数字化电能计量中数值积分算法的误差分析 .pdf

总第 4 9卷第 5 5 8期 2 0 1 2年第 6期 电测与仪表 Ele ct r ie a l M e a s ur e m e n t& I ns t r u m e nt at io n Vo 1 4 9 NO 5 5 8 J u n 2 0 1 2 数字化电能计量中数值积分算法的误差分析 潘峰 ， 孙卫明 ， 赵伟 ， 陈锐民 ， 肖勇 ， 徐雁 ( 1 广 东电网公 司电力科 学研 究院， 广州 5 1 0 0 8 0 ； 2 华中科技 大学 电气与电子工程 学院， 武汉 4 3 0 0 7 4 ) 摘 要 ： 数字化变电站 目前在 国内发展迅猛 ， 基于对数字化变 电站关键设备电子式互感器的研究 ， 本文分析 了最常用 的数值积分算法测量 电压 、 电流及有功功率产生误差的原因 ， 给出了截断误差 、 舍人误差及 同步误差 的计算公式。文章结合数字化计量 中电子式互感器典型的非 同步采样进行了仿真 ， 理论分析和仿真结果表明 ： 数值积分算法只有在一定条件下 ， 才能满足电力计量的要求 。 关键词 ： 数值积分算法 ； 截断误差 ； 舍人误差 ； 同步误差 中图分类号 ： T M9 3 3 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1 0 0 1 1 3 9 0 ( 2 0 1 2 ) 0 6 0 0 2 3 0 6 Er r o r Ana ly s is o f Num e r ica l I nt e g r a t io n Alg o r it hm in Dig it a l Po we r M e a s ur e me nt I 1 1 1 1 2 PAN Fe n g， S UN W e i-mi n g， ZHAO W e i ， CHEN Ru i-min， XI AO Yo n g， XU Ya n ( 1 E le ct r ic P o w e r R e s e a r ch I n s t it u t e o f G u a n g d o n g P o w e r G r id C o r p o r a t io n ， G u a n g z h o u 5 1 0 0 8 0 ， C h in a 2 C o lle g e o f E le ct r ica l a n d E le ct r o n ic E n g in e e r in g ， Hu a z h o n g U n iv e r s it y o f S cie n ce a n d T e ch n o lo g y ， Wu h a n 4 3 0 0 7 4 ， C h i n a ) Ab s t r a ct ： T h e d ig i t a l s u b s t a t io n t e ch n iq u e h a s o b t a in e d r a p id p r o g r e s s a t h o me B a s e d o n t h e k e y p r ima r y e q u i p me n t ， s u ch a s e le ct r o n ic i ns t r u me n t t r a n s f o r me r ， t h e pa pe r i n t r o du ce d t h e p r i n cip le o f nu me r i ca l in t e g r a t i o n a lg o r it h m， a n a ly z e d t h e ca us e o f e r r o r i n t h e me a s ur e me n t o f r ms a n d a ct i v e p o we r ， a n d g a v e t h e f o r mula s o f t r u nca t e d e r r o r ， r o u nd i ng e r r o r a n d s y n chr o n o u s e r r o r The p a p e r a ls o s imul a t e d t h e pr o ce s s o f no n-s y n ch r o n o u s s a mpl in g i n e le ct r o nic in s t r u me n t t r a n s f o r me r s Th e s imu la t io n r e s u lt a n d t h e o r e t ica l a na ly s i s ca me t o t he co n clu s i o n t ha t n u me r ica l in t e g r a t i o n a lg o r i t h m ca n s a t i s f y t he h ig h a ccur a cy r e qu e s t o n ce r t a i n co nd it i o n Ke y wor ds： nu me r i ca l in t e g r a t io n a lg o r it h m， t runca t e d e rro r ， r o un d in g e rro r ， s y n chr o n o us e r r o r 0引 言 电力计量是在 电力系统正常运行情况下高准确 度测量各电参量 ， 为 电力系统运行调控和电力市场电 力交易提供可靠的依据。电力计量已经历感应式 、 机 电式 、 电子式 的发展过程l 1 。 随着电力市场对 电能计量 要求 的提高及数字化变电站的推广 ， 数字式电能计量 仪器的推广应用指 日可待2 - 3 。 数字式电能计量仪器以微处理器为核心 ， 利用模 数转换器对来 自电流 、 电压互感器 的电流和电压信号 进行数字化控制 、 处理 。 数字式电能计量是顺应数字 化变电站发展 的必然结果 ，在全数字化变 电站 中， 采 样单元一模数转换器 已前移至电子式互感器内 ， 计量 r 0 1 仪器不能或不便对采样 的时 间和间隔进行调控 。 在保证 电子式互感器采样准确度 的前提下 ， 数字 电能 计量的算法显得尤其重要 。 根据电力系统计量与保护的不 同要求 ， 已有多种 算法被提出或应用 。本文根据数字化变电站对计 量 的要求 ， 对最常用的数值积分算法误差进行理论分 析和仿真计算。 1 数值积分算法误差的理论分析 设被测电压 、 电流 、 有功功率分别为 ： u ( t ) = U ( )rn s in t o t 1 i( t ) = I m s in W t ( 2 ) 1 1 P ( ) = I M ( t ) i( t ) d t ( 3 ) J 0 对上式离散化 ， 理想的有效值分别为 ： 一 2 3 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 总第 4 9卷第 5 5 8期 2 0 1 2年第 6期 电测与仪表 Ele c t r ic a l n e a s ur e me nt& I ns t r u m e n t a t io n Vo 1 4 9 NO 5 5 8 J un 2 0 1 2 - 嚣 k ， -1 专 N - I ( 4) ( 5 ) ( 6 ) 式中 2 为信号周期； 为每周期等间隔采样的 点数， 、 为第k 次采样值。 对建立在数学模型上 的算法 ， 其误差通常需考虑 截断误 差和舍入误差 。 当数值积分算法用于电力 参数计算时 ，还需要考虑实际非理想情况 引入的误 差 ；在实际计量过程 中电力系统 的频率允许 1 的 波动 ， 由于电子式互感器采用 固定问隔采样 ， 信号频 率 的波动将导致非同步采样 ， 进而产生同步误差 。 下面对三种误差的来源和大小进行理论分析。 1 1 截 断误 差 截断误差是对难 以求解的数学问题 ， 通过近似替 代 ， 简化为较易求解的问题而引起的误差。下面以电 压有效值的计算为例分析截断误差。 对电压有效值计 算式使用复化求积的梯形公式， 可得： 瓣 2 Uo-FUN (7 ) 式中 为被测信号一个周期内均匀采样的点数； U o 和 分别为本周期第1 点和第k 点采样值； U N 为下周期第 1 点采样值 ； E 为积分离散而产生 的截断误差 ； r 为舍入 误差 。 若“ 。 = “ ， 则式 ( 7 ) 中除去误差E 和r 的部分将与式 ( 4 ) 相同 。因此可通过对式( 7 ) 误差 的估算来获得式 ( 4 ) 的截断误差。文献 1 3 给出了误差E的详细推导 过程 ，这里仅列出其关键步骤。对周期为 2 的电 压信号I t = U m s in w t ， 定义积分式 ： 1 r ， = j ( ) d t ( 8 ) J 0 其在2 1 T 区间内的截断误差为 ： 2 N e=一 2 m c o s 2 t ( 9 ) 3 N 式中 t i 为第 点的采样值 ， 并在( 0 2 1 T ) 内均匀取点。 对 于理想采样情况 ： 波形为标准正弦， 没有畸变 ； 采样时 一 2 4 一 间 间隔 在整 个采样 周期内 相等， 求和 算式c o s 2 t 的 值应该为0 。但实际的电力系统信号存在频率波动和 不同程度的波形畸变 ， 采样问隔也不绝对相等 ， 因此 _ v 和 式不为 o ， 需 要对 其进 行 估算。 求和 算式c o s 2 t 中 既有正值 ， 又有负值 ， 并有一部分相互抵消 ， 对求和算 式进 行保守 处理， 2 c o s 2 t i = - 0 5 ， 则c o s 2 t = 一 0 5 N ， 代入式( 9 ) ， 整理得截断相对误差为： 一 2 E = ( 1 0 ) U 3 N 由上式可知， 截断误差与采样点数 的平方成反 比， 越大准确度越高 ， 根据式 ( 1 0 ) ， 表 1 列出了一些 典型采样 点数1 直对应的截断相对误差 表1 常用的 值与对应的电压截断相对误差 Ta b 1 Re la t iv e t r u n c a t e d e r r o r o f v o lt a g e v e r s us N 可见典型采样点数2 值对应的截断和对误差。当 每周期采样点数取6 4 时， 截断误差已降至0 1 以下。当 信号 中存在一定程度 的谐波分量时， 上述分析仍然成 立 。电流有效值的截断误差分析同电压。 采用同样分析方法可得有功功率的相对截断误 差为 ： ， ) 2 E 一 ( 1 1 ) 3 N c 0 s 根据式 ( 1 I ) ， 表2 列 出了一些典 型采样 点数 值 对 应的有功功率截断相对误差 ，分别考虑c o s = 1 ， c o s = O ： 8 ( C) ， c o s = 0 5 ( L) 三种典型情况。 表2 常用的值与对应的有功功率截断相对误差 Ta b 2 Re la t i v e t r u n c a t e d e r r o r o f a c t iv e p o we r v e r s u s N 可见， 当每周期采样点数取1 2 8 H ， 对应误差可降 至0 1 以下 。 1 2 舍 入误 差 舍人误差是 由于计算机的字长有限， 在计算过程 中对数据进行了某种规则的近似而引起的。 当采用数 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 总第 4 9卷第 5 5 8期 2 0 1 2年第 6期 电测 与仪表 Ele c t r ic a l Me a s u r e me n t & I n s t r u me n t a t io n Vo 1 4 9 NO 55 8 J un 2 01 2 值积分算法计算有效值时 ， 需进行平方 、 除法和开平 方运算 ， 会产生不 同的舍人误差。以目前广泛应用 的 典型定点 1 6 位D S P 为例分析。 平方运算 舍人 误差 为半个最低 有效位 0 5 L S B， r 2 ： ：0 0 0 08 2 2 定点D S P 进行浮点运算时速度较慢 ， 常将采样点 数取为2 的整数次方 ， 1 6 4 点 ， 将除法运算转化为右移 运算 ， 此时最大误差为一个L S B ， 即r 2 fl _ 2 u _ 0 0 0 1 5 。 文献 1 4 7 介绍 了一种通过乘法和移位的方式进 行快速开平方的算法 ，较牛顿迭代法速度快很多 ， 适 合定点D S P 使用 ， 其误差也为一个最低有效位。 从 以上分析可以看到 ， 当选择较高位数的处理器 ( 如l6 位及 以上 )和适 当的算法时 ，舍人误差相对很 小 ， 对0 2 级的计量准确度可忽略不计。 1 3 同步误差 在电力系统信号频率波动的情况下， 无论是硬件 同步采样 ， 还是软件实现 的同步采样措施 ， 都不可能 做到理想同步 ， 即整周期采样 ， 周期误差总是存在的。 设 为被测信号的周期 ， 为采样间隔 ， v 为每周期等 间隔采样的点数 ， 则周期误差 定义为 ： 7 1 x 一 、 ， ( 1 2 ) 周期误差一方面来 自于信号频率 的变化 ， 另一方 面是 由于C P U 计数器的计数周期不能无限小 ， 必须是 整数而引入 的。随着C P U 工作频率的提高 ， 后者会相 应减小 ， 而且后者与实际信号频率的变化相比影响小 得多 ， 所以 ， 在此主要分析信号频率变化的影响。 设被测信号为u ( t ) = U m s i n ( T s i + a ) ， 采样起始点的 位置角为O g ， 则各采样点的位置为( 均以弧度为单位 ) ： C O t = T s i+ e e ，( i= 0 ， 1 ， 2 ， ， N一1 ) ( 1 3 ) 各点的瞬时采样值为u ( t ， ) = U , n s in ( T s i+ a ) ， 代入有 效值计算式 ( 4 ) 中有 ： ： 2 i n ( T s i + ) V t = O 1 一c o s ( 2 T s i + 2 o ) 台 【 J ：V m 1 + 2 【 s in ( AT ) c o s ( 2 O t AT - ) Ns i n ( 1 4 ) ， ： s in ( A T ) c o s ( 2 o - A T - T s ) ( 1 5) 式 中 ， 按式 ( 4 ) 计算得到因非 同步引起 的绝 、 2 对误差和相对误差分别为 ： U=U 一 U ： ( ，+ si n ( A T )co s (2 a - a T - 一T s ) 一 - )( 6 ) 6 v = z I U ： 1 4 si n ( A T )c s( 2 a - A T T s) lN si n T s - 1( 1 7 ) 可见 ， 同步误差不仅与周期误差有关 ， 还与采样 起始点的位置 有关 。电流有效值的同步误差分析同 电压。 对于电压 ( 电流 ) 测量 ， 由式 ( 1 6 ) 和( 1 7 ) 可知 ， 当 第一个采样点位置满足： + + + ( 1 8 )O r - + + + _ 二 L 式中m 为整数 ， 此时对应的同步误差为零 。 设被测 电压为U ( t ) = U s in co t 、电流分别为i ( t ) = ；s i n ( CO t 一 ) ， 为功率因数角， 电压的起始位置角为O ， 周期误差同前 ， 则电压 、 电流瞬时值为 ： u( t ) = U m s in ( T s i+ O ) ( 1 9 ) i( t ) = s in ( + 一 ) ( 2 0 ) 代入有功功率计算式有 ： ( ) l ， c o s - c o s ( 2 a+2 iT s - q ) 台 一 ： 一 R 。 。 2 一 一 ：G * m c。s 1 +一 s in ( A T ) c o s ( 2 o t - q - A T - T s ) ( 2 1 ) = cO s i l + 一 1， 2 Ns in T s c o s 则有功功率 因非 同步引起 的绝对误差 和相对误 差分别为 ： AP= P 一P ： P r+s in ( AT ) c o s ( 2 o t - q - AT - T s ) ( 2 21 2 2 ) =PI + ) Ns in ( ) c 0 s ：A P： s in ( A T ) c o s ( 2 a - - A T - T s )( 2 3 O ) n = = 一 P N s in ( ) c o s 对于有功功率测量， 由式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可知， 当第 一 个采样点位置满足： O r = + +里 + + ( 2 4 ) + + 一 + + 斗 ， 一 2 5一 e e r人1 一 一 一 一 lI = 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 总第 4 9卷第 5 5 8期 2 0 1 2年第 6期 电测与仪表 Ele c t r ic a l M e a s u r e me n t& I n s t r u me n t a t io n Vo i 4 9 NO 5 5 8 Ju n 2 0 1 2 式中m为整数 ， 同步误差为零。 在理论上按式( 2 4 ) 选择采样起始点 ， 可以消除有 功功率的测量误差。但实际测量中， 被测量的功率因 数往往难 以事先预知 ， 而且会有所变化 ， 同步误差难 以避免。 如果对 电压 、 电流和功率同时测量 ， 采样起始 r1 点位置还应综合考虑 。 2 同步误差仿真分析 截断误差和舍入误差在硬件选定 的条件下 为一 定值 ， 易估算。下面采用m a t l a b 软件在计算机上仿真 分析用数值积分算法获取电压 ( 电流 ) 和有功功率时 出现的同步误差。 电子式互感器典型为每周期采样8 O 个点 ， 采样问 隔2 5 0 S ， 对5 0 H z 信号而言为同步采样。当实际信号 频率在5 0 0 5 H z 范围内变化时， 采样间隔保持不变， 两极端不同步情况f - 4 9 5 Hz 、 5 0 5 H z 。 图1 所示 的五条曲线分别 为 4 9 5 H z 、 4 9 8 H z 、 5 0 0 H z 、 5 0 2 H z 、 5 0 5 H z 的电压有效值相对误差 曲线。可 以看到 ： 当同步采样时 ， 数值 积分算法计算 电压( 电 流) 有效值的相对误差为零， 与采样起始点无关。 非同 步采样时， 相对误差与采样起始点相关。 O 6 0 4 0 2 。 盎 0 2 一 04 0 6 4 9 5 H z j 、 、 H 14 9 8 H z J 、 l ， ： _ 、 r I ， 。、 ， _ r 一 ， 、 i 一 、 、 、 ， 、 、 、 、 ， 一 、 一 | 一 一 ， 、 、 丽 1 、 1 5 0 2 H 0 l8 0 3 6 0 初 始相位 角 ， ( o ) 图1 电压( 电流) 相对误差与初始相位角的关系 F ig 1 Re la t iv e e r r o r o f v o lt a g e o r c u r r e n t v e r s us in it ia l ph a s e 图2 ( a ) 、 ( b ) 、 ( c ) 分别为 4 9 5 H z 、 4 9 8 H z 、 5 0 5 H z 时有功功率相对误差 曲线 ， 分别考虑计量对应的功率 因数1 、 0 8 ( C)、 0 5 ( L ) 三种状态。 可以看到 ： 同步误差 与功率因数有关 ， 功率 因数越低 ， 功率测量的相对误 差越大 。同步误差还与采样起始点相关 ， 信号频率不 同时 ， 获取最小误差的采样起始点也不 同。 仿真结果 表明， 采用数值积分算法 ， 由于采样起 始点的位置不同，同步误差将在较大范 围内变化 ， 具 有一定 的不确定性。 在不考虑其它影响且信号幅值一 定， 仅被测信号频率在4 9 5 5 0 5 H z 范围内波动， 每周 期采样8 O 点， 采用数值积分算法计算 电压 ( 电流 ) 有效 值 的相对误差最大为 0 4 9 4 0 ， 计算有功功率的相 对误差最大为 1 9 8 1 0 ( 功率因数为0 5 L ) 。 一 2 6一 o 葵 褥 套o - 初始相位角， ) ( a )f = 4 9 5 Hz O 1 8 0 初始相位角 ( o ) ( b )f = 5 0 Hz 初始相位角 ( o ) c ) f ： 5 o 5 H z 图2 不同频率下有功功率相对误差与初始相 位 角 的关 系 F ig 2 R e la t iv e e r r o r o f a c t i v e p o w e r v e r s u s ini t ia l ph a s e a t di f f e r e n t f r e q u e n c ie s 3 减小同步误差的处理方法 理论分析表明， 同步误差对数值积分算法的影响 最大。基于采样式电能计量 ， 已有研究减小 同步误差 的方法。一种方法是控制采样起始点位置 ， 通过控制 采样起始点可以将误差控制在较小 的范 围内 ” ； 对 于数字化变电站中采样单元位于高压侧 的情况 ， 此方 法将大大增加高压电路的难度 ， 不易实施 。另一种 方法是对算法的结果进行修正，测量被测信号的周 期 ， 然后根据实测周期对结果进行修正 ； 修正法同样 受到采样起始点位置的影响， 虽然对减小同步误差有 一 定作用 ， 但效果十分有限 。 。在不改变高压电路的 前提下 ， 提高采样点数并不能有效减小 同步误差 。 分析图1 和图2 仿真结果 ， 可以看到 ： 误差的变化 具有一定的周期性和正负对称性 。对此特点 ， 本文采 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 总第 4 9卷第 5 5 8期 2 0 1 2年第 6期 电测 与仪表 El e c t r ic a l M e a s u r e m e nt& I n s t r u m e nt a t io n Vo I 4 9 No 5 5 8 Ju n 2 0 1 2 用多周期求平均 的方法减小同步误差 。 假设采样频率为4 0 0 0 H z ，对被测信号连续采样， 以第m 周期的采样值作为起点( m 为正整数 ) ， 选取第 m、 m+ 2 0 、 m+ 4 0 周期分别计算 电压 ( 电流 )及有功功 率 ，然后求这三个周期的计算值 的平均值。图3 ( a ) 、 ( b ) 、 ( e ) 分别为电压 ( 电流 ) 相对误差 曲线 、 功率 因数 为0 8 ( C ) 的有功功率相对误差 曲线 、 功率 因数为0 5 ( L) 的有功功率相对误差曲线。 仿真结果表 明 ， 在 ( 5 00 5 ) Hz 范 围内 ， 电压 ( 电 流 )相对 误 差 最 大 为0 1 3 7 6 ，考 虑 截 断误 差 0 0 5 1 4 ， 采用绝对值和法求合成误差 ， 最大合成误差 为0 1 8 9 0 ； 功率 因数 为0 8 ( C ) 时 ， 有功功率相对误 差最大为0 3 4 4 2 ， 考虑截断误差0 1 2 8 5 ， 采用绝对 值 和法求合 成误差 ， 最大合成误差 为0 4 7 2 7 ； 功率 因数为0 5 ( L ) 时 ， 有功功率相对误差最大为0 5 5 0 6 ， 、 ( a ) 电压( 电流) 相对误差 与起始周期数的关 系 ， 咒 ( b ) 有功功率相对误差与起始周期数的关系( 功率因数为0 8 C ) ( c ) 有功功率相对误差与起始周期数的关系( 功率因数为0 5 ( L ) 图3 电压 、 电流、 有功功率相对误差与起始周期数 的关系 Fig 3 Re l a t i v e e r r o r s o f v o l t a g e ，c u r r e n t a nd a c t i v e po we r v e r s us t he fi r s t pe r io d n umb e r 考虑截断误差0 2 0 5 6 ，采用绝对值和法求 合成误 差 ， 最大合成误差为0 7 5 6 2 。 4 结论 基于 同步采样的数值积分算法在理想同步采样 条件下 ， 计算准确度高； 当不满足同步条件时， 准确度 大为降低。仿真计算表明： 当采样频率为4 0 0 0 Hz 时 ， 在 ( 5 00 5 ) H z 范围 内， 仅仅采用 单周期求 电压 ( 电 流 ) 及有功功率 ， 不满足计量精度要求。 根据相对误差 与起始相位角的关系选择3 个周期求平均 ，可以大大 降低 同步误差 ， 这种情况下 ， 即使采用绝对值 和法求 合成误差 ， 也能保证 电压 ( 电流 ) 合成误差小于0 2 ， 有功功率合成误差小于0 5 ( 功率因数不小于0 8) 。 参 考 文 献 1 郭松林， 林海 军， 张礼勇 电子式 电能表专用 芯片分类 及原理 J 电 测与仪表， 2 0 0 2 ， 3 9 ( 4 4 2 ) ： 5 - 7 G U O S o n g l i n ， L I N Ha i- j u n ， Z HA N G L i l o n g C l a s s i fin g o f t h e C MO S c h ip f o c u s o n W a t t - h o u r me t e r a n d t h e t h e o r y o f t h e C MOS c h ip f o c u s o n Wa t t h o u r me t e r叫 E l e c t r i c a l Me a s u r e me n t I n s t r u me n t a t i o n ， 2 0 0 2 ， 3 9 4 2 、 ： 5 -7 【 2 】 李 庆波， 王菽蓉 ， 徐 勇 采样计算式测量 方法 的特 点及应用 【 J I 电测 与仪表， 1 9 9 9 ， 3 6 ( 9 ) ： 4 - 6 L I Q i n g - b o ， WAN G S h u r o n g ， XU Y o n g C h a r a c t e ris t i c s a n d a p p l i c a t i o n o f s a mp l i n g m e t h o d s J E l e c t r ic a l Me a s u r e me n t I n s t r u me n t a t i o n ， 1 9 9 9 ， 3 6 f 9 1 ： 4 6 3 赵伟 以国际化视角制定 电磁测量技术及 仪器研 发战略l J J 电测与 仪表， 2 0 0 3 ， 4 O ( 1 ) ： 5 - 1 0 Z h a o W e i Ma k in g s t r a t e g ic p l a n f o r e l e c t r o ma g ne t ic me a s u ri n g t e c h n o l o g y a n d i n s t rume n t d e v e l o p me n t f r o m g l o b al i z a t i o n p o i n t o f v i e w J E l e c t ri c a l Me a s u r e m e n t &I n s t r u m e n t a t i o n ， 2 0 0 3 ， 4 O ( 1 ) ： 5 - 1 0 4 陈文升， 林勇峰， 李超群 数字化变电站理论研究及其在上海电网的 应用 J J 上海电力， 2 0 0 6