清华大学微积分考试真题6.pdf

作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 1 of 3 微积分 b(1)第六次习题课题目（第八周） 微积分 b(1)第六次习题课题目（第八周） 1设 + = 00 0 1 cos )( x x x x xf 在0=x处右连续但右导数不存在， 则的取值范围是 a 0 b 10 d 1是常数。证明：( )f x在 , a b上恒为常数。 12设)(xf在),(ba内有定义，且在),( 0 bax 处可导.数列, nn yx满足条件： 00 limlim,xyxbyxxa n n n nnn =,1p q 并且 11 1 pq +=.利用 x ye=为下凸函数,证明: pq ab ab pq +. 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 1 of 9 微积分 b(1)第六次习题课题目参考答案 微积分 b(1)第六次习题课题目参考答案 （第八周） （第八周） 1设 + = 00 0 1 cos )( x x x x xf 在0=x处右连续但右导数不存在， 则的取值范围是 a 0 b 10 d 1；又因为 x x x fxf xx 1 coslim )0()( lim 1 00 + = 不存在，所以1. 3设)(xf在0=x的某邻域内有定义，)()(xfxxf=，则)(xf在0=x处可导的充分必 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 2 of 9 要条件是 （a）)(lim)(lim 00 xfxf xx + =. （b）)(lim 0 xf x 存在 （c） )(xf在0=x处连续 （d） )(xf在0=x处可导 解 选(a).（可导概念，导数与左右导数的关系） 因为 )(lim )0()( lim)0( 00 xf x fxf f xx + + = =， )(lim )0()( lim)0( 00 xf x fxf f xx = =， 所以)0()0( + =ff的充要条件是)(lim)(lim 00 xfxf xx + =. 4.( ), ( )f x g x在 +(,)上有定义，对任意的hx,有)()()()()(xghfhgxfhxf+=+ 成立，且1)0()0(, 0)0()0(=fggf，求)(x f 解 （导数定义） 。)( )0()()0()( )0()()()0()()( lim )()()()()( lim )()( lim)( 0 00 xg fxggxf h fhfxgghgxf h xfxghfhgxf h xfhxf xf h hh = += + = + = + = 5.已知 = = 0, 0 , 0, 1 sin )( 4 x x x x xf，求)0( f 解 （高阶导数定义） 因为 = = , 0, 1 cos 1 sin4 , 0 , 0 )( 23 x x x x x x xf 所以 0 1 cos 1 sin4lim )0()( lim)0( 2 00 = = x x x x x fxf f xx . 6如图，)(),(xgxf是两个逐段线性的连续函数，设)()(xgfxu=，求) 1 ( u 的值. 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 3 of 9 解 （导数的几何意义，复合函数的求导法） 由 于) 1 ()1 () 1 (ggfu=， 且 4 1 )3()1 (, 3) 1 (, 3) 1 (=fgfgg， 所 以 4 3 ) 1 (=u 7.导数运算 （1）)(,ln)(xfxxf=求； 解 （分段函数求导，导数定义） 因为 = = 是常数。证明：( )f x在 , a b上恒为常数。 证明： 0 , xa b，由于 1 0 0 0 ( )() | f xf x m xx xx ，两端令 0 xx 由于 0 1 0 lim |0 xx xx =，因此得到 0 0 0 ( )() lim0 xx f xf x xx = （如果 0 x在区间端点，那么极限 认为是单侧极限） ，即 0 ()0fx=。所以( )0fx，得到( )f x在 , a b上恒为常数。 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 7 of 9 12设)(xf在),(ba内有定义，且在),( 0 bax 处可导.数列, nn yx满足条件： 00 limlim,xyxbyxxa n n n nnn =,1p q 并且 11 1 pq +=.利用 x ye=为下凸函数,证明: pq ab ab pq +. 证明：1）)：当2n =时，右端命题为上凸的定义，显然得到( )f x为 , a b上的上凸函 数。 )：由于( )f x为 , a b上的上凸函数，即 121212 , , ,0,1x xa b +=均有 1 1221122 ()()()fxxf xf x+，下面用第一数学归纳法证明： 当2n =时， 命题成立； 假设当(2)nk k=时命题成立， 即对k个数命题成立， 当1nk=+ 时， 1 121121 1 , , ,0,1 k kkkki i x xxxa b + + = = ll 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 9 of 9 1 12211 12 11211 111 12 11211 111 12 112 111 () (1)() 111 (1) ()() 111 (1)()()() 111 kkkk k kkkk kkk k kkkk kkk k kkk kkk fxxxx fxxxx fxxxf x f xf xf x + + + + + + + + =+ + + l l l l 11 112211 () ()()()() k kkkk f x f xf xf xf x + + =+l 因此，两个命题是等价的。 2）由lnyx=为上凸函数， 12 ,0 n a aa l，则 12 1212 1 ln(lnlnln)ln n n nn aaa aaaa aa nn + += l ll 所以有 12 12 n n n aaa a aa n + l l； 由 12 111 ,0 n aaa l，对这n个数同样有： 12 12 11