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碳纳米管屈曲与振动的若干特性研究 摘要 碳纳米管因独特的分子结构和优异的物理、化学、力学性质而具 有重大的应用价值。连续介质力学是研究碳纳米管力学性能的一个有 效而经济的重要方法。本文基于连续介质力学理论，分别采用了三维 实体模型、梁模型和壳模型研究了与碳纳米管的屈曲及振动问题相关 的力学特性。本文的研究工作分为四部分。 第一部分用有限元实体单元模拟了多壁碳纳米管( m w n t s ) 大 角度弯曲时的局部屈曲现象及弯曲刚度的降低，得到了多壁碳纳米管 的弯曲本构关系，并用梁单元进行了交变电场中碳纳米管的振动分 析，从理论上解释了共振法测得多壁碳纳米管的杨氏模量随直径增大 而减小的现象，并为实验测量碳纳米管进入非线性弯曲变形的临界应 变及波纹模式弯曲刚度提供了理论依据。 第二部分介绍了多层弹性壳体模型，考虑了m w n t s 两相邻管间 的范德华作用，分别研究了单个m w n t s 的扭转屈曲和埋入弹性基体 m w n t s 的偏心压缩屈曲问题。针对单个m w n t s 在两种不同载荷条 件下的扭转屈曲特性的研究，给出了临界扭转载荷的显式表达式。结 果表明，扭矩只作用在最外层管的m w n t s 的临界扭转载荷值比同样 条件下扭矩按剪切薄膜力与半径成比例分布在各层上的情况的值要 上海交通大学博士学位论文 碳纳米管屈曲与振动的若干特性研究 高。该结论对于应用纳米管设计微驱动机电装置、扭转震荡器等纳米 结构装置具有理论参考价值。 本文第三部分基于l e n n a r d j o n e s 模型，利用多壁碳纳米管任意 两层间严格范德华作用的公式，分析了埋入弹性基体m w n t s 的径向 呼吸振动和热环境下m w n t s 的轴向屈曲问题。结果表明，基于严格 范德华作用模型的m w n t s 的力学特性与简单范德华作用模型所得 的值有一定差异。严格范德华作用依赖于层间距离的变化和各管半 径，其m w n t s 的最高径向呼吸振动频率比仅考虑两相邻管间范德华 作用的频率要高；其m w n t s 的轴向临界应力要比仅考虑两相邻管间 范德华作用的临界应力大。 第四部分以非局部连续介质力学理论为基础，利用流体多层梁 模型求解受轴向载荷，埋入基体中充液碳纳米管的耦合振动问题，考 虑了碳纳米管的小尺度效应。通过具体算例与经典局部理论解的比较 分别考察了各种参数条件下小尺度效应对碳纳米管振动频率的影响， 指出了经典连续介质力学的适用范围。通过与无充液碳纳米管解的比 较分别考察了几何形状、流体密度、基体温克勒常数、轴向载荷、层 数、模态阶数等各种参数条件下流体耦合效应对充液碳纳米管动态特 性的影响。 本文得到的一些有意义结果揭示了碳纳米管屈曲和振动方面的 新特性，有助于以碳纳米管为元件的纳米结构和装置的设计与应用。 关键词：碳纳米管，连续介质力学，屈曲，振动，严格范德华作用， 小尺度效应 上海交通大学博士学位论文 碳纳米管屈曲与振动的若干特性研究 a ni n v e s t i g a t i o no nt h e c h a r a c t e i u s t i c so fb u c k l i n ga n d v i b r a t i o no fc a r b o nn a n o t u b e s a b s t r a c t c a r b o nn a n o t u b e s ( c n t s ) h o l dn u m e r o u sv a l u a b l ea p p l i c a t i o n sd u e t ot h e i rd i s t i n c t i v em o l e c u l a rs t r u c t u r ea n ds u p e r i o rp h y s i c a l ，c h e m i s t i c a l a n dm e c h a n i c a l p r o p e r t i e s c o n t i n u u m m e c h a n i c sm o d e lc a nb e e f f e c t i v e l yu s e dt oi n v e s t i g a t et h em e c h a n i c a lb e h a v i o ro fc n t s b a s e d o nt h ec o n t i n u u mm e c h a n i c s m o d e l ，t h i sp a p e r e x a m i n e ss o m e c h a r a c t e r i s t i c so fc n t sr e l a t e dt o b u c k l i n g a n dv i b r a t i o n p r o b l e m s u t i l i z t i n g 3 - d i m e n t i o n a ls o l i dm o d e l ，b e a mm o d e la n ds h e l lm o d e l ， r e s p e c t i v e l y t h ew o r k o ft h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rp a r t sa sf o l l o w s i nt h ef i r s tp a r t ，t h el o c a lb u c k l i n ga n dt h er e d u c t i o no fb e n d i n g s t i f f n e s sd u r i n gl a r g ea n g l eb e n d i n go fm u l t i w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s ( m w n t s ) a r es i m u l a t e du s i n gs o l i de l e m e n t so ff e m ( f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ) ，a n dt h en o n l i n e a rb e n d i n gc o n s t i t u t i o no fm w n t si so b t a i n e d n e x t ，av i b r a t i n ga n a l y s i so fc n t su n d e ra na l t e r n a t i n ge l e c t r i c a lf i e l d u s i n gt h eb e a mm o d e lo ff e mi sc a r r i e do u t t h er e s u l t sc a nb eu s e dt o 上海交通大学博士学位论文i 碳纳米管屈曲与振动的若干特性研究 e x p l a i nt h ep h e n o m e n o no fad e c r e a s eo fy o u n g sm o d u l u so fm w n t s w i t ht h ei n c r e a s eo fd i a m e t e ri nt h er e s o n a n c ee x p e r i m e n tm e a s u r i n g y o u n g sm o d u l u so fm w n t s ，a n dc a np r o v i d ear e f e r e n c ef o rf u r t h e r e x p e r i m e n t sp r o b i n gt h eb e n d i n g b e h a v i o ro fm w n t s i nt h es e c o n dp a r t ，a ne l a s t i cm u l t i s h e l lm o d e li sp r e s e n t e d ，w h i c h c o n s i d e r st h ev a nd e rw a a l s ( v d w ) i n t e r a c t i o nb e t w e e nt w oa d ja c e n t t u b e so fm w n t s b a s e do nt h i s m o d e l ，t h et o r s i o n a lb u c k l i n go f i n d i v i d u a lm w n t sa n dt h ee c c e n t r i cc o m p r e s s e db u c k l i n go fm w n t s e m b e d d e di na ne l a s t i cm a t r i xa r ei n v e s t i g a t e d t h et o r s i o n a lb u c k l i n g c h a r a c t e r i s t i c so fi n d i v i d u a lm 帆u n d e rt w od i f f e r e n tf o r m so f l o a d i n ga r ee x a m i n e d ，a n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n so fc r i t i c a lt o r s i o n a l l o a da r eg i v e n t h er e s u l ts h o w st h a tt h ec r i t i c a lt o r q u eo fm w n t su n d e r t o r s i o n a ll o a da p p l i e do nt h eo u t e r m o s tt u b ei sh i g h e rt h a nt h a to ft h e s a m em w n t st w i s t e dw i t ht h es h e a rf o r c e sp r o p o r t i o n a lt ot h er a d i u so f e a c hl a y e r t h i sc o n c l u s i o ni s t h e o r e t i c a l l yv a l u a b l ef o rt h ed e s i g no f n a n o - d e v i c e sb a s e do nc n t s ，s u c ha sn a n o a c t u a t o r sa n dt o r s i o n a l o s c i l l a t o r s 。 i nt h et h i r dp a r to ft h i sp a p e r , b a s e do nt h er i g o r o u sv d wi n t e r a c t i o n b e t w e e na n yt w ol a y e r so fm w n t s ，t h er a d i a lb r e a t h i n gv i b r a t i o no f m w n t se m b e d d e di na ne l a s t i cm a t r i xa n dt h ea x i a lb u c k l i n go f m w n t su n d e rt h e r m a le n v i r o n m e n t sa r ei n v e s t i g a t e d t h er e s u l t ss h o w t h a tt h em e c h a n i c a lc h a r a c t e r i s t i co fm w n t sb a s e do nt h er i g o r o u sv d w 上海交通大学博士学位论文 i v 碳纳米管屈曲与振动的若干特性研究 m o d e li sd i f f e r e n tf r o mt h a tb a s e do nt h es i m p l ev d wi n t e r a c t i o nb e t w e e n t w oa d j a c e n tt u b e s t h er i g o r o u sv d wi n t e r a c t i o ni sd e p e n d e n to nt h e c h a n g eo fi n t e r l a y e rs p a c i n ga n dt h er a d i io fe a c hl a y e r t h eh i g h e s t r a d i a lb r e a t h i n gf r e q u e n c yc o n s i d e r i n gt h er i g o r o u sv d wi n t e r a c t i o ni s h i g h e rt h a nt h a tc o n s i d e r i n gt h es i m p l ev d wi n t e r a c t i o n ，a n dt h ec r i t i c a l a x i a ls t r e s sc o n s i d e r i n gt h er i g o r o u sv d wi n t e r a c t i o ni sh i g h e rt h a nt h a t c o n s i d e r i n gt h es i m p l ev d w i n t e r a c t i o n i nt h ef o u r t h p a r t ，t h ec o u p l i n gv i b r a t i o no ff l u i d - f i l l e dc n t s e m b e d d e di nam a t r i xs u b j e c tt oa x i a ll o a di se x a m i n e du s i n gm u l t i b e a m m o d e lb a s e do nn o n l o c a lc o n t i n u u mm e c h a n i c s ，w h e r et h es m a l ls c a l e e f f e c to fc n t si s c o n s i d e r e d t h r o u g hs o m ec o m p a r i s o n sw i t ht h e s o l u t i o n sb a s e do nt h ec la s s i c a lc o n t i n u u m m e c h a n i c sm o d e l ，t h e i n f l u e n c e so fs m a l ls c a l ee f f e c to nt h ev i b r a t i n gf r e q u e n c i e so fc n t s u n d e rd i f f e r e n tp a r a m e t e r sa r eo b t a i n e d ，a n dt h ea p p l i c a b l e r a n g eo f c l a s s i c a lc o n t i n u u mm e c h a n i c si sp o i n t e do u t f r o ms o m ec o m p a r i s o n s w i t ht h er e s u l t sf o rc n t sw i t h o u tf l u i d ，t h ee f f e c to ft h ec o u p l i n g b e t w e e nt h e f i l l i n gf l u i da n dc n t so nt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so f f l u i d f i l l e dc n t sa r es t u d i e df o rv a r i o u sp a r a m e t e r si n c l u d i n ga s p e c t r a t i o ，d e n s i t yo ft h ef l u i d ，w i n k l e rc o n s t a n to ft h em a t r i x ，a x i a ll o a d ，l a y e r n u m b e r ，m o d en u m b e r ，e t c t h em e a n i n g f u lr e s u l t sd e r i v e di nt h i sp a p e rr e v e a lt h en e wf e a t u r e s r e l a t e dt ot h eb u c k l i n ga n dv i b r a t i o no fc n t s ，a n da r eh e l p f u lf o rt h e 上海交通大学博士学位论文 v 碳纳米管屈曲与振动的若干特性研究 d e s i g na n da p p l i c a t i o no fv a r i o u s n a n o s t r u c t u r e sa n dn a n o d e v i c e si n w h i c hc n t sa c ta sb a s i ce l e m e n t s k e yw o r d s ：c a r b o nn a n o t u b e s ( c n t s ) ，c o n t i n u u mm e c h a n i c s ， b u c k l i n g ，v i b r a t i o n ，r i g o r o u sv a nd e rw a a l s ( v d w ) i n t e r a c t i o n ，s m a l ls c a l ee f f e c t 上海交通大学博士学位论文 v l 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：王；薪字 日期：9 罗年多月z ，日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密匹 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：王器字 日期：z 0 0 8 年6 月f 2 日 指导教师签名：一 日期：眇罗年易月纱日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 碳纳米管基本特征概述 碳纳米管( c n t s ) 可看成是由一层或多层类似石墨晶体结构的六边形碳原子 网格卷曲、粘合而构成的、同轴中空的微小管状体，两端由五边形或七边形碳原 子网格“碳帽”参与封闭。根据石墨片层数的不同，碳纳米管可分为单壁管( s w n t s ) 和多壁管( m w n t s ) ，如图1 1 ( d ) 和( e ) 所示。由于碳纳米管的径向尺寸很小，管 的直径一般在几纳米到几十纳米，管长一般为几微米到几毫米，因此碳纳米管被 认为是一种典型的一维纳米材料【1 1 。碳纳米管可能存在三种类型的结构，分别为 扶手椅型( a r m c h a i r ) 碳纳米管、锯齿型( z i g z a g ) 碳纳米管和手性( c h i r a l ) 碳纳米管， 如图1 1 ( a c ) 所示。碳纳米管的类型可以根据一个碳纳米管的单胞进行解释。在 石墨平面上，如图1 2 所示，手性矢量c 。可以表示为六边形单胞基矢量a ，和a ：的 线性组合，c 。= n a l + m a 2 ，其中m ，, 为整数，手性角口为手性矢量c 。与a i 之 间的夹角。将石墨平面卷曲成一个圆柱，在卷曲过程中使手性矢量始、末端的碳 原子重合，然后在石墨圆柱的两端罩上碳原子半球面，这样形成一个封闭的碳纳 米管。这样形成的碳纳米管可用o ，m ) 这对整数来描写。这对整数一经确定，碳 纳米管的结构就完全确定。所以这对整数称为碳纳米管的指数。当m ；疗，即手性 角0t3 0 0 时，形成扶手椅型碳纳米管( a r m c h a i r ) ；当_ r l 或m 为o ，即0 = 0 0 时，形 成锯齿型碳纳米管( z i g z a g ) ；当0 0 p i ( f ) 。 在凡作用下悬臂梁产生静态弯曲变形，会有部分段进入波纹模式。p 10 ) 引 起梁的振动。设1 7 = 三1 处为梁以波纹模式和以线性模式变形的分界面，三1 由下式 确定： 上海交通大学博士学位论文2 2 第二章碳纳米管的弯曲力学性能数值模拟及其对弹性模量共振法测量结果的解释 由上式解得： 2 詈掣咆一o 哪 坪删 。= 一瓦2 e , ，e i ( 2 5 b ) 在0 z l 1 范围为梁己起波纹的部分：l 1 工l 范围为梁未起波 纹部分。这两部分分别遵循线性关系 _ d m 。a e i 和_ d m ；e 。由于p 1 ( f ) 引 d ka ( 起全梁的振动，两部分分界截面在石= l 1 附近振荡，即两部分长度不断波动。但 由于动态变形比静态变形小得多，并且由于一个周期内正负波动对振动频率的影 响可以抵消掉一部分，所以可以按长度一定的两段弯曲刚度不同的梁进行振动分 析。 根据实验【4 1 ，假定尸0 引起的梁自由端的挠度w m 缸与梁长l 的比值为常数： 争；c ， 取常数c f - - 3 0 【4 j 【7 1 。由材料力学理论得到分段梁自由端的挠度w 。眦为： w 一鲁【去( 等+ 三：l 2 + l 1 l 2 z ) + 等】 c 2 q 其中l ：= l l 。将( 2 5 b ) 式代入( 2 6 ) 式，两边除以三，得 了w l , l l a xt 鲁甚隆耻 闱 = 彘陪眵嬲l l l ：) + 参】 仁7 ， = 彘陡( 志+ k2 + k ( 1 - k ) ) + 学 2 e 口k 3 - - 3 k 2 + 3 七+ a 1 ( 1 一庀) 3 2 = 一- _ - - - - - - 。- 。“- - 。一 d l 3 a l ( 1 一七) = c ， 上式表明，该模型中起波纹部分长度占全梁的比例k = l 1 l 仅由梁的几何形状参 数d l 确定。给定d 尼值，由上式可解出丘。 上海交通大学博士学位论文 第二章碳纳米管的弯曲力学性能数值模拟及其对弹性模量共振法测量结果的解释 采用有限元法分析梁的小振幅振动【l o 】。将静载荷p o 作用下的梁按已出现波 纹和未出现波纹区离散成两个梁单元如图2 4 。出现波纹的梁单元的m 秩系为： m - - - a t e l x + a 2 。应用叠加法，仅考虑受动载荷后载荷与变形的变化值，而忽略 静载荷及对应的静载变形，则该梁单元的弯矩曲率关系可写为m = 口1 日r 。为 了利用有限元梁单元分析，该式又可记为m 。e i x ，其中e 一口e 为等价杨氏 模量。a 1 0 0 1 2 上海交通大学博士学位论文 ( 2 2 5 ) 第二二章碳纳米管的弯曲力学性能数值模拟及其对弹性模量共振法测量结果的解释 其中 口1 - 0 1 8 8 ，口2 - - 0 8 6 1 0 9p a 。 数据点的比较见图2 - 6 。 由图2 - 6 可见，两结果数据点分布基本一致，但由于本文的模型成功地捕获 了碳纳米管较大曲率弯曲的m k 本构关系，对其进行双线性拟合的第二段直线 的斜率就小些，进入屈曲的临界点也不同。本文得到的临界应变比文献【7 】的大 一些，这说明二维石墨片层模型比三维卷曲模型更易于发生波纹状弯曲屈曲，这 是很容易理解的。 参考文献 【1 】t r e a c y , m m j ，e b b e s e n ，t w ，g i b s o n ，j m ，e x c e p t i o n a l l yh i g hy o u n g sm o d u l u s o b s e r v e df o ri n d i v i d u a lc a r b o nn a n o t u b e s n a t u r e ，1 9 9 6 ，3 8 1 ：6 7 8 - - 6 8 0 【2 】2k r i s h n a n ，a ，d u j a r d i n ，e ，e b b e s e n ，tw ，c ta 1 ，y o u n g 。sm o d u l u so fs i n g l e - w a l l e d n a n o t u b e s p h y s i c sr e v i e wb ，1 9 9 8 ，5 8 ：1 4 0 1 3 - 1 4 0 1 9 【3 】3w o n g ，e w ，s h e e h a n ，ee ，l i e b e r t ，c m ，n a n o b e a mm e c h a n i c s ：e l a s t i c i t y , s t r e n g t h ，a n d t o u g h n e s so fn a n o r o d sa n dn a n o t u b e s s c i e n c e ，1 9 9 7 ，2 7 7 ：1 9 7 1 - 1 9 7 3 【4 】p o n c h a r f l ，p ，w a n g ，z l ，u g a r t e ，d ，e ta l ，e l e c t r o s t a t i cd e f l e c t i o n sa n de l e c t r o m e c h a n i c a l r e s o n a n c e so f c a r b o nn a n o t u b e s s c i e n c e ，1 9 9 9 ，2 8 3 ：1 5 1 3 1 5 1 6 【5 】5 t u ，z c ，o u y a n g ，z c ，s i n g l e w a l l e da n dm u l t i w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e sv i e w e da se l a s t i c t u b e sw i t ht h ee f f e c t i v ey o u n g sm o d u l id e p e n d e n to nl a y e rn u m b e np h y s i c sr e v i e wb ，2 0 0 2 ， 6 5 ：2 3 3 4 0 7 1 4 【6 】6 l a u ，kt ，i n t e r r a c i a lb o n d i n gc h a r a c t e r i s t i c so fn a n o t u b e p o l y m e rc o m p o s i t e s c h e m i c a l p h y s i c sl e t t e r s ，2 0 0 3 ，3 7 0 ：3 9 9 - 4 0 5 【7 】【，i u ，j z ，z h e n g ，0 s ，j i a n g ，0 ，e f f e c to far i p p l i n gm o d eo nr e s o n a n c e so fc a r b o n n a n o t u b e s p h y s i c a lr e v i e wl e t t e r s ，2 0 0 1 ，8 6 ：4 8 4 3 - 4 8 4 6 【8 】8 l i u ，j z ，z h e n g ，0 s ，j i a n g ，o ，e f f e c to fb e n d i n gi n s t a b i l i t i e s o nt h em e a s u r e m e n t so f m e c h a n i c a lp r o p e r t i e so fm u l t i w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s p h y s i c a lr e v i e wb ，2 0 0 3 ，6 7 ： 上海交通大学博士学位论文 第二章碳纳米管的弯曲力学性能数值模拟及其对弹性模量共振法测量结果的解释 0 7 5 4 1 4 1 - 8 【9 】9k e l l y , b t ，p h y s i c so fg r a p h i t e ，l o n d o n ，a p p l i e ds c i e n c e ，1 9 8 1 【1 0 】刘正兴，孙雁，王国庆，计算固体力学，上海：上海交通大学出版社，2 0 0 0 【1 1 】刘延柱，陈文良，陈立群，振动力学，北京：高等教育出版社。1 9 9 8 上海交通大学博士学位论文 第三章多壁碳纳米管的扭转和偏心压缩届曲 第三章多壁碳纳米管的扭转和偏心压缩屈曲 3 1 引言 当m w n t s 发生大应变变形，它们能够大角度弯曲或出现弹性波纹、弹性屈 曲，形成纽结。由于碳纳米管的电子和输运性质可能对它们完美的圆柱体几何形 状即使很小的畸变也非常敏感i i l l 2 1 ，最近相当多的注意力转到了单壁或多壁碳纳 米管的屈曲行为上来l 。r u t 9 】提出了一个弹性双壳模型求解轴向压缩下埋入弹 性介质的双壁碳纳米管的无限小屈曲。r u l l o l 还研究了内外两管间的范德华作用 对双壁碳纳米管轴向屈曲的影响，并导出了计算轴向临界应变的简单公式。作者 王与杨【1 1 l 用连续介质力学模型计算了热环境对m w n t s 轴向临界载荷的影响。 大多数前人关于单壁或多壁碳纳米管的屈曲行为的研究主要集中在碳纳米 管的纯粹轴向压缩屈曲或纯弯曲屈曲行为。由文献 1 2 1 7 】，许多实验和m d 模拟 表明多壁碳纳米管可用作纳米机电系统的基本元件，如a f m ( 原子力显微镜) 的探针，c n t 纳米机械开关，纳米激励器，纳米震荡器，纳米输液管道，电学、 光学和力学纳米传感器，及生物、化学和物理研究中的纳米器件等，它们可能会 受到扭转或偏心压缩载荷作用。据笔者所知，多壁碳纳米管的扭转屈曲和埋入弹 性基体m w n t s 的偏心压缩屈曲仍是开放的课题。这显然是因为目前对埋入弹性 基体m w n t s 的屈曲的实验研究和分子动力学模拟仍然十分困难。 本章基于考虑两相邻纳米管层间范德华力的多层弹性壳模型，研究了 m w n t s 的扭转屈曲和埋入弹性基体m w n t s 的偏心压缩屈曲问题。3 2 节介 绍了多层弹性壳模型的基本公式，包括范德华作用和基体约束作用的处理方法。 3 3 节研究了单个m w n t s 在两种不同载荷条件下的扭转屈曲问题。得到了在 不同扭矩形式作用下m w n t s 的临界扭转屈曲载荷的显式表达式。从分析结果可 清楚地看到m w n t s 的临界扭转屈曲载荷依赖于不同的扭矩形式，这对其工程应 用有重要的参考价值。3 4 节计算了埋入弹性基体，具有各种不同半径厚度比 的m w n t s 的偏心压缩临界载荷和偏，t l , 压缩屈曲模态。得出的结果表明，埋入弹 上海交通大学博士学位论文3 1 第三章多壁碳纳米管的扭转和偏心压缩屈曲 性基体m w n t s 偏心压缩临界载荷对应的屈曲模态是唯一的，且不同于m w n t s 的轴向压缩屈曲特性【6 】。由算例可见偏心压缩载荷下m w n t s 各层管上的最大临 界弯曲应力依赖于偏心压缩载荷比。对于不同类的m w n t s ，基体刚度对偏心压 缩载荷下m w n t s 的临界弯矩的影响不同，且依赖于m w n t s 的最内层半径和层 数。 与已有研究相比，本章分析的新特点和一些有意义的数值结果会激发研究者 对该领域的进一步关注，并可用作以m w n t s 担当基本部件的各种纳米结构的应 用和设计的重要理论参考依据。 3 2 多壁碳纳米管的屈曲模型 3 2 1 单层碳纳米管屈曲基本方程 本章将单层碳纳米管抽象成一中面半径为r ，等效厚度为h 的弹性圆柱壳模 型，其杨氏模量为e ，泊松比为1 1 8 。唐奈尔圆柱壳平衡方程为1 1 9 】 。v ：一p o ，口) + 虬害+ 2 以。去磊0 2 而w + 。萨1 百0 2 矿w + 去口 ( 3 1 ) 式蝇4 叫2 v r 2 州一( 吾+ 专著卜为壳体的等效弯删度，它是反映 碳纳米管材料性质的一个独立参数f 2 0 】；工，汐分别为轴向坐标和周向坐标；w ( x ，口) 为壳体中面的向内径向位移；尸o ，口) 为壳体所受向内法向压力；( m ，n 。，虬口) 表示薄膜力。 屈曲后有 n ，一? + ，l ( 3 2 a ) n 口= ；+ 口l( 3 2 b ) n 1 8 | n ：e + n m ，y ) ，w 0 0 ，y ) + o ，y ) e ( x ，y ) = e 0 0 ，) ，) + 丘( i ，y ) 上海交通大学博士学位论文 ( 3 2 c