（基础数学专业论文）齐性空间上的不变finsler度量和弱对称finsler流形.pdf

摘要 f i n s l e r 流形是黎曼流形的推广。关于齐性f i n s l e r 流形的研究是 首先从邓少强教授开始的。在本文中，我们将研究这方面的一些 有趣的问题。本文主要包含以下三个方面：( 1 ) 齐性空间上的不 变( q ，p ) 度量；( 2 ) 仿射弱对称空间；( 3 ) 带有约化的等距变换群的弱 对称f i n s l e r 流形的分类。本文的结构是这样的： 1 在第一章中，我们将回忆( a ，p ) 度量和弱对称空间的历史，阐述 在这方面进行深入研究的重要性，同时说明我们的研究兴趣。在这一 章的最后，我们阐述了我们的研究方法和研究思路，以便读者能够更 好地阅读本文。 2 在第二章中，我们将回。 l f i n s l e r 几何中的一些基本概念和齐 性f i n s l e r 流形的一些已知的基本结论，主要集中在如何判断一个齐 性f i n s l e r 流形上存在非黎曼的不变f i n s l e r 度量。这些结论在我们的文 章中会经常用到。 3 在第三章中，我们将考虑一种特殊的f i n s l e r 度量，即( a ，) 度 量。我们首先给出在齐性空间上构造不变的( a ，p ) 度量的一般方法，然 后给出在齐性空间上一些特殊的( q ，p ) 度量是b e r w a l d 度量或d o u g l a s 度 量的条件，最后给出了一个在一种特殊的齐性空间上b e r w a l d 型 的r a n d e r s 度量和m a t s u m o t o 度量是否存在的刚性定理。 4 在第四章中，我们将考虑一种特殊的齐性空间，即仿射弱对称 空间。我们首先给出仿射弱对称空间的三种等价的定义，并给出用弱 对称对描述仿射弱对称空间的方法。在这一章的最后，我们给出了一 个非黎曼的仿射弱对称空间的例子。 5 在第五章中，我们将弱对称空间推广到弱对称f i n s l e r 流形。类 似于仿射弱对称的情况，我们也给出了弱对称f i n s l e r 流形的三种不同 的定义，并利用弱对称对来描述弱对称f i n s l e r 流形，最后给出了在一 些特殊的齐性流形上可逆的非b e r w a l d 的不变f i n s l e r 度量的存在性。 6 在第六章中，我们给出了带有约化的等距变换群的弱对 称f i n s l e r 流形的分类。 关键字：弱对称f i n s l e r 流形； 不变( q ，p ) 度量； 仿射弱对称空间。 a b s tr a c t f i n s l e rm a n i f o l di st h eg e n e r a l i z a t i o no fr i e m a n n i a nm a n i f o l d t h es t u d yo fh o m o g e n e o u sf i n s l e rm a n i f o l dw a si n i t i a t e db yp r o f e s s o r s h a o q i n gd e n g i nt h i st h e s i s ，w es t u d ys o m ei n t e r e s t i n gp r o b l e m si n t h i sf i e l d t h et h e s i si n c l u d e st h r e ep a r t s ：( 1 ) i n v a r i a n t ( q ，) 一m e t r i c s o nh o m o g e n e o u sm a n i f o l d s ，( 2 ) a f f i n ew e a k l ys y m m e t r i cs p a c e s ，( 3 ) t h ec l a s s i f i c a t i o no fw e a k l ys y m m e t r i cf i n s l e rm a n i f o l d sw i t hr e d u c t i v e i s o m e t r yg r o u p s t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h eh i s t o r yo f ( o z ，) 一m e t r i ca n dw e a k l y s y m m e t r i cs p a c e w es h o wt h ei m p o r t a n c eo ft h e ma n dt e l lt h er e a d e r s w h a tw ea r ei n t e r e s t e di n w ea l s og i v ea no u t l i n eo fo u rs t u d ys ot h a t t h er e a d e r sc a nu n d e r s t a n dm o r ee a s i e r i nc h a p t e r2 ，w er e c a l ls o m eb a s i cd e f i n i t i o n si nf i n s l e rg e o m e t r y a n ds o m eb a s i cr e s u l t so nh o m o g e n e o u sf i n s l e rm a n i f o l d s w eg i v es o m e m e t h o d st ok n o ww h e t h e rt h e r ee x i s t sn o n - r i e m a n n i a ni n v a r i a n tf i n s l e r m e t r i co nag i v e nh o m o g e n e o u sm a n i f o l d t h i si su s e f u lt of u r t h e rs t u d y i nc h a p t e r3 ，w ec o n c e n t r a t eo ni n v a r i a n t ( o l ，p ) 一m e t r i c so nh 伊 m o g e n e o u ss p a c e s w ef i r s t g i v eam e t h o dt oc o n s t r u c ti n v a r i a n t ( o l ，卢) 一m e t r i c so nh o m o g e n e o u ss p a c e s t h e nw eo b t a i ns o m ec o n d i t i o n s f o rs o m es p e c i a lt y p eo f ( o l ，卢) 一m e t r i c st ob eo fb e r w a l dt y p ea n d d o u g l a st y p e a tl a s tw eg i v ear i g i d i t yr e s u l tc o n c e r n i n gt h er a n d e r s m e t r i c sa n dm a t s u m o t om e t r i c so fb e r w a l dt y p eo nh o m o g e n e o u ss p a c e s i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e ras p e c i a lh o m o g e n e o u ss p a c e ，a f f i n ew e a k l y s y m m e t r i cs p a c e w eg i v et h ed e f i n i t i o no fa f f i n ew e a k l ys y m m e t r i c s p a c e sa n dc h a r a c t e r i z et h e s es p a c e sa sw e a k l ys y m m e t r i cp a i r s 。a tt h e e n do ft h i sc h a p t e r ，w eg i v ea ne x p l i c i te x a m p l eo fw e a k l ys y m m e t r i c s p a c ew h i c hi sn o tr i e m a n n i a n t h i sw i l le x t e n ds e l b e r g sw e a k l y s y m m e t r i cs p a c e s i i i nc h a p t e r5 ，w ei n t r o d u c et h en o t i o no fw e a k l ys y m m e t r i cf i n s l e r m a n i f o l d s i m i l a rt oa f f i n ew e a k l ys y m m e t r i cs p a c e ，w eg i v es o m e d i f f e r e n td e f i n i t i o n so fi ta n dt h e nc h a r a c t e r i z ei tb yw e a k l ys y m m e t r i c p a i r t h e nw eg i v et h ee x i s t e n c eo fr e v e r s i b l en o n b e r w a l d i a nf i n s l e r m e t r i c so ns o m es p e c i a lh o m o g e n e o u sm a n i f o l d s i nc h a p t e r6 ，w eg i v et h ec l a s s i f i c a t i o no fw e a k l ys y m m e t r i cf i n s l e r m a n i f o l d sh a v i n gr e d u c t i v ei s o m e t r yg r o u p s k e y w o r d s ：w e a k l ys y m m e t r i cf i n s l e rm a n i f o l d ；i n v a r i a n t ( o l ，p ) 一m e t r i c ； a f f i n ew e a k l ys y m m e t r i cs p a c e i i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：劈慧。群 2 0 0g 年厂月2 8 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：髟慧群 矽。缪年5 - 月2g e l c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h es t u d yo ff i n s l e rs p a c e sh a si m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei np h y s i c s h o w e v e r ，i t i si ng e n e r a l l yv e r yd i f f i c u l tt oc o n s t r u c te x p l i c i tn o n - r i e m a n n i a nf i n s l e rm e t r i c s ， e x c e p tf o rs o m et r i v i a le x a m p l e s ，s u c ha sm i n k o w s k io rl o c a l l ym i n k o w s k is p a c e s t h e r e f o r e ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt oc o n s t r u c te x p l i c i te x a m p l e so ff i n s l e rs p a c e s t w o i m p o r t a n tt y p eo ff i n s l e rm e t r i c sa r eb e r w a l dm e t r i ca n dr a n d e r sm e t r i c b e r w a l d s p a c e sa r eju s tab i tm o r eg e n e r a lt h a nr i e m a n n i a na n dl o c a l l ym i n k o w s k i a ns p a c e s t h e yp r o v i d ee x a m p l e st h a ta r em o r ep r o p e r l yf i n s l e r i a n ，b u to n l ys l i g h t l ys o f o r b e r w a l ds p a c e s ，t h ec h e r nc o n n e c t i o n ( i nn a t u r ec o o r d i n a t e s ) a c t u a l l yd e f i n e sa l i n e a rc o n n e c t i o nd i r e c t l yo nt h eu n d e r l y i n gm a n i f o l d at h e o r e mo fs z a b ot e l l s u st h a tt h i sl i n e a rc o n n e c t i o na l s oh a p p e n st ob et h el e v i c i v i t ac o n n e c t i o no fa r i e m a n n i a nm e t r i co nt h es a m em a n i f o l d f o rab e r w a l ds p a c e ，a l li t st a n g e n t s p a c e sa r el i n e a r l yi s o m e t r i ct oa c o m m o nm i n k o w s k is p a c e o n em i g h ts a yt h a tt h e b e r w a l ds p a c ei nq u e s t i o ni sm o d e l e do nas i n g l em i n k o w s k is p a c e i n1 9 4 1 ，g r a n d e r sc o n s i d e r e dav e r yi n t e r e s t i n gt y p eo ff i n s l e rm e t r i c s i t i st h es u mo far i e m a n n i a nm e t r i ca n da1 - f o r m ，i e f = o + p t h i sk i n do f f i n s l e rm e t r i c sa r en o wc a l l e dr a n d e r sm e t r i c si nl i t e r a t u r e t h e yo c c u rn a t u r a l l yi n p h y s i c a la p p l i c a t i o n s i ti sw e l lk n o w nt h a tt h em o s tc h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t yo ft h e p a y s i c a lw o r l di st h eu n i d i r e c t i o no ft i m e - l i k ei n t e r v a l s o b v i o u s l yt h i sa s y m m e t r y s h o u l dn o ta p p e a ri nm a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o n ，s oi t i sn e c e s s a r ya n di n t e r e s t i n g t oc o n s i d e ram e t r i cw i t ht h i sa s y m m e t r i c a lp r o p e r t y t h er a n d e r sm e t r i c si st h e s i m p l e s tw a yt od i s p l a c et h ec e n t e ro ft h ei n d i c a t r i x ，s oi tg i v e saw a yt oi n t r o d u c e a na s y m m e t r yw h i l er e t a i n i n gt h eq u a d r a t i ci n d i c a t r i x i nm a t h e m a t i c s ，r a n d e r s m e t r i c sr e p r e s e n tam e d i u mi nw h i c hr i e m a n n i a ng e o m e t r yi n t e r f a c e sw i t hf i n s l e r g e o m e t r y i n1 9 5 9 1 9 6 1 ，k r o p i n ac o n s i d e r e dp r o j e c t i v e l yf l a tf i n s l e rs p a c e se q u i p p e dw i t h t h em e t r i c s f ( x ，y ) = a i j y j b k ( x ) y 七， f ( x ，y ) = a , j k ( x ) y i 矿矿 k r o p i n ap a y e da t t e n t i o nt os u c ham e t r i cf r o map u r em a t h e m a t i c a lv i e w p o i n t t h e r ei sc l o s er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i sk i n do fm e t r i c sa n dl a g r a n g i a nf u n c t i o n so f a n a l y t i cd y n a m i c s f o re x a m p l e ，c o n s i d e ral a g r a n g i a nf u n c t i o n l ( x q ，t ，圣口) = g b c ( x a 亡) 圣6 圣c 2 + g ( x 口，亡) 圣6 一u ( z 口，) ， w h e r ea ，b ，c = 1 ，2 ，n ，x 几= ta n d 铲= 圹y n p u t t i n g w eh a v e g b c = 2 a 6 c b 佗，g = 2 n 轨k ，a n 礼= a n 口 u = - a n n 6 仡，b a = 0 ，b n 0 ， l ( x ，y ) = a j k ( x ) 矿扩b j ( z ) 矿， w h i c hi sak r o p i n am e t r i c g e n e r a l i z i n gt h i ss p e c i a lf i n s l e rm e t r i c so fr a n d e r st y p ea n dk r o p i n at y p e ， m a k o t om a t s u m o t op r o p o s e dt h en o t i o no f ( o l ，p ) 一m e t r i ci n1 9 7 2 a ( o l ，p ) 一m e t r i c i saf i n s l e rm e t r i cw h i c hi sah o m o g e n e o u sf u n c t i o no fo la n d 卢o fd e g r e eo n e ，h e r e q = v 石i j y i y ji sar i e m a n n i a nm e t r i ca n d 口= b d x ) y 2i sa1 一f o r m b e s i d e sr a n d e r sm e t r i c sa n dk r o p i n am e t r i c s ，a n o t h e ri m p o r t a n te x a m p l eo f ( 口，) 一m e t r i c sa r et h em a t s u m o t om e t r i c s ( s e es e c t i o n3 1 ，t h e ya r ea l s oc a l l e ds l o p e m e t r i c ) t h e yh a v eb e e ns t u d i e db ym a n ym a t h e m a t i c i a n sa n dp h y s i c i s t s t h i s t y p eo fm e t r i c sw e r ei n t r o d u c e db ym a t s u m o t ot og i v ea ne x a c tf o r m u l a t i o no fa m o d e ls u g g e s t e db yf i n s l e rt om a t s u m o t oi n1 9 6 9 ( 4 3 ) t h eo r i g i n a lf o r m u l ao f m a t s u m o t oi sa sf o l l o w s ： p r o p o s i t i o n1 0 1 as l o p e ，t h eg r a p ho fo 加n c t i o nz = f ( x ，) ，o ft h ee a r t hs u r f a c e i sr e g a r d e da sat w o d i m e n s i o n a lf i n s l e rs p a c ew i t ht h ef u n d a m e n t a lf u n c t i o n l ( x ，可；圣，1 7 ) = 0 1 2 ( w 一叫p ) ， w h e r eva n dwa r en o n z e r oc o n s t a n t sa n d q 2 = 圣2 + 雪2 + ( 奎厶+ y l ) l 卢= 圣厶+ 1 7 厶 t h i so li st h eu s u a li n d u c e dr i e m a n n i a nm e t r i ca n d i sad e r i v e di o ”n 卢( z ，如) = d ，( z ，y ) t h et w oc o n s t a n t sva n dw a r es u c ht h a tw ec a nw a l kvm e t e r sp e rm i n i t o nt h eh o r i z o n t a lp l a n ea n d2 wi se q u a lt ot h ea c c e l e r a t i o no f a l l i n g 2 w e a k l ys y m m e t r i cs p a c e w a sf i r s ti n t r o d u c e db ya s e l b e r g ei n1 9 5 6 h i sm o t i - v a t i o nw a st og e n e r a l i z et h ep o i s s o nf o r m u l at ow h a ti sn o wk n o w na st h es e l b e r g t r a c ef o r m u l a i nh i sp a p e r 5 5 】h ed e f i n e dan e wc l a s so fh o m o g e n e o u ss p a c e ，n a m e l y t h ew e a k l ys y m m e t r i cs p a c e sw h i c ha r es i m i l a rt os y m m e t r i cs p a c e s h eh a da l s o p r o v e dt h a tt h e r ea r es o m ee x a m p l e so fw e a k l ys y m m e t r i cs p a c e sw h i c h a r en o ts y m - m e t r i c ，s u c ha ss l ( 2 ，r ) e q u i p p e dw i t has u i t a b l el e f t i n v a r i a n tr i e m a n n i a nm e t r i c a l lr i e m a n n i a ns y m m e t r i cs p a c e sa r ew e a k l ys y m m e t r i c ，b u tt h ec o n v e r s ei sn o t t r u e ，a sp o i n t e do u ti n 5 5 f u r t h e r ，ar i e m a n n i a nw e a k l ys y m m e t r i cs p a c ei sa c o m m u t a t i v es p a c e ，i nt h es e n s et h a tt h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw h i c ha r ei n v a r i a n t u n d e rt h ea c t i o no ft h ef u l lg r o u po fi s o m e t r i e sf o r mac o m m u t a t i v ea l g e b r a ( s e e 5 5 】) t h e o r i g i n a ld e f i n i t i o no fs e l b e r ga b o u tw e a k l ys y m m e t r i cs p a c ei sa sf o l l o w s a r i e m a n n i a nm a n i f o l di sc a l l e dw e a k l ys y m m e t r i ci ft h e r ee x i s tas u b g r o u pgo ft h e f u l lg r o u pi ( m ) o fi s o m e t r i e ss u c ht h a tga c t st r a n s i t i v e l yo nma n dt h e r ee x i s t s a ni s o m e t r yfo f ( m ，g ) w i t hf 2 ga n df c f 一1 = g ，s u c ht h a tf o ra n yt w op o i n t s p ，q m ，t h e r ee x i s t sa ni s o m e t r yo fms a t i s f y i n gg ( p ) = f ( q ) a n dg ( q ) = 厂( p ) i n 8 】，j b e r n d ta n dl v a n h e c k eo b t a i n e dag e o m e t r i c a lc h a r a c t e r i z a t i o no fw e a k l y s y m m e t r i cs p a c e s n a m e l y , ar i e m a n n i a nm a n i f o l di sw e a k l ys y m m e t r i ci fa n do n l y i ff o ra n yt w op o i n t sp ，q mt h e r ee x i s t sa ni s o m e t r yf o f ( m ，g ) s u c ht h a tf ( p ) = q a n df ( q ) = p b a s e do i lt h i sc h a r a c t e r i z a t i o n ，t h e yf o u n dm a n yn e we x a m p l e so f r i e m a n n i a nw e a k l ys y m m e t r i cs p a c e s i np a r t i c u l a r ，t h e yo b t a i n e dac l a s s i f i c a t i o n o fw e a k l ys y m m e t r i cs p a c e si nd i m e n s i o n3a n d4 ( 8 ) a m o n gt h e s ee x a m p l e st h e r e a r em a n ys p a c e sw h i c ha r en o ts y m m e t r i c a tf i r s t ，p e o p l ed i dw o r km a i n l yo nt h eh a r m o n i ca n a l y s i so ft h ec o m m u t a t i v e a n ds y m m e t r i cs p a c e s ，p a r t i c u l a r l yo ns l ( 2 ，r ) l a t e r ，s o m eg e o m e t r i c a lp r o p e r t i e s o fw e a k l ys y m m e t r i cs p a c e sw e r ef o u n d n o wm a n yp e o p l eb e c o m ei n t e r e s t e di n w e a k l ys y m m e t r i cs p a c eb e c a u s ei t i ss i m i l a rt os y m m e t r i cs p a c eb u ti sd i f f e r e n t f r o ms y m m e t r i cs p a c e i n 1 0 ，t h ea u t h o rp r o v e st h a ta n ym a x i m a lg e o d e s i ci na r i e m a n n i a nw e a k l ys y m m e t r i cs p a c em u s tb eh o m o g e n e o u s ，i e ，i ti st h eo r b i to f ao n e p a r a m e t e rs u b g r o u po ft h ei s o m e t r yg r o u p r i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t ht h i s p r o p e r t yi sc a l l e dr i e m a n n i a ng o s p a c e ( 3 3 ，s e ea l s o 2 6 】) ar i e m a n n i a ng o s p a c ei sc o m m u t a t i v ea n di t sg e o d e s i cs y m m e t r i ci sv o l u m e p r e s e r v i n g ( s u c hs p a c e i sc a l l e dd a t r is p a c e s ) i n 4 0 】，t h ea u t h o rg a v es o m ee x a m p l e st os h o wt h a ta c o m m u t a t i v es p a c en e e dn o tb ew e a k l ys y m m e t r i c i n 6 2 a n d 6 3 ，t h ea u t h o r a b t a i n e dac l a s s i f i c a t i o no fr i e m a n n i a nw e a k l ys y m m e t r i cs p a c e sw i t hs e m i s i m p l e ( r e d u c t i v e ) g r o u p so fi s o m e t r i e s 3 i nt h i sp a p e rw es t u d ys o m ei n t e r e s t i n gp r o b l e m sa b o u ti n v a r i a n tf i n s l e rm e t r i c so nh o m o g e n e o u ss p a c e s a tf i r s t ，w eg i v es o m eb a s i cd e f i n i t i o n si nf i n s l e r g e o m e t r ya n ds o m ec o n c l u s i o n sa b o u tt h ee x i s t e n c eo fn o n r i e m a n n i a ni n v a r i a n t f i n s l e rm e t r i c so nh o m o g e n e o u ss p a c e s t h e nw ef o c u so nas p e c i a lm e t r i c ，i n - v a r i a n t ( q ，p ) 一m e t r i co nh o m o g e n e o u sm a n i f o l d f o rt h i st y p eo f ( q ，p ) 一m e t r i c ，t h e m i n k o w s k in o r ma tt h et a n g e n ts p a c eo fa n yp o i n ti sc a n o n i c a l l yl i n e a r l yi s o m e t r i c t ot h a to ft h eo r i g i nt h r o u g ha ni s o m e t r y t h e r e f o r em a n yp r o p e r t i e so ft h em e t r i cc a nb ed e d u c e df r o mt h ei s o t r o p i cr e p r e s e n t a t i o na tt h eo r i g i n w es h o wh o w t oc o n s t r u c ti n v a r i a n t ( o l ，p ) 一m e t r i c so nh o m o g e n e o u ss p a c e s ，w ea l s oo b t a i ns o m e c o n d i t i o n sf o rt h e mt ob eo ft h eb e r w a l dt y p eo rt h ed o u g l a st y p ea t t h el i ea l g e b r a l e v e l t h em o s ti m p o r t a n tr e s u l t i nc h a p t e r3i st h er i g i d i t yt h e o r e m ，i tt o l du s t h a tt h e r ed o e sn o te x i s t sa n yi n v a r i a n tr a n d e r sm e t r i c sw h i c hi so fb e r w a l dt y p e o nt h er e d u c t i v eh o m o g e n e o u ss p a c ew i t hp e r f e c tl i ea l g e b r a i no u rp a p e rw ed e f i n ean e wk i n do fh o m o g e n e o u ss p a c ew h i c hi sc a l l e da 伍n e w e a k l ys y m m e t r i cs p a c e i tc a nb ec o n s i d e r e da sag e n e r a l i z a t i o no fw e a k l ys y m - m e t r i cs p a c e s i ti sd i f f e r e n tf r o mw e a k l ys y m m e t r i cs p a c eb e c a u s et h e r em a yb e n or i e m a n n i a ns t r u c t u r eo ni t w 色g i v es o m ed i f f e r e n td e f i n i t i o n so fa 伍n ew e a k l y s y m m e t r i cs p a c e sa n dw ep r o v et h a tt h e ya r ee q u i v a l e n tt oe a c ho t h e r t h e nw e c h a r a c t e r i z et h e ma sw e a k l ys y m m e t r i cp a i r sw h i c ha l es i m i l a rt os y m m e t r i cp a i r s w 色w i l ls h o wt h a tt h e r ei sa1 1c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e na m n ew e a k l ys y m m e t r i c s p a c e sa n dw e a k l ys y m m e t r i cp a i r s ，i e i f ( g ，h ) i saw e a k l ys y m m e t r i cp a i r ，a n dv i sa n ya f f i n ec o n n e c t i o no ng h ，t h e n ( g h ，v ) w i l lb eaa f f i n ew e a k l ys y m m e t r i c s p a c e s c o n v e r s e l y ，i f ( g h ，v ) i sa l la f f i n ew e a k l ys y m m e t r i cs p a c e ，t h e n ( g ，h ) i sa s y m m e t r i cp a i r w ea l s og i v es o m ee x a m p l e so fa l 丑n ew e a k l ys y m m e t r i cs p a c e s w h i c ha r en o tr i e m a n n i a nb yu s i n gt h