（固体力学专业论文）电磁弹性固体辛对偶体系及虚边界元数值方法.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本博士学位论文对横观各向同性电磁弹性固体进行了解析分析和数值计算。将辛对 偶体系的方法论引入到电磁弹性固体平面问题，提出了该问题的一个新的解析求解方 法。在数值计算方面，提出电磁弹性固体平面和三维问题的虚边界元法。主要工作如下： 在解析解方面，利用电磁弹性固体广义变分原理，将平面电磁弹性固体矩形域问题 导入到哈密顿体系。在由原变量位移、电势和磁势以及它们的对偶变量一纵向应力、 电位移和磁感应强度组成的辛几何空间中，形成辛对偶方程组。应用有效的分离变量法 求出全部零本征值对应的本征解，这些解具有明确的物理意义，并且是构成圣维南问题 的基本解。然后求出非零本征值对应的本征解，它们是局部效应的解，其影响随距离迅 速衰减，是圣维南原理所覆盖的部分。这样采用辛本征解展开法就可以得到问题的完备 解，最后通过具体算例给出了几个问题的解析解。 在数值解方面，基于平面电磁弹性固体问题的基本解，利用弹性力学虚边界元法的 基本思想，提出了平面电磁弹性固体问题的虚边界元等额配点法。这种方法除了具有传 统边界元法的优点外，成功地避免了传统边界元法遇到的奇异积分问题。然而等额配点 法具有不恰当的配点影响计算结果和预先选定的孤立点上的虚载荷可能不完备的缺点。 为了弥补以上不足，本文进一步提出了平面电磁弹性固体问题的虚边界元最小二乘配点 法和单积分等额配点法，其中后者在虚边界上采用的是连续分布的虚载荷。具体算例的 数值计算表明，虚边界元的数值结果和已有的解析解能很好地吻合，该方法具有较高的 计算精度。最后提出电磁弹性固体更具一般性的三维问题的虚边界元等额配点法。该方 法完全不需要划分网格，也不用进行积分计算，具有易于理解，易于编程实现的优点。 具体算例验证了虚边界元法是计算电磁弹性固体三维问题的一种有效的数值方法。 关键词：电磁弹性固体；平面问题；三维问题；辛对偶体系；虚边界元 电磁弹性固体辛对偶体系及虚边界元数值方法 s y m p l e c t i cd u a l i t ys y s t e ma n d v i r t u a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o df o rt h e m a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cs o l i d s a b s t r a c t t h ea n a l y t i c a la n dn u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rt h em a g n e t o e l e c t r o e l a s t i es o l i d sa r eo b t a i n e d i n t h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n t h es y m p l e c t i cd u a l i t ys y s t e mm e t h o d o l o g yi si n t r o d u c e dt o p l a n ep r o b l e m sf o rm a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cs o l i d sa sw e l l a san e wa n a l y t i c a l a p p r o a c hi s c o n s t r u c t e d o nt h eo t h e rh a n d ，t h ed o c t o r a ld i s s e r t a t i o np r e s e n t sas e to fv i r t u a lb o u n d a r y e l e m e n tm e t l l o d ( v b e m ) f o rn u m e r i c a l a n a l y s e o f p l a n e a n dt h r e ed i m e n s i o n a l m a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cs o l i d s f o rt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n s ，t h ep l a n ep r o b l e mo fm a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cs o l i d s i n r e c t a n g u l a rd o m a mi sd e r i v e di n t ot h eh a m i l t o n i a ns y s t e mb ym e a n so ft h eg e n e r a l i z e d v a r i a b l ep r i n c i p l eo ft h em a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cs o l i d s i ns y m p l e c t i cg e o m e t r ys p a c ew i t ht h e o r i g i nv a r i a b l e s 一d i s p l a c e m e n t s ，e l e c t r i cp o t e n t i a la n dm a g n e t i cp o t e n t i a l ，a sw e l la st h e i r d u a l i t yv a r i a b l e s l e n g t h w a y ss t r e s s ，e l e c t r i cd i s p l a c e m e n ta n dm a g n e t i ci n d u c t i o n ，s y m p l e c t i c d u a le q u a t i o n sa r ee m p l o y e d s ot h ee f f e c t i v em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e sc a nb e a p p l i e dt os o l v et h es y m p l e c t i cd u a le q u a t i o n s ，a n da l lt h ee i g e n s o l u t i o n so fz e r o - e i g e n v a l u e a r eo b t a i n e d ，w h i c hh a v et h e i rs p e c i f i cp h y s i c a li n t e r p r e t a t i o na n da r et h eb a s i cs o l u t i o n so f p l a n es a i n t v e n a n tp r o b l e m t h e nt h ee i g e n - s o l u t i o n so fn o n z e r o e i g e n v a l u e s a r ea l s o o b t a i n e d ，w h i c ha r et h es o l u t i o n sh a v i n gt h el o c a le f f e c t ，d e c a yd r a s t i c a l l yw i t hr e s p e c tt o d i s t a n c ea n da r ec o v e r e di nt h es a i n t - v e n a n tp r i n c i p l e s ot h ec o m p l e t es o l u t i o no ft h e p r o b l e mi sg i v e no u tb yt h es y m p l e c t i ce i g e n - s o l u t i o n se x p a n s i o n f i n a l l y ，af e we x a m p l e sa r e s e l e c t e da n dt h e i ra n a l y t i c a ls o l u t i o n sa r ep r e s e n t e d f o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o n s ，av i s u a lb o u n d a r ye l e m e n t e q u i v a l e n tc o l l o c a t i o nm e t h o di s p r o p o s e d ，w h i c hb a s e do nt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o n so ft h ep l a n em a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cs o l i d s a n dt h eb a s i ci d e ao ft h ev i r t u a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o df o re l a s t i c i t y w i t hu s i n g c o l l o c a t i o np o i n t so nv i r t n a la n dr e a lb o u n d a r i e s t h i sm e t h o da v o i d st h ec o m p u t a t i o no f s i n g u l a ri n t e g r a lo nt h eb o u n d a r y , b e s i d e ss h a r e sa l lt h ea d v a n t a g e so ft h ec o n v e n t i o n a l b o u n d a r ye l e m e n tm e 也o d ( b e m ) o v e rd o m a i nd i s c r e t i z a t i o nm e t h o d s h o w e v e r , t h ev i r t u a l b o u n d a r ye l e m e n t e q u i v a l e n tc o l l o c a t i o nm e t h o dh a ss o m es h o r t c o m i n g , s u c ha s t h e i n a p p r o p r i a t ec o l l o c a t i o np o i n t so nt h eb o u n d a r i e sa f f e c tt h ev a l i d i t yo fr e s u l ta n dt h ev i r t u a l l o a d sa tt h ep r e a s s i g n e di s o l a t e dp o i n t so nt h ev i r t u a lb o u n d a r ym a y b en o tc o m p l e t e t oa v o i d t h e s ed e f e c t s t h ev i r t u a lb o u n d a r ye l e m e n t - l e a s ts q u a r ec o l l o c a t i o nm e t h o da n dv i r t u a l b o u n d a r ye l e m e n t - i n t e g r a lc o l l o c a t i o nm e t h o da r ep r o p o s e di nt h ef o l l o w i n gc o n t e n t s ，w h e r e i i 大连理工大学博士学位论文 t h el a t t e ra p p l i e st h ev i r t u a lc o n t i n u o u sl o a do nt h ev i r t u a lb o u n d a r i e s s e v e r a ln u m e r i c a l e x a m p l e sa r es e l e c t e dt od e m o n s t r a t et h ep e r f o r m a n c eo ft h o s em e t h o d s ，a n dt h er e s u l t ss h o w t h a tt h e ya g r e ew e t lw i t ht h ee x a c ts o l u t i o n sa n dh a v eah i g h e ra c c u r a c y t h em e t h o d sa nt h e e f f i c i e n tn u m e r i c a lo n et oa n a l y z em a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cs o l i d s l a s t l y ，av i r t u a lb o u n d a r y e l e m e n t - e q u i v a l e n t c o l l o c a t i o nm e t h o df o r t h et h r e e d i m e n s i o n a l p r o b l e m s i n m a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cs o l i d si sp r e s e n t e d n em e t h o dm e r e l ya p p l i e sc o l l o c a t i o n st e c h n o l o g y o nr e a la n dv i r t u a lb o u n d a r y ，s oi sm e s h l e s sa n di n t e g r a t e f r e e a tt h es a m et i m e ，i ti s c o m p r e h e n s i b l ea n dl e g i b l e ，a n di se a s yt oi m p l e m e n tb yp r o g r a m a l s os e v e r a ln u m e r i c a l e x a m p l e sa np e r f o r m e dt od e m o n s t r a t et h a tt h em e t h o di st h ee f f e c t i v en u m e r i c a lo n et o a n a l y z e t h r e ed i m e n s i o n a lp r o b l e m so ft h em a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cs o l i d s k e yw o r d s ：m a g n e t o e l e e t r o e l a s t i cs o l i d ；p l a n ep r o b l e m ；t h r e ed i m e n s i o n a lp r o b l e m ； s y m p l e c t i cd u a l i t ys y s t e m ；v i r t u a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：垂夔l 日期：! 强竺8 1 8 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 垒窆l 一 盘彘筐 跫! 1 年二月丛日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 1 1 概述 随着科技的发展和工程的需要，新型功能材料尤其是多场耦合材料已经成为学术界 和工程界关注的重要领域之一。这其中就包括具有力、电和磁多场耦合性能的电磁弹性 固体。它是由压电和压磁材料构成的复合材料，表现出一种在压电或压磁单相情况下所 没有的电磁耦合效应，使得它在众多高新技术领域显示出良好的应用前景。研究电磁弹 性体中的磁学量、电学量和各力学量间的关系和相互影响，对于许多重要的理论问题和 实际结构有着重要的意义目前对电磁弹性固体的研究，在力学、材料科学和物理学的 领域都取得了一些研究成果，已经形成了一门新兴的交叉学科。 由于多场耦合，电磁弹性固体问题的求解显然比之弹性力学问题的求解更加困难。 在弹性力学中，钟万勰【1 】院士弓l k 哈密顿体系及辛数学思想，提供了一种新的求解方法。 这种方法将圣维南问题与圣维南原理完全联系为一个整体，同时也建立了一种直接解 法。辛弹性力学及应用力学对偶体系的方法论已经成功地应用于力学的多个学科领域， 突破了经典弹性力学求解体系的限制，通过理性的推导扩大了解析求解范围。统一的辛 对偶体系方法论也可以应用到电磁弹性固体问题的求解。 在数值计算方面，存在各种有效的数值计算方法。如，1 9 9 1 年孙焕纯【2 】教授对 m f s ( t h em e t h o do ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n ) 进行了扩展，提出了虚边界元法。本方法不仅 继承了传统边界元方法的优点，如由于使用了解析的基本解，使数值计算的维数减少， 节省了计算的空间和时间。而且还具有一些新的优点：( 1 ) 避免了奇异积分的麻烦处理； ( 2 ) 消除了传统边界元法的边界层效应；( 3 ) 用虚边界元的最小二乘配点法和积分法获得 的线性代数方程组的系数矩阵具有对称性，节省了存储和计算时间和空间。虚边界元法 在弹性力学问题、板壳问题和压电材料等方面取得了较好的计算结果。本文将利用横观 各向同性电磁弹性体平面和三维问题的基本解，将虚边界元法应用于电磁弹性固体问题 的求解。 1 2 电磁弹性固体的研究现状 电磁弹性固体是由压电相和压磁相组成的复合材料，这种材料具有很大的磁电系数 和电磁耦合效应。在一些情况下，由于其乘积特性，耦合效应甚至比单相电磁材料高几 百倍。 v a ns u c h t c l c n 3 】在1 9 7 2 年首先提出压电压磁相的组合可能具有一种新的材料特性 一电磁耦合效应。之后，v a nd e nb o o m g a a r d 等1 4 j 以及v a nr u n 等f 5 】予1 9 7 4 年对 电磁弹性固体辛对偶体系及虚边界元数值方法 b a t i 0 3 c o f e 2 0 4 这种压电压磁复合材料的电磁效应进行了测定。但是电磁耦合效应的 理论研究是近些年来才开始进行，h a r s h e 等【6 】用立方模型计算3 o 或o 3 型连通相的电 磁系数。a v e l l a n e d a 和h a r s h e 7 1 ，n a n 引，b e n v e n i s t e l 9 l 等都对压电压磁复合材料的电磁 效应进行了研究，但未给出显示解。h u a n g 等【1 0 j 采用e s h e l b y 张量和m o i l - t a n a k a 理论 得到了压电纤维增强压磁基体复合材料的电磁耦合效应的显式表达式。文 1 1 1 对电磁效 应的研究进行了综述，并重点对电磁颗粒复合材料和分层复合材料进行了介绍。 在电磁弹性固体解析分析方面，w a n g 和s h e n l l 2 】基于e s h e l b y 所引入的能量一动量的 概念推导了电磁弹性介质中的守恒定律和路径无关积分。“和d u n n l l 3 】用细观力学方法 导出了电磁弹性体平均场和等效参数的计算公式。p a n l l 4 】首次对压电和压磁复合材料简 支多层矩形板进行研究，在获得单层板的通解时采用准s t r o h 公式，在处理层问问题时 采用了传递矩阵方法，最后给出了该问题的封闭形式的精确解，并对多层板在表面载荷 和内部载荷作用下各物理量的分布情况做了对比。精确解显示了电磁弹性固体具有一些 特殊的性质，这在智能结构分析和设计中是非常有用的，同时为研究电磁弹性层合结构 的各种厚板理论和数值方法提供了检验标准，具有非常重要的意义。p a n 和h e y l i g e r ! u 1 6 】 将文献 1 4 1 的求解方法进一步推广，给出了电磁弹性简支多层矩形板在振动问题中的精 确解和柱面弯曲时的精确解。另外，p a n 和h a n l l7 】对电磁弹性功能梯度材料进行了研究， 所采用的方法和分析的结构及载荷情况与文献 1 4 1 完全相同。w a n g 和s h c n 【l s l 采用矩阵 形式给出了以5 个势函数表示的横观各向同性电磁弹性介质三维问题的通解，并且获得 了无限电磁弹性介质中存在广义位错的基本解和电磁弹性半空间固体受集中力和点电 荷作用的解，从而显示了所得通解的应用性。刘金喜等【1 9 】基于势函数理论给出了横观各 向同性电磁弹性固体耦合方程通解的另外一种表示形式，与文献【1 8 】采用的方法一样， 将所有的场变量用满足三维l a p l a c e 方程的势函数表示。这些通解可以用来得到裂纹， 夹杂和g r e e n 函数等一些基本问题的显示解，为电磁弹性固体解析研究提供了重要的基 础。w a n g 和z l l o n d 刎通过引入两个位移函数获得了球形域各向同性电磁弹性介质的通 解，这种方法最早被胡海昌f 2 l 】应用于求解横观各向同性体的弹性力学空间问题，在压电 问题【2 2 t2 3 】上也有成功的应用。同时文【2 0 】基于该通解求出了椎体在顶点作用集中力，集 中力偶，点电荷和点电流，以及球形空间在原点作用集中力等经典问题的精确解。丁皓 江等【矧利用文献【1 8 】所获得的通解，用一组调和函数的线性组合构造了势函数，得到了 电磁弹性圆锥顶端作用集中载荷的解析解。陈江瑛等瞄恫样利用文献【1 8 】所获得的通解， 给出旋转电磁弹性圆环和圆盘问题的解析解，并分别对电磁弹性圆盘，压电圆盘和横观 各向同性弹性圆盘进行了计算，通过对结果的比较，分析了它们的异同。w a n g 等【2 6 】将 状态向量法应用到正交各向异性电磁弹性固体三维问题中，该方法较p a n t l 4 】的求解更为 大连理工大学博士学位论文 容易理解和应用。同样该文给出横观各向同性电磁弹性矩形多层板在四边简支情况下的 解析解。w a n g 和z b o n g 2 7 2 s j 对圆柱正交各向异性电磁弹性体进行了研究，采用幂级数 和傅立叶级数展开法获得了有限长层合压电压磁复合材料圆筒形壳受均匀压力和均匀 温度变化下对称变形的解析解；采用s t r o h 公式求解了无限长电磁弹性圆管或圆杆受压 时解析解。姚伟岸【2 9 ，刈给出了电磁弹性固体以所有变量为自变量的最一般的广义变分原 理，建立了电磁弹性固体反平面问题的辛求解体系并提出该问题的圣维南原理。c h e n 和k e l 3 1 】对热电磁弹性问题进行了研究，通过引入两个位移函数和应力函数简化了横观 各向同性三维热电磁弹性问题的方程，建立一组新的状态空间公式，相对文献【2 6 】而言 其阶次更低，因此具有更高的数值计算效率。此外，在熟电磁弹性问题上，c h e r t 等【3 2 1 引入两个位移函数，即文献 2 0 2 3 所使用的方法，对横观各向同性三维热电磁弹性问题 的方程进行简化，利用算子理论严格地导出了该问题的通解，并进一步利用推广的 a l m a n s i 定理将通解简化为用6 个调和函数来表示，将势理论推广到了混合边值问题。 作为应用，给出了币状裂纹问题的势函数的精确解形式。c h e 等【3 3 】还研究了沿厚度方 向非均匀( 功能梯度) 的横观各向同性电磁弹性简支矩形板的振动，将文献f 3 1 】的方法 推广到动力学问题，进一步利用分层近似理论，将变系数状态方程化成常系数状态方程 并求解。关群和何顺荣 3 4 - 3 7 分别通过引入位移函数和势函数给出了压电、压磁耦合弹性 介质平面问题和三维问题的通解，还利用状态空间法研究了圆板自由振动问题。江爱民 等l 孤3 9 1 在将横观各向同性电磁弹性体的三维基本方程简化为平面问题后，给出了用4 个 拟调和函数表达的4 个特征根互异情况下的通解，然后用试凑法推导出均布载荷下悬臂 和简支电磁弹性梁的解析解。相对于用半逆解法得到的解析解而言，形式比较简洁。卿 光辉等1 4 0 , 4 1 】建立y - - 维电磁体的修正后的h e l l i n g e r - r e i s s n e r ( h - r ) 变分原理，推导出了 电磁弹性板和圆柱壳的h a m i l t o n 正则方程，为进一步求解提供了理论基础，数值结果尚 待完成。朱小鹏等【4 2 l 导出了有限长电磁弹性层合板的动力学方程，采用幂级数法，通过 处理得到了一种比较简便的求解，获得了电磁复合材料层合板自由振动的三维解，该方 法通过对f a g a n o 方法的改进，避免了在其求解三维动态问题时极其复杂的问题。魏建 萍和苏先樾【4 3 】应用“杆化模型”对压电压磁复合圆柱体中轴对称弯曲波进行了研究。肖 俊华和蒋持平【删利用复变函数和l a u r e n t 级数展开方法研究了含界面相电磁弹性复合材 料的多场耦合问题，给出模型在远场反平面剪力、远场面内电场和磁场共同作用下的精 确解。研究了反平面载荷时电磁弹性复合材料的界面相效应，得到了结构内部应力、电 场强度和磁场强度随界面相厚度和弹性模量的变化规律。c h e r t 等1 4 5 】研究了简谐波在电 磁弹性多层板中的传播问题。通过在层状结构中常用的状态空间法和矩阵传递法，分析 了在多层板结构中，不同的压电板和压磁板的层叠次序对传播曲线和模态的影响。朱保 电磁弹性固体辛对偶体系及虚边界元数值方法 兵等【4 6 】用状态空间法获得了层状压电压磁介质空间非轴对称问题一般解析式。s u e 等1 4 采用复势函数和特征函数扩展方法详细调查了两个焊接在一起的电磁弹性反平面楔的 应力奇异的阶次。w e l l e r 和l i c h t 4 s 】建立了四个电磁弹性薄板模型，所采用的方法可以 很容易她扩展到其它多场耦合闯题。 关于电磁弹性固体夹杂问题的研究。电磁弹性固体基体中被嵌入夹杂后会对基体的 各物理量的分布产生影响，这个问题被许多学者所关注，研究工作从简单形状的夹杂到 任意形状的夹杂，从单夹杂到多夹杂，取得了很多的研究成果。例如，h u a n g 等【4 9 ，5 0 求解了椭圆夹杂问题，n a n 5 1 】对文献【4 9 进行了评论，l i 5 刭研究了多夹杂问题，姜稚清 和刘金喜【5 3 l 求解了二维各向异性椭圆夹杂问题，张敬周等吲求解了双圆柱夹杂问题， w a n g 和s h e n 5 5 】给出任意形状夹杂的解析解，h o u 和l e u n 9 1 5 6 l 获得了球形夹杂的精确封 闭解。 关于电磁弹性固体g r e e n 函数的研究。g r e e n 函数是研究许多力学和物理问题的重 要工具，既能用于构造一些重要闯题的解析解，也可以用作边界元的基本解求解均匀或 非均匀介质的边值问题。刘金喜和姜稚清肛7 】基于d i r a c , - d e l t a 函数的积分表示和c a u c h y 留数定理，导出了压电、压磁和电磁各向异性弹性介质二维问题的g r e e n 函数，该函数 以封闭形式给出，适用于平面反平面以及平面和反平面相互耦合问题。i j u 等1 5 8 】基于 s t r o h 公式结合保角映射和l a u r e n t 级数展开技术，获德了带有椭圆形空洞的无限大二维 非均匀电磁弹性介质的g r e e n 函数。i j 【5 9 】用围线积分方法获得了横观各向同性电磁弹性 介质的g r e e n 函数并应用于夹杂和非均匀问题。p 孤舯】用扩展的s t r o h 公式获得了各向异 性电磁弹性全空间，半空间和双材料的g r e e n 函数。d i n g 等1 6 l l 采用试凑法系统地研究 了横观各向同性电磁弹性材料的g r e e n 函数，将二维和三维问题写成统一的显式形式。 q i n l 6 2 j 利用s t r o h 公式、保角映射和摄动技术，得到含有多种缺陷的无限大热电磁弹性固 体问题的g r e e n 函数。z h a o 等f 6 3 】提出一个获得扩展位移不连续g r e e n 函数的通用方法， 并应用于横观各向同性电磁弹性固体问题。 关于电磁弹性固体裂纹的研究，尽管相关工作才仅仅开展几年，但已经取得了很多 成果。h u 等1 6 4 l ，w a n g 和h a n 6 s l ，z h u 和q i n ，w a n g 和m a i l 6 q 在最近的文献中做了 大量的介绍，这里不再赘述。需要补充的是，d u 和s h e n 等1 6 8 , 叫研究了电磁弹性介质中 的裂纹与反平面剪切波相互作用的规律。f e n g 等m7 1 1 研究了电磁弹性圆柱形夹杂部分 与基体分离所形成的裂纹对剪切波的散射。周振功和王彪7 3 1 分析了压电压磁复合材料 中可导通界面裂纹对弹性波的散射问题，以及一对平行对称裂纹对简谐弹性波的散射闯 题。 大连理工大学博士学位论文 数值解方面，包括有限元法和边界元法在内的多种有效的数值算法方法被应用于电 磁弹性固体问题的求解。b u c h a n a 7 4 7 5 】应用有限元法分析了无限长电磁弹性圆柱体的自 由振动。并比较了无限大电磁弹性多相材料板和分层材料板的振动频率。l a g e 等1 7 6 用 分层混合有限元模型分析了电磁弹性层合板结构。d i n g 等m 7 8 l 推导了电磁弹性无限体 二维和三维问题的基本解，并建立了横观各向同性电磁弹性体的边界元法。d i n g 和 w a n g ”】采用v o l t e r r a 积分方程求解了电磁弹性空心圆筒的动力学问题。由于波在结构 中的传播特性可以用来进行无损检测或者制造环能设各，波在电磁弹性结构中的传播受 到关注。陈江义等【舰8 i l 研究了l o v e 波和l a m b 波在电磁弹性板中的传播特性。文献【8 0 】 利用传递矩阵方法分析l o v e 波在电磁弹性结构中的传播行为和频散特性。文献 8 1 1 用状 态空间方法分析了l a m b 波在电磁弹性结构中传播的频散曲线和模态参数。b h a n g a l e 和 g a n e s a n 8 2 - 9 4 应用半解析有限元模型分析了一系列功能梯度电磁弹性板壳问题，包括简 支的板的静态问题，简支的板和圆柱壳的自由振动问题。a n n i g e r i 等i s s , s 6 1 用有限元法求 解了多相的分层的电磁弹性梁的自由振动问题，两边固支的圆柱壳的自由振动问题。 r a m i r e z 等【8 7 】用离散层近似模型求解电磁弹性层合板的自由振动。c a r e i a s a n c h e z 等【8 s l 用对偶边界元法分析了二维线性电磁弹性固体的断裂问题。 1 3 辛对偶体系的研究现状 钟万勰院士根据结构力学与控制理论的模拟关系【8 9 】，将哈密顿体系和辛数学思想引 入到弹性力学，开创了弹性力学辛对偶求解体系【l l 。这种方法改变了以往弹性力学求解 中大量运用半逆凑合法的传统，而导向理性的求解过程，求得了许多以往半逆凑合法无 法导出的结果。同时一改过去求解弹性力学偏微分方程过程中努力消去未知数，让方程 阶次升高而成为一类变量的求解方法，使许多有效的数学物理方法，如分离变量法【蜘、 共轭辛正交【9 1 】和辛本征函数向量展开法等得以实施，展现了一个与传统求解方法相平行 的分析计算平台。弹性力学辛求解方法完成了从拉格朗日体系向哈密顿体系的过渡，其 意义在于从传统的欧几里褥型的几何形态进入到辛几何形态之中，突破了传统观念，具 有一定的普遍意义和重要的方法论意义。辛对偶体系方法论不仅可以用于弹性力学f 1 妮】， 也可以应用于更广大领域，如控制、振动、断裂力学、复合材料力学、流体力学和电磁 波导问题等等。 在辛对偶体系下，关于弹性力学解析解法方面的研究，目前已经求出了直角坐标中 的一系列弹性问题，如平面各向同性问题【9 3 l 、平面各向异性问题【9 4 1 、薄板问题i 蛄一6 1 、 厚板问题 9 7 , 9 8 、层合板问题【9 9 ，1 0 0 l 和弹性柱体三维问题【1 0 l 。1 叫的全部圣维南问题的解，这 些解在辛体系下对应着零本征值的本征解，也就是建立了求解圣维南问题的直接法。同 电磁弹性固体辛对偶体系及虚边界元数值方法 时通过非零本征值的本征解还可以定量分析具体问题中被圣维南原理所覆盖的部分的 解。对于有些问题，如圆形域、环扇形域和楔形域等弹性力学问题，采用极坐标系更易 于求解。在极坐标系下，这类问题被导入到辛对偶体系中，求解了环扇形域1 1 0 4 - 1 0 6 1 、楔 形域i l 叼、弹性曲梁【i o s l 、弹性楔体的佯谬问题1 1 0 9 , 1 1 0 1 。特别是通过对极坐标辛对偶体系 约当型的直接求解给出弹性楔体的佯谬问题 1 0 9 , 1 1 0 ) 的解，揭示了佯谬发生的本质属性， 为这类问题的求解提供了一个新的方法。周建方和卓家寿1 1 1 1 】进一步拓展了辛对偶体系 下的分离变量法，将其应用到非齐次边界条件情况，得到了极坐标下的一个新解。这个 解答具有很重要的理论意义和较强的实用价值。齐朝晖和唐立民【l ”】建立了在任意曲线 坐标系下的曲六面体区域辛对偶体系，扩大了辛对偶体系的适用范围，使系统方程具备 了处理任意复杂边界条件的能力。 弹性力学辛对偶体系在半解析法和数值方法的研究，突破了解析法在求解问题时的 诸多限制，取得了一些初步的研究成果。周建方等1 1 1 3 】研究了半解析法控制方程的物理 意义和单元特性，得出了广义动量的守恒律，并分析了半解析解所适用的区域。唐立民 等【1 1 4 1 、邹贵平等【1 1 5 1 、王治国等【1 1 6 】将半解析法应用于实际，成功求解了复合材料矩形 域和层合板问题，以及复合材料叠层圆柱曲板问题。分析的过程显示辛对偶体系下的半 解析法具有一定的优点，数值算例表明该类方法的有效性。此外，周建方和卓家寿【1 1 7 i 对辛对偶体系下的数值方法做了研究，发展了基于h e l l i n g e r r e i s s n e r 交分原理的有限元 法，取得了满意的计算结果，从初步的应用可以看出这种方法是可行的。 在断裂力学奇点解的分析与计算方面，极坐标径向辛对偶体系显示了一定的优越 性。张洪武等 1 1 8 - 1 2 0 建立了一套完整的基于辛对偶变量的哈密顿一般变分原理，进而构 造出可以用于一般断裂问题分析的半解析元列式，并对双材料和多材料楔形结合点的奇 异性进行了分析，还研究了多材料交接点裂纹的应力场。王承强和姚伟岸【1 2 1 】给出了求 解任意几何形状和载荷的平板裂纹d u g a a l e 模型的计算方法，计算了断裂力学中基于 d u g d a l e 模型的塑性区尺寸和裂纹尖端张开位移。江铁强和何雪法【1 2 2 1 将弹性力学的辛对 偶理论应用于i h 型裂纹端部场求解，得到了与其他方法一样的计算结果。 在流体力学方面，辛对偶体系的方法论也有很多研究成果。张宝善等在1 9 9 8 年的 文献【1 2 3 】中综述了非线性水波的哈密顿系统理论与研究进展，并提出非线性水波的哈密 顿描述研究中有待进一步研究的问题和解法设想。最近马坚伟等1 1 2 4 , 1 2 5 1 基于哈密顿体系 研究了平面和空间粘性流体问题。徐新生和王尕平 1 拍j 给出了二维s t o k e 流问题中的辛本 征解方法，通过算例给出了流动情况并说明了边界效应及衰减特点。辛对偶体系在二维 s t o k e 流问题的应用对三维问题以及类似问题的研究有很大的帮助。 - 6 - 大连理工大学博士学位论文 钟万勰1 1 2 7 , 1 冽还将辛对偶体系的方法应用于电磁波导问题的研究。辛本征解展开定 理对于不同介质、不同截面的波导连接和共振腔等，提供了很大的方便。对复杂截面波 导，给出了半解析离散的分析方法1 1 2 a 。在此基础上，孙雁和谢军1 1 嘲将辛对偶体系的半 解析法应用于各向异性电磁波导问题中。陈杰夫等f 1 3 0 j 针对导入哈密顿体系后的电磁波 导方程，提出了对偶棱边元来数值求解复杂横截面和不均匀填充介质的波导问题。对偶 棱边元继承了常规棱边元的优点，克服结点基有限元求解电磁场问题的困难，可以削除 电磁场有限元计算中的非物理伪解，以及有效地模拟导电劈和各向异性材料。此外，以 导电劈问题为例，构造出解析奇异元【”n ，该单元可以很方便地与对偶有限元相结合， 兼顾了解析法和有限元方法的优点，在克服普通有限元法处理电磁场奇异性问题的困难 的同时，保持了其灵活通用的性质。 除了以上闯题，姚伟岸f 3 0 j 将电磁弹性固体反平面问题导入辛体系，提出该问题的圣 维南原理。g u 等【1 3 2 1 研究了辛对偶体系在二维横观各向同性压电介质上的应用。x u 等 1 3 3 l 给出横观各向同性压电圆柱形介质的辛特征函数法。徐新生等f 1 蚓给出了粘弹性厚壁筒 问题的辛本征解方法，得到拉伸、扭转和弯曲等问题的解以及有边界局部效应的解。卿 光辉等i 蚓研究了哈密顿等参元与压电层叠板的半解析解。 1 4 虚边界元及相关方法 边界元型的数值方法都要利用所求问题的基本解，而基本解是个有奇点的函数表达 式。对于奇点的设置不外乎三种情况：边界元直接法是将奇点设置在边界上建立积分方 程；边界元间接法通常是把奇点设置在积分边界( 虚边界) 的内部建立基本方程【1 3 6 j ； 另外一种方法就是把奇点设置在边界的外部，用以削除传统边界积分方程的奇异性。这 种将奇点设置在边界外部的方法，在国际上通称为m f s ( m e t h o do f f u n d a m e n t a ls o l u t i o n ) 型1 1 3 刀方法。 1 4 1m f s 型方法简介和在弹性力学上的应用情况 m f s 最初被用于求解椭圆方程 l u ( p ) - 0 ，尸y( 1 1 ) 其中，l 是线性椭圆偏微分算子，矿是闯题的域。此方程的近似解球。( p ) 被表示成基本 解的线性组合 上 一 i _ t ( p ) 一y q x ( p q 1 ) ，p e v ( 1 2 ) 电磁弹性固体辛对偶体系及虚边界元数值方法 其中k ( p ，q ) 为方程的基本解，奇点 q 位于域矿- v u r 外，厂为问题域v 的边界。 奇点的位置可以是预先固定，也可以同p ，) 乙一起通过边界条件确定【1 3 7 1 。由此m f s 可 以分为移动奇点型和固定奇点型”。 移动奇点型和固定奇点型m f s 数值解法都已经推广到弹性力学领域。k a r a g e o r g h i s 和f a i r w e a t h e r 1 3 9 1 、b e r g e r 和k a r a g e o r g h i s 1 4 0 l 、p o u l l i k k a s 等【1 4 1 】分别用移动奇点型m f s 求解了弹性问题的二维、三维问题。而固定奇点型m f s 被国内外众多学者以相同的基 本思想不同的名称应用于弹性力学问题的求解。d e d e k o p 1 4 2 】提出f c m ( f u n d a m e n t a l c o l l a t i o nm e t h o d ) ，求解了平面弹性问题，之后该方法被用于求解轴对称【1 4 3 】和三维弹性 问题i l 矧。b u g u e s s 在文献 1 4 5 1 将其所提出的s u p 法( s u p e r p o s i t i o nm e t h o d ) 与边界元法 进行了比较，在文献 1 4 6 1 论述了该方法的局限性。w u 和舢t i e r o i l 4 7 1 将固定奇点型m f s 用于求解各向同性薄板问题。r a a m a c h a n d r a n 等f 1 似1 卯1 以c s m ( c h a r g es i m u l a t i o nm e t h o d 、 为名求解板的振动弯曲问题。我国学者云天铨1 1 5 1 】在回转体扭转分析中采用了他提出的 线载荷积分方程法【坫2 1 。许永林和唐锦春【1 矧、卢习林和杜庆华【1 5 3 1 分别提出过域外奇点 法和无奇异边界元法，求解了薄板弯曲问题。王有成在文献 1 5 4 1 中提出全特解场边界点 法。王元淳【1 5 5 悃域外奇点法求解了多种弹性力学问题。苏成等【1 5 1 5 9 1 对此类方法的应用 和改进做了大量的工作。 1 4 2 虚边界元简介和研究现状 孙焕纯1 2 在b u r g e s s 1 4 5 】的叠加法( s u p ) 基础上提出的弹性力学虚边界元法( v i r t u a l b o u n d a y e l e