（应用数学专业论文）具有随机应力转换时间的步加试验的统计分析和最优设计.pdf

摘要 随着科学技术和经济的发展，步进应力加速寿命试验成为一种主要的试验 方法。其中，具有随机应力转换时间的步加寿命试验由于其实用性而更具有研 究的意义。本文对具有随机应力转换时间的步加寿命试验进行了研究，主要解 决了下面几个问题： 1 对指数分布场合下，截尾样本的具有随机应力转换时间的步加试验问题， 建立了试验的模型，给出了试验中未知参数的极大似然估计、矩估计、区间估 计和b a y e s 估计，并利用数值模拟的方法证明了文中的估计是更优的和可行的。 在此基础上，以设定应力下对数平均寿命的极大似然估计的渐近方差最小为优 化标准，得到了试验的最优设计，通过实例验证了此方案是有效的。 2 分别对具有p ( p 1 ) 个竞争失效机理的产品和双参数指数分布的情况， 建立了完全样本和截尾样本下步加试验的模型，给出了模型中未知参数的极大 似然估计。通过数据模拟，将本文的估计方法和以前的估计方法比较，证明了 文中的方法是准确的和有效的。接着分别以设定应力下，各失效机理的对数平 均寿命的极大似然估计的渐近方差之和最小和近似平均寿命的极大似然估计的 渐近方差最小为优化标准，得到了试验的优化设计。最后通过实例验证了文中 的方案是可行的。 3 引入新模型( k h m ) 代替积累损伤模型( c e m ) ，将指数分布场合得到的结 论推广到w e i b u l l 分布的情形。 关键词：指数分布，随机应力转换时间，步加寿命试验，最优设计，竞争失效 产品，威布尔分布。 a b s t r a c t w i t ht h e d e v e l o p m e n t o fs c i e n c e t e c h n o l o g y a n d e c o n o m y ，s t e p * s t r e s s a c c e l e r a t e dl i f et e s tb e c o m e sa ni m p o r t a n tm e t h o d m o r e o v e r , s t e p s t r e s sl i f e - t e s t i n g w i t hr a n d o ms t r e s s c h a n g et i m e si ss t u d i e db e c a u s ei ti sm o r eu s e f u li np r a c t i c e i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，s t e p s t r e s sl i f e t e s t i n gw i t hr a n d o ms t r e s s c h a n g et i m e si sd i s c u s s e d a n dp r o b l e m sa r es o l v e da sf o l l o w s ： 1 t h e s t e p - s t r e s sl i f e t e s t i n g w i t hr a n d o m s t r e s s c h a n g e t i m e su n d e r e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o ni ss t u d i e d ，w h e nt h es a m p l e sa r ec e n s o r e d w es e tu pt h e m o d e lo ft e s ta n dg i v et h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e s ( m l e ) ，m o m e n te s t i m a t e s ， s c o n f i d e n c ei n t e r v a le s t i m a t e sa n db a y e s i a ne s t i m a t e sf o rm o d e l p a r a m e t e r s t h o s e e s t i m a t e sa r ep r o v e do p t i m u m b yu s i n g n u m e r i c a lm e t h o d o nt h eb a s i s ，a no p t i m u m t e s t p l a n i s e x p l o r e db ym i n i m i z i n g t h e a s y m p t o t i c v a r i a n c eo ft h em a x i m u m l i k e l i h o o de s t i m a t e so ft h em e a nl i f ea tad e s i g ns t r e s s t h ep l a ni sp r o v e de f f e c t i v e t h r o u g h a ne x a m p l e 2 w ec o n s i d e rt h em o r ec o m m o ns i t u a t i o n s ：t h et e s t sw i t hc o m p e t i n gc a u s e s o ff a i l u r ea n dt h et e s t su n d e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nw i t ht w op a r a m e t e r s t h e m o d e l sa r es e t u pw h e ns a m p l e sa r ec o m p l e t e da n dc e n s o r e d ，m l eo fm o d e l s p a r a m e t e r sa r eg i v e n s i m u l a t i v e d a t as h o wo u rm e t h o di sa c c u r a t ea n de f f e c t i v e t h e nt h eo p t i m u mt e s td e s i g n st om i n i m i z et h es h i l lo f a s y m p t o t i cv a r i a n c et h em l e o ft h el o gm e a nl i f ei ne a c hc a u s ea ta d e s i g ns t r e s s a l s ow e o b t a i nt h eo p t i m u mt e s t p l a nw h i c hi s m i n i m i z e dt h ea s y m p t o t i cv a r i a n c et h em l eo ft h em e a nl i f ea ta d e s i g ns t r e s s a tl a s t ，w ei l l u s t r a t et h eo p t i m u mt e s t p l a n so n s o m e e x a m p l e s 3 an e wm o d e l ( k h m 、i su s e dt oi n s t e a dt h ec e - m s o m er e s u l t sa r e o b t a i n e du n d e rw e i b u l ld i s t r i b u t i o n ，w h i c ha r es i m i l a rt ot h o s eo f e x p o n e n t i a ld a t a k e yw o r d s ：e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，r a n d o ms t r e s s c h a n g et i m e s ，s t e p - s t r e s s a c c e l e r a t e dl i f et e s t ，o p t i m u mt e s tp l a n ，p r o d u c t sw i t hc o m p e t i n gc a u s e so ff a i l u r e ， w e m u l ld i s t r i b u t i o n 西北工业大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 加速寿命试验的背景知识 在可靠性研究中，要了解产品的性能和可靠性水平，就要进行产品的寿命 试验。在一批产品中选取一定数量的样品，在实验室模拟实际使用过程中的主 要条件，在人工控制的条件下进行试验，记录下产品的寿命和失效原因。对失 效数据，利用统计方法进行分析，就可以得到产品性能指标和可靠性指标的估 计，从而了解产品的质量。 随着科学技术的发展和国际问经济竞争日趋激烈，人们需要在较短时间内 知道产品的质量信息，这就要求进行加速寿命试验。所谓加速寿命试验，是指 在保持失效机理不变的条件下，把样品放在比通常条件严酷得多的条件下进行 试验，来加速样品的失效。加速寿命试验，按照应力施加方式的不同，通常分 为三种类型：恒定应力加速寿命试验、步进应力加速寿命试验、序进应力加速 寿命试验( 简称恒加、步加、序加试验) 。恒加试验是把全部样品分成几组，每组 样品都在某个加速应力水平下进行寿命试验，试验到规定时间( 也称截尾时间) 或规定的个数( 也称截尾个数) 结束。步加试验则是把全部样品先放在某个加速应 力水平下进行试验，待到一定时间或一定个数的样品失效，把未失效样品放在 更高的加速应力水平下继续进行试验，如此进行下去，应力逐步提高，直至规 定时间或达到一定数量的样品失效个数，试验结束。序加试验和步加试验基本 相同，只是施加的加速应力是一个随时间增加连续上升的函数。 加速寿命试验的基本思路是利用高应力水平下的寿命特征去外推正常应 力水平下的寿命特征，实现这个基本思路的关键在于寿命特征与应力水平之间 的关系，这种关系称为加速模型，又称为加速方程。常用的加速模型有： 1 阿伦尼斯( a r r h e n i u s ) 模型 f = a e 7 k 7 ， 孝是某寿命特征，如中位寿命、平均寿命等。a 是一个常数，且a 0 。e 是激 活能，与材料有关。k 是波尔兹曼常数，为8 6 1 7 1 0 5e v 。c 。t 是绝对温度。 西北_ 业大学硕士学位论文 2 逆幂律模型 眚= a v ， f 是某寿命特征，如中位寿命、平均寿命等。a 是一个正常数。c 是一个与激 活能有关的j 下常数。v 是应力，常取电压。 3 ，义艾林模型 善7 ax p 争唧叭c + 和， 其中爿，b ，c ，d 是待定常数，k = 8 6 1 7 1 0 。5e v 。c 是波尔兹曼常数。 4 多项式加速模型 l n 4 = r o + 妒( s ) + + r k ( s ) r 上面这些加速模型的线性化形式可统一写成如下形式： 1 n 孝= a + b o ( s ) ， 其中# 为某寿命特征，庐( s ) 为应力水平s 的已知函数，今后多用到此加速模型。 1 2 加速寿命试验的研究内容和主要成果 加速寿命试验的研究内容简而言之，就是验前的最优设计和验后的统计分 析。统计分析的任务是将加速应力水平下产品的寿命信息加工，估计出加速寿 命方程中的未知参数，再利用该方程外推出正常条件下产品的性能和可靠性指 标，即若寿命0 和应力s 间有如下的加速方程： i n 0 = a + 6 ( j ) ，妒( s ) 为应力水平s 的已知函数， 则利用在高应力水平s ，足，墨下观测到的失效数据，由通常的统计方法，如： 极大似然方法、矩方法、最小二乘方法等，得到d ，b 的估计a 和5 。利用上面的 加速方程，可外推得到正常应力氐下产品的寿命o o = e x p 5 + 6 矿( ) 。最优设 计就是在给定条件下，如何选取应力水平的大小，如何分配各应力水平下样品 的数量，以获得对各种可靠性指标更准确的估计，节省时阳j 和费用。 在加速寿命试验中，步加试验由于其所需样品少，试验时间短等优点，倍 2 西北工业大学硕士学位论文 受人们的青睐。1 9 8 0 年n e l s o n 提出了著名的积累损伤模型：产品的残余寿命 仅依赖于已累积失效的部分和当时的应力水平，而与累积方式无关。使产品在 不同加速应力水平下的试验时间可以互相折算，从而使步加试验的统计分析取 得突破性进展，n e l s o n 并在此模型下，对电缆绝缘材料步加试验的失效数据进行 了统计分析，用m l e 得到了正常应力水平下w e i b u l l 分布参数的估计。此后， 茆诗松、葛广平及他们的学生” 6 1 在统计分析方面也做了许多工作。1 9 9 6 年 t r r o s k i n & k r i v d o p o v 用非参数方法对简单步加试验的失效数据进行了分析。 d o r p ，m a z z u c h i 等【8 】建立了一个b a y e s 模型，并用b a y e s 方法对简单步加试验的失 效数据进行了分析。1 9 9 8 年c h e n g j i ex i o n g 归1 用构造枢轴量的方法，给出了指数 分布场合下第1 i 类截尾简单步加试验中参数的区间估计，1 9 9 9 年| 1 0 1 提出了指数 分布下具有随机应力转换时间的步加模型，并对该模型进行了研究。2 0 0 0 年费 鹤良j i l l 研究了幂律威布尔模型下简单步进应力加速寿命试验，并给出了参数的 区间估计。张志华m 1 则给出了对数正态分布定时截尾加速寿命试验的统计分析。 在最优设计方面，1 9 8 3 年n e l s o n ，m i l l e r t ”1 研究了完全样本下指数分布场合简单 步加试验的最优设计，给出了试验的最优转换数。1 9 8 9 年b a i 【1 4 1 对同样的问题研 究了截尾样本的情形。1 9 9 1 年b a i 等 15 1 研究了指数分布场合，竞争失效产品的 简单步加试验的最优设计。茆诗松，王玲玲1 1 6 1 把国内外应用与研究成果中最为 实用和较为成熟的各种加速寿命试验的方法作了整理。葛广平和他的学生”1 _ i ”1 也做了许多工作，特别是在竞争失效产品方面。2 0 0 2 年翟伟丽，茆诗松 2 0 i 又给 出定时截尾场合下，双参数指数分布参数的近似无偏估计。对w j i b u l l 分布场合， k h a m i s ，h i g g i n s l 2 6 1 提出了新的k h m 代替积累损伤模型，简化了运算。2 0 0 2 年 a l h a d e e d 等 2 8 1 给出了k h m 下定时步加试验下的优化设计，解决了当参数j 未 知时试验的优化设计问题。 西北t 业大学硕七学位论文 1 3 具有随机应力转换时间的步加试验及模型的介绍 1 2 中的研究成果，多数是在应力转换时间是固定的情况下得到的，而实 际卜，在大多数情况下，应力转换时间是随机的。因此，对具有随机应力转换 时间的步加试验的研究更具有现实意义。 1 3 1 定时简单步加试验模型 假定：1 在任何恒定应力下，寿命分布为f ( ，) = f ( 古) ，r o ，f ：1 ，2 ； 2 寿命和应力间满足加速方程； 3 加速应力水平满足：x 。 x l 0 或f ( f ) ：1 一e ， 0 其中五是失效率，0 是平均寿命， 与0 互为倒数。 为了讨论上述加速寿命试验，假定 a 1 在应力水平x 下，产品的寿命分布为 即) 川吾) 小e 一一，r o ，i = 0 , 1 , 2 a 2 产品的平均寿命咿满足加速方程： i n p = c l + p x ，i = 1 , 2 ，口，p 为未知参数。 西北工业大学硕f 二学位论文 a 3 产品的各失效时间是统计独立的： a 4 在给定c 1 = c l ，c 2 = c 2 的条件下，n e l s o n 原理成立。 在上面假定下，取n 个产品放置在x 下进行试验，有 个产品失效时，立即 将应力转换为x ：，然后对未失效的产品继续试验，直至有吒个失效时停止试验。 由a 1 ： e ( f ) ：1 一e 一和e ( f ) ：i _ e - 2 ( f o )( 2 2 1 ) 分别为应力水平一，x ：下产品的寿命分布。 在给定g = c l ，c 2 = c ：的条件下，产品的概率密度函数为 g ( t c i ，c 2 ) =，銎妒q ：固 击，c 普+ 和鳅邰。 + 由于c 。是应力x 。下，样本容量为h 的产品的第个次序统计量，由次序统 计量的分布得c l 的概率密度函数为 “c 。，= 善( ： 厂c 哥，f 叫c 昔，r ”nc 毒， c z 2 ， 给定c 1 = c 1 时，c 2 是应力x ：下样本大小为 一的第吒个次序统计量。则c 2 的概率密度函数为 以c 2 ) 却训悖- r , - ，1 硒1 。八c 2 麦c i ”+ 争 妒c 寻+ 护唁坩馕弋署+ 斧 于是，产品寿命t 的边缘分布为 g ( ，) = f 。f i g ( t i c c o 1 ( q ) ) d c d c ： 由( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 茅1 1 ( 2 2 4 ) 式，可得 f 出! + r 击c 音，一c c 。，- 屯c c ! ，如，= ”c n 一- ，( _ ：i ： ( ”：! j 1 f 2 2 4 ) ( 2 25 ) 西北工业大学硕士学位论文 癌唧h 州 川) ! 沪 1 厂寿e x 盱扣州c n - r r + 1 ，争 - e x p ( _ 喾胪 1 - e x p ( 一护。1 ( 令d = c 2 - - c i ，2 n c ”一- ，( ： ( ”：! i 1 r 壶( 吩歹1 e x - t c ”一- 一吒+ - + ，薏，出 寿唧c 一驴r l - i 卜) 唧h n - r 。+ l + i ，私 = r 门 ( 四 出2 竺竺：! ：! 主 ( 玎一 + i + 1 ) ( 疗一一r 2 + - ，+ 1 ) - 0 p ：喏厂c 鲁+ 私心h ( c 2 地旷秒( ( 打爿 厂壶h 一- ( n - r i - r z + l + j 噎坎 f 矗啷卧f i 驴- i 卜( 瞰塑等型一坐孝型h 皿 盯r 肝 e x p ( n - r - + i + 2 ) 吉 _ e x p 一( n - r - r 2 + ) 麦) ( h 一一吒十_ ，+ 1 ) 【( n 一 一吒+ ，+ 2 ) 岛一( h 一+ i + 2 ) 0 2 故g ( f ) = 吼月+ 仍】 其中p = n c ”一一，( ： ( ”：i 1 蓦和付肟1 9 ( 2 2 6 ) y卜 户 、， 一l_ 一 一 t h ，、， 1 1 一 一 疗_ ，、 )l ， )卜 叫倒 川 y卜 脚 、j卜 叫脚 、， 一11 一 一 t n ，。l、l l 1 一 一 n ，。l ) 西北丁业人学硕士学位论文 e x p - ( n - r - + i + 2 ) 言 仍一2 瓦i 雨百万i i 而 在上面的模型下，可求得r 的一、二阶矩为 e ( 丁) = p f - 仍。d t + f 妒：，。础】 其中f 吼d t r 2 + _ ，+ 1 ) ( 月一 + i + 1 ) 胁胪瓦专焉蔷等等蔫等丽 e ( t 2 ) = i f ，t f , 2 o , a d t + f t 2 妒2 , a a t 其中p 咿2 f i 砑百芸b 面丽， 脚2 高等并警差等蒜+ ! 竺二二垒型! 二! 1 2 垡鱼 ( 甩一一吒+ - ，+ 1 ) ( 竹一一吒+ ，+ 2 ) 3 ( 玎一+ f + 2 ) 3 2 3 模型参数的估计 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 由假定a 2 ，产品的平均寿命l n o , = 口+ 肛，i = 1 , 2 ，a ，p 为未知参数 根据( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) ，对口，进行估计。 2 3 1 极大似然估计 取n 个产品进行试验，得到+ 屹个失效时间r l , l ，l + 。，则它们是统计 独立的，且来自边缘分布q ( t ) ，f h ( 2 2 6 ) 式，求口，的极大似然估计的问题转化 为求方程组0 a l n _ 些。_ l ：o ，芝茅：o 的问题，其中三：兀：i “g ( 。 8仅88 11 r 0 编篙滗篙 盱 2 3 2 矩估计 由( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 式，解方程组 即，= 菩熹 e ( 丁) = ( t 2 e ( t ，= 善羔 ) = 二l ( 23 1 ) 即可。 2 3 3 区间估计 设o ， i 且0 ， 1 ，应力转换时间c t = f ，c 2 = t ，由c x i o n g 可得 ( 1 ) 的( 1 一y ) 的置信区间；( 2 ) 口的至少( 1 - r ) ( 1 - 7 + ) 的置信区间。 记：m ，为最小的失效时间：m 为最大的失效时间；巧为在应力x ，下总的失 效时间，i = l ，2 ；f 4 s l ，s 2 ) 是自由度为 ，j ：，上分位点为c 的f 一分布，0 喊( 一，f 4 】，其它。 其中：孝1 0 9 照竺孚等立生一坚】，f ：3 ，4 ( r l i rf 当应力转换i n jc 。，c 2 为随机变量时，即有 p l 1 2 i c i ，c 2 = 1 一y ，c l 。；口的先验分布为( 臼i c l ) o c 昙 l k ， 0 k ：；参数，届可通过历史数据及专家意见确定。 g ( ，曰i c 1 ) o c 吉舻。e x p ( 一层五) ，1 占 佃，o 旯 0 ，i ( 一1 6 ，1 1 + 占) 都成立，y 可积。当i 专一1 时 ，竺j x 。，满足控制收敛定理的条件，由【2 4 1 控制收敛定理的推论可得 a i m ，；。c 一，( ；_ 1 e x p ( - ( n - r + 1 + i ，t c 。a 口，= c 一，n - c - 一- ，e x c n q 丑口， 故( 253 ) 式成立。 由( 2 5 2 ) 、( 2 5 3 ) 知：( ，0 ) 的联合先验分布为 g ( a ，0 ) “g ( 2 ，o i c l ) f ( c 1 ) = 舻1 e x p 一兄( c 1 0 + 届) ) ( 2 5 4 ) 由( 25 1 ) ，( 2 5 4 ) 可得( 旯，0 ) 的后验分布为 f ( 2 ，口i f ) “g ( 旯，口) 工= 刀+ 1 0 5 e x p - 2 ( c l 臼+ 届+ 口“i ) 则 ，口的边缘后验分布为：_ c 砷，= t 鬻， c z s 渤 胛 = 糕， 暇s q 首先，分母2 r f f 2 刀”臼7 掣f”十口 “1 e x p 一五( c l 口+ 届+ 伊t , ) d t 知1 2 d c ( 窆互，+ 臼一n - r , 疋，+ 目一届) t 1 + ( 一) ( 1 0 一) 】 j = lj = l d o 两北丁= 业大学硕士学位论文 “f 2 瓦万筹三船 ( 2 5 5 ) 的分子2r f 2 1 e x p - 砸肚届+ 妻明删触 护如。卜扣1 峙一e x p - 2 ( p i + 臼1 j + 臼f 1 + 瓦，埘 胪，f 2 之广l 二训 4 - 1 + ( n 一) ( 1 一目f ) 目n 。1 卜扣1 m e x p - a ( p l + 臼窆一。j + 口f 1 疋j ) 记蠢”1 卜丽而占 当日 ( 2 5 6 ) 的分子= fr + m 曰9 e x p 一a ( c 。口+ 届+ 圭口n z ) ) a 2 a c 记d = 一r ( n + 口l + 1 ) h + 口 ( 口圭正，+ 芝疋，+ 屈) - t 1 + ( 九一) ( 卜臼一) 1 = 1j ；l ( 目圭t ，+ 0 - i + 1 艺瓦，+ p 1 ) 吣【1 + 一) ( 1 一口一) 】 户l尸l 故眨s 渤。斋嚣南，叭从佃， ( 2 5 6 ) = 百d ， t l 。；口的先验分布为 g ：( 口h c ：) o c 万1 ，l 。 口 ：；参数q ，届可通过历史数据及专家意见确定。 由此可得( a ，0 ) 的条件联合先验分布为 g ( 2 , 0 1 c 1 ) o c l a 。 - te x p ( 一届 ) ，l 目 + ，。 a + ( 262 ) 利用c ，c 2 是次序统计量的信息，可得c l ，c ：的联合密度函数为 c ) 一h ( + ， 墨 。闩 = 墨 耍!三些查兰堡主兰垡鲨l f ( c is c 2 ) = 万丽焉莉赤吨x p 一n - q + 1 卜苛 。万可万面矿i 面丽1 “9 卜。 r 百 1 - e x p ( 一耖e x p h n - r - r 2 + 1 ) 寻) 【1 - e x p ( 一簪炉一 九： ( 一1 ) r r 2 1 ) ! ( n 一一吃) ! z 毋筹c 一，。( i 1 ) e x p t c n - r i + 1 + i ) c i ：1 , 0 ， 口“芸c 一- ， 屹歹1 e x p t c n - r t + r 2 + l + j ，c c z c t ，五目“， o c 牙口2 + f 一e x p 一( 岛0 一一q o 。一q ) 2 0 ( 2 6 3 ) 下茈对于级数善r , - i ( 妙卜 _ ( n - r + 1 + i ) c 慨 芸c 一，( 吒歹1 ) e x p t c n - r + r 2 + l + j ，c c z c ，旯口砚，： 由控制收敛定理的推论可得； 牌。扣卜卜h n - r j + l + i m 竹c 矿1 乜柚州- n c v z o ， ，1 i r a 。一筹c t ，( 匕歹1 t e x ”t - ( n - r t + r 2 + l + j ，( c 2 - c 1 ，五口。， = ( 一1 ) 。( 吩一1 ) e x p 一( n 一_ ) ( c 2 一c 1 ) z 口“】 则f ( c i ，c 2 ) 。c ；t o e x p ( - c l a p ) a 口9 1 e x p 一( c 2 一c 1 ) 旯p “】 。c 牙臼2 + f e x p 一( c 2 p f 一一c l 曰f 一c i ) 五日】 所以，( a ，臼) 的联合先验分布为 g ( 旯，臼) 。c g ( a ，e l c l ，c 2 ) - f ( c i ，f 2 ) = 舻“e x p 一a 【驴( c 2 一c 1 ) 一c i 0 + 届】) ( 2 6 4 ) 由f 2 6 1 、f 2 6 4 、可得r a 目、的后验分布为： 两北工业大学硕士学位论文 f ( 2 ，目l ，) “g ( 咒，目) l = + 2 仲1 0 乒慨e x p 一兄【曰n ( c ：一1 7 1 ) 一q o + 届+ 0 “z 】) 则九日的边缘后验分布为：一”= t 疆篙，c z 石s ， 删) = 瓦f f 而, ff ( 丽2 , 0 t ) 赢d 2 d c 2 面d c l ，( 2 s s ) 孵而高等 ( 曰窆正，+ 口一+ 艺疋，+ p 1 ) 一【1 + o 一 ) 一，2 0 一) d p 洲兰f 2 函万嚣杀磊丙d 口 。目扣。卜扣1 净1 e x p 一旯( 届+ 口艺正+ 臼一艺疋，j ) ( 2 6 5 湔好甜”l “卜百而而等二口 记e 兰蚋+ z s 甸鼢予两高离( ，+ c + 2 ) ( r + 口i + 1 ) ( 1 + 疗一r ) 记石兰 曰( “一1 ) + ( ) 一 ( 9 窆z ，+ 口一+ 窆疋，+ p 1 ) 一“【1 + ( n 一) 一吒目一) ( 伊窆耳，+ 0 f - 1 艺瓦，+ 届) t “【1 + o 一1 ) 一吒目一) 故( 2 65 ) ：塑旦旦迎三型巡当! 二! 匹o 五 佃 r ( n + a + 3 1 口 卯 一 虹l 一， 坩矿 一吨硅并 层一 竺训 唧i 一0 州 一 ” 一 西北1 = 业大学硕士学位论文 ( 2 6 6 ) = 百d ， 0 ， 其中五是失效率，0 是平均寿命，旯与0 互为倒数。 一般设产品包含p ( p 1 ) 个失效机理，产品是由p 个失效机理中的某一个 失效机理发生而引起失效，因此产品失效数据由失效时间和失效机理两部分组 成。为了对具有p 个失效机理的竞争失效产品进行讨论，假定 b 1 产品的失效机理是且仅是由p 个失效机理之一引起的，且这些机理各自引 起失效的时间是统计独立的： b 2 产品的失效时间丁是p 个失效机理的最小发生时间，即 t 2 m i n ( y ，j = 1 , 2 ，p ) ，其中x ，表示产品第个失效机理的发生时间： b 3 在各应力水平x ，下，第个失效机理的发生时间的分布函数为 f , a f ) - ，(