（地球探测与信息技术专业论文）vti介质中弹性波的正反演问题初探.pdf

摘要 在常规地震勘探中，地球物理工作者对地下介质傲了许多假设。其中一个假 设就是地下介质完全是各向同性的，但事实上它们基本上都是各向异性的。这样 的假设会导致数据处理过程中对地下介质的错误的成像，从而造成最终解释的错 误。为了使各种地震数据处理技术适用于各向异性介质中，我们必须对地壳各向 异性进行研究，对其参数进行测量。 本文首先回顾和总结了各向异性弹性波及其正反演问题的历史和研究现状， 从本构方程、运动微分方程、几何方程这三个基本方程出发导出了一般各向异性 介质的波动方程，依据弹性系数矩阵对地下介质广泛存在的各向异性进行分类。 接着在各向异性弹性波动方程正演方法上，全面深入地研究了具有垂直对称轴的 横向各向同性介质t d 介质中的波动方程差分法及其稳定性。这些方法为波场 正演模拟、研究横波分裂和各向异性参数反演奠定了坚实的基础。接着从基尔霍 夫方程出发，着重研究了自然界常见的v n 介质中各向异性参数对相慢度、相 速度及a v o 的影响。之后本文研究了各向异性参数反演的两种方法一时移参数 法及遗传算法，论述了时移动校正( s n m o ) 与共散射点( c s p ) 抽道集相对于常 规动校正( n m o ) 和共中心点( c m p ) 的在各向异性反演中的优势，着重研究了遗 传算法及其应用。 关键词：各向异性，v t i ，时移动校正( s n m 0 ) ，遗传算法 a b s t r a c t i nc o n v e n t i o n a ls e i s m i ce x p l o r a t i o n , g e o p h y s i c i s t sm a k em a n ya s s u m p t i o n s o n e o ft h e mi st h a tt h ee a r t hi sp e r f e c t l yi s o t r o p i cw h i l ei nf a c ti ti sf u n d a m e n t a l l y a r d s o t r o p i c 1 1 l i sf a u l t ya s s u m p t i o nr e s u l t si ne r r o n e o u si m a 西n 窑o fs u b s u r f a c es t r a t a a n dt h u sf a u l t yi n t e r p r e t a t i o n s t oe x t e n dt h es e i s m i cp r o c e s s i n g t e c h n i q u e st o a n i s o t r o p i cm e d i a , i ti sr e q u i r e dt h a tw eh a v ea m e a s l l r eo ft h ed i f f e r e n ta n i s o t r o p y p a r a m e t e r s i nt h i st h e s i sa r s t l yir e c a l la n ds u m m a l - i z et h eh i s t o r ya n ds t u d ys t a t eo ft h e f o r w a r da n di n v e r s i o np r o b l e m d e r i v a t i n gf r o mt h et h r e ee q u a t i o n o i o o k ee q u a t i o n 、 n a v l e re q u a t i o nc a u c h ye q u a t i o n ) ，ig e tt h ec o m m o nw a v ee q u a t i o ni na n i s o t r o p i c m e d i aa n dc l a s s i f yt h ea n i s o u o p i cm e d i aa c c o r d i n gt ot h ee l a s t i ct e n s o r 。 i nt h en e x t , b a s e do nt h ew a v ee q u a t i o nm e t h o dis t u d yt h ef i n i t ed i f f b r e n c e s c h e m eo ft h ew a v ee q u a t i o na n di t ss t a b i l i t yi nt h ev t im e d i u mf u l i ya n dd e e p l y r n l e s em e t h o d sp r o v i d eas o l i db a s ef o rt h es i m u l a t i o no f w a v e f i e l d 、t h es t u d yo f s w a v es p l i t t i n ga n d l o m s e n sp a r a m e t e r si n v e r s i o n b a s e d0 1 1t h ec h r i s t o f f e le q u a t i o n , is t u d yt h ei n f l u e n c eo f n l o m s e n sp a r a m e t e r s0 np h a s es l o w n e s s 、p h a s ev e l o c i t ya n d 斟q i nt h ef o l l o w i n g , is t u d yt w ok i n d so fi n v e r t i n gm e t h o d s - - s h i f tp a r a m e t e ra n d g e n e t i ca l g o r i t h ma n ds t u d yt h ea d v a n t a g e so fs h i f t e dh y p e r b o l an m o ( s n m o ) a n d c o m m o ns c a r e r p o i n tg a t h e r ( c s p ) o v e rt h ec o n v e n t i o n a ln m 0a n dc o m m o n m i d p o i n tg a t h e r ( c m p ) a n dp u tm u c hi m p o r t a n to nt h es t u d yo ft h eg e n e t i c a l g o r i t h ma n di t sa p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：a n i s o t r o p y , v t i ，s n m o ，g e n e t i ca l g o r i t h m n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名： 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 日期：丝年上月近日 中南大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 各向异性的定义、研究方法及意义 在过去的三十多年的天然地震与石油地震资料观测分析中，有大量关于地 幔、地壳、沉积盆地及地表岩石中存在着各向异性的报导( h e s s ，1 9 5 6 ： d a h l e n ，1 9 7 2 ；f o r s y t h ，1 9 7 5 ：h e b i g ，1 9 5 6 ) 。地下岩石的各向异性主要表现在： 介质均匀前提下，地震波速随传播方向发生变化；不同类型的体波之间产生耦合； 横发生分裂；面波速度频散依赖于传播方向等“】。 各向异性介质的( 弹性) 物性由物性矩阵所刻画。2 1 。各向异性介质中弹性劲度 系数为四阶张量，在简化后，可用二阶张量形式表示( a u l d l 9 7 3 ) 。介质的各向 异性也可用各向异性百分比来表示( t h o m s e n ，1 9 8 6 ；b a n i k ，1 9 8 7 ) 。例如：研究 较多的横向各向同性介质弹性模量常数矩阵表示为： c = c l l c 1 2c 1 5 c 1 2c n c 1 3 c l ，c 1 3c 3 3 c “= ( q l c 1 2 ) 2 ( 1 1 ) 各向异性介质类型与晶体的种类相仿，即包括三斜晶系，单斜晶系，正交晶 系，四方晶系、三角晶系、六角晶系与立方晶系，共七种。没有任何对称轴的各 向异性是三斜晶系，它有2 1 个独立的弹性常数；最简单的是立方晶系，有3 个 独立弹性常数。 对于各向异性介质中地震波传播规律研究，目前主要有野外观测物理模拟及 数值模拟等方法。在物理模拟方面，急于具水平对称轴、垂向对称轴的横向各向 同性介质以及具有两个相互正交或斜交的正交各向异性介质的超声物理模拟实 验得到实施，对速度衰减( 或q 值) 、各向异性、a v o 以及a v a 等的规律性认识得 到加强在岩石各向异性的实验研究方面，主要是利用野外采集的岩样通过岩石 物性测试系统，来测定不同轴向的纵横波速度及其随温度的变化以及孔隙流体的 影响 3 1 。 在各向异性介质中地震波数值模拟方面，基于波动方程( 组) 的正演模拟方法 ( 高阶有限差分法、有限单元，边界元、伪谱法、近似解析法、反射率法、多项 式展开法) 与基于几何地震学观点的方法( 波前扩散、最短路径、程函方程求解 中南大学硕士学位论文第一章绪论 技术等) 均得到发展，为认识各向异性介质中地震体波与面波的传播规律、解释多 分量实际地震资料提供了有力的工具。本文主要采用数值模拟的方法。 开展各向异性研究的具有很重要的意义，具体如下： 首先，地震波速度各向异性的观测与岩石中裂隙的存在有关，这种观测可以 作为检测裂隙的方法加以有效的利用。煤田、油气田往往伴随着高温高压或者流 体流动对岩石的作用，从而形成各向异性效应，尤其是裂隙效应。通过对各向异 性的观测分析就可以判断裂隙带的位置、几何排列及密度，最终进行矿产预测、 储量估计1 4 1 。 其二，地应力的不均衡在岩石中能产生定向排列的张裂隙，这种裂隙在一定 范围内能形成张性扩容各向异性( e d a ) ，研究这种裂隙以了解地应力的变化对于 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 各向异性正反问题的历史及现状 从7 0 年代开始，地震各向异性引起了地震学家的极大的兴趣。特别是在 c r a m p i n 证实了裂隙诱导各向异性和横波分裂的存在，并提出了泛张各向异性模 型e x t e n s i v ed i l a t a n c ya n i s o t r o p y ，简称e d a ) 之后，地震各向异性的研究逐 渐成为地震学的前沿和热点，每年都有大量的研究论文发表，涉及到波动理论、 波场模拟、旅行时正反演、a v o 分析、横波分裂、速度分析、偏移、弹性参数反 演、以及利用天然地震资料进行上地慢和地壳的物性结构分析等诸多方面1 7 】。 1 2 1 各向异性波的正演 b y u n ( 1 9 8 4 ) ，t a n i m o t o ( 1 9 8 7 ) ，s h e a r e ，等( 1 9 8 9 ) ，c h a p m a n 等( 1 9 8 9 ) 研究了各向异性波的射线追踪技术；k o s l o f f ( 1 9 8 9 ) ，c a r c i o n e 等( 1 9 9 2 ) 研究 了伪谱法波场正演；m o r a ( 1 9 8 9 ) ，t s i n g a s 等( 1 9 9 0 ) ，i g e l 等( 1 9 9 5 ) ，d a l 等 ( 1 9 9 5 ) 、研究了波场的有限差分算法；f r y e r 等( 1 9 8 7 ) 研究了传播矩阵法波场 正演。 数值模拟是了解各向异性介质中地震波传播方式、反演介质参数的重要手 段。现在人们主要对各向异性介质中的几种特殊模型如横向各向同性( 尤其是层 状介质的横向各向同性模型) 、正交各向异性模型等地震波传播进行数值模拟。 所用数值方法常有如下五种：有限差分法、有限元法、伪谱法、射线级数解法、 传播矩阵解法，这些方法各有利弊。差分法属经典方法，但差分方程的近似性会 造成波场畸变，且需采用吸收边界条件。有限元法对求解区域要求不严但计算量 大。伪谱法的空间网格可以较大，计算精度高，人们常采用。至于各向异性介质 的动态射线追踪问题h a n y g a 嘲作了详细讨论。用传播矩阵法模拟地震记录，反射、 转换波不明显，结果过于简单。尽管如此，各向异性的正演模拟发展很迅速，取 得了令人可喜的成果。 l a u r e u c e 0 1 等人对t i m 介质中的横波进行了一维模拟。该模拟与水平层状介 质中垂直入射的平面横波的传播相对应，其中每层都呈现出方向各向异性。该一 维模拟产生的合成记录是进行一维横波分裂反演的前提，是很有意义的。s m k e l l y ，j d g a r m a n y 讨论了与深广有关的、均匀的、任意各向异性无损耗介质 内体波的正演，其中着重考虑了正交的和各向同性对称的两种模型。这种模型的 模拟也是重要的，因为它与地壳和地慢上部的结构关系最为密切。地下介质是非 完全弹性的，j o s el i c a r c i o n e 做了各向异性粘弹介质中的二维正演模拟，所 用耗散是普遍承认的标准线性固体，在各向异性的条件下向实际更进了一步。在 中南大学硕士学位论文第一章绪论 应用有限差分法上，p e t e rm o r a c 用差分法推导了任意非均匀介质中波动方程的 有限差分方程，进行了三维各向异性地震波的正演模拟。他用2 1 个弹性模量模 拟了各向异性地震波在均匀三维空间的传播。d a nk o s l o f f “”等人也进行了弹性 各向异性介质中三维波传播的模拟，不过模拟基于用快速展开法r e m 作为时间积 分算法，用傅晕叶虚谱法求空间导数。所建立的模型允许弹性系数和密度水平方 向和垂直方向上任意变化。在射线方法应用上，c h a p m a n “”认为在非均匀各向异 性介质中射线理论是不正确的，当波包含藕合时，弱各向异性介质中的结果类似 于各向同性中的相应量，若各向异性强则显示分裂。c e r v r e y “”指出，在非均匀 各向异性介质中，走时扰动既依赖于结构扰动又依赖于各向异性扰动，两者分开。 扰动方程对两个准s 波时间延迟是明显的，此即时间延迟的运动学解释。 m a r t y n o v “”提出了在三维各向异性介质中波传播的数值模拟方法，他把三维问题 分解为一组一维问题。这个一维问题用两个有限傅氏变换来完成，这个变换由沿 着水平坐标和对于每一个空间谐波量的一维问题组成，通过有限差分等方法计算 即可实现三维问题的数值模拟，可模拟在包含有大量裂隙存在的各向异性介质中 的瑞利波和体波。 在国内，正演模拟的研究工作也开展得较快。吉林大学王克协教授“”研究了 井中各向异性介质中的波场的解析解与数值解。中国科技大学徐果明教授“”研究 了横向各向同性介质中的传播矩阵及应用。长春地质学院何樵登教授及其研究生 也一直致力于这方面的开拓性研究，具体有：1 9 9 1 年张中杰“”就二维与三维横 向各向同性介质中地震波的传播规律进行了研究。研究包括了t i m 中的平面波、 各种面波及有关的正演模拟技术等等。1 9 9 2 年牛滨华“”系统地对裂隙各向异性 介质一维、二维、三维数值模拟和横波双折射特性进行了研究，并建立了裂隙各 向异性介质中一维双分量、三分量、二维和三维一、二、三分量有限元数值模拟 软件包系统，且该系统还可以方便地扩展到其它类型的各向异性介质。1 9 9 2 年， 阎贫“m 得到了横向各向同性粘弹介质中地震波的特性，他用传播矩阵法、格林函 数法和积分法模拟了各向异性介质中的合成记录。1 9 9 4 年侯安宁“”用傅里叶变 换研究了各向异性介质中的弹性波场，尤其是求得了三维e d a 介质的相速度和格 林函数解析解。1 9 9 5 年周辉洲用伪谱法和h a r t l y 变换法研究了三维非均匀t i m 中弹性波动方程的数值模拟。这些工作都有较大的影响，引起了国内外同行的重 视。 总之，可以看到各向异性介质地震波场的数值模拟进展是迅速的，已从二维 到三维，从弹性到粘弹性，从t i m 介质到e d a 介质直至有2 1 个弹性模量的各向 异性，方法上从低阶的有限差分法到可达任意阶的高阶交错网格法等等，现均已 比较成熟。今后，对于更复杂的情况如倾斜的节理、裂缝组合引起的各向异性及 4 中南，七学硕士学位论文第一章绪论 含流体的粘弹性各向异性的正演也将得到解决。 f 2 2 参数反演 c r a m p i n 等( 1 9 7 7 ) 改进了b a c k u s ( 1 9 6 5 ) 提出的弱各向异性介质中的折射波 速度公式，采用最小二乘反演求取了各向异性介质的结构及弹性参数；c r a m p i n 等( 1 9 8 0 ) 用p 波资料估算裂隙参数；w h i t e 等( 1 9 8 3 ) 利用地震波的相速度来估计 均匀层的五个弹性参数；l e a d o u s 等( 1 9 8 6 ) 用时间域的状态空间法反演了横向各 向同性层的厚度、密度以及五个弹性参数；e s m e r s o y ( 1 9 9 0 ) 等利用横波分裂现 象，推断裂隙方向和密度；b y u n 等( 1 9 9 0 ) 采用迭代最优化方法来反演层状横向 各向同性介质的全部弹性参数；c h a p m a n 等( 1 9 9 2 ) ，p r a t t 等( 1 9 9 2 ) ，m i c h e l e n a 等( 1 9 9 5 ) 、l e n s c h 等( 1 9 9 8 ) 、b o z k u r t 等( 1 9 9 9 ) 研究了各向异性波的并间走时 层析成像的理论和应用；w i h i a m s o n ( 1 9 9 8 ) 分析了井间走时层像解的分辨率和唯 一性问题。 在分析利用各向异性地震记录资料方面，最早使用的是折射波法分析不同的 地震波速度。1 9 7 7 年，c r a m p i n 对b a e k u s 1 提出的弱各向异性介质中的折射波 速度公式进行了简化，实现了最小二乘反演，求出了各向异性介质结构与弹性常 数。其基本原理沿用至今。当前，国外学者所进行的各向异性反演的情况大致如 下： c e n g i ze s m e v s o y 进行的横波反演是在有意义的深度上，先将若干相邻深度 水平上的三分量数据模拟为局部具有平面波的若干个波的叠加，然后用最小平方 法实现局部的波场反演。这种方法的不足之处是要假定介质在某深度间隔范围内 是局部均匀的。 c o l i nm c b e t h 用三分量非零井源距v s p 数据进行了各向异性的横波偏振反 演。反演能估计裂隙方向和储集层的特性如裂隙的纵横比、流体成分、裂隙和沉 积盆地中薄层所致的各向异性的相对大小。不过，当射线路径接近于垂直时，求 解裂隙纵横比和流体成分的能力会降低。 j a n u s zp e r o n 将二分量和四分量旋转由零井源距v s p 数据来估计断裂方向。 他们研究表明：四分量法优于二分量法，因为四分量有两个独立的可靠性高的特 性，而且在缺少各向异性轴与炮点和检波点的方向之间的对应角度的情况下也可 使用。 偏移也是一种反演，各向同性介质的偏移成像在国外已比较成熟。现国外己 将其应用于各向异性介质中。d a v i dw s e a t o n 和r o b e r tr s t e w a r t 进行了各 向异性b o r n 射线偏移和反演。当把b o r n 反演方法推广到横向各向同性介质时， 5 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 在模型空间中每个位置的参数数目从一个至三个增加到至少6 个。反问题仍作为 一个最小平方优化问题提出，用拟牛顿法求解。结果表明所提出的反演方法对于 背景各向异性的方向和幅度的变化比较敏感。 p h i l pw k i t c h e n s i d e 在横向各向同性介质情况下对叠前和叠后数据用相移 法进行了成像。p h a d k e 等则研究了横向各向同性介质中反射纵波的偏移。在国 内，滕吉文研究员等研究了各向异性介质中三分量弹性波场的叠前偏移。 跟国外相比，国内关于波动各向异性的研究起步较晚，直到二十世纪八十 年代后期才逐渐开展起来。然而，在短短的十多年里，已经涌现出了一大批有影 响的科研成果。长春地质学院的何樵登教授及其学生自1 9 8 5 年以来，采用有限 差分法、有限元法、伪谱法、传播矩阵法等数值算法对一维、二维、三维各向异 性波场的正问题进行了深入的研究，并在遗传算法反演、非线性解析法波动方程 反演等反演理论方面做了大量的工作何樵登等，1 9 9 6 ，1 9 9 8 ；张中杰，1 9 8 9 ；周 辉，1 9 9 5 ；张文生，1 9 9 7 ) 。中国科学院地质与地球物理研究所的滕吉文院士、 张中杰研究员等人在各向异性波动理论有限差分正演、偏移、以及各向异性与深 部构造作用等许多方面开展了全面的研究工作滕吉文等，1 9 9 4 ，1 9 9 5 ，1 9 9 8 ；张中 杰等，1 9 9 4 ，1 9 9 5 ，1 9 9 8 ，1 9 9 9 ：张秉铭，( 1 9 9 7 ) ，宋海斌副研究员( 1 9 9 7 ) 研究了层 状横向各向同性介质的参数反演问题，刘劲松博士后( 1 9 9 9 ) 研究了三维非均匀各 向异性介质中的纵波走时反演。石油大学的牟永光教授和董敏煌教授及他们领导 的科研组在各向异性波的入射规律、e d a 介质及双相各向异性介质中的波场正 演，a v o 分析、横波双折射、参数反演等方面做了大量重要的研究工作枉和杰等， 1 9 9 8 ；魏修成，1 9 9 5 ：张秉铭，1 9 9 9 ；刘洋，1 9 9 8 ) 。中国地质大学北京) 的牛滨 华教授4 9 9 4 ，1 9 9 5 ，1 9 9 8 ) 研究了e d a 介质中的有限元波场正演、横波分裂和p 波各向异性的提取方法。此外，姚陈等( 1 9 9 2 ) 利用天然地震资料研究了上地壳 的裂隙各向异性，徐果明等( 1 9 9 4 ) 研究了横向各向同性介质的传播矩阵及其应 用，阴可等( 1 9 9 8 ) 研究了各向异性介质中的a v o ，高原等( 1 9 9 9 ) 在实验室对大 理岩的剪切波分裂现象进行了观测研究。 近年来，一些新的反演方法也在各向异性反演中得到了应用，并取得了引人 注目的进展。如阎贫提出用广义波恩反演的分步反演t i m 参数主张，陶春辉硕士 用遗传算法研究了方位各向异性介质的参数反演，何樵登与侯安宁用遗传算法反 演了横向各向同性介质参数，并进一步将传统的最小二乘拟合法与遗传算法结合 起来反演，其工作的另一新颖之处是假设地震反射系数的分布见有分形规律，利 用零相位子波与分形反射系数的褶积来获取合成地震记录。周辉等则研究了弹性 各向异性介质参数的非线性解析法波动方程反演，他还将非线性解析反演和遗传 算法结合进行了波形反演，同时还将人工神经网络法应用于各向异性介质参数波 6 中南大学硕士学位论文第一章绪论 形反演。 i 3 本文的主要内容 随着对各向异性介质的成因、模型，波动在各向异性介质中传播理论和特征 以及各种检测、参数提取技术研究的不断深入和完善，各向异性已应用于很多方 面。 目前主要是横波分裂现象的应用。研究各向异性对称性可估计裂隙的定向分 布规律，对垂向平行裂隙，裂隙密度和裂隙走向由近垂直传播的横波获得；横波 分裂随深度而变化，可以指示地壳的不均一性；由于最小压应力通常在地表是垂 直的，在深处是水平的，所以，这种特征可以探测近似地表介质的特性。这不公 对工程、建筑，而且对反射横波勘探都是十分重要的。各向异性也可应用天油气 开采和其它工业生产中：分析v s p 和反射地震剖面上的横波分裂，推测地下裂隙 的方向或密度；估计水压裂裂缝的定向分布规律，有利于油气的开发。各向异性 还有一些潜在的应用：应用于油气开采过程中的监测( 如回采监测) ；识别圈闭 和异常压力区划；监测有害物质聚集；监测震前应力变化以预报地震灾害的发生； 监测坑道岩石破裂前应力变化，以防止岩石崩落等等。 上述各项应用的先决条件是首先从观测资料中提取介质特性参数和有用信 息。可见，研究作为一种参数提取方法的反演技术是很有意义的。 基于国内外各向异性介质中弹性波动理论和弹性波场正反演问题的研究现 状，本文在以下几方面作了重点研究： 1 各向异性弹性波基本理论； 2 v t i 弹性波动方程有差分正演数值模拟理论和方法的研究； 3 v t i 介质中弹性波波慢度面及各向异性参数与相速度的关系研究； 4 v t i 介质中的a v o 特性。 5 各向异性介质参数时移参数反演及遗传算法反演的研究； 7 中南大学硕士学位论文 第二章各向异性弹性波基本理论 第二章各向异性弹性波基本理论 地震波理论是一种博大精深的体系。地震波理论从地震波的物理过程考虑可 以分为：地震波的天然和人工激发、地震波的传播和接收纪录三部分具体的理论。 当然，站在其他角度对地震波理论分类，还可以得到多种不同形式的分类结果； 例如地震波传播的正演和反演理论等。不管采用何种分类方法，介质模型与地震 波传播则是地震波理论的核心内容之一。各向异性介质地震波传播的研究始终是 地震学理论与应用研究的前沿和热点，能够在理论和应用上研究的内容众多广泛 瞄l 。本章首先由虎克定律出发，导出一般各向异性弹性介质中的波动方程，然 后依据弹性系数矩阵对各向异性介质进行分类并探讨各向异性介质中弹性波的 波动特征。 2 1 各向异性弹性波的波动方程 2 1 1 均匀各向异性弹性介质中位移、应变、应力问的关系 不论何种介质模型，围绕位移变量波动方程的建立均涉及位移、应力和应变 三个物理量。位移与应变、位移与应力和应力与应变三个方程阐明了位移、应力 和应变三者之间的内在联系，这三个方程是建立波动方程的基础田1 。根据弹性 动力学原理( 程祖依，1 9 8 9 ) ，本构方程、运动微分方程、几何方程这三个基本 方程，它们控制了弹性介质内部位移、应变、应力之间相互联系的普遍规律。下 面通过这三个方程来推导一般各向异性介质中的波动方程。 1 广义虎克定律： 本构方程描述的是应力和应变的关系，它反映了介质所固有的物理特性。其 表达式为： 啪加砉窑= 喜喜警i - l ，- li ，lf - l i i ，j ，k ，i = 1 , 2 , 3 ( 2 1 ) 其中为应力，加t o x ，为应变。删称为弹性劲度常数，简称弹性系数 对于容易变形材料，其弹性系数值小，而刚性材料，则弹性系数值大。因为式( 2 1 ) 中包含九个方程( 相应于下标扩所有可能的组合) ，而每个组合又包含九个应变 变量，所以有8 1 个弹性系数但。脚这8 1 个弹性劲度系数不是完全独立的，当 应力满足对称条件( = 盯，) 时，可以加上条件 c 嘲2 c d d2 c 桃2 c j d k 8 中南大学硕士学位论文 第二章荐向异性弹性波基本理论 这样使8 1 个弹性劲度常数中的独立常数数目减少到3 6 个叫。 依据v o i g t 方法( t h o m s e n ，2 0 0 2 ) 可以把张量c 删用一个6 6 的矩阵乙代替， 将c 州的每一对下标索引都转为乙的单个下标索引具体如下： 驴= 1 l2 2 3 32 3 1 31 2 上j ，0工山山山 口123456 这样弹性张量就被转为一个等价的6 6 阶矩阵0 二。 因此广义虎克定律( 2 1 ) 可以展开，写成如下形式： ( 2 - 2 ) 弹性系数c 。，i ，j - 1 , 2 ，3 ，4 , 5 ，6 。由于弹性能量是应变的单值函数，所以 c q 2 c i t 这样，为完全描述一个复杂的弹性介质所需要的弹性系数总数减少至2 1 个。这 是极端各向异介质弹性矩阵所需的独立常数个数。当介质的对称性增强时，描述 弹性性质所需的独立常数的个数还会减少。 在地球物理勘探过程中我们不可能测出所有的弹性系数，但是在各向异性研 究过程中我们不需要去测量所有的值，而只是测量一些独立弹性系数再通过它们 与其它非独立常数的关系就可以求出所有的弹性系数。 由于应力、应变弹性系数均具有对称性，( 2 2 ) 式可简化为： 仃= c 占 ( 2 3 ) 2 牛顿第二定律( 运动微分方程) ( 1 ) 在无体力源的情况下： p 争= 喜鲁 泸- ( 2 ) 有体力源的情况下： 运动微分方程描述的是位移、应力和体力之间的关系f 2 5 l ： 9 i , j = l ，2 ，3( 2 - 5 ) 肛 一 t l 声 4 咿 占 占 s s f 占 uunh 埔 m 拍 辐 鲐 韩 c c f c c c 印彩彩跏彩阳印阿印“甜甜印彩印阳印阳印彩印却印却印印伽和印即咖却以咖以和 中甫大学硕士学位论文 第二章筹向异性弹性波苹本理论 p - - t u - - l ( r + ( 2 6 ) 式中，p 为介质密度；f 为时间变量；u = ( ，“：) 7 ，为位移向量，甜：， 鸭分别对应x ，：三个方向的位移分量；f - - - ( 疋，工，以) 7 ，为介质单位质量元素 上的体力向量；盯为应力向量；上为3 6 的偏导数算子矩阵，它有如下形式： l = 3 几何方程( 又称柯西( c a u e h y ) 方程) 几何方程描述的是位移与应变之间的关系，其表达式为： 占= r u ( 2 - 7 ) 式中占为应变向量，u 为位移向量，f 为偏微分导数算子矩阵的转置。 2 1 2 一般各向异性弹性介质的波动方程 将( 2 - 7 ) 式代入( 2 3 ) 式，有： 口= c ( l r t o ( 2 8 ) 将( 2 - 8 ) 式代入( 2 - 6 ) 式，可得： p 墨u = 三( c f l u ) + p f ( 2 - 9 ) 其分量腻为：净= 窆j = t 囊壹鱼p k = t杀+ 反“- 1 2 ，3vufui 上式即为以位移表示的一般各向异性弹性介质的波动方程，它再配以确定的 初始条件和边界条件，便可构成特定的弹性动力学问题。 1 0 a一以a一以o a一也o a 一以 o a一丸a一钆 o o a 一丸 o a一以o a一以o o 中南大学硕士学位论文第二章各向异性弹性波基本理论 2 2 地震各向异性介质的分类 2 2 1 各向异性介质的分类体系及其弹性矩阵 根据晶体矿物学中对晶体矿物的分类体系，地震学家按地球介质中波动的物 理可实现的对称性，对弹性各向异性介质做了相应分类( c r a m p i n , 1 9 8 9 ) ，现归纳 如表2 1 。 袁2 - 1 各向异性介质的分类 对应晶族对应晶系 对称特点独立常数个数对应矿物 无对称轴和对 三斜晶系 2 1斜长石 称面 低级晶族单斜晶系有一个对称面 1 3 角闪石 有三个相互正 斜方晶系 9 橄榄石 交的结称面 有三个对称面 三方晶系i和一个三次对 6电气石 称轴 有一个三次对 三方晶系 7钛铁矿 称轴 中级晶族 有五个对称面 四方晶系i和一个四次对 6锡石 称轴 有一个对称面 四方晶系和一个四次对7白钨矿 称轴 六方晶系圆柱对称 5 1 3 石英 有九个对称面 高级晶族等轴晶系和四个三次对 3石榴子石 称轴 在第一节中已给出了最一般介质的弹性系数矩阵，不同的介质由于其对称面 与对称轴不一样，存在不同的对称性，因而其弹性系数矩阵中独立常数的个数也 不一样。各向同性介质可以看着是对称性最高的介质，即有无穷个对称面和无穷 次对称轴，其独立常数最少( 只有两个) 。下面给出包括各向同性介质在内的各 类介质在自然坐标系下的弹性常数矩阵。 ! 妻查兰堡兰丝丝兰 竺三兰墨塑墨竺堂丝垫墨查堡丝 1 三斜各向异性介质 2 单斜各向异性介质 3 斜方各向异性( 正交各向异性) 介质 c i lc 1 2c 1 3 00 o c 1 2c 2 2e 2 3 000 c ”c 2 3e 3 3 00o 000 c “0 0 0000 c 岛0 00000 c * 5 三方各向异性介质 c l !c 1 2 c 1 2c 2 2 c 1 3c 2 3 c 1 4 一c 1 4 c 1 5 一c 5 oo c 1 3c 1 4c l ，0 c 2 3 一c 1 4 一q 5 0 c 3 3 0 00 c c“0一q 5 00 c “c 1 4 0 一c l ，f c “ 7 四方各向异性介质i i c l lc 1 2c ” 0 0 c l l 0 1 2c l lc 1 3 0 o q 6 c ”c 1 3c 3 3 000 0 00 c 4 0 0 000 0 c “0 c 1 6 一c 1 6 00 0 c “ q 1 q 2 龟 0 0 q 6 q 2 勃 白 o 0 气 q 3 屯 岛3 o 0 o o o c “ q 5 0 o 0 o 6 5 o q 6 岛6 0 0 4 三方各向异性介质i c l lq 2c 1 3q 4 00 c 1 20 2 2 一e l 0 0 q 3c 2 3c 3 3 000 c l 一q 4 0 c “0 0 00 0 0 岛5 0o 0 0 6 四方各向异性介质i 8 六方各向异性( 横向各向同性) 介质 印跏跏“跏跏印彩印印彩彩 印劬劬“邸“ 印印印纠j印跏印彩印翻印印 l 2 3 4 5 6 e e 0 e 0 0 o o o o o o o o o 钆o o o o 气o o 钆气o o o 2 l 气气o o 0 o o o o o o o o o o o o 钆o o o 0 钆o o o o o o o o 钆o o o 中南大学硕士学位论文第二章各向异性弹性波基本理论 9 等轴方各向异性( 立方各向异性) 介质 c i ic 1 2 c 1 2c 1 1 c 1 2c 1 2 o0 o0 oo c 1 2 0 c 1 2 0 c 1 1 0 0 c “ 00 oo 00 00 00 00 c “0 0 钆 1 0 各向同性介质 。i lc 1 2c 1 2 000 。1 2c l ic 1 2 000 c 1 2c 1 2c l l 000 000 c 4 4 00 0000 c 4 4 0 00000 c 4 4 上面弹性常数矩阵中：对于三方各向异性介质i 、三方各向异性介质和六 方各向异性介质，有c 。= ( c - c 。：) ，2 ；对于各向同性介质，有 。= ( c l i c 1 2 ) 2 9 q i = 名+ 2 = 足+ j 4 p 气= ，旯，为拉梅系数。 2 2 2 常见的地球各向异性介质 1 常见地球各向异性介质 地壳中介质的各向异性主要是由定向裂隙薄互层引起的，上地幔的各向异 性主要可能是由橄榄石和斜方辉石类矿物定向排列引起的。各向异性的形式与其 成因一样是复杂的，但对沉积型地层，其基本模式有两种：一种是裂隙诱导各向 异性e d a 模式( e x t e n s i v ed i l a t a n c ya n i s o t r o p y ) 。该模式用于描述由彼此平行 的垂直裂隙，微裂隙和定向排列的微细孔洞引起的各向异性。e d a 介质广泛存在 于地壳中嘲，属于六方晶系，有水平对称轴，对称轴在最小水平应力方向。另一 种是f r r l 模式( ( p e r i o d i ct h i n l a y e r y ) ，用来描述沉积盆地地层的微细层理和 旋回性薄层引起的各向异性，也属六方晶系，但其对称轴是垂直的。上述两种都 属六方各向异性( 又称横向各向同性，t r a n s v e r s ei s o t r o p yw i t hav e r t i c a l a x i s o fs y m m e t r y ) 称为v t i 介质，具有水平对称轴的t i 介质( t r a n s v e r s e i s o t r o p yw i t hah o r i z o n t a l a x i so fs y m m e t r y ) 称为h t i 介质，h t i 介质可 以看成是”i 介质旋转9 0 。而得到的。水平薄互层岩层和具有垂直定向裂隙的 岩层分别为常见的h t i 介质和v t i 介质。p o s t m a n 嘲指出，由各向同性岩石的周 期性薄层所构成的地下岩石，由于波长远大于地层的厚度，可等价于具有垂向对 称轴的横向各向同性固体，因此p t l 模式有较大的广泛应用性。 当然，上述两种基本模式还可组合，即具有水平对称轴的e d a 介质与具有 垂向对称轴的p t l 介质组合在一起，可生成具有任意方位的正交晶系的各向异性 介质啪一，这种岩层属o a ( o r t h o r h o m b i ca n i s t r o p y ) 介质，有人称之为p t l + e d a 介质。以上三种各向异性岩层模型见图2 1 中南大学硕士学位论文第二章各向异忭弹性波基本理论 ( a ) p t l 介质 图2 - 1 三种常见的各向异性岩层模型 ( b ) e d a 介质( c ) p t l + e d a 介质 2 、v t i 介质中的波动方程 由( 2 - 2 ) 式一般各向异性介质共有2 1 个独立参数，其求解是非常困难的。实 际上在地震勘探中经常遇到的大多数是一种特殊的各向异性介质，即横向各向同 性( 1 r i ) 介质。在这种介质中，介质的弹性沿横向是各向同性的，沿纵向是变化 的，它具有垂直的无限次旋转轴。其中各薄层厚度h “地震波长兄，相当于薄互 层或水平裂隙的情况。对于所讨论的横向各向同性介质，因为它x o y ，x o z ，y o z 面都是对称的，所以有： q ，兰q 6 = c ”= c 2 6 = c 拈= c 3 6 = c 盯= c 4 6 = 0 c 1 42 c 2 42 c 3 4 c 5 62 0 于是弹性系数矩阵为： ( 2 - z o ) 其中：c 1 2 = c 2 1 ，q 3 = c 3 l ，= c 3 2 ，又因为它在z ，y 方向完全相同，又有： q l2 c 笠o “2 c 5 5 c 1 32 c 2 3 此外还有： c 1 l2 c 1 2 + 2 c m 所以对于横向各向同性介质，只有c l 。，c 1 3 ，。c 4 4 ，这五个独立和弹性系 数。 将( 2 一1 0 ) 式代入( 2 9 ) 式，并设，= 0 ，则可得二维横向各向同性介质中弹性波 动方程： 1 4 白 c 气吃 气q 中南大学硕士学位论文第二章各向异性弹性波基本理论 c l l a 。甜，+ a 。蚝+ ( c 1 3 + 钆弦。虬= 矽。“， ( 2 1 1 ) c 酾a 。吩+ c 4 4 0 。“，= 印。“y ( 2 1 2 ) ( c 1 3 + c 0 ) a 嚣“，+ c 3 ，a 声“，+ c u a 搿，= 户0 。j ( 2 - 1 3 ) 上述方程组可分解为一个独立的波动方程( 2 - 1 2 ) 及一个波动方程组( 2 1 1 ) 和( 2 一1 3 ) 。方程( 2 1 2 ) 是横向各向同s h 波波动方程，方程组( 2 1 1 ) 和( 2 一1 3 ) 是 准p 波和准s v 波波动方程，它们是耦合在一起的，即在横向各向同性介质中，p 传播可引起s v 波，s v 传播可引起p 波，它们联合称为横向各向同性准p s v 波 动方程。 中南大学硕士学位论文第三章v 1 1 介质中的弹性波场的数值模拟方法 3 1 概述 第三章v tl 介质中弹性波场数值模拟方法 数值模拟技术是勘探地球物理学的一个重要组成部分，其作用主要有两点： 一是作为一种认知工具，帮助我们提高对复杂介质中地震波传播规律的认知水 平；二是作为一种检验工具，检验各种方法技术的应用效果及适用范围1 7 0 l 。 地震波场数值模拟是研究复杂地区地震资料采集、处理和解释的有效辅助 手段，地震波场数值模拟的主要方法包括两大类，即波动方程法和几何射线法。 波动方程数值模拟方法实质上是求解地震波波动方程，因此模拟的地震波场包含 了地震波传播的所有信息，但其计算速度相对于几何射线法要慢。几何射线法也 就是射线追踪法，属于几何地震学方法，由于它将地震波波动理论简化为射线理 论，主要考虑的是地震波传播的运动学特征，缺少地震波的动力学信息，因此该 方法计算速度快。因为波动方程模拟包含了丰富的波动信息，为研究地震波的传 播机理和复杂地层的解释提供了更多的佐证，所以波动方程数值模拟方法一直在 地震模拟中占有重要地位【7 l 】。 3 1 1 几何射线法 几何射线法又称为射线追踪法，其主要理论基础是，在高频近似条件下，地 震波的主能量沿射线轨迹传播。基于这种认识，运用惠更斯原理和费马原理来重 建射线路径，并利用程函方程来计算射线的旅行时。在旅行时计算中可以应用有 限差分等方法，以期获得快速的解，随着地震勘探技术的发展，新的射线追踪技 术也不断涌现，以满足大的数据处理( 如三维数据) 和较高精度要求下对复杂地质 体研究的需要。这些技术主要研究焦点是如何精确地划分地质体，如何实现旅行 时场的快速准确的计算以及对已有方法的改良。 射线法的主要优点是概念明确，显示直观，运算方便，适应性强；其缺陷是 应用有一定限制条件，计算结果在一定程度上是近似的，对于复杂构造进行两点 三维射线追踪往往比较麻烦。为了计算波沿射线的旅行时和