（应用数学专业论文）几类偏微分方程的混合有限元方法.pdf

青岛科技人学研究生学位论文 f z l l l i i ir liiilliiii脚lu y 17 4 0 4 9 0 。 几类偏微分方程的混合有限元方法 摘要 本文主要讨论了实际问题中遇到的几类偏微分方程的数值方法用分裂型最 小二乘混合有限元方法对二阶抛物方程、b u r g e r s 方程进行了研究，用自适应最小 二乘混合有限元方法对高阶抛物方程、二维粘弹性问题进行了研究分裂型最小 二乘混合有限元方法是先将方程在时间层上进行离散，然后引入未知量，得到一 个耦合的方程组，之后进行区域分解，将方程组分解成两个独立的子系统，从而 在很大程度上降低了原问题的求解难度和规模，通过理论分析可以得到该格式对 原未知量具有最优阶r ( q ) 模误差估计自适应最小二乘混合有限元方法是首先 通过引入未知量将原问题化为未知函数和通量函数的低阶方程组，而后对低阶方 程组的每一个方程应用自适应最d x - 乘有限元方法，这样可以同时得到对未知函 数和通量函数的最优阶逼近然后利用最d , - 乘函数构造了自适应计算中用到的 后验误差估计算子，并对其进行了有效的后验误差估计由于该方法能降低对有 限元空间光滑度的要求，从而能比较容易的构造出混合有限元空间，而且能提高 计算的精确度本文重点对分裂型最小二乘混合有限元方法和自适应最小二乘混 合有限元方法进行了理论研究，研究结果表明本文所应用的两类最d x - 乘混合有 限元方法是可行的 本文共分为五章： 第一章绪论部分简要介绍了有限元方法的发展历程以及本文用到的基础知 识 第二、三章用分裂型最小二乘混合有限元方法分别研究了二阶抛物方程、 b u r g e r s 方程 第四、五章用白适应最d , - - 乘混合有限元方法分别研究了高阶抛物方程、二 维粘弹性问题 关键词：混合有限元最小二乘函数抛物方程b u r g e r s 方程误差估计 一 几类偏微分方程的混合有限元方法 二二二_ 二二 青岛科技人学研究生学位论文 m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs e v e r a l p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s st h en u m e r i c a ls o l u t i o n st os e v e r a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yu s i n gt w os p l i t t i n gl e a s ts q u a r e sm i x e d f i n i t ed e m e n tm e t h o dt os t u d yt h es e c o n d o r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n sa n db u r g e r se q u a t i o n ，u s i n gt h ea d a p t i v el e a s ts q u a r e sm i x e d f i n i t ed e m e n tm e t h o dt os t u d yh i 曲o r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o na n dt w od i m e n s i o n a l v i s c o e l a s t i cp r o b l e m s t w os p l i t t i n gl e a s ts q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di sf i r s t d i s c r e t i z i n gt h ee q u a t i o ni nt i m el a y e r , t h e ni n t r o d u c i n ga nu n k n o w nv a r i a b l et og e ta c o u p l e de q u a t i o n s a n dt h e nd e c o m p o s et h ed o m a i n ，t h ec o u p l e ds y s t e mc a l lb es p l i t i n t ot w oi n d e p e n d e n ts u b - s y s t e m s ，t h u sr e d u c et h ed i f f i c u l 哆a n ds c a l eo fp r i m a l p r o b l e m s t h e o r e t i c a la n a l y s i ss h o w st h a tt h em e t h o dy i e l dt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s f o rt h ep r i m a lp r o b l e m sw i t ho p t i m a la c c u r a c yi n r ( q ) n o r m a d a p t i v el e a s t s q u a r e s m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o dt r a n s f o r m a t et h eo r i g i n a lp r o b l e mi n t op a i r so fl o w - o r d e r e q u a t i o n sb yi n t r o d u c t i o no fa nu n k n o w nv a r i a b l e ，a n du s et h i sm e t h o dt oe a c ho f e q u a t i o n ，w ec a l lo b t a i nt h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o no ft h ep r i m a lp r o b l e ma n di t sf l u x w ec o m p o s e da p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o r sw i t ht h el e a s t - s q u a r e sf u n c t i o n a lu s e di n a d a p t i v er e f i n e m e n ta l g o r i t h m ，a n di te s t i m a t e dt h ep r o b l e m se f f e c t i v e l y s i n c et h e m e t h o dc a nr e d u c et h es m o o t h n e s sr e q u i r e m e n t so ft h ef i n i t ee l e m e n ts p a c e ，s ot h a ti t c a nm o r ee a s i l yc o n s t r u c tam i x e df i n i t ee l e m e n ts p a c ea n di m p r o v et h ea c c u r a c yo f c a l c u l a t i o n t h e m a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r eo u t l i n e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，t h ep a p e rb r i e f l yi n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so ft h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o da n ds o m eb a s i ck n o w l e d g eu s e di nt h el a t t e rp a r to ft h i sp a p e r i nc h a p t e rt w oa n dt h r e e ，t h i sp a p e rd i s c u s st h es e c o n do r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n s a n db u r g e r se q u a t i o nb yu s i n gt w os p l i t t i n gl e a s ts q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d , r e s p e c t i v e l y i n 几类偏微分方程的混合有限元方法 一 i nc h a p t e rf o u ra n df i v e ，t h i sp a p e rd i s c u s st h eh i g ho r d e rp a r a b o l i c e q u a t i o na n d t w od i m e n s i o n a lv i s c o e l a s t i cp r o b l e m sb yu s i n ga d a p t i v el e a s ts q u a r e sm i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：m i x e df i n i t ee l e m e n t l e a s t s q u a r e sf u n c t i o n a l p a r a b o l i cp r o b l e m s b u r g e r se q u a t i o n e r r o re s t i m a t i o n 青岛科技人学研究生学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 1 绪论1 1 1 问题提出的背景1 1 2 有限元方法简介2 1 3 预备知识3 2 二阶抛物方程的分裂型最小二乘混合有限元方法7 2 1 二阶抛物方程的分裂型最小二乘格式7 2 2 方程解的存在唯一性1 0 2 3 误差估计1 2 3b u r g e r s 方程的分裂型最小二乘混合有限元方法1 5 3 1b u r g e r s 方程的分裂型最小二乘格式1 5 3 2 方程解的存在唯一性1 8 3 3 误差估计1 9 4 高阶抛物方程的自适应最小二乘混合有限元方法2 3 4 1 高阶抛物方程的自适应最小二乘格式2 3 4 2 方程解的存在唯一性2 4 4 3 方程的有限元逼近2 5 4 4 后验误差估计2 6 5 二维粘弹性问题的自适应最小二乘混合有限元方法2 9 5 1 问题的提出2 9 5 2 有限元空间的逼近3 2 5 3 后验误差估计3 3 结论3 7 参考文献3 8 v 几类偏微分方程的混合有限元方法 致谢4 2 攻读学位期间发表( 完成) 的学术论文目录4 3 声明4 4 v i 青岛科技大学研究生学位论文 1 1 问题提出的背景 1 绪论 不论是在纯粹数学还是应用数学中，偏微分方程都可以说是数学的中心它 们通常发生在以空间和时间做为自变量的连续变化的函数的数学模型中，并广泛 应用到现代的科学、技术、工程等领域，如流体力学、固体力学、电磁学、金融、 概率等f 1 1 ，甚至很多近代自然科学的基本方程本身就是偏微分方程自微积分理 论形成以来。人们一直用偏微分方程来描述、预见或解释各种自然现象，并取得 了显著的成效计算机行业的发展，为偏微分方程的离散逼近及误差估计提供了 更多的便利，不断产生更为精确、有用的结果这些研究反过来又会指导现实生 活因此偏微分方程的研究不论在理论上还是实践上都有很重要的意义 本文主要研究了抛物方程，b u r g e r s 方程及粘弹性问题的混合有限元方法抛 物方程多用于描写热的传播、多孔介质中的的渗透、溶质在液体中的弥散等随时 间发展而演化的现象和过程，是一类基本的发展型偏微分方程近代有限元方法 诞生并成功的用于求解椭圆方程的之后，很快就被推广应用于求解抛物方程的初 边值问题，并建立了完善的数学理论例如f 2 】用g a l e r k i n 有限元方法求解了抛物 方程，3 1 用混合有限元方法求解了非线性抛物方程，【4 】用间断时空混合有限元法 求解了四阶抛物方程，5 1 对抛物方程的误差估计进行了专门的研究b u r g e r s 方程 首先被j m b u r g e r s 作为一类流体的运动现象的数学模型加以研究【6 】，同时它还 可以作为浅水波问题的洪水模型、交通流动力学的数学模型因为方程本身具有 n a v i e r - s t o k e s 方程的性质因此b u r g e r s 方程可以作为n a v i e r - s t o k e s 方程的简单 数学模型方程，通常称之为非线性输运扩散方程关于这类方程的理论和数值方 法的研究，已经有大量的工作，但基本是应用有限差分方法【7 】【8 】【9 】首先将自适 应混合有限元方法应用到了b u r g e r s 方程中，本文是用分裂型的最小二乘混合有 限元方法来研究的这类方程的粘弹性问题是近些年才开始进行研究的，文献 1 0 】 用有限元方法得到了此问题的一个有限逼近，1 1 】【1 2 】分别对粘弹性问题的两类边 界做了有限元近似，文献1 3 1 用特征有限元方法对粘弹性问题进行了研究，并得 到了比较好的结果本文用自适应的最小二乘混合有限元方法来研究的这类方 程 几类偏微分方程的混合有限元方法 1 2 + 4 1 有限元方法简介 有限元方法也称有限单元法，是以古典的r i z e g a l e r k i n ( 简称r g ) 变分方法 为基础，以分片插值多项式为工具，结合电子计算机的发展与推广而发展起来的 一种求解偏微分方程的数值方法它是由r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出，到了2 0 世纪5 0 年代，取得了巨大的进展我国的冯康教授( 1 9 2 0 - 1 9 9 3 ) 与西方科学家各 自独立的创立了有限元方法( 文献f 1 5 1 ) ，奠定了有限元方法的数学理论基础从此， 有限元方法开始广泛的应用于机械、船舶、水利设施以及巨型建筑的设计近年 来又被广泛的应用于电磁场、流体动力学等非应力分析问题随着愈来愈多的数 学家加入了发展有限元方法的行列中，使得这种方法从工程的局限性中解脱出来， 确定了统一的观点和严密的数学描述以及它的数学基础有限元方法是利用场函 数分片多项式逼近模式来实现离散化过程的，也就是说，有限元方法依赖于这样 的有限维子空间，它的基函数系是具有微小支集的函数系，这样的函数系与大范 围分析相结合，反映了场内任何两个局部地点场变量的互相依赖关系任何一个 局部地点，它的影响函数和影响区域正是基函数本身和它的支集 混合有限元方法的一般理论由b a b u s k a ( 文献 1 6 1 ) 和b r e z z i ( 文献 1 7 1 ) 于2 0 世 纪7 0 年代初创立的，它是一种基于限制或者约束条件的变分形式的有限元方法 混合有限元方法是直接对未知函数的微分算子进行求解，可以同时得到函数本身 与通量函数的相同阶的逼近，同标准的有限元只能对微分算子通过后处理进行计 算相比，其数值解精度往往会提高很多混合有限元方法的优点是通过引入一个 具有实际的物理意义的中间变量，将高阶微分方程降阶，从而就能够降低有限元 空间对光滑度的要求在处理许多实际问题，例如多孔介质的渗流问题、不可压 缩两相驱动渗流问题、石油蓄存问题和一些水文和生化现象时，会经常用到混合 有限元方法进行求解 最d , - 乘混合有限元方法最早是由b r a m b l e 和n i t s c h e 在研究d i r i c h l e t 问题 时提出的，r a v i a r t 、t h o m a s 和b r e z z i 、c a r e y 及o d e n 发展了这一方法( 文献 【1 8 1 2 0 1 ) 同其他方法相比，最小二乘混合有限元方法的优点是混合元空间可以 灵活选取，不需要满足匹配条件( l a b 条件) ，形式简单；混合元系数矩阵不但形 式简单而且对称正定，可以用许多有效简捷的方法对其进行数值求解近年来。 最d 、- - - - 乘混合有限元方法的研究引起了国内外学者的广泛兴趣，国外的l a z a r o v 和w a n g 、e w i n g 、b r a n d t s ，p e h l i v a n o v 和我国的顾海明( f 文献2 1 2 5 1 ) 和羊丹平、 罗振东( 文献【2 6 】) 、陈艳萍( 文献 2 7 1 【3 1 】) 和黄云清等都对最小二乘混合有限元方 法的发展作出了卓有成效的工作 2 青岛科技大学研究生学位论文 有限元方法和有限差分方法是研究偏微分方程数值解法的两大基本方法，相 比之下，有限元方法在研究空间区域的几何形式或边值条件比较复杂的情况时， 更为方便灵活，可以有效的提高计算精度，在处理工业生产中许多实际问题时发 挥着巨大的作用( 文献【3 2 】) 1 3 口3 1 预备知识 疋义1 3 1 议k 为整数，1 p + o o 为买数，则s o b o l e v 至间w p 【2 ) 定义为： 形t p ( q ) = “f ( q ) ；l 口i 后，d 球甜f ( q ) ) 其中妒( q ) = 甜：i “ p 出 佃 ，其范数定义为：叫 p ，q = ( 川p 出) 妇 形t ，( q ) 上的范数定义如下： ( i ) 当l p 佃时，w t ，( q ) 的范数为 i l u h q ) 【i 洳p h 出j ，、1 ， ( i i ) 当1 p w 朋p ( q ) ， l i “1 0 产( 。，彤，( q ) ) ，s = o , 1 ，七) 当p = 佃，k = 0 时，记咖( o ，z ；“，p ( q ) ) - - ： ( o , r ；w “，p ( q ) ) 一r “。) 本 文用m 墨，屯，s ，表示与墨，屯，墨有关的正常数 记 日1 ( q ) p r ( q ) ：v p r ( q ) 】， 彤( q ) 一p 日”( q ) ：d 口v l 拍- o ，i 口i z 时，则w ，p ( q ) - - - * 呻w 。p ( q ) ，而且存在只与q 有关的常数m ，使得 i luk q smi lu 峙，q 其中专专表示紧嵌入，即对w 切( q ) 中的任意序列伽。 必存在子序列 ( - 1 , 2 ，) ，在妇( q ) 中收敛 定理1 3 6 ( 嵌入定理3 ) 如果七 形p ，砧抑( q ) ，让区域q 被任一维数为 s 厅一2 k 的平面所截，在其截形见上定义平方可积函数( 称为“的迹) ，则 ，p ( q ) 一假) ，而且 0 ( d 1 ) s m i l uh q ， 其嵌入算子是有界及全连续的 5 几类偏微分方程的混合有限元方法 6 青岛科技大学研究生学位论文 一_ 一 2 二阶抛物方程的分裂型最, b - - 乘混合有限元方法 2 1 二阶抛物方程的分裂型最小二乘格式 考虑如f 抛物方程 c 塑o t v ( 口v “) 一6 v “= 厂( x ，) ， x q ，f ( o ，明 2 1 1 u ( x ，t ) = 0 ，x r ，f ( o ，r 】； ( 2 1 2 ) u ( x ，o ) = u o ( x ) ， x q ( 2 1 3 ) 其中qcr 2 为一多边形区域，孢为它的i d p s c h i t z 连续边界，厂( x ，f ) 为已知 函数，且存在非零的常数g ，c 。，a ，a 及b ，b 使得 0 c ：sc s c ，0 a s 口主a ，0 吃a b s b ( 2 1 4 ) 现定义如下两个h i l l ) e r t 空间： y = 磁( q ) ，矿= r ( r ( q ) ) 2 ：d i r t e r ( q ) ( 2 1 5 ) 令址为时间剖分步长，n 为整数，出= t n ，记t “- 刀a t ，n = 0 , i ，2 ，n 在( 2 1 1 ) ( 2 1 3 ) 式中取f f j i ，令厂”= 厂( x ，广) ，用一阶向后e u l e r 差分对其关于 时间离散得 c 1 n 矿- - u n - 1 一v ( 口v u “) 一b v “一厂“+ r “，x q ，f ( o ，r 】； ( 2 1 6 ) 其柑= c ( 等一c 耕 整理( 2 1 6 ) 式得 u ”( x ) = 0 ， x f , t ( o ，j f l 】； u ( x ，o ) - - n o ( x ) ， z q 7 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 几类偏微分方程的混合有限元方法 - a t v ( a v u ”- a t b v u ”+ c z ，”= x f ”+ c u ”一l + 缏” ( 2 1 9 ) 其中彤为d ( 出) 项，可以省略引入未知量矿一a v u “，则( 2 1 9 ) 式变为 la t d i v 0 44 - a t b a 1 矿+ c u 4 一f 4 l 矿一一a v u “ 其中f ”- a 矿“+ c u “ 分别用( 纪) - 1 胆和( 口) - 1 位乘( 2 1 1 0 ) 中的第一式和第二式得 f ( 舭) 叫2 ( a t d i v c r ”+ a t b a 。1 矿+ c u “一f ”) 0 叫2 ( 矿+ a v u “) 。0 ( 2 1 1 0 ) x c - 于( v ，r ) v x w ，定义如下最小二乘泛函： m ，f ) = 0 ( 龇) 刈2 ( a t d i v o ”+ 躺a - 1 c 7 n + c u n _ n l | 2 水) 圳2 ( 矿+ 砒w ( 2 1 1 2 ) 从而相应的( 2 1 1 1 ) 的最小二乘问题为：求( u n ) o ”) ( 矿，形) ，满足： ，i 甜”，矿) = i n fj ( v ，f ) ( 2 1 1 3 ) 、， y e v r e w 7 根据最小二乘泛函j ( v ，r ) ，定义如下双线性泛函： 彳( “”，盯”；y ，f ) = + ( ( 口( a 一。t ( ) - 盯 c 。- + i ( 口a v t k d i 。v ) o ， f + + 口a v t b y a - ) 1 盯”+ 翻”) ，出协w + j 仿口一l f + ) ( 2 1 1 4 )+ ( 口d ( 矿+ 口砚“) ，f + 口v y ) “一”7 求解( 2 1 1 3 ) 就等价于求解 彳( 以矿；咐) = ( ( 舭) q f , a t d i v r + a t b 口- 1 f + ) ( 2 1 1 5 ) 设& ，气是区域q 上两有限元网格剖分族，心，吃分别为网格步长参数，相应 的有限元空间为c w ，kc v ，可以知道有限元空间有如下逼近性质3 4 1 ： 对任意的y v n h 肘+ 1 ( q ) ，f w n ( h ( q ) ) 2 ，有 般渺一| i + h , l l v ( y v , 1 1 - 刊l “ 帆i n f 卜i | 雠制l “ 8 ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) 青岛科技大学研究生学位论文 鹱n fi i 疣v ( f 一) i l a r c i i v 4 2 + ( m 一1 2 b a - 1 ) l l 仃1 2 + ( ( ) - i c l - m a 一1 2 b a - 1 ) l l 甜1 1 2 1 1 几类偏微分方程的混合有限元方法 可以经过适当的选取，使得 ( 口- l + 幽叫o - , 6 ) 2 _ 1 2 6 a - i ) o ( a t ) c + m a 一1 1 2 b a 1 0 成立 所以有 彳( “，盯；甜，仃) m ( i i v 仃1 1 2 + 2 + 慨1 1 2 + 2 ) 一m ( 乙+ 慨1 1 ：+ 1 1 州 乙+ 酬1 2 ) 强制性得证 由l a x m i l i g r a m 引理可知( 2 1 1 5 ) 式存在唯一解因为( 2 1 2 6 ) 式与( 2 1 1 5 ) 式是等价的，所以e u l e r 型格式i i 存在唯一解 2 3 误差估计 对于一般的混合元方法，引入椭圆投影算子r “k ，有 ( v ( r u 一“) ，v 屹) = o ，v 同样会有( 2 1 2 0 ) 、( 2 1 2 1 ) 式成立用一般的最小二乘混合元方法，可以得到 基于此椭圆投影原未知量的最优阶误差估计：( 地为近似解) 怯一0 24 似+ 施1 ) n0 v ( “”一掰) 1 1 2 m 圮川) + 出 ( 2 3 1 ) 我们现在来讨论分裂型e u l e r 格式i i 的误差估计 定理2 3 1 假设砧e v ，c re w 为问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解，u h ，为分裂 型e u l e r 格式i i 的解，则有下列先验误差估计： 陋一碟1 1 2 + ( 口+ 施。1 ) 芝i i v ( “”一钟) 1 1 2 m 贸肼+ 址 ( 2 3 2 ) 证明 由( 2 1 1 4 ) 可得误差方程： 青岛科技大学研究生学位论文 一- _ 一 么( n “一群；屹，) = ( ( 址) 一, n - i - - u 以a t d i v r h + 舶a - t + ) ( 2 3 3 ) + ( c 一1 r “，a t d i v r , + a t b a 。1 + 叱) 由引理2 1 1 可得 彳( 甜”一”；：，仃”一群；屹，) = a t c v ( 仃”一碟) ，v ) + ( 所( 盯”一硝) ，) + b a lo r 一训，) + h a - 1u n - - u ：) ，吒) ( 2 “3 ) + ( ( 出) 。1 c ( “一训，) + ( 口v ( u n - 嵋) ，v h ) 在( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 中分别取靠= 0 ，并令两式的右端相等，得 ( ( 缸) 。1u n - i - - u ：。1 ) ，) ( c 。1 贮) ( 2 3 5 ) 。( b a 一1 ( 盯8 一吖) ，吃) + ( ( t ) 一l c “一h ：) ，屹) + ( 内( “一h ：) ，v v h ) 令口为u 的伴随椭圆投影，并假设m 4 虑到边界条件并利用g r e e n 公式得： 一u “一，u n _ n 一矿，整理( 2 3 5 ) ，考 ( c ( a f ) - 1p “一矿_ 1 ) ，屹) + “口+ b a ) v e , v v h ) ( 2 3 6 ) - 一“c ( 缸) 1 ( 一一1 ) ，v h ) ) - - ( a v p ，v ) + 僻“，) 记( 2 3 6 ) 式左端项分别为厶，l 2 ，右端记为r ，恐，r 取检验函数- e h ，则 i 1 - - o ( 址) 一( e n _ e n - i ) ，矿) = c ( 出) 。1 ( p 1 2 出一l e e n - l d x ) 丢c ( 出) 。1 ( l p l 2 出一l p q l 2 出) 厶= ( ( 口+ b a - 1 ) v e , v 矿) = + 施一1 ) l i v e | 1 2 则有式( 3 3 6 ) 的左端相： 三( 2 3 6 ) 互1c ( 出) 一1 ( p 1 2 出一l i e n - 1 2 出) + + 施一1 ) l l v p ”0 2 右端项：i 墨i 1 p ( 出) 一1 ( 一。1 ) ，) i = c p “一p “一1 蚓= i ( a v p 肌”) 隧( 阿0 2 + 1 1 v p ”1 1 2 ) ) ， 洲阻小i i p ”1 1 2 ) 州) l - c c ( 等寺p m (翱o f 2 卜) 2 + i i 叫1 2 几类偏微分方程的混合有限元方法 心6 ) 驯阻小2 州1 2 + i | v 1 1 2 + l m 骺0 2 u ：( ) 卜) 2 巾1 1 2 ) 由于l ( 3 3 6 ) = r o 3 6 ) 可得 三c ( 址) q ( p 1 2 出一l i e - 1 2 出) + ( 口+ 6 a - ! ) 0 v p ”0 2 1 ；- 。，( 0 詈( ，”) 1 1 2 r i i p ”0 2 - o 、9 j 。”0 2 ro 、7 p ”0 2o 0 a 2 ，u ：、( r 一) 0 2 ( 。) 2 - i i p 0 2 ) 2 3 7 将式( 2 3 7 ) 关于力从1 到n 求和得 三c ( ，) 。1 ( l p 1 2 出一己i p 。1 2 出) + ( o + b o - ) 兰。l l v p ”u 2 嘻阻”) 卜i i1 1 2 + i 2 巾”| 1 2 + | 渺) 卜) 2 ， 由离散g r o n w a l l 引理得 i l e 1 1 2m 砌- 1 ) 蜘n = l ”陋( 吲盼) 卜砉n m ) 2 到萨0 2 u ( r ”) j 1 2 ) ( 2 3 8 ) 由( 2 1 2 0 ) 及( 2 3 8 ) 式，我们可以得到如下的估计： u n - - v 水( m 口一1 ) 驴n ( n 训1 2 m 弦拙) ( 2 3 9 ) 这样我们得到了原未知量的最优阶误差估计通过比较( 2 3 1 ) 和( 2 3 9 ) ， 我们可以看到，分裂型e u l e r 格式i i 虽然比e u l e r 型格式i 低一阶，但是在求解过 程中极大的降低了原问题的求解难度和规模因此，分裂型刚e r 格式i i 在实际中 有更广泛的应用 1 4 青岛科技大学研究生学位论文 3b u r g e r s 方程的分裂型最小二乘混合有限元方法 3 1 b u r g e r s 方程的分裂型最d , - - 乘格式 考虑如f 方程 心+ “心- 研k ， ，f ) q ( 0 ，) u ( x ，f ) ；0 ，似t ) e 三o qx ( o , t t ) ( 3 1 1 ) 卜似o ) 。( 破 z q 其中qcr 2 为一多边形区域，触为它的l i p s c h i t z 连续边界，杪( 力为已知函 数， 0 现定义如下两个h i l b e r t 空间 y = 叫( q ) ，形= f ( r ( q ) ) 2 ：d i r tr ( q ) ( 3 1 2 ) 令缸为时间剖分步长，为整数，& = t n ，记t ”- 疗a t ，n = 0 ，1 ，2 ，n 在( 3 1 1 ) 第一式中取t 。t “。用一阶向后e u l e r 差分对其关于时间离散得 u n - - u n - 1 + “一一1 v 跖n 。也一+ r 一 ( 3 1 3 ) a t 其中r ”= u n 矿_ _ u n - 1 一( ”可知尺“为d ( 址) 项，可以省略引入未知量 盯4 一v m “贝0 ( 3 i 3 ) 式变为： p 以- 、缸胁“叫“ ( 3 1 4 ) p + v u 4 _ 0 用( a t e ) 坭去乘( 3 1 4 ) 中的第二式，得 p 一m 柚矿+ a t g v c r “卅一_ o ( 3 1 5 ) 【( f 2 ( 矿+ v u ”) - o 在求第玎层时，我们用a 来表示万一1 层_ k u 的值，可知a 是与时间层有关的常 数，不妨记为口( f ) ，_ r j f f a 口( f ) 口至此，我们定义如下最小二乘泛函： 对于( y ，r ) e v w ，有 ，( ，f ) = 0 u n _ 砒川矿+ a t g v c r n - - u n - i l l 2 + | i ( f s ) 舱( 矿+ v 圳2 ( 3 1 6 1 ) 从而相应的( 3 1 5 ) 的最小二乘问题为：求( 甜”，矿) ( y ，形) ，满足 ，【甜”，矿) 2 眦i n ，f 押，( y ，f ) ( 3 1 7 ) 根据最小二乘泛函j ( v ，f ) ，定义如下双线性泛函： 彳( t no ”；y ，_ f ) = ( 甜”一t a ( t ) c r ”+ a w v 盯一，1 ，一a t a ( t ) f + a t 占v f l + ( ( f s ) ( 仃一+ v “一) ，r + v y ) 。 3 1 8 求解( 3 1 7 ) 就等价于求解 彳( “”，仃”；y ，f ) = ( 口o ) ，1 ，一a t a ( t ) f + a t 6 v f ) ( 3 1 9 ) 设，气是区域q 上两有限元网格剖分族，吃，吃分别为网格步长参数，相应 的有限元空间为c w ，kc v ，可以知道有限元空间有如下逼近性质p 4 】：对任 意的y v f l h 肿1 ( q ) ，f w n ( z “1 ( q ) ) 2 ，有 擞渺一屹i | + h 1 l v ( y 一) 肛聊i ii i + 。 ( 3 1 1 0 ) i 。n f i f 一i l 蟛+ 1i i r k( 3 1 1 1 ) 鹱脚( f 一) 忙聊恍 ( 3 1 1 2 ) 对于“磁( q ) ，定义椭圆投影砌k ，满足 ( v ( e u 一“) ，v v h ) = o ，v v h k ( 3 1 1 3 ) 由【3 4 】知下面估计式成立 f i l u ( ，) 一r 甜( 界聊+ 1 - - ) b , , n 、w i 帆，) 一地( 小埘+ 1 ( ) h q ) 也( 佻一 3 工1 4 假设初始近似满足 1 6 青岛科技大学研究生学位论文 f i l u o - 甜o l l + h l l v t u o - 引l j 埘“州h q ， 咿一删删+ 1m o - o 曰( 蛐) ( 3 1 1 5 ) 则问题( 3 1 1 ) 的e u l e r 型最小二乘混合元格式( e u l e r 型格式i ) 为：已知 比p ，一，求“j ：k ，使 彳( “：，n ，v ，靠) = ( 口( f ) ，h a t a ( t ) r h + a t 6 v r h ) ，v ( 屹，靠) ， ( 3 1 1 6 ) e u l e r 型格式i 是传统意义上的最小二乘混合元格式，我们在本文中主要研 究分裂型e u l e r 最小二乘混合元格式( 称e u l e r 型格式i i ) ，在定义之前，我们先 看一个引理 引理3 1 1 对任意的“，l ，v ，仃，f w ，有 彳( 妒；啪) 2 ，) + ? ，锄( ) f ) + ( m 叩) 一( a t a ( ) 掣) ( 3 1 1 7 ) + “a f s ) 。v c ，_ ，vf ) + ( a f 舌v “，v v ) 其中mt ( a 细( f ) ) 2 + a t e 证明由( 3 1 8 ) 可得 a ( u ，仃；l ，r ) = ( u - a t a ( t ) c r + a t 6 v c r ，v - a t a ( t ) r + a t e 再 r ) + ( ( a w ) ( a + v u ) ，r + v v ) - ( u ，v ) - ( a t a c t ) a ，) + ( 缸刃盯，v ) - ( u ，a t a ( t ) r ) + ( a t a ( t ) c r ，a t a ( t ) r ) - ( a t e v c r ，a t a ( t ) r ) + ( u ，a t e vr ) - ( a t a (