（航空宇航科学与技术专业论文）波吸收器在挠性空间结构振动控制中的应用研究.pdf

摘要薅巷空阕结构中匏挠蛙缨擒的魄重的不辑增加积孰道、姿态控铡精度要求豹不断提高，使挠性结构振动控制日薇重要，本文针对悬臂梁的弯曲振动控制闯题，磷究了滚吸枝器在振动控制中的应用。本文主要包括以下两个方面的工作：1港粱瓣臻力学方程兔蕊稿，攘导了梁熬波动攘型致及弹毪波豹戆流强度嚣粱振动能量的关系，最后应用二范数理论确定了控制器的补偿函数。2以某卫星的太阳帆板为对象，对三种控制系统受到脉冲和正弦激励下的响应进行了仿羹，并) c 重第三释控制系统受到弧板展拜镁紧辩静脉津力矩、溪邃对鑫撼获窝歪蘩鼹踩时的离心力及在轨平动机动飞行时的惯性力激励时的响应进行了仿舆。三种控制系统分别是：( 1 ) 、采用隘电位移传感器，箧电传憋器，驱瀚器对同位布莺子内板鹃边缘，控翩器补偿蔹数为糟g ) = 2 3 9 5 石；( 2 ) 袋臻疆毫位移蛰感器，蘧毫转浆器驱动器黠羁位毒譬予整个太粥瓤投懿逮缘，这是种理想的情况，控制器补偿函数为胃( j ) = 2 4 4 4 s ；( 3 ) 采用压电速率传感嚣，压电传糖器，驱动器对尉位布置于靠近星体的三块基板边缘，控蒂4 器补偿溺数为群s = 2 3 7 0 4 s 。通过仿炱表明，采用速率传感器，在前三块帆板上布置隧电驱动器时，阶最大衰减因予兔无控瓣熬l o 傣，可敬搜辣 孛囊藏薅阕壤短1 5 倍。 i i 曩对低频模态麓谐激励的控制效果均很好，可使振动幅值减4 , n 凭控时的7 。关键词：挠性结构，悬臂梁，波吸收器，振动控制a b s t r a c ta st h ep e r c e n t a g eo ff l e x i b l es p a c es t r u c t u r e sa n dt h er e q u i r e m e n tf o rc o n t r o la c c u r a c yc o n t i n u o u s e l yi n c r e a s e t h ec o n t r o lo ff i e x i b l es p a c es t r u c t t u e si si n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tf o c u s i n go nt h ep r o b l e mo fv i b r a t i o nc o n t r o lo fc l a m p e db e a m ，t h et h e s i ss t u d i e dt h ea p p l i c a t i o no f w a v ea b s o r b i n gt h e o r yt ot h ev i b r a t i o nc o n t r o lt h et h e s i si n c l u d e dt w om a i nf o l l o w i n gp a r t s ：lb a s e do n 血ed y n a m i c se q u a t i o no fab e a m t h ew a v em o d e lo fo n ew a sd e r i v e d s od i dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ep o w e rf l o wo ft h ee l a s t i cw a v e sa n dt h ev i b r a t i o ne n e r g ya tl a s t 、t h ef u n c t i o no f t h ec o m p e n s a t o rw a sa t t a i n e db ya p p l y i n gk n o w l a g ea b o u th 22r e g a r d i n gt h es o l a r f a no fs o m es a t e l l i t ea st h eo b j e c t t h r e ec o n t r o ls y s t e m so ft h eo b j e c tw a ss i m u l a t e d ，w h e nt h e yw e r ee x c i t e db yt h ei m p u l s ea n ds i n u s o i d a lf o r c er e s p e c t i v e l yi na d d i t i o n ，t h et h i r do n ee x i t e db yt h r e ef o t e e sr e s p e c t i v e l yw a ss i m u l a t e d ，w h i c hw e r ec e n t r i f u g a lf o r c ei n d u c e db yt h er a p i dc a p t u r i n gt h es u na n dn o r m a lt r a c i n gt h es u n ，i n e r t i af o r c ei n d u c e db yt h et r a n s l a t i o n a lm a n e u v e rf l i g h to no r b i ta n dt h ei m p u l s em o m e n to fl o c k i n ga tt h ee n do ft h ee x p a n s i o no f t h es o l a r f a nt h et h r e ec o n t r o ls y s t e m sr e s p e c t i v e l yw e r ea sf c i l l o w s ：( 1 ) t h em e a s u r i n gp a r to ft h ef i r s to n ew a sd i s p l a c e m e n tp i e z o e l e c t r i cs e n s o r ap a i ro fp i e z o e l e c t r i cs e n s o r a c t u a t o rw a sc o l l o c a t e db ye a c hs i d eo ft 1 1 ef i r s ts o l a ra n a yp l a t et h ec o m p e n s a t o rw a sh ( s ) = 2 3 9 5 4 s ：( 2 ) t h em e a s u r i n gp a r to ft h es e c o n do n ew a sa l s od i s p l a c e m e n tp i e z o e l e c t r i cs e n s o r ap a i ro fp i e z o e l e c t r i cs e n s o r a c t u a t o rw a sc o l l o c a t e db ye a c hs i d eo f t h ew h o l es o l a r f a nt t h ec o m p e n s a t o rw a sn ( s ) = 2 4 4 x s ：( 3 ) t h em e a s u r i n gp a r to f t h et h i r do n ew a sv e l o c i t yp i e z o e l e c t r i cs e n s o r ap a i ro f p i e z o e l e c t r i cs e n s o r a c t u a t o rw a sc o l l o c a t e db ye a c hs i d eo ft h et h r e es o l a r sa 仃a yp l a t e sn e a rt ot h eb o d yo fs a t e l l i t et h ec o m p e n s a t o rw a sh ( s ) = 2 3 7 0 4 st h er e s u l t so fs i m u l a t i o ns h o w e dt h a ta t t e n u a t i o nf a c t o ro ft h ef i r s to r d e ro ft h et h i r dc o n t r o ls y s t e mw a sa sm u c ha st e nt i m e so ft h ev a l u eo ft h es y s t e mw i t h o u tc o n t r o l l e r i tc a l lm a d et h ea t t e n u a t i o nt i m ed e d u c et oo n ef i f t e e n t ho fo n eo ft h es y s t e mw i t h o u tc o n t r o l ，i na d d i t i o n ，i tc a ns u p p r e s st h ev i b r a t i o no fl o wo r d e r s ，f o ri n s t a n c e ，血ea m p l i t u d eo ft h ef i r s to r d e rc a nb es u p p r e s s e dt o7p e r c e n to f o n ew i t h o u tc o n t r , ，l l e r k e yw o r d s ：f l e x i b l es t r u c t u r e s ，c l a m p e db e a m ，w a v ea b s o r b e r , v i b r a t i o nc o n t r o l独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意学位论文题目：泣! 杰鳆譬互叁量拯煌窒圈缝扭援缱捌主盛盖置疆：学位论文作者签名：赳：，磋日期：加啊2 年，月，日学位论文版权使用授权书本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定本人授权国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密学位论文在解密后适用本授权书)学位论文题目：i 应! 丕丝翟五托：l 圭翌龃l 矗曲扭趟拄鲴主缁盔叠叠生学位论文作者签名：赳三，锺作者指导教师签名：b 强：z 砌年 l 珏| 日日期：2 年，月日国堕登堂夔丕太堂婴嚣生堂堕堂僮迨塞第一章引言航天领域昂贵的发射、飞行费用促使工程人员尽量减少运载物的质量，而科学探索和社会实践又要求航天结构日益庞大，因此航天器中的挠性结构的比重日益增多且刚度愈来愈小，受外界干扰后很容易发生振动而影响飞行器的正常工作。另外，人类科学探索和社会实践能力和需求的不断提高要求航天器的姿态和轨道控制精度也不断提高，因此大型挠性结构的振动控制就成为一个重要的研究课题。1 1 研究背景本论文主要是研究大型挠性空间结构的振动控制问题，并为8 0 5 研究所的f y 一3 气象卫星太阳帆板设计振动控制器。卫星太阳帆板主要包括主展开锁定机构、偏置机构、连接架和四块帆板组成。单块帆板尺寸为3 2 r e x1 7 5 5 m ，厚度为0 0 2 3 m ，展开后帆板总长为7 4 2 4 m 。主展开锁定机构的刚度较低，而且连接架和基板及基板之间均通过低刚度的铰链副相连。太阳帆板的大跨度和铰链副的低刚度特性造成帆板的固有频率较低，第一阶频率仅为0 1 h z 。该卫星的太阳电池帆板属于典型的大挠性空间结构。太阳帆板示意图如图l 一1所示。图中0 ，一r 。，y ，z 。是太阳帆板的整体坐标系。图卜1 太阳帆板示意图因为第一阶频率很低，使帆板易因外界干扰而振动，又由于帆板的阻尼很小，所以为使帆板正常工作需设计振动控制器。因为主动控制具有适应强，效果好的优点，所以优先考虑使用主动控制方法或主被动联合控制方法。振动主动控制的方法有很多，大致可分为两类。第一类方法的基本思路是建立研究对象的( 大型挠性结构) 的有限维数学模型，然第l 页垦堕型堂垫垄奎堂堑塞生堂堕堂堡垒塞后用经典或现代的控制理论设计控制器。这类方法要求比较准确的数学模型。第二类是波吸收器方法，挠性结构的振动是由于外界干扰所引起的在挠性结构中穿行的波叠加而成的，应用波吸收器原理设计振动控制器就是当波经过驱动器时驱动器会对梁作负功而使挠性结构的能量减少。通过引入边界条件可以得到经过驱动器的输出波和输入波及控制力( 矩) 的关系，确定合适的反馈矩阵使输出波携带的能量达到最小。输出波和输入波及控制力( 矩) 的关系式是频率的连续函数，使该方法不如第一类控制器设计方法对模型不确定度敏感。因为f y 一3 太阳帆板的第一阶固有频率很低，且由多个连接铰链，很难为其建立精确的动力学模型，所以采用波吸收器方法设计f y 一3 太阳帆板的振动控制器。1 2 国内外研究进展因为本文主要研究波吸收器在挠性空间结构振动控制中的应用，所以只概括介绍波吸收器的研究情况。国外有不少有关波吸收器的研究。1 9 8 6 年b s c h a f e r 和a h v o n f l o t o w在悬臂梁的末端布置一对点式传感器和力矩驱动器，用波吸收器理论设计振动控制器以抑制悬臂梁的振动。1 9 9 0 年p i n e s 和v o n f l o t o w 设计波吸收器以抑制挠性悬臂梁中的高频声波，研究了用波吸收器抑制高频振动。1 9 9 3 年k h o i c h im a t s u d a 和h i r o n o r if u j i i提出用h 。理论设计波吸收器以抑制悬臂梁振动的方法，并用实验证明所设计的波吸收器的有效抑制振动的能力，研究了用波吸收器抑制悬臂梁低频和宽频振动。1 9 9 5 年，c t t c h u n g和c a t a n 用波吸收器思想设计振动控制器抑制沿轴向运动的线状结构的横向振动。结果表明波吸收器能控制各种边界条件下激励引起的振动。1 9 9 7 年a y o u s e f ik o m a 和g v u k o v i c h 研究用波吸收器控制低频振动，包括压电传感器与驱动器同位等长，同位不等长，不同位且不等长三种情况。国内这方面的研究较少，在查阅资料过程中没有发现用波吸收器思想设计控制器以抑制悬臂梁振动的研究。下面将介绍部分上面作者的波吸收器设计方法。1 、b s c h a f e r 和a h v o n f l o t o w 的波吸收器设计方法b s c h a f e r 和a h v o n f l o t o w 利用梁的振动方程和边界条件推导出梁的波动状态空间模型：b = s a + g f( 1 一l 一1 )其中b = hb 2 l r ，口= k 口：】r 。相对于梢部驱动器而言，口、b 分别是输入波和输出波，口，是外界激励力附近的近场波即它的振幅按指数规律很快衰减掉，它只存在于激励力附近。b ，也是近场波，它只存在于梢部附近。s 为波的反射系数矩阵，反映梢部输出波和输入波的关系，g 反映了控制力与输出波的作用关系。f = 阻。圪r ，分别对应着控制力矩与控制力，设反馈补偿函数为c ，它反映了控制力与传感器的测量值的关系：f = c ( 卜1 2 )其中矽= h 日r ，1 为梢部的挠度，目为梢部的转角。和口、b 的关系为：= a a + b b( 卜1 3 )由以上关系式可得出口和6 的闭环关系式：第2 页国陵整堂堇查丕堂堑基生堂隧堂焦逢塞b = s a a( 1 1 4 )b s c h a f e r 和a h v o n f l o t o w 从式( 卜4 ) 出发设计了三种补偿器。i 、满足s d = 0 的补偿器，它相当于微波回路中的终端匹配的情况；i l 、只满足b ，= 0 的补偿器，没有考虑对近场波的控制；i 丌、只满足j 。1 ，1 ) = 0 的补偿器。从上面的三个方程可得出这种补偿器设计方法非常直观，但模型较复杂。2 、k h o i c h im a t s u d a 和h i r o n o r if u j i i 推导出了传感器驱动器对布置于根部时的输出波和输入波及控制力矩的波动方程，并设控制力矩是位置反馈的形式，以i i s 。札最小为标准设计补偿器，所以该方法是针对最坏的激励情况设计的补偿器。用该方法设计的补偿器是拉普拉斯变量的实函数，且具有因果性，但却不能保证闭环系统是稳定的。由文献 8 中为悬臂梁设计的波吸收器可知波吸收器具有简单、易于实施的优点3 、a y o u s e f i - k o m a 和g v u k o v i c h 与以上两种方法的不同之处是他们考虑了梁中存在由边界反射而得到的反射波，因此模型很复杂。他们建立了压电驱动器在梁的任意位置的波动方程，模型如图1 - 2 所示并推导了闭环传递函数。圈墨四表示传感器匠圈表示驱动器图卜2 表面粘贴压电传感器和压电驱动器的悬臂梁模型a y o u s e f i k o m a 和g v u k o v i c h 认为弯曲振动的粱中存在四种波q ，0 9 ) 、口2 心甜) 、b l ( x ，国) 、b 2 ( x ，国) ，它们的物理含义与b s c h a f e r 所定义的a 1 、a 2 、b l 、b 2 的物理含义一样。当压电驱动器工作时，假设当驱动器的工作电压为正时产生的力矩的方向如图卜l 中黑色弧形箭头所示，点3 处的外力矩使得点3 处的内力矩产生一个负的突变，点4 处的内力矩则产生一个正的突变。根据内力矩与驱动力矩的关系、内力矩与四种波的关系及波在空间传播规律可得出梁的波动方程：= 跳+ g f( 卜1 5 )其中w 。= 陋。( 1 ) 6 ：( 1 ) 口。( 6 ) u 2 ( 6 ) r 是输出波向量，嵋= k ( 1 ) a 2 ( 1 ) a ( 6 ) b 2 ( 6 ) r 是输入波向量，f ：m c 是驱动力矩，s 和g 的定义同上。设反馈补偿函数矩阵为c ，推出驱动力矩与输出波、输入波的关系式：f = c r w ，+ c m 。( 卜l 一6 )其中尺和r 是与两传感器的相对位置有关的矩阵。由式( 卜5 ) 和( 1 - 6 ) 可得闭环波动方程：w 。= s d w i( 卜1 7 )第3 页垦堕墼兰丝垄奎耋堑塞皇耋堕耋堡篁塞w 。= s d w ，( l l 一7 )忽略输入波向量和输出波向量中的近场波，并定义平均输入波形和平均输出波彬，分别为：彬= a l ( 1 ) + 6 ，( 6 )呒= 口1 ( 6 ) + b l ( 1 )( 卜卜8 )令呒彬= 0 可求得反馈补偿函数矩阵。该方法的独特之处是可以在任意位置布置压电驱动器。但由于考虑了自由边界处的反射波使波动模型比较复杂。前两种方法具有类似之处，只考虑驱动器位置的局部波对输出波的影响，因此大大简化了结构的波动模型。以上是对三种方法的简单总结。1 3 本文主要研究内容在本课题中选择大型卫星的太阳帆板作为研究对象，当太阳帆板受到外界干扰后，极易发生以弯曲为主的振动，相当于梁的弯曲振动。根据卫星帆板与中心刚体的连接形式，可将帆板简化为悬臂梁并对此结构进行振动控制研究。本文中采用压电陶瓷驱动器作控制执行机构，由文献f 3 】知在压电陶瓷驱动器被完美的粘贴( 用极薄的粘贴层牢固的粘贴)在太阳帆板上时，压电陶瓷驱动器作用在太阳帆板表面的剪流基本上分布在两端，所以每一块压电驱动器对太阳帆板的模态力为：m = 一面鬲e b t ；b ? 两等阢+ 昂) 一酢一舀淞( 1 - h )上式中，芗是单位长度梁的模态函数，芗仁+ 磊) 一芗( 一石) 取决于驱动器的关于梁的相对位置和相对长度，在相对长度相同的情况下，( ) 的值越大，仁十动一妒( 一舀) 将越大。悬臂梁的前六阶模态根部附近的庐仁) 最大。所以为增大模态力应将压电驱动器布置于根部。在本文中将借鉴k h o i c h i m a t s u d a 的控制器设计方法。在控制系统模型中考虑只用一对同位且布置在根部的传感器、驱动器对以控制悬臂梁振动，研究内容如下：l 根据静力平衡方程建立悬臂梁的振动动力学方程，并推导以界面参数为变量的振动模型；2 建立以波动参数为变量的波动动力学模型；3 通过引入边界条件建立以输入、输出波表示的控制系统模型，并用，理论设计波吸收器；4 讨论控制系统的稳定性；5 以f y - 3 太阳帆板为对象，对正弦、脉冲激励进行数值仿真以检验波吸收器的振动抑制能力。第4 页研究方案拟定如下：图1 - 3 研究方案图第5 页第二章太阳帆板的结构动力学建模本章主要包括二部分，首先描述研究对象的物理模型，然后分析简化物理模型得到其结构动力学模型，最后建立描述简化模型的结构动力学基本方程。结构动力学基本方程包括振动方程和波动方程；波动方程是由振动方程推导得到的，为设计波吸收器做准备。2 1 研究对象及其结构动力学模型本文以某卫星的太阳帆板为研究对象，研究波吸收器在大型挠性空间结构振动控制中的应用。该卫星主要包括卫星星体结构、展开驱动机构、三角形连接架、太阳电池阵帆板等部分组成。卫星星体结构采用中心承力筒和框架结构，主要包括有效载荷舱、服务舱、推进舱三部分，该部分结构刚度较大，在姿态仿真模型中被视为刚体。卫星展开驱动机构主要由驱动电机、驱动轴、主展开锁定机构等几部分组成。由于驱动电机与卫星星体通过8 个螺栓紧密相连，且驱动电机与驱动轴的刚度较大，这两部分也可以当成刚体处理。主展开锁定机构是弱连接刚度部位，需当作挠性部件处理。所以该卫星的太阳帆板将包括自主展开锁定机构以外的结构，主要是偏置机构、三角形连接架和四块基板，偏置机构和连接架通过螺栓紧密相连，连接架与基板及基板之间通过铰链幅相连。太阳帆板示意图见引言部分图1 1 。因为星体被视为刚体，所以可认为帆板固支于一刚性结构上；当卫星匀速飞行时，可认为太阳帆板固支于一固定结构上。因为太阳帆板的前两阶振动均为垂直于太阳帆板平面的横向弯曲振动，所以很容易受外界激励而发生横向弯曲振动。另外当帆板受到垂直于帆板平面的对称干扰时，也会发生横向弯曲振动，此时相当于梁的横向弯曲振动。因此可将太阳帆板简化为悬臂梁。为了使帆板的结构动力学基本方程更具有普遍性，进一步将太阳帆板简化为具有均匀连续介质的悬臂梁。太阳帆板的结构动力学模型如下所述。i简化的结构动力学模型在本文使用压电传感器和压电驱动器作控制器的测量和执行机构，由l3 知当仅布置一对压电传感器和驱动器时最好将驱动器和传感器同位布置于悬臂梁的根部。如图2 1 所示，梁的下表面有同样布置的传感器和驱动器。d第6 页x图2 1 悬臂梁的正视图和俯视图2 坐标系为悬臂梁建立如图2 】中所示的坐标系0 一x y z 。0 ：坐标原点，它是固定端横截面的几何中心。x ：梁未发生弯曲变形时的中间层平面内的对称线。y ：经过原点并垂直与梁平面向上轴线。z ：根据右手法则，由x 、y 轴确定的轴线。w ：梁的挠度。0 ：粱的转角。叵互蜀表示传感器霞鼯圈表示驱动器3 基本假设因为太阳帆板的长度相对于截面尺寸很大，而且只研究低频振动，所以可忽略剪切变形和转动惯量对结构变形的影响。另外假设：1 ) x 轴为中性轴。2 ) 粱的材料是各向同性的。3 )y 、z 方向的应力相对于x 方向的应力很小，可以忽略。2 2 结构动力学基本方程因为振动和波动是同一现象的两种不同的描述形式，且很难建立梁横向振动的波动方程，所以从振动方程推导波动方程，为波吸收器设计打基础。首先根据达朗贝尔原理建立欧拉梁的振动方程，然后在振动方程的基础上建立以界面物理参数为变量的状态空间描述，并最终推出梁的波动方程。1 内力分析1 1 受力分析从图2 1 所示的悬臂梁中任取一小单元体，其受力图如图2 - 2 所示。其中：m ：梁横截面处的弯矩；第7 页垦堕塾堂堇垄盔耋堑基耋蹩兰堡鎏塞q ：梁横截面处的剪力；p ( x ) ：外界对梁的作用力。0图2 - 2 小单元体的受力分析图1 2 变形几何关系从梁中任取一小段，其弯曲变形如图2 3 所示。图2 3其中：0 ，：弯曲所产生的曲率圆圆心；n ：曲率半径。根据材料力学中应变的定义可知x 方向的应变占，为：t ： ( p ，+ j ，) 生一以】屈，p r= y p ，= y 别婀豢 2叫可川1 + l 瓦j假设梁的弯曲变形程度很小，掣zo ，那么g ，可简化为优c 9 2 ”钆2 y 可i 3 物理，本构关系及内力矩计算在欧拉梁横截面上的应力分布如图2 - 4 所示。( 2 2 1 )( 2 2 2 )第8 页图2 - 4 应力分布图由梁的各向同性假设可得物理本构关系为：a t = e s 。其中：e ：梁的材料弹性模量。在梁横截面上对盯，关于横截面的水平对称线积分m = e ：窘其中：( 2 2 3 )( 平行于z 轴) 可求得内力矩m ：( 2 2 4 )i ：梁的横截面关于其水平对称线的惯性矩，以后简记为，。2 梁的振动方程2 1 静力平衡方程图2 2 中所示力的方向均为正方向，要使单元体处于平衡状态，需满足力矩平衡和力平衡两种平衡关系，即：d g = p ( x ) c l xd m = ( q + d q ) 庙c 一妻p ( x ) 陋) 2由式( 2 2 5 ) 可得：p ( x ) ：_ - a q忽略式( 2 2 6 ) 中的二阶小量可得：q ：掣把式( 2 - 2 8 ) 代入式( 2 - 2 7 ) 得：m ) = 警在梁自由振动的情况下，p ( 功仅是振动引起的惯性力，那么m ) _ _ 警其中：p ：梁材料的体密度( k g m 3 )( 2 2 5 )( 2 2 6 )( 2 2 7 )( 2 2 8 )( 2 2 9 )( 2 2 1 0 )第9 页国堕登堂堇盔盔堂班窥生瞳堂焦迨塞a ：梁横截面面积( m 2 )把式( 2 2 4 ) 、( 2 2 9 ) 代入式( 2 2 1 0 ) 可得梁的自由振动方程：日- 睾缈拳= 。2 2 梁的振动状态空间模型令梁振动的状态空间模型的状态变量】，为y _ 【w 口茜m 茜q 7其中：o ：竺c k厨”1 面对式( 2 - 2 。11 ) 进行拉普拉斯变换得：e 1 堡鼍掣+ s 2 倒谁，s ) 一s w g ，纠。一一o w 扰( x , t ) k 。= 。c 研i t 一“其中：矿g ，s ) 是w g ，) 的拉普拉斯形式假设梁未发生振动时处于静止状态，即：w ( x ，f ) k = 0且假设o( 2 2 一1 1 )( 2 2 1 2 )( 2 2 一1 3 )( 2 2 1 4 )( 2 2 1 5 )( 2 2 一1 6 )( 2 2 1 7 )则粱的拉普拉斯形式自由振动方程为：e 10 4 w ( x 。, s ) _ + s 2 倒万( x ，s ) ：o( 2 2 1 8 )在式( 2 2 1 6 ) 、( 2 2 1 7 ) 的假设条件下对状态变量y 进行拉普拉斯变换得：歹( ”) = 【嘏s ) 虿( ”) 昙顾州面a - - ，刚( 2 - 2 - 1 9 )其中：y ( x ，s ) 是r ( x ，t ) 的拉氏变换形式。为得到振动在y 域上的状态方程需对y ( x ，s ) 关于x 求偏导。亟兰! 堕：歹阢j )( 2 2 2 0 )出掣=型=文旦繇，s)j(2-2-21elae 1)l昙唔脚，呦= 茜垡笃竽= 百a - - ，s ) ( 2 - 2 - 2 2 )第1 0 页掣里堕墼堂垫垄奎堂堡蜜圭堕堂堡垒塞昙( 昙孤，呦= d 掣( 2 - 2 - 2 3 ，由式( 2 2 1 4 ) 和( 2 。2 一1 8 ) 可得：掣：一t s 2 万( ”) ( 2 - 2 - 2 4 )把式( 2 2 。2 4 ) 代入式( 2 2 2 3 ) 得：芸( 茜虱呦。詈砜”)( 2 。2 5 )南式( 2 2 2 0 ) 式( 2 2 2 2 ) 和式( 2 2 2 5 ) 可得：o y ( x ，s )伽0ooj 2口式( 2 - 2 2 6 ) 即是以攻t 0 为状态变量的梁的振动状态空问方程。a =o1o0oo 土。口0oo1一ooo口o y - ( x , s ) ：彳，( x ，s )o x ( 2 2 2 7 )( 2 2 2 8 )3 波动方程当梁受到y 向力( 矩) 或z 向力( 矩) 的干扰后，梁的受力点就会偏离其平衡位置，由于梁的材料是种弹性介质，这种介质使扰动能量( 信号) 不断地在梁中传播开来，这就形成了波或者叫弹性波。当它受到边界反射而在梁中来回传播叠加就形成了驻波，表现为粱的振动，因此梁的振动和波动是同一现象的两种描述形式而已，但又各有特色。波动描述更易于体现能量或扰动信号的传播现象。本论文的目的是根据波吸收思想设计振动控制器以抑制梁的振动，减少梁的振动对中心刚体的影响，因此需推导以描述波运动的参数为变量的波动状态空间方程。通过对矩阵爿进行相似变换得到爿的约旦标准型a ，与此相应会得到一个新的状态变量z ，可以证明z 的元素就是弹性波。d e t ( m 一4 ) ：+ ( 2 2 2 9 )a 。令d e t ( m a ) = 0 可得a 的四个特征值分别为：第l l 页6222sxy们“曲叫o 一d o01ooo国防科学技术大学研究生院学位论文 = 、寺( 1 + f ) ，如2 j 寺( 卜m 丑2 云( 。“) ，以5 j 寺( - l 。) 。则矩阵a 的约旦标准型a 为a = a i a g ( 2 1 ，五，五，以)( 2 2 3 0 )其中幽曙( ) 表示以“”为主对角线的对角形( 下同) 。设“，为对应于丑的特征向量，则由特征向量的定义知- a u ，= 丑“，( 2 2 3 1 )对由式( 2 2 3 1 ) 求得的特征向量进行首项归一化处理可得虬= 1a ，2 ；刀】7则特征向量矩阵u 为u = “l 甜2 “3 ”4 =1l11五：厶明媚叫口麓研硝a a ；川由式( 2 2 3 1 ) 可知4 u = l n那么4 = u a u 一1把式( 2 - 2 3 4 ) 代入式( 2 2 2 8 ) 可得o y _ ( x , s ) ：u a u 一，( x ，s )记z ( x ，s ) = u g ( x ，s )z ( x ，s ) 的拉氏逆变换记为z ( x ，t ) 。式( 2 2 3 5 ) 左右两边左乘u 。并把式( 2 2 3 6 ) 代入可得：o z _ ( - x , s ) ：a z ( x ，s )把式( 2 2 3 0 ) 代入上式可得：o z 石( x _ , s ) = 抛( 压c ，压c t 棚，唇小观序+ f ) 雨，s ，把s = i 0 2 代入式( 2 - 2 3 8 )丝= 咖a 挣悟a 剧缸川优lyv 口yy 其中：2 ( x ，)z ( x ，r ) 的傅氏变换。( 2 2 3 2 )第1 2 页)34567893333333o乞也之乞也之z222222(里堕墼堂垫垄奎堂堡蜜圭堕堂堡垒塞对式( 2 2 3 9 ) 关于x 求导可得：甓笋= 击昭( 一( 后 2 ，( 悟 2 ，( 周2 ，一( 周2 缸，在弹性动力学中通常将方程掣：c 2 掣( 2 2 - 4 1 )研i 口r 称作一维波动方程。其中：c ：相位传播速度；( r ，t ) ：质点偏离平衡位置的位移。用分离变量法解式( 2 2 - 4 1 ) 得到妒 ，f ) 具：f i - a e x p i ( c ”x 耐) 的形式。其中，a 是波的振幅，e x p 的含义是以e “2 7 1 3 2 5 为底的幂函数，m 是波的振动频率。对式( 2 2 4 1 ) 进行傅氏变换可得：堡瓮掣= 一等缸，)协z 4 2 )比较式( 2 2 - 4 0 ) 和( 2 2 4 2 ) 2 ( x ，) 关于x 二阶偏微分方程和乒( x ，c o ) 关于z 的二阶偏微分方程具有相同的形式，因此z ( x ，f ) 也具有a e x p i ( d o c x 耐) 的形式。由式( 2 2 3 9 ) 可知：酏垆佃f ( 居圳z ：垆_ ：e x p ( 辱刎驸刚卿( 一唇捌)酏垆一。刚( - 序圳)其中：波的振动频率( 单位：r a d s ) 。下面分析z ，( x ，t ) q = 1 , 2 ，3 ，4 ) 的波动特性。对于z ( x ，f ) ，e d i t , 时刻x 。处的相位值是声，假定至f ：时刻这段时间内x 2 处首次出现同样的相位值卢，因此詈_ 纠= j 詈x ：埘z ( 2 - 2 - 4 4 )则： 4 = - t 4 - 历( 2 2 - 4 5 )1 2 一1 1因此，当x 和f 前的系数同号时，z ，( t f ) 是沿着x 轴负方向以嬲传播的波，异号时，z 。( t f )第1 3 页垦堕墼堂堡垄奎兰堑室圭堕堂堡篁塞是沿着x 轴正方向以忑传播的波。同理，当r 和f 前的系数同号时，z 4 ( z ，f ) 是沿着x轴负方向以以i 传播的波，异号时，z 4 ( x ，f ) 是沿着x 轴正方向以丽传播的波。不失一般性，我们可以假设z ，( x ，f ) 是沿着x 轴负方向以丽传播的波，而z 。( t f ) 是沿着x 轴正方向以赢传播的波。那么：驸川。酬尽删z 4 ( 叫) 刊。唧卧存h 删)由式( 2 2 4 3 b ) 可知z ：( x ，f ) 的各位置点无相位差，所以z ：( x ，f ) 是驻波，是沿x 轴正负方向传播的波产生干涉的结果，其振幅沿x 轴正向呈指数很快衰减掉，它只存在于边界和集中力作用点附近。z ，( x ，t ) 也是驻波，其振幅沿x 轴负向呈指数很快衰减掉，它同样只存在于边界和集中力作用点附近【”。同样不失一般性可假设：z ：悱4 ：唧( 居删)z 3 ( 刈刚洲一层棚)总之，z ，( x ，) 和z 。( x ，t ) 分别是沿x 轴负、正向以的相速度传播的行波，z ： f )和z ；( x ，f ) 是驻波。所以式( 2 2 3 8 ) 也就是梁的波动方程。由于式( 2 2 3 8 ) 的状态矩阵a 的元素是s 的复数系数函数，这就可能使得设计的波吸收器也是j 的复数系数函数，导致在物理上不易实现，当然可通过对波吸收器拟合的方法来解决1 5 1 。另外一种方法是对a 进行相似变换以得到a 的实约旦标准形百1 8 ，与变换相对应的会产生一个新的状态变量矿，它的元素也均是波，以五为状态矩阵的状态方程也就是梁的波动方程。因为万和a 同为a 的约且标准形，所以百和a 有相同的特征值，据此可构造芨，rl100 r五= l0j 三? 怯( 2 - 2 - 4 7 )l00 一l l j由特征向量的定义可求得夏的特征向量及其组成的特征向量矩阵后，1100 豆= 批了? ? l沼z 。l o0f 一钊它使得令则：丸k = k kk ：蟊。( 2 2 - 4 9 )( 2 2 5 0 )第1 4 页垦堕塾童垫垄奎堂堑蜜圭堕兰堡堡塞1 一i00 足= 旧j ? ! f |c z 一2 州，1 00lfj由式( 2 - 2 4 9 ) 和( 2 - 2 5 0 ) 可得a = 觥“( 2 - 2 5 2 )把式( 2 2 5 2 ) 代入式( 2 2 3 8 ) 并左乘足。可得( 足。1 三( t s ) ) = a ( k 。1 三( x ，s ) )( + )记旷( x ，s ) = kz ( x ，s )( 2 2 5 3 )v ( x , s ) 是新变量v ( x ，t ) 的拉氏变换形式。把它代入( + ) 式可得：a v - ( x , s ) ：五旷( x ，s ) ( 2 - 2 - 5 4 )o x把式( 2 - 2 - 3 6 ) 代入式( 2 2 - 5 3 ) 可得7 ( x ，j ) 和梁的横截面物理量组成的状态变量y ( x ，s ) 的关系式：v ( x ，力= k - 1 u _ 1 y ( 薯j )= ( u k ) r ( x ，s )( 2 - 2 5 5 )令p = u k ，则：p =2020由式( 2 2 - 4 8 ) 和( 2 2 5 3 ) 可得：巧( ”) = 丢瓴( ) + 乏( 邵) )眨( ) = 主伍阳) 一乏( ) )愿( ”) = 丢伍( ”) + 乏( 相)眨( 舢) = 主伍( ”) 一乏( ) )( 2 2 5 6 )由式( 2 2 - 5 7 一a ) 可知巧 s ) 是乏 ，s ) 和乏( x ，曲的线性叠加，又由于拉普拉斯算子是线性算子，因此k r ) 也是z ，化f ) 和z ： f ) 的线性叠加，它们的线性叠加就是在一种波上调制了另一种波，由于z ，( 工，f ) 是沿x 轴负方向传播的波，z ：( x ，f ) 是驻波，所以k ( x ，f )是沿x 轴负方向传播的波，同理可知v 3 ( x ，) 是沿x 轴正方向传播的波。由式( 2 2 5 7 - b ) 可知眨 ，s ) 是盔o ，j ) 和匠心s ) 线性叠加，因此o ，) 是由z ，( t f )第1 5 页压咖压一纽压。压锯。捱压弘压2如压。铥国笾型堂堇盔盔堂婴匿生暄堂焦迨塞和z ：( 上，t ) 的相位提前叫2 基础上线性叠加得到的，因此o ，t ) 是沿x 轴负方向传播的波。同理可知圪( x ，t ) 是沿x 轴正方向传播的波。v d x ，t ) 和( j ，t ) 相对于固定端和固定端的压电作动器而言是输入波，k ( x ，f ) 和圪( z ，t ) 相应的是输出波，对梁进行振动控制的目的就是减弱梁的振动，也即梁的振动能量。波吸收器是指通过驱动器的作用力来改变经固定端反射而产生的输出波，减少它传递给粱的能量，因此需要确定梁的振动能量与波的关系。在介质中传播的弹性波会通过对介质做功而转变为介质的弹性势能和动能并不断的传播下去。对梁的横向振动而言，梁中的行波会对梁做功使梁具有了弹性势能和动能，因此在梁的任意位置取一小单元体，它将具有动能和势能，其应力分布如图2 - 4 所示，则小单元体的弹性势能的体能量密度谚，为( 欧拉梁) ：u ，( 毛y ，z ) = i 。o - 。啦= r e t 啦= e s 2( 2 2 5 8 )把式( 2 - 2 2 ) 代入上式可得：嘶戊加吉砂2 f 学 2 ( 2 - 2 - 5 9 )其中：x ：小单元体的x 向位置坐标( j ，z 类推) ，w ( x ，f ) ：某一时刻小单元体的y 向挠度；小单元体的弹性势能线能量密度为：巩f ) - 脖y 2 f 学 2 砂：三e ，f 坐唑1 ( 2 - 2 - 6 0 )2lo x 由式( 2 - 2 5 5 ) 和式( 2 2 5 6 ) 可得：w ( x ，s ) = 2 l 巧( x ，j ) + 巧( x ，s ) j( 2 2 6 1 )由于将要设计的波吸收器只是使得输入波的能量被“吸收”，并没有考虑经固定端反射和驱动器激励的输出波对输入波的影响，因此认为梁中只存在沿x 轴负方向传播的输入波，那么式( 2 2 6 1 ) 将简化为：w ( x ，s ) = 2 巧( r ，s )( 2 2 - 6 2 )对式( 2 2 6 2 ) 进行拉普拉斯反变换可得：w ( x ，t ) = 2 v l ( x ，t ) ( 2 - 2 6 3 )把式( 2 2 6 3 ) 代入( 2 2 。6 0 ) 可得势能线密度为：第1 6 页里堕塾堂垫垄奎耋堡垄生堡耋堡堡塞嘶烨田 学 2 ( 2 - 2 - 6 4 )梁中的动能线密度i 为：丘= 丢( 掣 2圳( 掣 2 ( 2 - 2 - 6 5 )由式( 2 - 2 4 7 ) 和( 2 - 2 5 4 ) 可得翌笔竽= 压眠妒嘶，s ) )沼z 确，掣= 压( _ 嘶一嘲即) ) ( 2 - 2 - 6 7 )式( 2 - 2 6 7 ) 两边对x 求偏导得：掣= 寺弧沪弧沪讯咖弧s ) )= 一三巧( x ，s )( 2 2 6 8 )对式( 2 2 6 8 ) 进行拉普拉斯反变换，口掣：一些竖2 ( 2 - 2 - 6 9 )把上式代入式( 2 - 2 6 5 ) 可得：f ，( x , t ) = 2 e i i 鼍到2 ( 2 - 2 - 7 0 )当我们用( x ，f ) 来表示梁的动能线密度时，e - , ( x ，f ) 和玩( t f ) 具有同样的形式，这给计算强( t f ) 带来了方便。梁中的能量线密度巨( x ，f ) 为：互 f ) = 巧( 墨，) + 互“f )一f ( 掣 2 + ( 挈 2 ( 2 - 2 - 7 1 )【l良l蕊jj第1 7 页里堕塾堂堇垄奎堂堡壅生堕堂丝丝塞由式( 2 2 6 8 ) 可知，( x ，f ) 和吒( j ，f ) 的振幅同倍增长，当它们的振幅变为原来的n倍后，梁中的势能线能量密度玩( x ，f ) 和动能线能量密度曰( x ，f ) 为：弧班z 日眠，) 2= z 胁2 晤啉，归2 嘶，( 2 - 2 - 7 2 )珊冲吐鲁) 2= z 刮善嘛，r ，1 2 = 1 , 1 2 讯，。( 2 - 2 - 7 3 )由式( 2 - 2 - 7 2 ) 和式( 2 - 2 7 3 ) 可知，对于弯曲振动的梁，其势能线密度和动能线密度均与振幅的平方成正比，因此：u f ( x ，t ) = 4 ：l ( x ，f ) 岛( x )( 2 2 7 4 )互( t f ) = 爿：2 ( t t ) k ：( x )( 2 2 。7 5 )其中：a 。( x ，f ) ：k ( x ，f ) 的振幅，爿，：( x ，t ) ：g ( x ，f ) 的振幅。能量线密度e ( x ，f ) = 爿二( x ，f ) 。( x ) - b 。22 ( x ，t ) k ：( x )( 2 2 7 6 )如果定义4 。( x ，f ) = 阻。( x ，f ) a m 2 f ) r 的口范数的平方为：i i a ( 芏，f ) 眨= ，( z ) 爿：。( x ，f ) + 七：( x ) 以：( r )( 2 2 7 7 )由上式知：m i n ，( x ) ，k ：( x ) ) 0 二( e f ) + 爿：( x ，f ) ) j 陋，( x ，刮em a x ( k 。( 功，k ：( 功) c 4 ：。( x ，f )