（应用数学专业论文）双寡头产量博弈及价格博弈中竞争与合作机制的动力学分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文以经典的产量竞争的c o u r n o t 博弈模型和价格竞争的b e t r a n d 博弈模型为基础，考虑参与人具有不完全的信息条件下产量和价格动 态系统调整问题，在t i t f o r t a t 策略影响下研究企业间的合作与竞争。 本文主要包括以下几方面内容： 1 对博弈主要模型c o u m o t 模型，b e r t r a n d 模型研究现状及 稳定性理论的介绍。 2 考虑参与人具有不完全信息条件下产量动态调整问题，在 t i t f o r - t a t 策略影响下建立了双寡头动态产量调整模型，并对其进行稳 定性分析。通过数据模拟发现，该模型可能使竞争双方最终达成合作， 但调整系统的稳定性对参数敏感。之后又在此基础上对模型进行改 进，加入反馈控制后，使得模型的合作均衡在参数的一定范围内达到 p a r e t o 最优状态。 3 针对不完全信息下价格动态系统的调整问题，建立t i t f o r - t a t 策略影响下的双寡头价格竞争的b e r t r a n d 博弈模型，通过对模型的稳 定性分析和数据模拟以及对模型的改进，研究价格竞争的企业间的合 作行为。 关键词：c o u m o t 博弈，b e r t r a n d 博弈，合作竞争，p a r e t o 最优，反馈 控制 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t b a s e do nt h ec l a s s i cc o u m o tm o d e la n db e r t r a n dm o d e l ，w ec o n s i d e rd y n a m i c s y s t e m sa d j u s t m e n tq u e s t i o na b o u to u t p u ta n dp r i c eu n d e rt h ec i r c u m s t a n c e st h a t p a r t i c i p a n t s h a v ei n c o m p l e t ei n f o r m a t i o n t h ec o o p e r a t i o na n dc o m p l e t a t i o ni s s t u d i e du n d e rt h ei n f l u n c eo ft h et i t f o r t a ts t r a t e g y t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da s f o l l o w s ： 1 m a k eac o m p r e h e n s i v ei n t r o d u c t i o no ft h es t a b i l i t yt h e o r ya n dt h er e s e a r c ho f t h et h em a i nm o d e l - - c , o u m o tm o d e la n db e r t r a n dm o d e li ng a m et h e o r y 2 w ec o n s i d e rd y n a m i cs y s t e m sa d j u s t m e n tq u e s t i o na b o u to u t p u tw h i l e p a r t i c i p a n t sh a v ei n c o m p l e t ei n f o r m a t i o n b a s e do nt h et h et i t - f o r - t a ts t r a t e g y ，w es e t u pt h et h em o d e lw i t ht h ed y n a m i ca d j u s t m e n to fo u t p u t t h r o u g ha n a l y z i n gt h e s t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n t sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，w ef i n dt h a t ，i n t h i s s y s t e mt h ec o o p e r a t i o nc a ne m e r g e ，b u tt h es t a b i l i t yo ft h ea d j u s t m e n ts y s t e mi s s e n s i t i v et ot h ep a r a m e t e r s a f t e rt h em o d e li si m p r o v e d - - - a d d i n gt h ef e e d b a c kc o n t r o l ， t h ec o o p e r a t i v ee q u i l i b r i u mo fp a r e t oo p t i m a l i t yc a l lk e e ps t a b l ei np a r a m e t e r s 3 w ec o n s i d e rd y n a m i cs y s t e m sa d j u s t m e n tq u e s t i o na b o u tp r i c ew h i l e p a r t i c i p a n t s h a v e i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n t h eb e r t r a n dm o d e la b o u tp r i c e c o m p e t i t i o ni nd u o p o l yg a m ei sb u i l tw i t ht h et i t - f o r - t a ts t r a t e g y t h r o u g ha n a l y z i n g t h es t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n t sa n di m p r o v i n gt h em o d e l ，w es t u d yt h e c o o p e r a t i v eb e h a v i o ra m o n gf i r m s k e yw o r d s ： c o u m o tg a m e ， b e r t r a n d g a m e ，c o o p e r a t i v ec o m p e t i t i o n ，p a r e t o o p t i m a l i t y , f e e d b a c kc o n t r o l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 学位论文作者签名： 年月日 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密日。 诡琶雩 指导捌磁轹丁弋 2 0 0 8 年月日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 趁镗荔 | 日期：年月日 江苏大学硕士学位论文 1 1 本课题研究的背景 第一章前言 1 1 1 企业战略联盟的产生背景 2 0 世纪8 0 年代以来，战略联盟这种企业组织形式得到了最广泛的发展。“联 盟是企业之间进行长时期合作，它超越正常的市场交易但又未达到合并的程度 ， “企业无须扩大企业规模就可以扩展企业市场边界 1 - 2 1 。与此观点对应的是在 激烈的市场竞争中，企业选择结成战略联盟以实现各自的战略目标。战略联盟是 指两个或两个以上的企业之间为了实现共同的战略目标而达成的长期合作安排。 从而实现共同的利益和目标，最终达到共赢的目的。企业战略联盟作为一种新的 合作竞争模式，它的出现有着深刻的政治经济背景，它是社会经济发展的产物。 具体来说，经济全球化发展、国际分工的深化和知识经济的到来构成了企业战略 联盟的宏观背景。 ( 1 ) 经济全球化的发展。随着国际间贸易和资本流动自由化以及放松管制等 因素导致的市场个球化使各国的经济逐步融入了世界大市场，世界经济的相互联 系和相互依存同益增强，经济生活逐步超越了国界向全球化的方向迈进。经济全 球化使企业之间的竞争更趋激烈。面对市场竞争以及全球化的压力，企业单纯依 靠自身的力量显得“势单力薄”，因而被迫将目光转向企业外部，试图通过联盟 的方式，借助联盟伙伴的力量来增强自身竞争实力【3 - 5 】。建立企业战略联盟是企 业适应全球竞争的需要。 ( 2 ) 国际分工的深化。随着经济全球化的不断发展，国际分工体系也由垂直 分工，转向以水平分工为主，并且分工日趋深化、细化。另外日益扩大的世界市 场和科学技术迅猛发展加速了产业结构、产品结构不断调整的步伐，任何国家都 无法包揽一切。即使是西方发达国家，也不断开展行业间、企业间乃至生产流水 线上的水平分工协作，分工的范围和领域更加广泛。国际分工越发展，各国企业 之间相互依赖和协作的关系就越密切，这些越发促进了企业战略联盟的形成和发 展。 江苏大学硕士学位论文 ( 3 ) 知识经济的到来。随着信息技术等高新技术的迅猛发展，知识经济己成 为世界经济的主要特征。随着信息技术、网络技术的高速发展使跨越时空的全球 性市场成为可能。信息成本和交易成本都因此而大大降低：另外高新技术的发展， 使得产品开发成本变高、而且随着产品生命周期的缩短，新技术、新产品开发出 来之后能否收回研制成本、获得高额回报都隐藏着巨大的风险和不确定性，任何 企业都无法独自获取全部的技术和承担高额的成本风险。而战略联盟则可以在保 持组织独立性的前提下，充分利用外部资源实现企业之间的资源共享，节约企业 新的投入，同时降低成本和风险提高企业在知识经济条件下的竞争能力。 1 1 2 企业竞争发展的未来：合作竞争 随着经济水平的不断发展，竞争的广度和深度空前加大，竞争模式也在逐渐 发生变化，正由传统的对抗性竞争转向合作竞争的模式。传统的竞争强调对抗性， 一方的获利必然导致另一方的受损，但在当今的经济环境下，这种竞争模式已显 现出其局限性。市场经济不只是竞争经济，同时也是合作经济。当经济发展到一 定水平，任何企业都无法单独拥有使企业持续发展的资源和能力，企业必须和其 他企业甚至竞争对手进行合作，以增强自身整体的竞争优势。当今的竞争模式， 正由“零和博弈 ，“负和博弈 变为“正和博弈”，用合作代替对抗，使“合 作竞争 成为经济全球化潮流之下的新型竞争模式【6 1 。其实这种合作与竞争并 不相悖，合作的目的是为了竞争，以合作为手段来竞争，从而维持企业的竞争优 势而且这种合作是以双力一共同的利益为基础，将市场这块“蛋糕 做大，从而 达到共赢的日的。可以说，合作竞争代表着企业未来竞争发展的大趋势。企业战 略联盟的独特之处就在于通过合作在增强联盟企业总体核心竞争力的同时并不 削弱每个企业的原有核心竞争力。它可以在保持双方核心竞争力相对独立的基础 上，实现优势互补、资源共享，最后达到共赢的目的。企业战略联盟的核心思想 就是“竞合，它是企业合作竞争的最主要形式之一，已成为现代企业强化其竞 争优势的重要手段【1 7 1 。 1 1 3 合作企业之间的竞争 虽然合作竞争代表着企业未来竞争发展的大趋势，但是在现实的市场竞争 2 江苏大学硕士学位论文 中，企业不可能没有选择的进行盲目结盟，而是要与自身相适应的企业结成联盟。 这样在市场中就可能形成联盟企业内部的竞争以及几组企业联盟之间的竞争，其 中每个联盟由数个企业所构成。不同组的企业之间相互竞争，同组的企业在竞争 的同时相互帮助。同组的企业可以达到帕雷托最优状态，不同组的企业之间可以 达至u n a s h 均衡状态。这种竞争系统被称作多组系统8 。1 0 】，即合作竞争系统。 1 2 经济模型的研究现状 经济理论研究中，借助数学模型研究经济活动的规律己成为经济学家、管理 学家的一种重要方法，如金融市场中的争当少数者博弈模型 1 1 - 1 2 】、经济系统的混 沌动力学分析【1 3 彤】、财产管理混沌模型【1 q 等都是这些年来经济学模型研究的学术 热点。博弈论在它成为独立的知识体系之前就被运用到寡头垄断之间的短期价格 竞争和数量竞争，最明显的案例就是和c o u m o t 和b e a r a n d 模型。 1 2 1 主要经济模型的研究现状 1 8 3 8 年，法国经济学家c o u m o t 提出了在双寡头垄断市场情形下关于产量决 策的c o u m o t 模型。在模型中，c o u m o t 考虑了在完全信息下寡头双方均是完全理性 的博弈情形，认为在每一个企业都可以根据竞争对手上阶段的产量，准确地决定 自身产量。但是在现实的市场经济中，这种完全信息和博弈双方理性的假设是不 太可能成立的。c o u m o t 模型是指在寡占市场中，一定数量的生产同质商品的企 业，必须在考虑其它企业行为策略的基础上来决定自己的产量。起初对模型的研 究主要是针对寡头的博弈行为而进行的1 7 。1 8 】，后来则将该模型拓展为动态的产量 重复博弈模型1 9 之1 1 ，并讨论了模型的动力学性质及稳定性。 1 8 8 3 年，法国经济学家j o s e p hb e r t r a n d 建立了b e r t r a n d 模型，它主要是利用 n a s h 均衡的概念研究价格竞争。b e r t r a n d 证明在均衡情况下，价格等于边际成本， 企业利润为零。这就是伯川德悖论( b e r t r a n dp a r a d o x ) 。而在实际竞争中该结果 很少出现，因为各企业产品差异性。 近几年，国内外许多经济学工作者对c o u m o t 和b e r t r a n d 模型进行了改进，把 有限理性、不完全信息等因素引入到经典的c o u m o t 和b e r t r a n d 模型中，使得该 模型成为分析寡头垄断市场中各企业生产行为应用最广泛的模型。b i s c h i 等人认 3 江苏大学硕士学位论文 为动态古诺模型的建模方法中隐含的假定( 每个参与人都知道其它参与人的产 量；每个参与人都知道市场需求函数等) 是不现实的，从而提出了参与人根据上 期边际利润的局域估计对产量作适当调整的有限理性博弈模型。近年来关于有限 理性的寡头博弈成为研究的热点。b i s c h i 和n a i m z a d a 研究了一个具有线性成本的 有限理性模型，并观察n t 动态演化的复杂现象2 2 1 ；j i x i a n g ，q i n g l i 等人研究了具 有有限理性的双寡头的b e r t r a n d 博弈模型，并分析混沌分叉等复杂现象【2 3 】； a h m e d ， a g i z a 以及h a s s a n 把p u u 的模型修改成有限理性条件下的双寡头博弈模 型，并研究其复杂现象1 2 4 ；a g i z a 等研究了有限理性多寡头博弈模型，并观察到 了分岔、混沌等复杂现象【2 5 1 ；v i t t o r i o 和p a o l o 研究t c o u m o t x 2 寡头动态博弈模 型中的合作行为，分析得出稳定的合作均衡【2 6 1 。易余胤等人研究了一个具有溢出 效应的有限理性双寡头重复博弈模型，指出寡头的理性决定着寡头重复博弈是否 能达到n 嬲h 均衡，而溢出效应将增加博弈达至l j n a s h 均衡的可能性【2 7 1 。 1 2 2 合作竞争系统的研究现状 2 0 0 4 年，y u u u 和m a s i m a a n 发表了n o n - i n f e r i o rn a s hs t r a t e g yf o r m u l t i t e a m s y s t e m s 一文，文中研究了支付函数为严格凸函数的多组静态博弈模 型，此模型被应用到许多现实的经济系统，生物系统，以及演化系统中。但是有 许多模型的支付函数都是非凸的，例如古诺模型，伯川得模型，从而y u u u 所 研究的一类模型需要改进才能应用到古诺模型，伯川得模型中。而后e a h m e d ， a s h e g a z i 等对y u m 的模型进行了改进，并将改进的模型应用到古诺模型， 以及伯川得模型中，建立了一类多组动态博弈模型，在目前所发表的文章中，所 建立的多组动态古诺模型过于理想化，简单的把产量调整速度设为1 或是一个变 数，从而所建立的系统都为线性系统1 2 8 - 3 0 】，然而复杂的经济系统多为非线性系统， 从而现有的模型需要改进，需要建立非线性的动态系统，研究其中的复杂性，才 能为企业的生存与发展提供较为准确的理论参考。 1 3 本课题研究的主要内容 本文在对以往学者关于企业合作研究进行总结和思考的基础上，提出本文的 研究目标和研究框架。 4 江苏大学硕士学位论文 本文主要研究在不完全信息下双寡头古诺博弈和伯川德博弈中的产量和价 格的动态调整策略，并结合t i t f o r - t a t 策略的思想研究产量和价格竞争中的合作行 为。通过对模型的分析，试图为企业的这种合作行为提供理论参考。文章主要分 为以下几个部分具体结构如下： 第一章主要阐述了企业合作的发展背景及主要经济模型的研究现状。首先介 绍文章的研究背景，其次介绍了主要经济模型的研究现状，主要介绍国内外学者 对寡头产量和价格竞争的研究。 第二章首先介绍博弈理论，给出c o u m o t 和b e r t r a n d 模型的基本理论以及与 之相关的n a s h 均衡基本概念。然后介绍了系统稳定性判据，重点介绍了连续、 离散系统的稳定性判据。 第三章首先在t i t f o r - t a t 策略影响下建立了具有不完全信息的双寡头动态产 量调整模型，并对其进行稳定性分析，并通过数据模拟研究企业间的合作行为。 之后又在才基础上对模型进行改进，加入反馈控制后使得模型的合作均衡达到 p a r e t o 最优状态。 第四章将t i t f o r - t a t 策略的思想应用于b e r t r a n d 价格竞争模型中，建立了价 格竞争的动态调整策略。并研究不完全信息下双寡头价格竞争中的合作行为。同 样通过对模型的改进使得改价格竞争中的合作均衡达到p a r e t o 最优状态。 5 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念和基本理论 本章主要介绍本文所涉及的基本概念和基本理论 2 。1n a s h 均衡基本概念 在给出n a s h 均衡基本概念之前，先来介绍几个博弈论中的基本概念f 3 l 】。 策略。策略是参与者如何对其他参与者的行动作出反应的行动规则，它规定 参与者在什么时候该选择什么行动。或者说，策略是参与者“相机行动方案 。 通常用a ，表示参与者f 的一个特定行动，所有行动集合用a = q ) 表示。母表示 参与者f 的一个特定策略，大写s = t 表示参与者i 的所有可能的策略集合( 又 称为参与者i 的策略空间) 。如果，z 个参与者每人选择一个策略，那么n 维向量 a = ( a l , 口：，a 。) 称为一个行动组合，其中a ，是参与者f 选择的行动。 s = ( 西，s 。) 称为一个策略组合，其中母是参与者f 选择的策略。纯策略( p u r e s t r a t e g y ) ：每一个参与者在博弈中选择采用的行动方案，每个参与者均有其可供 选择的多种策略；混合策略( m k e ds t r a t e g y ) ：在一个给定的概率下决定参与者决 策的随机行动，作为特殊情况每一个混合策略可能是一个给定的纯策略的确定性 选择，纯策略可以看作是混合策略的退化。 收益。在博弈论中，收益是指在特定的策略组合下参与者得到的确定的效用 或期望效用。效用通常表现为博弈结果中的输赢、得失、盈亏。收益是参与者真 正关心的问题。在博弈论中通常用u ，表示参与者f 的收益，如果一个策略组合是 “，s ：，s n ) ，每个参与人的收益可以表示为u ，= ，8 2 ，s n ) ，f _ 1 ，2 ，刀 均衡。在博弈论中，均衡指的是所有参与者的最优策略的组合，通常记为 s = “+ ，墨，品+ ) 其中岛+ 是参与者f 在均衡状态下的最优策略，它是参与者f 所有的可能策略中使u ，或e u ，最大化的策略。通常u ，使所有参与者的策略组合的 函数，而参与者f 的最优策略又是依赖于其他参与者的策略选择。所以说鼠是在 6 江苏大学硕士学位论文 给定其他参与者的策略选择( 记为s 一，= ，s i 书s i + i9 - s 。) ) 的条件下参与者f 的 最优策略，即( 墨，墨书岛，s 州，) “，“，吼书母，瓯小，) 均衡是博弈论 中最重要、最基础的概念，对于不同类型、不同条件的博弈问题又形成各种各样 的均衡概念。 定义阎2 1 1 在博弈问题g = p l ，一，s 。；1 1 1 ，“。) 中，如果对于每一个参与者 fo = 1 ，2 ，n ) ，s i 是针对其他刀一1 个参与者所选策略( s ；，s 二，s 二，s ：) 的最优 反应策略，即 ( s ：，s 二，s ? ，s 二，s n ) ( i ，s 二二，s n , s i , s , s d 、“f 【s l ，s ，d ，s l ，s ，+ l ，2 “f 【& ，s hj + l ， 对s 中所有的母都成立，亦即s + 是最优化问题 鬻u i ( i ，s “，s ，s 洲= 1 ，2 ，忍 的解，则策略组合s + = ( i ，i ，) 称为该博弈的一个n a s h 均衡。 可以从另外一个角度来认识n a s h 均衡。考察一个策略组合 s 7 = ( ，) 如果s 7 不是g 的一个n a s h 均衡，就意味着存在若干参与者f ，其策略s ；不是针 x c ( s ；，吐。，s , - 。，) 的最优反应策略，即在s ；中存在s ? ，使得 ( s ：，吐，吐l ，一，s 3 3 c 。问题是： 在完全信息条件下( 两个企业都知道市场价格，但不知道对方决策) ，两个企业 如何同时独立地选择自己的产量，才能获得最大利润。这就是c o u m o t 寡头竞争 模型。 ( a ) 两个企业独立地各自选择自己的产量的情形：此时企业a 的利润函为 9 江苏大学硕士学位论文 企业b 的利润函数为 死= q o ( p c ) = 吼( 口一( 吼+ 吼) 一c ) = 一z + ( 口一c ) 吼一f l q 。q b = q b ( p c ) = q b ( c r 一( 吼+ ) 一c ) = 一菇+ ( 口一c ) 一吼吼 由于两个企业都追求个人利润最大，吼，吼应满足下列一阶条件 晏= - 2 玩+ ( 口一c ) 一玩= o 叼a 粤= 一2 玩+ ( 口一c ) 一勉= 0 容易得出 吼=孑，死=死=可(of-c)2qb 吼2 2 j 矿死2 死2 可厂 由于假定两个企业的边际成本相同且都无固定成本，所以两家企业的产量和 利润一般情形下是不相等的。 此模型的思想就是完全信息条件下静态博弈模型的思想。用博弈论的术语来 讲，模型的解q a ，吼就是两个企业分别在假定另外一个企业产量一定的前提下 对对方的最优反应产量。因为完全信息静态博弈中的纳什均衡解就是：博弈中任 意一个参与者选择在假定其他参与者选定战略的前提下，对其他参与者选择战略 的最优反应。因此可以认为纳什均衡解是c o u m o t 模型解的推广。 ( b ) 两个企业共谋( 垄断) 的情形：两个企业联手控制市场，实际上两个 企业好像是一个企业。此时，p = 口一助，g = q a + q b ，且吼= 编。企业口的利润 函数 死= g 。( p c ) = 罢( 口一p q c ) 一f l zq 2 + ( 等) g 容易计算出使死最大的g 为q = 矛。最大的= ( 口矿- - c ) 2 ，同理最大的 1 0 江苏大学硕士学位论文 死= 鱼此时，吼= 吼= 1 0 r - - 矿c 。由此可以看出，和情形( a ) 相比，垄断是 两个企业的产量低而利润反而高。这看起来似乎是好事，但是，这种安排存在一 个问题，就是每一家企业都会倾向于提高产量，而不顾这种产量的增加会降低市 场价格，因此，这种均衡实际不稳定的。在c o u m o t 模型的均衡解终究不会出现 这种情况。这就是所谓的“囚徒困境 。假如企业6 按协议产量绋2 气茅选择产 量，而企业口背离了协议，他如何选择产量呢? 容易得出它的产量选择吼应使利 润函数死= 吼 一( 吼+ 。7 7 , - - 歹c ) 一c ) 最大。于是吼= 丝铲大于企业6 的产量， 此时企业a 的利润高于企业b 的利润。企业b 一旦发现企业a 的产量选择，他就 会背离协议，而选择情形( a ) 的产量吼= 专茅，从长远来看，两个企业最终稳 定在c o u m o t 均衡点。这是一个均衡的进化过程。 2 3 伯川德模型及其均衡 大约在库诺特给出库诺特模型后5 0 年，法国经济学家伯川德( j o s e p h b e r t r a n d ) ( 1 8 8 3 ) 在其一篇论文中讨论了另一种形式的同时博弈，参加该博弈 的双方都以定价作为决策变量( 库诺特模型里是以产量作为决策变量) 。这一改 变使博弈的市场均衡完全不同于库诺特均衡。 2 3 1 , f l 刍i l 德模型 假设市场上只有两家企业1 和2 ，生产的产品完全相同，企业也完全相同( 即 成本函数完全一样，生产的边际成本相同且均没有固定成本) 。市场需求为 o d = o t - t i p ，口，为大于零的常数，p 为市场价格。两企业的策略选择为产 品的价格，两个企业的收益函数为 江苏大学硕士学位论文 棚州= 仁犁， 0 p t p j 0 p i = p j ，i ，- = 1 ，2 0 p j p i 即企业l 的定价a 如高于企业2 的定价仍，则会失去整个市场；若a p 2 ，便会 得到整个市场；若两个企业的定价相同，则平分市场。当然，假定p l 0 。如果两个公司同时选择价格a 与p 2 ( a ，p 2 0 ) ，则 公司i 的盈利函数可定义为 u i ( a ，p j ) = 仍( a ，乃) 尼一c 】_ 陋一a + b e a p , 一c 】( i = 1 ，2 ) o d 由求偏导数法 要= 口一2 b + 峨= o 嘱 。 可得薪= 五= 嵩。( 嵩，嵩 即为该博弈的纳什均衡。 2 4 动力系统稳定性判据 2 4 1 稳定性定义 由于大多数非线性微分方程是不可能或很难求出其解的具体表达式来的，因 此必须要研究在不具体解出方程的情况下判断方程解的稳定性态的问题3 5 1 。 假设我们所考察的系统可以用以下形式的微分方程来描述： 鲁吲胁碱) d 出x _ _ a l = ，2 ( f ，而，恐，毛) 亟d t = ( f ，而，而，而) 江苏大学硕士学位论文 写成向量形式为： i d x ：f ( f ，x ) ( 2 1 ) 出 一 、 。 满足初始条件：x ( t o ) = x 。，其解设为：x = x ( t ；t o ，x o ) ，式中x ，f 是向 量函数。假设x = o 是方程( 2 1 ) 的一个特解( 如果x = y o ) ，只需要做变换 i = x y o ) ，则原方程的解x = y ( f ) 就化成了新方程的零解x = o ) 。下面就讨 论方程( 2 1 ) 零解的稳定性。 定义2 4 1 如果对任意给定的s 0 ，存在8 ( t o ，占) 0 ，当范数 l i x o l l 0 如何小，总有一个凰有 i i x o l l t o y 吏j | 导 怙瓴；气，x o ) l l - f 则称x ：0 是不稳定。 1 4 江苏大学硕士学位论文 2 4 2 连续动力系统的稳定性判据 考虑线性方程 j = 止，x r ” ( 2 2 ) 平衡点x = 口( 这里假定平衡点为原点) 的稳定性可由a = 研 ) 的特征值 a ，的实部的符号来确定【3 4 】： ( 1 ) 如果a 的所有特征值都满足r e ( a ，) o ，则平衡点x 是不稳定的。 ( 3 ) 如果a 没有正实部的特征值，担忧零实部的特征值，则平衡点x 可能 是稳定的也可能是不稳定的。当零实部的特征值的重数与其特征向量空间的维数 相同时零解稳定，否则不稳定。 2 4 3 离散动力系统的稳定性判据 对于m 维离散动力系统，其数学表达式为 吒+ l = ( 毛) ，以= 0 ，1 , 2 ， ( 2 - 3 ) 这里的x 为m 维向量，表示m 维向量函数。 与连续系统的平衡点相对应的概念是离散系统的不动点，而这种不动点就是 满足x = f ( x ) 的点x ，即有毛= ( ) 与连续系统的平衡点稳定性判据类似，有如 下定理。 定理【3 5 】2 4 1m 维离散动力系统的不动点的稳定性是由( 2 3 ) 右端函数的 j a c o b i a n 矩阵的特征值决定。 ( 1 ) 若所有特征值小于1 ，系统( 2 - 3 ) 的不动点稳定； ( 2 ) 若存在大于1 的特征值，系统( 2 3 ) 的不动点不稳定。 对于特征值等于1 的情况，与连续动力系统中特征值具有零实部的情况相似。 江苏大学硕士学位论文 第三章双寡头产量博弈动态调整合作机制的分析 寡头垄断市场是指只有少数几个企业竞争的一种普遍存在的市场结构。 在 该市场中，一定数量的生产同质商品的企业必须在考虑其他企业行为策略的基础 上制定自己的产量决策 3 6 1 。由于企业间策略的相互影响，博弈理论已广泛应用于 垄断市场。寡头企业是竞争的，博弈论中刻画其竞争均衡的基本概念是n a s h 均 衡f 矧。但是正如囚徒困境所揭示的那样，n a s h 均衡虽然反映了个体理性，却违 背了集体理性双寡头博弈的n a s h 均衡并非帕斯托最优。囚徒困境告诉我们， 个人理性和集体理性之间存在矛盾，基于个人理性的正确选择会降低大家的福 利。也就是说，基于个人利益最大化的前提下，帕斯托改进( p a r e t oi m p r o v e m e n t ) 得不到进行，帕斯托最优( p a r e t oo p t i m a l i t y ) 得不到实现。囚徒困境所提出 的一个重要问题就是在没有正式契约的前提下合作行为是否会产生【3 7 】。在现实的 经济市场中，我们确实能够观察到相互竞争的对手往往能达成合作的现象。 对于标准的囚徒困境博弈模型，理论及试验的研究已得出，在一些特定情况 下合作行为能够出现。例如，囚徒困境如果是一次性博弈( o n es h o r tg a m e ) 的 话，基于个人利益最大化得到纳什均衡解。但如果是多次博弈，人们就有了合作 的可能性，囚徒困境就有可能破解，合作就有可能达成。连续的合作有可能成为 重复的囚徒困境的均衡解【3 9 - 4 0 ，这也是博弈论上著名的“大众定理”( f o l k t h e o r e m ) 。a x e l r o d 也证明了在重复博弈中允许合作产生的最优行为是 t i t f o r t a t ( 针锋相对，一报还一报) 策略【4 1 1 。所以合作的达成并非一定要通 过强制策略来实现。 企业产量竞争的寡头搏弈( c o u r n o t 博弈) ，虽然面临囚徒困境( n a s h 均衡产 量不能达到利润的p a r e t o 最优) ，但本身不能用标准的囚徒困境模型加以研究， 因为囚徒困境模型的策略集是有限集( 合作与不合作) ，而寡头产量竞争的策略 集是无限集。文献 3 8 通过对前期利润和产量的研究构建了一种产量调整策略 ( 称为优策略) ，其稳定状态最终使参与人之间达成了合作均衡，从而使c o u r n o t 博弈面临的囚徒困境在一定意义下得以破解。不过文献 3 8 的“优策略 是各生 产者在完全清楚自己及对方产量及利润的前提下进行的。但实际上，在现实经济 中相互竞争的厂商，甚至即使达成一定合作的厂商之间，为了各自的利益往往都 1 6 江苏大学硕士学位论文 会将自己生产、利润等有关情况作为商业秘密加以保密，其他厂商很难了解真实 情况，所以不完全信息假设更具合理性。不完全信息的古诺模型是静态贝叶斯博 弈的典型例子【4 2 】。例如在两厂商模型中，只要有一个厂商对另一个厂商的生产成 本不清楚，则前一个厂商就不可能完全清楚另一个厂商在各种双方产量组合下的 得益，前一个厂商就不可具有完全信息的。然而每个生产者完全知道自己的产量、 利润等情况，那么能否据此制定产量策略，竞争各方的策略组合最终达到合作均 衡? 本章在无法获知对方产量及利润这些市场信息的同时来研究企业如何调节 自身产量来获取更大的利润，同时结合囚徒困境问题中t i t - f o r - t a t 策略的思想 来研究c o u r n o t 寡头竞争中的合作行为。 3 1 模型假设 我们考虑两企业生产同种产品的市场，在离散的时间段t = 1 2 ，3 进行生产。 企业的产量记为q j ，( i = 1 ，2 ) ，生产成本是一线性函数： g ，= q 绣，( 3 - 1 ) 我们也假定逆需求函数也为一线性函数： a = 口一崛( 3 2 ) 其中口，b 0 ，口 c t ，q = ，呸，为该产品，时期的总供给，a 为f 时期的市场价格。 于是在f 时期每个企业的利润函数为： 乃= ( a - b q , - c 1 ) q l ， 万2 。，= ( a - b q t - c 2 ) q 2 ， ( 3 - 3 ) 本节研究的是不完全信息下合作的产生机制，以下研究的模型都是在比较自 身利润与合作利润的差值来建立的。合作利润的求解在有关寡头博弈的竞争与合 作中已有过许多介绍【4 3 1 ，其意义是使各企业总利润万( 7 l ：巧+ 码) 达到最大时 所求得的利润。我们考虑对称情形：c l = c 2 = c ，由娑= 0 ，扛1 ，2 来计算每个 o q t 生产者的合作利润： 1 7 江苏大学硕士学位论文 令 企业总利润万为： 万= 乃+ 乃= ( 口一b o q ) g 。+ ( 口一b o c 2 ) q 2 - - ( a c ) ( g 。+ 9 2 ) 一6 ( 吼+ 9 2 ) 2 可得取得合作利润的产量为：吼：芝，每个生产者的合作利润为： 4 ， 兀：坠笪 86 。 3 2tit - f o r - t a t 动态调整策略及其均衡 3 2 1tit - f o r - t a t 动态调整策略 t i t - f o r - t a t 策略是囚徒困境模型在重复博弈中允许合作产生的一种最优行 为【4 。该策略的特征是：每个参与人每一步决策时都跟随对方上一步的策略，你 上一次合作，我这一次就合作，你上一次不合作，我这一次就不合作。 本节将囚徒困境模型t i t f o r - t a t 策略的思想用于我们讨论的c o u r n o t 模型， 并考虑到信息的不完全而设计产量的动态调整方程。每个生产者虽然不能获得竞 争对手的完全信息，但是都完全清楚自己有关产量、利润等信息。生产者i 可以 将自己r 时期实现的市场利润磊，与具有p a r e t o 最优的合作利润瓦进行比较。当 自身利润高于合作利润( 吸一互， 0 ，生产者f 不能实现合作 利润，则推测竞争对手的产量选择缺少“合作”，所以下一期决定产量时，出于 1 减少产量就可能减少下一个时期产品的市场总供给，就会提高产品的市场价格，所以就可能增加各 自的利润。 1 8 0 0 = = 、-、j 魄 吼 + + 吼 吼 6 6 2 2 一 一 c c 一 一 口 口 = j | 塑姐塑电 江苏大学硕士学位论文 对对方上一期“不合作”的“惩罚 ，生产者f 就会增加产量2 。基于这样的思想， 本文给出如下的产量动态调整方程： 吼篡三娑乏幺训叫一l 2 ( 3 - 4 )= g f + h f 【死一( 口一6 q f c f ) 纽 f 】 其中，是调整系数，且“； 0 。 这是一种简单的调整机制，生产者不需要知道对手的相关信息，所以是不具 有完全信息的调整策略。调整方程( 3 4 1 不仅形式简单，而且融入了无限重复的 囚徒困境博弈模型讨论的t i t - f o r - t a t 策略的思想。自然地，我们关心的问题是： t i t f o r t a t 策略可以破解囚徒困境而是竞争各方达到合作均衡，那么具有 t i t f o r t a t 策略思想的调整方程( 3 4 1 能否最终使得c o u r n o t 博弈获得双方合 作的p a r e t o 最优均衡? 3 2 2 稳定性分析 注意到q = 绕+ q 2 ，由 得系统( 3 4 ) 的唯一的不动点 州“h 孙= ( 等，等) o 容易计算，二维系统( 4 ) 的j a c o b i a n 矩阵为： ，( q l , q 2 ) = ( 1 + 2 6 乞三：2 一口+ c 。+ 甜：( 2 6 笔吼一口+ c ) 从而在均衡点e 处的j a c o b i a n 矩阵为： 嘣厄h ( 等刮1 羞1 兰 i44 2 增加产量就町能增加期产品的市场总供给，就会降低价格，所以就可能减少对手的利润。 1 9 ， 吼吼 = = ，纠 g g、 f c 一 一 q q 6 6 一 一 口 口 ，- 、 一 一 疋死 r-_l r。_l 屹 + + 吼吼 ，cl 江苏大学硕士学位论文 其特征多项式p ( a ) = 允2 一乃五+ 眈f ，其中行为迹，眈f 为矩阵行列式，且有 乃：2 一u , ( a - c ) 一u 2 ( a - c ) 4 4 d 舀：1 u l ( a - c ) u 2 ( a - c ) 。 解特征方程 川一2 一 2 一掣一掣卜掣一掣= 。 可得其两个特征值： a = 1 ，五= 1 一t u , ( a - c ) 一t u 2 ( a - c ) 。 要使均衡点达到局部稳定，其j a c o b i a n 矩阵的特征值需满足l 丑l 0 ，一y ( 研，- q 。) 为系统的反馈控制。 产量调整方程( 3 5