（应用数学专业论文）外力作用下非线性记忆型合金方程的整体吸引子.pdf

! ， l g l o b a la t t r a c t o r sf o rn o n l i n e a rb e a me q u a t i o n so fm e m o r y a l l o y sw i t hf o r c e h u a n g y a n g b s ( s i c h u a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 7 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r a s s o c i a t ep r o f e s s o ry a n gl i n m a y , 2 0 1 1 哪79哪960 9川- 帅y ，。川川_ 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：兹t ， 日期：少，年j 月2 孑日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密回。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 导师签名： 日期：山，年岁月 2 8 日 日期别年莎月扩 ：ljdt3i， 硕士学位论文 摘要 本学位论文主要研究了两类外力干扰下的形状记忆合金非线性偏微分方程，其 中一类包含粘性项，另一类则含低阶阻尼项通过对方程解的范数作一致估计，并 结合连续性原理与紧致性理论得到了两类方程初边值问题整体解的存在唯一性，并 通过利用经典的能量估计方法及最大吸引子定理，证明了两类方程在初边值条件 下整体吸引子的存在性 本论文一共由四章构成 第一章简单介绍了形状记忆合金的概念以及形状记忆合金方程的相关研究背 景和研究意义，同时也简述了本文的主要工作及所得到的主要结果 第二章主要介绍了相关的基本概念以及本文中所用到的不等式与记号 第三章讨论了外力作用下的含粘性项记忆型合金方程的初边值问题在本章第 一节中，通过对方程解的范数作一致估计，并结合连续性原理与紧致性理论得到该 方程整体解的存在唯一性；在本章第二节中，首先利用嵌入定理得到方程解算子的 一致紧性，然后利用能量方法得到方程解算子在解空间中存在吸收集，最后利用最 大吸引子定理证明了该方程整体吸引子的存在性 第四章讨论了较第三章更为复杂的低阶阻尼记忆型合金方程在外力作用下的 初边值问题与上一章结构类似，在本章第一节中，通过对方程解的范数作一致估 计，并结合连续性原理与紧致性理论得到该方程整体解的存在唯一性；在本章第二 节中，首先利用能量方法得到方程解算子在解空间中存在吸收集，然后利用嵌入定 理及其他数学技巧得到方程解算子的一致紧性，最后利用最大吸引子定理证明了 该方程整体吸引子的存在性 关键词：形状记忆合金方程；吸收集；整体吸引子；能量方法 i i j 硕上学位论文 a b s tr a c t t w oc l a s so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o mt h es t u d yo f s h a p em e m o r ya l l o y sw i t hf o r c ea r es t u d i e di nt h i sp a p e r ，o n eo fw h i c hc o n t a i n s t h ev i s c o s i t yt e r m ，a n dt h eo t h e rc o n t a i n st h el o wo r d e rd a m p i n gt e r m w ec a n e s t a b l i s ht h ep r i o r ie s t i m a t e sf o rt h es o l u t i o no fb o t he q u a t i o n s ，t h e ng l o b a le x i s - t e n c ea n du n i q u e n e s sf o l l o w sf r o mt h ec o n t i n u a t i o na r g u m e n ta n dc o m p a c tt h e o r y m e a n w h i l e ，b yu s i n gt h ec l a s s i c a le n e r g ye s t i m a t em e t h o da n d t h em a x i m a la t t r a c - t o rt h e o r y , t h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o mo fi n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o rb o t he q u a t i o n sa r ep r o v e d t h ep a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ec o n c e p to fs h a p em e m o r ya l l o y sa n dr e l a t e dr e s u l t s c o n c e r n i n gt ot h ee q u a t i o n so fs h a p em e m o r ya l l o y sa r ep r e s e n t e ds i m p l y m e a n - w h i l e ，t h em a i nw o r k so ft h i sp a p e ra r es i m p l yi n t r o d u c e d t h er e l a t e dc o n c e p t s ，n o t a t i o n sa n di n e q u a l i t i e sw h i c hw i l lb eu s e di nt h i s p a p e ra r ep r e s e n t e di nt h es e c o n dc h a p t e r i nt h et h i r dc h a p t e r ，w i t hi n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h eg l o b a ls o l u t i o n st ot h ee q u a t i o n w i t hf o r c ea n d v i s c o s i t ya r ep r o v e d b yu s i n g c o n t i n u a t i o na n dc o m p a c tt h e o r yi nt h ef i r s ts e c t i o n i nt h es e c o n ds e c t i o n ， b yu s i n gt h ee m b e d d i n gt h e o r y , w ec a np r o v et h a tt h eo p e r a t o ro ft h es o l u t i o n i s u n i f o r m l yc o m p a c t ，t h e nb yu s i n gt h ec l a s s i c a le n e r g ym e t h o d ，t h ee x i s t e n c e o ft h e a b s o r b i n gs e ti sp r o v e d ，f i n a l l y ，t h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r so ft h i sp r o b l e m f o l l o wf r o mt h em a x i m a la t t r a c t o rt h e o r y i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w i t hi n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h eg l o b a ls o l u t i o n st ot h ee q u a t i o nw i t hf o r c ea n d l o wo r d e rd a m p i n g t e r ma r ec o n s i d e r e db yu s i n gc o n t i n u a t i o na n dc o m p a c tt h e o r yi nt h ef i r s ts e c t i o n i nt h es e c o n ds e c t i o n ，b yu s i n gt h ec l a s s i c a le n e r g ym e t h o d ，t h ee x i s t e n c eo ft h e a b s o r b i n gs e ti sp r o v e d ，t h e nb yu s i n gt h ee m b e d d i n gt h e o r y , w e c a np r o v et h a t t h eo p e r a t o ro ft h es o l u t i o ni su n i f o r m l yc o m p a c t ，f i n a l l y , t h ee x i s t e n c eo fg l o b a l a t t r a c t o r so ft h i sp r o b l e mf o l l o wf r o mt h em a x i m a la t t r a c t o rt h e o r y k e yw o r d s ：s h a p em e m o r ya l l o y se q u a t i o n s ；a b s o r b i n gs e t ；g l o b a la t t r a c t o r ； e n e r g ym e t h o d ； i i i 硕l ：学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t 第1 章绪论1 1 1 本文研究的历史背景和意义1 1 2 本文的主要工作及所得的主要结果3 1 2 1 本文的主要工作3 1 2 2 本文的主要结果3 第2 章预备知识5 2 1 基本概念5 2 2 符号介绍7 第3 章问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的整体吸引子的存在性8 3 1 整体解的存在唯一性8 3 2 整体吸引子的存在性1 2 3 2 1 解算子s ( t ) 的一致紧性1 2 3 2 2 日中吸收集的存在性1 5 第4 章问题( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的整体吸引子的存在性2 2 4 1 整体解的存在唯一性2 2 4 2 整体吸引子的存在性2 5 4 2 1 中吸收集的存在性2 6 4 2 2 解算子s ( t ) 的一致紧性3 1 结论3 8 参考文献3 9 致谢4 5 戳 硕上学位论文 第1 章绪论 1 1 本文研究的历史背景和意义 钢在高温奥氏体相区淬火时通常变硬，经抛光浸蚀后在显微镜下观察，可看到 它是由致密组织构成，该致密组织是由原来的面心立方点阵的奥氏体晶粒以原子 无扩散形势转变为体心立方点阵的透镜状而生成的，这种相变产物叫做马氏体，而 原子无扩散点阵相变叫做马氏体相变f 1 - 3 1 某些具有热弹性马氏体相变的合金材料，在进行一定限度的变形或变形诱发 马氏体后，当温度超过马氏体相交消失的温度时，材料就能完全恢复到变形前的形 状和体积，这种现象称为 形状记忆效应( s h a p em e m o r ye f f e c t ) ”，简称s m e 具 有这种效应的合金称为形状记忆合金( s h a p em e m o r ya l l o y ) ，简称s m a 形状记 忆合金目前己广泛地应用到仪器仪表、工业控制、能源、航空航天、医疗、生物工 程及机器人等各个领域【卜3 1 由于形状记忆合金具有重要的应用价值，所以形状记忆合金的相关研究一直 是物理和偏微分方程的热类研究课题，现己取得了不少的研究成果 4 - 2 8 】 1 9 9 7 年，b n i k o l a u s ，s j a n 和s j u r g e n 在文 2 2 1 中得到了与马氏体相变有关 的最优控制系统 ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ， ( 0 ，1 ) 解的存在唯一性，其中钆为形变位移，口为绝对温度，0 r ( t ) 表示环境温度，p ，7 ，0 1 ，p ，q ， 6 ，c e ，k ，元为常数2 0 0 3 年，t a i l 【i 于 2 3 】中研究了形状记忆合金热机械运动模型 其中u 为形变位移，口为绝对温度，7 ，p ，k 为正常数，证明其解的存在唯一性 一l 一 亡 r r 州 拶啦蜒 ，比 仉功吐划咿蜒蚍删产耽讹吣 黜0”= k 小删垆蛳m 蜥 k“9 p 删一啭 h 吣牡础地 肚| l 卜班 吖以m 棚惦归蚍仲 蛳伽以咖一霉螂旷嘶 以= 一 = 一 d 力胁啦讹岬毗 、j，l ) “ 加 吣 ，胁壮归 叫枷h 她瑚胁一如 一一一一 邓鹏舢一一邓吼似嘶 m = 卜卜 1 加幻一町蚶地岬毗 外力作用下非线性记忆型合金方程的整体吸引子 s 1 s h i k a w a 于2 0 0 5 年在文献【2 7 】中假设h e l m h o l t z 自由能密度f 的形式为 f - f ( u ，乱霉，口) = 昂( 目) 一p f l ( 牡) + 岛( u ) + 三u z 2 ， 并运用能量方法得到了b o u s s i n e s q 热系统 1 ) ，1 = 0 整体解的存在唯一性，其中铭为形变位移，p 为绝对温度， = 碍，2 = 足为已知 函数之后，s h a n gc 于2 0 0 8 年在文献f 2 8 】中证明了齐次g i n z b u r g - l a n d a u 形式的热 粘弹性系统 u 托一p ( o ，e ) 茁一王，z k 毗+ 冗2 k 批。= 0 ， c v e t 一仡如霉一9 p - a g t 一e = 0 ， 2 ， 让l z ：0 ，1 = t k zl 茁：0 ，1 = 0 ， 以l z ：0 ，1 = 0 ， u ( x ，0 ) = 乱o ( z ) ，魄( z ，0 ) = u 1 ( z ) ，p ( z ，0 ) = ( z ) ， 的整体解的存在唯一性和整体吸引子的存在性，其中让表示形变位移，e 表示应变 力，p 表示绝对温度，y ，r ，c v ，k 为正常数 对于恒温下含粘性项的形状记忆合金方程 钆t t + k 已一让t f ( u 茁) 茹+ r u z 黜z = g ( x ) 与恒温下含低阶阻尼项的形状记忆合金方程 + + p u t l ( u z ) z + r u z 黜z = 9 ( z ) ， 其中乱表示形变位移，为应力，夕为外力，k ，p ，p 为正常数，也有一些研究结果【2 9 3 7 1 s h a n gc 于 3 7 】中研究了k ，p = 0 ，g ( x ) = o 的特殊情况，并分别得到两个方程在初边 值条件下整体吸引子的存在性 据本人所知，恒温情况下所讨论的形状记忆合金相关模型，均为不考虑外力作 用且k ，p = 0 的齐次方程，而对外力干扰下的一般非齐次方程的研究都没有相关结 果因此，研究外力干扰下的非线性非齐次记忆型合金方程有着重要的理论和实际 意义 一2 一 以 、 l l 尉 巩 “厶 k 似她 z = n 吱 阶 归她 叫 址d 0 p 让 姒= m = 埘卅一眦 u 唬d仃巩d一议= 裂尝茹 一n 岛以以以 硕上学位论文 1 2 本文的主要工作及所得的主要结果 1 2 1 本文的主要工作 记q = ( 0 ，1 ) ，哦= qx ( 0 ，t ) ，t 0 本文主要研究如下两方面内容： ( 1 ) 研究外力干扰下的一般粘性记忆型非线性偏微分方程 在边界条件 + k t 一矗一f ( u x ) 霉+ r u z 霉= 夕( z ) ，( 1 1 ) u i 茁：0 ，1 = zi 卫：0 ，1 = 0 ， 和初始条件 牡| t ：0 = u o ，u t l t ：0 = u l ， ( 1 2 ) ( 1 3 ) 下整体解的存在唯一性及整体吸引子的存在性，其中表示形变位移，表示应 力，9 为外力，f ( u 茹) = f ( 牡z ) ，f ( u z ) = 詈u ! 一警一警“：，r ，k ，q t ( i = l ，2 ，3 ) 为 正常数，同时为了方便，假o g ( x ) c 1 o ，1 】 ( 2 ) 研究外力干扰下的低阶阻尼记忆型非线性偏微分方程 乱t t + 肚+ p u t f ( u x ) z + r u z z z z = 9 ( z ) ，( 1 4 ) 在初边值条件( 1 2 ) 一( 1 3 ) - v 整体解的存在唯一性及整体吸引子的存在性，其中p ，p 为 正常数，“，f ，r ，g h _ t = 注：要证明两个方程整体吸引子的存在性，就必须要证明解算子的一致紧性但 由之后第三章与第四章的证明过程可以看到，方程( 1 4 ) 的证明要l t ( 1 1 ) 更加困难， 这是因为p u 不同于u z 矗，当我们使用( 1 1 ) 的方法证明( 1 4 ) 时，无法像引理3 3 一 样得到后i l u z r r | 1 2 打的有界估计，所以，我们无法像( 1 1 ) 一样得到全空间日中整体 吸引子的存在性，而只能得到h 的闭子空间h e 中整体吸引子的存在性 1 2 2 本文的主要结果 通过估计方程( 1 1 ) 和方程( 1 4 ) 的解的相关范数，利用能量方法及其他一些数 学技巧，我们得到两个方程存在唯一整体解且均具有整体吸引子具体说来，得到 下面两个重要定理： 一3 一 外力作用下非线性记忆型合金方程的整体吸引子 1 1 若咖日4 ，u l h 2 且满足条件u o i z ：o 。1 = u o z 茹l z ：0 ，1 = 0 ，则 ( 1 ) 问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一的整体解( 钆，钆t ) 且满足 t 正c ( 【0 ，+ ) ；日4 ) nc 1 ( 【o ，+ ) ；日2 ) nl 2 ( 【0 ，+ o o ) ；h 5 ) ， u t c ( o ，+ ) ；日2 ) nl 2 ( o ，+ ) ；h 3 ) ( 2 ) 记日全 ( u ，u t ) h 4 日2 ：u i 卫：o ，1 = u z z l z ：o ，1 = o ) ，则问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 在日中拥有紧的整体吸引子a 定理1 2 若咖h 4 ，u l h 2 且满足条件钆o i z ：o ，l = 咖z 茁l z ：o ，1 = 0 ，则 ( 1 ) 问题( 1 2 ) 一( 1 4 ) 存在唯一的整体解( 仳，乱。) 且满足 钍c ( o ，+ 。) ；日4 ) nc 1 ( o ，+ ) ；日2 ) n 三2 ( 【o ，+ ) ；h 5 ) ， 地c ( o ，+ o 。) ；h 2 ) nl 2 ( o ，+ o o ) ；h 3 ) ( 2 ) 设g ( z ) = 片夕( z ) 如，同时对卢 0 ，记饰垒t ( 让，”t ) h ，j f 0 1 1 2 1 。2 + 曼乱2 + i r “z 2 士+ f ( u z ) + o ( x ) u ) d x 卢) ，则问题( 1 2 ) 一( 1 4 ) 在毋中拥有紧的整体吸 引子a 口 一4 一 硕上学位论文 第2 章预备知识 为了叙述和阅读的方便，本章我们将给出本文所涉及到的一些相关概念及记 号，为了简便起见，所有结果只叙而不证 2 1 基本概念 首先给出一些相关定义： 半群算子定义侧设日为一度量空间，为日中的单位元，若对于算子s ( t ) 满足对y s ，t 0 ，有s 0 + s ) = s ( 亡) s ( s ) ，且s ( o ) = i ，及对y - v t 0 ，s ( t ) 为日中 的连续算子，则称s ( t ) 为半群算子 不变集定义删设日为一度量空间，若v t 0 ，半群算子s ( 亡) 满足s ( 亡) x = x ， 则称集合xc 日为函数不变集当半群算子s ( 舌) 满足后向唯一性时，式子s ( t ) x = x 暗含y t 0 ，s ( 一t ) x = x 也成立那么函数不变集的定义就是：v t r ， 有s ( t ) x = x 不变集的引理设h 为一度量空间，s ( t ) 为半群算子，w ( a ) = n us ( t ) a ， s 0t 8 q ( a ) = n 口了f 砰，若对h 中某些非空子集a 满足：t o 0 ，集合u 。 o s ( 亡) a 在 s 一 1 ，；1 + 石1 = 1 ，则对任意正函数，和9 ，有 f g e p 圳g ) 普。口 n i r e n b e r g 不等式【4 2 l设1 ? ，p ，m n ，则存在常数c 0 ，使得对 任意w w m ，pn 口，以下不等式成立 iv j 叫i q e l lv m 伽i i 参i l 叫瞄一丧， 其中歹 o ，1 ，2 ，m ) ，j = 击；+ ( 1 一j m ，；1 硕l ：学位论文 c a i f a r e l l i - k o h n - n i r e n b e r g 不等式【4 3 j设1 p ，q o o ，0 0 ，使得对任意钍曙( 舒) ，以下不等式成立 l 札i p c i d u l di u l i l ；d ， 其中吾= a ( 1 一丢) + 宁 p o i n c a r e 不等式设qc 彤是一个有界区域，则对讹咿p ( q ) ，存 在c = c ( n ，m ，p ，q ) ，使得 l i d a u c i | d n 让 1 a l 1 ，；1 + 言= 1 ，厂p 陋，6 】，夕l qa ，6 】，那 么f ( t ) g ( t ) 在a ，6 】上l - f 积，并且 ，- d i f ( t ) g ( t ) l d t l i f l l p 口 ，n 成立 2 2 符号介绍 本论文将用到如下h i l b e r t 空间记号： 扩= 妒( 【2 ) = u ( z ) i 厶l u ( x ) l p d x 0 ，有 让t | i c ，lu 霉茹i | c ，lu z i l l 一c ， 其中c 为与t 无关的正常数( 下同) “1 心姗舛 ( 3 1 ) 证明 力程( 1 1 ) 两输i 司乘u t ，然后对z 和亡枳分，口j 得 i o 0 1u r r u r + g u x r u r - - v u z z r u r - - m z ) z u r + r u z z z u r ) d x d r = 1 0 l g u r d x 打 ( 3 2 ) 利用分部积分公式，不难得到 。1 饥r ，u r 如打= 1 0 1t 乱； r 。= o d z = 三1u ；d z 一丢1 u ；如， “1 冉删丁= 。象丁一o ， 硕十学位论文 t ，z 1u 写盯u 下如打= 一p z 。z 1 ，如打， z z 1 ，( ) 茹乱r 如打= 一z 1f ( ) 如+ 9 ( o l f c u o x ) d x ， r z z 1 撕如打= 芸z 1 霉如一芸1 u 如， f 0 2f 0 1g u r d z 打= f 0 1g u 抵一eg 妇冬ci 选d + c ， 因此，由( 3 2 ) 及以上不等式可得 三z 1u ；出+ o 。0 1 遽下如打+ z 1 ( f ( 钆z ) 一c 谚) 如+ rf o l u z 2 z 如a ， 其中 f ( ) 一c 记= 百o i l _ 6 一鲁一( 詈+ c ) 由y o u n g 不等式有 i 0 2 _ 4 钆：+ c ( e ) ，( 鲁+ c ) 记 取 0 2 = 够4 、，使得詈一2 0 ，从而有 f ( ) 一g 从而由( 3 3 ) 及上式有 透+ c ( e ) ， ( 詈一2 9 ) 乱卫6 一c ( ) c 一c ， 三z 1 钆；d x + vf o j o iu z 2 r d z 打+ o ic 孔：如+ 等1 记z 如c 由此可得 钆t | i g | i 霉i l c ，i i u z i i o 0 1 钆：下如d 丁c 由c a f f a x e l l i k o h n n i r e n b e r g 不等式及( 3 4 ) 口- - j 得 乱z l i l 。sc i i u z z l l 1 1 钆z i l c 引理3 3 对任意亡 0 ，关t - i ；- j 题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解有 9 一 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 外力作用下非线性记忆型合金方程的整体吸引子 i l u i l c ，i i t k 耐i i c ，i i 札z z l i l 一g0 乱z i l c ， i i 乱$ $ i i g c | | r r i l 2 d t gi l u x z z 下1 1 2 d r c ( 3 5 ) ，0 j 0 证明 ( i ) 方程( 1 1 ) 两端对舌求导，然后同时乘以，并对z 在q 上积分可得 三丢小如+ 1 蟊如+ 办砒拼善丢z 1 厶如一o ( 3 6 ) f l 了y o u n g 不等式及引理3 2 可得 z 1 叭) t 钆圳如三1 托如+ cz 1 ) 铲如 割缸1 1 2 + e l i u z 。1 1 2 ， ( 3 7 ) 从而，m ( 3 6 ) 及( 3 7 ) 可得 三d lr u 托1 1 2 + 孔托1 1 2 + 知蚓1 2 - p 时，有 r j i 船t i l 2 + l i 钍z 托1 1 2 c t 一1 + c g( 3 2 6 ) 所以有 1 1 嚣t l i c 从而由p i o n c a r e 不等式立即有 l l 地1 1 日s c i i 黜t i i c ， 也即仳。在日3 中有界 ( 1 1 ) 两端对x 求导，且利用不等式简单变形易得 l i u z z z 霉z i | c ( 1 l u 击托l l + i u x 茹t | l + i i 札z z z t i | + i i 厂( 钍霉) 茹z i | + 1 1 9 7 i i ) 又由引n 3 2 3 3 及( 3 2 6 ) 可知 i i 耐i i gi i t t i l c ，i i 乱$ 删i | c ， 及 i i ，( u 茁) z z 0 1 1 ( 2 0 a l u z 3 6 口2 钆z ) 饥：z i i - - l i ( 5 q 1 4 3 q 2 u 3 一q 3 ) u z z z i i c i l u z l i 至。+ c l l u 茹z z i i c ， 因此，有 i l 钆z z z i i c ， 这样，由p i o n c a r e 不等式立即有 1 日s c l i u z 茁黜z | | c ， 一1 4 硕一1 ：学位论文 也即u 在日5 中有界 s ( 亡) 一致紧性的证明：由引理3 3 可知，( t ，地) 在c ( 山，+ ) ；h 5 x h 3 ) 中有界，又 由r e l l i c h - k o n d r a c h o v 定理，可知日5 日3 紧嵌入日4 铲，从而当t 足够大时，( 让，饥) 为 日中的紧集，于是方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解算子s ( t ) 为一致紧的 3 2 2 日中吸收集的存在性 令3 0 = ( 札，地) h ，0 i | 刖gi i 饥0 日：c ) ，其中c 是与初始条件及亡均无 关的正常数( 下面同) ，我们将在稍后确定它下面，我们要证明玩为日中的吸收 集 引理3 5 玩是日中的一个吸收集，也即对日中任意有界集b ，存在2 = t 2 ( b ) 0 ，使得当t t 2 ( b ) 时，s ( t ) bcb o 证明方程( 1 1 ) 两端同时乘u 并对z 积分，可得 左边= 磊dz 1 ( 乱地+ 善u ：) 如+ 1 ( ，( “$ ) + 冗乱：正一让；一眦。z ) 如， ( 3 2 7 ) 右边= 0 1 9 u d x 。) 础) 即) e - c t - f 是 ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 从( 3 3 s ) h - t 以看出，对日中的任意有界集b 中的初始值，存在t l ( b ) ，使得当亡 亡1 ( b ) 时有 耻) 等 下面，我l f 设t f t l ( b ) ，+ ) 由y o u n g 不等式及f ( 钆茁) 的表达式易得 于是，由( 3 3 9 ) - - f 知 f ( u z ) g 钆! 一c ， ( 3 3 9 ) 善1 仳如+ 百l 2 1 如+ 丢1u ；如+ 害1 。如+ c f o u ! 如g ( 3 加) 又由y o u n g 不等式及h o l d e r 不等式有 兰2z 1 胁拙j lf o l 啦+ 等1 他2 如， 1 7 外力作用下非线性记忆型合金方程的整体吸引子 z 1u 2 如= 0 1 ( j 【0 xu z 如) 2 如0 1 ( 0 x1 2 如z 仳：如) 如1 u ：如， 由以上两式有 v 0 1 邮三z 1 遥如+ 等z 1 慨 因此有 善z 1u 地如+ 譬z 1u ：如+ 三z 1u ；如譬z 1 记如+ 丢z 1 如 由( 3 4 0 ) 及( 3 4 1 ) 日- i 得 蒜z 1u ：如+ 丢z 1 “；如+ 譬z 1 钍：z 如+ c 0 1 砭如a 从而，由p o i n c a r e 不等式及( 3 4 2 ) 易得 l | 让0 备：+ 0 饥t 0 2 c ( 1 l u x $ 1 1 2 + i i u 。1 1 2 ) g 因此，对任意t t l ( b ) 有 u , i i c ，i l u z i | glu $ 霉l l a 又c a f f a r e l l i - k o h n n i r e n b e r g 不等式可得 钆茹l i l 。c i i 钆zj l 1 1 u x z i l c 方程( 1 1 ) 两端同时对亡求导后乘以让舻并对z 在q 上积分可得 三爰1u 磊如+ 0 1 n 出+ r d f o lu z 2 疵如= 一0 1 ，( ) t 甜如 方程( 1 1 ) 两端同时对t 求导，再乘以一u 删，且对z 在q 上积分可得 ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) 磊d 1 ( 互l 2 互。一乱托劫如+ 0 1 ( r 遽黝。一u 删2 ) 出= 0 1 ( ，( 饥茁t u x x x t + i 屺, 洲删) 如 ( 3 4 6 ) 因为 1 i f ( 也办乱删i 如羞z 1 记托如+ c 0 1 ，( ) ；如， ( 3 4 7 ) 而由y o u n g 不等式有 ，7 ( ) 1 2 =( 5 n l u ：一3 a 2 u ：一q 3 ) 2 c 遽+ c ， 1 8 硕上学位论文 因此有 小蛾如= 小( u x )