（应用数学专业论文）模糊赋范空间上的拓扑度理论与不动点定理.pdf

摘要 摘要 本文讨论了模糊赋范空间上a - p r o p e r 映射的广义拓扑度，在模糊赋范空间 上建立了e 一紧映射的不动点定理及集值映射的k a k u t a n i 不动点定理主要内 容包括： 第一章与第二章，作为准备，介绍模糊赋范空间的概念、线性拓扑结构及 性质，以及模糊赋范空间上映射的l e r a y s c h a u d e r 拓扑度和相应的不动点定理 第三章，引入模糊赋范空间上a - p r o p e r 映射的广义拓扑度的概念并讨论其 性质完备的模糊赋范空间中，a - p r o p e r 映射是紧映射场的一种推广，其广义 拓扑度是l e r a y s c h a u d e r 拓扑度的一种推广在此基础上，研究模糊赋范空间 中的e 一紧映射，并建立此类映射的一些不动点定理把第二章中关于紧算子的 某些不动点定理如a l t m b n 不动点定理等推广到e 一紧映射上 第四章，在模糊赋范空间上引入多值映射的闭性与半连续性等概念从建 立单值映射的s c h a u d e r 不动点定理出发，给出多值映射的k a k u t a n i 不动点定 理在模糊赋范空间上的推广形式 关键词： 模糊赋范空间；拓扑度；不动点；e 一紧映射；多值映射 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h eg e n e r a l i z e dt o p o l o g i c a ld e g r e eo fa - p r o p e r m a p p i n g f i x e dp o i n tt h e o r e m so ff 1 - c o m p a c tm a p p i n ga n dk a b l t a n if i x e dp o i n t t h e o r e mo f m u l t i v a l u e dm a p p i n gi nf u z z yn o r m e ds p a c e t h ep a p e ri so r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n gm a i m e r , i nc h a p t e r 1 ，s o m ek n o w nn o t i o n sa n dr e s u l t sf o rf u z z yn o r m e ds p a c ea r e r e c a l l e d , s u c ha sl i n e a r l yt o p o l o g i c a ls t r u c t u r ea n ds o m ep r o p e r t i e s i nc h a p t e r2 ，t h el e m y - s c h a u d e rt o p o l o g i c a l d e g r e ea n d i t sf i x e dp o i n t t h e o r e m si nf u z z yn o r m e ds p a c ea l ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 ，t h ed e f m i f i o na n dp r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dt o p o l o g i c a ld e g r e eo f a - p r o p e rm a p p i n gi nf u z z yn o r m e ds p a c ea l eg i v e n s i n c et h ea - p r o p e rm a p p i n gi s o n eo ft h ec x t e r m i o mo fc o m p a c tm a p p i n gc a m p u s ，w h o s eg e n e r a l i z e dt o p o l o g i c a l d e g r e ei so n eo f t h ee x t e n s i o n so f l e r a y - s c h a u d e rt o p o l o g i c a ld e g r e e b a s e do nt h i s ， s e i n ef i x e dp o i n t sf o r f l - c o m p a c tm a p p i n g i nf u z z yn o r m e ds p a c ea l ea l s oe s t a b l i s h e d w ee x t e n ds o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m si nc h a p t e r2t o - c o r np a c tm a p p i n g , s u c ha ss c h a u d e r , a k m a nf i x e dp l d i n tt h e o r e m sf o rt h ec o m p a c t o p e r a t o r s ，e t c i nc h a p t e r4 ，t h ed e f i n i t i o n so fc l o s e da n ds e m i - c o n t i n u o u sm u l t i v a l u e d m a p p i n gi nf u z z yn o r m e ds p a c ea r ei n t r o d u c e d b ye s t a b l i s h i n gs c h a u d e rf i x e dp o i n t t h e o r e mi nf u z z yn o r m e ds p a c e ，t h ee x t e n s i o no fk a k u t a n if i x e dp o i n tt h e o r e mi n t h i ss p a c ei so b t a i n e d k e y w o r d s ：f 妇巧n o r m e ds p a c e ；t o p o l o g i c a ld e g r e e ；f i x e dp o i n t ；f l - c o m p a c t m a p p i n g ；m u l t i v a l u c dm a p p i n g m 前言 前言 拓扑度与不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，与近代数学的许 多分支都有着紧密的联系，在研究各类方程解的问题中起着重要的作用近一 个世纪以来，国内外众多的专家学者在各种空间中、，针对不同的映射，进行了 拓扑度理论的研究，并得到了许多著名的不动点定理，直接或间接地在物理、 微分方程等学科里获得广泛的应用 上世纪初期，b r o u w e r 对有限维空间中连续映射建立了b r o u w e r 度，之后， l e r a y 和s c h a u d e r 推广了b r o u w e r 度，在b a n a c h 空间中建立了紧映射场的拓 扑度，即l e r a y - s c h a u d e r 度在此基础之上，许多学者开始进行了大量深入的 研究，不断将拓扑度的基本概念推广到更大的范围比如从b a n a c h 空间到局部 凸空间，甚至为更一般的拓扑向量空间，使度理论成为更具一般性的理论；或 者保留b a n a c h 空闻的框架，在映射方面进行推广，比如在b a n a c h 空间建立 a - p r o p e r 映射的广义拓扑度及集值映射的广义拓扑度 算子或映射的不动点理论与拓扑度理论有着深刻的联系在理论发展上二 者相互伴随，影响深远b r o u w e r 不动点定理及s c h a u d e r 不动点定理提出后极 大地推动了不动点理论的研究和泛函分析与微分方程等学科的发展之后， k a k u t a n i 把b r o u w e r 不动点定理推广到有限维空间中多值映射的情形，再次掀 起不动点理论研究及应用的浪潮集值映射的拓扑度理论也随之建立起来近 年来，许多研究者往往在进行拓扑度研究时同时考虑不动点定理比如张石生 等在概率线性赋范空间中建立了度理论，并以此为工具得出了概率线性赋范空 间中的某些不动点定理 1 】 我们知道，不动点定理与度理论依托于某种空间框架，赋范线性空间是基 本空间框架之一1 9 8 4 年，k a l e v a 和s e i k k a l a 圆给出了模糊度量空间的概念， 其特色之一是将经典度量空间与m e n g e r 概率度量空间均作为其特例随后， 前言 f e l b i n p l 类比地引入模糊赋范线性空间概念，并研究了有限维空间的完备性这 样的模糊赋范线性空间有丰富的内容2 0 0 0 年，肖建中p 用从线性拓扑角度进 一步讨论该模糊赋范线性空间的性态，并指出经典赋范空间与m e n g e r 概率赋范 空间( 即m e n g e rp n 空间) 都是模糊赋范空间的特例；当t - 模满足a ( a ，4 ) a 时m e n g e rp n 空间是局部凸拓扑线性空间2 0 0 4 年，肖建中和朱杏华柳在较一 般的模糊赋范空间上建立了l e m y s c h a u d e r 拓扑度理论，并由此得到一些不动点 定理这种度理论同时将局部凸空间上的相应理论推广到未必局部凸空间；本 质上推广了张石生等【1 i 在t - 模满足a ( a ，a ) a 条件下的m e n g e rp n 空间上建立 的拓扑度理论 本文的目的是在较一般的模糊赋范空间上对更广泛的映射类建立拓扑度理 论与不动点定理众所周知，b a n a c h 空间中a - p r o p e r 映象是紧映射场的一种 推广( 这里的紧映射指连续的将每个有界集映为相对紧集的那种映射) ，其广义 拓扑度是l e r a y - s c h a u d e r 度的一种推广本文将在较一般的模糊赋范空间上建立 a - p r o p e r 映射的广义拓扑度，某种意义上它是模糊赋范空间上l c r a y s c h a u d e r 拓 扑度的推广，并以此为工具得出模糊赋范空间上某些映射，主要是e 一紧映射的 不动点定理同时得到 6 中关于紧算子的a 1 t m a n 不动点定理的推广形式 此外，受k a k u t a n i 不动点定理已有的许多推广形式【7 。3 1 的启发，本文还将 从建立模糊赋范空间上的s c h a u d e r 不动点定理出发，把集值映射的k a k u t a n i 不动点定理推广到模糊赋范空间 v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以。求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意 作者签名；2 垒；! 窆 日期： 2 翌：望 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复翩 并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密 的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：j 丝芝 e t 期：雹：竺 第一章模糊赋范空间的概念与线性拓扑结构 第一章模糊赋范空间的概念与线性拓扑结构 本章中，我们主要回顾模糊赋范线性空间的概念、线性拓扑结构以及一些 重要的性质与结论，为下面展开拓扑度理论和不动点定理的讨论与研究作准备 1 1模糊赋范线性空间及其左右模 本文中，z + 表示正整数集，罗表示f u z , - y 实数集，罗+ 表示n z 秒非负实数 集， 罗+ = 玎罗当t - i l y l l i ，, + - l l x + r l l j 时，有 i k + y 0 ( s + r ) r ( i k 8 ( 5 ) ，| l y0 ( r ) ) ； 则称| i | | 为胸范数，称( z ，| 1 1 | ，厶r ) 为f u z z y 赋范空间( 简记为f n s ) 引理1 1 涸 设( x ，| | | | ，l ，r ) 为f n s ，且设 ( r - 1 ) r m a x ； ( r - 2 ) v a ( o ，1 】，3 e ( o ，口】，使对v ，( o ，口】，有r ( ，y ) o ，对坛e a ，有 ：s m ( 2 ) x j 亡争j 矗) c a ， f f i l i m x = x 蜘 第一童模糊赋范空同的概念与线性拓扑结构 ( 3 ) a 为闭集对 矗) c a ，且。l i r a 矗= x ，：肓x e a ( 4 ) a 为紧集a 准紧且完备 引理1 5 设( z ，| | j ，工，r ) 是剧s ，则 ( 1 ) 晰对v 口( o ，1 】，1 1 4 ：是递减且左连续 ( 2 ) 吲( r 一2 ) j v 口( o ，1 】，1 1 4 2 在x 连续 ( 3 ) 诤棚，o = ，i l 扛i e = l 1 l x l l ：，t ( 晶口) - - u ( i t l s ，岱) ( 4 ) 5 捌黾岛j ( 岛，口) c ( 乞，口) ( 5 ) 邓1 嘶s 啦等( 占，嘶) c r ( ) 注1 3 【“】：设p ，i i - i i ) 是经典的实赋范空间设( f ) = 百( f 一) ，工= m i i l ， 置= m a ) 【，则( z ，i i 厶r ) 是由( z ，| | | | ) 诱导的用晒每个经典的实赋范空间都 可以看作是剧s 若( f ，i i 8 ) 是经典的厅维赋范线性空间，令 - - 1 1 i l 时，( ，) = 1 ，岍i i 时，i k l l ( * ) = o ，则( ，i i i i ，厶r ) 称为由( ，i i 1 l 。) 诱导的行维刷s 设 势r ( m 口) = 0 由于v 口( o ，l 】，1 1 x 1 1 ：= 1 1 工i i , = i l x l l ，( 占，口) = ( 占，1 ) - - x ：t t 石i i 0 ，c ( t ) = 1 营x = 口； ( i i ) 疋( 小= 只( 仆i ) ， 0 r r ： ( i i i ) e + ，( + f 2 ) ( c ( f i ) ，e ( f 2 ) ) 设三= 0 ，r ( a ，6 ) = l 一( 1 一口，i 一6 ) ，v x e ，记= s u p p ：e ( r ) = o ) ，令 i i x l l o - - i n f t ：f , o ) 1 一口 ；令f o ，口( o 1 】 ，其中 ( 口) = x ：疋( s ) l 一口) = 扛：l i x l l 。 0 ，口e ( o ，i 】，存在连续有界算子乙， 使吃( q ) 是x 的有限维子集，且对比q ，有0 a 一吃矧1 + o ，a e ( o ，1 】，使 p + n f f ，口) ) n s ( 锄) = o 则对= ( 口) ( o ，口】，存在连续有界算子满足( 五) 是x 的有限维子集， 且对垤q ，i 盼一工忙 l l x l l ：， ( 3 ) ( 忪一删2s ( ：) 2 一( 则o e g ( 1 - t ，q ，口1 = o 引理2 8 s l 设( z ，l | | i ，工，r ) 是满足( 月一2 ) f n s ，q ，q 是凡l z 秒 有界开集满足口q 且qc q 设r 是紧算子且qc d ( r ) i l o 聋( i - t ) ( 3 q u 9 苎三兰堡塑堕蔓皇苎圭箜! ! 型：! ! ! 竺! 竺塑堑塞 趣) 令 ( p + ) v 口( o ，方】，( o ，1 】，恪一工1 1 ：- l f x l l ：， ( p 一) v 口( o ，外( o ，1 】，慨一2 工i i ：- o 于 是由引理1 2 ( 2 ) ， j = ( 口) ( o , a 】，使 i i q x l l ：协x x 峙+ ：，v n e z + 取o 0 ，对v 行 n ， 有 第三章模糊赋范空闻上a - p r o p e r 映射的广义拓扑度 l i q ：- x l l g i i q ：一z 1 1 ： o ，根据( 3 2 ) 式，有 i 陂( 矗一z ) f | ：s m 恢一x 眨- - - ，0 0 专。) 定义3 2 设( z ，| | | | ，三，r ) 是满足( r 一2 ) 的完备的删s ，f = 以，q 为x 的 一个投影完备逼近格式q 是z 中的f u z z y 有界开集，算子s 连续、有界且 f i c o ( s ) 令q = f l r 、x 。0 e z + ) 若对v , - f i 。，y 石，使 线瓯一级y 日( k - - c o ) ， ( 3 4 ) 都必存在 k ) 的收敛子列 k ，使 寸x 磊，s x = y ( 3 5 ) 则称s 关于r 是a - p r o p e r 的 注3 3 ： 在定义3 2 中，( 3 4 ) 式与( 3 5 ) 式等价于：若对v k ) c 五、， ，e x ，使 第三章模糊赋范空回上a - p m p c r 映射的广义拓扑度 绒瓯一y - * 8 ( k 一) ， ( 3 6 ) 都必有 的收敛子列 存在 事实上，由于鲰y 斗y ，故( 3 4 ) 式与( 3 6 ) 式等价另外，设k - - - x ， 则石五由( 3 2 ) 式与s 的连续性知，对v 口( o ，1 】，有 i 陵一线眨s 吖| | 瓯- s 茁 i ：专o ( _ j 寸m ) 由( 3 6 ) 式，即s x = y ，( 3 5 ) 式成立 定义3 。3 设p ，m ，厶r ) 是满足( 冀一2 ) 的完备的，a 俘r = 以，或 为x 的 一个投影完备逼近格式，s 关于r 是a - p r o p e r 的q 是x 的f u z z y 有界开集且 五c d ( s ) ，pg s ( m ) 用z 表示整数集，z = z u - - - a o ，佃 定义广义拓扑 度d e g ( s ，q ，p ) 为 d e g 。, ( s ，q ，p ) = ，ez i j 站 的子列 魄 ，使 d e g ( 级s ，q ，鲰( p ) ) _ ，j ， 其中d e g ( q s ，q 。，q ( p ) ) 是有限维空间以中连续映射q s ：或寸五 b r o u - w r 度 注3 4 ： 当珂充分大时( ，l ) 必有q ( p ) 舞q s ( a q 。) 否则，e 铀。 c a q 使级s ( h ) = 绒( p ) 根据s 的a - p p e r 性，必j k c ，使一 x m ，且= p ，这与pg s ( 硷) 矛盾从而当胛 n 时，d e g ( o o s ，吸，幺( p ) ) 有意义，所以d e g , 印( s ，q p ) 是z 的一个非空子集 定理3 1 设( z ，厶r ) 是满足( 足一2 ) 的完备的刷s r = 以，q 为z 的 一个投影完备逼近格式若映射s ：i t ，其中t 为紧算子，i 为恒等算子，q 苎三兰堡塑堕蔓皇囹圭垒里竺竺堕盟堕墨堑盐堕一 是x 的翮有界开集且五c d ( 丁) ，p 圣s ( o n ) 则s 必是a p r o p e r 的，且 d e g 却$ ，q p ) = d e g ( s ，q ，p ) ( 单元素集) ( 3 7 ) 其中d e g ( s ，q ，p ) 是x 中映射s 的l e 缈s t l a u d e r 拓扑度 证明设( - 3 4 ) 式满足，即对v 口( o ，1 1 ，有 慨一q f x 。- y l i ：一o ( 七一o 。) ( 3 8 ) 由于r 为紧算子，对磊c 磊c d p ) ，则j x ，j 匕 h j 使砜寸蚝仨z 于是由( 3 8 ) 、( 3 3 ) 与( 3 1 ) 式及引理1 2 ( 2 ) ( 3 ) ，j = ) ( o ，口】，有 l i x , 、- ( y 慨) | = s i i x , 一q t x ，- y 纠陂a ，圳： 董h 一瓯砜一y 川| q ，t x 嘲) 眨 + l 陂一y 。i i 一- ，0 故 k ) 收敛于) ，+ ) ，。于是s 是a p r o p 髓的 下证( 3 7 ) 式成立 q r 连续、有界且满足幺r ( 石) 是z 的一个有限维子集，由定义3 l 可知， 对忱磊，t x x ，有g a 专a ( 疗- - o o ) ，即v 占 0 ，3 n , o ，g c n n 1 ， 有l l o r x - r x l l ： 1 ( 3 9 ) 根据b r o u w e r 度的简化定理，3 v 2 0 ，对雄 2 ，有 d e g ( 1 - o r ，甜删，包p ) ) = d c g ( ，一q r ，q 。，qp ) ) = d e g ( q s ，q 。，q ( p ) ) ( 3 1 0 ) d e g ( i - o r ，q 删，幺p ) ) - - d e g ( 1 - q t + p - q ( p ) ，q ，p 1 ( 3 i i ) 设v r 【o ，1 】，执五万，曩( 工) = ( ，一q r ) 工+ f ( p 一幺( p ) ) ，贝u 丑3 o ， 对行 m ，必有p 诺 。( 船删) 事实上，若p ，( 施陋o ) e o ，1 】) ，则存在 刀 的子列 鸭 ，气“o ，1 】，及 x n , m 川c 铀，使( h ) = p ，即 ( j q j r ) h + ( p 一哦( p ) ) = p o z + ) ( 3 1 2 ) 不妨设玩- - 手u o ，由( 3 1 2 ) 式知， h = q i ( 乃- - n 0 ) + 绒“。一k ( p 一绒( p ) ) + p 一+ p = y oe 施( i 0 0 ) 第三章模糊赋范空间上a - p r o p e r 映射的广义拓扑度 在( 3 1 2 ) 式两端取极限，得( 1 - t ) y o = p ，这与p 仨s ( 勰) 矛盾，因此 p 薯 ，( 副删) 由p 萑 ，( a q ) ，根据b m u w 盯度的同伦不变性邮1 ，知 d e g ( ，一q 丁+ p 一幺( p ) ，q ，p ) = d e g ( 栩，q ，p ) = d e g ，q ，p ) = d c g ( x - q t ，q ，p ) ， v n 3 ( 3 1 3 ) 取= 脚x 1 ，2 ，m ，当疗 n 时，由( 3 9 ) 、( 3 i 0 ) 、( 3 n ) 及( 3 1 3 ) 式，得 d e g ( q s ，q 。，q ( p ) ) = d e g ( i - q t ，q ，q ( p ) ) = d e g ( 1 - q t + v q p ) ，q l 删，p ) = d e g ( 1 - q r ，q ，p 1 = d e g ( s ，q p ) 即 d e g ( s ，d p ) = d e g ( q , s ，哦，q p ) ) ，v n n ( 3 1 4 ) 由( 3 1 4 ) 式及定义3 3 ，结论成立证毕 注3 5 ：定理3 1 说明，在完备的f n s 中，a - p r o p e r 映射是紧映射场的一 种推广，其广义拓扑度是l e r a y s c h a u d e r 拓扑度的一种推广 定义3 4 设p ，| | | | ，厶r ) 是f n s ，q ( x ) 是 o ，l 】磊( f 【o ，1 】，苫五) 上的连 续有界算子若对任何点f 0 o ，1 】，v s 0 ，口( o ，1 】，j 艿 0 ，当0 i t t o i 万 时，都有 慨( 石) 一民( 刮 o ，对于任何f ：o ( f ) 时，对v f k ，r 】，都有 q 。( p ) 萑q 皿( 硷。) ( 3 i s ) 若不然，则必j 仇) c 以 ，o ( f ) 因此，当o 0 ，当以 n 时，有 包( ，) 萑q s ( 磊、( q 。u g ：) ) ( 3 z 1 ) 若不然，则j c 一 ，或、( 瓯。u 瓯：) c m ( q u q ) ，使级瓯= 婊( p ) ( 七ez + ) 由a p r o p e r 性，存在k ) 的收敛子列k - - ) x o ，瓯= p 由 予磊( q u q ) 是闭集，嘞磊( q u q ) ，与p 萑s ( 五( q u q ) ) 矛盾，故( 3 2 1 ) 式成立 由( 3 2 1 ) 式及b r o u w e r 度的可加性f ”1 知，对v n n ， d e g ( q s ，g ，q ( p ) ) = d c g ( q s ，q 。q p ) ) + d e g ( q s ，q 。q ( p ) ) ( 3 2 2 ) 5 t v r g d e g 印( s ，n , p ) ，j c 珂 ，使 d e g ( 级s ，瓯( p ) ) 一， ( 3 2 3 ) 因此，j 飞) c 体 ，使 d e g ( 级s ，q ，。，q ：，( p ) ) d e g 印( s ，q 。，p ) ( 3 2 4 ) 又同样存在 飞 的子列( 不妨仍设为 飞 ) ，使 d o g ( es ，t l ，：，瓯( p ) ) 一眨ed e g 印( s ，q ：，p ) ( 3 2 5 ) 由( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) 与( 3 2 5 ) 式可得 ，= + d e g 日, ( s ，q ，p ) + d e g 印( s ，q 2 ，p ) ( 当，吒可能为蜘时，规定( 帕) + ( 一) 和( ) + ( 佃) 都可等于任何，z ) 1 9 第三章模糊赋范空闻上a - p r o p a 映射的广义拓扑度 再由，d e g 却( s ，q p ) 的任意性，即得( 3 1 6 ) 式成立 另外，设d 。g 印( s ，q 。，p ) 与d e g 却( s , f 2 ：，p ) 中至少有一个是单元素集，比 如：- 茬：d e g 加( s ，q ，p ) - - - , o ，则有 d e g ( q s ，q 。幺( p ) ) - - , r o ( n - - , o o ) ( 3 2 6 ) 此时，老g r e d e g # ( s ，q 。，p ) + d e g a ( s ，q ：，p ) ，贝l j r = r o + 吃，且j 吩 t - 门) ， 使 d o g ( o s ，q ，：，瓴( p ) ) 专吃( ， o o ) ( 3 2 7 ) 于是，由( 3 2 2 ) 、( 3 2 6 ) 及( 3 2 7 ) - - - 式知，d e g ( q s ，q ，q ( p ) ) 专+ 吒= ， ( ，- o o ) ，所以，e d e g 印( s ，q ，p ) 因此，有 d e g a 。( s ，q ，p ) + d e g # ( s ，q ，p ) c d e g 印( s ，q ，p ) ( 3 2 8 ) 由( 3 1 6 ) ( 3 2 8 ) 两式可得( 3 1 7 ) 式成立 ( 4 ) 在( 3 ) 中，令q l = o ，q 2 = q o ，贝0 磊、q 。= 孬、( o u q o ) 又d e g 印( s ， q 。，p ) = de g 印p ，g ，p ) = o 于是，由( 3 1 7 ) 式知 d p g 印( s ，q p ) = d p g 却( s ，q ，p ) + d e g a p ( s ，q ，p ) = d e g 印( s ，q ：，p ) = d e g 印( s ，p ) 证毕 3 2 模糊赋范空间上e 一紧映射的不动点定理 b a n a c h 空间中p l 一紧算子是一类重要的非线性算子，其不动点理论对于求 解相应的算子方程有十分重要的作用近年来，许多学者研究了此算子的不动 第三章模糊赋范空间上a - p m p c r 映射的广义拓扑度 点存在性，并推广了著名的舢眈锄定理m 。2 ”本节将在用恪中提出对应的f l 一 紧映射概念，并得出该映射的一些不动点定理其中有些是第二章中某些不动 点定理在e 一紧映射上的推广，同时也得出第二章中a l t m a n 不动点定理的推广 形式 定义3 5 设p ，| | | | ，上 震) 是满足( r 一2 ) 的完备的刷s q 是x 戢j f u z z y 有 界开集，映射s 满足西c o ( s 1 ( 1 ) 若对v 五o ，映射s + n l 是a - p r o p e r 的，e t n g ：f i = o ( s + , u 1 ，则 称s 是e 一紧映射 ( 2 ) 若给定， 0 ，对v 矗，映射s 一2 1 都是a - p r o p e r 的，且满足孬c d ( s - 彳，) ，则称s 是e 一紧映射 注3 6 ：定义3 5 ( 2 ) 中，当，= i 时，对应的s 称为f l 一紧映射 由于用临中a - p r o p e r 映射是连续、有界的，故e 一紧和e 一紧映射都是连续、 有界的 注3 7 ：由定义3 2 与3 5 ，可得以下结论： ( 1 ) 若s = i - t ，丁为紧算子，且西c d p ) ，则s 是e 一紧映射； ( 2 ) 若s 为紧算子，磊c d ( s ) ，则对v ， o ，s 是f r 一紧映射 事实上，由定理3 1 知( 1 ) 中的sa - p r o p e r 的，则根据定义3 2 ，对0 ， 筇也是a - p r o p e r 的于是，v 2 o , s + 兄，= ( 1 + 五) ( ，一番i 丁) 是a p m p e r 的n f 4 t 也，( 2 ) 中，对v 丑r 。，s 一盯= 一a ( ，一i 1s ) 是蛳p c r 的 引理3 1 设( x ，l | | i ，三，r ) 是满足( r 一2 ) 的完备的月晒，s 是f 一紧映射q 2 1 第三章模糊赋范空同上a - p r o p e r 映射的广义拓扑度 是x 的f u z z y 有界开集且口q ，五c d ( s ) 又比a q ，v 五o ，有 s x + 2 x 口( 3 2 9 ) 则( s ，q ，口) = 1 ) 且血+ q ，使= 目 证明令曩( x ) = ( 1 一t ) s x + t x ，v t o ，1 】，x 五由于s 是e 一紧的，贝l j h , ( x ) 在【o ，1 】磊上连续 对【o ，1 ) ， = ( 1 一r ) s + t ，= ( 1 一，) ( s + 击， ，由于击。，根据s 的 e 一紧性，知嚏在磊上是a - p r o p e r 的由定理3 1 知，啊= i 是a - p r o p e r 的又 x 目 t o ，t e 0 ，1 】，x e 孬，由引理1 2 ( 3 ) 及引理1 5 ( 3 ) ，v 口( o ，i 】，j = ( 口) ( o ，口】，有 m x ) 一氏( 砘- - 1 1 0 0 t ) s x 一( t o 一州： s l f o 一l l l s z l ；+ 1 1 0 一 1 l x i ； ( 蝎+ m ：) l t o f f ， 其中蝎= s ；u 。ps x 一：，鸠。磐：对v 占 o ，取o j 砀了6 - 面，当o p f o i 万时，有慷 ) 一氏( x ) 眨 1 令 g = “墨= 取，则由r ( m ) c 磊知，g 五，j 要x 1 - - - - - f l g ，= 去且o 0 ，t 吏n ( 8 ，岱) 亡q 又g 五，由定义1 2 ， 则砂q ，使 b ，一g 眨 1 - f i 占，即f ，i ，一 g l j 二 ( 1 - t z ) 占 i 对e t y + n ( ( 1 一t z ) e ，口) ，有x = 秒+ ( 1 一t 1 ) y o ，l k 贬 1 时，( t - 1 ) 。 ，- 1 ； ( 3 3 1 ) ( 2 ) 0 r ，+ 1 ( 3 3 3 ) 证明 ( 1 ) 令厂o ) = 耻一1 ) q + 1 ，f 1 则e ) = 七窖一1 ) 。4 矗一1 l 时，厂e ) ( 1 ) = o ，即( r 一1 ) 。 广一1 ( 2 ) a c g ( t ) = ( 1 一r ) 。一l + t ，f 【o ，l 】，贝g ( ，) = 七( 1 一f ) 。1 + 打一= 矗。1 一 七( 1 一旷1 当o f 1 一f ，即o r 三2 时，g ，( r ) o 且只在，= 兰时为o ，贝t i g ( f ) 在 。吾 上单调递减于是g ( ，) g ( 。) = 。，。 r 蔓圭当l r 1 一，即j 1 ，s 1 时， g ( f ) 。且只在f = 三时为。，则g ( f ) 在b ，1 上单调递增于是g ( f ) g ( 1 ) = 。， 妻r 1 从而，f ( o ，1 ) 时，有g ( f ) 1 又 口q ，故x 0 0 在( 3 3 1 ) 式中，令t = 硒，于是j 届( o ，别，对v 口( o ，届1 ， 有l l x 。l l ： o 3 a 而对k 1 ，有 ( 一而盯= 而一而吖= 一1 叫k x 。+ ) 1 ，有 ( i l 强一x f f + ) z ( f 盼蛙) ( 8 戤眨) 一( 删e ) 于是可得( 3 3 4 ) 式成立，从而满足定理3 5 的条件因此，玉q ，使t x = x 。 证毕 第三章模糊赋范空同上a - p r o p e r 映射的广义拓扑度 注3 1 0 ：推论3 1 和推论3 2 是f n s 中关于紧算子不动点的r o t l l e 和 p e 乜- y s h y n 定理，即引理2 。6 ( 2 ) 和( 1 ) 在f l 一紧映射上的推广 推论3 3 设p ，l h l ，l ，r ) 是满足( r 一2 ) 的f j 哂，r 是紧算子q 是x 的 f u z z y 有界开集且口q ，五c o c r ) 又3 e ( o ，1 】，对v 口( o ，】，x e 触， k 1 ，有t x 工，且