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摘要 摘要 非线性偏微分方程的求解作为非线性科学中的前沿研究课题和热 点问题，极具挑战性。目前，虽然国内外众多学者已经提出和发展了 许多求非线性偏微分方程精确解和近似解的有效方法，但尚无统一而 普适的方法，因此继续寻找一些有效可行的方法依然是一项十分重要 和极有价值的工作。本文在对非线性偏微分方程的现有解法进行了较 为系统和深入研究的基础上，对r i c c a t i 方程方法进行了改进，简化、 丰富和发展了已有结果，对传统的f 展开法进行了归纳、修正和推广， 并应用改进的r i c c a t i 方程方法、b a c k l u n d 变换法和f 展开法研究一类 非线性波系统，不但获得了已有的结果，而且得到了许多有意义的新 解。这对于发现新的孤立子、研究孤子方程的长期动力学行为和揭示 孤子的结构必将产生积极的影响。 然而，由于偏微分方程本身的复杂性，在目前尚无求通解的手段 的前提下，能够求特解的方程只是很少的一部分，而能够精确求解的 方程更是少之又少，因此研究方程的近似解成为新的热点。随着计算 机科学的快速发展，应用计算机来给出非线性偏微分方程的解析近似 解在理论上已成为可能。本文在t t e 的框架下，运用算子理论和方法， 证明了组合k d v 方程的解算子是可计算的，从而可以在计算机上给出 该系统初值问题的解析近似解。这一工作属国内首创，极大地丰富和 发展了非线性偏微分方程解法研究的内容，具有重大的理论意义和应 用价值。 全文共分八章。首先对波问题及其求解方法与可计算理论的研究 历史和现状进行了综述；第二章介绍了孤立波的有关知识，给出了孤 立子的定义和发生机理，对目前所知道的孤立子进行了分类；第三章 江苏大学博士学位论文：非线性波系统的精确解与解析近似解 介绍了与本文相关的可计算性基本概念，给出了多种可计算空间的定 义及其相应空间上的可计算性质；第四章将传统的r i c c a t i 方程方法进 行了改进，并应用该方法研究了非线性波系统的精确解。第五章应用 b a c k l u n d 变换得到了变系数组合k d v - b u r g e r s 方程的n 类孤子解；第 六章应用f 展开法及其扩展形式得到了变系数组合k d v 方程和( n + 1 ) 维s i n e g o r d o n 方程的孤立波解；第七章运用算子方法、压缩映象原理 和t t e 理论，证明了组合k d v 方程的解算子是可计算的；最后对全文 进行了总结，并对未来的研究方向作了展望。 关键词：非线性波系统；精确解；近似解；孤立波；r i c c a t i 方程方法； 图灵机；可计算函数 i i a b s t r a c t a b s t r a c t s e e k i n gt h es o l u t i o no fn o n l i n e a rp d e ，h a so p e n e da n e wf r o n t i e ra n d h o t s p o t r e s e a r c hi nt h ef i e l do fn o n l i n e a rs c i e n c e ，w h i c hi s q u i t e c h a l l e n g i n g m a n y e f f i c i e n tm e t h o d sf o r f i n d i n g e x a c ts o l u t i o n sf o r n o n li n e a rp d eh a v ec u r r e n t l yb e e np r o p o s e da n dd e v e l o p e db yt h es c h o l a r s a th o m ea n da b r o a d t h e r ei sn ou n i v e r s a lt os o l v en o n l i n e a rp d e i ti s e x t r e m e l yi m p o r t a n ta n dv a l u a b l et oc o n t i n u et h es t u d yt oe x p l o r es o m e e f f e c t i v ea n df e a s i b l em e t h o d s t h i sd i s s e r t a t i o ni sb a s e do ns y s t e m a t i c r e s e a r c ha n do nt h e e x i s t i n gt e c h n i q u eo fs o l v i n g n o n l i n e a rp d e a m e l i o r a t i n gt h er i c c a t ie q u a t i o nm e t h o ds i m p l i f i e s ，e n r i c h e sa n dh e l p s d e v e l o pt h ee x i s t i n gm e t h o d s t h i so b t a i n sn o to n l ye x i s t i n gr e s u l t sb u ta l s o ， m e a n i n g f u ln e w s o l u t i o n sa sw e l l t h i ss u m su p ，a m e n d sa n de x t e n d st h e t r a d i t i o n a l f - e x p a n s i o nm e t h o db ye m p l o y i n gt h e a m e n d e dr i c c a t i e q u a t i o nm e t h o d ，t h eb a c k l u n dt r a n s f o r mm e t h o d ，a n dt h ef e x p a n s i o n m e t h o d t h i sw i l lu n d o u b t e d l yh a v eap o s i t i v ei n f l u e n c eo nt h es t u d yo ft h e n e ws o l i t o n s d i s c o v e r y , s o l i t a r yw a v ee q u a t i o n sl o n g t i m ed y n a m i c a l b e h a v i o r , a n dt h es o l i t o n ss t r u c t u r e h o w e v e r ，w ec a nj u s tg e tp a r to f t h es o l u t i o n sd u et ot h ec o m p l e x i t yo f t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h e m s e l v e s ，b e f o r ew ec a nb u i l dam e t h o d t oc o n s t r u c tt h eg e n e r a ls o l u t i o n so ft h e m b e s i d e st h e r ea r ej u s taf e w e q u a t i o n st h a tc a nb ee x a c t l ys o l v e d t h e r e f o r e ，s e e k i n gt h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o n so ft h e s ee q u a t i o n sb e c o m e sah o ts u b je c t t h i s ，a c c o m p a n i e db y t h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rs c i e n c e ，m a k e si tp o s s i b l et os e e ka n a l y t i c a l a p p r o x i m a t es o l u t i o n so f n o n l i n e a rp d eb yc o m p u t e r i nt h ef r a m eo ft t e ， t h i sw o r kp r o v e st h a tt h er e s o l v e n to p e r a t o ro f c o m p o u n dk d ve q u a t i o n i sc o m p u t a b l e t h e r e f o r e ，o n ec a ng i v et h ea n a l y t i c a la p p r o x i m a t es o l u t i o n s o ft h es y s t e m si n i t i a lv a l u e sp r o b l e m sb yu s i n gac o m p u t e r t h i sw o r k i i i 江苏大学博士学位论文：非线性渡系统的精确解与解析近似解 e n r i c h e sa n d d e v e l o p st h ec o n t e n t so f n o n l i n e a rp d es o l u t i o na n dh a sg r e a t t h e o r e t i c a ls e n s ea n da p p l i c a t i o nv a l u e s t h i sw h o l ew o r ki sp r e s e n t e di n8c h a p t e r s f i r s t l y , a l lo v e r v i e wi s g i v e no nt h ew a v ee q u a t i o ni s s u e ，i t ss o l u t i o n ，a l o n gw i t ht h eh i s t o r i c a la n d p r e s e n ts t u d i e so fc o m p u t a b i l i t yt h e o r y i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h e s o l i t a r yw a v e ，i t sd e f i n i t i o na n dg e n e r a t i o nm e c h a n i s ma n dc l a s s i f yt h e s e s o l i t o n st h a ta r ek n o w nu pt on o w c h a p t e r3p r e s e n t st h eb a s i cc o n c e p t s r e l a t e dt ot h i sw o r ka n dp r o p o s e ss e v e r a lb a s i cc o n c e p t sa n dc o m p u t a b i l i t y p r o p e r t i e so nc o m p u t a b i l i t ys p a c e c h a p t e r4a m e n d st h et r a d i t i o n a lr i c c a t i e q u a t i o nm e t h o da n ds t u d i e s t h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n s ，b yu s i n gt h ea b o v em e t h o d c h a p t e r5u s e sb a c k l u n dt r a n s f o r m ， n + 1s o l i t o ns o l u t i o n so fc o m p o u n dk d v - b u r g e r se q u a t i o nw i t hv a r i a n t c o e f f i c i e n t sa r eo b t a i n e d c h a p t e r6g i v e st h es o l i t a r yw a v es o l u t i o n so f c o m p o u n dk d v - b u r g e r se q u a t i o nw i t hv a r i a n tc o e f f i c i e n t s a n dn ，+ 1 d i m e n s i o n a ls i n e - g o r d o ne q u a t i o n i nc h a p t e r7 ，w ep r o v et h er e s o l v e n t o p e r a t o ro fc o m p o u n dk d ve q u a t i o n i s c o m p u t a b l ev i a t h eo p e r a t o r m e t h o d ，c o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e a n d ，r t et h e o r y f i n a l l 5w e s u m m a r i z et h ew h o l er e s e a r c ha n dg i v ea no u t l o o ki nt h ed i r e c t i o no ft h i s r e s e a r c h k e y w o r d s ：n o n l i n e a rw a v es y s t e m ；e x a c ts o l u t i o n ；a p p r o x i m a t es o l u t i o n ； s o l i t o n ；r i c c a t ie q u a t i o nm e t h o d ；t u r i n gm a c h i n e ； c o m p u t a b l ef u n c t i o n i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名：指导教师签名： 年月日年月日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年月日 第一章绪论 第一章绪论 在过去的几个世纪中，人们对线性系统已经有了深入的了解和应用，而这些 线性系统只是对复杂客观世界的近似的线性抽象和描述。在实际生活中，我们遇 到的问题往往都是非线性的，非线性现象无处不在。如粒子或晶格非简谐振动、 固体在高温或低温条件下的热胀冷缩现象、非线性等离子振荡、浅水波在狭窄河 道中的传播等，同时在激光和非线性光学、固体物理、原子物理、天体物理、量 子场理论、生命科学和高分子材料等领域也都蕴含着非线性作用。世界在本质上 是非线性的，过去人们在遇到非线性问题时感到头痛，经常采用的策略便是忽略 非线性项，从而将一个复杂的非线性问题纳入到线性理论的框架中，其结果是涉 及很多复杂问题本质的非线性规律被抹杀或掩盖了，导致问题的本质和特征无法 被揭示，大大阻碍了科学的发展。 继牛顿力学和量子力学之后发展起来的非线性科学正在改变人们对世界的看 法，形成一种新的科学观点，促进了一大类新兴学科的诞生和发展。非线性科学 就是近三十多年来在综合各门以非线性为特征的科学研究基础上逐步形成的、旨 在揭示非线性系统的共同特征和运动规律的一门跨学科的综合性科学，已成为当 代自然科学的前沿学科。在非线性科学中，非线性波方程的研究非常活跃。非线 性波方程本身蕴涵着许多丰富的未被发现的复杂而奇妙的现象，因而受到数学界 和物理学界的充分重视。多年来，许多数学家、物理学家为此做了大量的工作。 本文将在前人工作的基础上，重点研究一类非线性波系统的精确解和近似解。 1 1 波问题的研究概述 为了从理论上了解波现象，以及解决出现的实际问题，数学的概念及其技巧 己经有了相当丰富的发展。广义地讲，如果一个方程具有能描述波现象的解，那 么这个方程就被称为波方程。一般情况下，波方程同时含有时间和空间变量，因 此它是一类重要的时空动力学系统。早期，由于人类认识的局限、研究手段的限 制和处理实际问题的要求精度不高，往往将一个实际的波问题进行简单的和理想 化的假设，从而得出较容易研究的线性化模型，如弦振动方程、热传导方程等。随 着人类认识的深入和科学技术水平的提高，人们越来越发现用线性化模型已不能 江苏大学博士学位论文：非线性波系统的精确解与解析近似解 完全反映客观的真实世界的波问题，应该取而代之为各种不同的非线性模型，即 非线性波方程，也称为非线性演化方程( n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ) 1 2 】。通常 非线波方程包含非线性常微分方程，非线性偏微分方程，非线性差分方程( 又称为 非线性映射或非线性迭代，它通常是非线性常微分方程或偏微分方程的离散形式) 和函数方程( 一个函数自身或多个函数之间满足的一个代数关系式) 。著名的k d v 方程、b u r g e r s 方程、k d v - b u r g e r s 方程、s i n e g o r d o n 方程和非线性s c h r o d i n g e r ( n l s ) 方程等都是典型的非线性波方程，这类方程常常具有孤立波解。孤立波在形态上 是存在于自然界里的相干结构( 或称拟序结构) 。它是一种行波，既可以速度v 在 空间传播，又可以处于静止状态。孤立波理论是非线性科学的重要组成部分，可以 广泛的应用于众多的自然科学领域，如光纤通信、等离子体、基本粒子、流体物 理、固体物理、超导、激光物理、生物物理、凝聚态物理、场论、天上涡旋星系 的密度波、海上冲击波、结构相变、液晶、气象学、化学、生命科学、微分几何 等。因此，对孤立波的研究具有重要的理论和实际意义。下面我们仅就与孤立波( 子) 的有关研究情况作一总结。 最早讨论孤立子问题的是苏格兰海军造船工程师罗素( j o h ns c o t t r u s s e l l ，1 8 0 8 1 8 8 2 ，图1 1 ) 。1 8 3 4 年8 月当他牵引着船舶在爱丁堡格拉斯哥运 河中进行关于船舶在运动中所受到的阻力实验时，观察到一种被他称为“孤立行 进波 的现象，这个水波长久地保持自己的形状和波速，这便是“孤立波”的原始 定义，意为：流体运动的一个稳定解。由于r u s s e l l 一直都未能建立合理描述孤立 波的数学模型，因而他的学说未能使物理学家们信服，包括当时对波问题颇有造 诣的英国天文学家g e o r g eb i d d e l la i r y 和英国流体力学家g e o r g eg a b r i e ls t o k e s 。 在此以后有关孤立波的问题引起了广泛的争论，争论的主要问题有三个，一是一 个完整的孤立波为什么会全部在水面之上，而不是一部分在水面上，一部分在水 面下；二是为什么传播时振幅不会衰减；三是为什么波速只与波在水面上的高度 和水深有关，这些结论与传统的研究结果不符。这一争论延续到1 9 世纪7 0 年代 才初步得到解决，1 8 6 2 年和1 8 6 5 年b a z i n ，h e 对孤立波进行了一系列的实验，证 明了r u s s e l l 工作的正确性。当然相关的数学模型仍然没有找到，直到1 8 9 5 年， 荷兰阿姆斯特丹大学k o r t e w e g 教授和他的学生d ev r i e s 在小振幅与长波假设下， 从流体动力学中导出了单向运动的浅水波方程： 第一章绪论 鲁刊3 匡川a ( i 1q 2 + 知+ 喜仃等) 这里7 7 为波峰高度，为水深，g 为重力加速度，口是与液体均匀运动有关的 常数，盯是由盯：，、1 _ l s 一一t 定义的常数，丁是毛细管现象的表面张力，p 是液体的 3 ) g 密度。由变换：r = 吉吾，x = 一砉，“= 圭7 7 + 喜口，同时省去撇号即可得著名的 k d v 方程：甜，+ 6 u u ，+ u x x x = 0 。在波长趋于无限的情况下，该方程的一个解： “。( x ，f ) = 要s e c 厅2 俘( x 一订) ) ( 图1 2 ) 被后人称为钟型孤立子解。正是r u s s e l l 所 发现的孤立波，k d v 方程的提出，从理论上阐明了孤立波的存在，从而为这场争 论画 = 了圆满的句号。 “? 、“ r 卜 q 1 图1 1 罗素像 图1 2 钟型孤立子u l 然而，k o r t e w e g 和d ev r i e s 的工作并没有引起人们的重视，原因是许多人认 为，这种行波不过是偏微分方程的特殊解，在特殊初始条件下可以得到它，在初 值问题的讨论中是微不足道的。另外由于非线性相互作用，碰撞后两个孤立波的 形状很可能会被破坏殆尽，因而认为这种波“不稳定 ，研究它没有什么物理意义。 另一个问题是r u s s e l l 所描述的孤立波是否在流体力学以外的其它物理领域中存 在? 于是，孤立波解的研究乃告搁浅。直到1 9 5 5 年，物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 提出了著名的f p u 问题，即用计算机计算了一维非线性晶格在各个振动模之间的 转换，发现在足够长的时间后能量又似乎回到了开始的分布。这一发现说明了经 典统计力学的“任何弱非线性作用必将导致系统由非平衡状态向平衡状态过度” 的能量平衡观念的错误性，才使得关于孤立波解的研究出现了新的局面。由于f p u 问题是在频域里考察的，因此未能发现孤立波。后来t o d a 研究了这种模式的非线 性振动，得到了孤立波解，使f p u 问题得到圆满解答，从而激发了人们对孤立子 江苏大学博士学位论文：非线性波系统的精确解与解析近似解 研究的兴趣。 1 9 6 0 年，g a r d n e r 和m o r i k a w a 在对无碰撞的磁流波的研究中重新发现了k d v 方程，随后，在物理的许多领域里都得到了k d v 方程，诸如分层内波( s t r a t i f i e d i n t e r n a lw a v e s ) ，离子声波( i o n a c o u s t i cw a v e s ) ，等离子物理( p l a s m ap h y s i c s ) ，晶格动 力学( 1 a t t i c ed y n a m i c s ) 等。 19 6 2 年，p e r r i n g 和s l ( ) r r m e 在研究基本粒子模型时对s i n e g o r d o n 方程进行数 值模拟实验，结果表明孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变。 19 6 5 年美国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 对k d v 方程的孤立波解进行数值模拟， 他们发现两个孤立波碰撞之后能相互穿透，且各自的运动方向和大小形状都保持 不变。这种性质与物理中粒子的性质类似，因此他把这种孤立波称为孤立子 ( s o l i t o n ) ，从而首次引入“孤立子”概念。同时他们在详细考察了等离子体中孤立波 的相互碰撞过程后，进一步证实了孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变的论断， 并把孤立子的具体性质描述为：( 1 ) 能量比较集中；( 2 ) 相互碰撞时具有弹性散 射现象；( 3 ) 处处正则。从此相关的研究工作便一发不可收拾。 1 9 6 5 年后孤立子理论得到了蓬勃的发展，七十年代初，i k e z i ，t a y l o r 和b a k e r 等人就在水箱实验中亲眼看到浅水波的k d v 型孤立子的传播，并和计算机的计算 结果一致；在激光打靶中人们也观察到由于坍塌出现的涡旋型孤立波的传播以及 激光光束在非线性介质自聚焦时产生的孤立子，最近美国新泽西卅i 荷尔姆戴贝尔 电话实验室的l e m o l l e n a u e r , r h s t o l e n 和e g o r d o n 在石英蕊光纤材料中观察到了 光脉冲型孤立子的传播，这个结果和j s a t s u m a , n y a j i m a 的数值计算结果相吻合。 此外，在其它众多的自然科学领域也相继发现了许多形形色色的孤立子现象。 在我国，孤立子理论的研究开始于2 0 世纪7 0 年代。当时，杨振宁、李政道、 陈省身教授等回国讲学时，向国内同行介绍孤立子理论的研究进展，并指出它的 重要性。随后在中国科学院和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。 曾于1 9 8 0 年在厦门，1 9 8 6 年在上海分别召开了小型讨论会，推动了孤立子理论的 研究活动。关于孤立子的著作可参见 3 8 】。目前，我国已先后在宁波大学、西北 大学、徐州师范大学等高校举办了七届全国孤立子会议，每年一届，第八届孤立 子会议将于2 0 0 8 年8 月份在浙江师范大学举行。 第一章绪论 1 2 求解非线性波方程的解析方法 非线性波理论的发展中遇到的一个很大的障碍是波动方程的求解困难，这首 先归因于非线性问题的本身。线性问题和非线性问题的本质上的差别就是线性问 题的任意两个解可以加在一起构成一个新解，然而在非线性问题中，两个解不能 加在一起构成一个新解，即叠加原理失效。这使得与叠加有关的经典方法，如 f o u r i e r 变换方法和l a p l a c e 变换方法等都不能适用于非线性问题。非线性问题不 得不整体地考虑，不能象线性问题那样分成许多小问题来进行处理。因此对非线 性方程没有通用的系统的解析方法，只能采取“对症下药 的方法。近年来发展 起来的孤立子理论，在求解非线性方程( n e e ) 方面已有了很多有效方法： 19 6 7 年，g a r d n e rg r e e n ek r u s k a l 和m i u r a ( g g k m ) 发现反散射方法。把k d v 方程 的初值问题和一维s c h r o d i n g e r 方程的反散射问题联系起来，现代意义上 的孤立子理论才真正产生。 1 9 6 8 年，l a x 引入l a x 对，将孤立子演化方程的求解问题和求l a x 对的问题联 系起来，推广了g g k m 方法，使之能解初值问题。 1 9 7 1 年，h i r o t a 提出h i r o t a 方法( 用双线性变换构造n 孤子解和b t ) 。 1 9 7 2 年，人们找到了非线性s c h r o d i n g e r 方程的l a x 对，首次求出了该方程的孤立 子解。同年，m w a d a t i 求得m k d v 方程的精确解。 1 9 7 3 年，s c o t t ，c h u ，m c l a u g h l i n 发表综述文章，在电子、光学界普及了孤子知 识。同年，a h a s e g a w a 和t a p p e r t 预言光纤孤子的存在性。 1 9 7 5 年，k r u m h a n s l 和s c h i e f f e r 开始研究了孤波的统计力学。 1 9 7 5 年，w a h l q u i t 和e s t a b r o o k 以外微分形式为工具提出延拓结构法。 1 9 8 6 年，谷超豪从d a r b o x 矩阵出发构造出k d v 方程族的b t 。 1 9 8 9 年，c l a r k s o n 和k r u s k a l 提出对称约化的c k 直接法( 涵盖了群论的方法) 。 1 9 9 1 年，李翊神、楼森岳提出直接变量分离法。 1 9 9 2 年，c o n m 和m u s e r e 提出r i c c a t i 方程法。计算机代数出现后，尤其是吴文 俊为数学机械化所做的革命性工作以来，对于( n e e ) 精确解的研究焕发 了勃勃生机。已能解决包括可积和不可积系统在内的许多方程。 19 9 6 年，p a r k e s 和d u f f y 基于用t a n h 函数法解( n e e ) 给出m a t h e m a t i c a 软件包。 1 9 9 6 年，王明亮提出齐次平衡法。 江苏大学博士学位论文：非线性波系统的精确解与解析近似解 2 0 0 0 年，范恩贵提出直接代数法，对t a n h 函数法进行了推广，给出了求多孤子解 的相似约化、b t 和孤波解的直接法。 2 0 0 0 年，楼森岳等基于多变量分离法给出折叠子的定义和激发模式。随后，高以 天和田畴研究了变系数( n e e ) ，得到了类孤子解。 2 0 0 5 年，张鸿庆等推广了r i c c a t i 方程法。 2 0 0 6 年，我们将张鸿庆等的结果做了简化和推广。( 物理学报2 0 0 6 5 5 ( 1 1 ) ) 目前，基于齐次平衡原则和m a t n e m a t i c a m a p l e m a t l a b 软件，主要有如下方 法：p a i n l e v e 截断展开法、c k 直接法、l i e 群法、t a n h 函数法、推广的t a n h 函 数法、三角函数法、j a c o b i 椭圆函数法、齐次平衡法、a d o m i a nd e c o m p o s i t i o n 法、 f 展开法、r i c c a t i 方程法、反散射方法、b a c k l u n d 变换法、h i r o t a 双线性函数法、 d a r b o x 变换法、小参数法、变分法、不变量法、同伦分析法、各种微扰法以及其 它各种形式的拟设法等。这些方法可以归为三大类：直接拟设法；间接拟设法和 分离变量法。新的方法还在不断涌现，是对传统方法的修正和发展，构造更加精 巧，适用范围更加广泛，能获得的解更多。数学的发展史告诉我们，往往是方法 越简单，威力越强大，当然所蕴涵的数学原理也越丰富，求解也必然会从单个方 程走向一类方程、从单个解走向一类解、从常系数走向变系数、从低维走向高维、 从低阶走向高阶。在孤立子的类型上也由传统的拓扑型孤立子和非拓扑型孤立子 进一步细分为多种类型，至今为止人们已经发现了包括：( 明，暗) 钟型孤立子、( 反) 扭型孤立子、奇异型孤立子、紧孤子、尖峰孤子、呼吸子、类孤子、n 孤子、( 多) 线孤子、团孤子、峰孤子、方形孤子、棱形孤子、( 似) 瞬子、折叠子、光孤子、 激子孤子、声子孤子、磁子孤子、质子孤子、液晶孤子、分子孤子、涡旋孤子、 水孤子、m 型孤子、w 型孤子等在内的形形色色的孤立子。随着研究的深入， 新的孤子结构还将不断涌现，这对我们进一步深入了解和研究非线性科学必将提 供新的视角。 当今是非线性时代，大量的非线性问题不断出现在生产实践中，这迫切要求 我们不断提高解决非线性问题的方法和手段。因此继续探索和寻找求解非线性波 方程的有效方法仍然是一项重要而艰巨的工作。 6 第一章绪论 1 3 求解非线性波方程的近似方法 能够精确求解的方程毕竟是少数，为了研究方程本身所蕴含的丰富特征，人 们不得不采取近似求解的方法，先后发展了a d o m i a n 分解法【9 1 0 】，p a d s 逼近法 【1 1 】来近似求解非线性波方程，最近何吉欢把同伦扰动【1 4 】和变分迭代的方法 【1 2 1 3 】应用于波方程的求解中，廖世俊等 1 5 1 6 】把同伦分析法应用于波方程的近 似求解中，w c i h r a u c h 等 1 7 建立了一套索伯列夫空间上的可计算性理论，并运用 图灵机得到k d v 方程初值问题的近似解，这些都取得了不错的效果。 可计算性理论是计算机科学的理论基础之一，它是通过建立计算的数学模型 ( 例如抽象计算机) ，精确区分哪些是可计算的，哪些是不可计算的。计算的过程 就是执行算法的过程。可计算性理论的重要课题之一，是将算法这一直观概念精 确化。算法概念精确化的途径很多，其中之一是通过定义抽象计算机，把算法看 作抽象计算机的程序。通常把那些存在算法计算其值的函数叫作可计算函数。因 此，可计算函数的精确定义为：能够在抽象计算机上编出程序计算其值的函数。 这样就可以讨论哪些函数是可计算的，哪些函数是不可计算的。 可计算性理论起源于对数学基础问题的研究。二十世纪3 0 年代初，k g o d e l 率先提出“原始递归函数”就是可计算函数。不久人们就发现了一个用多重递归 定义的函数不是原始递归函数。于是，数理逻辑学家又在原始递归函数的定义中 加了一个“极小 算子，由此定义了广义递归函数的概念。1 9 3 6 年，a t u r i n g 在 著名文章 1 8 中提出要用可计算无穷二进制小数来表示可计算实数，并且把一个 问题的可计算性描述为在具有严格定义的理想计算机( 后人称之为图灵机) 上的可 解性。1 9 5 5 年，波兰逻辑学家a g r z e g o r c z y k 在文章 1 9 中提出了可计算实函数的 概念。它主要包括两个基本特征( 1 ) f ：o ，1 1 一r 是可计算的当且仅当厂具有一致 连续的模函数并且它把一个可计算的序列映射为另一个可计算的序列，这已经由 p o u r - e 1 和r i c h a r d s 推广到了可计算b a n a c h 空间 2 0 。( 2 ) 单调可计算函数把有理 区间映射为另一个有理区间，这成为区间分析 2 1 - 2 2 的可计算背景( 区间分析主 要研究一些空间，例如：实数空间上的可计算性 2 3 2 8 ) 。1 9 5 7 年，a g r z e g o r c z y k 又在 2 9 中给出了 1 9 的几个等价定义。可计算实函数概念暴露了c h u r c h 论断的 局限性( 它对实数集合上的函数均无效) ，所以一些科学家试图对其进行推广。1 9 7 5 江苏大学博士学位论文：非线性波系统的精确解与解析近似解 年1 9 9 5 年，a b o r o d i n ，i m u n r o ，l b l u m ，m s h u l ，s s m a l e ， e e p r e p a r a t a ， m i s h a m o s ，j f t r a _ u b ，g w w a s i l k o w s k i ，h w o z n i a k o w s k i ，e n o v a k 等人在文献 3 0 一3 4 中提出了“r e a lr a m 模型，但是几乎所有的“r e a lr a m 函数都不是连 续的，例如最基本的正弦函数和指数函数都不是r e a lr a m 可计算的。1 9 9 6 年， p h e r d i n g ，e h e r t l i n g v b r a t t k a 在文献 3 5 3 6 中对“r e a lr a m ”模型进行修改，使 其能够在数字计算机中实现，其中判别函数“x 0 ”用无限近似来表示。 a s t r o e l s t r a d v a nd a l e n 3 7 ，b i s h o p 3 8 ，c e i t i n 3 9 ，h a u c k 4 0 ，k o 4 1 等人也 建立了一些可计算模型，但是看似直观的定义却彼此不等价，这些工作并没有得到 大多数数学家的承认。然而，可计算性理论中的基本思想、概念和方法，被广泛 应用于计算机科学的各个领域。建立数学模型的方法在计算机科学中被广泛采用。 递归的思想被用于程序设计，产生了递归过程和递归数据结构，也影响了计算机 的体系结构。 目前，方程的计算机求解引起了人们的极大关注，物理学家认为，一个给定 初值的物理方程，它所反映的系统随时间的变化情况是可以被计算机以任意精度 所描述，至少在图灵机上应该如此。但是，是否所有的方程都可以在计算机上实 现? 这是一个难以回答的问题。近年来，许多从事计算机科学和应用数学研究的 工作者为此做了大量的工作。在文献 4 2 - 4 5 中，k l a u sw e i h r a u c h 和n i n gz h o n g 在 t t e 的框架下，建立了一套索伯列夫空间上的可计算性理论，并证明了k d v 方程 的解算子是图灵可计算的。因此，从理论上来说，可以运用图灵机来得到k d v 方 程初值问题的任意精度的解析近似解，从而为研究系统的各种特性及其应用提供 了有力的工具。随着计算机科学的快速发展，应用计算机来给出更多的非线性偏 微分方程的解析近似解己成一项意义重大且非常迫切的工作。 1 4 本文的主要内容及特点 本文以带强迫项广义变系数组合k d v - b u r g e r s 方程 2 t + 历( f ) “p 叱+ c t ( t ) u u , - a ( t ) u 。+ ( ，) = r ( t )( 1 4 1 ) 为主要研究对象，研究一类非线性波动系统的精确解和近似解，并研究了几个类 似非线性波系统的精确解问题。当p = 2 时，( 1 4 1 ) 且l j 为带强迫项变系数组合 k d v - b u r g e r s 方程；当p = 2 ，( f ) = r ( t ) = 0 时，( 1 41 ) 即为变系数组合k d v 方程； 第一章绪论 当m ( t ) = r ( t ) = 0 ，c t ( t ) ，( f ) ，f l ( t ) 为常数时，( 1 4 1 ) 即为k d v - b u r g e r s 方程； 当 m ( t ) = r ( t ) = f i t ) = 0 ，口( ，) ，8 ( t ) 为常数时，( 1 4 1 ) 即为著名的k d v 方程。 全文共分八章，各章的内容安排如下： 第一章在对波问题及其求解方法与可计算理论的研究历史和现状进行综述的基 础上提出了本文的主要工作。 第二章介绍了孤立波的有关知识，给出了孤立子的定义和发生机理，对目前所 知道的孤立子进行了分类。 第三章介绍了与本文相关的可计算性基本概念，给出了多种可计算空间的定义 及其相应空间上的可计算性质。 第四章将传统的r i c e a t i 方程法进行了改进，并应用该方法研究了一类非线性波 系统的精确解。 第五章应用b a c k l u n d 变换得到了变系数组合k d v - b u r g e r s 方程的n - 类孤子解。 第六章应用f 展开法得到了变系数组合k d v 方程和( n + 1 ) 维s i n e g o r d o n 方程 的孤立波解，并讨论了参数对孤立波的影响。 第七章运用压缩映象原理和1 v r e 理论证明了组合k d v 方程的解算子是可计算 的，从而可以用图灵机给出该方程初值问题任意精度的近似解析解。 第八章对全文进行了总结，并对未来的研究方向作了展望。 本文的研究特点主要体现在以下几个方面： 1 、研究对象具有很强的实际背景，它们在物理学、力学、光学、化学、生物 学、地理学等自然科学领域以及经济学和社会学等社会科学领域有着广泛的应用。 因此，本文的研究具有很高的实际应用价值。 2 、对r i c c a t i 方程方法进行了改进，简化、丰富和发展了已有结果。这是对寻 找非线性微分方程精确解方法的创新，是对孤子理论的重要贡献。这一改进对于 发现新的孤立子、研究孤子方程的长期动力学行为和揭示孤子的结构必将产生积 极的影响。这一改进的方法已得到了同行的应用。 3 、借助于计算机符号计算软件，应用改进的r i c c a t i 方程方法、b a c k l u n d 变换 和f 展开法研究一类非线性波系统，不但获得了已有的结果，而且得到了许多有 意义的新解。这些新解的取得为相应系统提供了更广阔的应用前景。 4 、对目前已被发现的孤子进行了分类。这将有助于构造非线性微分方程精确 9 江苏大学博士学位论文：非线性波系统的精确解与解析近似解 解方法的创新以及新型孤子的发现。 5 、证明了组合k d v 方程的解算子是可计算的。这在理论上说明了可以用图 灵机给出该方程初值问题任意精度的近似解析解，在国内首创了运用图灵机来给 出非线性偏微分方程的解析近似解的研究方向，极大地丰富和发展了非线性偏微 分方程解法研究的内容，具有重大的理论意义和应用价值。 1 0 第二章孤立波及其相关概念 第二章孤立波及其相关概念 本文寻求非线性波动系统的精确解主要为：有理分式解( 包含静态解) 、j a c o b i 椭圆函数解( 双周期解) 、三角函数解( 单周期解) 和孤立波解，重点是孤立波解。 2 1 孤立子的定义和发生机理 目前对孤立子还没有一个确切的定义。数学中，将孤立子理解为非线性发展 方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零或确定 常数的情况。换言之，孤立子指的是稳定的孤立波，且具有如下性质：( 1 ) f l 皂量比 较集中；( 2 ) 相互碰撞时具有类似粒子性质的弹性散射现象，即在与同类孤波相遇 后仍能保持其波形、速度和幅度；