（机械电子工程专业论文）几类时滞复杂动力网络的同步研究.pdf

1 学位论文版权使用授权书 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密彳。 轵| 如 艚溯虢轴i 芑 、。等月夕日 分类号 q 3 2 2 u d c 5 三垒! 1 2 ：曼2 曼 密级 坌珏 编号1 0 2 9 9 b 0 8 0 3 0 1 5 博士学位论文 几类时滞复杂动力网络的同步研究 郑松 指导教师生勤胜教援 ： 申请学位级别缝专业名称扭越电王互猩 论文提交日期2 q ! ! 生三且论文答辩日期2 q ! ! 笙目 学位授予单位和日期 江菱太堂笙且 答辩委员会主席 评阅人一 2 0 1 1 年3 月 c l a s s i f i e di n d e x ：0 3 2 2 u d c ：5 3 4 1 2 1 2 1 p h d d i s s e r t a t i o n s t u d yo f t h e s y n c h r o n i z a t i o nf o r s o m e c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw i t ht i m e d e l a y b y s o n gz h e n g s p e c i a l i t y ：m e c h a n i c a la n de l e c t r o n i ce n g i n e e r i n g s u p e r v i s o r s ：q i n s h e n gb i s u p e r v l s o r s l n s n e n gb i j i a n g s uu n i v e r s i t y m a r c h ，2 0 1 1 摘要 摘要 复杂网络是由具有一定特征和功能的、相互关联及相互影响的基本单元所构 成的复杂集合体。十几年来，国内外掀起了研究复杂网络的热潮。许多来自物理、 生物、数学和计算机等领域的研究者都开始致力于复杂网络的研究。许多复杂系 统可以从实际背景出发，描述为复杂网络，例如英特网、万维网、电力网、铁路 网等。复杂网络研究的最终目的是了解网络的结构对发生在网络上的动力学行为 的影响。同步是复杂网络上一种最常见的动力学行为。最近，网络同步的研究迅 速引起了不同领域学者的广泛关注。通过对复杂网络同步的研究，一方面我们可 以更好地理解网络结构对同步能力的影响，另一方面可以提高有益网络的同步能 力或降低有害网络的同步能力。因此，复杂网络的同步研究具有较大的理论意义 和应用价值。 由于时滞现象广泛存在于自然界中，因此在现实的复杂动力学网络中，各状 态变量和耦合因子之间常常会存在着时间滞后。本文把时滞系统稳定性分析理 论、矩阵理论和控制理论等理论应用到复杂网络中，对几类时滞复杂动力学网络 的同步进行了深入研究，主要内容包括以下几个方面的研究工作： 第一章，简要介绍了与后文相关的一些非线性动力学和复杂网络的预备知 识，并指出目前复杂动力学网络的同步与控制研究现状，最后阐述了本论文的主 要研究内容。 在第二章，我们主要讨论了时滞复杂网络的投影同步问题。首先，在复杂网 络的研究中，拓扑结构识别和参数识别是个挑战性的问题。我们采用自适应控制 方法实现了时变时滞耦合复杂网络的投影同步，同时也能很好地识别出未知的网 络拓扑结构和系统参数。其次，探讨了驱动响应延迟耦合时变复杂网络系统的 投影同步问题。利用一个混合控制方法即自适应脉冲控制方法，给出了时变网 络投影同步的判定准则。数值模拟发现，与仅仅考虑脉冲控制和自适应控制方案 相比，该方法具有明显的优越性。 第三章，在现实世界中，我们通常把节点性质类似的节点看成一个网络，而 把具有不同性质的节点当作多个网络来研究。本章基于自适应脉冲控制策略研 究了广义耦合复杂网络间一即两个具有时滞和非时滞耦合项的复杂网络间的同 江苏大学博士学位论文：几类时滞复杂动力网络的同步研究 步问题。通过数学上的严格证明给出了同步的相关准则，同时设计了连续控制输 入，简单的自适应律和一个线性脉冲控制器。特别地，权重矩阵不要求是对称的 和不可约的，内耦合矩阵也不要求是对称的。 第四章，在复杂网络的研究中，关于耦合时滞的复杂网络同步研究较多。然 而，有相当一部分动力学节点的状态变量之间存在着时间滞后的现象。这种现象 更为复杂更为重要，但是对于这种节点动力学行为中含有时滞现象的网络研究却 很少。本章中，分别利用线性反馈控制和自适应控制方法，研究了具有不同时滞 节点组成的两个相互延迟耦合的复杂网络间的同步问题。 第五章，利用牵制控制策略研究了两个广义线性耦合的复杂网络间的内部同 。 步和外部同步问题，即每个网络内部实现同步的同时两个网络间也获得同步。基 于l y a p u n o v 稳定性理论f l t l a s a l l e 不变集原理，我们得到了内部同步和外部同步的 充分条件。 第六章，总结了本文取得的成果，同时指出了存在的不足和尚待解决的问题， 指出了今后的工作方向。 关键词：复杂动力学网络，时滞，同步，投影同步，自适应控制，脉冲控制，牵 制控制 n a b s t r a c t a b s t r a c t ac o m p l e xn e t w o r ki sd e f i n e da sal a r g es e to fc o u p l e di n t e r c o n n e t e dn o d e sb y e d g e s ，i nw h i c han o d ei saf u n d a m e n t a lu n i th a v i n gs p e c i f i cc o n t e n t sa n de x h i b i t i n g d y n a m i c a lb e h a v i o r , t y p i c a l i t y i n r e c e n ty e a r s ，c o m p l e xn e t w o r k sh a v eb e e n c o n s i d e r e da san e ws u b j e c ta n dm a n yd o m e s t i ca n df o r e i g ns c h o l a r s ，i n c l u d i n gp h y i c s ， b i o l o g y , m a t h e m a t i c sa n d i n f o r m a t i o n t e c h n o l o g y , e t e ，h a v ep l a c e d e x t e n s i v e e m p h a s i so nt h i ss u b j e c t m a n yc o m p l e xs y s t e m s ，f r o mt h ea c t u a lb a c k g r o u n d ，s u c ha s t h ei n t e r n e t ，t h ew o r l dw i d ew e b ，t h ep o w e rg r i d ，r a i l w a yn e t w o r k s ，a n ds oo n ，c a nb e d e s c r i b e db yc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s t h eu l t i m a t ea i mo fs t u d y i n gc o m p l e x n e t w o r k si st ou n d e r s t a n dh o wt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sh a v ea ne f f e c to nt h ed y n a m i c a l b e h a v i o r s y n c h r o n i z a t i o n ，o n eo f t h et y p i c a lc o l l e c t i v eb e h a v i o u r s o fc o m p l e x d y n a m i c a ln e t w o r k s ，h a sr e c e i v e dr a p i d l yi n c r e a s i n ga t t e n t i o nf r o md i f f e r e n tf i e l d si n r e c e n ty e a r s b a s e do nt h er e s e a r c ho fs y n c h r o n i z a t i o ni nc o m p l e xn e t w o r k s ，o nt h e o n eh a n d ，w ec a nu n d e r s t a n dh o wt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sa f f e c ts y n c h r o n o u sa b i l i t y , o n t h eo t h e rh a n d ，w ec a ne n h a n c et h e s y n c h r o n o u sa b i l i t yo f n e t w o r k sw h e n s y n c h r o n i z a t i o n i s a d v a n t a g e d ，a n d r e d u c ei t s n e g a t i v ef a c t o r s t h e r e f o r e ， s y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k sp r o v i d e sw i t hg r e a tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n d p o t e n t i a la p p l i c a t i o n s s i n c et i m ed e l a y sa r eu b i q u i t o u si nn a t u r a l ，s oi nt h ep r a c t i c a lc o m p l e xn e t w o r k s ， t i m ed e l a y so f e ne x i s ti nt h es t a t ev a r i a b l e so rc o u p l i n gc o e f f i c i e n t s i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，s t a b i l i t yt h e o r yo ft i m ed e l a ys y s t e m ，c o n t r o lt h e o r ya n dm a t r i xt h e o r y a r gi n t r o d u c e di n t ot h es t u d yo fc o m p l e xn e t w o r k s s y n c h r o n i z a t i o na n a l y s i so f s e v e r a lc l a s s e sc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw i t ht i m ed e l a yh a sb e e np r o p o s e d t h e m a i nr e s e a r c hw o r ko ft h i st h e s i sh a ss e v e r a lp a r t sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，s o m ef u n d a m e n t a l k n o w l e d g ea n db a s i cc o n c e p t so f n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sa n dc o m p l e xn e t w o r k s a n dw ea l s os u m m a r i z es o m ep r e s e n tw o r ko nt h es y n c h r o n i z a t i o na n dc o n t r o lo f c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw h i c ha r er e l a t e dt ot h et o p i co ft h et h e s i s f i n a l l y , t h e r e s e a r c hw o r ko ft h i sp a p e ri sp r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h ep r o b l e mo fp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o nf o r c o m p l e xn e t w o r k sw i t ht i m ed e l a y f i r s t l y , t o p o l o g yi d e n t i f i c a t i o na n dp a r a m e t e r s i d e n t i f i c a t i o na r ec h a l l e n g i n gw o r ki n c o m p l e xn e t w o r k s a d a p t i v ep r o j e c t i v e i i i 江苏大学博士学位论文：几类时滞复杂动力网络的同步研究 s y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w oc o m p l e xn e t w o r k sw i t ht i m e v a r y i n gc o u p l i n gd e l a yi s i n v e s t i g a t e db yt h ea d a p t i v ec o n t r o lm e t h o d ，a n dt h i sm e t h o dh a sb e e na p p l i e dt o i d e n t i f yt h ee x a c tt o p o l o g i c a ls t r u c t u r ea n du n c e r t a i np a r a m e t e r so f aw e i g h t e dg e n e r a l c o m p l e x n e t w o r k s e c o n d l y ，t h ep r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n o fd r i v e - r e s p o n s e t i m e v a r y i n gc o m p l e xn e t w o r k si si n v e s t i g a t e d w e c o n s i d e rs y n c h r o n i z a t i o ni n t i m e v a r y i n gc o u p l i n gn e t w o r k s ，i nw h i c ht h ew e i g h t so fl i n k sa r et i m ev a r y i n g a h y b r i dc o n t r o lm e t h o d ，t h a ti s ，a na d a p t i v ef e e d b a c kc o n t r o l l e rw i t hi m p u l s i v ec o n t r o l e f f e c t si sd e s i g n e d f r o mn u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t s ，w ef i n dt h ei m p u l s i v ec o n t r o l o ra d a p t i v ec o n t r o le f f e c ti sn o ta sw e l la st h ea d a p t i v e - i m p u l s i v ec o n t r o ls t r a t e g y i nc h a p t e r3 ，i nr e a l i t y , i fn e t w o r kn o d e sa r eo fs i m i l a rp r o p e r t i e s ，w ec a nr e g a r d i ta so n en e t w o r k ；o t h e r w i s e ，a st w oo rm o r en e t w o r k s s y n c h r o n i z a t i o no ft w o g e n e r a lc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s w i t hn o n d e l a y e da n dd e l a y e dc o u p l i n gi s i n v e s t i g a t e db yu s i n ga na d a p t i v e - i m p u l s i v ec o n t r 0 1 b a s e do n t h es t a b i l i t ya n a l y s i so f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h ec r i t e r i af o rt h es y n c h r o n i z a t i o na r ed e r i v e d ，a n da l i n e a ri m p u l s i v ec o n t r o l l e ra n dt h es i m p l eu p d a t e dl a w sa r ed e s i g n e ds i m u l t a n e o u s l y p a r t i c u l a r l y , t h ew e i g h tc o n f i g u r a t i o n m a t r i xi sn o t n e c e s s a r i l ys y m m e t r i c 0 1 7 i r r e d u c i b l e ，a n dt h ei n n e rc o u p l i n gm a t r i xn e e dn o tb es y m m e t r i c i n c h a p t e r4 ，i nm u c ho ft h el i t e r a t u r e ，t i m e d e l a y si nt h ec o u p l i n g sa r e c o n s i d e r e d ；h o w e v e r , t h et i m ed e l a y s i nt h ed y n a m i c a ln o d e s ，w h i c ha r em o r e c o m p l e x ，a r e s t i l l r e l a t i v e l yu n e x p l o r e d t h e r e f o r e ，i n t h i s p a p e r , o u t e r s y n c h r o n i z a t i o no ft w oc o u p l e dc o m p l e xn e t w o r kw i t hn o n i d e n t i c a lt i m e - d e l a y e d d y n a m i c a ln o d e si sc o n s i d e r e dv i au s i n gl i n e a rf e e d b a c kc o n t r o la n da d a p t i v ec o n t r o l ， r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r5 ，t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w ol i n e a r l y c o u p l e dc o m p l e xn e t w o r k sv i ap i n i n gc o n t r o lm e t h o d ，i n c l u d i n gi n n e rs y n c h r o n i z a t i o n i n s i d ee a c hn e t w o r ka n do u t e rs y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt h e ms i m u l t a n e o u s l y b a s e d o nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl a s a u e si n v a r i a n c ep r i n c i p l e ，s o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h es y n c h r o n i z a t i o na r ed e r i v e d ，a n dt h ec o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e d a tl a s t ，s o m em e a n i n g f u lr e s u l t sa r es u m m a r i z e di nt h ee n do ft h i sp a p e r a l s o s o m ee x i s t i n gp r o b l e m sa sw e l la st h ef u t u r ew o r ka r ep o i n t e do u t k e y w o r d s ：c o m p l e xd y n a m i c a l n e t w o r k s ，t i m ed e l a y , s y n c h r o n i z a t i o n ， p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n ，a d a p t i v ec o n t r o l ，i m p u l s i v e c o n t r o l ， p i n n i n gc o n t r o l i v 目录 第一章绪论 目录 1 1 非线性动力系统基本知识简介1 1 1 1 混沌的定义1 1 1 2 非线性系统稳定性的判断2 1 2 复杂网络研究背景简介4 1 2 1 网络发展简史4 1 2 2 复杂网络的基本概念6 1 2 3 几种典型的复杂网络模型8 1 3 复杂动力学网络的同步与控制研究现状1 3 1 3 1 复杂动力学网络的同步研究现状一1 3 1 3 2 复杂动力学网络的控制研究现状。1 5 1 4 本论文的主要研究内容1 7 第二章时滞复杂动力学网络的投影同步。1 9 2 1 时变时滞耦合复杂网络的自适应投影同步1 9 2 1 1 引言。1 9 2 1 2 模型描述。2 0 2 1 3 具有相同节点2 0 2 1 4 具有不同节点。2 4 2 1 5 数值模拟2 9 2 2 时变复杂动力网络的投影同步3 6 2 2 1引言3 6 2 2 2 模型描述及脉冲微分方程的基本理论。3 7 2 2 3 主要结果3 9 2 2 4 数值模拟。4 4 2 3 本章小结。5 0 第三章广义耦合复杂网络间的自适应脉冲同步 3 1 引言5 1 3 2 线性广义耦合网络的自适应一脉冲同步5 1 v 江苏大学博士学位论文：几类时滞复杂动力网络的同步研究 3 3 3 4 第四章 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 第五章 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 第六章 6 1 6 2 参考文献 3 2 1 主要结果 3 2 2 数值模拟。 非线性广义耦合网络的自适应脉冲同步 3 3 1 主要结果。 3 3 2 数值模拟 本章小结 具有时滞节点的耦合复杂网络间的同步。 弓i 言 模型描述及预备知识 外部同步分析 数值模拟 本章小结7 8 广义耦合复杂动力学网络间的牵制同步。7 9 引言7 9 问题描述及预备知识。7 9 主要结果8 1 数值模拟。8 7 本章小结一9 2 结论与展望。 本文工作总结一9 3 今后工作展望9 4 致谢 攻读博士学位期间所发表和投稿的论文目录1 0 3 v i 第一章绪论 第一章绪论 1 1 非线性动力系统基本知识简介 基于全文的工作，我们首先介绍一些非线性动力系统的基本知识【1 - 5 , 1 8 - 2 1 】，主 要是介绍混沌定义，以及判别系统稳定性的l y a p u n o v e 函数方法等。这些理论在 我们后面的具体工作中会涉及。 1 1 1混沌的定义 作为非线性科学中最重要的成就之一，动力学系统中复杂现象的发现以及混 沌学的创立和发展，开创了非线性科学的新纪元，被誉为2 0 世纪物理学上继相 对论和量子力学之后的第三次革命。由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被 人们彻底了解，迄今，学术界对“混沌 尚缺乏统一的普遍接受的一般定义。现 给出如下两种常见的数学定义。 1 在l i y o r k e 意义下的混沌定义 l i y o r k e 定义【1 9 】是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行定 义的，该定义可描述如下。 l i - y o r k e 定理：设f ( x ) 是【口，b l 上f f o 连续映射，若厂( 功有3 周期点，则对任 何正整数n ，厂 ) 有胛周期点。 定义1 1 ( l i y o r k e ) ：区间i 上的连续自映射f ( x ) ，如果满足下面条件，便可 确定它有混沌现象： ( 1 ) 厂的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对任意z ，y s ，x y 时，则有 l i ms u p i 厂4 ( z ) 一厂4 ( y ) i 0 ( i i ) 对任意x ，y s ，则有 l i m i n f i 厂4 ( 力一厂“( y ) l = 0 ( i i i ) 对任意z s 和，的任意周期点y ，则有 江苏大学博士学位论文：几类时滞复杂动力网络的同步研究 l i ms u p i 厂”一厂“( y ) l 0 2 在d e v a n e y 意义下的混沌定义 定义1 2 ( d e v a n e y ) | 2 0 1 ：设y 是一度量空间，连续映射厂：y 专y 如果满足 下面3 个条件，便称厂在y 上是混沌的。 ( 1 ) 对初值敏感依赖。存在8 0 ，对任意的占 0 和任意的x v ，在x 的，领 域内存在y 和自然数聆，使得d ( f ”( x ) ，4 ( y ) ) 万。 ( 2 ) 拓扑传递性。对y 上的任意对开集x ，y ，存在七 0 ，僻) u r ( 如 一映射具有稠轨道，则它是拓扑传递的) 。 ( 3 ) 厂的周期点集在y 中稠密。 1 1 2 非线性系统稳定陛的判断 在系统理论和工程中，稳定性理论起着主导作用。在动力学系统的研究中会 出现各种不同的稳定性问题。平衡点的稳定性特征一般由l y a p u n o v 理论确定， 如果所有始于平衡点附近的解不仅保持在平衡点附近，而且随时间趋于无穷而趋 向平衡点，则该平衡点是渐进稳定的。 考虑自治系统 工= 厂( 功 ( 1 1 ) 其中x r “，厂：djr 4 ，d r ”。假定i d 是方程( 1 1 ) 的平衡点，即厂 ) = 0 ， 为了方便起见，在此声明所有定义和定理都是对平衡点在彤上的原点，即i = 0 时的情况而言。这样做并不失一般性，因为经过变量代换总可以把平衡点变换为 d e f 原点，假设i 0 ，经y = x i 变换后，y 的导数为：夕= 戈= 厂= f ( y + x ) 三g ( y ) ， 其中，g ( o ) = 0 ，对于新变量，系统在原点有平衡点。于是，总是假定满足，( = 0 ， 并研究原点z = 0 的稳定性。下面给出零平衡点的稳定性定义，其它非零平衡点 的稳定性则可以通过作上述的变换来讨论。 定义1 3 - ( 1 ) 如果对v 占 0 ，都存在万= 万p ) 0 ，满足 愀o ) 0 8 j x ( t ) l l 0 ，使得 2 第一章绪论 i x ( o ) l l 0 ，v x d 一 0 ； 矿( z ) 0 ，v x ed ； 那么，平衡点x = 0 是稳定的。此外，如果 v ( x ) 0 ，v x 0 ； i i x ( t ) i 斗o o j y ( 功专o o ；矿( 石) 0 ，使得 l i x ( , o ) l l 0 ，存在不依赖于f o 的艿= 万p ) 0 ，使得 3 江苏大学博士学位论文：几类时滞复杂动力网络的同步研究 i i x ( o ) l i 0 ，使得对v g 0 ，总存在t = 丁p ) 0 ，满足 0 x ( t ) l l - t o + 丁p ) ，ix ( o ) l l i , 当专。 ( 2 ) e r 随机图( t h er a n d o mg r a p ho fe r d 6 s r 6 n y i ) 和规则网络完全相反的是随机网络，典型的例子就是e r ( e r d s s 和r 6 n y i ) 随 机图【2 2 】，具体形成过程如下：给个独立的节点，然后随机地拿起两个节点以 概率p ( 服从均匀分布) 将他们相连，然后将这两个节点放回继续此过程。这样的 9 江苏大学博士学位论文：几类时滞复杂动力网络的同步研究 过程重复多次后停止，由此产生的网络图有p n ( n - 1 ) 2 条边，称为是e r 随机图 网络。如图1 5 所示。 随机图网络的平均度是( 七) = p ( 一1 ) ，度的分布呈p o i s s o n 分布。平均路径 长度较小，具有典型的小世界特性；但大规模的稀疏e r 随机图没有聚类特征。 而实际网络一般都具有明显的聚类特征。 图1 5e r 随机网络 f i g1 5e rs t o c h a s t i cn e t w o r k ( 3 ) 小世界网络( s m a l l w o r l dm o d e l ) 通过上面的分析可知最近邻耦合网络具有高聚类特征，但不具备小世界特 性。在全局耦合网络中具有较大的聚类系数和小世界特性，但边连接过于稠密。 在随机图网络中具有较小的平均路长，但却不具有实际网络的聚类特性，聚类系 数过小。因此，这些网络模型都不能再现真实网络的一些重要特征，实际网络通 常是既具有某种规则性，又有一些随机性。为了描述从规则格子到随机网络之间 的转变，1 9 9 8 年，w a t t s 和s t r o g a t z 引进了非常有趣的小世界网络模型，也就是 著名的w s 小世界网络模型【3 蝴。w s 模型的构造是从一个具有个节点的最近 邻耦合规则网络为基础，每个节点与其k 个最近邻连接；然后，以概率p 重新选 取每个边，也就是对每个节点的边，以概率保持一端不变，另一端随机地连接网 络中的节点。保持边的总数目不变，避免重连接和自连接。如图1 6 所示。 1 0 f 第一章绪论 图1 6 小世界网络 f i g 1 6 t h en e t w o r ko fs m a l l - w o r l d 用w s 网络模型构造出来的网络模型的聚类系数c 和平均最短路径长度 随着重连接概率p 的变化而变化。这种既具有大的聚类系数又具有小的平均最短 路径的网络称为小世界网络。 小世界网络的基本模型是w s 模型，算法描述如下： ( i ) 给定规则网络：假如我们有一个节点总数为，每个结点与它最近邻的 k = 2 k 个节点相连线的一维有限规则网，通常要求n k 1 ： ( i i ) 改写旧连线：以概率p 为规则网的每条旧连线重新布线，方法是将该连线 的一个端点随机地放到一个的新位置上，但需要排除自身到自身的连线和重复连 线。 w s 模型由于改写连线，有可能出现孤立的节点，而且不便于理论分析。后 来n e w m a n 和w a t t s 3 7 】提出了一个改进的模型。改进模型的算法描述如下： ( i ) 给定规则网：假如有一个节点总数为，每个结点与它最近邻的k = 2 k 个 节点相连线的一维有限规则网，通常要求n k 1 ； ( i i ) 新增随机网：对规则网的个节点，以概率球2 在任意两个节点之间 的连线，但不改动规则网的原有连线，也不允许自身到自身的连线和重复连线。 ( 4 ) 无标度网络( s c a l e f r e en e t w o r k ) 从前面的介绍中我们己经知道规则网络，e r 随机图和小世界网络的度分布 分别为d e l t a 函数和p o i s s o n 分布，于是一个自然的问题是由复杂系统实测所得 网络的度分布是怎么样的呢? 实测结果表明是满足于幂律分布，即有 江苏大学博士学位论文：几类时滞复杂动力网络的同步研究 p ( 七) o ck ，其中r n 称为幂律指数。在社会、生物、信息和技术领域内存 量的实测网络的度分布满足幂律分布，其中幂律指数满足2 y 3 ，现在把 网络称为无标度网络。幂律分布和p o i s s o n 分布的最大差别在于服从幂律分 网络的度分布为不均匀的而服从p o i s s o n 分布的网络度分布为均匀的。事实 服从p o i s s o n 分布网络中的节点的度大多数为它的均值 ，而服从幂律分 络中的大多数节点的度都很小，仅有少数节点的度很大。如图1 7 所示。 图1 7 无标度网络 f i g1 7s c a l e - f r e en e t w o r k 产生幂律度分布的机制是什么? b a r a b a s i 和a l b e r t 于1 9 9 9 年在s c i e n c e 杂 志上发表了第一篇构建幂律度分布模型的文章。在这篇文章中，他们构造了一个 具有幂律度分布的模型【3 5 1 。现在通常称这种模型为b a 模型。b a 模型的构造过程 如下： ( i ) 增长特性：初始假定有( 是一个很小的正整数) 个节点构成的小网络 g 。，每一步增加一个节点，并且连接到肌( m 。) 个已经存在的不同节点上： ( i i ) 优先连接特性：新节点和一个已经存在的度七，的节点f 相连接的概率为 兀( i ) = k il k ，其中= + f 一1 是f l 步之后存在的节点总数，也就是说新节 j = l 点偏爱于连结网络中现存的度大的节点。 这样生成的网络中，有少数度大的节点，而大多数节点的度都比较小。这和 实际网络的情况比较类似，例如，在万维网中像y a h o o 、c n n 等这样知名的网 1 2 第一章绪论 站有很多连接，但大多数网站的连接数都比较少。下面给出b a 无标度网络的一 些重要统计性质： 平均路径长度为： 上生( 1 6 ) l n l i l 这说明此网络也具有小世界特性。 聚类系数： c ：m 2 ( m + 1 ) 2v i n m + l 一上 坐 ( 1 7 ) 4 ( m - 1 ) l m m + l j t 度分布： 。 p ) = 而2 m 而( m + 1 ) 2 m 2 七。3 ( 1 8 )、7 七( 七+ 1 ) ( 七+ 2 ) 、7 近几年来，许多学者对无标度网络进行了定性和定量研究，并对b a 模型做 了一些扩展和修正 2 7 , 4 1 奶】，获得了一系列有价值的结果，发现无标度网络可以承 受意外的故障，但面对协同式的攻击却很脆弱( 鲁棒性和脆弱性) 。无标度网络的 这些特性可以应用到许多领域，如计算机专家可能据此设计出更有效的策略，保 护因特网免受计算机病毒的侵害等，有关这方面更深入的研究可参考其它文献。 1 3 复杂动力学网络的同步与控制研究现状 1 3 1复杂动力学网络的同步研究现状 同步是一种非常普遍而重要的非线性现象，所以在自然科学和社会科学中同 步问题的理论及其应用被广泛研究。科学上关于同步最早的研究，可以追溯到十 七世纪著名的荷兰物理学家惠更斯，他发现将两个不同步的挂钟挂在同一个地 方，一段时间之后它们的摆动周期和幅度就达到了同步。此后，人们观测到的同 步现象还有夏日夜晚青蛙的齐鸣，心肌细胞和大脑神经网络的同步，萤火虫有规 律地同时闪灭，剧场中观众鼓掌的频率逐渐同步等。在高新科技日新月异的今天， 大规模网络的同步已经在半导体激光、振荡器、电子电路、数据通讯等众多领域 广泛应用。可是，有些同步现象却是有害的，如成千上万的人同时过桥会引起桥 体的同步振动使大桥开始晃动：又如i n t e r n e t 上路由器周期性发送路由信息而导 致网络通信拥塞m 4 3 等等。 专江苏大学博士学位论文：几类时滞复杂动力网络的同步研究 早期关于同步的文献，科学家们主要致力于研究周期系统的同步，假设系统 中每个元素是具有周期变化轨线的动力学系统，元素：乙间以某种特定关系耦合， 然后研究整个耦合系统的同步动力学特性。上世纪八十年代，随着混沌学的迅速 发展，同步的概念被引入到相互耦合的混沌振子中。混沌是一种内在随机性运动。 对于确定性的混沌系统，给定具有极小差异的初值条件将导致相同动力学方程的 混沌振子产生完全不同的运动轨迹。可以说，混沌现象属于无法预测的确定性系 统。可是，p e c o r a 和c a r r o l l 4 5 】发现从不同的初始条件