 点的齐次速度，定义为： 故该元质点的动能为： ( 2 2 ) 尹= 嗡t 尹2 ( 2 ，o 。0 1 a ，i 一圣，) 尹 ( 2 - 3 ， 够一三声一三咖( 矽) 锄 1 2 哈尔滨工稃大学硕十学传论文 _ l 钏d i a g 黼io 。a ，芦j i 刍i 铲a oa 仆 由此可知臂i 的动能： 其中： 。点d it 妻d z 口g 套毫 1 2 2 d i a g j i ；妒 体塞塑o q sk 盛i 叫学，q a q j 卜 a ( ) 丁 ) ， z ( 2 4 ) ( 2 5 ) 在力学中，常用刚体的质心c = 【t ，y 。，z c r ，对三个轴的转动惯量l 、 t 以及惯性积0 、k 、乞来刻画刚体的质量分布，如下式所示： 1 3 加 舟岛 丝咄 一 一r 丛咄 ，v 台 ，荟 g 口疥 1 2 = 学丛毗 敷 加 、阮，订1 ，j、l g 如矗 ；v 角 ；善 1 2 薯 0ky乞1 一 哈尔滨t 程入学硕十学位论文 x ci 毛l 洳 y ci 毛 y a m z ct 毛 z a m l 一2 + z 2 ) a m ；缸z + z 2 坳 q 巧) lz2 l 瞄+ 扩) a m l 碍2l q 椭 i 。2 f x z d m i 灶一f y z d m 其中：m 一刚体的质量。 x , y ，z r 一元质点拥矢径的坐标表达式，积分均为对整个刚体体积积 分。 利用式( 2 6 ) 并考虑到厶。砌f 他后( 为杆f 质量) ，可将以写为： j l ； m i l x c m i t y t m f z c ( 2 7 ) 其中：【，虼，乇】，杆i 质心在系i 中的坐标表达式。 由式( 2 7 ) 可知是一对称常值阵，它完整地描述了杆i 的质量分布情 况。由前面的动能表达式( 2 5 ) 可知整个机械臂的动能为： 1 4 i盎孕响 t 一 + 一 。 尘2 k 曲 t 一 半l 哦 哈尔滨丁稃人学硕十学位论文 r 2 互 l - - 1 2 三1 善n 未i 卜i 降警户，蟊 。五1 刍n 荟荟i 叫鲁 警户，蟊 。滋睡，叫争警肛 2 壶著荟 肛香，玩 一言口r 日( g ) 口 ( 2 8 ) 其中：日国) 。 】机械臂的惯性矩阵。 由h q ) 的定义可知它是一对称矩阵，又由系统动能的正定性可知h ( q ) 是一个正定矩阵。 下面再来求机械臂的势能。记杆i 质心的齐次坐标在坐标系i 中的表达式 为毛，则其在系0 中的表达式为名= 幺，故杆i 质心的齐次坐标式在系i 中的表达式为： k 一一m i 季琵= 一聊：虿。 ( 2 9 ) 其中：蚕2 吲一重力力速度矢量在系。中的坐标表达式。 由式( 2 - 9 ) 可得整个机械臂的势能： y 2 善k 一, 善m i g 。a i i f c i ( 2 - 1 0 ) 利用第二类拉格朗日方程建立机械臂的动力学模型。先计算出拉格朗日 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 函数及其偏导数： l t v 詈= 署= 蠢仇吃曲j 角 竺d t 嚣= 蠢 塞掘帕，角 白 a la 丁a y 。- 一= a q | a q | a q i 7 1 r 瓦o h 一陪鲁叫 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ：扫塑口一g ， ( 2 1 4 ) 2 尹一o q j 口一g ， 2 。 将式( 2 1 2 ) 、式( 2 1 3 ) 、式( 2 1 4 ) 代入拉格朗日方程，得到： 写成简洁的形式 弘敏+ 弘玩一考m ，。m ，疗( 2 - 1 5 ) h ( g ) 百+ c ( g ，0 ) 0 + g ( q ) = f ( 2 - 1 6 ) 其中：日( g ) 。 h o 】，c ( q ，口) = 香r c l 口r c 2 3 3 机械臂惯性矩阵的计算 ，g ( g ) = ； 既 ，f2 巧 ； 为进行机械臂的动力学仿真，必须根据机械臂的几何参数求出相应的惯 性参数。下面分别对1 号臂、2 号臂求解它们的惯性参数。 1 6 哈尔滨j i ：程大学硕士学位论文 图2 4 求解1 号臂的惯性参数 由图2 4 不难得到1 号臂的惯性参数： t 。l ，m 。r z 1 = 薏( 巩2 + q 2 ) 1 t 一卺( 巩2 + 4 , 2 ) 2 。1 7 k = o 1 l 。= 0 1 i 。= 0 图2 5 求解2 号臂的惯性参数 由图2 5 不难得到2 号臂的惯性参数： 1 7 哈尔滨下程大学硕士学位论文 2 ，= 昙挪：曼2 2 l = 卺( 3 r 2 + 心2 ) 2 ，：= 告( 3 r 2 + 4 2 2 ) ( 2 - 1 8 ) 2 i 旺i o 2 i 。= 0 一。一0 ( 2 1 9 ) 由式( 2 1 7 ) 、式( 2 1 8 ) 、式( 2 - 1 9 ) 可以得到两个臂的惯性矩阵，。、，：、 如下： 以- 0 m 4 , 2 1 l 碍k肌1 1 t 1 i y zm i l y c ，l l f l 2 0 0 1 ，1 1 r 2 0 4 11 00 他 1 8 m i i z c ( 2 2 0 ) 半 等 - t k 呐 呼 尘 麒 。 呐 k k 哦一 哈尔滨丁稃大学硕十学位论文 j 2 一 鱼阜生 ：匕 m 22 x 。 1椤 口 2 i q 2 l e 朋2 、 丢川：r 2 2 ooo o 扭2o 等 o o 三所：恐2 o o 华 o m ： 一 ( 2 - 2 1 ) 将机械臂的惯性参数带入式( 2 1 5 ) ，即可得到机械臂的动力学模型，这里 要提到的是，刚性机械臂在实际的应用中属于线性系统，基本上是输入一输 出的过程，所以对机械臂的多刚体应用和模拟相对简单，无需考虑机械臂的 柔性效应对操作产生的影响。 2 4 机械臂的动力学仿真 设各机械臂的半径r = 0 0 5 m ，长度l = 1 m ，质量m = 3 6 k g ，通过 j 1 2 0 o 0 - 3 0 o 0 1 5 0 o 1 9 o 0 o 1 5 o - 3 0 0 0 6 0 锣 钐 堙 2 2 一 鸭 朋 一 一 ck 卜如 ： + l m t t 一 芋k 以 l 一 哈尔滨t 程火学硕十学位论文 j 2 0 1 500o 02 003 0 000 1 50 o3 0o6 0 设初始位置为：q 。o ，一一三。 由运动学关系可以得到停止运动时位置为：q ，一詈，岛，- 三。 求出b 、见、反、幺、反、皖，代入拉格朗日方程得到控制力矩_ 、吃。 控制力矩q 、吒变化如图2 3 、图2 4 所示。 图2 31 号臂的操纵力矩变化 哈尔滨丁程人学硕+ 学位论文 图2 42 号臂的操纵力矩变化 2 5 本章小结 本章对机器人分划为机械体与机械臂连接的模型，通过拉格朗日方法对 其进行多刚体建模，初步对其运动与动力学分析提供了模型。 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 3 1k a n e 方法介绍 第3 章k a n e 方法 k a n e 方程出现的工程背景是上世纪5 0 年代以后现代科学技术的发展要 求，为了解决自由度数目很大的力学系统动力学问题，如机器人、机械臂和 复杂航天器等等。由于自由度数目显著增大，应用拉格朗日方程或牛顿一欧 拉方法建立运动学微分方程都有明显的弱点，在这种情况下，k a n e 创造性地 建立了一种方法一k a n e 方法1 2 7 1 。k a n e 方法将矢量形式的力与惯性力沿某特 殊的方向投影，有着清晰的几何直观性。这种方法不但有牛顿力学的优点， 还兼有分析力学的优点：约束反力不出现在运动微分方程中，而且得到的也 是与自由度数目相等的方程数，是最少的方程数。由于采用广义速率描述运 动，则在取独立变量上有较好的选择性，以使方程简洁。k a n e 方程是一阶微 分方程组，容易化成标准形式，便于作数值计算【2 7 1 。 设在一个惯性参考系只能够有i 1 个质点只，g = 1 ，n ) 组成的质点系，其 自由度为z ，根据达朗伯原理，该系统的动力学方程为【2 2 1 ： 善( 互叱口r ) 觏o 其中：曩作用在质点上的主动力矢量； m 。质点只的矢量： a i 二- 一质点只的加速度矢量； 质点在参考系中的位置矢量； 峨质点霉的虚位移。 ( 3 - 1 ) 哈尔滨t 稗人学硕十学位论文 因该质点系的自由度为z ，总可以选取z 个广义坐标。因此质点在参考系 中的位置矢量可以表示为： r i = ( g l ，q 2 ，q t , f ) 其中：q l 广义坐标g = 1 2 , - - - , 1 ) ； f 时间变量。 一次质点只的线速度可以表示为： h 鲁_ 专f ( 堕o q j ) n 乳i 口， 其中：u 哥，5 瓦o r i 。可o v ； ( 3 2 ) ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 口，广义速度。 根据k a n e 方法，定义b 也一眠两为质点相对与广义速度圣，的偏速度。于 是，可以得到虚位移： 觏2 筒$ ( 叼o r i ，l 啦，5 善i 也力，国， 将式( 2 5 ) 代入式( 2 1 ) ，得： 水一嚼i 刊2 。 交换求和的顺序，经整理可得： 套 塞c e 一，终t 痒，1 略哥，囱，】。 对完整系统，却，相互独立，因此有： 善( e - - m i a i ) ，。o ( 3 5 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 专 著互飞也一善班 飞也2 o(3-9) 得到的上式即为k a n e 方程： f ；+ f ：一g ， 其中：。善e 飞岛_ 广义主动力； 巧一, 善m i a i v i 南广义惯性力。 3 2k a n e 方程在多体系统中的应用 3 2 1 等效力和等效力矩 ( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) 3 - 1 2 ) 图3 1 力系作用下的典型刚体 对于图3 1 的典型刚体b ，设其由n 个质点组成，将作用在刚体上的力 互( f - 1 , ，露) 向刚体的质心c 简化，其中i 为互的位置坐标，等效力和 等效力矩m 。分别为： e = 互 l - - 1 2 4 ( 3 1 3 ) 哈尔滨：r 稗大学硕十学位论文 m 。= 罗e 爿 3 2 2 等效惯性力和等效惯性力矩 ( 3 1 4 ) 同样地，在求惯性力和惯性力矩的时候也将其向质心c 简化，设任意一 个质点只的的惯性力为e + ，则等效惯性力c 和等效惯性力矩j i f ：可以分别表 示为： c 2 善e _ 一善小以 m 善只 考虑到质点与质心c 的加速度关系为： a i2a c4 - a c i =ac+gx + ( 缈r f ) 其中：为刚体的角加速度，为刚体的角速度。 将上式带入( 2 1 5 ) ，可以得到： e 一荟研，a c + e + 州1 ) 】 = 一( 著历；) 口c s ( 著mz ) 一【( 著肌；1 ) 】 ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 - 1 8 ) 在这里荟朋t 为质点向质心求一次矩善为o 得到 f t 一( 。= 胁。 ( 3 - 1 9 ) 式( 3 1 9 ) 且p 为等效惯性力。 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 = 一( 善) 口c 一善镌k c 俐i + ( 缈) 】 ( ) 一善7 咒，j ( ( ) ) 同理将式( 3 1 7 ) 带入( 3 1 6 ) ，可以得到等效惯性力矩 = 0 可知，第一项为零，最后一项化简可以得： 一荟胁彬( ( ) ) l 由于 吒) = o ，所以上式可以化为： 善肌r “) 吣2 w ) t o r i 一( ) 】 。【( 0 ； c o x ) 一( 吖) 州】 = 一再朋r ( 州”】 一【善研彬 ) 】 等效惯性力矩m ：可以表示为： m ：= 一善口j ( i ) 碱一 + + ( ) 】 ( 吣) 一酗m ) 】 ( 3 2 0 ) ( 3 - 2 1 ) 如果将表示为- - m ，n ，为平行于的单位矢量。则等效惯性力矩m ：可 以表示为： m 。y 台 一 r m 。x 鲁 由 lk m 。弋白 c 口 _l r 吖 m 。y 白 = 掰 。台 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 必：l 一善镌加r 一【善扣) 】 其中：善棚彤( ) 计”蛔r - ， 这里：，是刚体对质心的惯性张量矩阵。 n t 里g c i m ：的第二项进行整理，最终的到等效惯性力矩为： m ：一一歹一m x ( 1 ) = 一，西一o ) x ( 1 ) 1 2 3 1( 3 2 2 ) 式( 2 1 9 ) ，( 2 2 2 ) 即为等效惯性力和等效惯性力矩。 3 2 3 广义力 对于图中的典型刚体风，处于若干力的作用下，用( 2 1 1 ) ，可以求得广义主 动力为： p 私且0 0 j ( 3 - 2 3 ) 力的作用点只的速度为：屹- - - v , + w x r j ，将其代入上其中可以得到： 弓2 砉。( 薏+ 峨o o , ) 2 喜鼻薏+ 砉互。詈肌 2 ( 喜e ) 。蔷+ 皤c ) 。均o a ，, = c 。薏+ m 。考 从上式可以看出，刚体系统中的任何质点上的力和力矩都可以对质心等效， 然后进行广义主动力的求解，这样可以减少计算力的数量，同理，在计算广 义惯性力的时候，同样可以用式( 2 1 9 ) 和( 2 2 2 ) 将刚体上的惯性力简化成一个 通过质心的等效惯性力和等效惯性力矩，这样刚体上的广义惯性力为： 哈尔滨r 程大学硕士学位论文 夸t 瓷眦o 也a , 3 3 本章小结 ( 3 2 5 ) 在本章中，介绍了本文动力学建模所采用的k a n e 动力学方法。系统的 动力学方程可以通过广义主动力和广义惯性力的求解进行建立。对于多体系 统中作用于每一个刚体上的力系可以先分别向质心等效，求得等效力和等效 力矩，然后进行广义主动力和广义惯性力的求解，其对广义主动力和广义惯 性力的贡献是等效的，这样可以简化求解广义力的过程。 哈尔滨工程人学硕十学位论文 第4 章柔性机械臂的k a n e 方法建模 4 1 模型描述 对宇航机器人的建模从相对于机器人的机械臂开始，对柔性臂的研究主 要包括动力学模型的研究以及柔性机械臂控制策略的研究两大方面。柔性机 械臂是一个非常复杂的动力学系统，其动力学方程具有高度非线性、强耦合、 时变等特点，而进行柔性机械臂动力学问题的研究，其模型的建立是极其重 要的。柔性机械臂不仅是一个刚柔耦合的非线性系统，而且也是系统动力学 特性与控制特性相互耦合即机电耦合的非线性系统。 动力学建模的目的是为控制系统描述及控制器设计提供依据。一般控制 系统的描述( 包括时域的状态空间描述和频域的传递函数描述) 与传感器、执 行器的定位，从执行器到传感器的信息传递都与柔性机械臂的动力学特性密 切相关。 多柔体系统动力学一个重要的相关内容是多柔体系统的运动学描述 【2 8 h 刈。我们按照选取参考系的不同，可以分为绝对描述和相对描述两种类型。 绝对描述是在指定某个惯性参考系后，系统中每一个物体在每一个时刻的位 形都在此惯性参考系中确定，而相对描述是对每一个物体都按照某种方式选 定一个动参考系，物体的位形是相对于自己的动参考系确定的，近年来流行 的浮动坐标系建模就属于相对描述。这些动参考系通常都是非惯性的。这两 种描述方式导致两种不同的动力学模型，根据本文的题目所定，文中的宇航 机器人选用的是相对描述，机械体设置为基坐标，功能是对任务地点进行定 位。机械臂对机器人本体和1 ，2 号机械臂之间用的是圆柱关节，又称为转动 关节【3 1 】。 对其可以这样描述：设机械体的基坐标为亏，即为总坐标；设1 号机械 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 臂的基坐标为露；设2 号机械臂的基坐标为弩。 4 2 模态展开法 由于多体系统最后