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扬州大学硕士学位论文 4 2 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的 研究成果对本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明本 声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：强 签字日期：力略年厂月少日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅本 人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文同时授权中国科学技术 信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会 公众提供信息服务 学位论文作者签名：强酥 签字日期： 扩年r 月矽日 导师签名： 签字日期：少矿年歹月少日 嵇绍春b 锄h 空间中脉冲微分方程适度解的存在性 中文摘要 脉冲微分方程可以描述物体在连续的发展状态下在某些时刻发生跃变的过程 由于其在理论物理、种群动力学、控制论等方面有着重要的应用，近年来受到广泛 的关注和研究九十年代初，作为古典的初值条件的推广，非局部条件在一些物理 问题的促进下得到了发展l b y s z e w s k i ，j h l i u 等学者在非局部条件的研究中做了 前期工作 在考虑半线性脉冲微分方程解的存在性和可控性的时候，已经取得的许多结果 都依赖于线性算子半群的紧性或者等度连续性，对脉冲函数也有紧性的要求彳艮多 时候我们难以判断一个半群是否为紧半群，本文讨论的时候降低了对半群紧性的要 求，对脉冲函数的限制也适当放宽 本文讨论在半群没有紧性甚至等度连续性的情况下，带有非局部条件的脉冲微 分方程的适度解我们主要运用半群理论、非紧测度的方法、多值分析和不动点定 理来解决这一问题本文主要分两章，分别讨论单值和多值情况下脉冲微分方程的 适度解的存在性 第一章中我们讨论如下非局部脉冲微分方程 x ( f ) = 彳x ( f ) + ，( f ，石( f ) ) ，【0 ，6 】，f r t ，七= l ，2 ，所， 缸( “) = x ( + 0 ) 一x ( f 量) = 厶( z ( k ) ) ，七= l ，2 ，而， x ( 0 ) = g ( x ) + 而， 其中彳是强连续半群r ( f ) 的无穷小生成元，厶，七= l ，2 ，所是脉冲函数 在1 2 节中，我们先回顾了非紧测度、分段连续函数空间粥( 【o ，6 】；x ) 的相关 知识，然后证明了空间尸c ( 【o ，6 】；x ) 上非紧测度的一个重要性质( 引理2 4 ) 在1 3 节中，我们在分段连续函数空间尸c ( 【o ，6 】；x ) 上运用胸刀幽不动点定理得到脉冲方 程适度解的存在性注意到本章讨论的时候算子半群丁( r ) 不需要是紧半群，对函数 ，厶也没有紧性的要求，这改进和推广了相关结果 扬州大学硕士学位论文 2 第二章中我们讨论了带有脉冲的半线性微分包含( 又称多值微分方程) 的适 度解的存在性 ，( f ) 彳( f ) x ( f ) + f ( f ，x ( f ) ) ，f 【o ，6 】，f ，七= l ，2 ，朋， 缸( 气) = x ( “+ o ) 一x ( ) = 厶( 工( ) ) ，七= 1 ，2 ，拧， x ( o ) = g o ) + 而， 其中 彳( f ) ) f 【。，川生成一个发展系统 u ( ，s ) ：o ，j ) ) ，是多值映射( 也称为集值映 射) 在2 2 节中，我们主要介绍了多值映射的相关知识2 3 节中我们讨论了g 为全 连续算子时适度解的存在性，利用z ( 【o ，6 】；x ) 中半紧集的性质( 见2 2 节中定义2 3 ， 引理2 2 ，引理2 3 ) ，在不需要发展系统 u ( ，j ) ：0 ，s ) ) 的紧性和等度连续性的条 件下，给出了适度解存在的充分条件( 见定理3 1 ) 在2 4 节中，我们利用多值映射 的压缩映射原理，给出了g l i p s c h 砣连续条件下，脉冲微分包含的适度解的存在性 ( 见。定理4 1 ) 关键词：脉冲微分方程；适度解；微分包含；非局部条件；非紧测度；不动点定理 嵇绍春b 撕a c h 空问中脉冲微分方程适度解的存在性 3 a b s t r a c t 霹1 ei 融p u l s i v od i 蠢e f e n l i a le q u a t i o n sc a nb eh s e dl o 搬饿l e lp 酌e e s s e sw h i 曲a r e s u b j e c t e dt 0a b r u p tc h a n g e sa ts o m em o m e n t si nt h ec o n t i n u o u se v o l u t i o n d u r i n g r e l ：c n ty e a r s ，也e 饿秽o f 也ei 搬p u l s i v ed i 壤粒n l 融钧u 越i q n sh a sb 嘲雒。埒e 醢o f e x t e n s i v ea t t e n t i o n 跏di n v e s t i g a t i o nb e c a u s eo fi t sw i d ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n si nm a n y f i e l d ss u c ha sl h e 0 嗽i c 鑫l 盐y s i e s ，p 印u l a t i 锄d a m i e s 勰dc o n 锄l 馥e o 辑触馕e b e g i n n i n go f9 0 s ，1 c h en o n l o c a lc o n d i t i o n ，w h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a l i n i l i a lc o n d i i o n ，w a sm o t i v a 敏感b yp h y s i c a lp b l e m s 。t h ep i o n e e r i n gw o 呔o nn o n l o c a l c o n d i t i o ni sd u et ob y s z e 、s k i ，j h l i u ，e t c he s i d e r a t i o no f 氇ee x i s | 雒c e 勰dc o n 的l l a b i l 姆o fi 翔p u l s i v ed i 毹r e n t i a l e q u a t i o n s ，m 锄yr e 跚l t sd 印翎do nt 1 1 e m p a c n l e s so re q u i c o n t i n u 埘o ft h eo p e 删t o r s c m i g r o u p 黼da l s 0 h a v ec o 獭p a c 耄f e q u e s t 重oi 糯p u l s i v e n c t i o n s s i n c ei t i s q u i t e d i 檬c u l tt od e t e r m i n ew h 柏e ras e m i g r o u pi sc o m p a c t ，w et 够t or e d u c et h er 鹎u e s tt o 饿ec o m p a c t n e s so f 蛐i g 婶a t 饿es a m et i m e ，w em a k e 1 0 w 嚣r e l 蹦“o n st 0 i m p u l s i v e 如n c t i o n s bm i sw o r kw e 如a lw 诳l 诹ei m p u l s i v ee q u 砒i o n sw i t hn o n i o e a lc 伽d 琵i o n s ，w i t h o u 毫 砺ec o m p a c 搬e s so re q u i c o n t i 删时o ft h eo p e f a t o rs e m i g r o u p o u rm a i nt i d 0 l sa r et h e o 哆 o fo p 黜r s e m i 罂l o u 轨m e 弱l l 瓣so fn o 霞烈啊l p a c 蛾e s s ，臻u t i v a l u e da n a l y s i s 秘dt h e 矗x e d p o i n tt h e o t h e r ea r c 铆oc h a p e r si nt l l i sw o r k ，、讳i c hd i s c u 豁t h ei m 】，u l s i v e 蜘u a t i o n s o fs 迦g l ev a l u e d 觚“o n s 秘dm u t i 亿n c t i o n s ，r e 掣c t i v e l y 1 nc h a p 睡e ro n ew ed i s c u s st | l ei m p u l s i v ee q u a t i o n sa s 稻l l o w 硒舀 嚣( f ) = 么x o ) + 歹( f ，x ) ) ，f 纛【o ，6 】，f 事以，菇= l ，2 ，柳， a # ( f 女) 寻x i + o ) 一x o i ) = j t ( x ( ) ) ，膏= l ，2 ，脚， 菇( 妨孑g ( 砖+ 而， i nab 弧a c hs p a c ex h e r e4i st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fa s t r o n 羽yc o n t i n u o u s 扬州大学硕士学位论文4 s e m i g m u po f b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sr ( f ) ，f o i nab 黼a c hs p e ，厶，露= l ，2 ，册 a r ei 攥p u l s i v ef u n et 主o n s i ns e c t i o n1 2w ef i r s tr e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n df i a c t sa b o u tt h em e a s u l e so f 鑫熊雒鑫e 镳e s s 雒di 糕t e 凇l 一湖蛀翦珏跚s 觚髓i 溅s 瓤尹c f 侥6 】；x ) 。l 魏凌i ss e c 量i 翻鼹 i m p o n a n tp r o p e 啊o ft h em e a s u r e so fn o n c o m p a c t n e s si n 粥( 【0 ，6 】；x ) i sp r o v e d ( s e e l e m m a2 4 ) i ns e c t i o n1 3w eg e tt h ee x i s t 朗c eo fi m p u l s i v ed i 疏r c n t i a le q i l a t i o n sb y m o n c hf i x e dp o i n t 吐l e o r e mi l l 粥疆o ，6 】；x ) w r er e m a 成t h 缴i no u r 即o f 也e 婶e r a 0 r s e m i g r o u pi sn o tn e c e s 鼢r i l yc o m p a c ta r i dw ea l s og e tr i do ft 1 1 ec o m p a c t n e s so f 觚d 五，嘉= l ，2 ，辨罾l i si m p r o v e s 粕de x t e 耐ss o 撤e 妇o w i n gr e s l l l 据 i n c h a p 吒e r1 w ow es t u d yt h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i 彻st ot h ef o l l o w i n g s 蝴i l i i l e a rc v o l u t i d i 毹r e n t i a li n c l u s i 硼， 一) 么9 ) x ) + f ( 六x ( f ) ) ，毯【o ，5 】，f 雾气，七= 1 ，2 ，删， 触( 靠) = x ( 如+ o ) 一x ( 厶) = 五( x ( 气) ) ，后一l ，2 ， 石( o ) = g ( x ) + 而， w h e r e 肿) k o ，6 li s a 钿n i l yo fl i n e a ro p e 咖r sg e n e r a t i n g 锄e v o l u t i o ns y 咖m 酗虢砖：以p 芒厶 鑫蕤蠢，i s 鑫凇l t i 觚c 专i 傩。 i ns e c t i o n2 2w eg i v es o m e 蠡i c t sa b o u tm u l t i v a l u e dm a p p i n g i ns e c t i o n2 3w e m 抵f l l l lu s eo ft l l ep 泖醣i e so fs e m i m p a c ls 黻si n z ( 【o ，6 】；x ) 撇do b 幽t l l e 镪壤c i 鳃lc o | l d i t i o n s 埝t 量l e 暇i s t e l l c eo fm i l ds o l 越i o n s w i l 锄gi sc o 瞄p l 戡l 坶 c o n t i n u o u s ， w i t i l o u tt h e c o m p a c t n e s s 锄d e q u i c 0 珥t i n u 埘 o f。v o l u t i o n s y s t e m 彩g 毋：8 ，砖 ( s e e 善h 怼懋3 1 ) 。琢绞i 潍2 。4 磕ee x i 蛾c e 纽激i l ds o l 溅i o 狂so f i n l p u l s i v ed i 鼎音r 即t i a li n c l u s i o n si so b t a i n e db yu s eo ft h ec o n d e n s i n gm a p p i n gt h e o r e m 岛l l 黻派i 磊l n c t i o n sw h e ngi sl i p s e h i t zc o n l i n u o l l s ( s e e 髓l e o f e m4 1 ) 嵇绍春b 锄a c h 空间中脉冲微分方程适度解的存在性 5 k 叩r o r d s ：i m p u i s i v ed i a e r e n t i a le q u a t i o n s ；m i l ds o l u t i o n s ；d i 仃i e r e n t i a l i n c l u s i o n s ； n o n l o c a lc o n d i t i o n s ；t h em e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s ；f i x e dp o i n tt h e o r e m 扬娥大学硕士学健论文 6 第一章脉冲微分方程在非局部条件下的适度解 1 1 引言 本章讨论一阶脉冲微分方程在非局部条传下的适度解： z ( f ) = 出( f ) + 厂( f ，j o ) ) ，f 【0 ，6 】，r “，七一l ，2 ，押， ( 1 1 ) x ( f 1 ) = 工( + 一x 0 ) = ( x 9 i ) ) ，七= l ，2 ，册， ( 1 2 ) x ( o ) 一g ( 曲+ ， ( 1 。3 ) 其中彳是b a n a c h 空间x 上的强连续半群( 即c o 半群) r ( f ) ( f 0 ) 的无穷小生成元， ，：b 6 】x x ，五c 饼，寿一l ，2 ，掰；g ：彤 ，6 圭x ) 一x 脉冲方程可以用来描述物体状态的跃变，在越来越多的数学模型中表现出它 的重要性，例如在控制论、种群动力学、生物医学等领域有着许多应用，近年来受 到广泛的关注和研究，见 1 3 菲局部问题的研究开始于b y s z e w s k i 4 5 ，由于在某些具体的物理问题如热 传导现象中，非局部问题比古典c a u c h y 问题有着更好的应用效果，近年来关于非 局部问题解的存在性、唯一性以及稳定性引起了许多学者的兴趣 4 5 讨论了 ，g 满足l i p s e h i t z 连续条件下，方程适度解的存在性和唯一性许多作者对此进 行了进一步的研究并取得了一些较好的结果，其中我们参考了 6 8 x u e 6 f a n 8 在半群z ) 失去紧性条件下，对菲脉冲的半线性微分方程进行了讨论。 对具有非局部条件的脉冲微分方程的研究，据我们所知还不多，l i u 9 讨论了 脉冲蘧数五是毛主p s e h i t z 连续时方程的适度解的存在性和唯一 性，c a r d i n a l i r u b b i o n i 1 0 用分段讨论的方法研究脉冲方程的适度解本文在半 群即) 不是紧半群的情况下讨论方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的适度解的存在性，创新之处在于 讨论空闻粥( 【o ，嬲；x ) 上非紧测度的性质( 见譬l 理2 垂 ，用非紧测度和不动点的方 法来研究方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的适度解，不仅避免了方程的解在每个小区间上分段讨论 嵇绍春b 锄a c h 空间中脉冲微分方程适度解的存在性 7 的复杂性，而且对脉冲函数也无紧性和l i p s c h i t z 连续的要求，从而推广了 9 1 0 中的相关结果 本文给出了在g 为全连续和l i p s c h i t z 连续条件下，方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的适度解 的存在性定理半群r ( ，) 为紧半群或者为紧算子的情况是本文的特例 扬州大学硕士学位论文 1 2 预备知识 设伍，i | | 1 ) 是实b a n a c h 空间，为方便讨论，我们引入下列记号： = 【o ，6 】，以= 【o ，l 】，以= 瓴，+ 。】，七= 1 ，2 ，肘， a = 书t 乏l ，其中o f 2 o 时等度连续 引理2 1 ( 1 2 ) 令，= 陋，6 】，日= x ：，一e 强可测) 且日为可数集若存在 m ( ，) 上( ，；r + ) 使得对诋日，有忙( 刮| o ，3d fc p c ( 【o ，6 】；肖) ( f = l ，2 ，1 ) 使得d ：0 口，满足 砌聊尹c ( 口) 2 如( d ) + 2 嚣，在此引理证明中巍硼彤( ) 表示船( 【o ，6 】；x ) 中有界集的直径，靠硼( ) 表示x 中有界集的直径。 于是v 芒融醚，d ( f ) = u 譬( 尹) ，且蘸蝴叠f ) ) 壤翩k 织) o ，有d k 黑_ p 擎，其中c c ( 以，x ) ，嘛( 岛) 2 z ( d k ) 十2 s 此时，我们得到矗上的连续函数族q ，u = l ，2 ，) ：上的连续函数族 叠，歹= l ，2 ，强) ；厶上的连续爱数族歹= l ，。 令p 是从 o ，l ，2 ，删 到的映射的集合，其定义为 p = ：( 七) f l ，2 ，心) ，七= o ，1 ，2 ，辨) ，显然夕为有限集，其元素个数为 荐= 氇强。我们构造 见= x p c ( 【o ，6 】；x ) ：x l 螺喀砝1 ) ，露= o ，l ，坍 ， 扬州大学硕士学位论文 1 2 可见dc u 见= u 口 v 矧，2 ，疗，锄盯口2 器卜y 卜舞。群。一y 圳 = 。嚣e 蔓。耋盟。忙l y 以0 。罢黔。( 2 z ( dk ) + 2 f ) 由s 的任意性可知，v f = 1 ，2 ，疗，旃绷p c ( p ) 2 。鳃譬。z ( d 1 以) ， 所以，缸( 。) 跏( 自口) 。器蔓，z ( 。k ) 结论得证 注由证明过程可以看出，当引理2 4 中( 2 ) 的条件成立时，有 z 陀( d ) 2 恐琶z ( d k ) 2 思麓z ( d ( 以) ) 2 恐琶翟z ( d ( ，) ) 由等度连续性的定义容易得到： 引理2 5 若半群丁( r ) o o ) 是等度连续的，口( s ) z ( 【o ，6 】；r + ) ，则算子族 f 丁。一s ) 厂( s ) 西：8 厂( s ) i | 口( s ) ，口名j 【o ，6 】 在【o ，6 】上是等度连续的 下面介绍本文主要使用的不动点定理， 引理2 6 ( 1 3 )( m o n c h 不动点定理) 设e 为b a n a c h 空间，d c 层为闭凸集， d ，：d d 为连续映射，若满足m o n c h 条件，即 c c d 可数且c c 历( ) u ( c ) ) 蕴涵着c 是相对紧集， 则厂在d 中至少有一个不动点 嵇绍春b 柚a c h 空间中脉冲微分方程适度解的存在性 1 3 1 3 主要结果 这一部分，我们给出方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的适度解的存在性定理为了讨论方便我 们可以令而2 o ，肘2 妻品刚丁( f ) i l - 先作以下假设 ( 剧) 么生成的强连续半群z ( f ) p o ) 是等度连续半群： ( 可) ( f ) 厂：【o ，6 】x 一彳满足c a r a t h e o d o r y 条件，即执x ，厂( ，z ) 可测：对于 口名j 【o ，6 】，( f ，) 连续： ( i f ) 存在搠( f ) z ( 【o ，6 】；天+ ) 和递增函数q ：彤一f ，使得 l 矿( ，x ) 忙册( ，) q ( 删) ，v f 【o ，6 】，x x ； ( f f ，) 存在可积函数厅刀( 【o ，6 】；r + ) ，豇对任意的有界集d c x ，有 z ( ( f ，d ) ) | l ( ，) z ( d ) ，v ，【o ，6 】 ( 矾) ( f ) 五c ( z ，x ) ，七= l ，2 ，所： ( 甜) 存在非负递增函数厶( 七= l ，2 ，所) 使得忆( x ) | l o 为常数 定理3 1 若假设( 倒) ( 可) ( 心) ( 磁) 成立，则脉冲微分方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 在 条件 刎+ m q ( x ) ，+ m 厶( z ) l i ms u p j 佃 扬州大学硕士学位论文 1 4 和 2 m 删f + m 厶 o ，使得刎+ m q ( 尺) 恻i 。+ 肘( r ) r ，即 垤，0 馓k 足 第三步，验证m 0 n c h 条件成立 假设d c 乓可数，d 历( o ) u g ( d ) ) ，下面证如( d ) = o 不妨设d = 毛 坤l 。c 最 先说明 丁( ，一气) 厶( x “) ) ：x 毋 在每个以( 七= o ，l ，2 ，朋) 上等度连续 l o q qj 显然 丁o 一气) 厶( x “) ) ：x 在山= 【o ，f l 】上等度连续( 实际上此时集合中元 l o “ 0 ， l 丁( h 二气) 厶( x ( 气) ) 一丁( 卜气) 厶( x ( ) ) 0 1 l o ，+ o q q 扬州大学硕士学位论文 1 6 l r o + 办一气) t ( x ( 气) ) 一r + 办一气) 厶( x ( 气) ) l l o 嗨f + 女 露q 7 # 十l ，+ 矗一气) 五( x ( 乓) ) 一r 一气+ ) 五( x ( i ) ) l l l 妊，o 氇# 乳量砷m 啪( 删) i 谋陋m 训叫) ) 厶( 比) ) 瞻 对不等号右端第一项厅一o + 时，一致收敛子o ，垤琢：右端第二项由于z ( ，) 是等 度连续半群且恢( x 以) ) 忙磊( 陀) ( 灭) 即 五o ( 如) ) ：x e 琢 为有界集，所以 蠡哼o + 时，一致收敛于o ，魄坟圊理可证明磊一矿时， l 。毛巾m 小蝴一。邑邓叫确( 矗) ) | | 致收敛于o ，坛曝于是 l l o 冬墙o o ，这就是假设 ( 日9 7 ) 的简单情形 下面我们接着考虑g 是l i p s c h i t z 连续函数时的情形 ( 玩”) g ：尸c ( 【o ，加；x ) 一x 是l i p s c h i t z 连续函数，其l i p s c h i t z 常数为三， 即i g ( x ) 一g ( y ) 0 工8 工一y i ，c ，垤，少尸c ( 【o ，6 】；x ) 和 定理3 3 假设条件( 倒) ( 形) ( 地) ( 吻”) 成立，则脉冲微分方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 在 l i ms u p 工 m ( 厶+ 峙( 。) 8 + q ( 列k l 。+ 喜( x ) ) 尬+ 2 圳地+ 膨厶 o ，使得g 昧c 砍 v f 【o ，6 】，x 廓， l l ( 礅) ( ，) i l o ，使得协岛，i 良8 朋r 即呱c 昧 第三步，朋如拍条件成立 令d = 而) ：。c 乓，d c 历( o ) u g ( d ) ) ，下面证明如( d ) = o 设g = g l + g 2 ，其中 ( g i x ) ( f ) = 丁( f ) g ( 力，( g 2 x ) o ) = j ：丁( ，一s ) ( s ，x ( s ) ) 凼+ r o 一厶) 厶( x ( ) ) o o ：君可以被石中有限个半径不超过，的球覆盖； 为x 上的h 锄s d o f r 非紧测度 空闻x 上的融蝾。馑菲紧测度我们记为z ( ) ，艇( 吟6 】；x ) 上的h a u s d 。霞j # 紧 测度我们记为z 辨( ) 。 非紧测度的性质可参见第一章1 2 节的相关内容 引理2 1 ( 1 ) 若d c 即( 【o 6 】；x ) 有界，则挈裴z ( d ( f ) ) 缸( d ) ，其中 f l 珏。夯l d o ) = x ( f ) ：x d ) c x ； ( 2 ) 若d c 尸c ( 【q 参】；x ) 有界，且在每个区间以( i j = o ，i ，2 ，柳) 上等 度连续，则肠( d ) = s u pz ( d ( f ) ) f 毫l 珏，辛l 引理2 1 的具体证明见第一章引理2 4 我销再圜颥一下集值映射的相关志容。集值映射，：融6 卜争尹( z ) 称为是强可测 的，如果阶梯映射只：【o ，6 卜争尸( x ) ，l l 逐点收敛于f ，对口成r 【o ，6 】每个强可测 映射f 决定一个强可测选择：【o ，6 】专x ，即是强可测的且 ，0 ，( f ) ，露名【o ，硅 集值映射，：【o ，6 卜争p ( x ) 称为可积的，如果满足f 有可积选择，即对任意 f 【o ，6 】，厂( f ) f ( ，) ，且g 岔( 【o ，6 】；x ) f 称为是积分有界的，如果存在一个可积函 数珑) 毯z 【锈刍】；震+ ) 使得l f 0 ) l s 印 | | g l ：鬈f 0 ) 掰( f ) ，嚣髫。f 【毽杏】 嵇绍春b a l l a c h 空间中脉冲微分方程适度解的存在性 为了给出方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的适度解的定义，我们先回顾脉冲方程单值的情形， x ( f ) = 彳( f ) x ( f ) + ( f ，x ( f ) ) ，f 【o ，6 】，f ，七= l ，2 m 缸( ) = x ( + o ) 一x ( ) = 厶( x ( ) ) ，七= l ，2 ，刀 工( o ) = g ( x ) 方程( 2 1 ) 一( 2 - 3 ) 的适度解定义为如下形式， ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) x o ) = u ( f ，o ) g ( x ) + f u ( f ，s ) ，( j ，x ( j ) ) 凼+ u ( ，) t ( x ( ) ) ，v f 【o ，6 】 o “ r 不失一般性，在方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 中取而= 0 令& 。= z ( 【o ，6 】；x ) ：( f ) ，( f ，材( 嘞，口卫，【o ，6 】) 容易知道品，。是非空 集当且仅当撬删( 【o ，6 】；r + ) 类似的，可以给出脉冲微分包含( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的适度解的定义 定义2 2 函数x 尸c ( 【o ，6 】；x ) 称为脉冲包含( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的适度解，如果满足 ( i ) 工( ) = 矽( f ，o ) g ( 工) + f 髟( f ，j ) ( s ) 毋+ u o ，) 五( x ( 厶) ) ，f o ，6 】，七= 1 ，2 ， 其中厂品 ( 打) 工( o ) = g ( x ) ( f f f ) 缸( ) = x ( c ) 一x ( ) = 厶( x n ) ) ，七= l ，2 ，聊 定义2 3 对 z ) 二。cz ( 【o ，6 】；x ) ，如果满足 ( f ) z ( f ) ) 二。在x 上是相对紧的，对口七f 【o ，6 】 ( f ，) j z ( 【o ，6 】；天+ ) ，使得罂0 z ( f ) 0 s ( f ) ，对口七r 【o ，6 】 则称 z ) 二。是半紧的( s e m i c 0 m p a c t ) 引理2 2 ( 【1 2 】) 每个半紧集在_ ( 【o ，6 】；x ) 中是弱紧的 扬州大学硕士学位论文 2 6 对广义的白材c 砂算予g ：z ( 【o ，6 】；彤) 一c ( 【o ，6 】；x ) ， ( 醪) ) = ( 箩，s ) ，( s ) 蠡 ( 2 苟 有下面的性质( 分别见【1 2 】中定理4 2 2 ，定理5 1 1 ) ， 弓l 理2 3g 是( 2 霹) 式定义的广义的c a n c h y 算子， j ：，c f ( 【o ，6 】；x ，若存在 ，7 p ( 【o ，6 】；影) ，使得骝i 五( f ) i ( ，) ，z ( 五( ) 二，) 兰节( ) ，膳名 【o ，6 】，则 v ，【o ，6 】有z ( ( 锈) ( ，) ) 二。) 2 m f 刁( s ) 幽，其中m2 恶8 u ( f ，s ) 0 ，z 是h a u s d o r 行 菲紧测度。 引理2 4g 是( 2 4 ) 式定义的广义的c a n c h y 算子，如果 z 二，c 三l ( 【o ，6 】；x ) 是 半紧的，则 ：。在c ( 【o ，6 】；x ) 上是相对紧的同时，若弱收敛到，则 酝_ 够，箨。 嵇绍春转a n a c h 空阅中脉冲微分方程适度解的存在性2 7 2 3 当g 全连续情形 这一部分我们给出g 是全连续算子( 连续的紧算予) 时，方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 适度解 的存在性。 我们作如下假设： 辑汹么硷0 妨生成一个强连续的发震系统 移( f ，s ，砖衅+ ( 舰) ，：【o ，6 】一( x ) 满足 ( 力，是靴砌阳如秒上半连续的，即垤g 石，映射，( ，功： o ，6 】一臻( z ) 决定了 一个强可测选择；对鑫e 。鹣翻，集俊映射弹，- ) ：z _ 磊是上半连续的； ( 彬存在脚( ，) 苣z ( 【o ，6 】；尺+ ) 和递增函数q ：足+ 一尺+ ，使得 f f ，x ) 8 = s u p i 陟i ：y 聊，x ) ) 删) q ( | | x 移，v 【o ，6 j ，x x ； ( 蝴存在可积函数纛 f ( 眩醒；彤) ，使褥对任意的有界集艿c x 有 z ( f ( f ，曰) ) 办( ，) z ( 聊，口甜，【o ，6 】 ( 避) 厶：x 寸彳是连续的紧算子，并且存在非负递增函数磊( 竞= l ，2 ，掰) ，使得 l | 五( x ) l 蕊磊( 1 x 1 ) ，奄= l ，2 ，嬲，x r ( 题) g ：p c ( 【o ，6 】；x ) _ 肖是全连续算子，且恬( x ) 忙，( 陀) ，v 膏尸c ( 【o ，6 】；x ) ， 其中y ：舻j 灾+ 为菲负递增函数 注在假设( 腰) 条件下，可以褥如对坛舔x ，& 。，是非空的 引理3 1 ( 【1 9 】) 如果g 是紧算予，假设( 胛) 成立，曰是c ( 【o ，6 】；z ) 中的有界集， 则v f 芒【o ，6 】，有 z ( p 。) g ) + 拶