（道路与铁道工程专业论文）车桥耦合作用的数值模拟研究.pdf

中文摘要 摘要 桥梁结构动力响应是桥梁工程动力学研究中的一项重要课题，在车辆荷载作用 下，桥梁结构将产生比相同静载作用下更大的变形和应力。随着现代公路交通建 设飞速发展，桥梁的跨度纪录不断被打破，结构形式不断创新。因此对桥梁在车 辆荷载作用下的动态响应问题的分析提出了更高的要求。 当车辆以一定速度通过桥梁时，使桥产生振动、冲击等动力效应。而桥梁的振 动又反过来影响车辆的振动。这种相互作用、相互影响构成车辆与桥梁之间复杂 振动的耦合问题。采用数值模拟方法分析车桥耦合问题是一个具有实用意义的方 法，本文对这一方法进行了初步探讨，主要工作如下； ( 1 ) 基于描述路面平整度的功率谱密度( p s d ) ，探讨了模拟路面平整度的方 法，并模拟了a 、b 、c 、d 、e 五种路面等级的平整度； ( 2 ) 根据简化车一桥模型，由车一桥振动运动方程推导了车一桥振动增量运动 方程； ( 3 ) 采用有限元软件a n s y s ，结合车桥振动增量运动方程，模拟了研究车辆 在典型路面不平顺状态和“跳车 状况下，桥梁的动力的响应； ( 4 ) 为了更加真实的描述车桥耦合作用，采用a n s y s l s - d y n a 显式分析对车 桥耦合模拟，对车和桥分别建立实体模型，考虑两者在运动过程中的接触碰撞来 模拟车桥的相互作用，给出了初步分析结果。探讨了单元划分、车桥间材料差异 对桥梁振动响应的影响。提出了将路面的平整度的影响等效为车体粗糙度的影响 的方法。 对于车桥耦合的分析，由于影响因素的复杂性，本文只是初步探讨了车桥耦 合问题的基本理论，并采用了a n s y s l s d y n a 对车桥耦合进行尝试性模拟分析， 目的是为进一步更深入的研究做以铺垫。 关键词：车桥耦合振动；车桥振动增量运动方程：平整度：显式分析：动力放大系数 英文摘要 n u m e r i c a lsi m u l a t i o no fv e h i c l e b r i d g e a b s t r a c t d y n a m i cr e s p o n s eo fb r i d g es t r u c t u r e si sa ni m p o r t a n ts u b j e c to ft h eb r i d g e r e s e a r c hf i e l d t h ev e h i c l em o v i n gl o a d sw o u l d1 c a dt om o r ed e f o r m a t i o n sa n ds t r e s s e s f o rb r i d g es t r u c t u r e s w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fm o d e m h i g h w a yc o m m u n i c a t i o n ， b r i d g e ss p a nt h er e c o r db e i n gb r o k e n ，a n dt h en e ws t r u c t u r eo fb r i d g eb e i n gi n n o v a t e d s ot 1 1 e a n a l y s i so ft h ed y n a m i cr e s p o n s e ，t h ev e h i c l el o a do nt h eb r i d g e s ，h a sp u t f o r w a r dh i g h e rr e q u i r e m e n t s w h e nt h ev e h i c l ep a s s e st h eb r i d g ew i t ht h ec e r t a i ns p e e d ，b r i d g ew i l lp r o d u c e d y n a m i ce f f e c t , s u c ha sv i b r a t i o na n dp o u n d e t c t h ev i b r a t i o no fb r i d g ea l s oh a sa n e f f e c to nt h ev i b r a t i o no fv e h i c l e sa tt h es a m et i m e t h j sk i n do fi n t e r a c t i o ni sc a l l e d v e h i c l e b r i d g ec o u p l e dv i b r a t i o n t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no fv e h i c l e b r i d g ei sa q u e s t i o no fp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e ，t h i sm e t h o dp r e l i m i n a r i l ys t u d y ，t h ep r i n c i p a lt a s k s a r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) a c c o r d i n gt ot h ep o w e rs p e c t r a ld e n s i t y ( p s d ) s i m u l a t ea ，b ，c ，d ，ef i v eg r a d e s o f r o a dr o u g h n e s s ( 2 ) b a s e do ns i m p l i f yv e h i c l e b r i d g em o d e l ，r e a s o nt h ev i b r a t i o ni n c r e m e n t a l m o v e m e n te q u a t i o nf r o mv e h i c l e b r i d g ev i b r a t i o ne q u a t i o n ( 3 ) ba s e do nt h el ar g e s c a l ef i n i t ee l e m e n ts o f t w a r ea n s y sa n dt h ev i b r a t i o n i n c r e m e n t a lm o v e m e n t e q u a t i o n , a n a l y s i s t h e d y n a m i cm a g n i f i c a t i o nf a c t o r o f v e h i c l e - b r i d g ea f f e c t e dc h a r a c t e r i s t i cr o a dr o u g h n e s sa n d j u m p ”s t a t u s ( 4 ) u s i n ga n s y s l s d y n ae x p l i c i ta n a l y s i st os t i m u l a t e v e h i c l e - b r i d g ec o u p l e d v i b r a t i o n ，c o n s t r u c tm o d e lo ft h ev e h i c l ea n db r i d g e ，r e s p e c t i v e l y ，c o n s i d e rt h ec o u r s e o ft h ec a m p a i g nt os i m u l a t ec o l l i s i o n sc o n t a c ti n t e r a c t i o n p r e s e n tp r e l i m i n a r yf i n d i n g s r e s e a r c hv i b r a t i o na f f e c t e de l e m e n td i v i s i o n , m a t e r i a l so fb r i d g e t h ei m p a c to fr o a d r o u g h n e s si se q u a lt ot h ei m p a c to ft h ev e h i c l e a st h ec o m p l e x i t yo ft h ei m p a c to ff a c t o r s ，i ti so n l yp r e l i m i n a r i l yr e a s o nt h a tt h e v i b r a t i o ni n c r e m e n t a lm o v e m e n te q u a t i o n ，u s ea n s y s l s d y n at ot r yo ft h e s i m u l a t i o no r d e rt o 如 t h e rs t u d y k e yw o r d s ：v e h i c l e - b r i d g ec o u p l e dv i b r a t i o n ；r o a dr o u g h n e s s ；v i b r a t i o n i n c r e m e n t a lm o v e m e n te q u a t i o n ；e x p l i c i ta n a l y s i s ；d y n a m i cm a g n i f i c a t i o nf a c t o r 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成硕士学位论文竺奎援租金佳旦丝数值搓越班宜= = 。除论文中已经注明引用 的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表或未公开 发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：氍也後 聊年3 月2 矿日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、 版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于：保密口 不保密口( 请在以上方框内打“”) 论文作者签名：氍也使 导师签名： 绛秀勿 车桥耦合作用的数值模拟研究 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义 车辆荷载是桥梁结构所要求承担的重要荷载之一。当车辆以一定速度在桥上 通过时，由于发动机的抖动、桥面的不平顺的等原因会导致桥梁结构产生振动。 反过来，桥梁的振动又影响到车辆的振动，从而形成车一桥耦合作用问题，车桥 耦合作用是一个复杂的振动问题，历来受到理论与工程界的重视。到目前为止， 提出了多种有关理论与方法来分析和解决这个问题。但是由于问题的复杂性，在 解决工程实际问题时还存在很多困难，研究基于有限元的数值模拟分析方法是一 个可能的分析途径，具有重要的使用价值。 1 2 国内外研究现状 桥梁车辆振动主要与三个因素有关：桥梁动力性能、车辆动力性能和桥面平 整度 1 1 。桥梁动力性能与其材料和结构体系有关，钢管混凝土材料的基本力学性能 的研究趋于成熟车辆动力性能与悬挂系统和轮胎的质量、弹簧刚度和阻尼有关。 桥面平整度是满足零均值的稳态高斯随机过程，可以通过路面平整度能量谱密度 函数和国际标准协议( i s o ) 定义的路面等级状况得到其沿桥梁纵向分布函数，i s o 把路面等级分为5 类：t 很好，好，一般，差，很差【1 1 。赵济海等 2 1 分析了我 国公路等级与国际平整度分级的关系。 在车辆移动荷载作用下，桥梁将产生振动、冲击等动力效应。如何从理论上 确定移动荷载下桥梁的动力响应，一直为工程所关注。车辆引起的桥梁振动是一 个复杂的动力现象。影响桥梁振动的参数有很多，如桥梁的类型、自然频率、车 辆特性、车辆的速度和轮迹的位置、车辆的数量及其在桥梁上的相对位置、桥面 平整度特性、桥梁和车辆的阻尼特性等。研究桥梁结构在动荷载作用下的动力特 性始于法国和英国对b r i t a n n n i a 桥进行的模型试验。1 8 4 9 年w i l l i s 等发表了对桥梁 振动方面研究的成果，其中讨论了c h e s t e r 铁路桥倒塌的原因，揭开了工程界大规 模研究车辆动荷载的序幕 3 1 。动力研究中常用的三种车辆模型是：移动力模型、移 动质量模型和移动车辆模型 4 1 。 第1 章绪论 移动力模型，就是把车辆模拟成匀速移动的恒载，是最简单的车辆模型。利 用该模型，可以对动力荷载作用下桥梁的振动特征进行研究，但是桥梁和车辆之 间的相互作用效应被忽略。1 9 0 5 年俄国学者k r y l o van 首先研究了移动力作用下 简支梁的振动问题。他认为，相对于跨度较大的桥梁而言，移动荷载的质量可以 忽略不计，从而避免变系数微分方程求解的困难。不计质量的移动力模型，对于 分析车辆桥梁振动是非常有意义的。由于未考虑荷载质量，其计算较为简单，在 计算机被应用于工程领域之前更显示出它的简单实用的优点。在车辆通过桥梁时， 其运动是很复杂的。但是可以将车辆的重力简化成一个常力加以讨论，将车辆的 运动分解并简化，这对于快速评定早期建造的公路桥梁是很有利的。但是未考虑 荷载质量，利用该理论的计算结果只是一种简单的近似。 移动质量模型：1 9 5 4 年b i g g s 提出了更为接近实际的车辆模型，并得出了便 于计算的近似值。其假定的车辆模型由两个质量组成，即由刚度k 的弹簧支撑跳 动质量坂和与桥梁始终保持接触的不跳质量吮组成。b i g g s 的研究模型开创了 车一桥振动研究的新领域，使得车辆荷载的实际振动情况和实际模型开始被引起 关注，并不断地研究出接近真实车辆情况的各种车辆模型应用于车桥振动分析。 移动车辆模型：1 9 7 0 年v e l e t s o n s 和h u a n g 提出将桥梁理想化为具有质量的黏 性阻尼的有限自由度桥梁，将载货重货车理想为带有摩擦装置的平面三自由度模 型。该理论所提出的车辆荷载模型，接近与真实实际车辆模型，并且便于计算， 随着有限元法的广泛应用，这种车辆模型在桥梁车辆振动系统分析中得到了不断 的发展。当简化计算时，两轴车辆模型和单轴车辆模型即为该车辆模型的特例。 从这种车辆模型还可以推导出多自由度的非线性结构模型( 将弹簧上下部运动、 车轮的运动分解成多个自由度) ，这样，模型的结构更加接近与实际的振动运动。 但该模型存在一个缺陷，即它仅考虑了平面自由度的问题。 近年来，c h a t t e r i e e 和d a t t a 把桥理想化为正交各向异性板和集中质量分布模 拟的梁，分析简支梁桥上车辆刹车和其初始弹力的影响。后来的研究者对连续梁 桥进行了一些深入分析，已有弹簧支撑质量和无弹簧支撑质量等代车辆，桥面不 规则变形通过静态随机过程来模拟，用特定的功率谱密度函数来计算 6 1 。陈言等通 车桥耦合作用的数值模拟研究 过用正弦波模拟桥面的不平，在e u l e r - b e r n o u l l i 梁理论的基础上建立了车桥系统的 耦合振动模型，利用模态分析法和r u n g e k u t t a 法对模型进行数值求解，研究了车 桥耦合振动的共振曲线r 7 1 。严志刚，盛洪飞和陈彦江由路面平整度能量谱密度函数 得到桥面平整度步规则形状烟纵向分布函数，在建立有限元模型时，将车辆的动 力性能与桥面平整度对桥梁的影响加入到外荷载中，研究分析了大跨度钢管混凝 土拱桥的车致振动问题【8 】。张庆、史家钧等考虑了连续梁桥的振动情况，并尝试性 地讨论了行车舒适度的问题，即对车辆的振动情况进行了分析 9 1 。z h e n gd y ， c h e u n gy k ，a u ，c h e n g y s 以h a n m i t o n 原理为基础，研究了多跨变截面梁在移动 力作用下的振动情况，用h e r m i t e 多项式作为插值函数，提出了连续梁桥的振型函 数的形式【l o 】。在后来的研究中又给出了预应力桥梁的车桥耦合计算中的考虑预应 力时的计算方法【l 。李小珍，强士中则对大跨度的公铁两用斜拉桥借助空间杆系 有限元方法，用等效格子梁来模拟公路与铁路正交异性板钢桥面【1 2 1 。赵青等采用 无限自由度桥梁模型对其在多辆移动荷载作用下的强振动问题进行了分析【l 引。沈 火明，肖新标结合微分方程数值求解的r i m g e k u t t a 法，编制了基于m a t l a b 内 部函数o d e 函数求解系统运动方程的二次开发函数【1 4 1 。z i b d e h 和r a c k w i t z 推导 出移动荷载作用下，一般边界条件的梁的振动方程，研究了移动荷载在加速、减 速、匀速情况下的振动响应【l 引。w a n gr t 用模态法计算分析了多跨t i m o s h e n k o 梁 在移动力作用下的振动，研究了梁截面回转半径对第一阶振型模态的影响，并与 多跨e u l e r - b e m o u u i 梁进行了比较【1 6 1 。f o d a ，a b d u l j a b b a r 将振动g r e e n 方程应用 于简支的e u l e r - b e r n o u l l i 梁在移动质量下的动响应研究，这种方法推导出一个简单 的矩阵，用它表达梁的位移响应【1 7 1 。x u 等对大跨、变截面的有限弹性梁在移动质 量作用下的变化进行了研究，应用h a m i l t o n 原理，发展了梁的非线形耦合微分方 程，用结合了一个扰动技术的独特方法解决有关边界的问题，指出移动力和移动 质量对梁振动响应的不同影响结果【1 8 】。z i b d e h 解决了弹性简支梁在受到随时间改 变的移动荷载时的随机振动情况，应用e u l e r - b e m o u l l i 梁理论和随机方法，将这一 问题模拟为一个偏微分方程【1 9 1 。t a n ，b r a m e l d 和t h a m b i r a m a m 发展了考虑车辆桥 梁相互作用的耦合分析方法，将桥梁上部结构理想化为一个二维的网格，同时将 第1 章绪论 三维车辆模拟为具有7 个自由度的体系，将两部分拟合为一个耦合整体进行计算 【z o j 。l a w 和z h u 将桥面不平整度和车辆的制动因素引入到桥梁的振动响应计算中， 将车辆荷载简化为一系列移动的力，用能量法推导出耦合方程，分析了这两种因 素对多跨连续梁的振动响应的影响【2 l 】。盛国刚，彭献，李传习将作用在桥上的车 辆荷载简化为与实际情况接近的移动振动系统模型，将简支梁桥简化为平面梁模 型，当车辆参数变化到特定情况，系统可简化为两种模型( 移动力和移动质量) ，并 比较了三种模型在不同车辆参数情况的结果，分析讨论了跨径和移动速度变化时 冲击系数的变化规律【2 2 1 。肖新标，沈火明应用达朗贝尔原理，采用e u l e r b e m o u l l i 梁假设，建立简支梁在移动荷载作用下的车桥耦合振动力学模型，从系统仿真的 角度出发，建立车桥耦合振动作用下的简支梁动态响应的仿真模型，进而实现了 移动荷载作用下桥梁的系统仿真 2 3 】。杨孚衡，黎志光介绍了一种新的高精度非线 形悬链线索单元以及如何用来求解单根绳索受端点运动激励时的非线形动力响应 问题，并用绳索参数共振的一个例子来说明了该方法的有效性【2 4 】。程保荣，周玉 勋对车和桥均进行有限元离散，建立耦合系统模型，移动质量和移动阻尼使整体 系统矩阵不对称并且具有时变性，引入模态综合技术有效降低耦合系统自由度， 减少计算量 2 5 】。王解军基于随机轨道粗糙度和车桥耦合单元，提出了大跨桥梁车 辆荷载作用下随机振动的计算模式，采用功率谱密度函数生成随机的轨道粗糙度， 考虑桥梁的几何非线形，对一座实际大跨度斜拉桥的冲击效应进行了研究，并分 析了随机样本数目、阻尼及车辆速度的影n 向t 2 6 1 。赵发章等考虑不同的阻尼参数及 车辆速度，对一座实际大跨度斜拉桥的动力反应与冲击效应进行了分析研究暖7 1 。 夏禾等通过建立随机激励下的车桥耦合系统的空间动力模型，研究了提速条件下 上承式钢板梁的加固问题，根据实测的轮对加速度，由时间序列自回归模型生成 随机激励作为系统的输入，对列车通过桥梁的全程进行了计算机模拟，得到桥梁 的动力响应，并对计算结果进行了统计分析【2 趴。严志刚等根据随机硬化理论和钢 管混凝土组合材料恢复模型，提出了复杂应力状态下钢管混凝土组合材料的弹塑 性应力应变关系，采用非线形有限元法，对一钢管混凝土拱桥进行移动车辆荷载 作用下车桥系统的动力响应分析，并进一步研究钢管混凝土组合材料进入塑性后 车桥耦合作用的数值模拟研究 对体系振动的影响 2 9 1 。张军等将车辆和桥梁系统看成一个整体耦合运动力学系统 的两个分支，并引入模态综合法来分析其动力响应【3 0 】。 1 3 本文主要研究内容 本文主要工作包括以下几方面： 针对车一桥振动研究做出了简要综述，简单回顾了其历史和现状。 分别列出了桥梁在自由振动和受迫振动时的动力微分方程，移动常力和移动 质量作用下的简支梁动力微分方程，并根据p s d 功率谱密度推出路面不平整度的 数值模拟，最后推导了车一桥振动增量运动方程的计算公式。 根据车一桥振动增量运动方程计算公式，把车辆看作移动力模型，基于a n s y s 进行模拟，并考虑不同车速、路面平整度对振动的影响。 将车辆假定为移动刚体、移动弹性体，分别对车辆和桥梁建立模型，考虑二 者间的相互接触和碰撞作用，基于a n s y s l s d y n a 显式分析对车桥耦合进行模 拟。 第2 章车桥耦合作用的基本理论 第2 章车一桥耦合作用的基本理论 结构的固有振动频率和振型等反映结构的固有振动特性，是研究一切振动问 题的基础。结构的固有振动主要与结构的刚度与质量有关，而桥梁的结构型式、 构件尺寸、材科特性( 如弹性模量、剪切模量和材料比重) 等因素决定了桥梁结构的 刚度和质量【3 。在没有阻尼的情况下，系统就在弹性力和惯性力作用下以其固有 频率和相应的固有振型进行往复的固有振动，此时，系统的能量以动能和位能的 相互转换的形式反复运动，能量没有损失。若存在阻尼，则系统的振动能量在振 动过程中逐步消散，随着振动时间的延长，系统振动逐步衰减。 2 1 梁的自由振动 2 1 1 梁自由振动的方程 这时梁的主要变形是弯曲变形，在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕 中性轴转动惯量影响，这就是e u l e r - - - b e m o u l l i 梁【3 2 】。如图2 1 所示梁，选取直角 坐标x y ，使x 轴与梁轴线重合，设零点在梁的左端处，y 轴向下为正且为截面的 对称轴。 x戤 。尸一量掰，7 ， ； 杉 y ： f 槲，糟一 。 产材。 射丰一d x ：x 图2 1 桥梁的自由振动 f i g 2 1f r e ev i b r a t i o no ft h eb r i d g e 基本假定如下： ( 1 ) 在弹性限度内，梁的变形微小； ( 2 ) 仅考虑弯曲变形，忽略剪切变形的影响； ( 3 ) 忽略阻尼的影响； 车桥耦合作用的数值模拟研究 沿梁长截取d ) ( 微段，受力如上图2 1 所示，可得动力平衡方程 _ o o + 聊馨：o ( 2 1 ) 缸西2 设m 为梁单位长度的质量；q 为剪力，m 为弯矩。 又根据材料力学中有关梁受弯的内力和变形关系式 署= 警= 导( 一日豢 一= 一= 一l n ，一i舐缸2抛2i狱2j 其中e i 为梁的抗弯强度 ( 2 2 ) 这里分析的是等截面梁，e i 为常数( 以后如未特殊说明，e i 为常数) 。将上式 代入前式，可得出单跨桥梁自由振动的动力平衡方程为 日丽8 4 y + 珑窘= 。 式( 2 3 ) 是一个常系数的齐次偏微分方程式，可采用分离变量法求解。 即y ( x ，f ) = x ( x ) r ( f ) 式中：x ( x ) 一仅与x 有关的函数； n r ( r ) 一仅与t 有关的函数。 ( 2 。3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 上式第一项仅是x 的函数，与t 无关；第二项仅为t 的函数，与x 无关。因此 上式成立的条件为左右两边同时等于一个与x 及t 均无关的常数0 9 2 。 即丝罂- m ( 0 2 x ：0 i r y i 一一 = m 出4 一d 2 t - i - 0 9 2 丁：o衍2 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ：。由此可见，通过为离变量，偏微分方程( 2 3 ) n - 1 分离为上面两个常微分方程式。 其中式( 2 7 ) 的解可以表示为 塑扩 。 塑 得 一 吁一w 得丁f 里肌 黾丝衍 驯 嗍 挲矿 晰 日 即 垣 即 式将 第2 章车一桥耦合作用的基本理论 丁( f ) = a s i n ( c o t + 口)( 2 8 ) 其中a 和臼是常数，可由梁振动的初始条件确定。为无阻尼条件下，梁的 自由振动圆频率，其相应的自由振动频率为 = 昙 相应的自由振动周期为 丁：三= 孕 ( 2 9 ) f 国 、。 方程( 2 6 ) 可简化为 等一夕4 x = 。( 2 1 0 ) 其中参数4 定义为4 = 昙国2 方程( 2 1 0 ) 的解确定梁弯曲振动的模态函数，设其一般形式 x ( x ) = 纱 ( 2 1 1 ) 代入方程( 2 1 0 ) ，导出本征方程： 允4 一4 = 0( 2 1 2 ) 由此可得 a 。2 = + f l乃。= + _ i f l 由于 e 9 = c h f l x + s h f l xe t i 9 = c o s f i x + s i n f i x 方程( 2 1 1 ) 的通解写作 x ( x ) = qc o s p x + c 2s h x + c 3 c h f l x + q s h f i x ( 2 1 3 ) 式( 2 1 3 ) 表示为梁在自由振动时的轴线挠曲形式，称为主振型曲线或主振型函 数，式中c lc 2 c 3c 4 都为积分常数，由边界条件确定。 2 1 2 简支梁的自振频率与阵型 对简支梁，简支端的挠度y 和弯距m 等于零。其边界条件为： 车桥耦合作用的数值模拟研究 x ( 0 ) = 0 ，x ( 三) = 0 ，x “( 0 ) = o ，x 。( ) = 0 将上式代入( 2 1 3 ) 后，得到： q = 0 ，c 2 = 0 ，c 3 = 0 ，c 4 = 0 c 2s i n 肚= 0 由于c 2 0 因此等截面简支梁的自由振动频率方程为： s i n 肚= 0 ( 2 1 4 ) 解出层= i x “= 1 ，2 ，) 对应的固有频率为： 嘿= ( 警) 2 居( i = 1 , 2 , - - ， 亿 代回( 2 1 3 ) 计算模态，将任意常数c 2 取作1 ，得到： 五( x ) = s i n - 2 ；x( 净1 2 ) ( 2 1 6 ) 方程式( 2 3 ) 的一般解为各振型的线性叠加。则得全桥的自由振动响应为： y ( x ，) = z ( x ) l o ) ( 2 1 7 ) 其中第一振型五( x ) = s i n 等x 和与其相应的第一阶固有频率( 称为梁振型的基 龇= ( 爿2 厚具有重要的工程戡 2 2 移动荷载一简支梁模型 2 2 1 移动常力一简支梁模型 忽略移动载荷质量，研究桥梁在匀速常量力作用下的动力响应。对于车辆质 量与桥梁质量相比较小的情况下，如较大跨径的桥，我们可以把车辆看作移常力， 可以给出其动力响应的近似解【3 3 1 。 如图2 2 所示，表示常量力f 匀速通过简支梁的情况。假设在时间t = 0 时， 常量力f 位于左边支承处；在时间t 时，常量力f 将移动到距左边支承点x = w 。 第2 章车一桥耦合作用的基本理论 图2 2 移动常力作用的简支梁示意图 f i g 2 2m o b i l er e g u l a rf o r c eu n d e rt h es i m p l es u p p o s e db e a m 假设简支梁为等截面( e i 为常数) ，单位长度梁的质量m 为常数，不考虑梁的 阻尼。梁的运动满足小变形理论并在弹性范围内。简支梁在外荷载f ( t ) 作用下的振 动方程可表示为： 彤窘+ 朋窘川忡卅 ( 2 1 8 ) 上式中6 为d i r a c 函数，有如下特性： 1 0 ，1 1 a b 帕l 【8 ( x - , ) f ( x ) d x = f ( r 1 ) ，口r b ( 2 1 9 ) 由 i 1 0 ，a b r l 设梁强迫振动的动位移y ( x ，f ) 可表示为振型的级数形式： y ( x ，r ) = 置( x ) z p ) ( 2 2 0 ) 置( x ) = s i n ( 层x ) ，屈：等 ( 汪1 ，2 ，)( 2 2 1 ) 式中：五( x ) 为简支梁自由振动时的振型函数，z ) 为模态坐标。 由式( 2 2 1 ) ，求得： 置4 ( x ) = 屈4 置( x )( 2 2 2 ) 以2 ：e l f l ( 2 2 3 ) 将式( 2 2 0 ) 代入( 2 1 8 ) 左、右两边同乘以五( x ) ，并从0 到l 进行积分，得： 一f t , ( t ) + r o t 2 互( f ) = 兰置( w ) ( 2 2 4 ) 初时条件如下： 车桥耦合作用的数值模拟研究 y l x ，u j 。y ( x ，u ) 2u 可得上式的解为 黝= 面2 f 干1 面s i l l 印一导s i n 够，) ( 2 2 5 ) 热q = ( 詈) 2 屉为简支梁的固有振动粹 q ，= 竽可以理解为移动常量里的广义扰动频率。 于是梁的动力响应可表达为 夕阶等喜去g i n d i t - q q js 嘲n 等 式中，括号中的前一项代表强迫振动，后一项则为自由振动。 在实际桥梁中，荷载通过桥梁的时间通常远大于桥梁的固有周期，即三z 或 q q 若仅取级数的第一项来讨论，此时： 卟詈，q = ( 誓) 2 腰 弧符号妒嚣儿务警2 南 假设在最不利情况下的强迫振动振幅和自由振动振幅正好叠加起来。这样， 简支梁跨中的最大动挠度可简写为： = 等虿击o + 睾= 焉击 7 ， 注意到上式中的4 8 生e 而2 f l 3 相当于f 作用在简支梁跨中时的跨中静力挠度， 于是有： 2 等2 五1 ( 2 2 8 ) 即为移动常量力的动力效应。 当移动速度增大到使a = l 而发生共振时，即： 第2 章车一桥耦合作用的基本理论 卟詈2q = 等 得临界速度： 2 l l 0 9 , 匕2i 2 。 ，万 即当常量力f 通过整个梁所需的时间等于梁的固定周期一半时， 振条件。最大动挠度( 振幅) 发生在当常量力即将离开梁的瞬间。此时， 生的静挠度为零。而动挠度的幅值： f l 3 万( 2 f l a 、刀 y a m2 万- r k 7 2 i l 而j _ 虿虼 相当于比常量力f 作用于跨中所产生的静挠度约大5 0 ( 2 2 9 ) 将满足的共 常量力所产 ( 2 3 0 ) 2 2 2 移动质量一简支梁模型 对于简支梁，如果移动载荷的质量与梁的质量相比不能忽略，就必须同时考 虑载荷的重力作用以及质量随梁一起振动时产生的惯性力0 4 1 。 图2 3 移动质量作用简支梁示意图 f i g 2 3m o b i l eq u a l i t yu n d e rt h es i m p l eb e a ms k e t c h 考虑图2 3 所示简支梁，在移动质量及其惯性载荷作用下的运动方程为： 日窘+ 聊鲁= m g _ ( 窘协熹害) 万 刊， ， 边界条件和初始条件分别为： y ( x ，0 ) = 夕( x ，o ) = 0 y ( 0 ，f ) = 萝( o ，r ) = y ( l ，f ) = y ( l ，f ) = 0 由于方程( 2 2 9 ) 右端含有未知函数y 各阶导数与占函数乘积项，增加了方程求 解的难度。由于方程中圆括号后两项与桥梁的刚度及移动速度有关，对于一般的 车桥耦合作用的数值模拟研究 桥梁( 其在活载作用下产生的变形曲率的很小) 和现行的车辆速度，这两项可以忽略 不计。因此，考虑载荷的简支梁动力平衡方程为： 日窘+ 历窘= - ( g - 窘、】m w ， 2 ， 根据模态分析理论，将式( 2 1 8 ) 代入式( 2 3 0 ) ，左、右两边同乘以置( 功，并o 到l 进行积分，得： ( ，) + 瓦( f ) ：警以( 哟一罟也 f ) 之霉置( ( 2 3 3 ) m 厶所厶：了 进一步将等式右边的未知加速度量移到左边，得： 艺( d + 玩瓦( d + 警也( v r ) 喜霉五) = 笔等x , ( v t ) ( 2 3 4 ) 由于n = 1 0 0 ，这个方程有无穷多个未知变量，而且是互相不独立的，所有不 可能解出。但从结构动力学的基本理论可知，结构动力响应主要由其若干个低阶 振型起控制作用。所以在计算中仅考虑少数前几阶振型就可以获得满意的精度。 在这里我们取n 阶，则系统运动方程的n 阶矩阵表达式为： 删+ k q = q ( 2 3 5 ) 式中m 为广义质量矩阵，k 为广义刚度矩阵，q 为广义位移向量，q 为广义 力向量。 k = 砰0 0 磅 o0 0 o 砖 式中：，：_ 2 m ，s ：了2 m g ，x n ：_ s i n m r v t ，k ：鼍以。 m l ，”厶l g = 斟 f 蝎1 妒斟 可见，移动质量作用下的简支梁，各个方程耦联在一起，形成联立方程组。 由于质量在梁上不断运动，m 中的k 也就不断变化，使运动方程为一个时变系 f 数的二阶线性方程组。对于这样的时变系数微分方程组，一般只能采用逐步积分 等数值方法求解。 藏诫 峨 一：土篓 第2 章车一桥耦合作用的基本理论 2 3 路面不平整的描述和分析 车辆行驶过程中，路面的不平整会激起车辆的振动，当这种振动达到一定的 程度，将使乘客感到不舒适和疲劳；同时，为了研究车辆的动载荷以及在动载荷 作用下的桥梁的动力响应，首先要对路面不平度合理的描述。 2 3 1 桥面平整度的概念 桥面平整度是引起桥梁车辆振动的主要因素，f t k a u 1 】分析了桥面平整度 与长期挠度对预应力梁桥和斜拉桥车辆振动的影响；d o n g z h o uh u a n g 和t o n l o w a n g 3 5 - 3 s 进行了公路梁桥的车辆振动分析，确定车辆类型、桥面平整度、车辆行 驶速度、主梁数量与跨度对梁桥汽车荷载最大冲击系数的影响，还研究了曲线i 型梁桥和曲线箱梁桥的车辆振动；j b y u n g w a n t 3 9 等考虑桥面平整度的影响，研究 了调谐质量阻尼器( t m d ) 对3 跨连续钢箱梁桥车辆振动的影响。因此，研究桥 面平整度对大跨度中承式钢管混凝土拱桥车辆振动的影响，对今后此类桥梁的设 计与维护有重要的意义。 桥面平整度分为两种，一种是随机性的，一种是确定性的。随机桥面平整度 可近似等同于路面平整度，确定性桥面平整度是人为因素产生的桥面障碍。随机 路面平整度的模拟有很多方法，早期的方法是采用正弦或余弦函数来模拟，后来 随着计算手段和方法发展，路面平整度用功率谱密度函数来表示 4 0 1 ，通过傅立叶 变换得到路面竖向不规则沿纵桥向分布函数。桥面障碍可以采用在路面竖向不规 则分布函数中插入障碍的高度值来实现。引入路面平整度预测模型来预测桥面平 整度随时间的变化。 考虑桥面平整度的影响，车一桥振动体系的耦合运动方程的求解比较复杂， 本章提出一种车一桥振动计算方法，该方法只需建立桥梁的有限元模型，把车辆 的质量和刚度与桥面平整度转化成外荷载，从而简化了振动分析过程。 2 3 2 随机桥面平整度 国内外学者通常用路面功率谱密度函数( p s d ) 表示路面不平度，并由此研究汽 车一路面之间的相互作用【4 h 2 1 ，桥面平整度是满足零均值的稳态高斯随机过程，常 用功率谱密度函数来表述，有以下几种方式。 车桥耦合作用的数值模拟研究 ( 1 )国际标准化协会制定的i s o s c i w g 4 “3 1 标准： ( q ) = s g ( q ) ( q q ) 一哆q g ( q ) = t ( q ) ( q q ) 一qq q 式中：q 空间频率 q ，中心频率，q = 万2 q ，哆平整度指数 ( 2 ) d o d d s 和r o b s o n 于1 9 7 3 年提出，该方法采用的表达h 纠田 s ( 刃= 4 ( 歹瓦) 叫 式中：歹- 波长 4 平整度系数 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 磊不连续频率值，取死= 万2 平整度指数，其值在1 3 6 2 2 8 之间，1 9 9 2 年w a n g 和 h u a n g 3 6 - 3 7 】提出6 0 = 2 ( 3 )e u i - s e u n gh w a n g 和w e w a ka s 于1 9 9 0 年提出 母鼢 警户鬻q ( 2 3 9 ) 式中：1 肛频率指数，= 1 9 4 厉路面平整度系数，可按表2 i 取值 吼，钆空间频率上限和下限 q 【吼，q 】间的值 表2 1 不同路面等级下桥面平整度系数 t a b 2 1d i f f e r e n tl e v e l so f r o a dr o u g h n e s sc o e f f i c i e n t 路面等级状况 历( m 3 c i r c l e ) 第2 章车一桥耦合作用的基本理论 2 3 。3 桥面随机不平顺的模拟 本章计算中采用第3 种表述方法。通过傅立叶变换，可以得到桥面竖向不规 则形状，( x ) 沿纵向分布函数： ，( x ) = c o s ( 2 1 r c o k x + 丸) ( 2 4 0 ) k = l q = 哆+ ( 老一1 2 ) a c o ，k = l ，2 n ( 2 。4 1 ) a c o = ( q 一铣) ( 2 4 2 ) 式中：幅值 吮随机相位，是【o ，2 万】之间随机数，并满足均匀分布 x 桥梁纵向坐标 项数 在计算中，取吼= 0 0 1 c i r c l e m ，q = 3 0 c i r c l e m ，计算长度l = 3 0 m ，n = 3 0 0 ， 每个等级的分布函数取5 种具有不同随机数的分布函数的平均值，这样分布函数 具有一定的共性。 使用m a t h e m a t i c a 模拟，( x ) 函数，得到不同等级下的桥面平整度不规则形状沿 纵向分布函数，如图2 4 所示。图中，桥面等级为很好至很差之间时，依次取 历= 0 2 4 x 1 0 。6 , 0 5 x 1 0 。6 ，2 5 0 x 1 0 巧，1 0 o x l o 。6 ，2 0 0 x 1 0 巧。 ，、0 0 0 5 目0 0 0 4 姑0 0 0 3 辗0 0 0 2 铡o 0 0 1 p 1 - o 0 0 0 佟, - 0 0 0 1 旧0 0 0 2 蠹o 0 0 3 n f、 心fj 一 l f”剪 晰 i w 科 1 叨 4 。 嘶 j l 扩 、i 1 玎v 。 与必u 面叫 051 01 52 02 5 纵桥方向( m ) 图2 4a 桥面等级为很好 f i g 2 4a d e c kr a t i n g v e r yg o o d 车桥耦合作用的数值模拟研究 一0 0 1 0 鲁 世0 0 0 5 辗 鞘0 0 0 0 睁 k - 0 0 0 5 嚏 垂嘻- 0 0 1 0 雌 八 乒“二曼胍影 趔 ，、0 0 2 0 目 ”一0 0 1 5 避0 0 1 0 聚o 0 0 5 捌0 0 0 0 牟 长- 0 0 0 5 喧- 0 0 1 0 穗m 0 1 5 o51 01 52 02 53 0 纵桥方向( m ) 图2 5b 桥面等级为好 f i g 2 5b d e c kr a t i n g g o o d 八 _ 、，、搬 p 鬯羚一丽 m 厂。 av ”v u ”。 一铲 训 i v l c 级桥面l o51 01 52 02 53 0 纵桥方向( m ) 图2 6c 桥面等级为一般 f i g 2 6c d e c kr a t i n g n o r m a l - 1 7 第2 章车一桥耦合作用的基本理论 暑0 0 6 世0 0 4 累 裂0 0 2 * 0 0 0 海 恒- 0 0 2 密 ； ”o _一 _ h 八； 瓯7 八，、j 耐0 “乙汐 州 l d 级路面 05