（电力系统及其自动化专业论文）计及时滞影响的facts广域阻尼控制器的设计.pdf

浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i s i n v e s t i g a t e st i m ed e l a yc a u s e db yw i d ea r e am e a s u r e m e n ts y s t e mi n m o d e m p o w e rs y s t e ma n di t se f f e c t so nt h ep o w e rs y s t e mc o n t r o l l e r s ，a n dd e s i g n st w o t y p e so f f a c t sc o n t r o l l e r s _ t c s ca n du p f ci nc o n s i d e r a t i o no ft i m ed e l a yo ft h e f e e d b a c ks i g n a l s d u et ot h e l a r g e s c a l ea n di n t r i c a t es t r u c t u r eo fm o d e mp o w e rs y s t e m ，l o c a l c o n t r o l l e r sa n dp r o t e c t i o nw a y sb a s e do nl o c a ls i g n a l sh a v eb e e nu n a b l et os a t i s f yt h e d e m a n do fd a m p i n go s c i l l a t i o n ，s y s t e m a t i cc o n t r o la n dd y n a m i cs e c u 6 t yd e f e n s eo f l a r g e s c a l ep o w e rs y s t e m o n e o f t h es o l u t i o n si st od e s i g np o w e r s y s t e mp r o t e c t i o na n d c o n t r o lb a s e do n g l o b a ls i g n a l sf r o m w i d e a r e am e a s u r e m e n ts y s t e m s ot h ed e m a n df o r e m p l o y i n gw a m s t h a tc o u l db eu s e dt om a i n t a i no ri m p r o v et h es t a b i l i t yo ft h es y s t e m f r o ma no v e r a l lv i e wh a sb e e ni n c r e a s i n g t h ep o w e rs y s t e mi sa t y p i c a ln o n l i n e a ra n d m u l t i d e l a yc o n t r o ls y s t e m u n l i k et h es m a l lt i m ed e l a yi nl o c a lc o n t r o l ，t i m ed e l a y i n w i d ca r e ap o w e rs y s t e m sc a l lb ev e r yl a r g ea n dc a nh a v eav i t a li m p a c to i lt h eo n - l i n e c o n t r o lo f w i d ea r e a p o w e rs y s t e m o re v e nc a u s e sn oe f f e c to f t h ec o n t r o l l e r t h ei m p a c t o ft i m ed e l a yo nc o n t r o l l e rd e s i g n sh a sb e e ni g n o r e di np o w e r s y s t e m sf o ral o n gt i m e ， b u tb e c o m e sap e r t i n e n tt o p i ci nr e c e n ty e a r sw i t ht h ep r o p o s a lo fw i d e - a r e ap o w e r s y s t e m c o n t r 0 1 t h i s t h e s i s i n v e s t i g a t e st i m ed e l a y sr e s e a r c h s t a t u sa n di t se f f e c to f p o w e r s y s t e m m o d e l i n ga n dc o n t r 0 1 2 、s e t st h ep o w e rs y s t e mm o d e l i n s t a l l e dr e s p e c t i v e l yw i t ht c s c a n du p f c 3 1s e t st h ec o n s e c u t i v ec o n s t a n tl i n e a rs i n g l e - d e l a ym o d e lf o r t h es y s t e ma n d r e s e a r c h e so ni t ss t a b i l i t yw h e nt h es y s t e mi ss u b j e c tt od i f f e r e n tt i m ed e l a yi nf e e d b a c k b a c ks i g n a l so ft h ec o n t r o l l e r s 4 ) d e s i g n sc o n t r o l l e r s p a r a m e t e r si nc o n s i d e r a t i o no f t i m ed e l a yb a s e do nd y n a m i ct i m e d e l a ys y s t e ma n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) t h e o r y 5 ) f i n a l l yv a l i d a t e st h ed e s i g n i n gm e t h o db yd i g i t a ls i m u l a t i o n si nt h r e es y s t e m s s i n g l em a c h i n e i n f i n i t eb u ss y s t e mi n s t a l l e dw i t ht c s c ，s i n g l em a c h i n ei n f i n i t e b u ss y s t e mi n s t a l l e dw i t hu p f ca n d1 0 - m a c h i n e3 9 - b u sn e w e n g l a n ds y s t e mi n s t a l l e d w i t ht c s c k e yw o r d s ：w a m s ，t i m ed e l a y , f a c t s ，t c s c ，u p f c ，l m i i i 浙江大学硕上学位论文 第一章绪论 1 1 本课题研究的目的与意义 电力系统是一个典型的时滞动力系统，如各种电力测量设备、测量信号在网络 中传输、交换与处理都存在明显的时滞。但是，迄今为止，电力系统几乎均是建 模为常微分一代数方程组，而将时滞忽略不计。在仅用本地状态量或测量量构成 局域控制器的情况下，从便于控制器实现和便于理论分析的角度来看，忽略电力 系统的时滞是可以理解的。但是，现代电力系统规模庞大、结构复杂，大量的功 率需要远距离传输，系统运行越来越接近稳定极限，区域问功率振荡的可能性和 危害性日益增加，仅靠局部反馈信号设计的控制器越来越难以保证复杂电力系统 的稳定性和良好的动态性能【l j 。而装有同步相量测量装置( p h a s o rm e a s l 】r e m e m u n i t s ，p m u ) 的广域测量系统( w i d ea r e am e a s u r e m e n ts y s t e m ，w a m s ) 具有 监视电力系统动态过程，测量全局状态量的能力，能大大提高电力系统的可观性 和可控性o l ，使得电力系统在信息的获取与运用方面达到新的高度。但是，一个 不容忽视的问题就是：当广域测量系统和综合信息传输网络的规模、结构复杂程 度和数据交换量大大增加时，由于信号传输路径的不确定，造成网络路由时间不 确定性，这种具有随机性的网络传输时延将对电力系统分析和控制带来深远的影 响。从时滞动力学的研究结果来看，时滞的存在往往是系统不稳定或性能变差的 根源。研究表明，即使是很小的时滞( 如2 5 m s ) 也可能使得在不考虑时滞的电力系 统中性能优良的控制器失效，造成灾难性事故。因此，在许多情况下，必须直接 将电力系统建模为时滞动力系统进行研究。 灵活交流输电系统( f l e x i b l ea l t e r n a t i v ec u r r e n tt r a n s m i s s i o ns y s t e m s ，f a c t s ) 是近年来出现的一项新技术，它应用电力电子技术的最新发展成就以及现代控制 技术实现对交流输电系统参数以至网络结构的灵活快速控制，能实现输送功率的 合理分配，降低功率损耗和发电成本，大幅度提高系统稳定性、可靠性。随着我 国电力工业的迅速发展，特别是“西屯东送”战略的实麓，输配电线路的延伸长 度和输送功率均在持续增长。但是高压长距离输电线路由于受到线路静态和暂态 稳定极限的限制，造成了电力资产的严重浪费；通过采用f a c t s 技术来增大线路 的输送能力，保持系统的稳定性和优化系统运行能力已经成为电力工业界的共识。 综卜所述，研究广域测量系统中的时滞现象对于大型电力互联系统以及系统中 控制器动态性能的影响，是一项至关重要的：i 一作。晶闸管控制的串联电容补偿器 ( 血y r i s t o rc o n t r o l l e ds e r i e sc o m p e n s a t o r , t c s c ) 与统一潮流控制器( u p f c ，u n i f i e d p o w e r f l o wc o n t r o l l e r ) 在互联电力系统中应用的研究逐渐展开，是极具前景的两种 f a c t s 器件，本课题主要以这两种控制器为例，研究时滞现象的产生以及对于 f a c t s 控制器动态性能的影响，考虑计及时滞影响后的f a c t s 控制器的设计。 浙江大学硕士学位论文 1 2 广域稳控技术h 】 稳控系统在电网保护中是基本定位于常规保护及s c a d , u e m s 之间的系统保护 控制手段。传统上这类保护控制被称为特殊保护系统s p s ( s p e c i a l p r o t e c t i o n s y s t e m ) ，补救控制系统r a s ( r e m e d i a l a c t i o ns c h e m e ) ，或稳控系统。传统保护 是隔离故障，保证设备人身安全；而s p s 及广域保护是保证电网在故障后仍能保 持所需的安全稳定工况。传统保护主要以通过开关动作来实现故障隔离，而广域 保护则是通过系统有功、无功、电压以及发电机组和负荷的调节来实现，即系统 的p 一占和q y 调节来实现。电网稳定问题可以大致分为圜大类：静态稳定、暂 态稳定、电压稳定和动态稳定等。传统保护通常只锁定在单一元件上发生的单一 稳定现象，如低频切机：而在现代互联电力系统的实际运行中，威胁区域甚至全 网的稳定问题通常涉及到多元件上的复杂现象。如何在实时运行所要求的时间内 制定出合适的全网运行方案( 包括控制保护装置的整定值) 就是广域保护( 稳控) 要解决的关键问题。例如，互联系统因故障失去关键联络线后，输入功率的孤立 子系统中频率会下跌。如仅依赖传统的低频切机，则系统很可能会因联锁切机而 崩溃( 这类事故曾在许多电力系统中发生过) 。但如使用广域保护( 稳控) 在系统 中的关键点协调实施切机，切负荷，甚至人为解裂，系统中的大部分负荷有可能 被保存。这个例子说明广域保护( 稳控) 和传统保护类似，都是在系统出现某些 最能影响电网稳定的事件后，如何正确判别及迅速确定控制策略，并迅速准确执 行这些控制策略。和传统保护不一样的是，在整个过程中信息的获取及控制策略 的执行都可能涉及到较广阔的地理范围，而控制策略的制定则往往需要复杂的计 算。随着计算机技术及通讯技术的发展，新一代的稳控技术正在形成，这就是基 于广域测量系统及在线动态安全分析( o n l i n ed y n a m i cs e c u r i t ya s s e s s m e n t ) 的广 域保护w a p ( w i d e a r e a p r o t e c t i o n ) 。除了稳定控制功能，广域保护( 稳控) 系统 能够对电网的运行状态作完整的实时监测。由于功角测量设备( p m u ) 能提供实 时同步的电网运行数据，基于w a m s 的系统状态估计比现有的技术将有一个飞 跃。快速准确的状态估计使得一些高级系统分析成为可能。例如，电压及低频振 荡失稳的监视及报警，系统动稳极限输电功率的确定等。 1 3 广域测量系统的时滞特性 1 3 1 广域测量系统( w 删s ) 简介队7 ，8 ，9 ，1 0 2 0 世纪9 0 年代初，基于全球定位系统( g l o b a lp o s i t i o n i n gs y s t e m ，g p s ) 的p m u 成功研制j ，标志着同步相量技术的诞生。1 9 9 3 年美国研制出第一台p m u 装置， 标志着同步相量技术的实用化【1 2 1 。此后，美国的西部系统协调委员会( w e s t e r n 2 浙江大学硕士学位论文 s y s t e m sc o o r d i n a t i n gc o t m c i l ，w s c c ) 和邦纳维尔电力局( b o n n e v i l l ep o w e r a d m i n i s t r a t i o n ，b p a ) 先后在系统中布置了上百个p m u ，形成了广域实时动态监 测系统，获得了良好的社会效益和经济效益。法国在同步相量技术基础上构建了 全国性的协调防御系统。我国在同步相量技术领域的研究始于1 9 9 5 年前后 t 3 , 1 4 ， 并实现了局部的相量测量和记录功能，但高速的网络互联、高效的中心管理系统 的缺乏，使得真正意义上的广域测量系统还有待形成。 我国大区电网的互联使网络结构更复杂、分布地域更广、元件更多，动态行为 ( 如超低频振荡、振荡传播、暂态电压不稳定等) 也更复杂。对这种具有动、静 态不确定性的非线性超大规模电力系统的分析和安全预警难度很大。长期沿用的 基于局部信息的电力系统控制和保护设计方法以及静态安全防御系统的构架，也 不能满足超大规模电力系统振荡抑制与控制、系统保护和动态安全防御的要求。 如何对日益庞大的电力系统的运行状态进行实时监视，及时发现隐患；如何在事 故情况下进行有效控制防止类似美国西部电力系统大停电事故的出现是一项重要 而紧迫的研究课题。采用基于g p s 的同步相量测量技术和现代通信技术，对地域 广阔的电力系统进行实时动态监测和分析，并采取新的稳定控制策略，是解决大 电网稳定监控问题最有效的途径。广域测量系统的建立为保证电力系统安全稳定 运行提供了全新技术手段，是构筑电力系统安全防卫系统的重要基础。广域测量 系统定义为：基于同步相量测量和现代通信技术，对地域广阔的电力系统运行状 态进行监测和分析，为电力系统实时控制和运行服务的系统，由三部分组成：分 布在各厂、站的p m u ，覆盖全网的通信网络和安装在调度端的监测中心。系统总 体构成如图1 所示。 广域测量系统技术为大电网向着大面积实时监测和控制方向的发展提供了先 进和可能的信息技术平台，是当今各国争相研究开发的新兴科技领域之一。相量 测量单元能测量发电机内电势、转子角、角速度、母线电压相位等几乎所有的系 统状态量。在高速通信网络( 如电力数据宽带网) 的支持下，各p m u 采集的带时 标的数据能以较小的延时传递到数据中心站，完成同步处理和分析，构成w a m s 。 随着同步相量测量单元在电力系统的广泛应用和广域测量系统的逐步形成，广域 电力系统的w a m s 和通信系统将是一个由多种传播媒质( 如电力线、电话线、光 纤、微波以及卫星等) 组成的复杂网络传输系统，它对电力系统的安全稳定运行 将起着关键的作用。 当前，国内外应用w a m s 或p m u 已经实现的功能有： a 在线记录全网时间同步的故障录波，用于事故反演和分析。这是目前国内外 w a m s 或p m u 普遍具有的功能。 b 部分电网将测量结果引入状态估计，改善了状态估计精度。例如，西班牙s e v i l l 浙江大学硕士学位论文 图1 广域测量系统总体构成框图 一a n a d ee l e c t r i c i d u d 电力公司与美国s i e m e n t e m p r o s p o w e r s y s t e mc o n t r o l 公司 合作将相角测量加入监视控制与数据采集系统( s u p e r v i s o r yc o n t r o la n dd a t a a c q u i s i t i o n ，s c a d a ) 系统，修正状态估计。 c 功角监视。根据p m u 的测量结果，可以获得发电机以及各节点的空间矢量族， 使调度人员在屏幕上能够可视化地了解系统功角拉开情况及其演变轨迹，从而 了解安全程度。 近期可能实现的应用功能包括： a 厂站功能。利用功角和相角测量信息，实现厂站状态监测。 b 静态安全监视与控制。实时判断是否会出现静态安全问题，并确定预防控制措 施。 c 低频振荡监视与控制。在线监视机组之间的功角波动情况，如果发现弱阻尼或 负阻尼振荡模式，则采取控制措旌。 d 参数辨识。利用w a m s 测量数据，可以进行发电机以及负荷的参数辨识【l 5 1 。 经过一段时间的积累，可以建立电网参数数据库。 对于将来的应用功能，文献【6 】给出了w a m s 的可能应用功能，如图2 。w a m s 不仅可以取代传统的s c a d a 系统完成系统的稳态监测任务，而且可以应用于系统 的动态行为监测、稳定监测和故障分析等领域。 4 浙江大学硕士学位论文 图2 w a m s 可能应用的领域 1 3 2 广域测量系统( w a m s ) 的时滞特性 广域测量系统是一个由各种测量设备和多种传播媒质( 如电力线、电话线、光 纤、微波以及卫星等) 组成的复杂网络传输系统，它对电力系统的监测和运行控 制起着关键的作用。迄今为止，国内外在分析电力系统的运行时，往往忽略w a m s 的通信延迟时间( c o m m u n i c a t i o n d e l a y t i m e ) 的影响。这种近似处理方法在电力系 统采用局域分散控制的情况下是合理的，因为此时的通信延迟时间通常在1 0 m s 以 下【1 6 1 ，对于电力系统的分析和控制影响甚小。在基于w a m s 的电力系统广域控制 的情况下，由于需要利用远方信号进行反馈控制，此时通信延迟时间可能高达几 十m s 到数百m s 以上不等。如美国b p a 电力系统，其光纤数字通信系统的延时约 为3 8 m s 左右，微波系统的通信延迟时间为8 0 m s 以上【l ”。此外，考虑到远方反馈 信号在各种测量设备或计算机系统中的路由时间、不同区域信号的同步等待时间， 当网络结构复杂且大量数据需要传送时，实际的通信延迟时间一般在1 0 0 m s 以上 【l8 1 。文献 1 9 中对一个w a m s 实验系统的测试结果表明，由不同的通信介质( 如 光纤、电话线，数字微波、电话线，卫星等) 组成的通信系统的延迟时间是不同 的，但都在1 0 0 m s 以上。对于卫星通信系统甚至可能高达7 0 0 m s 以上。文献 2 0 1 对江苏电网w a m s 工程的实测结果进行了研究，发现基于s p d n e t 三级网络下的 w a m s 基本延迟在2 0 m s 到8 0 m s 之间。但是考虑到江苏电网w a m s 工程仅9 个 p m u 子站，而且通信量也很小，随着w a m s 在大区域电力系统( 如华东电力系统) 的统一规划和建设，其延迟时间会更大。 浙江大学硕士学位论文 目前，w a m s 已经在我国江苏省、湖南省、南方电网以及东北电网得到了应用 【2 ”，但是关于它们的时滞特性的研究还很不充分。开展我国广域测量系统和信息 网络的时滞特性的定量研究，包括数值仿真研究和实际测量研究是一项基础性的 工作，对于w a m s 的优化设计具有重要的指导意义，对基于w a m s 的电力系统 广域控制设计具有重要的影响，值得深入研究。 1 3 3 电力系统中时滞现象的研究现状 在广域电力系统的环境下，电力系统的分析和控制越来越依赖通信系统对关键 信号的采集、传输和实施控制，通信系统的可靠性和通信延迟时间对于广域电力 系统实施实时在线控制的影响将是关键的。从本质上来说，电力系统将是一个非 线性、多时滞的动力系统。 和常微分方程所描述的动力系统不同，时滞动力系统的解空间是无穷维的。这 意味着时滞动力系统的演化趋势不仅依赖于系统的当前状态，还依赖于系统在过 去某一个时间段的状态量。在实际的电力系统建模中，目前都是忽略了时滞的。 然而从动力学的角度来看，这样做经常是不可靠的。事实上，很容易举出反例， 存在这样的时滞动力系统，其简约的微分方程的零解不稳定，但对任意时滞，原 方程的零解是稳定的。反之亦然。对于周期解也存在类似的结论。一个时滞微分 方程存在h o p f 分岔时，其约简的常微分方程却可以不产生h o p f 分岔口“。由于时 滞动力系统在实际中大量的存在，以及时滞动力系统分析和控制的困难，使得时 滞动力系统的稳定性分析和综合一直是控制理论和控制工程领域中研究的一个热 点和难点问题。截至目前，对时滞动力系统的研究已经取得了很多的成果，但即 使是线性定常时滞动力系统的稳定性问题，至今还没有彻底解决，还缺乏实用的 时滞相关稳定性的充要条件，非线性、多时滞动力系统的分析和综合更是还有很 多工作要作 2 3 , 2 4 , 4 ”。 在广域电力系统中，时滞现象对电力系统控制器的动态影响在国外已有初步研 究。文献 2 5 】的研究表明，超过一定时滞时，会危害广域电力系统稳定性，还会降 低系统的鲁棒性。文献【2 6 】中利用线性矩阵不等式的方法为电力系统设计了远距离 反馈控制器( r e m o t e f e e d b a c kc o n t r o l l e r s ) ，在四机系统中的仿真表明所设计的控制 器能防止区间振荡，提高线路的传输容量。文献 2 7 】深入研究了互联系统中测量 时滞所引起的控制问题，设计了鲁棒性能良好的远距离输出反馈控制器( m m o t e o u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r ) ，在2 9 机系统中的仿真表明了所设计的控制器的有效 性。 文献【2 8 】是最早考虑电力系统测量和反馈控制信号时滞的一篇论文。该文中， 单机无穷大电力系统的时域仿真结果表明：励磁控制器输入信号的时滞会导致电 力系统的失稳。为了消除时滞的不利影响，该文提出了一种离散预测一直接反馈 6 浙江大学硕士学位论文 线性化控制的实时算法，并应用t m s 3 2 0 c 3 0d s p 芯片加以实现。时域仿真结果表 明，应用该算法的励磁控制器能有效消除输入信号时滞的影响，确保该单机无穷 大电力系统的稳定。但是该算法基于单机系统得到的结论不能应用于复杂电力系 统。 文献 2 9 1 充分地利用多智能体系统具有分布式处理能力和智能性的特点，提出 了基于多智能体技术的广域鲁棒p s s 控制器( s p s s ) ，2 9 机1 7 9 节点的w s c c 简化系统的仿真结果表明，该s p s s 能有效稳定区域间的低频振荡，而基于本地量 的p s s ( l p s s ) 却不能做到。进一步的研究结果表明，当考虑广域测量系统的测 量和传输时间以及多智能体之间的通信和处理时间，数据传输的时滞可能高达 2 5 0 m s ，造成了系统的脉冲响应是不稳定的。为了消除时滞带来的分析和控制的困 难，文献 2 5 】应用p a d 6 有理多项式逼近时滞项e 1 7 ，从而可以消去时滞项，得到不 含时滞项的闭环系统的状态空间模型。针对该模型，采用l m i 方法设计了鲁棒广 域p s s 控制器，4 机1 l 节点的两区域电力系统的仿真结果表明，该s p s s 在时滞 达到2 5 0 m s 时仍能稳定该系统。文献【3 0 也考虑了存在状态反馈时滞时的鲁棒控制 器设计问题，建立了含状态反馈时滞的状态空间模型，最终将判别该时滞系统是 否稳定的问题转化为一个线性矩阵不等式( l m i ) ，经转化后得到m a t l a b 的l m i 工具箱所要求的三种标准l m i 形式加以求解。文献 3 1 】研究了基于p m u 的远方信 号反馈控制器( r e m o t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r ，r f c ) ，即广域控制，同时考虑了远 方信号的时滞影响，并应用l m i 方法设计了发电机的自动电压调整器a v r ，该a v r 既对电力系统的运行条件具有鲁棒性，同时对未知的时滞也具有鲁棒性。由于 m a t l a b 中的l m i 工具箱仅能对数十阶的系统进行优化，而广域电力系统都具有 高维的特点，因此文献 1 8 应用h a n k e l 逼近方法加以降阶处理以利于l m i 工具箱 的求解。4 机1 1 节点系统和2 9 机系统的线性和非线性时域仿真结果表明，基于降 阶线性模型设计的r f c 在反馈信号时滞达到1 2 0 m s 时仍具有很好的动态性能。文 献 1 6 应用增益调度方法( g a i ns c h e d u l i n g ) 来表示时滞的不确定性，克服了常见 的基于线性分式变换( l i n e a rf r a c t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n ，l f t ) 的控制器设计的保 守性。时域仿真结果还表明，基于增益调度方法设计的鲁棒控制器在时滞达到 3 0 0 m s 时仍能确保系统稳定，且闭环系统的亡乙范数仅为o 0 4 ，最大频率偏差为 0 3 h z 。文献【3 2 】针对大型互联电力系统，提出了一种基于l m i 方法的广域控制器 r f c 设计方法。在该文中，假设所有反馈输入信号的时滞均相等，且为常数，即 电力系统建模为单时滞动力系统。指数时滞项p ”7 分别用二阶m a c l a u r i 级数和二阶 p a d 6 有理多项式近似表示，并将它嵌入到r f c 的设计和仿真中。考虑到大型电力 系统具有高维特点，因此必须采用降维技术。该文将简化的美国西部电网w s c c ( 2 9 机系统，共4 0 3 个状态变量) 降阶为6 阶模型。基于降阶模型，应用l m i 方 法设计了时滞依赖的r f c ，即每台发电机的a v r 。将基于降阶模型得到的a v r 在 浙江大学硕士学位论文 全阶非线性电力系统上进行了时域仿真，结果表明，采用二阶p a d 6 有理多项式近 似处理时滞项得到的r f c 具有更好的动态性能，在时滞达到1 4 0 m s 时仍能稳定该 系统。文献【3 3 分析了w a m s 通信延迟时间对t c s c 控制器的动态特性的影响， 并应用l m i 理论设计了t c s c 控制器以提高单机无穷大电力系统对时滞的不敏感 性。但是，如何设计f a c t s 控制器以提高大型互联电力系统的时滞鲁棒性还有待 进一步研究。 1 4 时滞动力系统 1 4 1 引言 具有时滞的动力系统广泛存在于超大规模电路设计、信号处理，网络与通信， 神经网络、生物环境与医学、建筑结构、化工过程，反馈控制系统，冶金过程， 经济，机械工程等各个科学和工程领域。由于时滞动力系统的解空间是无限维的， 其理论分析往往非常困难。长期以来，时滞动力系统的分析和综合一直是数学、 控制以及工程应用领域研究的热点和难点问题【”j ”。 和常微分方程所描述的动力系统不同，时滞动力系统的演化趋势不仅依赖于系 统的当前状态，还依赖于系统在过去某一个时间段的状态量。按照不同的分类标 准，时滞动力系统可以分为不同的类型。例如，单时滞和多时滞系统，线性和非 线性时滞系统，连续时滞系统、离散时滞系统以及混合时滞系统，确定性时滞和 随机性时滞系统，时变和时不变时滞系统，集中参数和分布参数时滞系统等等。 时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时时滞的存在也往往 是系统不稳定和系统性能变差的根源。 1 4 2 时滞动力系统的描述 通常非线性时滞动力系统的数字描述如f ： 1 x ( r ) = ，( 工( f ) ，x ( t f 1 ) ，工( f _ f 2 ) ，x ( 卜o ) ，f ) ( 1 - 1 ) 初始条件：x ( r ) = 妒( f ) 彤，t 卜。，0 】j 其中，为非线性向量函数，f j 为时滞，且 0 ( i = 1 ，2 ，n ) ， t r n 。= m a x f 1 ，t 2 ，) ，妒o ) 为连续的向量初始函数。 对于线性多时滞动力系统，它一般具有如下形式： n1 颤。刊( f 弦o ) + 善4 ( f ) m 1 2 ) 初始条件：x ( f ) = 妒( f ) r ”，t 卜r | 。，o 】j 如果该线性时滞系统是连续时不变的，则系数矩阵a ( t ) 和4 0 ) 均为常数矩阵。 浙江大学硕士学位论文 根据时滞动力系统的稳定性是否依赖系统中时滞f j 的大小，可以将时滞动力系 统的稳定性分为两类：时滞独立稳定性和时滞依赖稳定性。下面将给出几类重要 稳定性的定义【2 3 j ： 定义l 时滞独立稳定性：对于时滞动力系统，如果对于所有的时滞常数f o ，该 系统均能稳定，则称该系统具有时滞独立稳定性。又称为全时滞稳定性。 定义2 时滞依赖稳定性：对于时滞动力系统，如果该系统仅对部分时滞常数f 0 能保证稳定，则称该系统具有时滞依赖稳定性，即该系统的稳定性依赖于时滞r 的 大小。 定义3 时滞系统的鲁棒稳定性：对于时滞动力系统，如果该系统对于所考虑的有 界不确定性量和时滞量都是稳定的，则称该系统是鲁棒稳定的。 1 4 3 连续时不变线性单时滞系统的稳定性问题。” 考虑时滞系统 主o ) = a x ( t ) + a a x ( t d ) ( 1 - 3 ) 其中：x ( f ) r ”是系统的状态向量，a 、a d r ”是已知的常数矩阵，d 0 是 滞后时间，妒( f ) c n 【一d ，0 】( h 维连续函数向量空间) 是系统的初始条件。此系统 为连续时不变的线性时滞系统。 下面给出一些基于线性矩阵不等式处理方法( l m i ，介绍见下节) 的时滞独立 和时滞依赖的稳定性分析条件。 定理1 对系统( 1 - 3 ) ，如果存在对称正定矩阵，p ，s r “，使得 p + ? 坩p a af 0 ，对称正定矩阵p 、q 、矿和矩阵， 使得 s w a aa 1 a a 7 v 砖w - qa a l a j v v a a av a a a a - v d ( w 1 + n 00 a ( w + p 1 o 0 ，y 其中s = ( 4 + 4 ) 1 r + e ( a + a a + w 7 a d + a d w + q ，则对于所有的d o ，孑】，系 统( 1 - 3 ) 均能渐近稳定。 容易看到矩阵不等式( 1 - 4 ) 是关于矩阵变量p 和s 的个线性矩阵不等式。定 9 浙江大学硕士学位论文 理l 给出了系统( 1 - 3 ) 渐进稳定的一个充分条件，可以应用线性矩阵不等式工具 箱f e a s p 来判断系统是否满足该充分条件。而矩阵不等式( 1 - 5 ) 是关于矩阵变量p 、 q 、v 和的一个线性矩阵不等式，对于给定的标量孑 0 ，可以用线性矩阵不等 式工具箱中求解线性矩阵不等式问题的求解器f e a s p 来检验定理定否成立。另外， 求使得系统保持渐进稳定的最大允许滞后时间孑是一个具有线性矩阵不等式约束 的凸优化问题，具有广义特征值问题的形式，可以用线性矩阵不等式工具箱中的 g e v p 求解器进行求解。 1 5 线性矩阵不等式理论 1 5 1 引言。7 在现代控制理论中，人们常用李雅普诺夫方程和黎卡提方程来描述特定的系 统，并求解控制器。而近年来，随着凸优化理论的不断发展和计算机功能的不断 强化，线性矩阵不等式这一工具在控制器设计中日益受到重视，被认为是李雅普 诺夫方程和黎卡提方程的补充和替代 3 8 , 3 9 】。与以往的控制器设计方法相比，线性 矩阵不等式( l m i ，l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ) 方法具有以下特点： 通用性：一类系统分析与综合的问题可以通过l m i 的形式来解决，并且可 以方便地添加约束条件。 可解性：要计算的问题具有凸函数的形式，可以得到有效地解决。大量的 系统分析和综合问题都可以用l m i 的形式表示，根据有界实引理，最终转 化为可解的凸问题。 1 5 2 线性矩阵不等式的典型问题 l v i i 的通用形式一般是以如下的矩阵函数，( 石) 形式给出， f ( x ) = 矗+ x l f l + + 0 ( 1 - 6 ) 其中f ( i = 0 1 m ) 是给定的实对称阵；x 是包含m 个输入x i ( i = l 2 m ) 的月” 空间的实矢量，由于矢量变量x 呈线性，因而上述不等式被称为线性矩阵不等式 ( l m i ) 。 在控制系统的分析与综合问题中有三种典型的l m i 问题【4 0 1 。下面的讨论中， a ( t ) 、b ( f ) 、c o ) 和f ( t ) 都是式( 1 - 3 ) 的矩阵仿射函数，c 是r “空间中给定的常矢 量。 凸可行性问题( c f p )寻找一个x r ”，使得f ( x ) 0 凸最小化问题( c m p )寻找最小的c t x ，要求满足v ( x ) 0 ，其中x r 准凸最小化问题( q m p ) 寻找最小的2 ，要求满足 o 浙江大学硕士学位论文 j 五一( 功 b ( x ) a ( x ) 0，其中x r “ l f c ( 力 0 在基于l m i 的控制系统分析与综合的结构体系中，如果某一个问题可化为上面 列出的三种典型l m i 问题中的一种，我们就认为该问题是可解的。举例来说，如 果一个最优控制问题的代价函数可由c m p 或q m p 的形式来表示，则我们认为该 最优控制问题可解，且最优控制器可由c m p 或q m p 求解得到。 值得注意的是，c m p 和q m p 最重要的特性在于它们的局部最小值同时也就是 全局最小值。因此，一种算法只要它能得到一个局部的解，实际上就是得到了c m p 或q m p 的全局最优解。就是这一局部全局特性，促使我们把控制问题转化为凸( 准 凸) 的最小化问题。 1 5 3 线性矩阵不等式工具箱1 线性矩阵不等式( l m i ) 工具箱是m a t l a b 软件中求解一般线性矩阵不等式 问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方法，使得各 种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题 一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值 求解。 l m i 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主 要用于： 以自然块矩阵的形式来直接描述线性矩阵不等式： 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息； 修改现有的线性矩阵不等式系统； 求解3 个一般的线性矩阵不等式问题： 验证结果。 下面逐个介绍l m i 工具箱中的命令，并举例说明这些命令如何实现上述功能 的。 1 s e t l m i s 和g e t l m i s 一个线性矩阵不等式系统的描述以s e t l m i s 开始，以g e t l m i s 结束。当要确定一 个新的系统时，输入： s e t l m i s ( ) 如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为l m i s o 的现有的线性矩阵不等 式系统中，则输入： s e t l m i s ( 1 m i s o ) 当线性矩阵不等式系统被完全确定好后，输入： 浙江大学硕士学位论文 l m i s y s = g e t l m i s 该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示l m i s y s 。 2 i m i v a r 函数l m i v a r 用来描述出现在线性矩阵不等式系统中的矩阵变量，每一次只能描 述一个矩阵变量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。该函数的一般表达式 是： x = l m i v a r ( t y p e ，s t r u c t ) 这个函数定义了一个新的矩阵变量j 。函数中的第一个输入量t y p e 确定了矩阵 变量x 的类型，第二个输入量s t r u c t 进一步根据变量x 的类型给出该变量的结构。 变量的类型分成三类： t y p e = 1 ：对称块对角结构。这种结构对应于具有一下形式的矩阵变量； d l0 0 0n 0 00 d 其中对角线上的每一个矩阵块d 是方阵，它可以是零矩阵、对称矩阵或数量矩阵。 这种结构也包含了通常意义的对称矩阵和数量矩阵( 分别相当于只有一块) 。此时， s t r u c t 是一个r 2 维的矩阵。如果该矩阵的第i 行是( 棚，竹) ，则其中的m 表示对称矩 阵块口的阶数，而玎只能取1 、0 或一1 。其中h = 1 表示d l 是一个满的对称矩阵( 或 无结构的对称矩阵) ： = 0 表示口是一个数量矩阵；n = 一1 表示d l 是一个零矩阵。 t y p e = 2 ：长方型结构。这种结构对应于任意的长方矩阵。此时，s t r u c t = - ( m ，竹) 表 示矩阵的维数。 t y p e = 3 ：其他结构。这种结构用来描述更加复杂的矩阵，也可以用于描述矩阵 变量之间的一些关联。x 的每一个元或者是0 ，或者是- i - x , ，其中是第h 个决策 变量。相应地，s t r u c t 是一个和变量有相同维数的矩阵，其中的每一个元取值如 下： 1 0 ，如果x ( f ，j ) = 0 s t r u c t ( i ，) = ”，如鄹( f ，) = 吒 i 一1 7 ，如果j ( f ，) = - - x n 3 1 m i t e r m 在确定了矩阵变量之后，还需要确定每一个线性矩阵不等式中各项的内容。线 性矩阵不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块矩阵中的求和项。这些项可以 分成三类： 1 ) 常数项； 浙江大学硕士学位论文 2 ) 变量项，即包含了矩阵变量的项。一般的变量项具有形式脚 ，其中x 是 一个变量，p 和q 是给定的矩阵，分别称为该变量项的左系数和右系数。 3 ) 外因子。 在描述一个具有多个块的线性矩阵不等式时，l m i 工具箱提供了这样的功能， 即只需要确定对角线上和对角线上方的项的内容，或者只描述对角线上和对角线 下方的项的内容，其他部分项的内容可以根据线性矩阵不等式的对称性得到。 用命令l m i t e r m 每次可以确定线性矩阵不等式的一个项的内容。 4 1 m i e d i t 线性矩阵不等式编辑器l m i e d i t 是一个图形用户界面，它可以按符号方式直接确 定线性矩阵不等式系统。输入 l m i e d i t 出现一个具有一些可编辑文本区域和各种按钮的窗户。按以下步骤来确定一个线 性矩阵不等式系统： 1 1 在文本区域的上半部分给出每一个矩阵变量的描述( 名字和描述) ，其结构 是通过类型( s 表示对称块矩阵，r 表示无结构的长方矩阵，g 表示其他 结构矩阵) 和一个“附加”的结构矩阵( 类似于l m i v a r 中的s t r u c t ) 来刻画 的。在文本编辑区，使用一行描述一个变量。 2 1 在文本区的下半部分，按m a t l a b 的表示方式给出要描述的线性矩阵不等 式。 l m i e d i t 没有l m i t e r m 灵活，且存在局限性。 5 i m i i n f o l m i i n f o 是一种交互式工具，用以反映有关线性矩阵不等式系统的一些信息。这 些信息包括线性矩阵不等式的个数，矩阵变量的个数和它们的结构、每一个线性 矩阵不等式块中项的内容等。为了调用i m i i n f o ，输入 l m i i n f o ( 1 m i s y s ) 其中l m i s y s 是由g e t l m i s 产生的线性矩阵不等式系统的内部表示。 6 i m i n b r 和m a t n b r 这两个函数给出了系统中线性矩阵不等式的个数和矩阵变量的个数。例如，为 了得到矩阵变量的个数，输入 m a t n b r (