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x 型硅压阻式压力 传感器的解析模型研究 【摘要】 一、【压力传感器是一种应用极为广泛的测量和控制仪器元件，有着十分广 阔的应用前景。应用m e m s 技术，可以将压阻式压力传感器制作在硅材料 上，构成集成化传感器，实现大批量生产并降低生产成本。y 本文着重讨论以集成电路和微机械加工工艺相结合而制成的x 型压 阻传感器的性质。x 型压阻传感器模型依赖于数值解，其解不具有普遍意 义。本文首先建立了不考虑引出极的基本型x 型压阻传感器的输出电压定 解方程，引入摄动法，求解出基本型x 型压阻传感器的输出电压的解析 解。然后，在此基础上，得出x 型压阻传感器的输出电压解析表达式。根 据解析表达式得到的解析解与数值解基本吻合，因此，本模型对x 型压阻 传感器的设计有着重要的意义。 【关键词】 m e m s ，压阻效应，x 型压阻传感器，摄动法 安徽人学颧l 学位论文 r e s e a r c ho na n a i y s i sm o d e io f s iii c o nx _ p i e z o r e s i s t i v ep r e s s u r es e n s o r s 【a b s t r a c t 】 p r e s s u r es e n s o r sa r eo n ek i n d0 fd e v i c e sf o rm e a s u r e m e n ta n dc o n t r o ii n m a n yf i e l d s a n dt h e yh a v e b r i g h tp r o s p e c tw i t hm e m st e c h n o l o g y ，p i z e o r e s i s t i v ep r e s s u r es e n s o r sc a n b em a d eo nc u p so fs i l i c o na n db em a d ei n t oi n l e g 旧l ec i r c u i t s ，s op r o d u c i n gi nb u l ka n d d e c r e a s i n gt h ec o s ti sp o s s i b l e t h i sp a p e rd i s c u s s e st r a n s v e r s ex - p i z e o r e s i s t i v ep r e s s u r es e n s o r sw h i c hb a s e do nb o t h i n t e g r a t ec i r c u i ta n dm i c r o m a c h i n gt e c h n o l o g y m o d e l i n go ft r a n s v e r s ep i z e o r e s i s t i v ep r e s s u r e s e n s o r s a l w a y sd e p e n d so nn u m e r i c a im e t h o ds of a ra n dt h er e s u l ti sn o ta l w a y sf i tt oo t h e r o c c a s i o n s w e g i v er h ee q u a t i o n sa b o u tt h eo u t p u tv o l t a g eo fr e c t a n g l et r a n s v e r s e p i z e o r e s i s t i v ep r e s s u r es e n s o r sw i t h o u ts t r e t c hp o l e s ，t h e nw ei n t r o d u c et h em e t h o do f p e r t u r b a t i o na n dr e s o l v et h ee q u a t i o n s a f t e rt h a t ，w eg oo nt og e ta ne x p r e s s i o no fo u t p u t v o l t a g ea b o u tx p i e z o r e s i s t i v es e n s o r st h ee x p r e s s i o n si sf i tt on u m e r i c a lv a l u e so ft h e d e v i c e s s o ，t h ee x p r e s s i o nw i l lb ev e r yi m p o r t a n tt od e v i s i n go fx - p i e z o r e s i s t i v es e n s o r s 【k e y w o r d s 】 m e m s ，p i z e o r e s i s t i v ee f f e c t ，x - p i z e o r e s i s t i v ep r e s s u r es e n s o r s ，p e r t u r b a t i o n 2 安徽大学顾l 学位沦丈2 0 0 3 年5 月 第一章绪论 第1 节传感器的研究意义和发展趋势 一、传感器的研究意义 人与外部世界不断进行交流，需要从外界获得信息，获得信息的渠道 是通过感觉器官来感觉的。但是，人的感觉具有主观性，难以定量，而且 人的感官所能获得的信息的范围和灵敏度都有很大的限制。为了更好地认 识客观世界，人们就创造出用于检测外界信息的元器件，即传感器。 传感器是一种通过把一种信号形式变换成另种信号形式以实现信号 检测的元器件。它的作用与人的感觉器官相似，但它的感觉灵敏度和范围 却可以大大超过人的感觉器官。 近年来，传感器在生产、科研以及社会生活等领域中的作用有着转折 性的变化。随着微型电子计算机和微处理控制技术的发展，能把现实世界 中的各种信息变换成为电信号的传感器越来越成为关键性的器件。人们通 常把计算机比作人的头脑，把传感器比作人的眼、耳、口、舌、鼻。如果 没有各种各样的传感器提供可靠而精确的信息的话，计算机或微处理器控 制就根本无法实现。因此，从信息系统的角度来讲，传感器的研究有着极 其重要的意义。 在信息处理器未出现时，信息的读取、分析和处理以及根据信息进行 控制都是由人分别进行的。随着电子技术的发展，包括电子计算机在内的 各种信息自动处理器涌现出来。电子计算机是一种十分强有力的信息处理 器，其功能十分强大，一台计算机可以同时为许多用户进行信息处理。它 的发展为传感器的发展提供了更多的有利条件，同时也为传感器的发展提 出了更进一步的要求。目前，多功能的微型计算机已大量生产并广泛地使 用，而传感器则处于相对落后的状况，这就好比个人“头脑发达，感觉 落后”。这一现状要求我们尽快发展传感器技术，以适应信息技术的发展 要求。 二、m e m $ 概况 为了适应传感器小型化、集成化发展的要求，传感器越来越呈现出与 安徽人学坝卜学位论文2 0 0 3 年5 月 m e m s 技术相结合的趋势。 m e m s ( m i c r o e l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m ) 即微机电系统，其出现是在以 加工微米及纳米结构与系统为目的的微米、纳米技术取得巨大成功的背景下 应运而生的。人们利用精细加工技术加工出微米、纳米级结构，这一结构在 小型机械制造领域开始了一场新的革命，导致了微机电系统的诞生。 m e m s 将电子系统和外部世界有机地结合起来，可以感受运动、光、 声、热、磁等自然信号，并将这些信号转化为电子系统可以识别的电信 号，并通过电子系统控制这些信号，完成所需操作。m e m s 主要包括微型 传感器、执行器和相应的处理电路三部分，图1 一l 为典型的m e m s 系统与 外部世界相互作用的示意图。自然界的各种信号首先通过传感器转换成电 信号，经过信号处理后通过执行器与外界发生作用。 传感器将自然界的各种信号转换成电信号，以便于处理。执行器根据 信号处理电路发出的指令完成人们所需要的操作。信号处理电路则可以对 信号进行转换、放大和计算等处理。 m e m s 在许多方面具有传统机电技术所不具备的优势。其体积和能耗 都大大减小，可以实现大批量、高精度生产，单件成本低、易制成大规模 和多模式阵列。 1 - 1 典型的m e m s 系统与外部世界的相互作用示意图 目前，制作m e m s 器件的技术主要有三种。第一种是以日本为代表 的利用传统机械加工手段，即利用大型机器制造小型机器，再利用小型机 器制造微型机器的方法；第二种是以美国为代表的利用化学腐蚀或集成电 路工艺技术对硅材料进行加工，形成硅基m e m s 器件；第三种是以德国为 代表的l i g a 技术( l i g a 是l i t h o g r a p i e ( 光刻) 、g a l v a n o f o r m u n g ( 电铸) 安徽大学坝士学位论文 和a b f o r m u n g ( 塑铸) 三个词的缩写) ，利用x 射线光刻，并利用电铸成型 和铸塑形成深层微结构。其中，第二种方法与传统i c 工艺兼容，可以实现 微机械和微电子的系统集成，并适合于批量生产，已经成为目前m e m s 技 术的主流技术。由于利用l i g a 技术可以加工各种金属、塑料和陶瓷等材 料，可以得到高深度比的精细结构，其加工深度可以达到几百微米，因此 l i g a 技术也是一种比较重要的m e m s 加工技术。利用l i g a 技术已经开 发和制造了微齿轮、微马达、微加速度计、微射流计等。第一种加工方 法，则可以用于加工一些在特殊场合应用的微机械装置，如微型机器人、 微型手术台等。 l 、l i g a 技术 l i g a 技术是采用x 射线光刻、微电铸成型和塑料铸模等技术相结合 的一种综合性加工技术，它是进行非硅材料三维立体微加工的首选工艺。 l i g a 技术制作各种微图形的过程主要由两步关键工艺组成，即首先 利用同步辐射x 射线光刻技术光刻出所要求的图形，然后利用电铸方法制 作出与光刻胶图形相反的金属模具，再利用微塑铸制备微结构。l i g a 技 术补偿了表面机械技术的不足，为m e m s 技术提供了一种新的加工手段。 利用l i g a 技术可以制造出由各种金属、塑料和陶瓷零件组成的三维 微机电系统1 2 , 3 1 ，并且得到的器件结构具有宽深比大、结构精细、侧壁陡 峭、表面光滑等特点，这些都是其他微加工工艺很难达到的。 2 、硅基m e m s 技术 以硅为基础的微机械加工工艺也可分为多种，传统上往往将其归纳为 两类，即体硅微加工( b u l k m i c r o m a c h i n g ) 工艺和表面硅微加工( s u r f a c e m i c r o m a c h i n g ) 工艺。由于当前硅微加工工艺的飞速发展，不断有新的工 艺方法出现，许多工艺方法可以同时用于体加工和平面加工，有些方法则 兼具体加工和平面加工两者的特点，很难给予确切的分类。 在以硅为基础的m e m s 加工技术中，最关键的加工工艺主要包括深宽 比的各向异性腐蚀技术、键合技术和表面牺牲层技术等。 m e m s 技术的发展使其应用范围越来越广，从微电机、机器人、加速 度传感器到无人驾驶飞机，等等，都用到了m e m s 技术l a , 5 1 。 三、传感器技术发展的趋势 现阶段，传感器发展极其迅速，并呈现出很多的特点，如：传感器技 安徽人学顺擘位论义 术向量子化拓广，新技术的反馈作用更加明显等等，但最主要的发展趋势 如下： i 、传感器技术向集成化、多功能化发展 以前，大多数传感器都采用分立型，即敏感元件与放大电路( 或测量 电路) 分开，随着半导体技术和m e m s 技术的发展，现在已经把敏感元件 与信号处理以及电源部分制作在同一基片上，从而使测量及信号处理一体 化。这类传感器能大批量生产，尺寸可以做得很小，并且具有结构简单、 重量轻、体积小等特点。 2 、传感技术向智能化进军 自从微型机问世以来，微型机价格的不断下降，功能的不断上升，微 型机已逐步应用到测量技术中，使传感器和测量仪器朝着智能化方向发 展。智能化传感器具有很多特点：数据处理功能、自诊断功能、软硬件相 结合的功能、人机对话功能、接口功能、现实和报警功能及掉电保护功能 等。 3 、传感技术系统化 多位传感、智能传感、光信息传感等，必须构成复杂的传感系统。例 如航空测量中己投入使用的侧视孔径合成雷达及射电天文学中已经运行的 合成性射电望远镜，就是通过多个传感器在计算机中形成虚拟光学成像系 统的新型传感系统。这类系统将向多功能化、小型化、多维化、信息处理 计算机化等方向发展。 作为测量压力的传感器，与其他种类的传感器一样，其制作技术也由 传统的方法改为与m e m s 技术结合起来，即呈现出半导体化的趋势。 四、压力传感器的发展趋势 压力( 压强) 是在科学技术、工业控制和生物医学工程研究中最为广 泛使用的物理参数之一，压力传感器也是使用最为广泛的一种传感器。传 统的压力传感器以机械结构型的器件为主，它利用液柱高度差或弹性元件 的形变来指示压力。其主要的问题是：尺寸大，份量重和不能提供电学量 输出等。随着半导体技术的发展，压力传感器呈现出半导体化的趋势。 半导体压力传感器的发展过程中，早期曾出现过压敏晶体管器件f 三 极管或二极管) ，其封装较为困难，而且容易失效。压阻器件是目前应用 最广泛的半导体压敏传感器，并且由于综合运用m e m s 工艺与集成电路工 安徽大学颂士学位论文2 0 0 3 年5 月 艺，半导体压阻传感器小型化、集成化提供了可能条件，并且使压力传感 器可以具有记忆、判断及处理等功能，实现智能化。现阶段对压阻材料传 感器的研究十分活跃l “7 1 8 1 。目前主要的压阻材料是硅材料。应用最为广泛 的是桥式压力传感器和x 型压阻传感器。桥式压阻传感器在相当的时间里 都被作为压阻传感器的标准电路形式，与之相适应的各种调节电路也日趋 成熟。但是，随着半导体技术的进一步发展，桥式压阻传感器受到了器件 微型化的要求的挑战。和桥式传感器要求四个扩散电阻不同，x 型压阻传 感器使用单一元件，这使工艺要求降低，能做得更小，而且不需要解决桥 式传感器中各臂都相等的问题，故而更容易实现集成化。所以从小型化、 集成化发展趋势这角度来看，x 型压阻传感器有着更大的发展前景。 第2 节本论文的主要工作 x 型压阻传感器具有很多桥式压阻传感器所没有的优点，对x 型压阻 传感器进行研究具有重要的意义。目前x 型压阻传感器的模型还依赖于数 值解。数值解的求解比较复杂，同时也不能很好地满足器件的设计和模拟 的要求。一方面数值锯不便于集成传感器的设计和系统模拟，另一方面， 也不能满足m e m s 建模的要求，此外，数值解不能满足s p i c e 等模拟软件 的要求。本课题以x 型压阻传感器为研究对象，核一心工作是建立x 型压阻 传感器的解析模型，所做工作如下： l 、 简要介绍压阻传感器的工作原理，为进步的工作奠定基础。 2 、 建立基本x 型压阻传感器的定解方程，并引入摄动法，求解方 程，从而建立基本x 型压阻传感器的解析模型。 3 、 考虑引出极影响，建立x 型压阻传感器的解析模型。 4 、 求得x 型压阻传感器的等效网络参数，得到其等效网络模型，并 对x 型压阻传感器的解析模型进行验证。 宜徽大学顺+ 学位论文 第二章x 型压阻传感器原理 及其定解方程的确立 和其他传感器一样，压力传感器的应用十分广泛。并且由于硅单晶材 料优良的压阻效应及传感器小型化的发展趋势，应用m e m s 技术制作的半导 体硅压阻式压力传感器得到了极大的发展。但是，随着半导体技术的进一 步发展，桥式压阻传感器受到了器件微型化的要求的挑战。和桥式传感器 不同，x 型压阻传感器对工艺要求较低，更容易小型化、集成化。 本章将讨论x 型压阻传感器的基本原理及其基本形状下所满足的微分 方程及其定解条件。 第1 节硅的压阻效应 压阻效应反映了材料电阻与受到的压力的关系，这一原理使通过测量 材料电阻来测量外加压力成为可能。由于半导体硅具有优良的压阻效应， 并且可以和微机械加工技术相结合，所以硅被广泛地应用于制备压力传感 器，通过测定硅材料电阻的变化来测定外加压力。 本节主要讨论压力对硅晶体电阻率的影响、条形材料电阻的变化与应 变的关系及硅晶体的电阻变化与应变的关系。 一、压力对硅晶体电阻率的影响 n 型单晶的电导率c r = 似月。立方晶体在不受定向应力时，电导率是 各向同性的。只有受定向应力时才表现出各向异性。当晶单硅受到流体静 压时，电阻率发生变化，但仍保持各向同性。n 型硅电导率随流体静压p 的变化可表示为| 9 | ： d c rd nd n d p 5 q z 一万+ 卵带( 2 - 1 _ 1 ) 其中胛为”型硅中的载流子浓度，q 为电子电量，。为电子迁移率。可 6 安徽大学坝二卜学位论文2 0 0 3 年5 月 见，压力引起电导率的改变包括两部分，其一是导带中电子浓度的变化， 其二是电子迁移率，k 随压力的变化。对前者而言，半导体的禁带宽度和 杂质能级的深度随压力而变，均可引起电子浓度的变化。 1 、禁带宽度随压力的变化 半导体电子能带理论指出，禁带宽度等于电子在晶体中周期性势场傅 里叶级数展开式系数的两倍。当原于距离较小时势场迭加，势场幅值减 小，因而禁带宽度变小。晶体受流体静压时点阵常数变小，禁带变窄。 压力引起禁带宽度变化的系数口( 称为压力系数) 由式( 2 i 一2 j 测定1 9 i ： 1o e 拈亩帚枷( 2 - l 甸 其中e 。为禁带宽度，e 。o 为未受压力时的禁带宽度1 1 l e v , 3 0 0 k ) 。对 于硅来说，温度为3 0 0 k 时， e p 。= 1 1 l e v a = 一2 1 0 5 e v ，m p a 压力为p 时的禁带宽度为 e g = e g o ( 1 + 谢)( 2 1 3 ) 所以 a e = 棚：( 2 1 。4 ) 半导体中电子和空穴的浓度的乘积满足 n ? 3 月p = n ，n ce x p 一( + 皈) k t 一为本征载流子浓度，n c 、n ，分别为导带的有效状态密度和价带的有 效状态密度，k 为玻尔兹曼常数，t 为热力学温度。由于未加压强时的本 征载流子浓度为u 0 1 月? ( o ) = n ，n ce x p ( - e ：k t ) 所以 疗，= 疗，( 0 ) e x p ( 舡。1 2 k t ) 将( 2 一l - 4 ) 式代入上式有 月，= n ，( 0 ) e x p ( 一a p e o 2 k t ) z n ，( o ) ( 1 一a p e ：2 k t )( 2 1 5 ) 由于口 0 ，随压力p 增加，本征硅单晶中本征浓度厅增加。压力引起本 征载流子浓度的相对变化率为i b 堕d p = 一竺2 兰k t ，因为口 w ：且外加电压为k，考虑p ，* p 。，得 横向电压为 e ：丛兰 ：p 、l ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ，方向上开路， f 2 - 2 - 5 1 ( 2 2 - 6 ) = f e y 砂 在电场均匀的条件下，有 陆x 照p o 等k 陋2 _ 7 j 因此只要在硅膜上扩散图2 - 2 所示的x 型压阻传感器，在在左右两电极间 82 图2 - 2 单元件力敏器件 2 安徽大学硕士学位论文 端加上电压以形成电流，就可以在上下电极间得到与施加在硅膜上的压力 成一定关系的电压信号。 第3 节基本型x 型压阻传感器各点电势定解方程及边界条件的确立 在本章第一节，式( 2 2 - 7 ) 给出了无限长基本型x 型压阻传感器输出电 压的计算方法：k ：p o - - 善。但是，这要求器件长度远大于宽度。由于 p o l 集成传感器的发展趋势要求器件微型化，而且器件的输出电压常通过引出 臂输出，所以不能忽略引出极的影响，因而，不能简单地运用式( 2 2 7 ) 来 计算输出电压。为了既能避免使用实际应用中很不方便的数值分析方法， 又能更精确地得到x 型压阻传感器的输出电压，本节将先讨论没有引出极 的x 型压阻传感器所满足的微分方程，为求出更加精确的输出电压的解析 表达式奠定基础。 按第1 节中的方法设立坐标系，则x o y 平面坐标如图所示2 3 所示。 由式( 2 2 1 ) 我们已经知道， v t 。_ - o = 0 0 x 图2 3 横向电压型压力敏感器件的坐标系的选取 ；皇；塑叁兰些生兰垡堡兰! ! 塑兰! ! ! 由j ( 2 1 1 6 ) 可知 即 七p 。 ( 3 = ( 2 ：竺顶z ? 在各量右上角加上撇号表示传感器受压后的值。采用二维近似，只考虑 x ，y 方向上的应力和电阻变化，上式简化为 于是有 良口 由式( 2 - 3 2 ) 可得 墨j = ( 善 + 风 三 p j = p o ( 1 + 万i 盯；+ 石厶仃；+ 玎七) = , o o ( 1 + 卅) p ；= p o ( 1 + 万；1 盯i + ，r ；2 盯；+ 万；6 盯：) = p o ( 1 + c ) p ：= p o ( 万：l 盯：+ 丌仃：+ 万：6 0 6 ) = p o 占 ( ； ( 2 3 1 1 ( 2 - 3 2 ) ( 2 - 3 3 ) ；5 6 盯 盯 仃 盯 盯 盯 uiiiiiihji八 m 拍 托 拍 邓 才 万 疗 厅 丌 厅 邪砌和加和舳巾砌和和膨舶 衙办几砌瓜矶 i i 衙加加以几办用加几加以办 加加加舢扯舭 饥西以加毋以 iiihjjijiiiii几办如廊础砌弛 历加加以瓜础卯和和础弛础巾砌和加廊细加砌砌彻廊阳 历历肪肪所以 岛风岛o o 0 岛岛见成岛风 吼以吼 v i o o o o 八 砌础用加廊 _ o 几臻 既 ) 4 口 0 岛 op ，。l = 、l e b ，l 、， y e e ，i、 、， ，g 6 安徽大学倾卜学位论文2 0 0 3 年5 月 其中 d = 盯o ( 1 + c ) i ，f = 一仃o b i，g = 盯o ( 1 + a ) a l ， l ：i + a + c + a c b2 ，盯。：1 。( 2 - 3 4 ) p o 又根据麦克斯韦( m a x w c l l ) 椭v 。丘：一罂：0 ，所以 o t 8 e 1 8 e ： a z 砂 a e ：a e ： 瑟函 设扩散电阻层厚度为d ，由于孚和攀足够小，所以由上式可知 僦却 e 、髟在o z d 范围内可认为是常数。对式( ! 3 。3 ) 在o z d 范围内积 分： 其中l ；j 7 z 出为x 方向的薄层电流密度，丘= r 比 为y 方向的 薄层电流密度，它们都是线电流密度。如果a ，b ，c 1 ，则： 阱慨烈小 式中盯。、= j 7 c r o d z ，盯，= 一r c r o b d z 为薄层电导率。设器件上各点电 势为妒( 工，y ) ，按定义t 三一掣，e 。暑一掣 可得 戗咖 t q v i i i 0 八 肋 毗 f r 砒 肋 f f ，。l = 、 ，盯，p ， 安徽入学硕士学位论文 懂 l 砂 稳态时，半导体内部电荷积累为零，由电流连续性方程可得 v 了= 一詈= o ，两边积分v p 出= v ，= o ，得 亟+ 生：o 良却 ( 2 - 3 - 5 ) ( 2 - 3 6 1 假砹器件尺寸比腰片囱积小得多，可以认为在整个器件区域内应力为 常数，根据( 2 - 3 - 】) 及仃，= 一r c r o b d z 可知盯。= c o r t s l 。将( 2 3 5 ) 代入 ( 2 * 3 6 ) ，得到计算电势分布的微分方程式。 c r o 鲁+ ：舄慨，窘= 。 陋”， 器件的边界也满足一定的条件，边界条件为： 与x 轴平行的边界： 肛考啊，考= 。 c z 。s ， 与y 轴平行的边界： 肛氐警考= 。 由榀沩界 先不考虑引出极的影响综合 及其边界条件为： f 2 3 9 1 ( 2 3 - 1 0 、 得到定解方程 b 茸 n w ，l i i 、 ，川，”“b 式弘 枷一卜儿乩” 安徽大学硕上学位论文2 0 0 3 年5 月 定解方程 边界条件 警+ 2 0 x y , 茜竹。爹一。 陋，川， 丘l o _ ( 警飞缸= o = 。 删一_ ( _ 盯，罢砜。瓤，k 妒i ，；o = 0 妒j 。= k 本章小节 本章讨论了硅的压阻效应和x 型硅压阻式压力传感器的工作原理。 在此基础上，求得了x 型压阻传感器各点电势所满足的偏微分方程，确立 了边界条件，为进一步求得传感器各点电势奠定了基础。 厂lfj一、jllf一 窒堕查堂堕兰堂丝丝苎! ! 塑笙! 旦一 第三章x 型硅压阻式压力传 感器解析模型的建立 在第2 章所讲到得带有引出极的x 型压阻传感器，由于其边界条件的 复杂性，很难直接求得其精确的解析模型，因此需要通过其他途径来求得 解析模型。本章拟用摄动法先求得基本形状的x 型压阻传感器的解析模 型，再考虑引出极的影响，求得带有引出极的x 型压阻传感器的解析模 型。 第1 节摄动法原理 摄动，本来是一个天文学名词，是指一般的小扰动或影响某一现象的 微小因素，在量子力学中称为微扰( 摄动和微扰在英文里是同个单词， p e r t u r b a t i o n ) 。在应用数学中，一般称为“摄动”。 在力学问题、物理问题和其他工程问题中，我们经常会遇至4 含有小参 量s 的问题只。最常见的是微分方程的定界问题。小参数可以包含在方 程中，也可以包含在边界条件中。通常称这一类含有小参量的数学问题 只为摄动问题。摄动理论是研究这类问题的解法( 渐进展开) 、解的性 质及其与相应的退化问题r的关系，考察只的解能否通过对只的解 加以校正而得到。 设摄动问题是一类含小参量的微分方程的定界问题 p j 上( u , x , 8 ) 2 0 5 i 占( “，s ) = 0 其中，0 s 1 。若摄动问题只( x ) 的解u 。( z ) 能够用一个的幂级数表 不： 虬( z ) u 。( x ) + f ”以( x ) ， 月i 并且在区域q 中一致有效，则称只( x ) 是区域q中的正则摄动问题。 幂级数在区域q中并不总是致有效。如果幂级数在区域q内不 一致有效，则问题称为奇异摄动。奇异摄动是用于研究正则摄动失效时的 安徽人学顽f 学位论文 一类摄动问题。实效的原因很多，这里不再介绍。具体问题的解法可参见 文献l 。 传统的摄动理论中，问题的解均以小参量占的幂级数的形式表示， d i h u a ni - i e 则提出了一种方法，使s 的值的大小不再受限制，使摄动法 的适用范围得到了进一步扩大。 为了进一步说明摄动法解题的方法和步骤，仅举一例加以说明。 例】设含小参数占的代数方程为 “= 1 + 翻3 r 3 - 1 求u ， 当占= 0 时，可以求得甜= 1 当0 h l 时，若设 t = l + 捌l + e2 u 2 + 占3 “3 + 一 ( 3 1 2 ) 则( 3 - 1 2 ) 可以写为 l + 6 , l + e 2 u 2 + s3 “3 + = i + s ( i + 翻l + e 2 “2 + s3 “3 + ) 3 将等式右边展开，等式左边写成g 3 以前的各项得： i + e u l + s 2 “2 + s 3 “3 1 + c ( 1 + 3 e u i + 3 s2 “2 + 3 e2 “l2 ) 即 翎l + 占2 “2 + s3 “3 s + 3 e 2 “l + 3 s 2 ( “2 + “i2 ) 合并s 的同幂次项的系数，得 6 ( u l 1 ) + s 2 ( “2 - 3 u i ) + 占3 ( “3 3 u 2 3 u l2 ) 0 由于上式对所有可以取的s 的值均成立，故只能是s 的各次幂的系数 为零，且由于各次幂的系数所组成的方程各自独立，也不相矛盾，因此可 得 u 】一1 = 0 ， “2 3 u 1 = 0 ， 口3 3 u 2 3 u 】。= 0 由以上三式得 “l2 1 ，u 2 = 3 ，“j = 1 2 ( 3 - i _ 3 ) 将式( 3 1 3 ) 代入f 3 1 2 ) 得方程( 3 1 - 1 ) 的近似解 甜= 1 + f + 3 e2 + 1 2 占3 验证近似解，若取s = 0 0 1 ，代入上式，得近似解为：1 0 1 0 3 1 2。 以此值代入( 3 - l 一1 ) 的右边得 安徽大学颂f 。学位论史 1 + 0 0 1 ( 1 0 1 0 3 1 2 ) 3 = 1 0 1 0 3 1 2 5 6 1 可见，所得解确是方程( 3 1 j ) 的近似解。 第2 节 基本型x 型压阻传感器定界问题的解析解 在第二苹，我们已经得到了基本x 型压阻式传感器的定解方程。在本 节，将运用摄动法求解该方程。 为了方便方程的求解，将方程及边界化为 窘伽鱼o x o v + 窘= 。 融2知2 。 ，妒( o ，y ) = 0 f妒c 三，y ，= k c 盯罢+ 孰= o = 。 l p 警+ 孰旷。 式中盯= 挈，o c r o 0 1 。考虑盯值很小，运用摄动法。 o i “ 令盯= s，方程化为： 边界条件为 窘砌啬等= 。 p z 一” 妒( o ，y ) = 0 妒( 厶y ) = k ( s 警+ o = 0 = o珊钟7 c s 害+ 瓤旷。 、缸却“” 。 功 丝 弛 厂，ilj、，|il 安徽大学f * ! 十学位论文2 0 0 3 年5 月 第3 节x 型压阻传感器的解析模型 x 型压阻传感器是在上述x 型压阻器件的基础上建立起来的。其结构 如图3 1 所示。建立图3 1 中所示坐标系。 y n 图3 - ix 型压阻传感器 对于x 型压阻传感器，我们必须考虑引出极的影响。 根据( 3 2 - 5 ) 可得： l 7 - - ( 盯。罢帆爹 p s - 1 ) 义出( 3 2 1 聊口j 得： 贴2 等s i n c 秘i n n c 抄专薹c o s h c 和 将上式分别对x 和y 求偏导得： 警= 享一等c o s c i 峰+ 专薹c o s h c 劬p ，固 d o v ( 3 3 - 3 ) 上 将y = w 代入式( 3 3 2 ) 和式( 3 - 3 3 ) 可得y = w 的各点的娑及娑的表达 0 x卯 力一 呶 竺丝筮蛐 竺 咯生厄 安徽大学坝e j 学位论文 式 丝盟=兰+警cos(刊7loxll花 、 掣一4 0 v s s i n ( 互x ) 却碰、7 1 一c o s h 坐 j 己 村矿 s i n t l 上 ( 3 3 4 ) ( 3 - 3 - 5 ) 将( 3 - 3 4 ) 和( 3 3 - 5 ) 代入式( 3 - 3 - 1 ) 得上端引出底部的沿y 轴的线电流密度有 心，吟巾，尝”。瓤：” b 釉篆饥铷b 。卿 在区间( l r - 8 ，_ l r + s ) 范围内积分，即可得上引出极底端沿y 方向的电流 j 。为 l + s， = 蟹厶d x 砜等咖西s 。z s k ( 3 _ 3 7 ) 2 吒s _ 尹8 1 n 五万一盯w z k ( 3 _ 一7 电流，。在y 方向引起电压降，压降吒值为 圪= ，。r ，。 将式l 3 - 3 7 ) 代入( 3 - 3 8 ) 得 纠盯万s 秒赤 = c 篝ss j n 壶爷 a 上l l 同理可得，下引出极上的压降为 纠墨s i n s 7 l s2 l 。 ， ( 3 3 8 1 ( 3 - 3 9 ) 安徽人学坝十学位论文2 0 0 3 年5 月 综合( 3 2 2 2j 、( 3 - 3 9j 和( 3 - 3 ，1 0 ) 式得： 忙c 警s i n 轰州。抄等拿p ， 本章小节 本章首先引入摄动法，简单介绍了摄动法的思想及解题方法，然后运用 摄动法求解基本形状的x 型压阻传感器的定解方程，得到了其输出电压， 并在此基础上求得了带有引出极的x 型压传感器的输出电压。 3 0 安徽大学删i 一学位论义 第四章x 型压阻传感器 的解析模型 在第三章我们已经得到了x 型压阻传感器的输出电压，本章将应用二 端口网络理论，得到x 型压阻传感器的等效网络模型，并运用数值解对前 面求得的解析解进行验证。 第1 节二端口网络的低频h 参数等效电路 一、小信号工作状态 输入信号电流、输出信号电流、输入信号电压以及输出信号电压之 间满足线性变化关系的工作状态称为小信号工作状态。在网络理论中，表 示小信号工作特性的主要方法是：列出小信号电流电压方程；给出小信号 参数以及小信号等效电路。 在二端口网络中，用i 。和i ，分别表示输入信号电流和输出信号电 流，v 和v ，分别表示输入信号电压和输出信号电压，电流的正方向如图 卜1 所示。上述四个变量中有两个是独立的，可以任选两个作为独立变 量，其余两个为应变量。四个量中选取两个有六种可能的选择，这分别对 应着六组小信号参数。例如，选取v 、和v ，为独立变量，则可得到一组y 参数；选取i 。和v ：为独立变量，则可得到一组h 参数。本节将介绍h 参 数模型。 + 1 2 n ，l 图4 - 1二端口网络 二、二端口网络的低频h 参数模型 + 安徽人学f _ ! 卜学位论文 h 参数又称混合参数，表示这一组小信号模型时，选取i ，和v ： 为独 立变量，h 参数模型是 rv l = h 1 i i l + h 12 ”2 li 2 = 2j i j + h 2 2 v 2 可以通过i l 、i 2 、v l 和v 2求得各h 参数m h 。，= 纠 ， j j q = o h 萨旦l ， h 一为短路输入阻抗，h ：，为短路正向电流传输系数，即电流增益。h 。： 为开路方向电压传输系数，吃：为开路输出导纳。 第2 节 x 型压阻传感器的低频等效网络模型 由式( 2 - 3 - 5 ) 可知 懂 i 砂 卸 曲 h，i心 _=州屯一心 i i = 助 坳 知嘶 ，-llil = 、，丘丘 ，。l 却一砂 劬一砂 | 舢 吒 一 一 堑缸鲤西 暑1 可 可 i f f i l 厶 融 _ _ 和 ，|之 0 式由 安徽大学颂l 一学位论文 所以 等( 0 ，炉了v s 一- 4 0 儿- v s i n h t ”y ) l +o xl死l 娑( o ，y ) ：o 洲 左端电极电流为： i t 。? j ( 0 ，们d y 1 一c o s h n - w s j n h 坐 胛加一蹰酗” c 。s h ( ；y ) ( 4 - 2 1 ) ( 4 2 - 2 ) ( 4 - 2 3 ) 年2 t v - - w 宁4 0 v r o s n 秒+ 等蛙唰 一厢等_ 综合式( 3 3 - 7 ) 、 ( 3 3 - 1 1 ) 和( 4 - 2 4 ) ，可以得到以下一组关系式 上下两引出极电压差： 卜1 6 c r 。v , s i n 壶州盯v s 一等半享 ，彬， 上下两引出极电流 ( 4 2 4 ) 3 3 力 磐秽 吒 b _ ， 办 力 矿 j 一 ”q 一 三牡 k 乩 = 域7 0 差压电 流 问 电 极 圾 电 电 两 两 右 右 左 左 安徽大学颁l 学位论文 i = 一瓣等k 如将器件等效成陶4 - 1 所示网络，则各参数值如下 扣一孵等k ( 4 2 - 5 ) ( 4 2 - 6 ) 驴一c 等s i n 壶心仃妒等兽件z 忉 铲盯。等s i n 瓦s ，s 三v 。 1 2 2 盯m _ 尹s 1 “瓦万一盯三- 于是可得器件的h 参数 矗= 粤b ： z h ： z 上 2 2 亍5 3 5 _ 2 弋o ，：七o q 。w 盯。1 + 盯2 一盯w 8 1 n 瓦肚盯w z v 2 = o 一f 亏= = 矿 一oe a + o i 了 ：兰( 一旦s i n s7 + 一s ) 1 + 盯2 万2 w2 lw h 。2 = 旦| ，_ = 0 ： v 、 1 h 2 2 = 皇| ，_ = 0 = v ， ( 3 - 6 1 2 ) l 馋。壶牛+ 砉鲁， 盯。一( 75 1 “。2 l 万一l )丌 1 6 ，s2 r8c o s h 华一1 忑8 1 “万肛了+ 寺 5 l i l _ ( 4 2 _ 8 ) ( 4 - 2 9 ) ( 4 - 2 - 4 ) ( 4 - 2 5 ) 对于p 型硅，如果通过控制杂质浓度，使p = 7 , 8 f 2 硎，扩散硅电阻层厚度 为1 0 t m ，l = 2 4 ，w = 1 2 ，s = 4 ，r = 6 ，盯。= 0 0 1 ，则 盯。1 2 8 2 x 1 0 8 q ， 安徽人学倾上学位论文 可求得各h 如下 h l i = 1 5 6 x 1 08 q ，吃l = 一0 6 0 0 9 ， h 2 1 = 1 5 1 3 0 ，h 2 2 = - 8 3 6 5 1 0 1 0 q 第3 节x 型压阻传感器解析模型的验证 运用文献 2 0 中的方法，采用有限差分法，可以算得图3l 中各点 电势的数值解，从而可以求得输出电压的数值解。通过解析解与数值解 的比较我们可以验证x 型压阻式压力传感器的解析模型的正确性。 图妒2 对长度l 、引出极长度r 和宽度s 不变，宽度变化的器件的 解析解与数值解进行