正确使用动量定理和动能定理解答电磁感应问题.pdf

2 0 0 9 年 3 月 1日 理科考试研究 综合版 2 9 正确使 用动 量定理和动能定 解答 电磁 感应问题 袁培耀 在一类具有切割运动的电磁感应问题中， 常常要用到动量定理和动能定理 ， 由于这类问 题中的运动都是变加速运动， 加上学生对两定 理的应用条件理解不到位 ， 往往滥用动量定理 和动能定理， 导致错解 为此， 举例谈谈解电磁 感应问题中如何使用动量定理和动能定理 1 案例研究 问题 如图1所示 在空中有一水平方向 的匀强磁场 区域 ， 区域的上下边界 间距 为 ， 磁 场的磁感应强度 为 b 现有一宽度为 6 ( b ( 圈 l 解法一 根据题意， 画出线框运动过程的 情景 图， 如图 2 所 示 线框运动 中， 从 3 到 4 的过 程是匀速运 动 ， 即有 m g ： ( 1 ) ( 1 由2到 3的过程机械能守恒， 有 g ( 一6 )： 1 2 2 一 ； ( 2 ) 综合求得 一 ( 3 ) 图 2 从 1 到2的运动过程 ， 线框做变加速运动， 由动量定理有 ( m g 安) t= 优 l一0 ( 4 ) 由动能定理有 ( m g 安) 6= 百 1 21 0 ( 5 ) 取动量定理式与动能定理式 的比值得 b =v t 2 ， 代入 l 求得时间 ， 一 2 塑 一 ， 一 二 - 芝 而“ 解法二 式同解一， 从 1 到 2的运 动过程中线框做变加速运动， 由动量定理有 m g tf 安t= l 1 0 ( 4 ) 因 f安t= b l l t= b l q ( 5 ) q： ： ( 6 )r 一 o 综合( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 式解得时间 一 厶 b z 。 优 r 2 ( hb ) m g r+ 4 一 分析比较解一中的结论 b= v t 2 这是典 型的匀加速运动的位移公式， 而题中 1 到 2的 理科考试研究 综合版 2 0 0 9 年 3 月 1日 过程是变加速运动，1 到 2的过程不能用安培 力的平均值求安培力的功， 故解法一错误 学生的疑惑正在此： 为什么可以用安培力 的平均值求安培力的冲量， 却不能用平均值求 功? 由于动量定理 中变力的平均值和动能定 理中变力的平均值的物理意义不同： 动量定理 中变力的平均值是力对时间的平均； 动能定理 中变力的平均值是力对位移的平均 如上题 中， 线框变加速进人匀强磁场的过程， 因 寄t =b =b l q 为一定值， 与运动的快慢无关， 故 可在动量定理中用安培力的平均值； 而动能定 理中安培力的功与能量相关， 求解安培力不能 用电流的平均值 ， 而要用电流的有效值 因线 框快进和慢进过程中， 安培力做的功不同， 故 不能在动能定理中用电流平均值对应的安培 力求功 2 应用体验 例 1 如 图 3所示 一边长为 l 的正方形 导线框 ， 在外力作用下从 匀强磁场中匀速拉 出， 第一次拉 出的速度为 ， 第二次拉 出的速 度为 2 ， 且 1 2 ， 则 以下说 法 中正确的是 ( ) 圈 3 ( a ) 第一次拉 出外力做的功多 ( b )第一次拉 出外力的冲量大 ( c ) 第一次拉出通过导线任意 -面的电量多 ( d ) 第二次拉 出线框中产生的热量多 解析 因匀速运动， 外力大小等于感应电 流的安培力 ， 即 f：b l 尺， 则外力功 w = b l v l r， 与运动快慢有关； 外力的冲量 j=f t=f l =b l 。 r， 与运动快慢无关； 通过导线中的电荷量 ： 声 b l2 q i t ， 与运动快慢无关；因线框为纯电阻， 故产生的 热量在数值上等于安培力的功， 与运动快慢有 关 比较得知， 正确选项为( a) ( d) 上述结论， 虽是匀速运动条件下推出的， 但也证实了前述分析 由此给我们一个启示： 电磁感应中， 凡是与电量或感应电流安培力的 冲量有关的问题 ， 都可考虑用感应电流的平均 值和动量定理处理； 凡是与能量有关的变化问 题， 不可用电流的平均值及动量定理计算， 只 能用动能定理处理 例 2 如 图 4 所示 在光滑的水平面上 有 一 垂直向下的匀强磁场分布在宽为 l的区域 内， 有一个边长为 口 ( 口 l)的正方形闭合线 圈，以初速度 垂直磁场 边界 滑过磁 场后速 度变为 ( n ) 则以下说法中正确 的是 ( ) 图 4 ( a )完全进入磁场 中时线圈的速度大于 ( 7 3 0 + ) 2 ( b ) 完全进入磁 场中时线圈的速度 等于 ( 0 +v ) 2 ( c ) 完全进入 磁 场 中时 线 圈的速度 小于 ( n + ) 2 ( d ) 以上情况中( a) 、 ( b ) 均有可能， 而( c ) 是不可能的 解析 由前述结论分析可知，线框进入 磁场和退 出磁场 ， 相同的物理特征是安培力的 冲量和线框中定向移动的电荷量相同， 由此找 到解题 的突破 口 对进入过程有 一j 进 = 一 ， 对退 出过程有一 退= z ， 综合可知在磁场 中运动的速度为( 0 +z , ) 2 ， 正确选项为( b ) 例 3 如 图5所示 在与水平 面成 0=3 7 。 的矩形导电框架范围内， 有垂直于框架平面斜 向上的 匀强磁场 ， 磁 感强度 b = 1 t 框架电阻 不计， 定值电阻 rl=r2=2 q， 框架足够长， 2 o 0 9 年 3 月 1日 理科考试研究 综合版 3 l 宽 l=0 3 m 一质量 m =1 k g 、 电阻 r=1 q 的裸导线置于框架上， 与框架的动摩擦因数 =0 5 。 现让裸导线平行于 a b沿框架以 =1 0 m s 的初速度上冲， 至上升到最高点的过程 中， 通过 r1电阻的电量 q=0 3 6 c 圈 5 求： ( 1 ) rl 电阻产生的焦耳热 ( 2 ) 整个过程 中感应电动势的有效值 ( g =1 0 m ) 解析 由于已知流过的电量、 切割运动的 特征有 q 总= ， 可求得裸导线在导轨上 上冲的最大距离 ， =4 8 m 求解热量须用功能关系处理 ，因导线变减 速运动的上冲过程中， 导线克服安培力做的功 等于电路电阻的总发热量故对上冲过程由动 能定理有 一mg x s i n o一 a n g xe o s oq总 = 0 一妻m ， 解得 q总 = 2 j 由电流分配原理知 r 电阻产生的焦耳热 q1： ： 0 5 j 有 效 值 与 电 热 对 应 ，故 有 q 热 = 甓 ， 上 冲过程所用时间由动量定理求，即 一 ( m g s i n o+t z m g o o s o ) tb l h = 0 一 l o 0， 其中 i t=2 q 。 解得时间 = 一 my - 2 + blq = 0 9 9 4 mg ( s i n o c o s 0 一 + )一 最后解得上冲过程电动势的有效值 e 2 v 例 4 如 图 6 所 示， 竖直放 置 的光 滑平行 金属导轨， 相距 z ， 导轨一端接有一个电容器 ， 电容量为 c， 匀强磁 场垂 直 纸面 向里 ， 磁 感应 强度为 b， 质量为 的金属棒口 6 可紧贴导轨自 由滑动 现让 口 6由静止下滑，不考虑空气阻 力， 也不考虑任何部分的 电阻和 自感作用 问： ( 1 ) 金属棒的做什 么运动? ( 2 ) 棒落地时的 速度为多大? ( 3 ) 棒落至地面需多长时间? c 图 6 解法一 导体棒因重力加速下落， 电容器 的电荷量逐渐增加 设经过时间 t ， 速度达到 ，之后再经极短的时间 ， 速度达到 +a v ， 则在 时间内电容器上增加的电荷量 q=c ( 十a v ) 一b t v =c b i , g v ， 电路中的电流 = a q a t ， 导体棒所受安培力 f=b i l ，由牛顿第二定律有 mg b1 ： 撇， 因 很短， 故 a v a t=口 ， 即加速度 口。 为一恒值 ， 说明金属棒做匀加速运动 由此， 因2 a h： ， h= a t 1 2 ， 故落地时的速度 厂 ， 落地所用时间 f ： 2 h ( m +b 2 1 2 c) mg 解法二 因有电容器 ， 牵涉电荷的积累； 导体棒下落， 重力势能减少， 牵涉能量的转化 对整个下落过程由动能定理有 1 mg h=my 2+ e， 其中 e为此过程中电容器储存的电能 由电 容器的定义及 qu图象可知， e=q u 2 ， 因 最终积累的电荷量 q= c， 由此解得落地时 的速度 理科考试研究 综合版 2 0 0 9 年 3 月 1日 = 设落地所需时间为 t ， 对落地过程由动量 定理有 mgt ft ， ， l 一0 0 图 7 因 安t=b l i t= b l q= b 猢 1 c v ， 将落地速度代人得 t = 2 h ( m +b 一 2 1 2 c) 若用 =a t 研究运动速度和时间关系， 可 得 口 南， 表 明 加 速 度 为 一 恒 值 ， 说 明导体棒匀加速下落 解法二既用了动能定理， 又用了动量定 理 ， 但只要把握动能定理中的能量不用感应电 流平均值求解， 就不会出现错误 【 作者单位： ( 0 6 5 0 0 0 ) 河北廊坊中国石油天然 气管道局中学】 用构 造函数 法 解物理问题 6例 林永平 例 1 点光源 s处有一个小球作平抛运 动， 在 正对 面的墙 上形成运 动 的影子 ， 已知 小 球平抛 的初 速度 为 0 ， 点光 源到墙 的距 离为 d， 重力加速度为 g， 求影子的运动规律 分析 如图 1 所示， 小球平抛时影子在 p 点； 当小球运动到 m 点时影子在n点 由平抛 运动规律可解出 m 点的位置： 一 一1 s 0 ： o t ， o m =音g t 图 1 由相似三角形的几何关系可得 p 。 。n s。 p ： = = = = 一 = = =一 om s0 构造出影子运动的位移函数 pn = t z v0 可见影子运动的位移是时间的正比例 函 数， 影子做匀速直线运动， 速度为 影 ： v u 例 2 图