（基础数学专业论文）两类平面上分形集的hausdorff测度.pdf

华侨大学2 0 0 5 扁硕l 学位论文 两类平面上分形集的h a u s d o r f f 测度 摘要 本文讨论两类平面上的分形集的h a u s d o r f f 测度的计算问题，第 一类是系统地研究了各种相似比的s l e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测 度：当相似比。：l 2 时，通过构造特殊的j 覆盖，再利用h a u s d o r f f 测度的齐次性质，得到h a u s d o r f f 测度的个先进的上界估计，并通 过提出“直径分区法”获得其较好的下界估计：当n t ( ，i 2 ) 时，根据 迭代函数系统的吸引子理论，得到了s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度的连续性；当。t ( o ，1 3 时，利用投影法和c a n t o r 集的结构，得到 了s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度的准确值另一类则讨论了文 1 中提出的一类特殊的自相似分形集( 我们称之为“方形花状”分形集) ， 通过构造估计公式来褥到它的h a u s d o r f f 测度上乔，而后应用前文中 的“直径区分法”，并通过质量分布原理有效地估计了它的h a u s d o r f f 测度下界 关键词：分形集，h a u s d o r f f 澳1 度，s i e r p i n s k i 垫片，自相似压缩 注：本文相关结果均己发表在华侨大学学报，福州大学学报等学术期上 华侨大学2 0 0 5 届硕士学位论文 t h eh a u s d o r f fm e a s u r e so ft w okin d s o ff r a c t a is e t so np i a n e a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ep r o b l e mo nc a l c u l a t i o no ft h eh a u s d o r f f m e a s u r e so ft w ok i n d so ff r a c t a ls e t so np l a n e f i r s t l y , t h e h a u s d o r f fm e a s u r eo fs i e r p i n s k i c a r p e t sw i t hv a r i o u s s i m i l a rr a t i oi ss t u d i e ds y s t e m i c a l l y ：w h e ns i m i l a rr a t i oa = i 2 w eo b t a i n a na d v a n c e de s t i m a t i o no fu p p e rb o u n d a r yo ft h eh a u s d o r f fm e a s u r e t h r o u g hc o n s t r u c t i n g s p e c i a l 5 - c o v e ra n d u s i n g t h e h o m o g e n e o u s p r o p e r t yt h eh a u s d o r f f m e a s u r e a n dab e t t e rv a l u eo fi t s1 0 w e rb o u n d a r y i s g e t v i a “m e t h o do fp l o t t i n g d i a m e t e r ”；w h e n a ( 1 3 ，i ，2 ) ，b a s i n g a t t r a c t o rt h e o r yo fi f s ，w eh a v et h ec o n t i n u i t yo fh a u s d o r f fm e a s u r em a p ； w h e n 口e ( o 1 3 】，t h ea c c u r a t ev a l u eo fh a u s d o r f fm e a s u r ei sf o u n du s i n g f r a c t a lp r o l e c t i o na n dt h es t r u c t u r eo f c a n t o rs e t s e c o n d l y ，w ed i s c u s sae s p e c i a lf r a c t a l ，n a m e d “s q u a r ef l o w e r ”，i n r e f e r e n c e 1 】t h r o u 曲s e t t i n gu p a l l e s t i m a t i n gf o r m u l a ，a l lu p p e r b o u n d a r yo f i t sh a u s d o r f fm c a s u t ci s g a i n e d ；a tt h es a m et i m e 、w ea l s o e s t i m a t e e f f e c t u a l l y i t sl o w e r b o u n d a r yu s i n g “m e t h o d o f p l o t t i n g d i a m e t e r ”m e n t i o n e da b o v ea n dt h et h e o r yo f q u a l i t yd i s t r i b u t i n g k e y w o r d s ：f r a c t a ls e t s ，h a u s d o r f f m e a s u r e ，s i e r p i n s k ic a r p e t ， s e l f - s i m i l a rc o m p r e s s i o n n o t e ：r e s u l t si nt h i sp a p e rh a v ea l r e a d yb e e np u b l i s h e do i l “j o u r n a lo fh u a q i a ou n i v ” a n d “j o u m a lo f f u z h o uu n i v ”e t c y 7 3 4 2 0 8 l 、“密级”请根据论文的实际情况在“无、密级、机密、绝密中根据导 师的意见选择填写。 2 、原创性声明论文使用权说明格式如下： 华侨大学2 0 0 5 届侦：l j 学位论文 引言 自然界大部分不是有序的，稳定的，平衡的和确定的，而是处于 无序的，不稳定的，非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非 线性过程自然界中出现的诸如云层的边界，山脉的轮廓，雪花，海岸 线等“不规则”的几何形体以及诸如流体力学当中的湍流，物理中的 临界现象与相变，化学中酶与蛋自质的构造，生物中细胞的生长，工 程中的信号处理，噪声分析等出现在自然科学的不同领域中的大量不 规则”几何对象都难以用经典几何描述无论在理论上还是实践中，即 使在近似的情形下，都难以导出可处理的模型，然而，分形几何恰为研 究这些所谓的“病态”现象提供了有力工具， 1 9 7 7 年 u a n d e l b r o t 将前人的研究结果进行总结，集其大成，发 表了奠基性的著作 2 ，提出了分形的三要素：构型，机遇和维数1 9 8 2 年又出版了著作 3 3 ，这两部著作标志着分形几何遍入现代新兴学科之 林从此，分形几何引起数学界和其他科学界的极大关注，被誉为“开 创了二十世纪数学的重要阶段”分形几何( f r a c t a l ) 的创立突破了 经典几何的框架，为研究大量不规则的几何对象提供了思想，方法和 技巧，从某种程度上讲分形理论揭示了菲线性系统中有序与无序的统 一，确定性与随机性的统一分形理论使人们能以新的观念，新的手段 来处理许许多多难题，透过扑朔迷离豹无序的混乱现象和不规则的形 态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律以及局部和整体之间的本质联系 分形的研究对象是具有标尺不变性的自相似和自仿系统所谓的 标尺不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，得到的 放大图又会显示出原图的形态特性也就是说，不论是将分彤放大或缩 小，它的形态，复杂程度，不规则性等各种特性均不会发生变化而自 相似性是指系统的某种结构或特征从不同的空间尺度或时间尺度来看 都是相似的，或者局域性质或结构和整体类似 分形几何的研究所借助的主要工具之一是分形的许多形式的维数 例如波恩大学数学家h a u s d o r f f 引进的h a u s d o r f f 维数就在研究分形 中起到了重要作用，因丽它又被称为分形维数m a n d e l b r o t 在1 9 8 2 年 提出的分形集的定义正是：h a u s d o r f f 维数大于其拓扑维数的集合另 华侨大学2 0 0 5 届硕十学位论文 外还有计盒维数，填充维数等，这些维数用以度量一个分形的不规则和 碎裂程度，从几何角度看，则反映了集合的填充空间的能力，是描述 集合分形特征的重要参数分形几何研究的另一个重要问题是计算分 形集的h a u s d o r f f 测度它推广了长度，面积，体积等类似度量的概念 通常在给定了适当的“尺度”，即维数的情况下，希望测量的结果是正 有限的。 1 9 8 1 年，h u t e h i s o n 于文 4 把用“相似”递归步骤产生的自相 似集的方法一般化，绘出了开集条件( o p e ns e tc o n d i t i o n ) 的定义 满足开集条件的自相似分形的h a u s d o r f f 维数，计盒维数，填充维数 均与其自相似维数相等，其中自相似维数是容易计算的，且在此维数 下分形的h a u s d o r f f 测度是正有限的b a n s l e y 和d e m k o 于1 9 8 5 年文 5 引入了产生和分类分形集的统一方式：迭代函数系统( i n t e r a c t f u n c t i o t i ss y s t e m ) 许多经典的分形可以利用i f s 产生，如c a n t o r 三分集，s i e r p i n s k i 垫片等关于i f s 数学理论及应用方面的专著， 以b a n s l e y 文 6 为代表f a l c o n e r 在文 7 的定理4 中蕴含了很好的 结论：对于一个一般的自相似分形( 不必满足开集条件) ，它的计盒维 数，h a u s d o r f f 维数，填充维数是相等的这不仅使得对于些分形集 的维数计算变得容易，而且对讨论分形的测度带来很大方便。 事实证明分形集的h a u s d o r f f 测度的确定仍然是一个有一定难度 的问题，迄今为止甚至连一些经典的分形的h a u s d o r ff 测度的精确值 仍然未知，例如k o c h 曲线和s i e r p i n s k i 垫片等文 8 深入研究了各 种m o r a n 集，得到了它们的h a u s d o r f f 维数和测度的基本结论文 9 、 1 0 则对直线上满足一定条件的自相似压缩系统予以讨论，给出了由 这些系统决定的分形的h a u s d o r f f 测度精确值的计算公式但是对于 平面上分形集的研究成果却为之甚少，因为平面上分形集的结构较之 直线上的分形集要复杂的多要想计算一个平面上的分形集的 h a u s d o r f f 测度的精确值是十分困难的，然而一个自然的想法是，通 过估计它的上下界来逼近其精确值文 1 1 在讨论s i e r p i n s k i 垫片时 最先利用自相似分形h a u s d o r f f 测度的性质，提出了通过构造自然覆 盖，再对其进行适当的改造，进而估计分形集h a u s d o r f f 测度上界的 方法文 1 2 则通过构造特殊的集合覆盖，以建立先进的估计公式用以 计算自相似分形的h a u s d o r f f 测度的上冕。但是估计分形集h a u s d o r f f 测度的下界却非易事，并没有一个系统化的通用方法 华侨火学2 0 0 5 届硕士学位论文 本文内容安排如f ： 第一章介绍h a u s d o r f f 测度与维数及其相关性质；第二章介绍自 相似压缩系统与开集条件和强分离条件；第三章系统地讨论了各种相 似比参数的s i e r p i r i s k i 垫片，并分别运用构造覆盖、直径分区、垂直 投影等不同的方法得到了一系列较 1 3 、 1 4 、 15 更先进的结果： 第四章则针对文献 i 中所介绍的一个特殊分形集( 我们称之为“方形 花状”分形集) 进行了细致的考查，采用区别于第三章的方法讨论它 的h a u s d o r f f 测度的上下界 华侨大学2 0 0 5 届硕1 ：学位论文 第一章h a u s d o r f f 测度与维数 1 1 h a u s d o r f f 测度及其性质 设r ”为。维欧氏空间用i e i 表示r 一的任意子集e 的直径，即： 1 日= s u p d ( x ，y ) 1 e y 日 用i 表示e 的闭包，e o 表示e 的内部，t e ，表示e 的凸包若f c r ”， e f 表示e 与，的差集 设5 ，0 ，集合x 的一个可数子集族“= i i - l 2 ， 满足u 名。3 e t 且对任意a d 有0c i a ls j ，则a 称为e 的一个可数j 一覆盖 设e r ”，s 0 ，对任意d0 ，定义 h ；( 点) = i n f 。：口为e 的可数占一覆盖) 注意到作为d 的函数，- g ( s ) 单调非减，从而当再一0 时，它趋于一个极 限，定义 h 。( e ) 2 煦；( e ) h * f 日称为e 的s b a u s d o r f f 测度，它的值可能为0 、l i e 有限或正无穷 如果0 ch 5 ( e ) c m ，则e 称为p 集 对于给定的j ，0 ，集合的j h a u s d o r f f 测度满足一下性质： ( i ) ( 单调性) 当f c e 时，。( f ) 0 ，映射f ：f _ + r m 满足 i 厂( z ) 一，( y ) l ，卜一y 。 其中x , y f 则对于每一个s ，0 ，有 h 。( ( f ) ) s ，8 1 1 。旷) 证设 u ，i 一1 2 是f 的一个5 一覆盖因为l f ( f n u ，) l sr i “，故 _ 厂( f n u ，) i i = l ，2 ，) 是，( ) 的一个一覆盖，其中s = r 5 “于是 三i f ( fr 、u 1 ；s ，i ，i 从而 二 h 。；( ，( f ) ) ! r 。h 1 ( f ) 显然当5 _ 0 时，+ 0 故 h 8 ( ，( f ) ) ，。片。( f ) 口 定理中的条件l ，( z ) 一f ( y ) l - f i x 一) 4 。被称为“阶赫尔德( o h o l d e r ) 条件，特别当口= 1 ，即存在r ，0 ，使得 l ，( z ) 一，( y h , i x 一州 称为，满足l i p s e h i t z 条件特别的，当0 c ，c 1 时，称为压缩映射 且易见 5 ( ，( f ) ) r h “( f ) 若映射f ：f _ r 4 满足条件：存在，0 ，对于任意t y f 有 l f ( x ) - f ( y ) j = r t x - y l 则称厂是自相似映射当o c 川c 1 时，称，为自相似压缩映射，为压缩 系数 推论1 3 设e 是r ”的子集，映射f ：f _ r ”为自相似映射，则 h 5 ( ，( f ) ) = r h “( f ) 1 2h a u s d o r f f 维数及其性质 对于给定集合e c r “，由h a u s d o r f f 测度的定义易见h5 ( d 是关于 s 的减函数，即当5 ，f ，0 时 。( e ) = jh ( e ) = 。 h ( e ) = 0jh ( ) = 0 华侨大学2 0 0 5 塥坝l ：学位论文 因此可以定义集合e 的h a u s d o r f f 维数d i m 。e 为： d i m e = i n f s j h l ( e ) = 0 ) = s u p s i h ( ) = 从而 t ，i 。s d i m e 卜0 d i m ：e 若s = d i m 。e ，则h ( e ) 可以为零或者为无穷或者满足 0 h 1 ( 岳) ( h a u s d o r f f 维数满足一下性质： 引理14 若e ，f cr ”，且e c f ，则 d i m e d i m f 引理1 5 设涵，e ：， 是r ”的子集构成的集族，别 d i m 一( u e ) 2s u p d i m h 引 引理1 8 若e c r ”，满足阶数为a 的赫尔德条件，则 d i m f ( e ) _ i d i m 月e 推论1 7 若映射满足l i p s c h i t z 条件，则 d i m ，( e ) d i m e 推论1 8 给定e cr ”，若映射，满足双l i p s c m t z 条件，即存在 - ，o ，使得0 _ ( m ，对任意的 y e 有 l x y l ，( x ) 一，( y ) l r 2 l x - y l 则 d i m h ，( ) = d i m e 由此可知，h a u s d o r f f 维数是双l i p s c h i t z 条件下的不变量，从而 对于自相似映射有d i m 。( ) ：d i m 。e 对任意e cr ”，其h a u s d o r f f 维数计盒维数与填充维数之间有以 下关系： d i m ue s d i m p e d i m _ _ 皇e s d i m s e 其中表示e 的填充维数，与分别表示e 的上下盒维数关于计盒维数与 填充维数的详细定义可参见 1 6 6 华侨大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 3 质量分布原理 由h a u s d o r f f 测度及维数的定义可立即得到它们的一个上界估计 定理1 9 设e c ， u 。) 。( 女1 ) 为e 的一列d + 覆盖，j 。_ 0 如果 存在正常数列c ；，使得对任意k ，。p 。，i 。c + 且l i m i n f qt m ，则 h 。( e ) o o ，从而d i m e s 由此可见对于h a u s d o r f f 维数的上界估计，可以通过考察一些特 殊的覆盖得到，但对于下界的估计却不太容易，为此我4 l 引入“质量 分布原理” 首先就其中涉及到测度论方面的有关知识做一介绍 定义1 1 设是一集合，的子集族b 称为x 的一个一一代数，如 果满足： ( 1 ) x b ： ( 2 ) e 占蕴含一e eb ； ( 3 ) e 。e b ，n l 蕴含u 。e b ： 定义12 设b 是x 的o - 一代数集函数：b 【o ，。 称为一个测度 如果满足： ( 1 ) ( ) = 0 ： ( 2 ) 如果瓦b ，”1 ，且e 。彼此两两不相交，则 ( u 。e 。) ：e 。( e ) 定义1 3 设( j ，d ) 是个度量空间，则称包含的所有开集的最小 的d 一代数为上的b o r e l 一集类 定义1 4 设e e x ，称e 对于测度是一可测的，如果对于任意 a c x ，有： ( 一) = ( 爿n e ) + ( 彳一e ) 如果所有的b o r e ! 一集类是p 一可测的，则称p 是b o r e l 一测度 定义1 5 设爿为r “上的b o r e l 一测度，则的支撵是指使( 刷一e ) ：0 的最小闭集e 支撑在e c r ，上的正有限b o r e l 一测度声称为e 上的一个质量分布 定理1 1 0 设s 0 ，一是e c r ”上满足j 阶赫尔德条件的质量分布， 华侨大学2 0 0 5 届硕二l 学位论文 即存在常数c ，以及d0 ，使得 i k u ) d 州 对所有满足川d 的集合u 都成立，则。( e ) p ( e ) c 证任取e 的d 一覆盖 u ， ，则 0 c ( e ) c ( u u ，) 删，) c 川 从而，；5 ( e ) ( e ) c 又因 。( e ) h j5 ( e ) ， 即得h 。( e ) ( d c 8 华侨大学2 0 0 5 届硕士学位论文 第二章自相似集与开集条件 2 1 自相似压缩系统与不变集 设e 是r ”的非空紧子集s ，s ：，s 。是有限多个尺“+ r 一的自相似 压缩映射_ ，：，h 分别为s ；一s 一，s 。的自相似压缩系数记 p = ；s l ，s 2 ，s ) 我们称p = ；s ，s ：，s u ) 为一个自相似压缩系统，对于自相似压缩系 统我们也简记为 蝇，s ，s ) s ，n ，2s ，i s ，2 s 。 其中i g i ，s ，= l ，2 ，- - p n s , 。- 是e _ e 的自相似压缩映射，用n 表示其 压缩系数，n s 。，。= 兀：， 对于x er ”，a c r ”，点x 与集台之间的距离d ( 五月) 定义为： a ( x ，爿) = i n “x ，y ) y 一； 给定e ，o ，a r ”，a 的。一邻域( a 的一平行体) a 。定义为： a 。= 扛：以x ，彳) f 显然a ea 。 设c 表示表示r ”的非空有界紧子集，在c 上定义h a u s d o r f f 度量 d 。如下： d ( “，口) ；s u p 矾x ，c ) ，a ( y ，爿) ：x a ，y eb ，a ，b e c 这样d 。( 一，8 1 s 当且仅当a e b 。和b e a 。同时成立易证d 。是c 上的一 个度量对于h a u s d o r f f 度量d 。有如下性质： 设，是r ”一r ”的自相似压缩映射，则 ( i ) d ，( 厂( “) ，( b ) ) = r d 。( 爿，宦) ( i i ) d h ( u 。_ 。u 。b ) = s u p 。 d 。( 月，e ) ) 其中a ，b ，4 ，b ，c ，f ， 设p = 抑。；s ，s 一，s u ) 是r ”_ r ”的个自相似压缩系统，压缩系数 为1 ，_ ，对侄意e cr ”，记： 妒。( ) = e ，“日= l s ( e ) ，s ，( ) ：e 9 华侨大学2 0 0 5 届硕t 学位论义 则 对p i ，记p ”( ) 且k 。，l r 。，。吲故当g 是有界集时，有 , ! i e _ l e 。，。卜。 定义2 1 ：设妒= r ”；s 。，s ：，s 。) 是r ”_ r ”的一个自相似压缩系统 若存在子集k 。使得c a ( k ) = k 则称k 是由妒决定的不变集 对于不变集我们有如下定理： 定理2 1 设e 是r ”的非空紧子集缈= ；s ，s ：，一，s 。 是e _ e 的 一个自相似压缩系统，其相应的压缩系数为r i , ，一，r n 则存在唯一非空 紧子集x c e ，使得研x ) = k ，即k 是p 的唯一不变集 证出于妒： r ”；s 。，s ：，s 。】是e - e 的一个自相似压缩系统，故 c a ( e ) ce ，且 以耻u ? 。岛= u 二蛲。毛 。u h e ，2 c a c e ) 设n ：k 时有c a t ( e ) c 妒( e ) ，则n ： + 1 时： 妒，“( 占) = “伊9 ( e ) ) c 烈矿”。( e ) ) = 妒9 ( e ) 即 c a p ( e ) 是一列非空递减的紧集序列，有非空的交，记= n ：；。妒9 ( e ) 则 烈k ) = n ：妒9 ( ) = r ：。妒( e ) = k 故k 是c o 的不变集 下证唯一性： 若a ，b 都是妒的不变集，则妒( 4 ) = ，烈b ) = b 1 0 则d e 蜕：j i i d 似 儿 妒掣 g o 岛 艮 伊 铲 j 血u 1 1 = d妒 华侨大学2 0 0 5 届颤七学位论文 d h ( ，日) = d ( p ( “) ，p ( b ) ) = d 。( u ! ，s ，( 爿) ，u ! s ，( b ) m a ；x d n ( s ，( “ls ，( b ) ) 2m a ；x r d h ( ，b ) 从而d 。( 4 ，口) = 0 ，即a = b 定义2 2 ：设p = ；s ，s ，s 。 是一个自相似压缩系统，其相应 的压缩系数为r l ，r 2 ，- - - 7 “。则称方程 y “，a ：1 的唯一解a 为由妒所确定的自相似集的自相似维数 2 2 h a u s d o r f f 测度的 生质( 续) 在前一章中我们曾对h a u s d o r f f 测度的某些性质做了介绍，在研 究自相似集时我们知道，针对自相似集的h a u s d o r f f 测度还具有一些 特殊的性质这些性质在本文后瑶的讨论中也起到了至关重要的作用， 这节将对它们予以说明 定理2 2 设k 是自相似系统妒= ； ，2 ，一，) 所确定的自相似集， 对应的相似比为，r 2 ) - - - ) ，则对任意的d 0 ，有 蟛( k ) = h ( k ) 其中s 是k 的自相似维数 证由于k 是由自相似系统妒= ， ，2 ，：， 所确定的自相似集， 故 k = 州k ) = u k 。 设口= u ，：1 鹾m ) 是k 的一个d 一覆盖r 妣k c u ：，u ，从而 k c “k ) c 州u ：u ) c u ：z u t _ _ u 。) = u ! ：u ： ，) 记 p ( a ) = ，( u ，) j ：l ，n ；i = 1 ，2 ，) 由于阮( u ，) l = r ，陟_ m a x r a a ， m a x r ， = ，则妒( 口) 是k 的一个6 一覆 盖，由于 华侨大学2 0 0 5 届硕士学位论文 ：少，) | 。= o i u i = ，v h 2 故 e 。；，( ) 1 5 = 三i u 。f 从而i j ( k ) = h ；( k ) 进而，易见对任意的正整数m ，有 a ( k ) 2 j ( k ) 由于0 0jd i m 。k ：a 其中 k 是出妒所确定的自相似集，a 是k 的自相似维数， 另外，文献 1 7 还证明了一个很好的结论： 定理26 设k 是自相似压缩摹统p = ；s ，s ：，s 。 所确定的自相 似集，则以下三个条件等价： 1 ) 口满足s o s c ( 2 ) 满足0 s c ( 3 ) h a ( k ) 0 ，其中口是k 的自相似雏敷 但h 。( 抒) ) 0 与d i m 。k = 口并不等价，存在当d i m ，k = 口时h 4 ( k ) = 0 的例子， 定义2 5 设妒= r ”；s ，s ：，一，s 。) 是一个自相似压缩系统，k 是由妒 所确定的自相似集，则当妒满足s ( ) n s ( 膏) = ( i 4j ) 时，称k 满足强 分离条件 注：自相似集是否满足强分离性质，往往对其h a u s d o r f f 测度的讨论 的难易程度具有决定性的影响 华侨大学2 0 0 5 届石舅士学位论文 第三章s i e r p in s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度 s i e r p i n s k i 垫片是一类经典的自相似分形集，对于它的h a u s d o r f f 测度尽管一些学者作了深入的探讨，但所得到的结果仍不能说十分 令人满意本章系统地考察了各种相似比参数的s i e r p i n s k i 垫片，并 分别运用不同的方法得到了一系列较先进的结果 3 1s i e r p i n s k i 垫片的构造 在r2 上取一边长为1 的单位正三角形，记为s 。在s 。的各边上从 项点处截取长为ae ( o ，i 2 】的线段，分别连接与同一顶点相邻的两个截点 去掉中间六边形( 当a ：i 2 时为三角形) 的内部，得到由3 个正三角形 构成的集合，记作s ，重复上述过程，如图3 1 示： z 么么 匿3i 口= l ，2 时分骺集的送代生成过程 得到：s 。3 s 。3 3 s 。3 t。 非空集合s = n s , ，称为由s o 生成的相似比为口的s i e r p i n s k i 垫片当 0 时，s ，是由3 “个边长为口。的正三角形构成，称作h 阶基本三 角形 利用自相似压缩系统理论，s 是自相似压缩系统 丘1s 女3 ) 的不 变集，其中r 2 上的三个相似压缩映射如下： 小) = 麟；小一+ r ) “= 甜十i 1 ( 1 痂| - 叫a ) 其中xe s 。，ae ( o ，如它们的压缩比均为a 3 。2 当。：占时，s 的h a u s d o r f f 测度估计 文 1 5 将此时s i e r p i n s k i 垫片的l l a u s d o r f f 测度上界改进到 1 4 牛侨大学2 0 0 5 届硕十学位论文 h 5 ( s ) 0 8 2 8 6 ，而文献 1 8 则得到了它的下界估计舟5 ( s ) ：i 下面，我们 分别通过构造特殊覆盖和提出“直径分区法”，大大地改进了上述结果。 此时垫片的h a u s d o r f f 维数为s = l o g ：3 根据文 13 及定理2 2 ，有以下 引理 引理3 1 ( h a u s d o r f f 测度的齐次性) h ( = ) = 士5 ( s ) 引理32h 5 ( s ) i u 小，其中u = u ，：f o ) 为f 的d 覆盖 引理3 3 5 ( s ) = l u + s 。s ，为误差，可选择u 使得h l 充分小 定理3 4当a ：i ，2 时，o 4 7 4 8 s h ( s ) s o 8 2 1 8 ，j = i o g ：3 证引理3 2 告诉我们能通过构造特殊覆盖来估计s i e r p i n s k i 垫 片的上界如图3 2 中的( a ) 、( b ) 和( c ) 所示，以晶的三个顶点为端点， 在s 。的三边上截取长度等于。的边长1 2 的6 个线段，得到6 个顶点 a i a 2 如a 4 a 5 a 6 ，然后分别再取中点b i b 2 8 3 8 4 8 5 岛如图3 2 ( a ) 将a i 五放大为 图3 2 ( b ) ，再将a g , h ，。放大为图3 2 ( c ) ，在图3 2 ( c ) 中得到顶点c 1 和 凸同理对称的位置能得到顶点c 2 d 2 c 3 d 3 c 4 d 4 c s d s c 6 d 6 ，顺次连接各项点得 到一个十八边形：a i b i c l c 2 8 2 a 2 a 3 8 3 c 3 c 4 8 4 , t 4 a s b s c 5 8 6 c 6 a 6 a i ，记为d 。通过比较， 。的直径为： d 。= i a 4 b 。l = m a 。卜i a i b i 2 厂1 一 = 扣2 + 学) 2 厂1 万 。v 丁+ 予鬲 易见 1 个，1 个，1 个+ 4 ，1 个，2 + a h 川) 是集s h a l l ，h ，e l 的一个自然覆盖则集sc 、( s o a ) 可用 3 个，6 - ， a m ，6 + a m ，6 个， 6 个小1 2 个a 6 个m ，1 2 个a m 来覆盖 由引理3 2 ，设u = ，：娩o ) 是的s 一个覆盖使得。( s ) = l u 小十_ ， 且b l 可以任意小，于是号可盖住由基本三角形。生成的与s 几何相似 的集合古一s ( 简记为事) ，据引理3 1 ，有5 ( 素) = 古h 。( 卯根据s 的自 相似性，可对集合s n ( s 。a ) 的自然覆盖进行适当的改造，我们用集类： 华侨大学2 0 0 5 届硕二忙学位论文 3 个昔，6 个专，6 个黄，1 2 个南，6 个2 u5 一，1 2 + 专) 作为s n 岱0 a 1 的一个覆盖至此，得到s 的一个d 。一覆盖： ” 口，3 个黄，6 个专，6 个2 u “一，1 2 个尚，6 个f u ，j 2 + 舞 由引理3 1 ，3 2 ，3 3 可得： 州踯c j ，一士+ 等hs t 专+ 专一+ 南 + 嘉+ 去+ 刍 邯) - - c u - c u ) + j 而+ f + 歹j l 6 j 由于h l 可以任意小，于是 州踯# 器 固定k ，当”递增时，右边的式子递减因此 职踯譬箬 通过初等计算，上式右边在整数 = 2 时达到最小，从而取k = 2 方可达 到一( s ) 的最小上界所以得到： “( s ) 丽丽5 7 9 2 “o 8 2 1 8 。 再来讨论s 的h a u s d o r f f 测度的下界估计在s 上定义分布函数f ， 满足： f 卢( s 。) = 1 ( ，) = 3 。 n = o j ，2 l ( s ，一s ) = 0 则为s 。上的一个测度且为s 上的一个质量分布对于r 2 上的任意集 合u ，根据它的直径大小，可分为以下各种情形： 情形一当m l 时，显然有p ( s 1 若取铀= = 1 ，则有 ( u ) c o 盯 情形二当三2 s 川t l 时，再进行更细的分区 若l 一去s 。l ，则据图2 ( d ) 和质量分布的定义有：p ( u ) c t 。取 n 7 1 6 华侨大学2 0 0 5 届硕士学位论文 则有一州) sc 1 4 5 ： 若t 一吉一古s p ic 一吉，则据图2 ( d ) 和质量分布的定义有一( “) c ，取 r 了一j 同理有川u ) sc 2 5 ； 以此类推，若，一专一专一击s 川c t 一孝一专，则据图2 ( o ) 和质量分布 的定义有：一( t ，妻一嘉，取 一 二王：。二夏 一 ”一( 一一j ；一j ；一一；。) 5 一 同理有( u ) 川5 如3 ) 为讨论c 。的变化趋势，令连续函数 f ：+ ：) 。+ 5 3 b 简单计算表明，( ，) co ( h 3 ) ，故而c 。是一个单调递减的数歹9 而 r1ii 、 i n 峨l 。了一了一万j2 i 因此对任意满足三；i i 。l 的集合u 有： 2 p ( u ) c 1 4 5 ，其中c = “c 1 , c 2 , c 3 ) = c 2 情形三当丽1 s i u lc 专时，可将“相似放大2 。倍，得到集合u 满足 ；s p + i c ，则据分形的自相似性和质量分布的定义得： ，u ) ；吉i k u ) - 了ic r l 5 = c ( 2 k l u t ) 。= c “7了p 2 了 “剐 综合以上三种情形，对任意的集合u ，都有一( “) sc 。1 4 3 ，其中 c 。：m 州c 旷) = c 从而，由质量分布原理得到：片。( 鄙z i i = 嫒j 0 4 7 4 8r 7 一、10 一 一， 一十 二叫纠一丫 ，l一，一2 2一，l 华侨大学2 0 0 5 届硕十学位论文 a 4 a s a ) c ) g f ( b ) t d ) 圈32 估计f t s u s d o r f f 测度上下界的示囱 其中为了襄示清蜥，并未j 辞蒸奉三角形涤为阴影后面的 示霸一律。( a ) c b ) c ) 为上界估计_ 示圈。( a ) 为荤位正三角 l ( b ) 和( c ) 分别为对应三角骺的放大圈。( d ) 为下界估计示圈， 其中曲迭三角形为不同直径“的示煮围 8 口 a 华侨大学2 0 0 5 届颂士学位论文 3 3 当。e ( ；争时，s 的h a u s d o r f f 测度的连续性 对于a e ( ， ) 时的s ，讨论它的h a u s d o r f f 测度当口变化时整体上 的连续性是有意义的 引理3 5 设溉：1 5ks m ) e 中是满足强分离奈件的自相似压缩系 统，d 的它的不变集如果令 ( 邑) ) = h “”( d ) ， 则h a u s d o r f f 映射一( 母，) _ r 是一致连续映射。巾为r ”中所有自相似 压缩系统构成的度量空间，为定义在中上的度量： 妒( g 。 ， 矗。) ) = m a x ，；。；。s u p i i 以( x ) - g 。( x ) | | ：i i x t l 1 ) ， 为欧氏度量诱导的范数 注此引理见于 1 9 ，由于其证明较繁冗，此处不再赘述 显然，由定义2 5 ，当。s j i ，争时，厶川s s 3 ) 满足强分离条件 即对任意的l ( s ) n ，口，( s ) = ( ，* j ) 从而由引理3 4 ，饥 ) 的h a n s d o r f f 映射一关于相似比参数a 连续 3 4 当a e ( 0 ， 时，s 的h a u s d o r f f 测度的精确计算 在这一节中，针对当a “o ，b 时的s ，利用分形投影的性质，对s 在 直线上进行垂直投影形成一个广义c a n t o r 集在通过c a n t o r 集的性质 得到了s 的h a u s d o r f f 测度的精确值 引理3 6 不变集e = u 一( e ) ，这里s ，( ( j ) = q h 6 ，相似比o 。其中 t 。= s + 。( 0 ) 一s ，( 1 ) ，站+ ，= ( + 口_ ) ：一( 4 ，+ 口。) ，s 为e 的h a u s d o r f f 维数 推论3 7 记线段区间【0 ，1 】上由g ，= ，g ：= + 半，g ，= a c c + l 一口生 成的c a n t o r 集为c ，其中0 口；，则一定有h5 ( c ) = 1 ，5 为c 的h a u s ， d o r f f 维数 证先设0 口 ；，将c 对应于引理3 6 中的e ，易见c 在线段区间 0 ，1 上均匀分布，且s ：一兰，则可得： z 川= 了l - 3 a ，d o + l = ( 口5 十口5 ) ：一( 口+ 口) = 2 ：6 2 一2 口 1 9 华侨大学2 0 0 5 届硕= i 学位论义 经过计算，若要d 。+ ，。，则需且仅需2 “：一】c a ，易解得此不等式 的解集正是0 ( 口 ；再据引理3 6 中的充要条件，可得此时有h5 ( c ) = i c r = 1 而如果口= ；，则显然c 就是线段区间 o ，1 ，自然有h5 ( c ) = 1 n 定理3 8 当。( o ，争时，有日( s ) = 1 ，。= 一器 证将s ，在线段 0 ，1 上作垂真投影，如图3 3 设投影映射为p ， 圈33s i e r p ln s k i 垫片的控影 容易看到垫