（基础数学专业论文）自相似分形集的hausdorff测度的估算.pdf

摘要 h a u s d o r f f 测度与维数是分形几何中两个基本且重要的概念一般而言。计 算一个分形集的h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数是非常困难的，尤其是 h a u s d o r f f 测度的计算对于满足开集条件的自相似集，它的h a u s d o r f f 维数已经 完全解决，但其h a u s d o r f f 测度的准确值的计算仍然是很困难的本文研究了有 关h a u s d o r f f 钡t j 度的两个问题 首先，已经知道三分c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度等于1 这个结论已通过凸函 数的性质与h a u s d o r f f 测度的定义证明但这个证明已经不容易了本文建立了 一个合适的不等式，然后利用质量分布原理证明了中间c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测 度的等于1 我们的方法更简单更清晰 其次，对于三分c a n t o r 集与单位区间的卡氏积的h a u s d o r 行测度，利用部分估 计原理和质量分布原理，给出了它的h a u s d o r f f 测度的如下估计式 1 h 。( c 0 , 1 9 1 关键词：h a u s d o r f f 测度；自相似分形集；三分c a n t o r 集；上界；下界 a b s tr a c t h a u s d o r f fd i m e n s i o na n dh a u s d o r f fm e a s u r ea r et w 0 3b a s i ca n d i m p o r t a n tc o n c e p t i o n s o ff r a c t a l g e o m e t r y g e n e r a l l ys p e a k i n g ， c o m p h t i n gt h eh a u s d o r f f d i m e n s i o na n dh a u s d o r f fm e a s u r e ，e s p e c i a l l y t h eh a u s d o r f fm e a s u r eo faf r a c t a ls e ti sv e r yd i f f i c u l t f o ras e l f - s i m i l a r i e ts a t i s f y i n gt h eo p e ns e tc o n d i t i o n ，i t sh a u s d o r f fd i m e n s i o ni sw e l l k n o w n ，b u ti ti ss t i l lav e r yd i f f i c u l tp r o b l e mt og e ti t se x a c th a u s d o r f f m e a s u r e i nt h i sp a p e rw ew i l ls t u d yt w op r o b l e m st h a tr e l a t eh a u s d o r f f m e a s u r e ： f i r s t ，i ti sk n o w nt h a tt h eh a u s d o r f fm e a s u r eo ft h em i d d l et h i r d c a n t o rs e tci se q u a lt oo n e t h i sc a nb ep r o v e db yt h ep r o p e r t yo f c o n v e yf u n c t i o n sa n dt h ed e f i n i t i o no fh a u s d o r f f m e a s u r e t h ep r o o fi s a l r e a d yn o te a s y i nt h i sp a p e r , w eb u i l dap r o p e ri n e q u a l i t y , t h e nb y m e a n so ft h eq u a l i t yd i s t r i b u t i o np r i n c i p l ew es h o wt h a tt h eh a u s d o r f f m e a s u r eo ft h em i d d l et h i r dc a n t o rs e tci se q u a lt oo n e o u rw a yi s s i m p l ea n dc l e a r s e c o n d l y , f o rt h eh a u s d o r f f m e a s u r eo ft h ec a r t e s i a np r o d u c to ft h e m i d d l et h i r dc a n t o rs e ta n dt h eu n i t i n t e r v a l ，b yt h ep a r te s t i m a t i o n p r i n c i p l e a n dt h em a s sd i s t r i b u t i o n p r i n c i p l e ，t h e e s t i m a t i o n 1 h 3 ( c x 0 ，l 】) 1 k e yw o r d s ：h a u s d o r f fm e a s u r e ；s e l f - s i m i l a rf r a c t a ls e t ；t h em i d d l et h i r d c a n t o rs e t ；u p p e rb o u n d ；l o wb o u n d 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：豸z 动夸 日期：2 0 0 8 年5 月1 5 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论 文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、 缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前提下， 学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 指导教师签名： 日期：炉万一1 5 日期：矽矽莎莎7 第一章绪论 第一章绪论弟一早珀t 匕 在本章中，首先对分形理论的发展过程做以简单介绍，同时，简要概述了国 内外的研究现状为了大家能更好的了解和后文的需要，在本章中将对一些基本 的定义和引理加以说明。 分形理论简介 至今已有1 0 0 多年的历史，但究竟什么是分形呢? 到目前为止，对分形还没严 格的数学定义，只能给出其描述性的定义法国数学家m a n d e l b r o t 最先引入分形 ( f r a c t a l ) 一词，意为破碎的，不规则的，并且曾建议将分形定义为整体与局部在 某种意义下存在相似性的形状，或者具有某种意义下的自相似集合他也曾给出一 个尝试性的定量刻画，定义分形为其h a u s d o r f f 维数严格大于其拓扑维数的集合 但是，所有这些定义都不够精确，不够全面。英国数学家法尔科内( f a l c o n e r ) 在g f r a c t a lg e o m e t r y m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o na n da p p li c a t i o n s 中给出分 形的一种定义，他的观点已经为大多数人所接受他认为，不寻求分形的确切简明 的定义，而是寻求分形的特性，将分形看作是具有如下所列性质的集合f ： 1 f 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体 2 无论从局部和整体上看，f 都是不规则的，以至于不能用传统的几何语言 来描述 3 f 通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的 4 f 在某种方式下定义的分形维数通常大于它的拓扑维数 5 f 的定义通常是非常简单的，或许是由迭代给出的定义： 6 通常f 具有“自然”的外貌。 当然，分形的不规则性并非无序，而是存在层次结构按一定尺度在几何形态 上自身重复，即这种不规则的形态在层层尺度上是相似的，从而可称之为自相似 性或标度不变性。 分形理论的发展过程大致可分为三个阶段第一阶段为1 8 7 5 年至1 9 2 5 年的 萌芽阶段，第二阶段为1 9 2 5 年至1 9 7 5 年的发展阶段，第三阶段为1 9 7 5 年至今的 成熟与应用阶段 在分形理论发展过程的第一阶段中，人们已经认识到几类典型的分形集，并 且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分析和刻画在1 9 世纪，尽管入 湖北大学硕士学位论文 们已能区别连续与可微的曲线，但普遍认为连续而不可微的情形是极为例外的， 并且在理论研究中应排除这类“怪物 ，而且特别认为一条连续曲线上不可微的 点应当是极少的德国数学家维尔斯特拉斯( w e i e r s t r a s s ) 在1 8 7 2 年证明了一种连 续函数( w e i e r s t r a s s 函数) 在任一点均不具有导数，曾引起了人们极大的震动 人们认为w e i e r s t r a s s 型的函数是极为病态的例子但它却成为今天分形的典型范 例 冯科赫( v o nk o c h ) 于1 9 0 4 年通过初等方法构造了如今被称为k o c h 曲线的处 处不可微的连续曲线，并讨论了该曲线的性质由于该曲线的构造极为简单，改变 了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法特别重要的是，该曲线是 第一个人为构造的具有局部与整体相似的结构的例子，即现在被称为自相似的结 构 与此同时，全不连通的集合从各个方面被提出为讨论三角级数的唯一性问 题，康托尔( c a n t o r ) 于1 8 7 2 年引入了一类现今称为c a n t o r 三分集的全不连通的 紧集在当时，人们认为这类集合在传统的研究中是可以忽略的，但c a n t o r 的研 究结果表明，这类集合在象三角级数的唯一性这样重要的研究中不仅不能忽略， 而且起着非常重要的作用 一类极为典型的随机分形集，即布朗运动，在那时已受到物理学家的重视柏 瑞( p e r r i n ) 在1 9 1 3 年对布朗运动的轨迹进行了深入的研究，明确指出布朗运动作 为运动曲线不具有导数，他的这些论述在1 9 2 0 年左右，使年轻的维纳( w i e n e r ) 受到震动，并促使他建立了很多布朗运动的概率模型为了表明自然混乱的极端形 式，w i e n e r 采用了“混沌( c h a o s ) 一词，p e r r i n 曾经注意到：一方面，自然界 的几何是混乱的，不能用通常形式的欧几里得几何或微积分中那种完美的序表现 出来：另一方面，它能使人们想到在1 9 0 0 年左右创立的数学的复杂性曼德尔布罗 特( m a n d e l b r o t ) 在回顾p e r r i n 及w i e n e r 的工作以及分形几何的发展历史时指出， 分形几何以下面两种选择为其特征：一是在自然界的混沌中选择问题，因为描述整 个混沌是既无意义又无可能的主张：另一个是在数学中选择工具这两种选择逐渐 成熟并创造出了新的东西，在无控混沌与欧几里得过分的有序之间，产生了一个 具有分形序的新领域由于非常“复杂的集合的引入，而且长度，面积等概念必 须重新认识为了测量这些集合，同时，为了更一般的理论，闵可夫斯基( m i n k o w s k i ) 2 第一章绪论 于1 9 0 1 年引入了集合的m i n k o w s k i 容度，进而豪斯道夫( h a u s d o r f f ) 于1 9 1 9 年引 入了h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数这些概念实际上指出为了测量一个几何对 象，必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度 在分形理论发展的第一阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题，并 为讨论这些问题提供了最基本的工具 第二阶段大致为1 9 2 6 年至1 9 7 5 年，1 9 6 7 年数学家m a n d e l b r o t 在科学杂 志上发表了一篇“英国的海岸线有多长? 统计自相似性与分形维数的论文，在 这篇论文中他对海岸线的本质作了独特的分析面震惊学术界，也成为他思想的转 折点，分形概念就从这里萌芽生长，“分形 这个名词首次在科学界出现。在这半 个世纪中，人们实际上对分形集的性质做了深入的研究，特别是维数理论的研究 已获得了丰富的成果第二阶段更为系统，深入的研究深化了第一阶段的思想，不 仅逐渐形成了理论，而且将研究范围扩大到数学的许多分支中贝塞克维奇 ( b e s i c o v i t c h ) 的研究工作贯穿了第二阶段他更深刻地提示了h a u s d o r f f 测度 的性质和奇异集的分数维，他及其他学者研究了曲线的维数，分形集的局部性质， 分形集的结构，s 一集的分析与几何性质，以及在数论，调和分析，几何测度论中 的应用他们的研究结果极大的丰富了分形几何理论同时，维数的乘积理论，投 影理论，位势理论，位势方法，网测度技巧，随机技巧均先后建立并成熟，这已 使分形几何的研究具有自己的特色与方法m a n d e l b r o t 以其独特的思想，自6 0 年代以来，系统深入且创造性地研究了海岸线的结构，具强噪声干扰的电子通讯， 月球的表面，银河系中星体的分布，地貌的生成的几何性质等典型的自然界中的 分形现象，并取得了一系列令人瞩目的成功 第三阶段为1 9 7 5 年至今，是分形几何理论在各个领域的应用取得全面进展， 并形成独立学科的阶段m a n d e l b r o t 于1 9 7 7 年发表的分形：形状，机遇和维数 ( ( f r a c t a l ：f o r m ，c h a n c ea n dd i m e n s i o n ) 专著中，进一步阐述了他的观点，第 一次系统阐述了分形几何的思想，内容，意义和方法，它的发表标志着分形几何 作为一个独立的学科正式诞生，分形几何受到各国学者的进一步重视与公认，国 际学术界出现了一股分形热的学术气氛，纷纷对分形概念作各种各样的研究与分 析，特别是分形理论的研究，从而把分形理论推进到一个更为迅猛发展的新阶段 近年来，分形理论无论是在数学基础还是在应用方面都有快速发展，维数的 3 湖北人学硕十学位论文 估计与算法，分形集的生成结构，分形的随机理论，动力系统的吸引子理论与分 形的局部结构已获得较深入的结果，其势方兴未艾在此期间，有关专著纷纷问世， 研究工作的数量以几何级数增长，国际专题会议此起彼伏，特别是2 0 世纪8 0 年 代，令人感到雷霆万钧之势分形涉及的领域极为广泛，在数学、物理、化学、材 料科学、医学与生物、地质与地理学、地震与天文学、力学、计算机科学、海洋 学乃至经济、社会、艺术等领域都有着很重要的应用价值。 到目前为止，分形的数学理论还没有形成公理化结构的理论体系，是不完备 的。但是分形理论与思想所赋予人们新鲜的、创造性的理论思维是在丰富多彩的， 是无限的创新源泉，它使人们对原有的微积分理论要做出根本性的改变，因为分 形的应用急需“分数阶的微积分理论一的诞生，如何建立“分数阶的微积分理论” 不仅仅是分形数学、分形物理学的需要，而且是当代自然科学前沿课题的理论要 求。自1 9 8 0 年以来，随着分形理论的发展，分形自身的一些基本问题，如分形几 何形的刻画，维数的本质，维数值及其测度值等已十分尖锐地摆在人们面前，这 些问题直接影响到分形的实质性的，深入的研究因此，这些基本问题将是分形理 论研究的一个焦点 研究现状 近些年来，国内外有大批数学家正在从事利用分形几何理论进行图象压缩， 以及分形插值及逼近理论的研究1 9 9 2 年，美国微软公司成功制作了一张称作 “m i c r o s o f te n c a r t a 的光盘，它仅用6 0 0 兆字节的内容，就贮存了大量的文字 数据和长7 个小时的声像资料，1 0 0 部动画片，8 0 0 张彩色地图和7 0 0 0 幅逼真的 风景照片在这张光盘的研制中，正是采用了分形图象压缩技术，以分形几何中迭 代函数系统理论为基础，采用了与常规技术不同的思路，从而达到了很好的压缩 效果其压缩比可高达1 0 0 0 0 ：1 由于计算机图形学的发展，为分形几何的研究带 来了极大的方便，使得分形成为看得见的图形其艺术的魅力和广泛的使用价值吸 引了国内外一大批专家学者从事分形的研究工作。 另外，由于分形与计算机图形的学的完美结合，实现分形的可视化，以及对 自然景物的逼真模拟，在许多的领域都有着广泛的应用，这就决定了分形几何必 定有着相当广阔的发展前景同时有不少学者从事分形维数和分形测度计算理论 的研究这是分形几何理论中最基本的问题在所使用的种类繁多的分形维数和分 4 第一章绪论 形测度中，在c o r a t h e o d o r y 构造基础上的h a u s d o r f f 维数和h a u s d o r f f 测度是最 古老而且也是最重要的其特点是它对任意集合都是合适的，而且由于h a u s d o r f f 维数是以测度为基础，这在数学上是方便的，也比较容易处理对理解分形的数学 理论来说，h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数是最基本的也是最重要的然而其不 足之处在于很多情形下它是很难估算的 近年来，国内外有不少学者在计算分形集的h a u s d o r f f 维数和h a u s d o r f f 测 度方面做了大量的工作对一般分形集而言，计算其h a u s d o r f f 维数是非常困难的， 而计算其h a u s d o r f f 测度则更加困难对于具有严格自相似性的分形集，关于其 h a u s d o r f f 维数计算的理论已经发展相当完善，但是其h a u s d o r f f 测度的计算却仍 然没有通用的理论可行，其计算相当复杂，只能根据具体问题进行具体分析目 前只有少量的维数不大于l 的自相似集的h a u s d o r f f 测度的准确值被计算出来， 比如已确定了三分c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度为l ，得到了一些维数为1 的 s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 测度为2 ，c a n t o r 尘( 维数为1 ) 的h a u s d o r f f 。医 测度为半而对那些满足开集条件的自相似集，利用有限覆盖原理和质量分布 j 原理也仅得到它们的h a u s d o r f f 测度的上下界估计，目前已得到s i e r p i n s k i 垫片 的h a u s d o r f f 测度在0 2 6 5 4 和0 8 17 9 之间，k o c h 曲线的h a u s d o r f f 测度在0 5 2 6 3 和0 5 8 7 7 之间本文中将通过建立不等式，利用质量分布原理证明三分c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度准确值还将构造三分c a n t o r 集c 与单位区间 0 ，1 的乘积 1 集c 【o 川，它是由6 个相似比为寺的相似压缩函数生成的自相似集且满足开集条 j 件，其维数为l o g p l ，利用相关原理估算出其h a u s d o r f f 测度的上下界 5 湖北大学硕j ：学位论文 第二章分形几何的基本理论 研究分形最基本的两个概念就是维数和测度，维数和测度的种类很多，其中 最常见要数h a u s d o r f f 维数与h a u s d o r f f 测度而计算或估计分形的h a u s d o r f f 维数和它的h a u s d o r f f 测度是研究分形最重要的问题之一。但是在很多情况下， 要计算它们，特别是要计算h a u s d o r f f 测度是相当困难的到目前为止，关于分 形的h a u s d o r f f 测度的计算几乎没有什么具体的结果，即使是一些很简单的分形 也是如此如一维直线上的分形是最简单的分形，齐次c a n t r o 集、广义的c a n t o r 集、m o r a n 集等的h a u s d o r f f 测度仍然是悬而未决的问题至于高维的、不规则 分形的h a u s d o r f f 测度更是一片空白。 为什么计算h a u s d o r f f 测度会如此的难昵? 部分原因可能是问题本身的难度 另外的原因不是计算本身的繁琐也不是计算的能力不够，而是我们对h a u s d o r f f 测度的精髓仍缺乏足够的理解h a u s d o r f f 维数在一类满足开集条件的自相似集 中得到了很好的解决，但是它们的h a u s d o r f f 测度的计算方面却没有什么进展， 测度的估计方面，下界的估计要比上界的估计更加困难得多下面就研究自相似 分形集的h a u s d o r f f 测度相关的概念、性质、定理作些阐述。 一、h a u s d o r f f 测度及其性质 如果u 为f l 维欧几里得空间尺“中任何非空子集，u 的直径定义为 i v l is u p x - y l ：工，y e u ，即u 内任何两点距离的最大值。如果 q ) 为可数( 或 有限) 个直径不超过6 的集合构成的覆盖f 的集类，即，cu u ；，目对每一个i i - 1 都有0 0 ，定义 蹦咖砒 护i ：移r 枷f 的一个6 一覆斗 令6 一0 ，h5 但) al i m h ；( ，) ，对r 4 中任何子集f 这个极限都存在， 称h ( f ) 为f 的s 一维h a u s d o r f f 测度r “的子集f 称为s 一集( 0s ss 刀) ，如果 f 是h 一可测集且0 o 令2 6 o ，d ：( 厂g ) ，( y ) ) sc ( d ， ，y ) ) 。，x ，y e 则称，满足口一阶赫尔德条件如果a = l ，则f 称为李普希茨映射，如果存在常 数c 0 ，使得c d 。y ) sd 2 i f ( x ) ，( y ) ) sc d l o ，y ) ，x ，y e ，则f 称为双李普 希茨映射 由以上的定义我们不难推得，若，满足口一阶赫尔德条件，则f 为连续映射 7 湖北大学硕l ：学位论文 特别的，若f 为双李普希茨映射，则f 为单射，从而厂1 存在 命题2 3设ecx 。，f ：e - - * x ：厂满足口一阶赫尔德条件，则对任意的s 0 ，有 h “4 ( ，征”sc “4 h 但) 证明设 玑 为e 的一个6 一覆盖，由命题条件知 l f ( u ；he ) i 墨c 刚。， 从而 ，缈；n e ) ) 为厂但) 的一个c 6 。一覆盖， 故有： l i ( sn u - r s c s l a 附 由此得二。( 厂陋) ) sc “4 日；但) ，令6 一。即得命题结论。 推论2 1 若f 为李普希茨映射，则h 5 ( 厂陋) ) s c h 但) ，如果，为双李普 希茨映射，则c s h5 但) sh 5 ( ，但) ) sc 。h ( e ) 特别地，若，为等距映射，则日陋) ih ( ，仁) ) 推论2 21 ) r d 中子集的豪斯多夫在平移及正交变换下不变： 2 ) 齐次性：h ( 旭) 一岔h 俾) 3 ) 设ecr d ，则h 5 ( 只但) ) a h 陋) ，其中只是r d 到其线性子 空间v 的正交投影 命题2 4设0ss t o ，则h 妒n u ) 墨p r 证明：因为f fnu 的h a u s d o r f f 维数不大于5 ，因此h 妒一fnu ) o ，存在f fn u 的覆盖p e f 乏o ，使得 8 第二章分形几何的基本理论 h ( f - fn u ) + 驴i 那么 ，一影，巧，f 乏o ) 显然是f 的一个覆盖于是 日( f ) - 日( fnu ) + 日( f fn 【，) s 荟i k i 。+ i u l 4s 日。( r - fn u ) + + p i 因此h 5 征nu ) l u l 5 + 考虑到的任意性，即得h ( fn u ) 墨i u i ， 二、h a u s d o r f f 维数及其性质 在命题2 4 中，我们可以看到，对于存在s 的一个临界值，使得日但) 从 无穷大跳跃到0 此临界值称为e 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m he 其精确定义 如下：d i m e - s u p s ：h 。但) 一 一i n f 冬：日但) to 下面我们讨论h a u s d o r f f 维数的性质 命题2 6设ecx 若h 伍) 0 ，熙j d i m ne = s 。 特别地，若o h 陋) s u p d i mj = re ，则对于任意的1 3 ，有d i m j j ，g n d i m j ：r e ， 则由命题2 3 得h 吖。( ，但) ) sc j l a h 但) 从而d i m 厂但) s 三， a 由s 的任意性得 d i m 厂但) sl d i m 曰e a 推论2 4设ec x l ，：工1 一x 2 为李普希茨映射，贝, t jd i m j j rf ( e ) sd i m 月e 特别地，若f 为双李普希茨映射，贝, l jd i m 日( e ) 一d i m e 因此，正交投影集合的维数不会增加，等距映射、相似映射保持集合的维数不变 命题2 9r d 及r 4 中的任一开集的h a u s d o r f f 维数为d 三、质量分布原理 命题2 1 0 设ec r 。，设妙。一l 。( 七1 ) 为e 的一列以一覆盖，6 。o 。如果存 在正常数c t ，使得对任意的七都有p t r c k _ r l i m i n f c t 0 ，使得( 【，) 墨c 川对所有满足ms 6 的集u 成 1 0 第二章分形几何的基本理论 立，则h 但) u ( e ) c 证明： 任取e 的6 一覆盖缸；) ，我们不妨假设u ，为波莱尔集，并由引理条件得 o 但) s ( u 玑) s ) sc i u t i ，从而日a 5 但) l z ( e ) c ，令6 - o ， 即得日俾) i 比( e ) c 推论2 5 在质量分布原理的条件下，有d i m 盯e s 质量分布原理是估计h a u s d o r f f 测度下界的有力工具，后面我们将通过不 同类型的例子来介绍使用该原理的技巧从原理本身可以看到，关键在于构造一 个正有限口一阶赫尔德测度，但是，一般说来构造这样一个测度并不容易。 四、自相似分形集 自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的 几何变换下具有不变性，即标度无关性，如一个立于两面镜子之间的无穷反射。 由自相似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归。标准的自相似分形是数 学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，如科契( k o c h ) 雪花曲线、谢尔宾斯基 ( s i c r p i n s k i ) 地毯曲线等。自相似集是一类重要的分形集，同时也是分形几何中研 究结果较为丰富的一类集合。下面给出自相似集的定义 1 、自相似集的定义 考虑r “的闭子集e 上的压缩族s 。，s ：，s 。，若ecu 瓯但) ，e 称为压缩 映射的吸引子。现在我们考虑完备度量空间忙僻”) ，d 日j ，若s 。，s ：，s 。是r 4 上 的压缩映射，s u 置是【c 僻4 ) ，d hj 上的压缩映射，从而在c ”) 上存在唯一不 动点e - s ( e ) ；又如果s 。，s ：，s 。为相似压缩，则称e 为压缩族s 。，s 2 ，s ，的 自相似集。 2 、自相似集的性质 设s 1s ：，s 。是尺。上的压缩，如果存在开集vc r “，使 用r1， u s ，缈) c 杪：s 。) ns j ) 一中，f 一 ，则称压缩族俗。 1 一。满足开集条件，e 满 足开集条件。若s ，但) 互不相交，则称压缩族忸，j k ，。满足强分离条件，也称自相 湖北人学硕士学位论文 性质1 设e 是压缩比为c ；的相似压缩映射族俗；l 堋的自相似集，若e 满足开集 条件，则0 ) o h 俾) 0 和 6 。，使j c l 缈) sc p r 对所有满足p l s 6 的集u 成立，则h f ) 苫型竽，且 ssd i m f 命题3 2 c i 是r 。上的质量分布，f 为尺“中的子集，又设0 c o ，则h ( fnu ) sp r 根据命题3 3 ，我们只需找到一个特殊的集合，该集合尽可能多地覆盖自相似 集，通过计算被覆盖部分在在整个集合中的所占的比例，则可得到该自相似集的 h a u s d o r f f 测度的一个上界，并且在某些时候，此上界往往等于准确值h a u s d o r f f 测度的下界估计比上界的估计困难许多，目前在这方面的研究结果甚少。在本文 中，我们将给出三分c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度为1 的一个简单证明，再用类似的 方法讨论其h a u s d o r f f 维数大于1 的分形集c 【0 ，1 】的h a u s d o r f f 测度的上、下界 估计问题 湖北大学硕士学位论文 3 1三分c a n t o r 集c 的h a u s d o r f f 维数与测度 设e o 一【o ，1 】为单位闭区间。e l 为由e 。删去中间长为孝的开区间( 言1 ，争所 1 3 33 得到的集合，即e ，由闭区间【o ，1 2 j l 组& ，我们称这两个区间为一阶基本区 间，记为，而专，了2 ) 称为一阶基本间隔分别去掉两个一阶基本区间的中间的三 分之一得到e ：，即e ：由4 个闭区间( 称为2 阶基本区间，记为，：) 【o ，吾】，亏2 ，尹1 ，唁2 ，尹7 ，唔羽组成，去掉的两个开区间称为二阶基本间隔，继续上述 做法，至第k 步，我们得到b ，它由2 个长为3 。的闭区间( 称为k 阶基本区 间，k x y gt 。) 组成，被挖掉的2 k - 1 个长为3 以的开区间称为第k 阶基本间隔。 令c nb ，集c 称为三分c a n t o r 集( 图1 ) 。容易验证c 为全不连通的自密 t d 闭集。 o o f r 9 9 ，2 l 3 f 9 一三9 苎9 一i 由于c 可以看成是由压缩比都是三的两个压缩映射s 。和s ：通过无数次压缩 变换而成的集合，c 为不变集s ，f f ) u s ：) c 矿，其中v 是开区间( o ，1 ) 。 集c 的h a u s d 。r f f 维数s 由2 ( 三) 。1 给出，因而s 一等舅ji o g j 首先我们约定考虑对于集族( ，t 伽r ) ，记u 一5 1 4 第三章 自相似分形集的h a u s d o r f f 测度的估计 一 令c l cn o ，习，c 2 一cn 呼 1 】，则由c 的构造，c c luc 2 ，c 2 一+ c ：ce c 。 利用h a u s d o r f f 测度的度量外测度性质、平移不变性质及齐次性质，对任意 s 乏0 , h ( c ) 一2 3 h ( c ) 因此若日5 ( c ) 为正有限值，我们将有3 2 即 s 。粤娶由此出发，我们首先确定h ( c ) 的值，此处s 。粤呈为简便，以后都将 log)logj 这个s o 记为s 定理1 三分c a n t o r 集c 的h a u s d o r f f 测度日( c ) 一1 证明：由于对任意七1 , k 阶基本区间构成的集合恰好是c 的一个3 一覆盖， 从而 日；t ( c ) s 薹1 3 - k l 。；1 即日( c ) s1 下面我们证明相反的不等式。注意到对于上界，我们只需要估计一个特殊的 覆盖，而对于下界，按照定义，我们则需对所有的覆盖类进行估计，这也就是为 什么下界的估计远比上界的估计困难的原因 为得到反向不等式日5 ( c ) 乏1 ，我们首先在区间【o ，1 】上定义一个分布函数c ， 满足 口( 【0 ，1 】) 一1 ， m ) 一歹1 ，刀t 1 ，2 ，3 ， ( 【0 刘一c ) 一0 则j l 为【0 ，1 】上的一个测度，并且为c 上的一个质量分布分布函数 ( 【o j 】) 就是著名的c a n t o r 函数，它在【0 ，1 】上单调增加且连续 引理l 对任意的工( 。，1 】，则( 【。，工】) 1 2 ，r ，其中s - 罢嚣 证明： 欲要证明丛譬盟歹1 ，根据j c l ( 【0 x 】) 与砉z 。的连续性，显然只需对x 取 l o - 1 2 3 ，2 1 ) 的端点值证明即可而且还容易看出，丝雩婴只可能在基本区 间l ( ，。一【0 ，；】) 的左端点处取得最小值，下面用数学归纳法证明： 1 5 当，l 一1 时。 假设当刀一 于是 木区间，。( l 一【o ；】) 的左端点黾都有( 【0 以1 ) z 舌 1 时，下面分三种情况情况讨论： 。【嘉，歹1 】，如图2 那么屯+ 。一嘉， 33 一 即 ( 【0 ，& + 。】) 之 ，o ) 。互$ ，x s - 1 2 $ f + 图2 1 2 成立 一鼙七 拜- k + l 号旷一。+ 知h 】 ( 2 ) 若坼+ ，。毛，如图3 ，则由归纳法假设知，( 1 0 ，+ ，】) 2 歹1 以+ 。引理成立 l l - _ _ - - - _ _ 。一 ； 1 = 屯 图3 1 6 一， l 三上争诫 一，( r 一， 监 挚畔毗 n 一 0 理 螋，工 淝 遵 “ k r t j l 工1 l 晰 ” 漕 邸 翔 m 一妒 il；，- 二工专 一 专一争知争未一白l乞尹 i | = i ： 引 墙 ” 肛 第三章 自相似分形集的n a u s d o r 仃测度的估计 ( 3 ) 若以+ ，一吒+ 尹2 ， 如图4 ， 则( 【o ，颤+ 。】) 一( 【o ，以】) + 击， 1 一 疗m 毒 ； ； l 卜_ 一：k + l h 2 。+ ：掰 ， 所以j c l ( 【o ，以+ 。】) 一1 2 ，x s - ( 【。，吒】) + 歹1 1 2 ，z ：+ ，乏砉x ：+ 歹1 一歹1x ：+ 。 一歹1z ：+ 歹1 一歹1 瓴+ 寺 令厂o ) - 砉+ 孑1 百一歹1o 。+ 尹2 ) ， 由于 o 石石+ 尹2 0 ， 一 那么 ，o ) 。砉x “一砉o + 嘉) ”l 一_ s i s - 1 - - 。+ 耋知卜1 】， 当z f o n 时。厂仅1 0 从而f ( x ) 在【0 ，1 】上是是单调递增的， 于是，o ) 厂( 。) - 1 2 ，。+ 六一歹1 ( o + 尹2 ) - o 即 j l ( 【o ，屯+ ，】) 吉以+ 。卜 综上所述，当刀一k + 1 时，( 【o ，以+ 。】) 砉以+ 。成立 从而引理得证 引理2 设u 是与【o ，1 】相交不空的任一区间，l 是如上述定义的三分c a n t o r 集 c 的一个质量分布，则缈) sp l ，其中p l 表示区间u 的长度( 或直径) ，j l o g ，2 证明：不妨假设uc 【0 ，1 】，否则用un 【0 , 1 】代替，如图5 所示， 设a b 为【0 ，1 1 夏f f i ，c d 是区间u ，记a c 为口，d b 为6 ， 1 7 湖北大学硕上学位论文 于是 j f l ( 【0 ，i i ) - ( 口) + u ( b ) + ( 【，) 一1 ， a ：0n b 一 _ _ i 由引理1 知， ( 口) 芑1 2 ，a s p ) 之砉6 。， 所以 ( u ) t 1 一( 口) 一p ) s 1 石1 5 + 6 5 ) ， y n y g p l - 0 - a - b ) ， 为了证明j l 缈) sm ，由的定义及c a n t o r 集的 构造知，当口，6 都不小于；1 时，) 。o ，显然j 【) 墨p i 成立，一般情况口，6 中至 少有一个小于三 令，( 口，6 ) 一( 1 一口一6 ) + 吾( 口。+ 6 5 ) 一1 ，t 证f ( a ，6 ) o 我们考虑点( 口，6 ) 在闭区域【o ，尹1 【o ，尹1 上取值时f ( 口，6 ) 的值城，而， ，6 ) 的最大 值和最小值必定在闭区城【0 尹1 【o ，争的边界上或内部的极值点处取得，我们可 以通过对二元：函数求偏导数来求其极值点： 0 ( 口，6 ) t 一( 1 - a - 圹卜，s _ l ，口“ e ，6 ) 一心( 1 一口一扫) - l + 砉6 令兄0 ，6 ) - e ( 口，6 ) 一0 ，解得口o - , o - 0 1 8 9 7 ，此时对应的极值： f ( 口。，6 0 ) - 0 一口一6 ) + 石1 ( 口。+ 6 ) 一l 。0 1 9 2 5 o 下面讨论边界值，由a , b 的对称性只讨论其一即可， ( 1 ) 当口一。时，os 6 s ；1 ， ，( 6 ) - 0 山) 卜z ， ，b 一1 ， 令厂) 。o ，解得：阢，o 2 3 4 0 e o ，二1 1 ， 则有： 厂 ) 一( 1 一o 2 3 4 0 ) + 吉0 2